DIFRAKCE si rozebereme později. Předpokládejme však, že víme, že část svěda se odrazí jak při vstupu tak i výstupu z odrazivého prostředí. Podíváme-li se na odraz svěda na tenké vrstvě, vidíme součet dvou vln. Je-li doušťka vrstvy dostatečně malá, dojde k interferenci těchto dvou vln, konstruktivní nebo destruktivní, v závislosti na znaménkách fází. Může se například stát, že pro červenou barvu dostaneme zesílený odraz, ale pro modrou, jež má jinou vlnovou délku, dostaneme zeslabený odraz v důsledku destruktivní interference, takže vidíme jasný červený odraz. Změníme-li doušťku, tj. podíváme-li se na jiné místo, kde je vrstva dustší, může to být naopak - červená se zeslabí, ale ne modrá, takže obraz zdroje je jasně modrý nebo zelený nebo žlutý nebo jiný. Proto při pohledu na tenké vrstvy vidíme barvy a ty se mění, díváme-li se z různých úhlů, neboťjiž víme, že fázové rozdílyjsou různé pro různé úhly. Tak umíme pochopit mnoho dalších případů, když při různých úhlech vidíme barvy na olejových vrstvách, mýdlových bublinách apod. Princip je však vždy stejný - sčítají se vlny s rozdílnými fázemi. Vzpomeneme i další důležitou aplikaci difrakce. U mřížky jsme viděli na plátně difrakční obrazec. Kdybychom použili monochromatické svědo, nacházelo by se maximum na určitém místě. Byla by tam i další maxima vyšších řádů. Z polohy difrakčních obrazců bychom mohli určit vzdálenost rýh na mřížce, kdybychom znali vlnovou délku svěda. Z rozdílů v intenzitě mezi jednodivými obrazci bychom mohli zjistit profil rýh tvořících mřížku - aťjsou to drátky, pilovité rýhy nebo něco jiného, a to aniž bychom mř&ku viděli Stejný princip se používá při identifikaci polohy atomů v krystalech. Jedinou těžkostí je, že krystal je trojrozměrný útvar - opakující se trojrozměrné uspořádání atomů. K tomu nemůžeme použít obyčejné svědo, ale něco, co má vlnovou délku menší než je vzdálenost mezi atomy, neboť jinak nedostaneme interferenci. Musíme proto použít záření s velmi krátkou vlnovou délkou, tj. rentgenové záření. Osvědíme-li krystal rentgenovým zářením a všimneme si intenzity odrazu v různých řádech, můžeme určit, jak jsou uspořádány atomy v krystalu, aniž bychom je viděli okem. Tak poznáme uspořádání atomů v různých látkách a to nám umožnilo nakreslit v 1. kapitole rozložení atomů v krystalu kuchyňské soli apod. Později se k tomu ještě vrátíme, abychom si toto velmi zajímavé téma probrali mnohem podrobněji; zatím se spokojíme s tímto stručným výkladem. DIFRAKCE NA NEPROPUSTNÉ CLONĚ Nyní se dostáváme k velmi pozoruhodné situaci. Předpokládejme, že najedné straně máme nepropustnou desku s otvory a vedle ní zdroj svěda. Chceme zjistit, jaká je intenzita svěda na druhé straně. Většina lidí řekne, že svědo svítí otvory a osvěduje druhou stranu. Ukazuje se, že správnou odpověď ve velmi dobrém přiblížení dostaneme, budeme-li předpokládat, že zdroje svědajsou rovnoměrně rozloženy vjednodivých otvorech ajejich fáze jsou takové jako kdyby tam nepropustná deska nebyla. Samozřejmě, ve skutečnosti v otvorech nejsou žádné zdroje, v tomto případě jsou to vlastně jediná místa, kde zcela určitě nejsou zdroje. Přesto správný difrakční obrazec dostaneme za předpokladu, že otvory j sou jediná místa, kde zdroje jsou - to je dost divné. Vysvědfme si to později, zatím předpokládejme, že je to tak. V teorii difrakce se vyskytuje další druh difrakce, který si stručně probereme. V základním kurzu se o něm obvykle nemluví už tak brzy, jak to děláme my, a to jen proto, že ke sčítání malých vektorových příspěvků je třeba použít o něco složitější matematické vzorce. Jinak je to úplně stejné jako to, co jsme dělali dosud. Všechny interferenční jevy jsou stejné, nejde vpodstatě o nic náročnějšího, jen situace je tady složitější a zmiňované vektory lze hůře spočítat. 401 ROZLIŠOVACÍ SCHOPNOST MňíŽKY ♦ PARABOLICKÁ ANTÉNA Obr. 30.8 Skládáni amplitud mnoha oscilátorů kmitajících ve fázi, jejichž fázový posun se mění jako druhá mocnina vzdálenosti o d bodu .Dnapředcházejiám obrázku. Předpokládejme, že svědo letící z nekonečna vrhá stín nějakého předmětu. Obr. 30.7znázorňuje stínítko, na které dopadá stín od předmětu AB, přičemž zdroj svědaj e velmi daleko v porovnání s vlnovou délkou světía. Dalo by se očekávat, že mimo stín bude osvětíení všude jasné ave stínu bude všude tma. Kdybychom si však znázornili intenzitu jako funkci polohy v blízkosti okraje stínu, viděli bychom, že zpočátku stoupá, pak překročí vrchol a kmitá velmi zvláštním způsobem v blízkosti okraje {obr. 30.9). Podívejme se, proč tomu takje. Použijeme-li větu, kterou jsme ještě nedokázali, můžeme skutečnou situaci nahradit sérií zdánlivých zdrojů rozložených rovnoměrně v prostoru za objektem AB. Představme si tam velké množství antén.jednu těsně vedle druhé. Zajímá nás intenzita v bod^ P. Podobá se to tomu, co jsme už dělali, ale ne zcela, neboť naše stínítko nyní není v nekonečnu, Nechceme vědět, jaká je intenzita v nekonečnu, ale v konečném bodě. Při výpočtu intenzity v daném místě musíme sčítat příspěvky od všech antén. Nejprve je zde anténa v bodě D, přesně proti bodu P. Kdybychom se posunuli o málo výš, řekněme o vzdálenost h, časové zpoždění se zvětší. (Změní se i amplituda, neboť se změní vzdálenost, aleje to jen velmi malý efekt, jsme-li od zdroj e dost daleko a j e mnohem méně významný než změna ve fázích.) Dráhový rozdíl EP-DP je h2/2s, takže rozdíl fází se zvětšuje s druhou mocninou vzdálenosti, o niž se posuneme od bodu D, zatímco předtím jsme mívali s nekonečné a fázový rozdíl byl přímo úmérný A. Jsou-li fáze přímo úměrné, každý vektor se sčítá pootočen o konstantní úhel proti předcházejícímu. Nyní 402 Dl FRAKCE však potřebujeme křivku, jež vznikne sčítáním mnoha infinitezimálně malých vektorů za podmínky, že úhel, který svírají, se nezvětšuje lineárně, ale s druhou mocninou délky křivky. Ke konstrukci takové křivkyje třeba trochu složitější matematiky, ale vždyjí můžeme zkonstruovat přímo nanášením vektorů a měřením úhlů. V každém případě dostaneme nádhernou křivku (Comuovo spirálu) znázorněnou na obr. .50.9. Jak ji nyní využijeme? Xo x Obr.30.9 Prúběhinten2Ítynahranidstínu.Geometrickálmuiicestínujevbodě xQ. Chceme-li vědět, jakáje intenzita světla například v bodě P, sčítáme příspěvky, jež mají různé fáze, od bodu D nahoru do nekonečna a od bodu D dolů jen po bod Bp, z něhož vynášíme postupně celou sérii šipek se stále se zvětšujícími úhly. Celkový příspěvek od bodu Bp nahoru proto sleduje spirálovitou křivku. Kdyby se měla integrace v některém bodě zastavit, celková amplituda by byla dána vektorem spojujícím Bp s tímto bodem; v tomto případě jdeme až do nekonečna, takže celkový příspěvekje roven vektoru Bpm. Inflexní bod D vždy odpovídá poloze bodu P, a proto poloha bodu Bp na křivce se mění podle toho, kde se bod P nachází. Proto počáteční bod výsledného vektoru bude ležet v různých místech dolní levé části křivky podle toho, jak daleko nad bodem Bse nachází bod P. Výsledný vektor Bptm bude mít mnoho maxim a minim (obr. 30.9). V opačném případě, když jsme v bodě Q, na opačné straně od bodu P, použijeme jen jeden konec spirálové křivky a ne i druhý. To znamená, že začátek se dostane jen do bodu Bq, takže výsledná intenzita osvětlení se postupně zmenšuje, jak se bod (? posunuje hlouběji do stínu. Abychom si ověřili, že jsme opravdu pochopili, můžeme ihned snadno vypočítat intenzitu světla v bodě přesně proti hraně. Intenzita je zde rovna 1/4 intenzity dopadajícího světla. V tomto případě je začátek výsledného vektoru v bodě D na obr. 30.8 a. z celkové křivky nám zůstane jen polovina v porovnání s tím, co bychom měli, kdybychom byli hluboko v osvětlené zóně. Je-li bod R hluboko v osvětlené zóně, máme celou křivku od jednoho jejího konce až po druhý, tj. celý jednotkový vektor. Nacházíme-li se však na hranici stínu, máme jen poloviční amplitudu, což odpovídá 1/4 intenzity záření. V této kapitole jsme hledali výslednou intenzitu v různých směrech od různě rozložených zdrojů. V následujícím článku odvodíme vztah, který budeme potřebovat v další kapitole v teorii indexu lomu. Dosud jsme vystačili s relativními intenzitami, ale tentokrát odvodíme úplný vztah pro výpočet pole v konkrétní situaci. POLE NÁBOJŮ KMITAJÍCÍCH V ROVINĚ Předpokládejme, že máme mnoho zdrojů rozložených v rovině, jež současně kmitají, přičemž se pohybují v rovině a mají stejnou amplitudu a stejnou fázi. Jaké bude pole v konečné, ale přitom dostatečně velké vzdálenosti od roviny? (Nemůžeme se příliš přiblížit, neboť nemáme 403 ROZLIŠOVACÍ SCHOPNOST MŘÍŽKY ♦ PARABOLICKÁ ANTÉNA správné vzorce v blízkosti zdrojů.) Označíme-li rovinu nábojů XV, chceme vědět, jaké poleje v bodě P daleko na ose Z (obr. 30.10). Předpokládejme, že na jednotce plochy roviny se nachází >7 nábojů a že každý z nich má náboj q. Všechny náboje se pohybují jednoduchým harmonickým pohybem se stejným směrem pohybu, amplitudou a fází. Nechť pohyb každého náboje vzhledem k jeho rovnovážné poloze je xQ cos co t. Pomocí komplexního zápisu může být tento pohyb popsán jako xQ eiú", přičemž máme na paměti, že skutečný pohyb popisuje reálná část. Intenzitu pole v bodě P od všech nábojů dostaneme tak, že zjistíme intenzitu od každého náboje q a pak sčítáme příspěvky od všech nábojů. Víme, že radiační poleje úměrné zrychlení náboje, ježje -ú? xQ eiú" aje stejné pro každý náboj. Hledaná intenzita elektrického pole v bodě P, způsobená nábojem v bodě Q je úměrná zrychlení náboje q, ale musíme mít na zřeteli, že v bodě P v čase íje dáno zrychlením náboje v dřívějším čase ť = t - r/c, kde r/c je čas, ktery potřebují vlny pole, aby prošly vzdálenost rod Qdo P. Proto je pole v bodě P úměrné - Intenzita pole v Pod náboje v Q,=-?----(přibližně). (30.11) 4ne0c2 r Tento vztah není zcela přesný, neboť jsme neměli použít zrychlení náboje, ale jeho složku kolmou na přímku QP. Budeme však předpokládat, že bod Pje tak daleko v porovnání se^ vzdáleností bodu Qod osy (vzdálenost g na obr. 30.10), že při změnách, jež budeme brát v úvahu,, můžeme kosinový faktor (jenž by byl i tak roven přibližně 1) vynechat. Abychom dostali celkovou intenzitu pole v P, sčítáme vlivy od všech nábojů, jež jsou v rovině. Samozřejmě, měli bychom udělat vektorový součet, ale protože směr intenzity poleje téměř stejný pro všechny náboje, můžeme, v rámci již uvedené aproximace, prostě sčítat velikosti intenzit. V naší aproximaci závisí intenzita pole v bodě Pjen na vzdálenosti r, takže všechny náboje vzdálené o stejné rvytvářejí stejná pole. Proto nejdříve sčítáme pole od nábojů rozložených na prstenci šířky dg s poloměrem g. Potom integrací přes všechna g dostaneme celkové pole. Počet nábojů na prstenci se rovná součinu velikosti plochy prstence 2ngdg a počtu nábojů na jednotkové ploše t). Takže máme (Jx e'"''"^ Výsledné pole v P= f-Ž--2-•rj-2ngdg. (30.12) J 4neQc2 r 404 Dl FRAKCE Tento integrál chceme vypočítat pro g od g=0 do g = <»>. Proměnná íje po dobu integrace konstantní, takže proměnnými veličinami jsou jen g a r. Vynecháme-li na chvíli všechny konstantní faktory, včetně faktoru ei-o r Kjeho výpočtu potřebujeme použít vztah mezi r a g r^ý+z2. (30.14) Protože zje nezávisí na g, diferencováním máme 2rdr = 2gdg, což je výhodné, neboť v integrálu můžeme zaměnit gdg za rdr a rse vyruší s rve jmenovateli. Hledaný integrál má pak jednodušší tvar ľ" J r-i e-,i,r/cdr. (30.15) Integrace exponenciální funkce je velmi snadná. Funkci dělíme koeficientem, jenž je v exponentu u r a exponenciálu vyčíslíme v integračních mezích; ale integrační meze pro r nejsou stejné jako pro g. Pro g = 0 máme r= z, takže integrujeme pro rod z do nekonečna. Dostáváme výsledek -±[e-i'-e-(^t (30.16) iú) kde za (útle s nekonečnu jsme napsali ~, neboť oba zápisy označují velmi velké číslo! Přitom e"'~ je záhadná veličina. Její reálná částje například rovna cos (-»), coje matematicky řečeno, úplně neurčitá veličina (i když bychom očekávali, že to bude hodnota někde nebo všude mezi +1 a -1!) Vefyzikální stiua.c\ to však může označovat něco docela rozumného a obvykle to lze považovat za nulu. Abychom si ozřejmili, že je to tak i v našem případě, vraťme se k původnímu integrálu (30.15). Integrál (30.15) můžeme chápat jako součet mnoha malých komplexních čísel, přičemž každé má v komplexní rovině velikost A r a směrový úhel

= -)e~>m -i urfcér Nás zajímají jen fyzikálně reálné situace, proto zvolíme e"'" rovno nule. Vrátíme-li se ke vztahu pro výsledné pole (30.12) se všemi činiteli, jež jsou v integrálu, máme Výsledné pole v P= --H2- Uyx. e1"^ 2e0c (30.18) 406 DIFRAKCE (mějme na zřeteli, že l/i = -i). Je zajímavé si všimnout, že [icoxQ e[0") je rovno právě rychlosti pohybu nábojů, takže rovnici pro výpočet pole můžeme napsat také jako Výsledné pole v P = - ^ (rychlost nábojů v čase t - z/c). (30.19) 2eQc Je to trochu překvapující, protože časové zpoždění je dáno právě vzdáleností z, což je nejkratší vzdálenost od P do roviny nábojů. Ale naštěstí vychází právě takový jednoduchý výsledek. (Mimochodem můžeme dodat, že i když bylo naše odvození platné jen pro dostatečně velké vzdáleností od roviny oscilujících nábojů, ukazuje se, že vztah (30.18) nebo (30.19) platí pro libovolnou vzdálenost z, dokonce i pro z < A). 407 r*ŘÍKLADY A CVIČENÍ 30.1 ■ Vlnové délky spektrálních čar D vybuzených atomů sodíku jsou 5889,95 a 5895,92 angstrómú. Jakou délku musí mít mřížka s 600 vrypy na 1 mm, aby rozlišila tyto čáry ve spektru prvního řádu? 30.2 ■ Po rovné cesto jede automobil se zapnutými světly, která budeme považovat za bodové zdroje. Reflektory automobilu jsou od sebe vzdáleny 120 cm. Jak daleko od automobilu musí být pozorovatel, aby si mohl být jist, že vidí dva zdroje světla a ne jeden? Uvažujte průměr zornice oka 0,5 cm a efektivní vlnovou délku vyzařovaného světla 550 nm. Domníváte se, že okolnost, že světlo je „bílé" (tj. obsahuje směs paprsků různých vlnových délek) usnadňuje nebo naopak ztěžuje rozlišení dvou zdrojů světla? 30.3 ■ Na obrázku vidíme obecné schéma spektrografické mřížky. Světlo ze zdroje L prochází úzkou štěrbinou S, pak čočkou kolimátoru (nebo se odráží od zrcadla) C,, aby vznikl rovnoběžný svazek paprsků, jako kdyby na mřížku dopadala rovinná vlna přicházející z nekonečna. Rovnoběžný svazek paprsků se pak podrobuje difrakci na mřížce G. Světlo odražené v určitém úhlovém rozsahu dopadá na čočku C2 (čočka kamery) a je zaostřen v rovině P. Tak dostáváme soubor úzkých spektrálních čar. Nechť je délka štěrbiny h, její šířka w, ohniskové vzdálenosti čoček C, a C2 jsou rovny F, a F2 a úhly mezi normálou k mřížce a osami čoček C, a C2 jsou rovny 9, a 0d. Na 1 mm mřížky je rozmístěno A/vrypů. Odpovězte na následující otázky: a) Jakou šířku bude mít pás vytvářený spektrem v rovino p? b) Jaké vlnové délce bude odpovídat čára, která leží v rovině p v místě, kudy prochází osa čočky C2? c) V jaké vzájemné vzdálenosti v ohniskové rovině se budou nacházet dvě spektrální čáry, jejichž vlnové délky se liší o 0,1 nm? Tato veličina se často nazývá disperze optické soustavy. d) Jaká je šířka spektrální čáry v rovině p, je-li šířka štěrbiny mnohem větší než rozlišovací schopnost čočky kolimátoru (rovná 1,22 Á (F,/F2), kde 4, je apertura) a než rozšíření vytvářené mřížkou, které je rovno (Á/L) F,, kde L je rozměr mřížky? 30.4 ■ Spektrograf slunečního věžového teleskopu na observatoři na Mt. Wilsonu je znázorněn schematicky na obrázku. Jedna a tatáž čočka zde plní úlohu kolimátoru i čočky kamery a přitom je téměř &t = - &a. Ohnisková vzdálenost celého zařízení F= 23 m a mřížka má rozměry 15 cm x 25 cm. Na 1 mm mřížky je rozmístěno 600 čar. Při pozorování se obyčejně využívá spektrum 5. řádu. a) Při jakém úhlu náklonu mřížky 9 bude spektrální čára vybuzeného neutrálního atomu železa o vlnové délce X = 525,0218 nm odpovídat poloze štěrbiny ve spektru 5. řádu? b) Pro které další vlnové délky v intervalu 360-700 nm budou spektrální čáry také odpovídat poloze štěrbiny? 408 c) Navrhněte jednoduchý způsob, jak odstranit spektra nežádoucích řádů a zachovat pouze spektrum 5. řádu. d) Jaká je disperze uvedeného zařízeni při vlnové délce X = 525 nm odpovídající čáře spektra 5. řádu? e) Jaká je minimální teoretická hodnota A/l, jež může být rozlišena na vlnové délce X = 525 nm ve spektru 5. řádu? 30.5 ■ Vlnové délky spektrálních čar se obvykle měří s přesností kolem 0,0001 nm pomocí spektrografů, jejichž rozlišovací schopnost je jen 0,001 nm. Není tím narušen nějaký fyzikální princip? Objasněte. 30.6 ■ Jsou-li vrypy difrakční mřížky utvářeny tak, že odrážejí většinu dopadajícího světla v jednom směru, říkáme, že mřížka v tomto směru „blyští". Představme sl takovou mřížku, jejíž vrypy mají profil daný pilovitou funkcí znázorněnou na obrázku. Povrch každého vrypu svírá s vodorovnou rovinou úhel &b. a) Považujeme-li svazek odraženého světla za záření, jež vydávají oscilátory v látce kmitající se stejnou fází jako dopadající záření, určete, v jakém směru bude ž'v. mít odražený svazek největší intenzitu, je-li úhel f t —i———r-o~-^r-^ dopadu roven nule. Uul b) Odhadněte přibližně interval úhlů, v němž mřížka „blyští". 