Elektrodynamika
1   Elektrické a magnetické veličiny, jednotky SI
Elektrický proud I je v systému SI základní veličina, jednotka je 1 Ampere (1 A). Definice: Stejné proudy ve 2 rovnoběžných drátech ve vzdálenosti 1 m mají velikost 1 A, když vzájemná přitahovací síla na 1 m drátu je 2 • 10~7N.
Náboj q: Zdroj elektromagnetických sil, pohybuje se ve vodiči, když teče elektrický proud. Jednotka: 1 Coulomb (1 C).
Definice: Při elektrickém proudu o 1 A proteče průřezem vodiče 1 C za sekundu. 1 C = 1 As až 6 • 1018 elementárních nábojů.
Coulombův zákon Přitažlivá nebo odpudivá síla dvou nábojů q± a q2 v místech x\ a x2
F = k       (x[ - x2),	F = kqf,
n2	n2
kde ri2 = \xi — ô^l a k je konstanta. Dimenze [k] této konstanty vyplývá z (1)
N = [k]
As • As
nr
[k]
Nm2
Použitím rýchlosti svetla c platí pro experimentálne určenou konštantu
N
k = lQ-'c
7 „2
A2'
V SI se píše z historických důvodů
(1)
k =:
47re0'
kde e0 je tzv. „dielektrická konstanta vakua".
Poznámka: Mohli bychom předpokládat k = 1. Tím bychom určovali dimenzi náboje, vyjádřenou mechanickými veličinami. V systému cgs dostáváme z Coulombova zákona
gem     [q]2 i     s _1
dyn = —— = —-,    =3-     [gj=g2cm2s . s2 cm2
To je jednotka náboje v Gaufiové systému.
Elektrické pole: Síla souboru nábojů qi,..., q^ v místech další náboj
q v bodě x je popsaná působením elektrického pole v bodě x na náboj.
Intenzita eletrického pole E (x) je lokální vlastnost prostoru, v němž se nacházejí elektické náboje.
i    N        ~" — ~"
Intenzita = síla na jednotkový náboj. Dimenze:
[E] ~ č - ^č-
Napětí U. Práce = změna potenciální energie při pohybu náboje v elektrickém poli je daná integrálem
W = í Fds.
V případě pohybu o vzdálenost / podél homogenního elektrického pole (např. v deskovém kondensátoru) platí jednoduše
W = qEl =: qU.
Elektrické napětí je rozdíl potenciální energie jednotkového náboje na dvou bodech.
Dimenze: [U] = ^
Jednotka: 1 Volt = IV = l£.
Volt se používá pro běžné označení jednotky elektrického pole, [E] = 1^.
Magnetické pole. (Stacionární) elektrické proudy vyvolávají síly na pohybující se náboje (Lorentzova síla). Analogicky k zavedení intenzity elektrického pole uvažujeme sílu souboru eletrických proudů v daném uspořádání vodičů na úsek dl jednoho dalšího drátu s konstantním proudem I. Síla je úměrná I a dl,
dF(x) = Idíx B(x). (3)
Magnetická indukce B(x) zahrnuje působení všech elektických proudů v bodě x. Dimenze: Z (3) vyplývá
*    ™      ^      N        J        Js Vs N = Am B , =>• B = —    = —   - = —  - = -.
Am     Anr     Cm^ nr
Jednotka: 1 Tesla = 1T = 1%
Příspěvek elektrického proudu v úseku drátu dl na místě X2 k magnetickému poli v bodě x\ (analogicky Coulombovu zákonu) je
dB(xx) = kmIdíx , f1 ~ Z2|q. (4)
Fl — x2\
V SI se píše km =      fiQ =      je tzv. „magnetická permeabilita vakua". Síla mezi dvěma infinitesimálními úseky vodiče, umístěnými v bodech s elek-
trickými proudy I\ a I2 (analogon Coulombova zákona):
F{xx) = ^hl2 dh x (df2 x  f 1 " *2 ^
47T \ \Xi — X2\
2
Hustota náboje:
p(x)
lim
av^o AV
kde q je naboj v objemu AV, který obsahuje bod x. Hustota proudu:
kde A A je element průřezu vodiče a je jednotkový vektor ve směru elektrického proudu J.
2   Maxwellovy rovnice, statický případ
J. C. Maxwell našel v 19. století dvě vektorové a dvě skalární parciální diferenciální rovnice 1. řadu, které spojují elektrické a magnetické pole navzájem a s elektrickým nábojem. Z těch rovnic lze odvodit celá elektrodynamika.
div E = — ,
eo
1 x 9E _ — rotB = e0 — + j,
jjQ Ol
rotB = --,
div B = 0.
Vektorové operátory div a rot lze vyjádřit pomoci operátoru Nabla,
V - (— — —\
[dx' <9í/' d z I
div v = V • v,
rot v = V x v.
(5)
(6)
(7)
V případě statických polí, když časové derivace jsou nulové, odpojují se elektrické a magnetické pole.
Elektrostatika
Základní rovnice
divĚ = —, TotĚ = 0. (8)
eo
Elektrostatické pole je bezvírové pole se zřídlem ^. Pro takové pole existuje skalární potenciál <fi tak že
Ě = -grad0 = -V0. (9) Dosazením do Maxwellovy rovnice dostaneme
—div grad0 = — V20 = —.
eo
Definujeme Laplaceův operátor
A := V
d2 d2
d2
dx2    dy2    dz2' nabýva rovnice pro potenciál následující tvar,
A0 = -A
(10)
(H)
Táto rovnice se nazývá Poissonova rovnice. Oproti Maxwellově rovnici divE = — má
výhodu, že jejím řešením je jedna skalární funkce (j){x) místo vektorového pole E (x).
Magnet ost at ika
mtB = noj, divB = 0. (12)
Magnetostatické pole je bezzřídlové, siločáry jsou uzavřené; existuje vektorový potenciál A, tak že
B = ľotÄ, (13)
protože
div rot A = 0. Dosazení do Maxwellovy rovnice vede k
rot B = rot rot A = grad div A — A A = fi0j,
nebo
AÄ-V(VÄ) = -!20j. (14)
Potenciály nejsou jednoznačné určeny svými rovnicemi (11) a (14), <fi je jednoznačné až na libovolnou konstantu, A až na gradient libovolné funkce, poněvadž rot grad/ = 0. Potenciály lze kalibrovat, jsou kalibrační, nikoliv fyzikální veličiny.
3   Greenova funkce Poissonovy rovnice, ^-distribuce
Poissonova rovnice (11) je eliptická lineární parciální diferenciální rovnice druhého řadu. Pro takové rovnice existuje rozsáhlá teorie, my budeme ale zkonstruovat řešení na základě známých fyzikálních skutečností. Elektrické pole bodového náboje v počátku je
q     x . .
E = -^—, 15
47Te0 \x\3
příslušný potenciál je
0 = T^-- (16)
47T60 r
4
Pro hustotu bodového náboje platí
p{x) = 0       \/x ý 0 a / (ŕx p{x) = q.
Přestože taková funkce v klasickém smyslu neexistuje, existuje matematický objekt, který popisuje idealizaci bodového náboje a pomoci toho můžeme skládat elektrické pole a potenciál libovolného rozložení náboje z výrazů (15) a (16).
Hustota bodového náboje je zkonstruovaná pomocí „Diracovy č-funkce", která lze definovat jako limita funkcí s integrálem od minus do plus nekonečna rovným jedné, které jsou „více a více soustředěné na jeden bod", např.
1 1
5(x) := \im gJc) = —= lim-e   e . (17) Takové limity mají vlastnost, že
f{x) 5{x) dx = lim /    f(x)ge(x)dx = f(0), (18) nebo obecněji,
roo
f(x')5(x-x')dx' = f(x) (19)
pro libovolnou spojitou funkci /. Integrál s 5-funkcí tedy vybírá hodnotu funkce v určitém bodě.
„Výběr určité funkční hodnoty" je exaktní význam ô v rámci distribucí, t.j. jako zobrazení vhodného prostoru funkcí, jako nekonečně diferencovatelné funkce s omezením nosičem, do reálních nebo komplexních čísel. V jazyce distribucí se píše ekvivalent rovnice (19)
6x[f] = f(x). (20)
Distribuce 5X přiřazuje funkci / funkční hodnotu f(x); pro její definici stačí, že / je spojitá funkce.
Hustota bodového náboje v počátku souřadné soustavy se vyjadřuje trojrozměrnou ô- funkcí
p(x) = qô3(x) = qô(x)ô(y)ô(z). (21) Dosadíme potenciál a hustotu náboje v bodě x' do Poissonovy rovnice,
A0(f) = -±- A—^— = -S, b\x - x'), (22)
47T60     \x — x'\ 6o
odvodíme z toho
A—.J1 „ , = ô3(x - x'). (23) An\x-x'\        v ; v ;
G(x,x'):=      I1 (24)
47T \X — X'\
se nazývá Greenova funkce Laplaceova operátoru (=potenciál jednoho bodového náboje.
5
Poněvadž Poissonova rovnice je lineární, můžeme zkonstruovat potenciál rozložení náboje p(x) jako superpozici potenciálů bodových nábojů, tedy
x
47re0
d3x' p(x')
popřípadě
x
) = - jd3x'G(x,x')
(25)
(26)
To je řešení Poissonovy rovnice pro rozložení náboje p{x). Důkaz:
d3x ó3(x- x1)
A^x) = I d*x AxG(x, x") ^ - - ^ P^
eo
Index x zdůrazňuje působení Laplaciánu na nečárkované souřadnice.
Greenova funkce není jednoznačná. G(x,x') plus libovolné řešení homogenné diferenciální rovnice A<p = 0 je také Greenovou funkcí stejného operátoru.
Greenova věta, Greenův vzorec
Odečtením dvou identit,
V(wVw) = u Av + Vu V v
a
V (v Vit) = v Au + Vv Vit,
dostaneme
V(it Vv — vVu) = u Av — v Au. Integrováním a aplikací Gaufiovy věty odvodíme Greenovu větu:
(u Av — v Au) dV = /   (u\7v — v\7u) řídS,
V JdV
(27)
kde V je objem a n je normálni vektor na okraj dV.
Podle okrajových podmínek má Greenova věta dvě standardní aplikace.
Dirichletův problém: Známe p{x) uvnitř nějakého objemu V a potenciál <fi na okraji dV. Dosadíme u = <pav = G do Greenova vzorce.