30.7 ■ Fabry - Perotův interferometr je tvořen dvojicí dokonale vyleštěných rovnoběžných rovinných ploch ve vzdálenosti D. Tyto roviny odrážejí fl2-£ást kolmo dopadajícího světla a propouštějí jeho T2-část. Světlo o intenzitě /„ a vlnové délce X dopadá nejprve zleva (viz obrázek), částečně prochází soustavou, částečně se odráží od pravé roviny, pak opět od levé a znovu prochází soustavou. Výstupní svazek je tedy tvořen paprsky, jež se odrazily 0,2,4, 6,... krát a nakonec pronikly oběma rovinami. Jak závisí intenzita procházejícího světla na veličinách D, X, R a 7? (Poznámka. Na témž principu jsou založeny úzkopásmové, tzv. interferenční, optické filtry. Jejich odrazové plochy jsou vyrobeny z několika vrstev vysoce kvalitního skla přesně stanovené tloušťky, s různými indexy lomu.) 409 t^ůvod indexu lomu 31.1 INDEX LOMU 31.2 POLE V LÁTCE 31.3 DISPERZE 31.4 ABSORPCE 31.5 ENERGIE PŘENÁŠENÁ ELEKTRICKOU VLNOU 31.6 DIFRAKCE SVĚTLA NA CLONĚ INDEX LOMU Uvedli jsme, že rychlost svěda je menší ve vodě než ve vzduchu a o trochu menší ve vzduchu než ve vakuu. Tento jev lze popsat pomocí indexu lomu n. Nyní se budeme snažit pochopit,jak toto zpomalení vzniká. Konkrétně, pokusíme se dozvědět, jak souvisí s některými fyzikálními předpoklady, které jsme udělali už dříve a které zněly a) za jakýchkoli fyzikálních podmínek celkové elektrické pole lze vyjádřit jako součet poli vytvořených všemi náboji ve vesmíru; b) radiační pole vytvořené jedním nábojem je vždy dáno jeho zrychlením vypočítaným se zpožděním při rychlosti c, a to vždy. Jde-li o průchod světía kusem skla, mohli byste namítat: „V tom případě to neplatí, musíme brát rychlost c/n!" To však není pravda a musíme pochopit proč. Přibližně sice platí, že rychlost svěda nebo elektromagnetické vlny při průchodu látkou s indexem lomu n je zdánlivě rovna c/n, ale pole jsou tvořena pohyby všech nábojů - včetně nábojů, které se pohybují v látce - a těmito základními příspěvky k poli, které se šíří konečnou rychlostí c. Naší úlohou je pochopit, jak dochází k zdánlivému zpomalení rychlosti. Pokusíme se to objasnit na velmijednoduchém případě. Zdroj, který budeme nazývat „vnějším zdrojem", se nachází velmi daleko od tenké desky z průhledného materiálu, dejme tomu ze skla. Zajímáme se, jaké poleje ve velké vzdálenosti na opačné straně desky. Situace je znázorněna na obr. 31.1, kde si S a Ppředstavíme velmi daleko od desky. Podle principů, které jsme už vyslovili, je elektrické pole kdekoliv ve velké vzdálenosti od všech pohybujících se nábojů rovno vektorovému součtu polí vytvořených vnějším zdrojem (v bodě 5) a polí vytvořených všemi náboji ve skleněné desce, přičemž každé z nich má svou vlastní retardaci při rychlosti c Pamatujme, že příspěvek od každého náboje se nezmění přítomností ostatních nábojů. Tojsou naše základní 410 PŮVOD INDEXU LOMU principy. Intenzita pole v bodě Pse může proto napsat jako = ^pfe« všechny náboje "^každého náboje (311) nebo E = Ef + £přes väechny ostatní náboje ^každého náboje (31-2) kde Es je pole jen od zdroje a je rovno přesně poli, jež by bylo v bodě P, kdybychom neměli žádnou desku. Očekáváme, že v Pbude pole různé od Ef, pokud jsou přítomny další pohybující se náboje. Proč by se ve skle měly nacházet pohybující se náboje? Víme, že každá látka se skládá z atomů, jež mají elektrony. Dopadá-li elektrické pole zdroje na tyto atomy, rozkmitá jejich elektrony, neboť na ně působí silou a rozkmitané elektrony vytvářejí pole - představují nové zdroje záření. Tyto nové zdroje souvisejí se zdrojem S, neboťje rozkmitalo jeho pole. Výsledné pole není rovno jen poli zdroje S, aleje změněno dodatečnými příspěvky od ostatních pohybujících se nábojů. To znamená, že pole už není stejné jako pole, které tam bylo, dokud tam nebylo sklo, aleje modifikováno takovým způsobem, že se zdá, jakoby se pole uvnitř skla pohybovalo změněnou rychlostí. To je vysvědení, jež bychom rádi odvodili kvantitativně. Provést to exaktně je příliš komplikované, protože i když jsme řekli, že všechny ostatní náboje jsou poháněny polem zdroje, není to úplně tak. Jednotlivý náboj necítíjen zdroj, ale jako cokoliv na světě, cítí všechny ostatní pohybující se náboje, takže cítí i ty náboje, jež se pohybují někde jinde ve skle. Proto se celkové pole působící na daný náboj skládá z polí všech ostatních nábojů, jejichž pohyb je zpětně ovlivňován tím, co dělá daný náboji Je vidět, že úplný a přesný popis by si vyžadoval komplikovaný systém rovnic. Problém je tak složitý, že si ho odložíme na další rok. ZDROJ ELEKTRICKÝCH _ V"" ODRAZENA VLNA Obr. 31.1 Elektromagnetická vlna při průchodu vrstvou průhledné látky Místo toho se podíváme na jednoduchý případ, jenž nám umožní jasně pochopit fyzikální podstatu. Vezměme si případ, kdyjsou účinky všech ostatních atomů v porovnání s účinky zdroj e relativně velmi malé, tj. vezmeme si takovou látku, v níž se celkové pole pod vlivem pohybu ostatních nábojů příliš nezmění. To odpovídá materiálu, jehož index lomu je velmi blízký 1; nastane to například tehdy, když hustota atomů je velmi malá. Náš výpočet bude platit pro případy, kdy index lomu je z jakýchkoli důvodů blízký 1. Tak se vyhneme komplikacím úplného obecného řešení. Všimněme si mimochodem, že pohyb nábojů v desce vyvolává i další efekt. Tyto náboje budou vyzařovat vlny i směrem dozadu ke zdroji S. Toto vracející se poleje svědo, jež vidíme jako svědo odražené od povrchu průhledných materiálů. Nepřichází však jen od povrchu. Zpětné záření přichází odevšad z vnitřku, ale celkovýjevje ekvivalentní odrazu od povrchu. Odrazové jevyjsou 411 INDEX LOMU zatím mimo rámec naší aproximace, neboť se omezíme na výpočty pro látku s indexem lomu tak blízkým 1, že se odráží jen velmi málo svěda. Dříve než budeme pokračovat v našem studiu původu indexu lomu, musíme si uvědomit, že vše, co potřebujeme k pochopení refrakce, je pochopit, proč se vlny šíří v různých látkách různou rychlostí. Ohyb paprskuje způsoben právě tím, že efektivní rychlost vln je v různých látkách různá. Abychom si připomněli, jak k tomu dochází, narýsovali jsme na obr. 31.2 několik postupných čel elektrické vlny, která dopadá z vakua na povrch skla. Šipky kolmé na čela vln označují směr pohybu vlny. Víme, že všechny oscilace ve vlně musí mít stejnou frekvenci. (Viděli jsme, že vybuzené oscilace mají frekvenci stejnou jako budicí síla.) Znamená to také, že čela vln na obou stranách povrchu musí mít na povrchu stejnou vzdálenost, musí se pohybovat společně, takže náboj umístěný na rozhraní cítí jen jednu frekvenci. Nejkratší vzdálenost mezi čely vln je rovna vlnové délce, což je rychlost dělená frekvencí. Na straně vakua to je A0 = 2iíc/co a na druhé straně X- 2tiv/(0 nebo Inc/an, když v= c/'nje rychlost vlny. Z obrázku vidíme, že jediný způsob, jak dosáhnout toho, aby vlny na rozhraní správně „seděly", je ten, že vlny v látce se budou šířit pod jiným úhlem k rozhraní. Z geometrie na obrázku je vidět, že k tomu, aby vlny „seděly", musí platit AQ/sin &0 = A/sin ů nebo sin #Q/sin ů = n, což je Snellův zákon. V naší dalifi diskuzi se budeme zajímat pouze o to, proč má svědo v látce s indexem lomu n efektivní rychlost c/nav této kapitole se nebudeme zabývat otázkou, proč svědo mění směr. Obr. 31.2 Vztah mezi lomem vln a změnou jejich rychlosti Vraťme se zpět k obr. 31.1. Potřebujeme vypočítat pole v bodě P způsobené všemi oscilujícími náboji ve skleněné desce. Tuto část pole, jež je rovna sumě napsané v rovnici (31.2) jako druhý člen, nazveme Ea. Přičteme-li jí k členu E pocházejícímu od zdroje, dostaneme celkové pole v bodě P. To je pravděpodobně nejkomplikovanější věc, kterou budeme letos dělat, ale komplikovaná je jen tím, že musíme poskládat velmi mnoho malých kousků; každý z nich je však velmi jednoduchý. Na rozdíl od ostatních odvozování, kde jsme říkali: „Zapomeňme na odvození, pamatujme si jen výsledek", teď ani tak nepotřebujeme výsledek jako samotné odvození. Jinak, řečeno potřebujeme pochopit fyzikální mechanizmus indexu lomu. Abychom viděli, k čemu vlastně spějeme, najdeme, čemu by bylo rovno „opravné pole^ Ea v případě, kdy celkové pole v P má vypadat jako záření způsobené zdrojem, zpomalené průchodem tenkou deskou. Kdyby deska neměla žádný vliv, pro vlnové pole šířící se doprava (podél osy z) by platilo (31.3) 412 PŮVOD INDEXU LOMU nebo pomocí komplexního zápisu (31.4) Co by se nyní stalo, kdyby se vlna při průchodu deskou šířila pomaleji? Tloušťku desky označme A z- Kdyby tam deska nebyla, vzdálenost A z by světlo proletělo za dobu A zl c. Ale když se v desce šíří rychlostí c/ n, potrvá mu to delší čas n A zl c nebo dodatečný čas A t = [n - 1) A z/c. Pak se bude nadále šířit rychlostí c. Toto zpoždění při průchodu deskou můžeme vzít v úvahu tak, že v rovnici (31.14) zaměníme íza A i) nebo za [t-{n- 1) A ^/íj, takže po vsunutí desky můžeme napsat což můžeme napsat jako Ta deskou -V >iu[<-(ii-l)A«r<-«'(| za deskou (31.5) (31.6) To znamená, že vlnění za deskou můžeme dostat z vlnění, jež by existovalo, kdyby nebylo desky, tj. z Es vynásobením faktorem e-M»-i)A«\ Víme, že násobení oscilující funkce jako e'*" faktorem e" způsobí změnu fáze oscilací o úhel ů, a to je právě to, co způsobilo zpoždění při průchodu vrstvou tloušťky A z. Došlo ke zpoždění fáze o hodnotu 0){n- 1) A z/c (Ke zpoždění proto, že v exponentu je znaménko minus.) Řekli jsme si, že deska přispěje k původnímu poli 2J = EQ e'"''"*^ polem J5 ,jež se přičte k původnímu poli; ale místo toho jsme zjistili, že působení desky se projeví vynásobením faktorem, jenž posune jeho fázi. Ve skutečnosti je to však v pořádku, neboť stejného výsledku můžeme dosáhnout přičtením vhodného komplexního čísla. Takové číslo lze zvlášť snadno najít, když A^je malé, neboť si určitě pamatujete, že je-li x malé číslo, e* je přibližně rovno (1 + x). Proto můžeme psát e-M»-i)A^ = 1 -iťy(„-i)a^c. (31.7) Použitím této rovnosti v (31.6) dostaneme Ä» deskou ^ -~-£'oe (31.8) První člen je pole zdroje a druhý člen musí byt roven právě E , poli napravo od desky způsobenému oscilujícími náboji v desce - zde vyjádřenému pomocí indexu lomu n a závislému na intenzitě vlnění zdroje. imaginárni osa rUHEL»to(n-1)Azfc REÁLNÁ osa Obr. 31.3 Graf k určení prošlé vlnypro dané (a z 413 POLE V LÁTCE Co jsme udělali, lze snadno znázornit pomocí komplexních čísel na diagramu na obr. 31.3. Nejdříve nakreslíme číslo E (zvolíme nějakou hodnotu pro za í, takže Es leží na reálné ose, ale to není nutné). Zpoždění způsobené zpomalením vlny v desce způsobí posunutí fáze čísla Es, tj. pootočí E{ o nějaký záporný úhel. To je ale ekvivalentní přičtení malého vektoru Ea k vektoru Es přibližně pod pravým úhlem. Faktor (-i) v druhém členu (31.8) znamená totéž. Vyjadřuje to, že je-li E reálné, Ea je záporné imaginární nebo obecně, že Et a Ea svírají pravý úhel. ^^POLE VLÁTCE Nyní se musíme zeptat: Je pole E v druhém členu rovnice (31.8) takové pole, jaké bychom očekávali od oscilujících nábojů v desce?" Ukážeme-li, že ano, takjsme vlastně vypočítali, čemu je roven index lomu n! Číslo n je totiž jediná konstanta v (31.8), jež není zadána. Nyní se pokusíme vypočítat, jaké pole E způsobí náboje v látce. Abychom si zjednodušili sledování mnoha symbolů, jež jsme dosud použili a ještě budeme používat při dalším výpočtu, uvádíme jejich přehled v tabulce 31.1. Tab.31.1 _Symboly použité při výpočtu indexu lomu_ Et = pole zdroje E = pole vytvořené náboji v desce A z= tloušťka desky z = kolmá vzdálenost od desky n = index lomu ú) = úhlová frekvence záření N = počet nábojů najednotku objemu desky t] = počet nábojů najednotku plochy desky q = náboj elektronu m = hmotnost elektronu ú)n = rezonanční frekvence elektronu vázaného v atomu Je-li zdroj S (na obr. 31.1) ve velké vzdálenosti nalevo od desky, bude mít pole E na celé desce stejnou fázi, takže v blízkosti desky můžeme napsat E) = E0é^'-^. (31.9) Přímo na desce, kde z = 0, budeme mít Es = E0ét" (na desce). (31.10) Každý elektron v atomech desky „pocítí" toto elektrické pole a elektrická síla qE (předpokládáme, že Eq je vertikální) jím bude pohybovat nahoru a dolů. Abychom našli očekávaný pohyb elektronů, budeme předpokládat, že atomy jsou malé oscilátory, tj. že elektrony jsou v nich vázány pružnými silami. To znamená, že působí-li na elektron vnější síla, jeho vychýlení z rovnovážné polohy bude úměrné této síle. 414 PŮVOD INDEXU LOMU Když jste slyšeli o tom, že elektrony v atomu obíhají v oblastech zvaných orbitaly, snad si pomyslíte, že je to směšný model atomu. Je to však jen velmi zjednodušená představa. Správný obraz atomu, který dává vlnová mechanika, nám říká, že pokud jde o problémy spojené se svědem, elektrony se skutečně chovají tak, jakoby byly upevněny na pružinách. Budeme proto předpokládat, že na elektrony působí lineární vratná síla,jež spolu sjejich hmotností to způsobí, že se chovají jako malé oscilátory s rezonanční frekvencí co0. Takové oscilátoryjsme již studovali a víme, že rovnici jejich pohybu lze napsat jako m d2* 2 d/2 ^ , = F, (31.11) kde i*je budicí síla. Vnašem případěje budicí síla vyvolána elektrickým polem vlnypřicházejícím od zdroje, takže máme F=qiE=qtE0é<", (31.12) kde yje náboj elektronu a pro E používáme vztah Es = Eq e14" z rovnice (31.10). Naše pohybová rovnice pro elektron je potom m d2 X 2 Tuto rovnici jsme již jednou řešili a víme, že její řešení je Dosazením do (31.13) zjistíme, že x = xQeiul. takže m{(J^ - íu2) m(ú)0 - a?) (31.13) (31.14) (31.15) (31.16) Zjistili jsme tedy, jak probíhá pohyb elektronů v desce. Pro každý elektron je stejný, pouze střední, „nulovou" polohu má každý elektron jinou. Nyní jsme připraveni k tomu, abychom mohli najít intenzitu pole Ea vybuzeného těmito atomy v bodě P, neboť pole soustavy nábojů rozložených v rovině a pohybujících se současně jsme si odvodili v závěru předešlé kapitoly. Podíváme-li se zpět na rovnici (30.19), vidíme, že pole Ea v bodě P je rovno záporné konstantě vynásobené rychlostí nábojů v čase zpožděném o hodnotu z/c Zderivujeme-li x v rovnici (31.16) (abychom dostali rychlost) a zahrneme zpoždění (nebo dosadíme-li prostě za *0 z (31.15) do (30.18)), dostaneme E = a 2s0c \(ů- (31.17) 415 DISPERZE Jakjsme předpokládali, vybuzené pohyby elektronů vytvořily zvláštní vlnu, jež se šíří doprava (to vyjadřuje člen eije větší než 1 PROPUŠTĚNÁ VLNA n<1 POČÁTEK ' FÁZOVÉ OPOŽDĚNI i 11 FÁZOVÝ PŘEDSTIH Obr.31.4 VLnovésignály Podívejme se znovu na náš vztah pro disperzi. Měli bychom poznamenat, že naše analýza indexu lomu dává o něco jednodušší výsledek než to, co skutečně nacházíme v přírodě. Pro úplnost musíme dodat některá upřesnění. Za prvé, můžeme očekávat, že náš model atomového oscilátoru by měl mít nějaké dumení (jinak by zůstal oscilovat navždy a to nepředpokládáme) Pohyb dumeného oscilátorujsme odvodili již dříve (rovnice (23.8)) avýsledekje, že jmenovatel v rovnici (31.16) a tedy i (31.19) se změní z (cOq - co2) na [cOq - co2 + i yco), kde y je koeficient údumu. Druhou modifikací, kterou musíme vzít v úvahu, je skutečnost, že daný atom má několik rezonančních frekvencí. Náš disperzní vztah lze snadno upravit, představíme-li si, že máme několik různých oscilátorů, jež jsou navzájem nezávislé, takže jejich příspěvky prostě sčítáme. Dejme tomu, že máme Nk elektronů v jednotkovém objemu s vlastní frekvencí cok a koeficientem údumu yk. Náš vztah pro disperzi pak bude n= 1 +■ 2e0m t cok- ú? + iyko) (31.20) Tak dostáváme úplný výraz pro popis indexu lomu, jak ho pozorujeme u mnohých látek.40' Index lomu popsaný tímto vztahem se mění v závislosti na frekvenci zhruba podle křivky znázorněné na obr. 31.5. Je vidět, že pokud co není příliš blízko k některé z rezonančních frekvencí, je náklon křivky kladný. Takový náklon se nazývá „normální" disperzí (protože se vyskytuje nejčastěji). Blízko rezonančních frekvencí se však nachází malý rozsah frekvencí co, pro něž je náklon křivky I když vztah (31.20) platí I v kvantové mechanice, jeho Interpretace je trochu odlišná. V kvantové mechanice má dokonce I atom s pouze jediným elektronem, jako vodík, více rezonančních frekvencí. Proto A^ není ve skutečnosti počet atomů s frekvencí cok, ale je třeba ho zaměnit za A^, kde N je počet atomů v jednotkovém objemu a fk (nazývaný síla oscilátoru) je faktor, jenž fiká, jak silně se u atomu projevuje každá jeho rezonanční frekvence co.. 418 PŮVOD INDEXU LOMU záporný. Ten odpovídá tomu, čemu se často říká „anomálnf disperze, neboť se zdála nezvyklá, když ji poprvé pozorovali. To bylo dávno předtím než byla objevena existence elektronů. Z našeho hlediska jsou oba náklony celkem „normální"! ATD. «>k ATD. « Obr. 31.5 Index lomujako funkce frekvence 31.4 ABSORPCE Snad jste si všimli v našem posledním vztahu pro disperzi (31.20) něčeho neobvyklého. Protože jsme tam vložili člen ipvyjadřující dumení, vychází index lomujako komplexní číslo! Co to znamená? Výpočtem reálné i imaginární části n můžeme napsat n = n -in (31.21) kde n' a n'jsou reálná čísla. (Před in* jsme použili záporné znaménko, protože n" pak vychází kladné, jak se můžeme snadno přesvědčit.) Co znamená takový komplexní index lomu, to zjistíme, když se vrátíme k rovnici (31.6), jež popisuje vlnu po průchodu deskou s indexem lomu n. Když tam dosadíme naše komplexní n, po krátkém výpočtu máme za deskou e ' e *5 4-i) (31.22) B Poslední činitel v rovnici (31.22) označený jako B, je to, co jsme měli již předtím a opět popisuje vlnu, jejíž fáze se průchodem látkou opozdila o úhel o) {n' - 1) Lžic. První činitel A je nový. Je to exponenciální činitel s reálným exponentem. Exponentje záporný, takže celý činitel je roven reálnému číslu menšímu než jedna. Popisuje pokles intenzity pole a jak bychom očekávali, pokles je tím větší, čím větší je A z- Průchodem látkou se vlna zeslabuje, látka část vlny pohlcuje, absorbuje. Vlnění vycházející na druhé straně má menší energii. To by nás nemělo překvapit, neboť dumení, jež jsme zavedli pro oscilátory, představuje sílu tření, která musí způsobovat ztrátu energie. Vidíme, že imaginární část n" komplexního indexu lomu představuje absorpci vlnění, proto se někdy nazývá index absorpce. Upozorňujeme i na to, že imaginární část indexu lomu n souvisí se sklonem šipky Ea na obr. 31.3 směrem k počátku. Odtud je zřejmé, proč se přenesená vlna oslabila. Obvykle je absorpce svěda velmi malá, jako například ve skle. Lze to očekávat na základě našeho vztahu (31.20), neboť imaginární část jmenovatele iy^ťu je mnohem menší než člen [ců^ - oř). Ale když se frekvence svěda hodně blíží k o)k, rezonanční část {(úk - o?) může být 419 ABSORPCE ♦ ENERGIE PŘENÁŠENÁ ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU malá v porovnání s i ykú) a index se stává téměř zcela imaginárním. Absorpce svěda se stává do-minujícímjevem.Je tojev, jenž způsobuje tmavé čáry ve světelném spektru Slunce. Svědo ze slunečního povrchu proniklo sluneční atmosférou (stejně tak i zemskou) a bylo silně absorbováno na rezonančních frekvencích atomů ve sluneční atmosféře. Pozorování takových spektrálních čar ve slunečním svědě nám dovoluje určit rezonanční frekvence atomů, a tedy i chemické složení sluneční atmosféry. Pozorování tohoto druhu nám řeknou něco i o složení hvězd. Z těchto měření víme, že chemické prvky na Slunci a na hvězdách jsou stejné jako ty, jež nacházíme na Zemi. ENERGIE PŘENÁŠENÁ ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU Viděli jsme, že imaginární čast indexu lomu znamená absorpci. Nyní to využijeme k určení energie přenášené světelnou vlnou. Již dávno jsme uvedli důvod, proč je energie přenášená švédem úměrná E2, tj. časové střední hodnotě druhé mocniny intenzity elektrického pole vlny, Pokles E způsobený absorpcí musí znamenat ztrátu energie, která, jak se můžeme domnívat, se nějakým třením elektronů přemění na teplo v materiálu. Představme si svědo dopadající na jednotkovou plochu naší desky na obr. 31.1, řekněme jeden centimetr čtvereční. Pak můžeme napsat tuto energetickou rovnici (předpokládáme, že platí zákon zachování energie): Energie dopadající zasekundu = energie vyletující zasekundu + práce vykonanázasekundu .(31.23) První člen můžeme napsat jako aEs , kde aje zatím neznámá konstanta úměrností dávající do souvislostí střední hodnotu E a přenášenou energii. V druhém členu musíme zahrnout část od vyzařujících atomů látky, takže musíme psát a{Ej + E)2 nebo po umocnění a(Éj + 2EEa + E%). Všechny naše výpočty jsme prováděli pro tenkou vrstvu materiálu s indexem lomu ne příliš odlišným od jedné, takže Ea bude vždy mnohem menší než Es (ulehčí se nám tím výpočet). V souladu s naší aproximací proto můžeme zanedbat člen Ea , neboť je mnohem menší než EsEa. Snad řeknete: „Pak bychom měli zanedbat i E Ea< protože je mnohem menší než E?.u EfEa je sice mnohem menší než Es, ale EtEa si musíme ponechat, protože jinak by šlo o aproximaci, při níž zcela zanedbáme přítomnost materiáluI Jeden způsob, jak se můžeme přesvědčit, že naše výpočtyjsou konzistentní, je ten, že nikdy nezanedbáme členy úměrné NA z, což je hustota atomů v látce, ale zanedbáme členy úměrné (NA z)2 a vyšším mocninám NA Z-Naše přiblížení můžeme tedy nazvat „přiblížením malé hustoty." V duchu naší aproximace jsme v naší rovnici pro energii zanedbali odraženou vlnu. To je v pořádku, neboť takový člen je úměrný (NA z)2, protože amplituda odražené vlny je úměrná NA z- Pro poslední člen v (31.23) chceme vypočítat, jakou práci vykonává dopadající vlna na elektronech za jednotku času. Víme, že práce je rovna součinu síly a vzdáleností, takže práce vykonaná za jednotku času (nazývaná též výkon) je rovna součinu síly a rychlosti. Ve skutečnosti je rovna F- v, ale jsou-li síla a rychlost rovnoběžné, jako je to tady, nemusí nás znepokojovat skalární součin (až na možnost opačného znaménka). Takže pro střední výkon vezmeme pro každý atom qE,v. Protože na jednotkové ploše je NA z atomů, bude poslední člen v rovnici (31.23) NAzqtEfv. Naše energetická rovnice je nyní aÉj = aE] + 2 aE~J£a - NA zq,Ě~v. (31.24) 420 PŮVOD INDEXU LOMU Členy aE? se ruší a máme _ 2aE~E~ = NAzq,E~v. (31.25) fa * € * Nyní se vrátíme k rovnici (30.19), podle níž pro velké z platí NAzq, E = v\ zpožděné o -) (31.26) ' 2V l fJ (připomeňme, že r/ = NAz). Dosazením (31.26) do levé strany (31.25) dostaneme NAzq. —-._._r 2 a-E^lz) • v (zpožděné o zj c) 2eQc ale E (z) je Es (v atomech) zpožděné o z/c Protože střední hodnota nezávisí na čase, je to nyní stejná hodnota jako v čase zpožděném o z/c neboli Et je stejná střední hodnota, která je i na pravé straně (31.25). Obě strany jsou si proto rovny, je-li — = 1 nebo a=enc. (31.27) Zjistilijsme, že má-li se energie zachovávat, musí byt energie přenášená elektromagnetickou jednotkovou plochou za jednotku času (což jsme nazývali intenzitou záření) dána vztahem eQcE2. Označíme-lijijako ~S, máme 3 = intenzita záření _ nebo \ = encE2, (31.28) energie/(plocha • čas) kde čára nad označením veličiny znamená časovou střední hodnotu. Z naší teorie indexu lomu máme tak pěkný výsledek navíc I Dl FRAKCE SVĚTLA NA CLONĚ Nyníje vhodná chvíle, abychom se trochu věnovali jiné záležitostí, kterou můžeme zvládnout s aparátem této kapitoly. V předcházející kapitole jsme řekli, máme-li nepropustnou clonu a svědo může pronikat jen nějakými otvory, rozložení intenzity - difrakční obraz - můžeme dostat, když si místo toho představíme, že otvoryjsou nahrazeny zdroji (oscilátory) rovnoměrně rozloženými v otvorech. Jinými slovy, difraktovaná vlna je stejná, jako kdyby otvory byly novými zdroji. To musíme odůvodnit, protože otvorje právě místo, kde nejsou žádné zdroje, kde nejsou žádné urychlované náboje. Nejdříve se zeptejme: „Coje nepropustná clona?" Předpokládejme, že mezi zdrojem Sa pozorovatelem Pmáme úplně nepropustnou clonu jako na obr. 31.6a). Je-li clona nepropustná, není v bodě P žádné pole. Proč tam není pole? Podle základních principů dostaneme pole v bodě P jako pole E zdroje retardované o příslušný čas plus pole od všech nábojů okolo. Ale, jak jsme . — DIFRAKCE SVETLA NA CLONE si již ukázali, pole E rozkmitá náboje v cloně a tento pohyb vytváří nové pole, které, je-li clona nepropustná, se musí úplně ruíits polem Es na její druhé straně. Řeknete: Jaký div, že se přesně ruší! Co když se neruší přesně?" Kdyby se přesně nerušily, pole u zadní strany stínítka (pamatujme, že stínítko má určitou tíoušťku) by pak nebylo přesně nulové. Kdyby nebylo nulové, rozkmitalo by náboje ve stínítku a tím by se vytvořilo další pole rušící původní pole. Takže, je-li clona dostatečně silná, neexistuje žádné zbytkové pole, neboťje dostatek možností, aby se vše vyrušilo. Ve smyslu našich vzorců bychom řekli, že stínítko má velký a imaginární index lomu, takže, jak jím vlna postupuje, exponenciálně se pohlcuje. Víme, že dostatečně tenký plátek i toho nejne-průhlednějšího materiálu, dokonce i zlata, je průsvitný. a) s E=Ei e~o neprůhledné stínidlo b) % E-Ea C) s * &5i T &£is+6sTÉNA f 1^-otvor j~-stěna —zátka p - stěna Obr. 31.6 Difrakce na stínítku Nyní se podívejme, co se stane s nepropustným stínítkem, jež má otvory, jaké jsou zobrazeny na obr. 31.6b). Jaké očekáváme, že bude pole v bodě P? Můžeme ho napsat jako součet dvou částí - pole vytvořené zdrojem 5 plus pole vytvořené stěnou, tj. pohybem nábojů ve stěně. Můžeme předpokládat, že pohyby nábojů ve stěně budou složité, ale pole, které vytvářejí, může me najít dost jednoduchým způsobem. Předpokládejme, že máme stejné stínítko, jen jsme v něm ucpali otvory, jak je znázorněno na obr. 31.6c). Představme si, že zátky jsou ze stejného materiálu jako stínítko. Připomínáme, že zátky budou na místě otvorů, jež jsme měli v případě b). Nyní vypočítejme pole v bodě P. V případě c) je určitě nulové, ale také je rovno součtu pole zdroje a pole vytvořeného pohyby atomů ve stěně a v zátkách. Můžeme napsat rovnice: Případ b): EP = Et + E Případe): ^0=V^„y + ^k. kde čárkou označujeme pole v případě zavřených otvorů, ale pole Es je samozřejmě stejné v obou případech. Odečteme-li nyní obě rovnice, dostaneme stíny E ) stíny' ■E. zítek' 422 PŮVOD INDEXU LOMU Nejsou-li otvory příliš malé (řekněme na šířku mnoha vlnových délek), lze očekávat, že přítomnost zátek nezmění pole dopadající na stěny, snad kromě malé změny podél okrajů otvorů. Zanedbáme-li tuto malou změnu, můžeme položit jEttiny = a dostáváme Dostali jsme tedy následující výsledek: Jsou-li ve stínítku otvory (případ b), intenzita pole v bodě Pje stejná (až na znaménko) jako intenzita pole vytvořená tou částí neprůhledné stěny, jež je umístěna v místech, kde jsou otvoryl (Znaménko není příliš zajímavé, protože obvykle nás zajímá světelný tok, který je úměrný druhé mocnině intenzity pole.) Zdá se, že je to podivná argumentace v kruhu, ale nejen že je to pravda (v přiblížení pro ne příliš malé otvory), ale má to i svůj užitek a je to potvrzení platnosti teorie difrakce. Pole E7i£ky se vypočítá v každém konkrétním případě, za předpokladu, že pohyby všech nábojů ve stínítku jsou právě takové, že vyruší pole Es na druhé straně stínítka. Když jednou tyto pohyby známe, přidáme radiační pole v Pvytvořené právě náboji zátek. Opět poznamenáme, že tato teorie difrakce je pouze přibližná a bude dobrájen, když otvory nejsou příliš malé. Pro příliš malé otvory bude člen E>tuA příliš malý a rozdíl mezi E1^ a £ttíny (kterýjsme položili rovný nule) může být srovnatelný nebo dokonce větší než malý člen E'iiteV a naše aproximace již nebude platit. 423 ŘÍKLADY A CVIČENÍ 31.1 ■ Určete index lomu hliníku pro rentgenové záření o vlnové délce 1,56 • 10"8 cm za předpokladu, že elektrony v hliníku kmitají s vlastní frekvencí mnohem menší než je frekvence rentgenového záření. 31.2 ■ Index lomu ionosféry pro rádiové vlny o frekvenci 100 /vs"1 je n = 0,90. Určete koncentraci elektronů v ionosféře. 31.3 ■ Elektrické pole E světelných vln, jež procházejí prostředím s indexem lomu n, je £0 e"""""2"), a) Ukažte, že je-li n = n'- in", platí E=E0e-"'a'Äelw<'-rfÄ>. b) S použitím výrazu n - 1 = Nct •---, najděte zákon poklesu intenzity světelné 2eom u}\ - uř + \yio vlny, jejíž frekvence je přesně rovna atomové frekvenci w0. 31.4 ■ Je známo, že okamžitá hustota toku energie elektromagnetické vlny je S=%cE2 Wm "2. a) Určete celkovou energii, kterou za jednotku času vyzařuje elektron kmitající s amplitudou % a úhlovou frekvencí oj. b) Porovnejte energii vyzářenou během jednoho kmitu s nahromaděnou energií V2muřxz a určete konstantu útlumu yR. Je to tzv. radiační útlum. c) Vybuzený atom vyzařuje fotony určité vlnové délky X. Vypočítejte očekávané rozšíření spektrální čáry M, je-li způsobeno pouze radiačním útlumem. Považujte přitom atom za malinký tlumený oscilátor. 424 f/ŕ* adiační utlum. Rozptyl světla 32.1 RADIAČNÍ ODPOR 32.2 RADIAČNÍ VÝKON 32.3 RADIAČNÍ ÚTLUM 32.4 NEZÁVISLÉ ZDROJE 32.5 ROZPTYL SVĚTLA 32.1 RADIAČNÍ ODPOR V předcházející kapitole jsme se dozvěděli, že když systém osciluje, vydává energii a odvodili jsme vzorec pro energii vyzářenou oscilujícím systémem. Známe-li intenzitu elektrického pole, střední hodnota druhé mocniny intenzity vynásobená eQ c dává množství energie, jež projde za sekundu čtverečním metrem plochy kolmé na směr, jímž se záření šíří P=e0c(E2). (32.1) Každý oscilující náboj vyzařuje energii; například i buzená anténa vyzařuje energii. Vyzařuje-li systém energii, je mu třeba energii dodávat, například dráty vedoucími k anténě, neboť platí zákon o zachování energie. Na napájecí obvod tedy anténa působí jako odpor nebo jako místo, kde se může energie „ztrácet" (energie se ve skutečnosti neztrácí, vyzařuje se, ale vzhledem k napájecímu obvodu se ztrácí). V obyčejném odporu se „ztracená" energie mění v teplo. V tomto případě „ztracená" energie uniká do prostoru. Z hlediska teorie obvodů, bez ohledu na to, kam se energie poděje, je výsledný efekt v obvodu stejný - energie se z obvodu „ztrácí". Proto je anténa pro generátor odporem, i kdyby byla zhotovena z čisté mědi. Skutečně, je-li dobře konstruována, jeví se jako téměř čistý odpor s velmi malou induktancí nebo kapacitancí, protože chceme, aby se z antény vyzářilo co nejvíce energie. Tento odpor antény se nazývá radiační odpor. Napájí-li se anténa proudem /, je stř ední výkon dodávaný do antény roven střední hodnotě druhé mocniny proudu vynásobené odporem. Výkon vyzářený anténou je úměrný druhé 425 RADIAČNÍ ODPOR • RADIAČNÍ VÝKON mocnině proudu v anténě, neboť všechna pole jsou úměrná proudům a uvolněná energie je úměrná druhé mocnině intenzity pole. Koeficient úměrnosti mezi vyzářeným výkonem a {r) je radiační odpor. Zajímávaje otázka, odkud se radiační odpor bere. Vezmeme si jednoduchý příklad: Řekněme, že v anténě jsou proudy protékající nahoru a dolů. Zjistíme, že má-li anténa vyzařovat energii, musíme konat práci. Vezmeme-li nabité těleso a urychlujeme ho směrem nahoru - dolů, vyzařuje energii. Kdyby nebylo nabité, nevyzařovalo by energii. Vypočítat ze zákona zachování, že se energie ztrácí, je jedna věc, ale druhou věcí je odpovědět na otázku, proti jaké síle konáme práci To je zajímavá a velmi těžká otázka, která nebyla nikdy úplně a uspokojivě zodpovězena pro elektrony, i když byla zodpovězena pro antény. V anténě se děje toto: Pole vytvořená náboji v jedné části antény působí na pohybující se náboje v jiné části antény. Tyto síly můžeme vypočítat, lze zjistit práci, kterou vykonávají a tak najít správný vzorec pro radiační odpor. Když říkáme, že „můžeme vypočítat", není to úplně pravda - my nemůžeme, neboť jsme zatím nestudovali zákony elektřiny na krátkých vzdálenostech. Víme jen, čemuje rovno elektrické pole na velkých vzdálenostech. Vidělijsme vztah (28.3), ale výpočet pole uvnitř vlnové zónyje pro nás zatím příliš komplikovaný. Jelikož však platí zákon zachování energie, správný výsledek můžeme vypočítat aniž bychom znali pole na krátkých vzdálenostech. Naopak odtud plyne, že známe-li pole na velmi velkých vzdálenostech můžeme pomocí zákona zachování energie najít vztah pro síly na krátkých vzdálenostech. Zde se tím však nebudeme zabývat. U jednotlivého elektronu je takový problém: Je-li pouze jeden náboj, jak může sám na sebe působit? Ve staré, klasické teorii byl předložen návrh, že elektronje malá kulička a žejedna část náboje působí na druhou část. Při časovému zpoždění v působení síly napříč malinkým elektronem není síla úplně ve fázi s pohybem. Je-li elektron v klidu, víme, že „akce je rovna reakci", takže různé vnitřní síly se vyrovnávají a výsledná sílaje nulová. Zrychluje-li však elektrón^ není z důvodu časového zpoždění síla, jež působí zezadu na přední část přesně stejná jako síla působící zepředu najeho zadní část. Tak časové zpoždění naruší rovnováhu, takže výsledný efekt je ten, že elektron sám sebe přibrzďuje jakoby tahal za tkaničky svých vlastních bot. Tento model vzniku odporu proti zrychlení, model radiačního odporu pohybujícího se náboje, narazil na mnoho těžkostí, neboť náš současný pohled na elektronje takový, že to není „malá kulička". Je to problém, který zatím nebyl vyřešen. Přesto můžeme přesně vypočítat, jaká musí být výsledná síla radiačního odporu, tj. jak velké musí být ztráty při urychlování náboje i přesto, že mechanizmus působení této síly neznáme. jg£ RADIAČNÍ VÝKON Nyní vypočteme celkovou energii vyzařovanou zrychlovaným nábojem. Aby byla naše diskuze obecná, vezmeme si případ náboje pohybujícího se s libovolným zrychlením, ale nerelativisticky. V okamžiku, kdy je zrychlení, dejme tomu, vertikální, víme, že intenzita vytvářeného elektrického poleje rovna náboji vynásobenému průmětem retardovaného zrychlení vyděleného vzdáleností. Takže elektrické pole známe v každém bodě, a proto známe i druhou mocninu intenzity pole, a tedy i energii eQ cE2 unikající jednotkovou plochou za sekundu. Veličina eQ c se ve vztazích pro šíření rádiových vln vyskytuje dost často. Její převrácená hodnota se nazývá impendance vakua a lze šiji snadno zapamatovat. Má hodnotu 1/ít0 c = 377 ohmů. Takže výkon ve wattech na čtvereční metr je roven střední hodnotě druhé mocniny intenzity pole dělené 377. 