'M ^3   i _
V
dV
{x') Ax'G(x,x') - G(x,x') Ax,(j)(x')} d3x j>{x") Vx<G(x,x') - G(x,x') Vx4{x')] ndS'.
Podle předpokladu je první člen na pravé straně známý, druhý, který obsahuje gradient potenciálu, nikoliv. Tak využime možnost volby Greenovy funkce a zkonstruujeme
6
takovou, která se rovná nule na okraji dV. Greenově funkci s tou vlastností říkáme Dirichletovu Greenovu funkci, Gd- Potenciál ve V je pak dán vzorcem
4>(x) = —    Gd(x, x ) ——- d x + /  X7GD(x,x)(f)(x)ňdS. (28) Jv e0 Jav
Neumannův problém: Známe gradient potenciálu na dV. Vybereme Neumannovu Greenovu funkci Gn, jejíž gradient se rovná nule na okraji.
(j)(x) = - í GN(x,x')^^-d3x'- í GN(x,x')f<l)(x')ňdS'. (29) Jv e0 Jav
4   Elektrostatická energie nábojů
Napíšeme si potenciální energie náboje v elektrostatickém potenciálu
U = q 4>{x).
Energie dvou nábojů = energie náboje qľ v bodě X\ v potenciálu vyvolaném nábojem q2 v bodě X2 plus výraz s přehozenými náboji lomeno dvěma, aby se energie nepočítala dvakrát.
1
U = ~(qi (fo(ži) + 92 01 (z2)),
kde
<f>i(x) = -A-i ^ 9l ^ i •
47reo \x — Xi\
Energie spojitého rozložení náboje:
U=l-^p<\>dV. (30)
Pro rozložení bodových nábojů je potenciál
1 1b
[ X n
J2 —' r«ř» = K ~ %b\ (31)
47reo h+a rab
a energie
£/= — (32)
5   Multipólový rozklad pole
V následujícím budeme hledat rozvoj elektrického potenciálu ve velké vzdálenosti od zdroje.
7
5.1   Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích
Ve sférických souřadnicích má Laplacián následující tvar:
r2 dr \   dr J    r2 sinů dů \      dů J    r2 sin2 ů ďp2
Separace proměnných: Pokoušíme se přeměnit parciální diferenciální rovnici do tří obyčejných diferenciálních rovnic pro funkce jednotlivých proměnných, R(r), 0(#) a $((/?). K tomu předpokládáme řešení ve tvaru součinu
0(r, ů, ip) = R{r) ■ &(ů) ■ $(y>) (34)
a dosadíme do Laplaceovy rovnice
1 d f 2 dR  ^    \       1     d f     n   „  d0     \        1      „ ^ d2$ rz or \    dr j   rz sin ů dů \ dů     J   rz sin » dipz
(35)
Násobíme r ^q^ů a píšeme část, závisející na íp, na pravou stranu
sin2?? d / 9dR\    sinů d /       d©\        1 d2$
--r —   H---smí?- =---
R   dr\    dr J      0  dů \       dů J <5>dp2'
Levá strana teď závisí na r a i), pravá strana na ip. Z toho vyplývá, že se obě strany musí rovnat konstantě, kterou nazveme m2. Z pravé strany dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici,
d2$ „
—— + m2$ = 0. 36
dip2
Rovnici vyplývající z levé strany můžeme upravit podobným způsobem,
1 d /,dR\      m2        lid/,d6\ „
--r —   =-----sin ů-        = A
Rdr \    dr J     sin2 ů    sin ů 0 dů \       dů J '
kde se opět obě strany musí rovnat konstantě, označené A2. Z toho dostaneme dvě další obyčejné diferenciální rovnice,
d ( .   ad©\
m
2
sin ů dů \       dů J     \       sin ů J
tak že místo parciální diferenciální rovnice máme rovnice (36), (37) a (38). Řešení: Rovnice (36) má řešení
^m(^) = Cm cos míP + Srn sm miP (39)
8
příslušné k parametru m, který musí být celočíselný, aby $ bylo periodické ve ip. Radiální rovnice (37) má řešení
Rl(r) = Alrl + ^I, (40)
kde A2 = /(/ + 1). V rovnici (38) píšeme cosů = x. Řešení, které obsahuje obě integrační konstanty mal, označíme Přm. Takovou úpravou dostaneme Legendreovu rovnici
(1    x2)dPr^x) 2xdPr(x)
dx2
dx
1(1
m
ar
PT(x) = o.
(41)
5.2   Legendreovy polynomy
Ortogonální bází řešení pro m = 0 jsou Legendreovy polynomy Pi(x), vyhovující jednodušší rovnici
d
dx
9,dPi(x)
+ l(l + l)Pl(x) = 0
(42)
s nezáporným celočíselným parametrem /. Legendreovy polynomy jsou ortogonální v intervalu (—1,1)
J Pk(x)Pi(x)dx = 0       Wk^l. (43) Legendreovy polynomy se objevují jako koeficienty v rozvoji tzv. vytvářející funkce
1 oo
£ flO^-
íi - 2xt + t2y/2
Použitím Leibnizova pravidla
dm[f(x)g(x)}     A ml
dxr
E
!      dm   f(x) dkg(x)
q k\ (m — k)\ dx
m—k
dxk
(44)
(45)
dostaneme m-násobným derivováním rovnice (42)
(1 - x2)f"(x) - 2x(m + l)f'(x) + (/ - m){l + m+ l)f(x) = 0, (46)
kde f{x) = dmPi(x)/dxm. Substituce f{x) = (1 — x2)~ml2g(x) vede k tomu, že funkce g(x) musí splňovat rovnici (41), je tedy konečně
prw = (i--2r/2^1-
Legendreovy polynomy lze vyjádřit pomocí Rodriguesova vzorce
1 dř
Pi{x)
-(x2
/! 2ř dx1
Využitím tothoto vztahu můžeme rozšířit (47) na oblast záporních m, tedy
PT(x)
(-i)1 ^t4t-(i
x
2\-m/2
dr>
2\l
;(1-x2)
-Km< l.
(47)
(48)
(49)
/!2ř v~       ' dxr<
Polynomy Přm se nazývají přidružené Legendreovy polynomy. Námi definované P{n(x) nebo Pi(x) nejsou na intervalu (-1,1) normované na jedničku. Ostatně různé drobné i větší odchylky v definicích speciálních funkcí jsou díky historickému vývoji bohužel zcela běžné.
9
5.3   Kulové funkce
Pomocí přidružených Legendreových polynomů definujeme úplný ortonormální soubor kulových funkcí (t.j. každou funkci úhlových proměnných ve sférických souřadnicích můžeme napsat pomocí (nekonečné) řady těchto funkcí)
ir    = (-ir
Platí tedy
\ {2ltl)l + m)\ Pr{COSŮ) eXp(m^}- (50)
2"7T f"K
áV / áů sinůY^(ů,V)Y^(ů,V) = 5hh5mim2 (51) o Jo
(ortonormalita) a
oo   m=l „2tt rir
m<p) = Y, £ fTYrwM, fr= / ^ / dtf sintf/(^)>r*(^). (52)
,r, , jo jo
1=0 m=-l
(úplnost). Několik prvních kulových funkcí je
Yo
Y-T1 = J— sinů e-iv Y? = J—cosů Y1 = -J — sinů
1 V87T 1        V47T 1 V87T
y-2 = Áii sin2tf e-2^ K,2 = i/— sin2tf e2^ (53)
2       V 327t 2     V 327t v ;
15 / 5 /1 5
y2_1= \— sintfcostfe-1*'     K>° = W-(3cos2tf-l)     K1 = -W — sinů cos ů et{p.
2       V 8tt 2     V 16tt v ;       2       V 8tt
Velmi důležitým speciálním případem rozkladu (52) je vztah pro Legendreův polynom obecného úhlu 7 mezi dvěma vektory n = (sinůcos99, sin-$sin99, cosů) a n' = (sin a cos    sin a sin    cos a), tedy
cos 7 = n • ň' = cos $ cos a + sin $ sin a cos(ip — /?),
4-7T m=l
fi(cos7) = 27TI E ir^^lT^y)- (54)
m=—l
5.4   Multipólový rozklad rozložení náboje
Uvažujeme rozložení náboje uvnitř koule o poloměru R,
10
Potenciál mimo koule je dán vzorcem (25)
m = J- Íd^x'-^X = — /dV  , ^
Ane0J        \x-x\     Ane0 J        Jx2 + x2 - 2\x\ ■ \x'\cos-f
1    1   /"dV   , Pi£,) (56)
7 je úhel mezi i a f'. V integrálu se objeví vytvářející funkce Legendreových polynomů, tak
1   1 f q ,       ^ _ /VN
ydVp(rr')Epi(cos7)(M (57)
1     r Att r
^ = —j dVp(£')E^-T^TT^(^^)^m(^^). (58)
47re0r„ ř=0 (psali jsme \x\ = r a |rr'| = r'). Použitím (54) dostaneme rozvoj
ii
47re0 J ~ ~       '     21+ lr
u l,m
Pomocí multipólových momentů
qlm := Jd*x'p{x')r'lYr(59) můžeme konečně psát potenciál jako superpozici kulových funkcí
1 ^ l qi
oo
«=rEľ^W* (60)
£0 l=0m=-l M + ir
V případě bodového náboje víme, že pole je dáno Coulombovým potenciálem. Je-li náboj q umístěn mimo počátek souřadnic, např. na ose z (v bodě z = R), je potenciál dán vztahem
, (61)
0 = ^— yPz(costf)   -   , r>i?.
Pro r y> R převažuje rotačně souměrná (vzhledem k počátku souřadnic, nikoli poloze náboje) složka / = 0. Umístíme-li však na ose z ještě náboj opačné velikosti do z = —R, vyruší se identické příspěvky členů s / = 0 a pro r >>> R převažuje pak dipólová složka (1 = 1)
2qR Pi(cos^) _   D cosi? 47re0     r2 47re0 r2
kde D = 2qR označuje dipólový moment. Podobně, umístíme-li na ose z v z = ±R náboje g a v počátku náboj — 2g, vyruší se identické příspěvky členů s / = 0 a / = 1 a pro r y> R převažuje pak kvadrupólová složka (/ = 2)
2qR2P2(cos$)       Q  l-3cos2tf , .
0quad = —.--ô- = -,--ô-, (63)
47re0      rd 47re0 rd
kde Q = qR2 je kvadrupólový moment. Obecně jsou multipólové momenty závislé na umístění v souřadném systému, s výjimkou nej nižšího nenulového momentu.