426 radiační útlum, rozptyl svétla Obr.32.1 Plochakulovéhopásuje 2ti rsin ů- rdů Použijeme-li pro intenzitu pole náš vztah (29.1), najdeme, že 167t2ír0r2c3 (32.2) je rovno výkonu vyzářenému plochou jednoho čtverečního metru ve směru ů. Všimněme si, že závisí na převrácené hodnotě druhé mocniny vzdáleností, jak jsme si řekli už předtím. Předpokládejme, že bychom chtěli znát celkovou energii vyzářenou všemi směry. Pak musíme integrovat (32.2) přes všechny směry. Nejdříve násobme plochou, abychom našli velikost toku ve směru malého úhlu dů {obr. 32.1). Potřebujeme znát plochu kulového pásu. Lze ji zjistit takto: Je-li r poloměr kulové plochy, je úhlová šířka pásu rdůz. obvodje 2rcrsin#, protože rsinířje poloměr kružnice, takže plocha malé částí kouleje 2rcrsin#krát rdů dA = 2 n r2 sin &d ů. (32.3) Vynásobením toku (32.2) plochou v čtverečních metrech připadajících na malý úhel dů dostaneme část energie uvolněné v tomto směru mezi úhlem #a &+ d ů. Potom integrujeme přes všechny úhly ô od 0°do 180°: P=(SdÁ= g2a'2 ('* sin3 ódů. (32.4) J 8ne0ciJo Použitím vztahu sin3# = (1 - cos2ů) sin ů není těžké ukázat, že jn sin3#d # = 4/3. Použitím tohoto faktu konečně dostáváme 0 2 il P= 9 U , . (32.5) 6neQc3 Tento výraz si zaslouží několik poznámek. Za prvé, protože vektor a' má určitý směr, výraz a'2 v (32.5) bude druhou mocninou vektoru ď, tj. ď • ď, což je druhá mocnina délky vektoru ď. Za druhé, tok (32.2) byl vypočítán pomocí retardovaného zrychlení, tj. pomocí zrychlení v čase, v němž byla vyzářena energie procházející nyní povrchem koule. Snad by se nám líbilo říct, že tato energie se uvolnila v dřívějším čase. To není přesné, je to jen aproximace. Přesný čas uvolnění energie nelze přesně definovat Skutečně přesně můžeme vypočítatjen to, co se děje během celkového pohybu jako například při uzavřeném cyklu oscilací, kde zrychlení nakonec přestává. Tak zjistíme, že celkový tok energie najednu perioduje dán druhou mocninou střední hodnoty zrychlení za tuto periodu. Ve vztahu (32.5) by měla být tato hodnota. Nebo v případě 427 radiační útlum pohybu, při němž je zrychlení na začátku a na konci rovno nule, celková energie, která se uvolnila, je rovna integrálu podle času z (32.5). Pro ilustraci důsledků vztahu (32.5) pro oscilující systém se podívejme, co se stane, když výchylka x náboje osciluje tak, že zrychlení a = -o? xQ e'4". Pro střední hodnotu druhé mocniny zrychlení za jednu periodu (pamatujme, že při umocňování komplexních výrazů musíme být velmi opatrní - je to skutečně kosinus a stř ední hodnota cos2 0)t je jedna polovina) tedy platí Proto 2*2 P=—-—. (32.6) 12 7ií-0cJ Vztahy, o nichž nyní mluvíme, jsou relativně náročné a poměrně moderní. Pocházejí ze začátku dvacátého století a jsou velmi známé. Pro nás j e důležité, abychom o nich uměli číst i v^ starších knihách, kde se používal systém jednotek odlišný od systému SI. To je možno vzít v úvahu ve výsledných vztazích platných pro elektrony podle následujícího pravidla. Veličina qf/4 je e0, kde qt je náboj elektronu (v coulombech) se v minulosti psala jako e2. Velmi snadno lze vypočítat, že e je v systému SI číselně rovno 1,5188 ■ 10" , protože víme, že qt = 1,60206 • 10"19 a 1/4 ti eQ = 8,98748 • 109. Proto budeme často používat zkrácené označení 2 e2 = (32.7) 4ne0 Když ve starších vztazích použijeme uvedenou hodnotu pro ea zacházíme s nimijako by byly zapsány v systému SI, dostaneme správné výsledky. Například starší forma vztahu (32.5) je P = 2/3 e2a2c'3. Potenciální energie protonu a elektronu ve vzdáleností rje g2 ,2 nebo — js hodnotou e= 1,51188 x 10"USI. 4 7i e0 r r RADIAČNÍ ÚTLUM Fakt, že oscilátor ztrácí určitou energii, znamená, že kdybychom měli náboj umístěný na konci pružiny (nebo elektron v atomu) s vlastní frekvencí co0 a kdybychom ho rozkmitali, nebude oscilovat stále i kdyby se nacházel v prázdném prostoru vzdálen od čehokoliv na milióny kilometrů. I kdyby kmital bez tření, nepotřeboval mazání, nepůsobila by na něho žádná vazkost prostředí, přece by nekmital věčně, je-li elektricky nabitý, vyzařuje energii, a oscilace tedy pomalu zaniknou. Jak pomalu? Čemuje rovna kvalita ř? takového oscilátoru způsobená elektromagnetickými jevy, tj. radiační odpor nebo radiační útlum oscilátoru? Pro jakýkoliv oscilační systém j e Q rovno celkové energii oscilátoru dělené energetickou ztrátou na radián W 0 =-—. ^ dW/d

2 (jsou to kombinace vlastních oscilací a časového zpoždění, jež závisí na poloze pozorovatele), tok energie, kterou dostaneme, lze najít složením dvou komplexních vektorů Ax a A^ pod úhly 0 nebo ke zcela volným elektronům, pro které 6>0 = 0. Úhlová frekvence co se pak vykrátí a účinný průřez je konstantní. Tato nízkofrekvenční limita čili účinný průřez volných elektronů je znám jako účinný průřez Thomsonova rozptylu.]^ to plocha, čtverec o délce strany rovné přibližně 10"IS metru, tj. 10~30 čtverečného metru, což je dost malá plocha! Na druhé straně, když si vezmeme svědo ve vzduchu, pamatujeme si, že vlastní frekvence oscilátorů pro vzduch jsou vyšší než frekvence viditelného svěda. Znamená to, že v prvním přiblížení můžeme zanedbat ťu2 ve jmenovateli a vidíme, že rozptyl je úměrný čtvrté mocnině . — ROZPTYL SVĚTLA frekvence. Proto se světlo dejme tomu, dvakrát vyšší frekvence rozptyluje šestnáctkrát intenzivněji, coje dost velký rozdíl. Modré svědo, jehož frekvenceje přibližně dvakrát vyšší než frekvence červeného svěda, se rozptyluje šestnáctkrát intenzivněji než červené světío, a to už je značný rozdíl. Proto, když se podíváme na nebe zajasného počasí, vypadá tak nádherně modře! K těmto výsledkůmje třeba dodat několik poznámek. Jedna zajímavá otázka zní: Proč vůbec vidíme mraky} Odkud se vzaly? Každý ví, že to je kondenzovaná vodní pára, ale vodní páraje v atmosféře už i předtím než se kondenzuje, tak proč ji nevidíme už tehdy? Že ji vidíme, když je zkondenzovaná, to je celkem zřejmé. Předtím tam mraky nebyly a najednou tam jsou, takže záhada, odkud se berou mraky, není dětskou otázkou jako: „Tatínku, kde se vzala voda?", aleje třeba jí pořádně vysvědit. Právě jsme si vysvědili, že každý atom rozptyluje svědo, takže je jasné, že vodní pára ho bude rozptylovat také. Záhadou je, proč voda, když j e zkondenzovaná do mraků, rozptyluje takové obrovské množství svěda? Zamysleme se nad tím, co se stane, když místo jednoho atomu budeme mít seskupení atomů, řekněme dvou, jež jsou velmi blízko ve srovnání s vlnovou délkou svěda. Vzpomeňme si, že atomy mají průměr přibližnějeden angstrôm, zatímco vlnová délka svědaje asi 5 000 angstromů, takže, když se vytvoří shluk několika atomů, mohou být ve srovnání s vlnovou délkou svěda velmi blízko sebe. Když na ně začne působit elektrické pole, oba atomy se začnou pohybovat společné. Intenzita rozptýleného elektrického pole bude pak dána součtem intenzit obou polí ve fázi, tj. amplituda bude dvojnásobná ve srovnání sjediným atomem a energie, jež se rozptýlí, bude proto ne dvakrát, ale čtyřikrát větší než s jedním atomem! Takže shluky atomů vyzařují nebo rozptylují více energie než jednodivé atomy. Náš argument o nezávislosti fází je založen na předpokladu, že mezi dvěma atomy je skutečně velký fázový rozdíl, což je pravda, jen když jsou od sebe vzdáleny několik vlnových délek a nepravidelně uspořádány nebo když se pohybují. Je-li však jeden atom těsně vedle druhého, nevyhnutně rozptylují svědo ve fázi a koherentně interferují, což způsobuje růst rozptylu. Máme-li ve shluku JVatomů, malinkou kapičku vody, každý z nich bude buzen elektrickým polem stejně jako předtím (vzájemný účinek atomů můžeme zanedbat, jde nám jen o princip) i amplituda rozptylu bude od každého stejná, takže celkové rozptýlené pole bude JV-krát silnější. Intenzita rozptýleného svěda bude proto .Ň2-krát větší. Snad bychom očekávali, že to bude pouze Atkrát víc ve srovnání s tím, kdyžjsou atomy prostorově rozptýleny, ale ono je to N2 -krát víc. Lze tedy říct, že pro shluk TVmolekul vody je rozptyl .A/2-krát silnější než je rozptyl na jednodivých atomech. Jak se voda sráží, rozptyl narůstá. Narůstá až do nekonečna? Ne! Kdy začne selhávat tato analýza? Pro jak velký shluk atomů již nebude platit taková argumentace? Odpověď zní: Když se vodní kapka zvětší natolik, že její rozměry jsou přibližně rovny vlnové délce. Pak už všechny atomy nejsou ve fázi, protože jsou od sebe příliš vzdálené. Zvětšuje-li se velikost kapek, rozptyl stále roste, dokud kapka nenabyde rozměru vlnové délky. Pak se rozptyl s narůstáním kapky už zdaleka tak rychle nezvětšuje. Navíc se ztratí modrá barva, protože než se dosáhne této limity pro, velké vlnové délky, kapky mohou býtjiž příliš velké pro malé vlnové délky. I když se krátké vlny na atomu rozptylují víc než dlouhé vlny, jakmile jsou všechny kapky větší než vlnová délka, dochází k většímu zvýraznění červeného konce spektra než modrého konce, takže barva se posune od modré směrem k červené. Ukážeme si to pokusem. Můžeme vytvořit částice, jež jsou na začátku velmi malé a pak se zvětšují. Použijeme roztok thiosíranu sodného s kyselinou sírovou, v němž se vylučují drobná zrnka síry. Zrníčka síry jsou na začátku velmi malá a rozptylové světlo je trochu namodralé. Dalším vylučováním rozptyl zintenzívní, a když částice narůstají, zbarví se do běla. Navíc svědo, 434 RADIAČNÍ ÚTLUM. ROZPTYL SVETLA které pronikne roztokem, bude ochuzeno o modrou složku. To je také důvod, pročje zapadající slunce zbarveno červeně. Svědo, jež přichází do oka silnou vrstvou vzduchu, ztratilo rozptylem mnoho ze své modré složky, takže je žlutě-červené. Je ještě další důležitá věc, která už vlastně patří do následující kapitoly o polarizaci, aleje tak zajímavá, že na ni upozorníme již nyní. Jde o to, že elektrické pole rozptýleného svěda má tendenci kmitat v určitém směru. Elektrické pole dopadajícího svěda osciluje nějakým způsobem a jím buzený oscilátor se pohybuje v témž směru. Díváme-li se pod pravým úhlem k paprsku, uvidíme polarizované svitlo, to jest svědo, v němž intenzita elektrického pole má jen jeden směr. Atomy mohou obecně kmitat v libovolném směru pod pravým úhlem ke směru paprsku, ale když kmitají ve směru přímo k nám nebo od nás, kmity nevidíme. Proto, když se elektrické pole dopadajícího svěda mění a kmitá v libovolném směru, je nepolarizované, ale svědo rozptýlené pod úhlem 90° k paprsku, kmitá jen v jednom směru! (viz obr. 32.3). Obr. 32.3 Znázorněni vzniku polarizace záření rozptýleného pod pravým úhlemkpůvodnímusvazku Existuje látka nazvaná polaroid, jež má tu vlastnost, že když jí prochází světlo, projde jen ta část elektrického pole, jež má směr podél jedné dané osy. Můžeme ji použít k testování polarizace a opravdu zjistíme, že svědo rozptýlené roztokem thiosíranu sodného je silně polarizované. dopadající paprsek (nepolarizovaný) elektron se pohybuje v rovině 1* 435 ŘÍKLADY A CVIČENÍ 32.1 ■ Ukažte, že má-li pohybová rovnice nabitého oscilátoru tvar dt2 3c2m dt3 m pak člen obsahující tře tí derivaci a odpovídající tzv. radiační síle tření správně popisuje rychlost ztráty energie zářením (radiační odpor) pro libovolnou frekvenci. Nechť F(r) = Äcostu t. Najděte práci, kterou vykonává radiační síla tření. 32.2 ■ Svazek světla prochází oblastí, obsahující N rozptylových center v jednotce objemu. Srážkový průřez rozptylu na každém z nich je roven a. Ukažte, že intenzita světla závisí na prošlé vzdálenosti x vztahem / = /0e~WffX. 32.3 ■ Použijte výraz pro srážkový průřez a= — 3 ur a vzorec pro index lomu plynu a ukažte, že veličina Na může být zapsána ve tvaru 3TT N { Ä (Tímto způsobem byla poprvé vypočítána Avogadrova konstanta z pokusů s rozptýleným světlem.) 32.4 ■ Jaké množství modrého světla (A=450 nm) vyzařovaného Sluncem prochází atmosférou a) je-li Slunce v zenitu, b) je-li Slunce 10° nad obzorem? 32.5 ■ Když byly objeveny nové paprsky (rentgenové paprsky neboli paprsky X, s tehdy ještě neznámými a udivujícími vlastnostmi), byla vyslovena domněnka, že jsou to, podobno jako světlo, příčné elektromagnetické vlny. Pak bylo zpozorováno, že se tyto paprsky rozptylují na elektronech v látce. Jak by bylo možné dokázat, že jsou to skutečně příčné vlny? Lze rentgenové paprsky polarizovat? 32.6 ■ Vnitřní sluneční koróna (nazývaná K koróna) je tvořena slunečním světlem rozptýleným na, volných elektronech. Zdánlivý jas této K koróny ve vzdálenosti jednoho slunečního poloměru od okraje slunečního disku představuje 10"8 jasu slunečního (na jednotku plochy). Určete počet volných elektronů v 1 cm 3 v prostoru v blízkosti Slunce. 32.7 ■ Ukažte, že veličina (^c)~1 má rozměr odporu a odhadněte jeho číselnou hodnotu. 32.8 ■ Mezihvězdný prostor je zaplněn oblaky tvořenými nepatrnými zrnky prachu skládajících se z uhlíku, ledu a velmi malého množství jiných prvků. Jaká musí být nejmenší hmotnost takových zrnek připadající na jednotku plochy (v g cm "2), aby zhoršila viditelnost námi pozorovaných hvězd řekněme 100krát (o pět hvězdných veličin). Nezapomeňte, že světlo se na zrnkách prachu může nejen rozptylovat, ale může být jimi i pohlcováno. 32.9 ■ Krátký přímý úsek drátu rozptyluje elektromagnetické vlny vyzařované radiolokátorem. Elektrické pole dopadající vlny interaguje s pohybujícími se elektrony v drátu a nastává rozptyl. Je-li délka drátu mnohem menší než je vlnová délka elektromagnetických vln, můžeme předpokládat, že střední posunutí elektronů podél osy drátu je úmorné složce intenzity elektrického pole E, vlny rovnoběžné s drátem. Je-li v drátu N elektronů a označ(me-li jejich střední posunutí d, platí d=%Er Máme zjistit, v závislosti na x& N, a) čemu je roven srážkový průřez rozptylu drátu, b) jak závisí srážkový průřez rozptylu na orientaci drátu. 436 olarizace 33.1 ELEKTRICKÝ VEKTOR SVĚTLA 33.2 POLARIZACE ROZPTÝLENÉHO SVĚTLA 33.3 DVOJLOM 33.4 POLARIZÁTORY 33.5 OPTICKÁ AKTIVITA 33.6 INTENZITA ODRAŽENÉHO SVĚTLA 33.7 ANOMÁLNÍ LOM SVĚTLA ELEKTRICKÝ VEKTOR SVĚTLA V této kapitole se budeme zabývat jevy, jež souvisí s tím, že intenzita elektrického pole popisujícího svědo je vektor. V předcházejících kapitolách jsme se nezajímali o směr oscilací intenzity elektrického pole; pouze jsme poznamenali, že vektor intenzity elektrického pole leží v rovině kolmé ke směru šíření světla. Konkrétní směr, který v této rovině má, nás už nezajímal. Nyní si proberemejevy.jejichž hlavním rysemje právě konkrétní směr oscilací elektrického pole. y y y y y y Obr. 33.1 Skládáníkmitůvesměruosxayvefázi V ideálním monochromatickém svědě musí elektrické pole oscilovat s přesnou frekvencí, ale protože složka x a složka y oscilují nezávisle, musíme se podívat, co vznikne skládáním dvou nezávislých vzájemně kolmých oscilací. Jaké pole vznikne, kmitají-li složka x i y se stejnou frekvencí? Probíhá-li kmitání ve směru osy x a k němu se přidá další kmitavý pohyb se stejnou fazí ve směru osy y, budou výsledné kmity probíhat v novém směru v rovině xy. Na obr. 33. i jsou 437 ELEKTRICKÝ VEKTOR SVETLA znázorněny superpozice pro různé amplitudy kmitů xa y. Výsledky znázorněné na obr. 33.1 nejsou jediné možné. Ve všech těchto případech jsme předpokládali, že kmity x a y jsou ve fázi, ale nemusí tomu tak být. Může se však stát, že kmity x a y nejsou ve fázi. Nejsou-li kmity x a y ve fázi, opisuje konec vektoru intenzity elektrického pole elipsu. Lze to znázornit známým způsobem. Zavěsíme-li kuličku na dlouhé vlákno tak, že se může volně kývat v horizontální rovině, bude vykonávat sinusoidální oscilace. Když umístíme počátek souřadnic x a y v klidové poloze kuličky, může kulička kmitat ve směru x nebo ve směru y se stejnou frekvencí kyvadla. Výběrem vhodné počáteční polohy a rychlostí můžeme docílit toho, že kulička kmitá buď podél osy x nebo podél osy y nebo podél libovolné přímky v rovině xy procházející počátkem. Tyto pohyby kuličky jsou analogické s oscilacemi vektoru intenzity elektrického pole znázorněnými na obr. 33.1. Protože kmity x a y nabývají současně svá maxima a minima, jsou obě oscilace v každém okamžiku ve fázi. Víme však, že nejobecnější pohyb kuličkyje pohyb po elipse; to odpovídá oscilacím, kdy pohyby xay nejsou ve fázi. Superpozice kmitů xa. y, jež nejsou ve fázi, je znázorněna pro různé úhly mezi fázemi těchto kmitů na obr. 33.2. Obecný výsledek je takový, že vektor intenzity elektrického pole opisuje elipsu. Pohyb po přímce je zvláštním případem pohybu po elipse, jenž odpovídá nulovému fázovému rozdílu (nebo celočíselnému násobku 7t). Pohyb po kružnici odpovídá stejným amplitudám s fázovým rozdílem 90 ° (nebo lichým celočíselným násobkům 7t/2). Na obr. 33.2jsme označili vektory intenzity elektrického pole ve směrech x a y komplexními čísly, jež jsou vhodným způsobem pro vyjádření fázového rozdílu. Nezaměňujme přitom vtomto zápisu reálnou a imaginární složku komplexního elektrického vektoru se složkami pole xzy. Složky xay znázorněné na obr. 33.1 a obr. 33.2jsou skutečná elektrická pole, která můžeme měřit. Reálná a imaginární složka komplexního vektoru intenzity elektrického pole jsou pouze vhodným matematickým vyjádřením a nemají fyzikální význam. ab cd e Obr. 33.2 Skládání kmitů ve směru os xajise stejnými amplitudami, ale s různými relativními fázemi. Složky Ex a EJsouvyjádřenyvreálnémikomplexním tvaru Nyní trochu terminologie. Říkáme, že svědo je lineárni polarizované (někdy též rovinně polarizované), osciluje-li vektor intenzity elektrického pole podél přímky. Obrázek 33.1 znázorňuje lineární polarizaci. Pohybuje-li se konec vektoru intenzity elektrického pole po elipse, je 438 POLARIZACE světlo elipticky polarizované. Pohybuje-li se konec vektoru intenzity elektrického pole po kružnici, máme kruhovou polarizaci. Letí-li světlo přímo proti nám a konec vektoru elektrického pole se otáčí proti směru hodinových ručiček, jde o pravotočivou polarizaci. Obrázek 33.2gznúzorňuje pravotočivou kruhovou polarizaci a obrázek 33.2cznázorňuje levotočivou kruhovou polarizaci. V obou případech svědo vychází kolmo ven z papíru. Naše konvence označování levotočivé a pravotočivé kruhové polarizace je konzistentní s označováním, které se dnes používá ve fyzice pro všechny další častíce, jež projevují polarizaci (například elektrony). V některých knihách o optice se však používá opačná konvence, takže je tře ba jisté opatrností. Uvažovali jsme svědo polarizované lineárně, kruhově a elipticky, čímž jsme vyčerpali vše kromě případu nepolarizovaného světía. Jak může být svědo nepolarizované, když víme, že musí kmitat po některé elipse? Nenf-li svědo dokonale monochromatické nebo když poměr fází x a y není dokonale ustálený, takže vektor intenzity elektrického pole zpočátku kmitá vjednom směru a pak v druhém, tehdy se polarizace neustále mění. Vzpomeňme si, že jeden atom vyzařuje po dobu 10"8 sekundy, a vyzařuje-li jeden atom svědo s určitou polarizací a pak další atom vyzařuje zase s jinou polarizací, polarizace se bude měnit každých 10~8 sekundy. Mění-li se polarizace rychleji, než jsme schopni ji detekovat, nazýváme svědo nepolarizovaným, neboť všechny jevy polarizace se v průměru ruší. U nepolarizovaného svěda se žádný polarizační interferenční jev neprojevuje. Jak je však vidět z definice, je svědo nepolarizované jen tehdy, když my nejsme schopni zjistit, zdaje polarizované nebo ne. 33.2 POLARIZACE ROZPTÝLENÉHO SVĚTLA První příklad jevu polarizace, kterýjsme uvedli, je rozptyl svěda. Představme si svazek světía, například slunečního, dopadající na vrstvu vzduchu. Elektrické pole způsobí oscilace nábojů ve vzduchu a jejich pohyb vyvolá vyzařování světla s největšf intenzitou v rovině kolmé ke směru oscilací nábojů. Světelný paprsek je nepolarizovaný, takže směr polarizace se neustále mění a také se neustále mění směr oscilací nábojů ve vzduchu. Všimneme-li si svěda rozptýleného pod úhlem 90 °, vysílají kmitající náboje svědo k pozorovateli pouze tehdy, jsou-li kmity kolmé ke směru, jímž se dívá pozorovatel a tehdy bude svědo polarizované podél směru kmitů. Takže rozptyl je jedním z příkladů, jak lze získat polarizaci. 33^ DVOJLOM Dalším zajímavým jevem sousedícím s polarizací je fakt, že existují látky, jež mají jiný index Jomu pro svědo lineárně polarizované vjednom směru a jiný pro svědo lineárně polarizované v druhém směru. Představme si, že bychom měli látku skládající se z dlouhých, nesférických molekul, jejichž podélná osa by byla značně delší než příčná, a jež by byly v látce uloženy rovnoběžně. Co se stane, prochází-li oscilující elektrické pole takovou látkou? Předpokládejme, že vzhledem ke struktuře molekul se elektrony, které jsou v látce, rozkmitají pod vlivem elektrického pole snáze ve směru podélné osy molekul než ve směru příčném. Pak můžeme očekávat rozdílné chování látky vůči světlu polarizovanému podél směru molekul a světlu polarizovanému příčně. Nazvěme směr podélné osy molekul optickou osou. Pro svědo polarizované ve směru optické osy je jiný index lomu než pro svědo polarizované pod pravým úhlem k optické ose. Taková látka se nazývá dvojlomnou, tj. má dva indexy lomu, závisící na směru polarizace uvnitř látky. Jaká látka může být dvojlomná? V dvojlomné látce musí být nějakým způsobem seřazeny 439 POLARIZACE ROZPTÝLENÉHO SVÉTLA ♦ DVOJLOM nesymetrické molekuly. Krystal, který má krychlovou symetrii, určitě nemůže být dvojlomný, ale dlouhé krystaly v podobě jehlic nepochybně obsahují nesymetrické molekuly a lze u nich pozorovat výrazný dvojlom. Podívejme se, co můžeme očekávat, prosvítíme-li desku z dvojlomné látky polarizovaným světlem. Je-li svědo polarizováno podél optické osy, projde deskou určitou rychlostí; je-li polarizováno kolmo, přenáší se jinou rychlostí. Zajímavá situace nastane, je-li světlo polarizováno pod úhlem 45 ° k optické ose. Před chvílí jsme si řekli, že polarizace pod úhlem 45 ° znamená superpozici polarizací x a y se stejnou amplitudou a fází, jak je na obr. 33.2a. Protože polarizace xzy se v látce šíří různou rychlostí, jejich fáze se při průchodu látkou mění nestejně. Takže, i když jsou oscilace x a y na začátku ve fázi, v látce je fázový rozdíl mezi nimi úměrný doušťce vrstvy. S postupem svěda látkou se měníjeho polarizace, jakje znázorněno na sérii obrázků (obr. 33.2). Je-li doušťka desky taková, že mezi polarizacemi xa^ivznikne fázový rozdíl 90 °jako na obr. 33.2c, vyjde svědo jako kruhově polarizované. Taková destička se nazývá čtvrtvlnová, protože posune polarizace xaj fázově o čtvrtinu periody. Projde-li lineárně polarizované svědo čttrtvlnovými destičkami, vyjde opětjako lineárně polarizované, ale pod pravým úhlem k původnímu směru, jakje vidět z obr. 33.2e. Tento jev lze snadno znázornit kouskem celofánu. Celofán se skládá z dlouhých vláknitých molekul a není izotropní, neboť vlákna leží většinou vjednom směru. K demonstraci dvojlomu potřebujeme svazek lineárně polarizovaného svěda; můžeme ho získat tak, že necháme procházet nepolarizované svědo vrstvou polaroidu. Polaroid (podrobně si ho probereme později) má tu užitečnou vlastnost, že propouští svědo lineárně polarizované podél osy polaroidu, zatímco svědo polarizované ve směru kolmém na osu polaroidu silně absorbuje. Propustíme-li polaroidem nepolarizované svědo, projde jím pouze ta část nepolarizovaného svazku, která osciluje rovnoběžně s osou polaroidu, takže propuštěný svazek je lineárně polarizován. Tato vlastnost polaroidu je vhodná i k detekci směru polarizace lineárně polarizovaného svazku nebo také k určení toho, zdaje svazek lineárně polarizován nebo ne. Svědo necháme prostě procházet polaroidem, přičemž jím otáčíme v rovině kolmé ke svazku. Je-li svazek lineárně polarizován, neprojde destičkou polaroidu, pokud je jeho osa kolmá ke směru polarizace. Otočíme-li polaroid o 90°, projde svazek jen málo oslaben. Nezávisí-li intenzita procházeného svěda ná orientaci polaroidu, znamená to, že svazek není lineárně polarizován. K demonstraci dvojlomu celofánu použijeme dva polaroidy, jak je znázorněno na obr. 33.3. První polaroid nám dává lineárně polarizovaný svazek, jenž prochází celofánem a pak druhým polaroidem, který nám ukáže, jak celofán ovlivnil jím procházející polarizované světlo. Nastavíme-li osy obou polaroidů zpočátku vzájemně kolmo a celofán odstraníme, neprojde druhým polaroidem žádné svědo. Vložíme-li nyní mezi polaroidy celofán a začneme jím otáčet kolem osy svazku, zjistíme, že část svěda druhým polaroidem prochází. Existují však dva navzájem kolmé směry orientace celofánu, kdy druhým polaroidem neprojde žádné svědo. Tyto směry, při nichž celofán neovlivní jím procházející lineárně polarizované svědo, musí být rovnoběžné a kolmé na optickou osu celofánu. Předpokládáme, že při těchto dvou orientacích celofánu má svědo různou rychlost, ale směr jeho polarizace se nezmění. Po pootočení celofánu do střední polohy mezi těmito dvěma směry, jakje ukázáno na obr. 33.3, vidíme, že druhým polaroidem prochází jasné svědo. Shodou okolností má celofán, jenž se běžně používá k balení, doušťku, která je přibližně rovna polovině vlnové délky pro většinu barev bílého svěda. Svírá-li dopadající lineárně polarizované svědo s optickou osou úhel 45 °, otočí takový celofán jeho polarizaci o 90 ° a svazek vyletující z celofánu pak kmitá ve správném směru, aby mohl projít druhým polaroidem. 440 POLARIZACE celofán polaroid Obr. 33.3 Experimentábil demonstrace dvojlomu celofánu. Vektory intenzity elektrického pole světlajsou znázorněny č^kovaně.SměrpropustaostipolaroidůaoptictóosacdofánujsounaznačenyšipkaniL Dopadající paprseknení polarizovaný. Provedeme-li pokus s bílým švédem, bude mít celofán správnou půlvlnovou doušřkujen pro některou složku bílého světla a vyletující svazek bude mít barvu této složky. Barva svěda bude záviset na doušťce celofánu, jíž svědo prošlo. Tuto doušťku můžeme snadno měnitjeho nakláněním, takže svědo celofánem prochází šikmo, a tedy podél delší dráhy. S náklonem celofánu se mění barva procházejícího svěda. Pomocí celofánu různých douštěklze zkonstruovat filtry, které propouštějí různé barvy. Tyto filtry mají zajímavou vlastnost, že jsou-li osy polaroidů na sebe kolmé, propouštějí jednu barvu a jsou-li navzájem rovnoběžné, propouštějí doplňkovou barvu. Také další využití látek s uspořádanými molekulami má praktický význam. Některé plastické hmoty se skládají z velmi dlouhých, komplikovaných a navzájem propletených molekul. Nechá-li se plastická hmota opatrně ztvrdnout, uspořádaj se všechny molekuly tak, že vjednom i druhém směru je jich stejný počet a plastická hmota není příliš dvojlomná. Při tvrdnutí působí na hmotu obyčejně daky a mechanická napětí, takže materiál není zcela homogenní. Působíme-li na takovou plastickou hmotu mechanickým napětím, jako bychom tahali celou spleť vláken a ve směru působícího napětí bude uspořádáno více vláken než v jiných směrech. Proto, když se na určité plastické látky působí dakem, stávají se dvojlomnými, jak můžeme zjistit, kdyžje prosvítíme polarizovaným světlem. Při pozorování svěda polaroidem je vidět soustava tmavých a svědých proužků, (barevných, když jsme použili bílé svědo). Při změně mechanického napětí se soustava proužků mění a z jejich tvaru a hustoty lze určit, jak je vzorek namáhán. V inženýrské praxi se tento jev používá k určování namáhání součástek složitých tvarů, jež by bylo možné těžko vypočítat. Jiná zajímavá možnostjak vyvolat dvojlomje použití tekutých látek. Mějme tekutinu složenou z dlouhých asymetrických molekul, které mají na koncích kladný nebo záporný náboj, takže se chovají jako elektrické dipóly. Za normálních okolností jsou molekuly v důsledku srážek orientovány náhodně a se stejným počtem molekul natočených tím nebo jiným směrem. Přiloží-me-li elektrické pole, budou mít molekuly tendenci se uspořádat a v tom okamžiku se tekutina stane dvojlomnou. Se dvěma polaroidy a s průhlednou nádobkou obsahující takovou polarizovanou tekutinu můžeme sestrojit zařízení, které bude propouštět svědojen tehdy, bude-li zapnuto elektrické pole. Získáme tak elektrickou uzávěrku svěda, jíž se také říká Kerrův článek. Jev, že elektrické pole může v určitých tekutinách vyvolat dvojlom, se nazývá Kerrův jev. POLARIZÁTORY Zatím jsme uvažovali látky, jež mají rozdílné indexy lomu pro svědo polarizované v různých směrech. Velký praktický význam mají také krystaly a jiné látky, jež mají nejen rozdílné indexy lomu pro svědo polarizované v různých směrech, ale i koeficienty absorpce. Na základě stejných důvodů, které jsme uvedli u dvojlomu.je pochopitelné, že v anizotropnf látce se i absorpce může měnit podle směru, v němž jsou náboje nuceny kmitat. Dávno známým příkladem je turmalín a dalším je polaroid. Polaroid je tvořen tenkou vrstvou malých, rovnoběžně uložených krystalků POLARIZÁTORY herapathitu (jodosulfátu chininu). Tyto krystaly absorbují svědo oscilující v jednom směru a téměř neabsorbují svědo oscilující v druhém směru. Předpokládejme, že polaroid osvědíme svědem lineárně polarizovaným pod úhlem ôk propustnému směru. Jaká bude intenzita svěda, které jde polaroidem? Dopadající svědo lze rozložit na složku kolmou k propustnému směru, úměrnou sin #a na složku rovnoběžnou s propustným směrem, úměrnou cos/i. Polaroidem projde jen složka amplitudy cos# složka sin#se absorbuje. Amplituda svěda, jež prošlo polaroidem, je menší než amplituda dopadajícího svěda o faktor cosi?. Energie, tj. intenzita svěda, je úměrná druhé mocnině cos&. Tedy intenzita propuštěného svěda,je-li dopadající svědo polarizováno pod úhlem ů, je úměrná cos2 ů. Intenzita absorbovaného svěda je, samozřejmě úměrná sin2 ů. Zajímavý paradox nastane za takovéto situace: Víme, že dvěma zkříženými polaroidy, jejichž osy svírají pravý úhel, svazek svěda neprochází. Vsuneme-li však mezi oba polaroidy deštíčku třetíi ho polaroidu s osou propustností pod úhlem 45 ° k osám zkřížených polaroidů, nějaké svědo projde. Víme, že polaroid svědo nevytváří, ale absorbuje ho. Přesto přidání třetího polaroidu pod úhlem 45 0 umožní nějakému svedu proletět. Analýzu tohoto jevu ponecháme čtenáři jako cvičení Jeden z nejzajímavějších příkladů polarizace nenastává u komplikovaných krystalů nebo složitých látek, ale při jednom z nejznámějších a nejjednodušších jevů - při odrazu svěda od povrchu. Věřte nebo ne, svědo odražené od povrchu skla může být polarizované a lze to velmi snadno fyzikálně vysvědit. Brewster experimentálně zjistil, že svědo odražené od povrchu je úplně polarizované, svírají-li odražený a lomený paprsek v látce pravý úhel. Tato situace je znázorněna na obr. 33.4. Je-li dopadající paprsek polarizován v rovině dopadu, odraz vůbec nenastane. Paprsek se odrazí pouze tehdy, je-li dopadající paprsek polarizován kolmo k roviné dopadu. Důvod lze velmi snadno pochopit V látce je svědo polarizováno příčně a víme, že jsou to právě pohyby nábojů, jež generují vynořující se paprsek, který nazýváme odraženým. Zdrojem tohoto odraženého svěda není prostě odraz dopadajícího paprsku. Hlubší analýza tohoto jevu nám říká, že dopadající paprsek rozkmitá v látce náboje, které pak generují odražený paprsek. Z obr. 33.4 je jasné, že jen kmity kolmé na rovinu papíru mohou vyzařovat ve směru odrazu a proto odražený paprsek bude polarizován kolmo na rovinu dopadu. Je-li dopadající paprsek polarizován v rovině dopadu, žádné svědo se neodrazí. Obr. 33.4 Odraz lineárně polarizovaného světla pod Brewsterovým úhlem. Směr polarizace je naznačen pomocí čárkovaných šipek. Kroužky znázorňují polarizaci kolmou na směr papíru Tento jev lze jasně ukázat na odrazu lineárně polarizovaného svěda dopadajícího na kousek plochého skla. Nastavením skla pod různými úhly dopadu pro polarizovaný paprsek je možné zjistit náhlý pokles intenzity odraženého svěda právě při dopadu pod Brewsterovým úhlem. Tento poklesje vidětjen tehdy, leží-li rovina polarizace v rovině dopadu.Je-li kolmá k rovině dopadu, pozorujeme obvyklou intenzitu odraženého svěda ve všech směrech. 