^diP - —--^— - t—- —— i^J
11
6 Magnetostatika
6.1   Analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou
Integrální tvar infinitesimální rovnice (4), vyjádřený pomocí hustoty proudu, je
B[x) = ^ í d3x'j(x') x ,f~ 51 =-— í d3x'j(x') x V 1
An J \x — x \3       47T J \x — x
47T
-V x /d V Z{Xín =: rot A(x). (64) J        |rr — x |
Zavedli jsme vektorový potenciál
A(x) = m íd3x'j^X. (65) v '    4?r 7 | v 7
Vektorový potenciál není jednoznačný, protože můžeme přičíst gradient libovolné funkce, jehož rotace je identicky nulová. Taková transformace,
A(x) —> A{x) + grad k(x)
se nazývá kalibrační transformace. (Stejně je skalární potenciál jednoznačný jenom až na konstantu.) Volba A = 0 (Coulombova kalibrace) vede k vlastnosti div A = 0, protože V\x — x'\~ľ = — V'\x — x'\~ľ a z toho dostaneme integrací per partes V'J(x'), což se rovná nule podle statické rovnice kontinuity. Dosazením do Maxwellovy rovnice dostaneme tak
rotB(x) = iotľotA(x) = grad div A (x) — AA(x) = — AA(x)
=        f d3x'j{x') A—Kň = IM>m, (66)
47T j \x — x \
tedy vektorovou Poissonovu rovnici pro A.
Následující tabulka ukazuje analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou.
Elektrostatika		Veličina, vztah	Magnetostatika
dF = dq Ě		definice pole	dF = J dfx B
dq		hustota zřídel	I dl = jd3x
F = qĚ		síla na náboj	F = qv x B
div E = p/e0		rovnice pole	rot B = fiQj
rot Ě = 0			div B = 0
E = —grad <fi		potenciály	B = rot Ä
A0 = -^ eo		rovnice potenciálu	AÄ = -m
0(f) = Í/dV	p(x')	potenciál zřídel 12	4f) = £/<ft
Analogické magnetické pole k elektrickému Coulombovu poli je pole lineárního vodiče. Uvažujme nekonečně dlouhý, rovný drát ve směru osy z s elektrickým proudem I
j(x)=I5(x)5(y)e3. (67)
Podle (64) je magnetické pole
B(x) =
4tt J-
dz' e3 x
S-(0,0, z')
\x- (0,0,2')|3"
(68)
Zavedeme polární souřadnice p = \Jx2 + y2, p> = arctan^, z a uvědomíme se, že pole musí být konstantní ve směru z, tak že stačí počítat B v rovině (x,y). Výpočet vede k Biotovu-Savartovu zákonu
p0I ev
B(p)
2tt p
(69)
6.2   Magnetické pole kruhové smyčky.
Do vztahu pro vektorový potenciál (65) dosadíme hustotu proudu j{x") dV = / 5{p' - a) 5{z') ey p' dp' dz' dtp', kde ěy = — s'm((p' — p>) ep + cos(<// — y?)^, a dostaneme
PqI f* a cos íp dip
A(p,z) = A^p.z) e,
K(p,z)
27t Jo  (a2 + p2 + z2 — lap cos íp) 2 Integrál lze vyjádřit úplnými eliptickými integrály E a K,
(70)
Hol í a nk \Pi
1 - y j K (k) - E (k)
(71)
kde k2
4a p
(a + p)2 + z2'
K{k)
1 — k2 sin2 £
E(k)
1 - k2 sin2£d£.
(72)
Při výpočtu indukce potřebujeme identity
dE{k) _ E(k) - K(k) dK(k)
dk               k        ' dA;
Potom máme pro složky indukce (B^ = 0)
E(k) K(k)
kil - k'2) k
Bp(p,z)
dAp dz
Hol
2tt
pj{a + p)2 + z2
-K(k)
a2 + p2 + z2 [a — p)2 + z2
E{k)
(73)
(74)
Bz(p,z)
1 d(pAip) _ pol
P      Op 2"7T
j {a + p)2 + z2
K(k) + f_    Pl , Zl E(k)
(a - p)2 + z2
(75)
13
7   Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí 7.1   Polarizace, magnetizace
Když se materiálové prostředí nachází pod vlivem vnějšího elektromagnetického pole, např. mezi deskami kondensátoru nebo v magnetickém poli cívky, rozlišujeme vnější náboje a proudy, pext a jext, a náboje p a proudy / indukované vnějším polem v materiálu. Náboje a proudy uvnitř atomů, molekul, nebo elementárních buňek krystalů, které vyvolávají mnohem větší pole než jsou makroskopická, můžeme zanedbat, když středujeme přes prostorové oblasti podstatně větší než vzdálenost elementárních jednotek materiálu. Středované Maxwellovy rovnice jsou
={p)+p^ mtĚ=-d4
e0 Ot
(76)
—mtB = e0— + (j) + jext div B = 0.
Po ot
E a, B jsou středovaná pole, () označuje středování zdrojů.
Celkový náboj vázaný na prostředí, které je plně uzavřeno uvnitř oblasti V, je roven nule
' (p) dV = 0 (p) = -divP, (77)
iv
přičemž P = 0 vně materiálu. Potom je totiž
í (p)dV = - í divPdV = í P -ndS = 0, Jv Jv Js
kde S = dV. Uvažujme dipólový moment
í x(p)dV = -í xdivPdV = - í x (n ■ P) dS + f (P-V)xdV= f PdV. (78)
Uvažujme nyní uzavřenou plochu S uvnitř materiálu. Celkový proud touto plochou vázaný na prostředí je dán celkovou hodnotou časové změny průmětu vektoru polarizace P
{f).ňdS = _ ľ (MdV= ľ 9divPdV= ľ^.ňds
s Jv ot Jv ot J S Ot
^(J)=rotM+^, (79)
přičemž M = 0 vně materiálu.
/ rot M ■ n dS = 0   protože   OS = 0. Js
V statickém případě je dP/dt = 0. Uvažujme magnetický moment
- / x x (j) dV = - í x x rot M dV = (80) 2 Jv 2 Jv
- í x x (n x M) dS - - í (M x V) x xdV = í M dV.
14
Definice vektorů polarizace P a magnetizace M pomocí momentů je důležitá pro jednoznačnost, jinak by vyhovovaly také P + rot/ a M + grad/. Jako vedlejší výsledek dostaneme ze spojení rovnic (77) a (79) diferenciální (= mikroskopickou) rovnici kontinuity
d(p)
dt
+ div(j) = 0. (81)
7.2 Makroskopické Maxwellovy rovnice
Zavedeme vektory indukce elektrického pole a intenzity magnetického pole jako
D = e0Ě + P, H = —B-M. (82)
Po
Použitím polarizace (77) a magnetizace (79) dostaneme makroskopické Maxwellovy rovnice,
n   a pí 9B
div D = pext, rot E = - —,
01 (83)
- dĎ
mtH = — + jext, divB = 0.
oí
Jak Maxwellovy rovnice ve všeobecné formě, tyto rovnice jsou konsistentní s rovnicí kontinuity
^ + divjext = 0. (84)
V homogenním isotropním lineárním prostředí bez disperse jsou vztahy mezi D a E a mezi H a, B obzvlašt jednoduché, pole jsou úměrná,
Ď = ere0Ě,        H =        B, (85)
kde er je dielektrická konstanta a konstanta fir je magnetická permeabilita materiálu. („Lineární prostředí" znamená, že tyto veličiny jsou konstantní.)
7.3 Energie a impuls elektromagnetického pole
Mějme spojité rozložení náboje p. e označuje energii náboje obsaženého v objemu AV, Ae změna energie při pohybu v elektromagnetickém poli. p a / označují teď externí veličiny.
Ae = F-Ax,        F = pĚAV +jx BAV -—     = j- Ě. (86)
' H J AV At v '
S využitím vztahu
Ě ■ (V x H) - H ■ (V x Ě) = V • (H x Ě) (87) odvodíme z Maxwellových rovnic výraz
f) R f) ľ)
H. — + Ě. — = -j.Ě-f.(ĚxH). (88) 15
Na pravé straně vystupuje vykonaná práce a divergence toku, výraz na levé straně můžeme tedy interpretovat jako časovou změnu hustoty energie. Po zavedení veličin hustoty energie W a Poyntingova vektoru S
W = -[E-D + B-H
S = E x H
můžeme (88) psát jako
d
— / WdV + / j-EdV
ot Jv Jv
S-ndĽ = 0.
dV
(89)
(90)
S má tedy význam hustoty toku energie. Obdobnou úvahu můžeme provést pro impuls. Při přechodu ke spojitému rozložení náboje je
Ap = FAt,       F = pEAV + jxBAV
1 Ap AV At
pE + jxB. (91)
Z Maxwellových rovnic odvodíme výraz
Ďx— + —xB = Ě(y-Ď)-Bx(y x Ě)+H (V • B)-Ďx(y x Ě)-jxB-pĚ.
(92)
Poslední dva členy na pravé straně popisují Lorentzovu sílu, můžeme tedy časovou derivaci na levé straně interpretovat jako časovou změnu hustoty impulsu
G = D x B = erfire0fiQ E x H
n
S,
(93)
pokud první čtyři členy na pravé straně lze psát jako divergence toku impulsu. Zavedli jsme
(94)
c je rychlost šíření elektromagnetických vln ve vakuu, tedy rychlost světla, jak budeme brzo vidět, a n je index lomu, jehož význam bude také zřejmý v souvislosti s šíření elektromagnetických vln. Po úpravě, kdy předpokládáme, že permitivita a permeabilita nezávisí na prostorových souřadnicích, můžeme psát
E V • D - D x  V x E
H V-B) -Bx  V x H
3 d
j=i
d
-ôtJE-D
(95)
a zákon zachování má tvar
4 / G*áV ot Jv
v
pEi + {jxB
dV+     J2 tíj nidS = °- (96) JdvJ=l
16
Definovali jsme Maxwellův tensor napětí Tj jako
Ti j = -{E,, D j + Hi B j) + -ôij(E ■ D + H ■ B).
(97)
Takto definovaný Maxwellův tensor určuje tok impulsu z uvažovaného objemu. Jeho stopa je rovna hustotě energie
w-J2Tn = o.
(98)
8   Integrálni formy Maxwellových rovnic, indukce
8.1   Integrované rovnice
Uvažujeme prostorovou oblast V s okrajem dV a plochu S s okrajem dS. n označuje normálni jednotkový vektor na plochu dV, popi. S, t tečný vektor na dS. Integrujeme rovnici divE = přes objem V, dostaneme podle Gaufiovy věty Gaufiův zákon elektrostatiky.