442 POLARIZACE 33^ OPTICKÁ AKTIVITA Další velmi zajímavý polarizační jev můžeme pozorovat v látkách složených z molekul bez zrcadlové symetrie: u molekul ve tvaru vývrtky nebo ve tvaru rukavice či jakéhokolivjiného tvaru, který se v zrcadle zobrazuje tak, jako když levá rukavice přechází v pravou. Předpokládejme, že všechny molekuly v látce jsou stejného typu, tj. žádná není zrcadlovým obrazem druhé. U takové látky se může projevovat zvláštní jev, nazvaný optická aktivita, kdy lineárně polarizované svědo, které touto látkou prochází, stáčí směr polarizace kolem osy paprsku. Obr. 33.5 Tvar molekuly, která nemá zrcadlovou symetrii. Na molekulu dopadá světelný paprsek lineárně polarizovanýve směru osyy. K pochopení optické aktivityjsou potřebné určité výpočty, ale i bez nich můžeme kvalitativně ukázat, jak tento jev vzniká. Vezměme asymetrickou molekulu spirálovitého tvaru, jaká je znázorněna na obr. 33.5. K tomu, aby se u látky projevila optická aktivita, není nutné, aby její molekuly měly tvar vývrtky, ale tento jednoduchý tvar si vezmeme jako typický příklad pro molekuly bez zrcadlové symetrie. Dopadá-li na molekulu svědo lineárně polarizované ve směru osy y, jeho elektrické pole rozkmitá náboje podél závitů spirály, čímž vytvoří proud ve směru osy y a náboje budou vyzařovat elektrické pole i? , polarizované v ose y. Jsou-li elektrony při kmitání nuceny se pohybovat podél spirály, musí se pohybovat také ve směru osy x. Proud procházející podél spirály vtéká v bodě z=Zl do roviny papíru a v bodě Z=ZX + A ven z papíru (/Ije průměr naší spirálové molekuly). Lze předpokládat, že proud ve směru osy x nevyvolá žádné výsledné záření, neboť na protilehlých stranách spirály teče opačným směrem. Vezmeme-li však složku pole xv bodě z-Z^, vidíme, že pole vyzářené proudem z bodu z=Zx+A a. pole z bodu z=Zx se dostanou do bodu ^ s časovým rozdílem A/c, takže jejich fázový posun je 7t + (oA/c. Protože tento fázový rozdíl není roven přesně n, tato dvě pole se úplně neruší a zůstane nám malá složka x elektrického pole vytvořeného pohybem elektronů v molekule, zatímco budící elektrické pole mělo jen složku y. Součet této malé složky x a velké složky y vytváří výsledné pole, jež je mírně skloněno vzhledem k ose y, tj. k původnímu směru polarizace. Jak svědo postupuje látkou, směr jeho polarizace se otáčí kolem osy paprsku. Pomocí několika dalších příkladů a analýzou proudů indukovaných dopadajícím elektrickým polem lze ukázat, že existence optické aktivity a znaménko rotace jsou nezávislé na orientaci molekul. Běžnou látkou, jež se vyznačuje optickou aktivitou, je glukosa. Lze to snadno ukázat pomocí polaroidové destičky, která vytvoří lineárně polarizovaný paprsek, průhledné nádobky obsahující glukosu a druhé destičky, jíž se zjistí pootočení směru polarizace při průchodu svěda glukosou. 443 OPTICKÁ AKTIVITA ♦ INTENZITA ODRAŽENÉHO SVÉTLA 33.6 INTENZITA ODRAŽENÉHO SVETLA Nyní se podívejme na koeficient odrazu jako na funkci úhlu. Obrázek 33.6a. znázorňuje dopad světelného paprsku na povrch skla, kde se částečně odráží a částečně láme směrem do skla. Nechťje dopadající paprsek jednotkové amplitudy lineárně polarizovaný kolmo na rovinu papíru. Amplitudu odraženého svěda označíme b a amplitudu lomeného paprsku a. Samozřejmě, že odražený i lomený paprsek budou lineárně polarizované a vektory intenzit elektrického pole dopadající, budou odražené a lomené vlny navzájem rovnoběžné. Obrázek 33.6b znázorňuje stejnou situaci, ale teď předpokládáme, že dopadající vlna jednotkové amplitudy je polarizována v rovině papíru. Amplitudy odražené a lomené vlny si nyní označme jako A a Ä Chceme vypočítat, jak silnýje odraz v těchto dvou případech znázorněných na obr. 33.6aanz obr. 33.6b. Už víme, že kdyžje úhel mezi odraženým a lomeným paprskem roven pravému úhlu, na obr. 33.6b nebude odražený paprsek, ale zkusme, zda by se nám nepodařilo získat i kvantitativní řešení problému - exaktní vztah pro B a ôjako funkce úhlu dopadu t. Obr. 33.6 Odrazalomvbiysjednotkovouamplitudoudopadajícínapovrchskla. a) Dopadající vlna j e lineárně polarizovaná kolmo na rovinu papíru. b) Dopadajítívlnajelineáměpolarizovanávesměramázoměnémčárkovaný^ elektrického pole. Princip, který musíme pochopit, je takový: Proudy vyvolané ve skle vytvářejí dvě vlny. První je odražená vlna. Navíc víme, že kdyby ve skle nebyly indukované proudy, dopadající vlna by pokračovala přímočaře do skla. Pamatujme, že výsledné poleje vytvořeno všemi zdroji na světě. Zdroj dopadajícího svěda vytváří pole jednotkové amplitudy, jež by se pohybovalo ve skle podél přerušované čáry na obrázcích. Takové pole nepozorujeme, a proto proudy indukované ve skle musí vytvářet pole s amplitudou -1, jež postupuje podél přerušované čáry. Na základě toho vypočítáme amplitudy odražených vln a a A. Na obrázku 33.6a vidíme, že pole s amplitudou b vzniká pohybem nábojů ve skle, jež budí pole s amplitudou a uvnitř skla, a proto je b úměrné a. Protože naše dva obrázky jsou úplně stejné až na směr polarizace, mohli bychom předpokládat, že poměr B/A bude stejný jako poměr b/a. To neplatí úplně, neboť na obr. 33.6b nejsou směry všech polarizací navzájem rovnoběžné, jak to bylo na obr. 33.6a. Při vytváření B se uplatní jen složka A, která je kolmá k B, A cos(i+ r). Správný vztah úměrnosti je pak b _ B a A cos (i + r) (33.1) 444 POLARIZACE Nyní použijeme trik. Víme, že na obou obrázcích 33.6a i b musí elektrické pole ve skle vyvolávat oscilace nábojů, které generují pole s amplitudou -1, polarizované rovnoběžně s polarizací dopadajícího svěda a šířící se podél směru přerušované čáry. Z částí b našeho obrázku je zřejmé, že správnou polarizaci májen ta složka A, kteráje kolmá na přerušovanou čáru, zatímco na obr. 33.oase uplatní celá amplituda a, neboť polarizace vlny oje rovnoběžná s polarizací vlny s amplitudou -1. Proto můžeme napsat -4cos ji-r) = ^33 2j a -1' neboť každá z obou amplitud na levé straně rovnice (33.2) vytváří vlnu s amplitudou -1. Dělením rovnice (33.1) rovnicí (33.2) dostaneme výsledek 4 = ^4 (33.3) o cos (i - r) který si můžeme ověřit tím, co už víme. Položíme-li (í + r) = 90 °, dává rovnice (33.3) 5=0. To je podle Brewstera správně, takže zatím naše výsledky, aspoň na první pohled, nejsou špatně. Pro dopadající vlny jsme předpokládali jednotkové amplitudy, takže koeficient odrazu pro vlny polarizované v rovině dopadu je |2?|2/12 a koeficient odrazu pro vlny polarizované kolmo na rovinu dopadu je | b\2/\2. Poměr těchto dvou koeficientů je dán vztahem (33.3). Nyní uděláme malý zázrak, neboť vypočítáme nejen poměr těchto koeficientů, ale dokonce každý koeficient \B\2 i \b\2 samostatně! Ze zákona zachování energie víme, že energie lomeného paprsku musí být rovna rozdílu energie dopadající vlny a energie odražené vlny: v jednom případě 1 - | J3\2 a v druhém 1 - | b\2. Navíc, poměr energií, které vniknou do skla na obr. 33.6b a na obr. 33.6a, je roven poměru druhých mocnin amplitud lomených paprsků, tj. |^4|2/|a|2. Někdo se může zeptat, zda opravdu víme, jak se má vypočítat energie, kteráje ve skle, vždyť kromě energie elektrického poleje tam ještě energie pohybu atomů. Je však jasné, že všechny různé příspěvky k celkové energii budou úměrné druhé mocnině amplitudy elektrického pole, a proto můžeme psát ■1^=4- (33.4, Nyní použijeme rovnici (33.2), abychom z tohoto vztahu vyloučili A/ a a .Bvyjádříme pomocí b prostřednictvím rovnice (33.3): l _ |r|2 cos2(ť+ r) cos2 (ť - r) 1-|£|2 cos2(i-») Tato rovnice obsahuje jen jednu neznámou b. Řešením dostáváme (33.5) i*i2=4t4 <336> sin (í + r) 445 ANOMÁLNÍ LOM SVĚTLA a pomocí (33.3) najdeme tg2 (»+ r) Našli jsme koeficient odrazu | b\2 pro dopadající vlnu polarizovanou kolmo na rovinu dopadu a také koeficient odrazu 12?!2 pro dopadající vlnu polarizovanou v rovině dopadu! Takovými argumenty lze dále ukázat, že koeficient b je reálný. K tomu je tř eba uvážit případ, kdy svědo dopadá na povrch skla z obou stran současně. Toho lze sice obtížně dosáhnout experimentálně, aleje zajímavé to analyzovat teoreticky. Analýzou tohoto obecného případu můžeme dokázat, že b musí být reálné, a proto b = ± sin (i - r)/sin (í + r). Provedeme-li rozbor odrazu svěda z obou stran velmi tenké destičky a vypočítáme množství odraženého svěda, můžeme dokonce určit i znaménko. Víme, kolik svěda by se mělo odrazit od tenké vrstvy, neboť víme.jaké1 proudy se generují a dokonce jsme odvodili, jaké poleje vytvářeno takovými proudy. Pomocí těchto argumentů lze ukázat, že b-.-^pA, (33.8) sin (i + r) tg (ť + r) To jsou známé Fresnelovy vztahy. Vyjadřují koeficienty odrazu jako funkce úhlu dopadu a úhlu lomu. V limitě, když se úhly i i r blíží k nule, tj. pro kolmý dopad, máme pro obě polarizace B2 = b2 = (i - r)2/ (t + r)2, protože jak siny, tak i tangenty jsou prakticky rovny svým argumentům. Víme však, že sin i/sin r = n a pro malé úhly il r= n, takže lze snadno ukázat, že pro kolmý dopad platí B2 = b2= (""1)2. (n+l)2 Zajímavé je například zjistit, kolik svěda se odráží od povrchu vody při kolmém dopadu. Index lomu vody je n = 4/3, takže koeficient odrazuje l/72 = 2%. Při kolmém dopadu se pd povrchu vody odrážejí jen dvě procenta svěda. 33^ ANOMÁLNÍ LOM SVĚTLA Poslední polarizačníjev.jímž se budeme zabývat, byl ve skutečnosti objeven jako jeden z prvních -je to anomální lom. Námořníci, kteří navštívili Island, přivezli do Evropy krystaly islandského vápence (CaC03), který měl zajímavou vlastnost, že vše, na co se člověk tímto krystalem podíval, viděl dvojmo, rj. jako dva obrazy. To mezi jiným zaujalo i Huygense a hrálo důležitou roli při objevu polarizace. Jak to obyčejně bývá, jevy, které jsou objeveny jako první, lze nejobtížněji vysvědit. Nejdříve je tř eba důkladně pochopit fyzikální princip a až pak pečlivě vybrat tyjevy, u nichž se tento princip projevuje co nejjednodušeji. Anomální lom je zvláštním případem dvojlomu, jímžjsme se již zabývali. Anomální lom vzniká tehdy, když optická osa, tj. dlouhá osa našich asymetrických molekul, není rovnoběžná s povrchem krystalu. Na obr. 33.7, jsou nakresleny dva kousky dvojlomného materiálu s vyznačenými optickými osami. Na obrázku vlevo je dopadající paprsek lineárně polarizovaný ve směru kolmém na optickou osu materiálu. Když tento paprsek dopadne kolmo na povrch materiálu, 446 POLARIZACE každý bod povrchu se stane zdrojem vlnění, jež postupuje krystalem rychlostí v±, tj. rychlostí svěda v krystalu, když je polarizace kolmá na opdckou osu. Čelo vlny, které je obálkou těchto všech malých kulových vln, se pohybuje přímo krystalem až vyletí na druhé straně ven. To je normální chování, jaké se dalo očekávat a takový paprsek se nazývá řádný paprsek. Na obrázku vpravo je směr lineární polarizace svěda otočen o 90 °, takže optická osa krystalu leží v rovině polarizace. Podíváme-li se nyní na malé vlny vznikající v libovolném místě povrchu krystalu, vidíme, že se nešíříjako kulové vlny. Svědo, které se šíří podél optické osy, má rychlost v , neboť směr polarizace je kolmý na optickou osu krystalu, zatímco svědo, které se šíří kolmo na optickou osu krystalu, má rychlost , protože jeho polarizace je rovnoběžná s optickou osou krystalu. V dvojlomném materiálu máme í»( * »± a na našem obrázku & <í/±. Podrobnější analýzou lze ukázat, že vlny se šíří po povrchu elipsoidu, jehož hlavní osa má směr optické osy krystalu. Obálka všech těchto elipsoidálních vln tvoří vlnu postupující krystalem ve směru vyznačeném na obrázku. Na zadní stěně krystalu nastane lom paprsku stejně jako na přední stěně, takže svědo vyletí rovnoběžně s dopadajícím paprskem.jen trochu posunuté. Tento paprsek se neláme podle Snellova zákona lomu, ale šíří se jakýmsi zvláštním směrem, proto se nazývá mimořádný paprsek. Obr.33.7 ObrázekvlevoznázortujedráhuMdného nýpaprsekj e znázorněn na obrázku vpravo. Optická osa leží v rovině papíru. Když na krystal vykazující anomální lom dopadne nepolarizovaný paprsek, rozdělí se na řádný paprsek, který prostupuje krystalem normálně, přímo, a na mimořádný paprsek, který se při průchodu krystalem posune. Tyto dva vystupující paprskyjsou lineárně polarizované pod pravým úhlem jeden k druhému. Lze to ukázat pomocí polaroidu, jímž můžeme určit polarizace vycházejících paprsků. Správnost naší interpretace tohoto jevu můžeme dokázat i tak, že krystal osvětlíme lineárně polarizovaným svědem. Vhodnou orientací směru polarizace dopadajícího paprsku můžeme dosáhnout toho, že svědo projde krystalem bez rozdvojení, a to buď přímo nebo s posunutím. Na obrázcích 33.1 a 33.2jsme znázornili všechny různé případy polarizace jako superpozici dvou zvláštních případů polarizace ve směru osy x a osy y při různých amplitudách a fázích. Mohli bychom použít i jiné páry polarizovaných paprsků. Stejně dobře by nám posloužily polarizace podél libovolných dvou kolmých os x' a y' pootočených vzhledem k xa). (Například libovolné polarizace lze dosáhnout superpozicí případu a) a případu e) na obr. 33.2) .Je zajímavé, že tuto myšlenku lze rozšířit ještě i na další případy. Například libovolné lineární polarizace lze dosáhnout superpozicí vhodné velikosti pravotočivé a levotočivé kruhové polarizace při vhodných fázích (případy c) a g) na obr. 33.2), neboť součtem dvou vektorů rotujících v opačných směrech dostaneme vektor oscilující po přímce (obr. 33.8). Když se fáze jednoho vzhledem k druhému o něco posune, změní se směr přímky. Takže všechny obrázky na obr. 33.1 můžeme označit jako „superpozici pravotočivé a levotočivé kruhově polarizovaného svěda téže intenzity při různých vzájemných fázích". Když se levotočivé polarizované svědo ve fázi opozdí — ANOMÁLNÍ LOM SVĚTLA za světlem polarizovaným pravotočivé, směr lineární polarizace se změní. Proto jsou opticky aktivní látky vlastně dvojlomné. Jejich vlastností lze popsat různými indexy lomu pro pravotočivé a levotočivě kruhově polarizované svědo. Superpozicí pravotočivé a levotočivě kruhové polarizovaného svěda různé intenzity vzniká elipticky polarizované svědo. Obr. 33.8 Součet dvou vektorů se stejnou amplitudou rotujících v opačných směrech dává vektor oscilující podél pevné přímky. Obr. 33.9 Pohyb náboje po kružnici vyvolaný kruhově polarizovaným světlem. Kruhově polarizované svědo má další zajímavou vlastnost — přenáší moment hybností ve směru šíření svěda. Pro ilustraci si představme, že takové svědo dopadne na atom, který může kmitat jako harmonický oscilátor v libovolném směru v rovině xy. Pak bude výchylka elektronu ve směru osy x způsobená složkou Ex intenzity pole, zatímco výchylka y bude způsobená složkou pole Ej, ale s fázovým zpožděním o 90°. Točivé elektrické pole svěda způsobí, že se elektron bude pohybovat po kružnici s úhlovou rychlostí (O (obr. 33.9). Směr posunutí elektronu aa směr síly q E nemusí být stejné, závisí to na údumových charakteristikách oscilátoru, ale oba směry rotují současně. E může mít složku kolmou k a, takže se může projevit moment síly r a vykoná se práce. Práce vykonaná za sekunduje rovna to>. Po dobu periody 7se absorbuje energie rovnající se tcůT, zatímco r7je velikost momentu hybnosti předaného objemu látky, v němž se pohlcuje energie. Vidíme tedy, že pravotočivé kruhově polarizovaný světelný paprsek, který přenáší celkovou energii c=109eV, můžeme zanedbat mc2 a pro všechny praktické účely brát W=p c pro relativistické rychlosti. Praktickyje jedno, řekneme-li že energie elektronu je miliarda elektronvoltů nebo že součin hybnosti a eje miliarda elektronvoltů. Snadno lze ukázat, že pro W= 109 e V se rychlost elektronu liší od rychlosti svěda pouze o jednu osmimilióntinul Nyní se podívejme na záření, jež tato částice vyzařuje. Částice pohybující se po kružnici s poloměrem 3,3 metru nebo s obvodem 20 metrů projde tuto dráhu asi za stejnou dobu, za jakou proletí svědo vzdálenost 20 metrů, takže vlnová délka záření vyzářeného touto částicí by měla být 20 metrů - tj. v oblasti krátkých radiových vln. Ale vzhledem k efektu transformace vzdáleností, o němžjsme diskutovali (viz obr. 34.3) a protože vzdálenost, o kterou musíme zvětšit myšlený poloměr, abychom dostali rychlost svědaje pouze jedna osmimilióntina poloměru dráhy elektronu, hroty hypocykloidy jsou mimořádně ostré ve srovnání se vzdáleností mezi nimi. Zrychlení, druhá derivace dráhy podle času, se bude v blízkosti hrotu měnit ještě prudčeji. Faktor sdačení 8 x 106 se uplatní dvakrát, neboť časové měřítko v blízkosti hrotů bude dvakrát sdačeno. Proto můžeme očekávat, že efektivní vlnová délka bude mnohem menší, až 64 x 1012-krát menší než 20 metrů, což odpovídá rentgenovému záření. (Ve skutečnosti je třeba vzít v úvahu nejen samotný hrot, ale i určitou oblast v jeho okolí. To způsobí, že místo druhé mocniny budeme mít mocninu 3/2, ale ještě stále budeme nad optickou oblastí frekvencí.) Nerelativistický elektron by vyzařoval 20 -metrové rádiové vlny a relativistickýjev zmenší vlnovou délku natolik, že ji můžeme vidět! Je zřejmé, že svědo musí být polarizované s vektorem intenzity elektrického pole kolmým k homogennímu magnetickému poli. Abychom lépe pochopili, co budeme pozorovat, předpokládejme, že takové svědo (pro jednoduchost, protože pulzyjsou daleko od sebe, si vezmeme pouze jeden pulz) nasměrujeme na difrakční mřížku, tvořenou mnoha rozptylujícími dráty. Co uvidíme, až se pulz vzdálí od mřížky? (Měli bychom vidět červené svědo, modré svědo apod., pokud vůbec nějaké svědo uvidíme.) Co ale vidíme ve skutečnosti? Impulz dopadne čelem vlny na mřížku a způsobí, že se všechny její oscilátory pohnou najednou prudce nahoru a dolů, právě jednou. Tím vyvolají účinky v různých směrech, jako na obr. 34.5. Bod P je tady blíž k jednomu konci mřížky než k druhému, takže první tohoto bodu dosáhne elektrické pole z vodiče A, pak z vodiče B, atd., až nakonec doletí impulz od posledního vodiče. Zkrátka, výsledný odraz od všech drátů vypadá jako na obr. 34.6cc,\e to