Q
E-ndS
dv e0
(99)
Když integrujeme rotaci elektrického pole přes plochu S, můžeme uplatňovat Stokes-ovu větu (ŕ je tečny vektor okraje d S):
E ■ t ds
dS
rot E ■ n dS
d_ dtJs
B-ndS.
(100)
Integrál j B-ndS definuje magnetický tok $m plochou S. Odvodili jsme tedy Faradayův indukční zákon: Elektrické napětí v uzavřené drátěné smyčce se rovna minus časové derivaci magnetického toku,
as
- d E-tds = -— $m. ot
(101)
Analogicky dostaneme v statickém případě E = 0
B ■ t ds
dS
rot B ■ n dS = no / j ■ n dS.
s Js
(102)
Integrál na pravé straně představuje celkový elektrický proud J, z toho vyplývá Ampěreův zákon
as
B ■ t ds = fiQ I.
(103)
17
8.2   Aplikace — vzájemná indukce a vlastní indukce
Uvažujeme dvě geometricky pevné smyčky s proměnným proudem ve smyčce 2. Indukované napětí ve smyčce 1 vyvolané změnou pole buzeného smyčkou 2 je
Ui = -%-[ B2-n1dS1,     í B2-ňldS1=i Ä2-dI1,    Ä2 = ^í ^.(104) dt 7(i) 7(i) 7(i) 47t 7(2) ri2
Po dosazení dostáváme
dl2                      Uo  ľ   ľ d£2 ■ d£i
U1 = M12-^, M12 = -^é   6 2 105
dt                     47t 7(i) 7(2) \xi — x2\
Pokud by tekl proměnný proud smyčkou 1, bylo by indukované napětí ve smyčce 2
dl
U2 = M21—-,        Mia = M21 = M. (106) dt
Ale také změna magnetického toku smyčkou 1 vytvoří indukované napětí v této smyčce, stejně platí pro smyčku 2. Obecně tedy můžeme psát
+ <-)
Časová změna energie magnetického pole je rovna záporně vzaté práci
^ = -17, h -U,h = In a§ + 1*lj£ - M í 1*1 + , (108)
dt dt dt \    dí        dt J
takže pro energii magnetického pole je
W = l- Li l\ + l- L2 I\ -Mh h,        U L2 > M2. (109) Energii magnetického pole máme ovšem také vyjádřenou jako
W = - í B-HdV = - í j-ÄdV. (110) 2 Jv 2 Jv
Při odvození obou výrazů v této rovnici je postupně využito vztahů
B = rot Ä,    H ■ rot Ä - Ä ■ rot H = div (Ä x      ,    rot H = j. (111) Vztahu pro energii využijeme pro výpočet vlastní indukčnosti
L =        f B2dV. (112)
Uvažujme dvě solenoidální cívky, každou o N závitech, těsně na sobě. Průřez cívek je S* a jejich délka l. Pole první a druhé cívky jsou tedy přibližně (Ampěreův zákon)
* « B^^Jl (113)
a pro indukčnosti máme Pro energii magnetického pole pak
L!«L2«M«^!^. (114)
W = ^(I1 + I2f. (115)
18
9   Časově proměnná elektromagnetická pole 9.1   Dynamické potenciály, kalibrace
Předpokládáme dynamické potenciály $>(x, t) a A(x,t) a B = rot A. Pak vyplývá z
Maxwellovy rovnice rotE = —B, že i časová derivace vektorového potenciálu přispívá k elektrickému poli
3Ä
B = rotA,        E = —grad0 ——. (116) Dosazení do dalších Maxwellových rovnic vede k
d      -> o A0+-divA =
dt e0
AA - ěoPo-qjj- ~ grad \divA + ĚoPo~^- I = -fMjJ.
(117)
S využitím kalibrační transformace
Ä grady,        </>-►</>-^ (118)
můžeme mít Lorenzovu kalibraci (Ludwig Valentin Lorenz ^ Hendrik Antoon Lorentz)
divl+e0/x0^ = 0 (119) a dostáváme tak pro potenciály nehomogenní rovnice
£>2 A
(120)
Označili jsme rychlost světla ve vakuu c
Rovnice (120) jsou Maxwellovy rovnice pro potenciály, spolu s kalibrací (119) jsou ekvivalentní (5).
9.2   Rovinná a kulová vlna
V případě volného elektromagnetického pole popisují homogenní rovnice odpovídající (120) šíření vln. Vlnová rovnice v jednorozměrném případě popisuje rovinnou vlnu (ve směru x)
d2é(x,t)     1 d2é(x,t) , .
Obecné řešení je
^{x,t) = f(t--^+g(t + -^. (122)
19
Vezmeme jako príklad Gaufiovu funkci / = exp[— (t — ^)2]. Maximum se nachází při t — | = 0, pohybuje se tedy rychlostí c ve směru rostoucího x.
Dalším jednorozměrném příkladem je sféricky symetrická vlnová rovnice v trojrozměrném případě,
lď2(r^(r,t))     l^(r,t) Q r      dr2 c2 dt2
s obecným řešením
^(r,í) = Í/(í-£)+%(í + £). (124)
Na toto řešení se můžeme divat jako na rozbíhavou nebo sbíhavou kulovou vlnu. Tvar řešení také ukazuje, že rychlost šíření je c.
V (lineárním) materiálovém prostředí se nahrazuje eo —► ereo a po —► prpo- Pak dostaneme z rovnice (120) rychlost šíření c/n, když zavedeme index lomu
TI — -\J ďp jJjf.
9.3   Obecné řešení nehomogenní rovnice pro potenciály.
Pro obecné řešení rovnice (120) ještě chybí partikulární řešení nehomogénne rovnice. Zavedeme Fourierovu transformaci časové závislosti potenciálu a hustoty náboje
1 r°°
0(f;í) = _ /    áuj(j)(x,uj)e-'w\ (125) 2n J-oo
1 r°°
p(čc,t) = —       áujp(x,uj)e-'LUlt (126) 2n J-oo
a dosadíme do rovnice (120),
oo
du [ A + z- \ <f>(x, uj) e-iujt =--/    dco p(x, uj) e-'lult. (127)
Exponenciální funkce s různými uj jsou nezávislé, proto platí
/ *     w2\ . p(x,uj)
í A + — J 0(í,^) = (128)
Hledáme Greenovu funkci diferenciálního operátoru na levé straně, definovanou vztahem
(A + k2) G(x, x', k) = —53(x — x'). (129) Řešení této rovnice závisí jen na absolutní hodnotu r = \x — x'\:
G(x,x',k) = G(r,k) =-. (130)
Aur
Důkaz: 1)
(A + k2)--= (-Tr^r + k2 J-- = 0 (131)
20
platí pro r / 0.
2) Násobíme levou stranu testovací funkcí f (x) a integrujeme přes celý prostor. Díky (131) stačí integrál přes infinitesimální kouli o poloměru e kolem počátku,
l3„ffz;\fA   i   7,2a e _   /     j3_í/-\/a   ,   ;„2\ e
á'x f (x) (A + /r)-= /    á'x f (x) (A + k )-. (132)
r Jr<e r
Rozvijeme exponenciální funkci a využijeme A l/r = — Air ô3 (x — x')
í   d3xf(x)(A + k2)(-±ik--k2r±..)=í   d3x f(x) (A-+ k2-± .. )
Jr<t Vr 2 /     Jr<t Vr       r /
= -47r/(0) + O(e2). (133) V limitě e —► 0 tak získáme
(A + k2) ——\ = —ô3 (x — x'). (134) 4n\x — x
±ik\x—x'\
Řešením rovnice (128) je tedy
<p(x,u) = - / d3x'p(x',uj) ——-^7—. (135)
4:71 6q J \x — x
Zpětní Fourierova transformace pro kladné znaménko vede k
1 1 dv Hdu      c-k^) = j_ /dv "U'-L:ř
Mx, t) = —— / dV /   dej;:   \.e    V     c   /=- / dV r"   ' Z V , (136)
87r2e0 J        J-00     |rr — rr | 47re0 J |rr — rr |
kde retardovaný čas byl definován jako
íret = * " J-L- (137)
c
Potenciál časově závislého rozložení náboje vypapdá formálně jako statický potenciál, s rozdílem, že časový argument závisí na vzdálenost \x — x'\, t. j. potenciál a elektrické pole se šíří konečnou rychlostí. Takto získaný potenciál se nazývá retardovaný potenciál, analogicky to platí pro vektorový potenciál.
0ret(f,t) = --      / dV ľK   '        °   \ (138)
47T60 J \x — x
Äiet(x,t) = £° /dVn*';! !7'}- (139)
47T J \x — x \
21
9.4   Pole časově proměnného dipólu
Uvažujme bodové náboje, soustředěné všechny kolem počátku souřadnic. Pak můžeme pro vektorový potenciál psát
(140)
neboli pomocí dipólového momentu
4/rr   V c
p(t) = ^eQxQ(t).
(141)
Skalární potenciál spočteme integrací vztahu (Lorenzova kalibrace)
94 = -c2divA dt
Jednoduchými úpravami dostaneme
div A =
rot A = Skalární potenciál je tedy <f>(x,t)
Pro intenzity dostaneme
47T?'3
Po 47rr3
x x
1 x 4tí€q r3
r\     r ■■/ r
ř»l*--) + -p('--
E{x,t)
47renr3 l ľ2
p (t - - ) ■ x
p [ í--1 x a:
(142)
(143)
(144)
x x
B(x, t) = (t -- \ x x\
Anrd   V c,
plt
Dostatečně daleko od dipólu máme
Ě(x, t) = —^ -3(x,t--)x n, kde jsme označili
p[t-t) + r-p[t
B(x,t) = —-D ( x,t Alte r
D[x,t--) =p[t
x n,
x
n = —.
r
Pro hustotu energie a Poyntingňv vektor platí
1 1
tť \ = -
Po
(145)
(146)
(147)
W = \ ĽE2 + —B2
167r2c4e0 r2
D
Š=-ĚxB=      1 -2D2ň. Ha ibn2cde0 r2
(148)
22
Je přirozeně
^ = en. (149) Příklad: Vezměme rozložení proudu ve tvaru
j(x,t) = 15{x)5{y) sin í— J cos(o;ŕ)ez,        0 < z < L. (150)
Podle (140) a (141) spočteme snadno
p (t) =-        sin(cjŕ) ez (151)
tylo
a podle (147)
-> /        r\       2LIlú                (     r\ ^ . .
D \ x,t--1 =--sin-;/ sinej Ir--1 e^. (152)
Příklad: Rotující náboj v rovině (x,y) v dipólové aproximaci:
p = gro(cos ut, sinujt, 0), (153)
-» qr0uj2
D =--(zsincjŕ, — z cos ut, y cos ut — xs'mujt). (154)
r
Časově středovaný Poyntingův vektor popisuje výkon záření do elementu prostorového úhlu,
(SVt/^co^^í). (155)
lb7Tzcóe0rz r
Celková vyzařovaná energie za sekundu je pak
P=f{š)..RAS = ŕMr ^ {m
kde a označuje zrychlení r0uj2 na kruhové dráze. Táto ztráta energie by vedla k rychlému kolapsu atomů v klasické elektrodynamice.
9.5   Liénardův - Wiechertův potenciál
Ať se nabitá částice pohybuje po zadané trajektorii x = x0(t). Hustota náboje je pak
p(x,ť) = eó^ix-x0(t)). (157) Vzorec pro skalární potenciál přepíšeme jako
0(f,r)  =  — / P[S''5,1 5 (ť - t + |f ~ f /[) dťdV =
47t60 J   \x — x \     \ c J
/ i -> ->l\\
ô [ť - t + 1-l-  dť, (158)
47re0 J R(ť)   \ c
23
kde jsme označili R(ť) = x — x$(ť), R(t') = \R(t')\. S pomocí vztahu
Ö  ť - t
R(ť)\ 5{t'-tr)
R(tr)-v(tr)
R(tr
(159)
cR(tr)
napíšeme výraz pro skalární potenciál jako
(160)
Výraz pro vektorový potenciál je pak obdobně
(161)
Vezměme teď jednoduchý případ pohybu s konstantní rychlostí podél osy x. Podmínku pro nalezení časového zpoždění přepíšeme na
c\t - trf = (x- vtr)2 + y2 + z2
odkud
1        lŕ     t    VX ^
c2 / ' c2 c
(x-vt)2+   1--Uy2 + z2)
Jmenovatel výrazů (160) a (161) pro potenciály můžeme psát jako
v(x — vtr) c(t - tr)--^-- = c
Po malé úpravě pak dostáváme
(f)(x,t)
t
vx
tr
(162)
(163)
(164)
(165)
pro skalární potenciál a
Ä(x,t) = (Ax(x,t),0,0),
pro vektorový potenciál, kde jsme označili
Ax(x, t)
e/i0
47T . /]_ _ r*
(166)
Vektor intenzity elektrického pole je
Ě(x, ť)
47T60 ^Ji _ si r*3
(x - vt,y,z)
(167)
(168)
24
a vektor indukce magnetického pole je
B(x,t) = e-^-jJ=^-^(0,-z,y). (169)
Pro vektor hustoty impulsu pole G = e0E x B dostáváme
e2        1 v
c2
a pro hustotu energie w = (ěqE2 + 52///q) /2 výraz
3^__1_ (x - t;t)2 + (l + £) (y2 + ^2)
327r2e0 1-4 r*
^*) = ^Z2T^^--• (171)
10   Základy teorie relativity
10.1 Principy
Princip relativity: všechny přírodní zákony jsou stejné ve všech inerciálních souřadných soustavách. Inerciální soustavy jsou takové, kde se pohyb dějě s konstantní rychlostí.
Interakce částic se v obyčejné mechanice popisuje pomocí interakční potenciální energie, která je funkcí polohy interagujících částic. Tento způsob popisu v sobě obsahuje předpoklad o okamžitém působení.
Princip konečné rychlosti šíření signálu: Rychlost šíření interakce je konečná. Z principu relativity je tato rychlost ve všech inerciálních soustavách stejná. Z Maxwell-ových rovnic je vidět, že jde o rychlost světla ve vakuu
c = 299 792 458 ms"1. (172)
Toto je exaktní hodnota, určující tak délkovou jednotku jednotkou času.
Sjednocení principu relativity s principem konečné rychlosti šíření signálu je nazýváno Einsteinovým principem relativity.
10.2 Interval, vlastní čas.
Uvažujme dvě události: emisi a absorpci fotonu. V soustavě K je
(x2 - Xl)2 + (y2 - Vl)2 + {z2 - Zl)2 - c2{t2 - rx)2 = 0, (173)
v soustavě K' pak
{x'2 - x\)2 + {y'2 - y[)2 + (4 - z[)2 - c2(ť2 - ťx)2 = 0. (174)
Zavedeme obecně kvadrát intervalu mezi dvěma událostmi (dvěma body čtyřrozměrného prostoročasu) jako
s\2 = c2(t2 - rx)2 - (x2 - Xl)2 - (y2 - Vl)2 - (z2 - Zl)2, (175)
25
popřípadě pro infinitesimálně blízké události
ds2 = c2dr2 — dx2 — dy2 — dz2
(176)
Je-li interval roven nule v nějaké inerciální souřadné soustavě K, je roven nule i v libovolné jiné soustavě K'. Potom tedy musí být
ds2 = k(v) ds'2. (177)
Vzhledem k homogenitě prostoru a času nemůže faktor úměrnosti záviset na souřadnicích, vzhledem k isotropii prostoru může pak tento faktor záviset pouze na velikosti relativní rychlosti uvažovaných inerciálních soustav. Uvažujeme-li tři soustavy K, K\ a K2, dostáváme
ds2 = k(vi) ds2,        ds2 = k(v2) ds2,,        ds2 = k(ví2) ds2,     =>-     ^| 2| = k(ví2),
(178)
a protože levá strana poslední rovnice nezávisí na úhlu mezi vektory rychlostí v\ a v2, zatímco pravá strana může, musí být
k(v) = 1. (179)
Kvadrát intervalu mezi dvěma událostmi (175) nebo mezi dvěma infinitesimálně blízkými událostmi (176) je stejný ve všech inerciálních soustavách.
V předešlých úvahách se připojuje čas přirozeným způsobem k prostoru, proto je výhodně definovat čtyřrozměrný prostoročas či Minkowskiho prostor, v němž se počítá kvadrát prostorového intervalu záporně a kvadrát časového intervalu kladně (nebo opačně). Oznámení událost má význam bodu v čtyřrozměrném prostoručase.
Označme si v soustavě K
tu = t2-h,        4 = (x2-x1)2+(y2-y1)2 + (z2-z1)2 s\2 = c2t\2-í\2. (180)
Zkoumejme, existuje-li taková soustava K', kde by se obě události odehrály v jednom bodě prostoru, tedy že platí £í2 = 0. Máme tak podmínku s22 = c2t\2 — í\2 = c2ť22 > 0,; takový interval se nazývá časupodobný. Naopak požadavek na to, aby existovala soustava, ve které obě události nastanou současně (ť12 = 0), vede k podmínce s\2 = c2t\2 — £f2 = —£'12 < 0,; interval se pak nazývá prostorupodobný. V soustavě, která se pohybuje s daným hmotným bodem (1'12 = 0), můžeme tedy definovat vlastní čas jako
1
,2\ 2
ť2 - t[ = - /   ds = /   h - —    dt (181)
c J si Jti    \ c2
V případě konstantní rychlosti v dostaneme jednoduchý vztah mezi parametrem s trajektorie tělesa a časovou souřadnicí t,
v2
s2 — si = c \ 1---        {t2 — ti),   popř. infinitesimálně ds = c \ 1---        dŕ. (182)
c2
26
10.3   Lorentzova transformace
Soustava K se pohybuje vůči inerciální soustavě K' rychlostí v podél osy x. Z elementárních úvah je zřejmé, že čtverec intervalu s2 = c2t2 — x2 se nezmění při transformaci
ct = x' sinh-í/' + cť cosh-í/',      x = x' coship + cť sinhip, (183)
podobně jako se nezmění čtverec vzdálenosti l2 = x2 + y2 při transformaci
x = x' cos p + y' sirup,        y =—x'sinp + y'cosp. (184)
Pro počátek soustavy K' (bod x' = 0) máme v soustavě K z definice x/t = v, jednak z (183) x/t = ctaxňiip, máme tedy taxňiip = v/c a vztah (183) můžeme zapsat jako Lorentzovu transformaci
v „i i
(185)
Vždy jsou uváděny dva klasické příklady na použití vztahu (185).
(a) V soustavě K je podél osy x v klidu měřítko, jehož dvě rysky mají v této soustavě souřadnice x\, x2. Vzdálenost (klidová) rysek je tedy Ax0 = x2 — x\. Vzdálenost v soustavě K' (souřadnice jsou určovány ve stejném čase t[ = ť2) je Ax =
Ax0^Jl —      Mluvíme o kontrakci délky.
(b) V soustavě K' se v časech t[ a ť2 odehrají dvě události v jediném místě x[ = x'2, y[ = y2, z[ = z2 (interval mezi událostmi je tedy Aíq = ť2 —1[). V soustavě K je inter-
val mezi těmito událostmi At = t2 —1\ = Aíq j y 1 — ^ • Mluvíme pak o dilataci času.
Vztah (185) IIlŮZGIIlG ZcipSclt i v diferenciálním tvaru
cdť + ^dx'      n      dx' + vdť      ,      , ,      ,      , ,        , , cdt =-.        —,    dx = —. ,    dy = dy ,    dz = dz . (186)
Pro transformaci složek vektoru rychlosti (w = dx/dt, w' = dx'/dť) dostaneme z (186) vztah
W'x+V ^   _™'y^Í „, _<fi
wx = ~x V ,       wv = -r-21,       wz = —^-t^—. (187)
w'xv ' y 1     I     W'x V       ' * 1     I '^lH
c2 c2 1 C2
Sledujeme-li šíření světelného paprsku v rovině (wx = ccosů, wy = c sinů, wz = 0 resp. w'x = ccosů', wy = c sin-ŕ?', w'z = 0), dostaneme vztah (aberace světla)
1 ,2
sint? = —s——c— sinů'. (188) 1 +   cos ů> y '
c
Pro «/cC 1 položíme ů = ů' — Aů a porovnáním nejnižšího členu Taylorova rozvoje dostaneme obvykle uváděný vztah
Atf = -sintf'. (189)
27
10.4   Ctyřvektory, čtyřtenzory
Nejprve definujeme podstatné tenzory. Metrický tenzor v Minkowskiho prostoru a jednotkový tenzor jsou
9ik = 9
( 1 0     0     0 \ 0-10 0
0 0-10
V o o   o -i y
^ 1 0  0  0 ^
0 10 0
0 0 10
V o o o i y
(190)
Qik se nazývá kovariantní metrika, inversní metrika gtk se nazývá kontravariantní. Dále definujeme kontravariantní a kovariantní úplně antisymetrický tenzor 4. řádu je definován pomocí vztahů
éklm   (e0123 = 1); (eol23 = _l). (191)
Čtyřvektor souřadnic události (kontravariantní a kovariantní) zapisujeme jako xL = (x°, x1, x2, x3) = (ct,x), Xi = (x0,x1,x2,x3) = (ct,—x). (192)
Metrika nám udává invariantní prostoročasovou „délku" vektoru x%
(193)
Přitom platí
Xi=gikxk, x^g^Xk (194)
(zvednutí a spuštění indexů = transformace mezi kontravariantními a kovariantními indexy).