elektrické pole, jež se skládá ze série impulzů a jeho průběh se velmi Dnes má název tesla a označení T. (Pozn. red.) 455 KOSMICKÉ SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ podobá sinusoidami vlně, jejíž vlnová délka je rovna vzdáleností mezi impulzy, právě tak, jako by na mřížku dopadalo monochromatické světlo! Takže dostáváme barevné světlo. Nedostali bychom takové světlo od „impulzu" jakéhokoliv druhu? Ne. Předpokládejme, že křivky by měly mnohem hladší průběh - pak bychom skládali rozptýlené vlny oddělené velmi krátkými časy (obr. 34.6b). Vidíme, že pole nebude vůbec kolísat, bude to velmi hladká křivka, neboť každý impulz se za čas, jenž je mezi nimi, změní jen velmi málo. z. \ ~- IMPULS OD ELEKTRONU Obr. 34.5 Světlo,jež dopadne na difrakční mřížku ve formě jediného ostrého impulzu se rozptýlí na různé stranyjako svědo s různými barvami a b Obr. 34.6 Výsledné elektrické pole způsobené sérií a) ostrých impulzů b) hladkých impulzů Elektromagnetické záření vyzařované relativistickými nabitými částicemi obíhajícími v magnetickém poli se nazývá synchrotronnízáření Původ tohoto názvuje zřejmý, ale tentojevse neomezu-* je jen na synchrotrony ani na pozemské laboratoře. Vzrušující a zajímavé je to, že se vyskytuje i v přírodě! KOSMICKÉ SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ V roce 1054 patřila čínská a japonská civilizace mezi nejvyspělejší na světě. Byly si vědomy existence vesmíru, a co je nejzajímavější, v tomto roce zaznamenaly explodující jasnou hvězdu. (Překvapující je, že žádný z evropských mnichů, kteří napsali všechny knihy středověku, si nedal tu námahu, aby zapsal, že na nebi explodovala hvězda.) Dnes si můžeme tuto hvězdu vyfotografovat; vidíme ji na obr. 34.7. Na vnější straně je mnoho červených vláken, způsobených atomy řídkého plynu, rozkmitanými na svých vlastních frekvencích. Toto světlo májasné čárové, spektrum skládající se z různých frekvencí. Červená čára v tomto případě patří dusíku. Naproti tomu v centrální oblastije záhadná rozmazaná světlá skvrna se spojitým spektrem, tj. nejsou tam frekvence, jež by souvisely s nějakými atomy. Není to ani prach rozzářený okolními hvezdárni, cožjejeden způsob, jak by mohlo vzniknout spojité spektrum. Je to průzračný objekt, můžeme skrz něj vidět hvězdy, ale vyzařuje svědo. Na obr. 34.8 máme pohled na stejný objekt pomocí světla z oblasti spektra, kde nejsou jasné 456 RELATIVISTICKÉ JEVY A ZÁRENl spektrální Cáry, takže vidíme jen centrální oblast Kromě toho byly na teleskop nasazeny polarizátory a uvedené snímky odpovídají jejich dvěma navzájem kolmým orientacím. Vidíme, že obrázky se lisí! Znamená to, že světlo je polarizované. Lze předpokládat, že je tam místní magnetické pole a v něm obíhá mnoho velmi rychlých elektronů. Obr.34.7 Krabí mlhovina ve všech barvách (bez flitru) Obr. 34.8 Krabí mlhovina pří pohledu skrz modrý filtr a polaroid. a) vektor intenzity elektrického pole jesvisrý, b) vektor intenzity elektrického poleje vodorovný Právě jsme si vysvětlovali, jak mohou obíhat elektrony v magnetickém poli po kružnici. K tomuto pohybu můžeme přidat libovolný rovnoměrný pohyb ve směru pole, neboť síla qv*B nemá žádnou složku v tomto směru a jak jsme již poznamenali, synchrotronové záření je polarizováno ve směru kolmém k průmětu magnetického pole do roviny pohledu. Z těchto dvou skutečností můžeme usoudit, že v oblasti, kde jeden obraz je světlý a druhý tmavý, musí být elektrické pole úplně polarizováno v jednom směru. Znamená to, že je tam 457 BRZDNÉ ZÁRENl ♦ DOPPLERŮV JEV magnetické pole pod pravým úhlem k tomuto směru, zatímco v druhých oblastech, kde je silné vyzařování (na druhém obrázku), musí být směr magnetického pole jiný. Při pozorném studiu obr. 34.8na nich můžeme vidět soustavu čar, přičemž čáry najednom obrázku jsou kolmé na čáry na druhém obrázku. Na obrázcích je vidět určitou vláknitou strukturu. Siločáry magnetického pole pravděpodobně sahají do relativně velkých vzdáleností, a takjsou tu rozsáhlé oblasti, v nichž má pole s kroužícími elektrony jeden směr, zatímco v jiných oblastech má pole i kroužící elektrony jiný směr. Proč si elektrony zachovávají tak vysokou energii tak dlouhou dobu? Vždyť od exploze uplynulo již 900 let; jak to, že si udržují tak velkou rychlost? Příčina toho, proč si elektrony zachovávají svou vysokou energii, a co všechno přitom probíhá, není dosud dostatečně známa. 34.5 BRZDNÉ ZÁŘENÍ Nyní se stručně zmíníme o dalšímjevu, který pozorujeme u velmi rychle letících částic vyzařujících energii. Podstata tohoto jevu je velmi podobná tomu, čím jsme se právě zabývali. Předpokládejme, že v látce jsou nabité částice a že do ní vletí, dejme tomu, velmi rychlý elektron (obr. 34.9). Elektrické pole v blízkosti atomovýchjader elektron přitahuje, urychluje apod., takže dráha jeho pohybu se mírně zakřiví. Jaké elektrické pole vzniká ve směru C, pohybuje-li se elektron rychlostí blízkou rychlosti svěda? Připomeňme si naše pravidlo: Vezmeme skutečný pohyb a posuneme ho zpět rychlostí ca tak dostáváme křivku, jejíž křivost je mírou elektrického pole. Pro elektron letící rychlostí v směrem k nám dostaneme zpáteční pohyb a celý obrázek se sdačf na menší rozměry, úměrné tomu, kolikrát je c-v menší než c. Když je 1 - v/ c* 1, v bodě B' je velmi ostré a prudké zakřivení dráhy, a vezmeme-li druhou derivaci, dostaneme velmi silné pole ve směru pohybu. Proto, když velmi energetické elektrony procházejí látkou, vystřelují záření ve směru svého pohybu. Tento jev se nazývá brzdné záření Synchrotron se ve skutečnosti nepoužívá ani tak k získání vysokoenergetických elektronů (kdybychom je uměli vyvést z urychlovače vhodným způsobem, tak bychom takto nemluvili), jako spíš k získání vysokoenergetických fotonů - paprsků y. Energetické elektrony se propustí pevným wolframovým terčem a nechají vyzářit fotony mechanizmem brzdného záření. Obr. 34.9 Rychlý elektron letící blízko jádra vyzařuje energii ve směru svého pohybu 34.6 DOPPLERŮV JEV Pokračujeme ve studiu některých dalších jevů souvisejících s pohybujícími se zdroji. Předpokládejme, že zdrojem je stacionární atom kmitající na některé ze svých vlastních frekvencí uQ. Frekvence pozorovaného svěda je pak ú)Q. Vezmeme si teď podobný oscilátor kmitající na frekvenci ťu,, přičemž se současně celý atom, celý oscilátor, pohybuje směrem k pozorovateli rychlostí v. Skutečný pohyb v prostoru je pak takový, jak je to na obr. 34.10a. Nyní si zahrajeme naši obvyklou hru; přidáme cr, tedy celou křivku posuneme zpět a zjistíme, že osciluje, jako na 458 RELATIVISTICKÉ JEVY A ZÁŘENÍ obr. 34.10b. Když se oscilátor za daný čas posunul o vzdálenost vr, na grafu závislosti x' na cíje to vzdálenost (c- v) r. Proto se nyní všechny kmity oscilátoru s frekvencí cox vykonané za čas Ar nacházejí v intervalu A/ = (1 - v/c) Ar. Jsou sdačeny, a když k nám tato křivka dospěje rychlostí c, vidíme svědo s frekvencí vyšší s koeficientem sdačení (1 - v/c). Takže pozorujeme frekvenci co ■ co. (34.10) [A/W Obr. 34.10 x-zax'- t diagramy pohybujícího se oscilátoru Tuto situaci bychom mohli analyzovat i různými jinými způsoby. Předpokládejme, že atom by nevyzařoval sinusoidální vlny, ale sérii impulsů „pí, pí, pí, pí..s určitou frekvencí co{. Sjakou frekvencí je zachytíme my? První signál k nám dorazí s určitým zpožděním, ale další je opožděn už méně, neboť zatím se atom přiblížil k přijímači. V důsledku pohybu se proto čas mezi signály zkrátí. Pomocí geometrické analýzy zjistíme, že frekvence signálů se zvětší s činitelem 1/(1 - v/c). Znamená to, že frekvence, kterou bychom pozorovali, kdybychom měli obyčejný atom kmitající na vlastní frekvenci coQ a pohybující se směrem k přijímači, by byla co = coQ/(l -»/í)?Ne! Jak víme, v důsledku relativistické dilatace času není vlastní frekvence pohybujícího se atomu cox stejná, jakou bychom naměřili, kdyby byl atom v klidu. Je-li coQ skutečná vlastní frekvence, pak modifikovaná vlastní frekvence co, bude co, - co„ 1 -• (34.11) Proto pozorovaná frekvence je co = con 1-1- N c2 í-i (34.12) Takový posun frekvence se nazývá Dopplerův jev. letí-li zdroj směrem k nám, svědo, které vyzařuje, se nám jeví modřejší, a když letí směrem od nás, zdá se červenější. Uvedeme další dvě odvození tohoto zajímavého a důležitého výsledku. Představme si, že nyní je zdroj vyzařující vlny s frekvencí co0 v klidu, zatímco pozorovatel se pohybuje ke zdroji rychlostí u Za nějakou dobu íse pozorovatel posune do nové polohy vzdálené o ví od místa, kdebylvčase t = 0. O kolik radiánů se změnila fáze vlnění, jež kolem něho prošlo? Pro libovolný pevný bod to bylo coQt, a navíc pozorovatel v důsledku svého pohybuještě viděl vtk^ radiánů (počet radiánů 459 BRZDNÉ ZÁŘENÍ ♦ DOPPLERŮV JEV na metr násobeno vzdáleností). Proto celkový počet radiánu za dobu /, neboli pozorovaná úhlová frekvence, bude ^ _ c2 x, 1-í c2 N c2 (34.16) cos[ co' ť- k' x']. Je to opět vlna kosinusového tvaru, v níž se určitá konstantní frekvence co' násobí ť a nějaká jiná konstanta k' se násobí x' I Konstantu k' nazývame vlnovým číslem nebo počtem vln na metr z hlediska druhého pozorovatele. Druhý pozorovatel proto sleduje novou frekvenci a nové vlnové číslo dané jako co* kv co = (34.17) k' = c2 , COV k +- c2 i-í c2 (34.18) Při pohledu na (34.17) vidíme, žeje to stejný vztah jako (34.13), kterýjsme získali fyzikálně názornějším způsobem. 34.7 VLNOVÝ ČTYŘVEKTOR Vztahy zaznamenané rovnicemi (34.17) a (34.18) jsou velmi zajímavé, neboť nám říkají, že nová frekvence co' je kombinací staré frekvence co a starého vlnového čísla Ä a že nové vlnové číslo je kombinací starého vlnového čísla a staré frekvence. Vlnové číslo určuje rychlost změny fáze se vzdáleností a frekvence určuje rychlost změny fáze s časem a tyto výrazy velmi připomínají Lorentzovy transformace polohy a času. Podíváme-li se na wjako na ta na ä jako na x vydělené c2, nové co' bude jako ť a nové k' bude jako x' I c2. To znamená, že při Lorentzově transformaci se co a k transformuj í jako t a x. Vytvářej f to, čemu říkáme čtyřvektor, když má nějaká veličina čtyři složky, které se transformují jako čas a prostor, je to čtyřvektor. Všechno se zdá být v pořádku až na jednu maličkost. Řekli jsme, že čtyřvektor musí mít čtyři složky. Kde jsou zbývající dvě? 461 VLNOVÝ ČTYRVEKTOR Viděli jsme, že co a Ajsou jako čas a prostor vjednom prostorovém směru, ale ne ve všech směrech, proto dále musíme studovat problém šíření svěda ve třech prostorových směrech a ne pouze vjednom, jak jsme to dělali dosud. Předpokládejme, že máme souřadnicovou soustavu x, y, za. vlnění, jehož čela se šíří, jak je znázorněno na obr. 34.11. Vlnová délka vlnění je A, ale směr pohybu vlny nesouhlasí se směrem některé ze souřadnicových os.Jaký vztah dostaneme pro takovou vlnu? Odpověďje cos(o>í- ks), kde k = 27t//i a s je vzdálenost ve směru pohybu vlny - složka polohového vektoru ve směru pohybu. Můžeme to vyjádřit takto: Je-li polohový vektor bodu v prostoru r, s je r-ek, kde ek je jednotkový vektor ve směru pohybu. Znamená to, že íje rovno r cos (ř, kQ), tj. složce vzdálenosti ve směru pohybu. Naše vlnaje proto cos (o> t - kkQ-r). Obr. 34.11 Rovinná vlna šířící se šikmým směrem Ukazuje se, že bude velmi vhodné definovat nový vektor k. Nazveme ho vlnový vektor. Jeho velikost je rovna vlnovému číslu 2tz/A a směřuje ve směru šíření vlnění k=*?-k0 = kk0. (34.19) Pomocí vlnového vektoru můžeme zapsat naši vlnu jako cos(íy/-A: ř) nebo jako cos(cot-kxx-k^y-k^žj .Jaký význam má některá složka k, například kx?]e vidět, že kx znamená rychlost změny fáze vzhledem k x. Na obr. 34.11 vidíme, že fáze se mění se změnou x, jako by se podél x šířila vlna, ale s delší vlnovou délkou. „Vlnová délka ve směru osy x" je delší než přirozená, skutečná vlnová délka, podle vztahu 4, = —, (342°) cos ar kde arje úhel mezi směrem skutečného šíření vlny a směrem osy x. Proto je rychlost změny fáze, jež je úměrná převrácené hodnotě Ax, menší s faktorem cos ar, tak se bude měnit kx - bude to velikost A krát kosinus úhlu mezi k a osou x\ To je podstata vlnového vektoru, který používáme k popisu vlnění ve třech rozměrech. Ve speciální teorii relativity se čtyři složky co, kx, k. k( transformují jako čtyřvektor, kde a odpovídá času & kx,k a kf odpovídají složkám čtyřvéktoru x,yaz. V naší předcházející diskuzi o speciální teorii relativity (kapitola 17) jsme poznali, že lze ze čtyřvektorů vytvořit relativistický skalární součin. Označíme-li polohový vektor jako x , kde p 462 RELATIVISTICKÉ JEVY A ZÁŘENÍ označuje čtyři složky (čas a tři prostorové složky), a vlnový vektor jako k , kde u má také čtyři hodnoty, jednu pro čas a tři pro prostor, skalární součin x^ a k je Z'^,^ (v*2 kapitola 17). Tento skalární součin je invariant nezávislý na soustavě souřadnic. Čemu je roven? Podle definice čtyřrozměrného skalárního součinu je roven: r^vuť-*,*-*^-*^. (34-21) Z vlastností čtyřvektorů plyne, že £' k * je invariant vzhledem k Lorentzově transformaci. Ale to je přesně ta veličina, jež vystupuje v kosinu pro rovinnou vlnu, která musí být invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci. Nemůžeme mít vztah, jenž by obsahoval něco, co by se měnilo v argumentu kosinu, neboť víme, že fáze vlny se nemůže změnit se změnou souřadnicové soustavy. 34.8 ABERACE Při odvození rovnic (34.17) a (34.18) jsme si vzali jednoduchý příklad, kdy A leželo ve směru pohybu, ale je jasné, že to můžeme zobecnit i na jiné případy. Například předpokládejme, že máme zdroj, jenž vyzařuje svědo v určitém směru z hlediska nehybného pozorovatele, zatímco my se pohybujeme, řekněme spolu se Zemí (obr. 34.12). Z kterého směru se nám zdá, že přichází svědo? Abychom to zjistili, museli bychom napsat čtyři složky k a aplikovat na ně Lorentzovu transformaci. Odpověď lze najít i takto: Abychom uviděli svědo, musíme naklonit náš teleskop. Proč? Protože světlo letí dolů rychlostí ca my se pohybujeme do strany rychlostí v, takže teleskop musíme naklonit dopředu, aby dopadající svědo procházelo přímo tubusem. Snadno zjistíme, že je-li vertikální vzdálenost ct, horizontální vzdálenost bude vt, a proto pro úhel náklonu ů' platí tg ů' = vl c. To je hezké - až na jednu věc: ů' není úhel, o který bychom měli naklonit teleskop vzhledem k Zemi, neboť celou analýzu jsme prováděli z hlediska nehybného pozorovatele. Kdyžjsme řekli, že horizontální vzdálenostje vt, pozemský pozorovatel by našel jinou vzdálenost, neboť měří „zkráceným" pravítkem. V důsledku kontrakce délky vychází, že tg*" 1-* c2 (34.22) cožje ekvivalentní sin#=-. (34.23) Pro čtenáře bude poučné odvodit tento výsledek pomocí Lorentzovy transformace. Skutečnost, že teleskopje třeba naklonit, se nazývá aberacea. byla experimentálně pozorována. Jakji můžeme pozorovat? Kdo může říct, kde se má daná hvězda nacházet? Předpokládejme, že k tomu abychom hvězdu viděli, se musíme dívat špatným směrem. Jak potom víme, že je to špatný směr? Protože Země obíhá kolem Slunce. Dnes musíme teleskop nasměrovat jedním směrem a za šest měsíců ho musíme naklonit opačným směrem. To je důvod, proč můžeme říct, že takovýjev existuje. 463 ABERACE ♦ HYBNOST SVĚTLA s s' I / v a b Obr. 34.12 Pohled na vzdálený zdroj S a) nehybným teleskopem, b) teleskopempohybujícímsestranově 34^ HYBNOST SVĚTLA Nyní přejdeme k dalšímu tématu. V celé naší diskuzi v posledních kapitolách jsme nikdy nic neřekli o účincích magnetického pole, ježje spojeno se švédem. Účinky magnetického pole jsou obvykle velmi malé, ale existuje jeden zajímavý a důležitýjev, jenž je důsledkem magnetického pole. Předpokládejme, že světlo přicházející ze zdroje působí na náboj a rozkmitá ho. Budeme předpokládat, že elektrické pole má směr osy x, takže náboj se také pohybuje ve směru osy x, jeho poloha je x a jeho rychlost je v, jak je znázorněno na obr. 34.13. Magnetické pole svírá s elektrickým polem pravý úhel. Jak působí magnetické pole na náboj, jímž elektrické pole kmitá nahoru a dolů? Magnetické pole působí na náboj (řekněme na elektron) jenom, když se náboj pohybuje, ale elektron se přece pod vlivem elektrického pole pohybuje, takže obě pole působí společně. Kmitá-li náboj nahoru a dolů, má nějakou rychlost a působí na něj síla o velikosti součinu B, v a q. Jaký směr má tato síla? Leží ve směru šíření světla. Proto, když na náboj svítí světlo a náboj se v důsledku toho rozkmitá, působí na něj ještě síla ve směru světelného paprsku. Tomu se říká radiační tlak nebo dak svěda. Obr. 34.13 Síla magnetického pole působící na náboj rozkmitaný elektrickým polem má směr světelného Určíme velikost tohoto radiačního tlaku. Je zřejmé, že F= qvB, nebo, vzhledem k tomu, že všechno osciluje, je třeba vzít střední časovou hodnotu (F). Z (34.2) vidíme, že magnetické pole je rovno elektrickému poli dělenému c, a proto potřebujeme najít střední hodnotu součinu intenzity elektrického pole a rychlosti a vynásobit ji nábojem a l/c. (F) = q(vE)/c. Součin, náboje q a intenzity E elektrického pole dává sílu působící na náboj a síla působící na náboj násobená rychlostí je rovna výkonu d W/dt dodanému nábojil Proto síla, tj. hybnost dodaná švédem za sekundu, je rovna 1/c násobeno energií svěda absorbovanou za sekundu! To je obecné pravidlo, neboť jsme si nic neřekli o síle oscilátoru nebo zda se některé náboje neruší. B F paprsku. 