V čtyřrozměrném zápisu můžeme Lorentzovu transformaci (ve směru x) (185) psát ve tvaru
(195)
s Lorentzovou maticí
A1
xl = K\ x'k
( 7   -cl  0  0 \ -cl   7   0 0 0    0 10
V o   o o i y
kde 7 je běžné zkrácení
7 :=
(196)
(197)
10.5   Čtyřrychlost a čtyřzrychlení
Definujeme čtyřvektor rychlosti přirozeným způsobem jako derivaci čtyřvektoru událostí, ze kterých se skládá světočára (čtyřrozměrná trajektorie) tělesa, podle parametru s (= c krát vlastní čas)
u
dxl ds
u
i - K cJi - K
iŕ Uj = 1.
(198)
■u* je tedy tečným vektorem světočáry. Obdobně čtyřvektor zrychlení
áuL d2x%
ds ds2
u%ai = 0. (199)
Podívejme se na relativistický popis pohybu s konstantním zrychlením. V souřadné soustavě, kde rychlost částice je momentálně nulová (v = 0), máme
*4 = (1,0,0,0), <4= (0,^,0,0), (200)
kde a je obyčejné zrychlení. V souřadné soustavě pohybující se rychlostí v ve směru x je rychlost a zrychlení
l            v            \                  (    —— — ul = I —;^=,    .        :,0,0   ,        ď =\—c3dt  9,-&-9,0,0 I. (201)
1 \ c
Po malé úpravě (z rovnosti ) dostáváme
d / v
i _2l
1 „O
a. (202)
S počátečními podmínkami v0 = 0, x0 = 0 dostáváme řešení pro konstantní zrychlení
oi c- (Ji + ía-í)2
v = ^=7^-        x = ^\V + \~) _ (203)
10.6   Relativistický impulz
Jak v klasické mechanice, tak existuje i ve speciální teorii relativity princip nejmenšího účinku. Jako invariantní a jednoduchý účinek bodové částice se nabízí integrál vlastního času podél světočáry. Abychom v nerelativistické limitě dostali pro účinek známý nerelativistický výraz, musíme konstantu úměrnost zvolit rovnu —mc, tedy
S = -mc [b ds = -mc2 j[  y 1 ~ "T dí- (204)
Lagrangeova funkce a impuls jsou
9 /      v2                 ^    OL        m v .
L—m^l-f,              f=- = -j—. (205)
S volbou faktoru —mc dostaneme v přiblížení «<c
1-^1= —--mc2, (206)
29
tedy nerelativistickou Lagrangovu funkci volné částice minus konstantu mc2, která je bez významu pro pohybové rovnice klasické mechaniky. Hamiltonova funkce je pak
m c2
v prípade v <C c dostaneme
H = p ■ v - L =   . = Jp2c2 + m2é- (207)
9
H « mc2 -\--—, (208)
t. j. klidová energie hmoty + nerelativistická kinetická energie. Z hamiltoniánu a impulsu skládáme čtyřimpuls
p1 = ^—,pj = mciŕ, plpi = m2c2 (209)
a zavedeme čtyřvektor sily
ľ = ^=  ( a,-Ť^l, f^ = 0- (210)
11 Náboj v elektromagnetickém poli 11.1   Pohybové rovnice
Účinek nabité částice v elektromagnetickém poli je dán vzorcem
S = -mc ŕds-e ľ Aiáx\ (211)
kde jsme zavedli čtyřpotenciál
A* = ff, A) .
Lagrangeova funkce a zobecněný impuls jsou
(212)
/ —> —*     d L TTl v —* —*
L = -mc2\l - — + eA-v-ecf),        P = — =   ,    '    + eA = p + eA, (213)
V C2 OV h _ £1
hamiltonova funkce je
H = P -v - L =   . + e0 = Jm2c4 + c2(P - eA)2 + e0. (214)
Z vektorové analýzy budeme potřebovat identitu
v(a-S) = (a-v)ď+ (&• V)a + 6x (v x a) + a x (v x b) . (215)
30
Je pak
VL = eV [A ■ v - eV0 = elv-V) A + evx (V x A - eV0
_(p + e/1)=- + £-+£(1,v)A
Lagrangeova rovnice je tedy
kde jsme označili
Ve čtyřrozměrné notaci je
dp
-JĹ = e E + v x B
OA
E = -V(j>-—,        B = VxA. ot
fb rb
ó S = —mc / óds — e 5 I A~ dx\
Variace elementu délky je
ôds = 5Jgikdxldxk
Qík dxl ôdxk ds
Uk6dxh
variace vektorového potenciálu
ô A* = ^ ôxk.
OXK
Použitím toho a integrací per partes dostaneme
ô S =       mcôx1 dui + e——^ ô x1 dxh — e——^ ôxh dxl   — (rncui + e Aj) ô x1
Ja   \ O X OX I
Z toho vyplývají pohybové rovnice
dui ds
mc —— = e Fik uk
s definicí tenzoru F,;
ik
dAk dAt
ik
dx"1 dxk
Prostorové složky pohybových rovnic popisují Lorentzovu sílu (217).
31
11.2   Tenzor elektromagnetického pole
V minulém podkapitoli jsme zavedli tenzor elektromagnetického pole
/     q E*        Ey_        Ez_    \ /   q _Ey_ ^
o
-BT
F
-Bz Bv
^ B7
0
(225)
\f-ByBx      0 J
-Bz B,,, 0
V -f   -5,    5.      0 )
Při Lorentzově transformaci se tenzor elektromagnetického pole transformuje podle vztahu
Ftk = AJm A* F'mn. (226)
Při Lorentzově transformaci ve směru x s maticí A[, (196) dostaneme následující transformační vztah tenzoru elektromagnetického pole
yik
pno
7 / p'20 + - F'211
0
121   i   v 77/201
/31   i   u ev3ct
7 í_p'12 _|_ v. F'Q2' 0
i?'32
Převedeno do vektorů intenzity a indukce platí
=       £, = i(E'y + r/n.   £z = 7(^ - r/;;ř:..
7 fp/03 + £ ^13^ ^ 7 (_p'13 + £ ^/os i?'23
0
BX = BÍ,    By = 1(B'y-j2E'^,    Bz = 1[B'z + ^E'y
J
(227)
(225
V nerelativistickém přiblížení (v/c —► 0) přechází (228) na
Ě = Ě' — v x B\        B = B'.
(229)
Invarianty pole můžeme zkonstruovat z tenzoru pole. Poněvadž je antisymetrický, zúžení nedává nic a máme až kvadratické výrazy
1
gimgknFikFmn = FikF
ik
1I1V,
2
/ikniri rp rp
£ ik £ mn
Fik *F   = inv.
(230)
Duální tenzor vyjádřený pomocí intenzity elektrického pole a indukce magnetického pole má tvar
/ o
*Fik
Bx
By
B7
—Bx	-By	-Bz \
0	Ez c	Ey_ c
Ez c	0	Ex c
_EjL c	Ex c	0 )
32		
(231)
Invarianty mají pak vyjádření
( E2     ^ \ E ■ B
Flk Fik =-2 [ — - B2) ,        Flk *Flk = 4—. (232)
12   Záření zrychlených nábojů 12.1   Liénardův-Wiechertův potenciál
Počítáme potenciál pole, vytvářeného jedním nábojem, který se pohybuje po trajektorii x = x0(t), v čase t v bodě P(x, y, z). Potenciál je dán stavem pohybu částice v čase ť, pro který platí (doba potřebná pro šíření světelného signálu)
c(í-ť) = R(ť) = \x -x0(ť)\. (233)
V souřadné soustavě, ve které je částice v čase ť v klidu, máme právě Coulombův zákon
«*'t) = ů;wv   ií(í,í) = a (234)
Podmínku (233) zapíšeme ve čtyřrozměrném (kovariantním) tvaru jako podmínku toho, že interval mezi událostmi „emise fotonu" (cť,ô?o(ť)) a „absorpce fotonu" (cb,x) leží na světelném kuželu, tedy pro rozdíl čtyřvektorů událostí Rk = (c(r — ť),x — x0(t')) platí
Rk Rk = 0. (235) Pomocí tohoto nulového čtyřvektorů a jednotkového čtyřvektorů rychlosti částice
u' = I   ,     >|2,    L    ni ) ,    v = v(ť) = ^P-,    ulUl = \ (236)
se pokusíme zapsat čtyřvektor potenciálu pole tak, aby pro v = 0 (tj. pro čtyřvektor u% = (1,0)) přešel do tvaru (234). Z možných kombinací snadno nalezeme výsledek
Aí=(*,ä)=    6     u* (237)
Pokud nevypisujeme explicitně argumenty, musíme mít na pamětí, že levé strany vztahů jsou uvažovány v čase t, pravé strany v čase ť. V trojrozměrném značení pak má (237) tvar
<(> = ---r^-^,        Ä=e-^—^—. (238)
Výsledek (238) je přirozeně stejný jako (160) a (161). Při výpočtu polí
3Ä
E = -V(f)- —,        B = VxA (239)
33
budeme potřebovat následující triky pro výpočet parciálních derivací: Derivováním vztahu (233) podle t dostáváme
dR _ dR dť ~ďt ~ ~ďť~ďt
R-vdť ~R~~ďi
cl
~ďt
dť
dt   i _ m
1 cR
Obdobně derivováním vztahu (233) podle x dostáváme
i /x    dR _± ,    R     _± , R
-cVť = VÄť = — Vť + -     Vť =----
dť R cR (1 -
v-R
cR
(240)
(241)
Výraz pro potenciály ve (239) pak budeme chápat jako funkce f(x,ť), a budeme počítat parciální derivace podle x při konstantním ť a podle ť při konstantním x. Porovnáváním diferenciálů
df df df = V f • dx + -4- dt = Vf • df + -i-dť ^ «9í <9ť
^+^ť')'dř+ffdť <242>
přepíšeme (239) jako Ě
<9ť
<9ť <9r
5 = V x A(x, ť) + Vť x     v ' ;
Pro intenzitu elektrického pole dostáváme pak
1 - 2
47rer
n
dť
n x \ \n
x w
R2 1
c2i? (1 - v-f
zatímco pro indukci magnetického pole pole
B = - n x E = -
C 47T
1-M (tf x n)
R2 1
3--h n x
n x I I n — -c ] x w
cR 1
(243)
(244)
(245)
Označili jsme jednotkový vektor n = f?/f? a zrychlení w = dv/dť. Limitní případy pro v/c —► 0 jsou
E
en
Ane^R2
B
e^oiv x n) AnR2
(246)
12.2   Intenzita záření
Poyntingův vektor (energie, procházející jednotkovou plochou za jednotku času, dimenze [Jm_2s-1]) je
Š = —É x B = e0cE2n (247) Po
34
a intenzitu záření (tj. energie, vyzařovanou za sekundu do elementu prostorového úhlu, [Watt]) spočteme tedy jako
dl = lim S-ňfířdSl. (24Í
Po dosazení z (247) a (244)
2(ň ■ w)(v ■ w) w2 {l-^){n-wf
dl
e2
167r2eoC3
díl (249)
Pro -u/c —► 0 dostáváme s označením n-w = w cos£ pro celkovou vyzařovanou intenzitu
g2w2    r2n     rn                           g2 w2 1= 1fi 2    3 /   dr; /  d£sin£(l-cos20 = 7-3. (250)
V klidové soustavě částice je tedy (s označením I = dE/dt)
e2w2 ^    ->       •     dxl     , •     du%     (   w\ , .
Relativisticky invariantní výraz (tj. diferenciál čtyřvektoru impulzu) vytvořený z čtyř-vektorů rychlosti a zrychlení, který v klidové soustavě přejde na výrazy ze vztahu (251), je pak (m = 1)
i     (E   \ { e2   dukduk    i e2   duk duk ■
p =   — ,p  ,        dp =----dx =----u ds. (252)
V c    / Qneoc ds ds Qneoc ds ds
V laboratorní soustavě tedy máme pro celkovou vyzařovanou intenzitu výraz
p2   w2 - (w x ^-Y
{       rl (253)
6irenď     íi _ vl V c2
3
Zde jsme potřebovali vyjádření čtyřvektoru rychlosti i zrychlení v laboratorní soustavě. Abychom nemuseli při výpočtu čtyřvektoru zrychlení užit obecné Lorentzovy transfor-
72
mace, vypočteme uf derivováním známého tvaru u% = yí/y 1 — ^2,v/ \ c\Jl potom
■     {      v ■ w w v(v-w), ,
U3fl-^     C2   l-\ C^fl-í
V homogenním magnetickém poli se nabitá částice pohybuje rychlostí v po kružnici poloměru R, její zrychlení w = v2/R je kolmé k rychlosti. Dosazením do vztahu (253)
g2c    ÍJl.Y^-^íJL\ (255)
Qneoc3     ^ _ ^      67reo-R2 \mcj      QneoR2 \mc
V posledním výrazu ve (255) jsme použili aproximace vysokých energií, kde pro kinetickou energii platí T = \/p2c2 + m2c4 — mc2 »2 pc. Z tohoto výrazu je také zřejmé, že
35
synchrotronové záření je omezujícím faktorem při urychlování lehkých částic (elektronů a positronů). Pro normovací hodnotu Rq    0, 5 km můžeme psát I « (Ro/RfiT/mc^eVs-1.
Jsou-li rychlost a zrychlení v určitém okamžiku rovnoběžné, dostáváme (n • v = vcosů, rychlost podél osy z) pro úhlové rozložení záření výraz
dl
e2w2
sin2 ů
167r2e0c3 (1 _ ,CQS^
■ da
(256)
Pro hodnoty v/c —► 1 má úhlové rozložení velmi úzké, ale „dvouhrbé" maximum kolem ů = 0. Jsou-li rychlost a zrychlení v určitém okamžiku navzájem kolmé, dostáváme (n ■ v = v cos ů, n • w = w cos ip sin ů, rychlost podél osy z a zrychlení podél osy x) pro úhlové rozložení
dl
e2w2
16n2eoC3
sin2 ů cos2 íp
1 - ^COSÍ?
c
1 - '^COfiŮ c
díl.
(257)
13   Maxwellovy rovnice v čtyřrozměrné formulaci
13.1    Čtyřrozměrný vektor proudu, rovnice kontinuity
Definujeme čtyřvektor proudu (pro částici: náboj krát čtyřrychlost)
dxl ~át
(cp,pv) = (cp,j).
Náboj, který ubude v nějakém objemu, můžeme zapsat dvojím způsobem
d
dt
pdV = f ]■ ndS.
S pomocí Gaufiovy věty pak z (259) plyne
'v.f+|W = o,
(258)
(259)
(260)
tedy (objem je libovolný) rovnice kontinuity
_±  _   dp df
V • f + — = — = 0.
J    dt dx*
(261)
13.2   Homogenní Maxwellovy rovnice
Z vyjádření tensoru elektromagnetického pole pomocí potenciálu snadno odvodíme platnost vztahu
OF,;, dFr
kl
dFu
dxl      dxl dxk
0.
(262)
36
Na levé straně je úplně antisymetrický tensor třetího řádu, představuje pouze čtyři různé rovnice. Zřetelněji je to vidět, užijeme-li zápis duálního (pseudo)vektoru
2       dxk dxk
(263)
Nultá komponenta dává tvrzení o nezřídlovém charakteru magnetického pole, další tři komponenty Faradayův indukční zákon
V -B = 0,
^    pí dB
(264)
13.3   Nehomogenní Maxwellovy rovnice
Čtyřrozměrný zápis nehomogenních Maxwellových rovnic, obsahujících hustotu náboje a proudu, je
q pík dxk
~PoJ ■
(265)
Nultá komponenta je rovnice pro divergenci intenzity elektrického pole (Gaufiova věta elektrostatiky), zbývající tři pro rotaci magnetického pole (Ampěreův zákon)
_i p -     -     1 dE
e0 c2 ot
(266)
13.4   Tensor energie-impulsu
Z hustoty energie
W = \ (e0Ě2 + — B2 2 V ,
z Poyntingova vektoru
a z Maxwellova tensoru napětí
S = —E x B Po
(267)
(268)
vaß = £oEaEß H--BaBß — Wöaß
Po
(269)
elektromagnetického pole (ve vakuu) můžeme sestavit čtyřrozměrný tensor energie-impulsu,
W     ±S0 \
lq ľ (27°)
Pomocí tensoru elektromagnetického pole dostáváme jednoduchý výraz
T
ik
T*k = — í-gimFaFkm + -ďkFlmFlm
po y 4
(271)
37
Tensor energie-impulsu soustavy částic zapíšeme pomocí analogie s tensorem energie-impulsu elektromagnetického pole. Hustotu impulsu soustavy částic napíšeme jako
na = iicua,        i2 = J2maô(3)(x-xa). (272)
a
Hustota impulsu je u elektromagnetického pole rovna hustotě toku energie dělené c2. Výraz (272) bude tedy analogicky roven T0a/c. Veličina fic je nultou komponentou (stejně jako hustota náboje u čtyřvektoru proudu) čtyřvektoru toku hmoty fidxt/dt. Tensor energie-impulsu tak můžeme konečně psát jako
Tik = fj£—— = ficuiuk — ,        Tk = Tk\ (273) ds dt dt
Pro tensor energie-impulsu elektromagnetického pole dostaneme s využitím Maxwell-ových rovnic
f) Wlk f) F
Ur      _      ..   J iklmurlm _ n (07A\
výraz
d T^k = _Flk^ (275)
dxk
Pro tensor energie-impulsu soustavy částic dostaneme s využitím pohybových rovnic
/xc ^ = p F*k uk & f,c ^ =     Jk (276)
a rovnice zachování hmotnosti (rovnice kontinuity pro čtyřvektor toku hmotnosti, podobně jako pro čtyřvektor proudu)
9   f^)= 0 (277)
dxk \ dt
výraz
9 Tk = rkJk^ (27í
dxk
Spojením (275) a (278) dostáváme zákon zachování
A. (jf + jf) = 0. (279)
Pro tensor energie-impulsu platí (rovnost právě pro elektromagnetické pole)
TÍ > 0. (280)
38
14   Elektromagnetické vlny 14.1   Vlnová rovnice
Vezmeme nehomogenní Maxwellovy rovnic ve vakuu (p = 0, j = 0) a dosadíme vyjádření pole pomocí potenciálů
dxk      ' y dxi     dxl) '
.. d2Ak       i,? d2^
0tJ —=--9 -= 0.
dxi dxk        dxk dxl
Lorenzova kalibrační podmínka (119) nabývá formu čtyřdivergence
dAk
(281)
dxk
a zjednoduší (281) na vlnovu rovnici
d2 A{
0 (282)
Pomocí ďAlembertova operátoru
ŕ Ú% = °- (283)
□ = A-i^ (284)
máme pak ve třírozměrném zápisu
1^ + V-1=0, 00 = 0, UÄ= 0. (285) c2 ot
Vlnové rovnice, spolu s Lorenzovou kalibrační podmínkou, jsou ekvivalentní Maxwell-ovým rovnicím pro volné elektromagnetické pole. Konsistence kalibračních podmínek s rovnicemi pole se dokáže takto:
1) Zvolíme Lorenzovu kalibraci dkAk = 0 na počáteční nadploše t = 0.
2) Řešíme rovnici D Ak = 0.
3) Protože Ak je řešení vlnové rovnice, platí
^ dkAk = Ä() + V A = AA() + V A = V ( VA() + A ) = -VE = 0.
d
— okŕ\    = ŕ\q -|- v ŕ\ = LASíq -|- v ŕ\ =  v  iv r\q
ot
dkAk = 0       a       ^ dkAk = 0
d
pro ŕ = 0.
4) Když Ak je řešení vlnové rovnice, pak je dkAk také řešení:
UdkAk = dkU Ak = 0.
5) Z toho vyplývá, že dkAk = 0 všude.
39
14.2   Rovinná monochromatická vlna
Řešení hledáme ve tvaru rovinné vlny, tedy konstantní čtyřvektor násobený komplexní jednotkou
Ä1 = ReK exp(ikjXj)},        k,t k1 = 0,        k,t a1 = 0. (286)
Poslední vztah ve (286) je dán Lorenzovou kalibrační podmínkou. Čtyřvektor impulsu zapisujeme jako
kl=^-,kj,        k = ~ň'        n=l. (287)
Velmi jednoduše popíšeme pomocí charakteristik rovinné monochromatické vlny Dop-plerův jev. Mějme zdroj světla, který je v klidu v soustavě K0. Soustava K0 se pohybuje vzhledem k laboratorní soustavě K rychlostí v. Ať je úhel mezi směrem pohybu zdroje a směrem šíření světla a. Potom platí
o  _ k°-^ck- _ u(0) . n u)
k[>  —        c       k[>  —   y ' k
r.2
C
, 1 fcl ~ck°      ,1 ^(0) , 1 ^
k(o) = —[^==11   k(o) =   ^   cosa(o), fc^-cosa.
(288)
a odtud
" = "(o) -iv (289) 1 — - cos a
c
Pro rychlosti malé ve srovnání s rychlostí světla máme
2
[v lv .
uj    U(0) I 1 H— cos a + - — cos 2a I . (290)
Tensor energie-impulsu je
c2 1
Tk = — W k'kk, W =-
u)2 2/xq
ď a* + Re j a* aj exp (2ikj xj^j } . (291)
Ve střední hodnotě podle času je druhý člen ve výrazu pro hustotu energie roven nule. Oba invarianty (232) jsou rovny nule.
Se speciální volbou kalibrace (spojené ovšem s jednou určitou inerciální souřadnou soustavou) máme
A1 = (0, A),   A = ay cos(ut — kx + a)ey + az sin(c<jr — kx + ot)ez,
E = uay sin(c<jr — kx + ot)ey — uoaz cos(ut — kx + ot)ez, (292) B = kaz cos(ujt — kx + ot)ey + kay sin(c<jr — A;x + a)ez. Eliptická polarizace takové vlny je vidět ze vztahu
Ev   ,   El  _i Bí   ,   5* (293)
uj2a2    uj2a2 k2a2 k2a2
40
14.3   Rozklad elektrostatického pole bodového náboje
Potenciál bodového náboje (Coulombův potenciál) vyhovuje rovnici
A0(f) = -^-ô{3\x). (294)
Uvažujme Fourierovu transformaci
d3A;
W)
Máme dvě vyjádření pro Fourierovu transformaci působení Laplaceova operátoru
/— —* —*       d^ k ~ —* ~ —*
-k2(j)(k) exp(ik ■ x)-—- (A</»(fc)) = -k2(j)(k), (2n)0
A0(f) = -- / exp(ifc • x)-— (A0(fc)) = -± e0 J                 (2ti)0 e0
Porovnáním obou vyjádření dostáváme
x) = j (f)(k) exp(ifc ■ x) /o     ,        (f)[k) = j (f)(x) exp(—ik ■ x) d3x. (295)
0(fc) = (297)
14.4   Vlastní kmity pole
Uvažujme objem V uzavřený v hranole o hranách délky A, B, C a kalibraci 0 = 0, V • Ä = 0. Máme
Ä=Y,Ä,;exp(tk-x),        k-Ä,; = 0,        Ä_n = Ä*n, (298)
k
přitom
27m.E 2imy 2nnz
kx =        ,        ky =   g  ,        kz =        , (299)
kde r^, n^, nz jsou celá čísla. Fourierovy složky vyhovují rovnici
+ ^ = O- (300)
Jsou-li rozměry A, B, C zvoleného objemu dostatečně velké, jsou sousední hodnoty kx, ky, kz velmi blízké a můžeme uvažovat o počtu možných stavů v intervalu hodnot vlnového vektoru
ABC Anx = — Akx,        Any = — Aky,        Anz = — Akz, 2n 2n 2n
(301)
A A A A T T ^^ky ^^/lg
An = Anx Any Anz = V
(27t)
41
Pro pole dostaneme s potenciálem (298)
->      dÄ           dÄ^        -> ->    ->     -> ->    -> ->
E = -— = -            exp(ik -x), B = V x A = iJ2k x Ak exp(ik ■ x). (302)
k k
Celková energie pole je
1 ľ (   -2     1 -2\ V^í   dÄr   dÄ*r     1  ,^ —» \    / —»
€ = -    U0E  +-B )dV = -j: e0^.-t + -(kxAA.(kxAl
2 J y      ' fiQ    j   '      2 dí     dr   ' /íq v        fcy   v fc
(303)
Jednoduchou úpravou (využití kalibrační podmínky) přepíšeme výraz (303) na
^^(f'f+^-V^).       ut=c|ř|. (304)
Rozklad potenciálu (298) obsahuje jak stojaté, tak postupné vlny. Vhodnější pro interpretaci je rozklad potenciálu, který obsahuje jen postupné vlny
^4 = E [<% exp (i (k ■ x — iokrj ) + a| exp    i (k ■ x — iokŕj ) • (305) k
Porovnáním (305) a (298) dostáváme
Aj: = aj: exp(—iookt) + a*g exp(iujkt). (306) Dosazení (306) do (304) umožňuje teď napsat energii pole jako
£ = E % = 2^eo ^ H ■ ai. (307)
k
Obdobně dostaneme pro impuls
? = ±/(SxS)d„ = ?|f. (308)
Nakonec zavedeme kanonické proměnné
Q k = V7*^7 (a^exp(-iu}kt) + ai exp(iukt)^ ,
Pj: = -iuj^^/eôV (%exp(-icjfcr) - a| exp(iujkt)^j
dt
(309)
V těchto proměnných máme energii vyjádřenou jako energii souboru harmonických oscilátorů
£ = E% % = \{pš + «>IqD- (31°)
k
42
15   Rozptyl záření volnými náboji 15.1   Thomsonův vzorec
Zavedeme pojem účinného průřezu. Ať dl značí intenzitu záření, tj. střední hodnotu energie vyzařované soustavou za jednotku času do elementu prostorového úhlu díl a S je střední hodnota Poyntingova vektoru (střední hodnota toku energie) dopadajícího záření. Potom je diferenciální účinný průřez (účinný průřez rozptylu do elementu prostorového úhlu díl) veličina rozměru elementu plochy
dl , .
d* = ^- (311)
Uvažujme ted' rozptyl elektromagnetické vlny jedním jednotkovým volným nábojem. Budeme předpokládat, že rychlost získaná nábojem bude malá a že vlnová délka je mnohem větší než amplituda vyvolaných kmitů náboje okolo původní polohy (kam umístíme počátek souřadnic), tedy můžeme psát
m—— = eĚo cos (k ■ x — ut + aj « cĚq cosíut — a). (312) dt2 v '
Pro intenzitu dipólového záření kmitajícího náboje máme podle (148) ve směru ň
4 4
dl = _ 26   2 AĚQ x n|2cos2(^t - a) díl = qo   6        E2 sm2ůdQ (313) 1ô7t2 e0m2có 62'K2eQm2ci
a pro střední hodnotu Poyntingova vektoru dopadající vlny
S = ceo E0 cos2(iot — a) =—ceo E0, (314) takže pro diferenciální účinný průřez je
=2 \2
,2„
da = I sin2?? díl (315)
v47re0 mé
Celkový účinný průřez je pak dán Thomsonovým vzorcem
8tt /    e2     \ 2    8     9 , .
3 \47re0mc^/ 3
kde re je klasický poloměr elektronu.
15.2   Modifikace Thomsonova vzorce
Uvažujme nyní nikoliv volný náboj, ale tlumený oscilátor, tedy
7——h cj0 x = —Eq cos ují. (317)
dŕ2       dŕ      u m
43
Pro dipólový moment p = ex odsud dostáváme
e2 (ĺJq — u2) cos cot + ^yujsmujt
P =--T~2-2^-2~2- e°- (31^
° —   o   re /, .2      . ,2\2   ,   .,2, ,2 ' ^19)
Celkový účinný průřez je v tomto případě
3 'e (w2 - uj2)2 + 7V
16   Index lomu
Definujeme polarizovatelnost ol(uj) jako konstantu úměrnosti ve vztahu mezi (lokálním) elektrickým polem E\oc a dipólovým momentem p. Vyjdeme z komplexního zápisu (317)
d. 30      d.iř/      o_       c   *        ,       , , ,
377 + 737 + "o1 = — -Eiocexp(-iwŕ). (320) atz       at m
Potom
e2 1
p = e0 a(w) Eioc, a(u) =----:--. (321)
e0m ĺJq — vyui — ujz
Polarizace je pak P = N p. Musíme ovšem uvážit, jaké pole působí na náboj. Připomeňme z elektrostatiky, že je-li v dielektriku s homogenním polem dutina, je lokální pole rovno
Ěloc = Ě,       Ěloc = Ě + -P,       Ěloc = Ě + ^-P, (322)
eo 3e0
podle toho, jde-li o štěrbinu podél nebo napříč pole nebo o kulovou dutinu. (V případě štěrbiny napříč pole máme E\oc = ^D.) Pro úplnost poznamenejme, že pro magnetické pole máme v podobné situaci
Bloc = B-M,        Bloc = B,        Bloc = B-^M. (323)
Pro dielektrika uvažujeme o vázaných nábojích uvnitř kulové dutiny, můžeme tedy psát
Na
P = T-^^ <324>
a pro index lomu (za velmi častého předpokladu h(uj) = po)
o N a ,
n=l + T^TW7t (325)
Obvyklá forma tohoto vztahu je (Clausius - Mosotti)
n2 - 1
3 —-= Na. (326)
n2 + 2 y '
44
Ve vodiči uvažujeme o téměř volných elektronech (nevázaných k atomu, tedy cjn = 0) a dále máme pro konstantu 7 (ze dvou různých vyjádření proudu a zápisu změny impulsu za dobu mezi srážkami)
Ne2
j = aE,        j = NeVd,        mvďy = eE   =>•   7 =-. (327)
m a
(vd je zprůměrovaná rychlost elektronů - drift.) Také lokální pole je rovno vnějšímu, opět díky neustálému pohybu téměř volných elektronů. Odtud máme pro index lomu
-2 = 1 "   2 2a,        < = —• (328)
P   O" J
ujp je tzv. plasmová frekvence.
45