464 RELATIVISTICKÉ JEVY A ZÁŘENI Vždy, když dochází k absorpci svčda, působí dak. Hybnost dodaná švédem za sekunduje vždy rovna absorbované energii dělené c dW <*>-—• (34.24) c Víme, že svědo přenáší energii. Nyní vidíme, že přenáší i hybnost a navíc, že tato hybnost je rovna 1/c-násobku energie. Při emisi svěda ze zdroje dochází ke zpětnému rázu zdroje - probíhá totéž na opačnou stranu. Vyzáří-li atom některým směrem energii W, získá zpětnou hybnost p = W/c. Při kolmém odrazu svěda od zrcadla dostaneme dvojnásobek síly. Až sem jsme se dostali pomocí klasické teorie svěda. Víme však, že existuje kvantová teorie a že v mnoha případech se svědo chovájako částice. Energie svěda - částice je součin konstanty a frekvence W= hv = ňco. (34.25) Nyní víme, že svědo má také hybnost, jež je rovna podílu energie a c Proto platí, že tyto častíce svěda, fotony mají hybnost p = J^ = — =hk. (34.26) c c Směr hybnosti je přitom stejný jako směr šíření svěda, takže pomocí vektorového zápisu máme W=ňco, p=ňk. (34.27) Také víme, že energie a hybnost částice by měly tvořit čtyřvektor. Právě jsme zjistili, že cos. k tvoří čtyřvektor. Proto je dobré, že v obou vztazích v (34.27) je táž konstanta. Znamená to, že kvantová teorie a teorie relativity jsou vzájemně konzistentní teorie. Rovnici (34.27) lze elegantněji zapsat jako p^= ňk^, což je relativistická rovnice pro částici spojenou s vlnou. I když jsme mluvili jen o fotonech, pro něž k (velikost k) je rovno co/ c a p = W/c,je tento vztah mnohem obecnější. Vkvantové mechanice projevují vlnové vlastností nejen fotony, ale všechny částice, přičemž frekvence a vlnové číslo vln souvisí s energií a hybností částic prostřednictvím (34.27) (de Broglieho vztahy) a to i tehdy, když p není rovno W/c. V poslední kapitole jsme viděli, že paprsek pravotočivé nebo levotočivě kruhově polarizovaného svěda přenáší moment hybnosti úměrný energii vlnění <£ľ V kvantově mechanickém pojetí se paprsek kruhově polarizovaného svěda považuje za proud fotonů, z nichž každý má moment hybností podél směru šíření svěda rovný ± ň. Tak je vyjádřena polarizace z korpuskulámího hlediska - fotony mají moment hybnosti, podobně jako rotující kulky vystřelené z pušky. Tato představa o kulkách je ve skutečností stejně neúplná jako představa o vlnách a vše si budeme muset podrobněji prodiskutovat později, v kapitole o kvantových vlastnostech. 465 Příklady a cvičení 34.1 ■ Kotouč o poloměru A se valí bez prokluzování po vodorovné rovině. Napište rovnici trajektorie, kterou opisuje bod nacházející se ve vzdálenosti ô od středu kotouče, v závislosti na A, R a úhlu pootočení kotouče. Osa x míří svisle vzhůru od středu kotouče a osa z ve směru jeho pohybu. Najděte zrychlení d2x/dtz bodu při z= ct. 34.2 ■ Výraz získaný v předchozí úloze se hodí k vyjádření Intenzity vyzařování částice, jež se pohybuje po kruhové trajektorii s poloměrem R. Vyjádřete výsledek pomocí pozorovaných veličin R, v (rychlost částice) a x (poloha částice v okamžiku pozorování). 34.3 ■ Najděte poměr intenzit vyzařování nabité částice, jež se pohybuje po kruhové dráze směrem k pozorovateli a od něho. 34.4 ■ Odvoďte vzorec pro aberaci sin 9= vlez Lorentzovy transformace. 34.5 ■ Ukažte, že rychlost elektronu o energii 1 GeV se liší od rychlosti světla o jednu osmimiliontinu. 34.6 ■ Při pozorování čáry Dve spektru sodíku (její laboratorní vlnová délka je 589,0 nm) bylo zjištěno, že je ve spektru hvozdy posunuta a má vlnovou délku 588,0 nm. Jakou rychlostí se pohybuje hvězda vzhledem k pozorovateli? 34.7 ■ Astronom z Caltechu R. Minkowski dospěl k závoru, že nejvzdálenější mlhovina, kterou' pozoroval, se od nás vzdaluje rychlostí 0,6 c. Jak velký je dopplerovský posun pro světlo, jez přichází z této mlhoviny? Určete pozorovanou vlnovou délku ve spektru této mlhoviny, je-li tato vlnová délka v soustavě spojené s mlhovinou rovna 300 nm. 34.8 ■ Bradley objevil v roce 1728 aberaci světla spočívající v tom, že pozorované hvězdy se jeví na obloze posunuty, protože Země se pohybuje na oběžné dráze kolem Slunce. Proto při pozorování hvězd v blízkosti pólu ekliptiky musíme naklonit osu dalekohledu dopředu (ve směru pohybu Země) o 20,5'. Vezmeme-li rychlost světla rovnou 3,00 • 108 m s "1, jaká bude velikost poloměru zemské dráhy vypočítaná na základě tohoto pozorování? 34.9 ■ Budeme předpokládat, že meziplanetární prostor je zaplněn malými zrnky prachu s průměrnou hustotou g a přibližně kulového tvaru s poloměrem R. a) Ukažte, že pro zrnko libovolného poloměru nezávisí poměr gravitační přitažlivé síly a radiační odpudivé síly na vzdálenosti od Slunce. b) S použitím údaje, že intenzita slunečního záření na zemské dráze je 1374 Wm "2, a za předpokladu, žesrážkový průřez absorpce zářeníje ttA2 určete, při jaké hodnoto poloměrů R budou síly gravitačního přitahování a radiačního odpuzování vyrovnány. c) Vezmeme-li v úvahu výsledky uvedené v kapitole 32, můžeme usoudit, že srážkový průřez absorpce zrnek může být značně větší než tjR2? 466 arevné vidění 35.1 LIDSKÉ OKO 35.2 BARVA ZÁVISÍ NA INTENZITĚ 35.3 MĚŘENÍ BAREVNÉHO VJEMU 35.4 DIAGRAM BAREVNOSTI 35.5 MECHANIZMUS BAREVNÉHO VIDĚNÍ 35.6 FYZIOCHEMIE BAREVNÉHO VIDĚNÍ LIDSKÉ OKO Existence barev závisí zčásti na fyzikálním svčtě. O barvách mýdlových bublin a podobných jevech mluvíme jako o výsledku interference. Existence barev, samozřejmě, závisí na oku a na tom, co se děje za okem, v mozku. Fyzika charakterizuje svědo vstupující do oka, ale dále jsou naše vjemy výsledkem fotochemicko - neurologických procesů a psychologické odezvy. Existuje mnoho zajímavých jevů spojených s viděním, jež zahrnují směs fyzikálních jevů a fyziologických procesů a jejich úplné pochopení musí sahat za hranice fyziky v obvyklém smyslu. Nechceme se omlouvat za takové odbočení do jiných oblastí poznání, neboť rozdělení do různých oblastí je pouhá lidská konvence a nepřirozená věc. Přírodu nezajímá naše dělení a mnoho zajímavých jevů překlenuje mezery mezi různými oblastmi. Třetí kapitolu jsme věnovali obecným vztahům mezi fyzikou a jinými vědními obory a nyní se podrobněji podíváme na jednu oblast, v níž mají fyzika ajiné vědy k sobě velice, velice blízko. Tato oblast se týká viděni Přesněji, budeme mluvit o barevném vidéní. V této kapitole se soustředí-me hlavně na pozorovatelné jevy lidského vidění a v následující kapitole na fyziologické aspekty vidění jak u člověka, tak u jiných živočichů. Vše začíná okem. Abychom pochopili vidění, potřebujeme jisté znalosti o oku. V další kapitole se budeme zabývat tím, jak pracujíjednotlivé části oka ajakjsou navzájem propojeny s nervovým systémem. Teď si jen stručně popíšeme funkci oka (obr. 35.1). Svědo vstupuje do oka rohovkou. Již jsme mluvili o tom, jak se přitom láme a jak se vytváří obraz na sítnici umístěné v zadní části oka, takže na ni dopadá svědo z různých částí vnějšího zorného pole. Sítnicenení úplně stejnorodá. Existuje na ní místo, jež se nazývá žlutá skvrna. Leží ve středu zorného pole, kde vidíme nejostřeji a používáme ji, když si chceme něco důkladně prohlédnout. Z naší zrakové zkušenosti dobře víme, že pro rozeznání detailů jsou okrajové části 467 LIDSKÉ OKO oka podstatně méně účinné než jeho střed. Na sítnici je také místo, odkud vycházejí nervy přenáSející zrakové informace; je to slepá skvrna. Na ní se nenacházejí žádné citlivé částí sítniceJ Můžeme se o ní přesvědčit například tak, že když zavřeme levé oko díváme se přímo na nějaký předmět a pak začneme posouvat prst nebo nějaký jiný malý předmět ven ze zorného pole, najednou ho vjisté poloze neuvidíme. Víme o jediném praktickém využití tohoto jevu; jeden fyziológ se stal královým oblíbencem poté, co ho na tento jev upozornil. V průběhu nudných, porad, které měl král se svými rádci, se mohl bavit „usekáváním jejich hlav" tak, že se díval na jednoho a sledoval jak zmizela hlava druhého. Obr.35.1 Oko: 1 -rohovka, 2-duhovka,3-čočka,4-řasnatá vlákna, 5-bělmo,6-spoj^vka,7-kruhovýsval, 8-sklivec,9-sítnice, 10-cévnatka, 11-očnísvaly, 12-zrakový nerv Obr. 35.2 Struktura sítnice (Světlo přichází zdola) Na obrázku 35.2je ve zvětšeném měřítku schématicky znázorněn průřez sítnicí. V různých částech má sítnice různou strukturu. Na okraji sítnice je nejvíc buněk, jež se nazývají tyčinky. 468 11 BAREVNÉ VIDĚNÍ V blízkosti žluté skvrny najdeme u tyčinek i čípky. Jejich strukturu si popíšeme později. Čím blíže k žluté skvrně, tím je větší počet čípků a v samotné žluté skvrně jsou už jen tyto buňky. Jsou tam tak nahuštěny, že jsou mnohem jemnější nebo tenčí než kdekolivjinde na sítnici. Znamená to, že ve středu zorného pole vidíme pomocí čípků, ale směrem k okraji jsou rozloženy tyčinky. Zajímavé je, že každá buňka sítnice citlivá ke svedu není spojena vláknem přímo s optickým nervem, ale je spojena s mnoha jinými buňkami, jež jsou tak navzájem propojeny. Jsou to v podstatě 4 druhy buněk; některé přenášejí informace na optický nerv, jiné jsou pospojovány hlavně „horizontálně". Nyní se však nebudeme pouštět do takových detailů. Hlavní, co zdůrazňu-jeme.je, že světelný signál se již zde zpracovává. Informace z různých buněkse nedostávají přímo do mozku, bod po bodu, ale v sítnici dochází ke zpracování určité části informace pomocí kombinace informací z různých zrakových receptoru. Je důležité, abychom si uvědomili, že určité jevy spojené s mozkovou činností probíhají již v samotném oku. 3^2| BARVA ZÁVISÍ NA INTENZITĚ Jednou z nejpřekvapivějších vlastností viděníje adaptace oka na tmu. Když vyjdeme z rozsvíceného pokoje do tmy, vidíme chvíli velmi špatně, ale postupně lépe a lépe, až nakonec vidíme předměty, které jsme předtím vůbec neviděli. Při velmi malé intenzitě osvědení, věci, které vidíme, nemají barvu. Je známo, že vidění přizpůsobené tmě je téměř zcela zprostředkováno tyčinkami, zatímco vidění vjasném svědě je zprostředkováno čípky. Tak tedy můžeme pochopit mnohé jevy jako důsledek přechodu od společné funkce tyčinek a čípků k samotné funkci tyčinek. V mnoha případech, kdyby intenzita světla byla větší, bychom viděli barvy a zjistili bychom, že věci, které vidíme, jsou krásné. Například při pohledu teleskopem vidíme obrazy nejasných mlhovin jako černobílé. W. C. Miller v observatořích na Mt, Wilsonu a Mt Palomaru měl dostatek trpělivosti, aby získal barevné snímky takových objektů. Nikdo nikdy okem tyto barvy neviděl, ale nejsou to umělé barvy, je to prostě dáno tím, že intenzita svěda není dostatečná k tomu, abychom ho viděli čípky v našem oku. Mezi nejokázalejší objekty tohoto druhu patří Prstencová mlhovina a Krabí mlhovina. První má vnitřní část krásně modrou s jasně červeným vnějším kolem a druhá má modrý opar prostoupený jasně červeno - oranžovými vlákny. Vjasném svědě mají tyčinky velmi malou cidivost, ale ve tmě se časem jejich schopnost vidět svědo zvětšuje. Změny intenzity svěda, na které je možno se adaptovat, jsou ve větším poměru než milión ku jedné. Tato adaptace se v přírodě neděje jen pomocí buněk jednoho druhu, ale funkce vidění se posouvá od buněk citlivých najasné svědo, vidících barvy, tj. čípků, k tyčinkám -buňkám cidivým k malým intenzitám a přizpůsobivým šeru. Mezi zajímavé důsledky tohoto posunu patří, za prvé, že se vytratí barva a za druhé, že různě zbarvené předměty mají různý relativní jas. Ukazuje se, že tyčinky vidí lépe než čípky směrem k modré barvě a čípky vidí například červené svědo, zatímco pro tyčinky to je absolutně nemožné. Proto je červené svědo pro tyčinky černé. Dva barevné papíry, řekněme modrý a červený, přičemž červená barva může být na dobrém svědejasnější než modrá, se budou v přítmí, co se týkájasnosti, jevit zcela naopak. Je to velmi překvapující jev. Když si v tmavé místnosti prohlédneme barevný časopis nebo jiný barevný předmět, můžeme posoudit, které plochy jsou svědejší, a které jsou tmavší, a když ho pak vyneseme na svědo, uvidíme, jak zajímavě se mění jasnost toho, co se zdálo být nejjasnější, a co se nezdálo být tak jasné. Tento jev se nazývá Purkyfíův efekt. Na obrázku 35.3 máme křivky citlivosti oka v přítmí; přerušovaná čára odpovídá situaci, kdy používáme tyčinky, zatímco plná čára znázorňuje cidivost oka za svěda. Vidíme, že tyčinkyjsou 469 BARVA ZÁVISÍ NA INTENZITĚ ♦ MĚŘENÍ BAREVNÉHO VJEMU najcitlivejší pro zelenou oblast a čípky pro žlutou oblast. Červeně zabarvený papír (650 nm) vidíme, když je dobře osvědený, ale ve tmě ho skoro nevidíme. 100 80 60 t 9 > f 40 m tt 20 / / \ \ \ / \ i V* \ i / l l / V / / L \ \ / / \ t \ / 1 / / / \ \ / ; ! "i r \ ___A S 700 80 60 40 20 600 80 60 40 20 500 80 60 40 20 400 VLNOVÁ DÉLKA [nm] Obr. 35.3 Spektrálni citlivost oka. Přerušovaná čára odpovídá tyčinkám, plná čára odpovídá čípkům. Dalším projevem toho, že v přítmí přebírají funkci vidění tyčinky, a že ty nejsou ve žluté skvrně, je fakt, že díváme-li se v přítmí přímo na nějaký předmět, nevidíme ho tak ostře, jako když se na něj podíváme trochu z boku. Nejasnou hvězdu nebo mlhovinu můžeme někdy lépe vidět, když se na ni podíváme mírně ze strany, než když se na ní díváme přímo, protože ve středu žluté skvrny nemáme cidivé tyčinky. Jiným zajímavým důsledkem toho, že směrem k okraji zorného pole počet čípků klesá, je skutečnost, že dokonce jasně zbarvené předměty přitom ztrácejí svou barvu. Přesvědčit se o tom je možné tak, že se díváme v určitém neměnném směru a necháme, aby se někdo, kdo drží vrúce nějaký barevný předmět, přibližoval do směru našeho pohledu ze strany. Dříve než se dostane přímo před nás, snažme se rozhodnout, jakou barvu má daný předmět. Zjistíme, že předmět vidíme mnohem dřív než jsme schopni určit jeho barvu. Doporučuje se vstupovat do zorného pole z opačné strany než je slepá skvrna, neboť jinak vzniká zmatek; nejdříve už téměř vidíme barvu, pak najednou nevidíme nic a pak opět vidíme barvu. Další zajímavostí je, že okrajové částí sítnice jsou velmi cidivé k pohybu. I když koutkem oka dobře nevidíme, když se na kraji našeho zorného pole pohne nějaký malý brouček, o němž ani nevíme, že tam je, ihned to zaregistrujeme. Všichnijsme stvořeni tak, že ostražitě vnímáme, když se něco pohne na okraji našeho zorného pole. 35.3 MĚŘENÍ BAREVNÉHO VJEMU Nyní přejdeme k vidění za jasného svěda, k vidění pomocí čípků a k otázce barvy, jež je pro toto vidění nejcharakteristíčtější. Jak víme, bílé svědo je možné rozložit pomocí hranolu na celé spektrum vlnových délek, které vnímáme jako různé barvy. Barvy, to jsou naše vjemy. Libovolný zdroj svěda lze analyzovat pomocí difrakční mřížky nebo pomocí hranolu a lze určit jeho spektrální složení, tj. „množství" svěda každé vlnové délky. Některé svědo může obsahovat mnoho modré barvy, dost červené, málo žluté atd. Fyzikálně lze vše určit velmi přesně, otázkou všakje, jakou barvu budeme vnímat. Je samozřejmé, že různé barvy nějak závisí na spektrálním 470 BAREVNÉ VIDĚNÍ složení světla, problém je v tom, jaké spektrální charakteristiky způsobí různé barevné vjemy. Například, co je třeba udělat, abychom viděli zelenou barvu? Všichni víme, že prostě stačí vzít si zelenou část spektra. Je to však jediný způsob, jak lze získat zelenou nebo jakoukoliv jinou barvu? Existuje více spektrálních rozložení, jež způsobí stejný vizuální efekt? Určitě ano. Jak brzy uvidíme, počet základních vizuálních efektů je velmi omezen, fakticky jsou jen tři, ale existuje nekonečné množství různých spektrálních křivek, jež můžeme nakreslit pro svědo přicházející z různých zdrojů. Potřebujeme vyřešit tuto otázku: Zajakých podmínek se různé rozložení svěda jeví oku jako stejná barva? Nejúčinnější psychofyzikální technikou k určení barevje ta, když se oko používá jako nulový přístroj. Přitom se nesnažíme definovat, co způsobuje, že barvu vnímáme j ako zelenou, nebo za jakých okolností k tomu dochází. To by bylo příliš složité. Místo toho studujeme, zajakých podmínekjsou dva vizuální podněty nerozlišitelné. Pak nemusíme rozhodovat, zda dva lidé vidí stejné vjemy za různých okolností, ale spíš jen to, zda budou dva vjemy stejné pro jednu osobu stejné i pro osobu jinou. Nemusíme rozhodnout, zda to, co někdo cítí, když vidí něco zeleného, je stejné jako to, co cítí jiný při pohledu na stejnou věc. O tom stejně nic nevíme. Pro ilustraci těchto možností můžeme použít čtyři projektory s filtry, jejich jas lze spojitě měnit v širokém rozmezí. Jeden má červený filtr a na plátně vytvoří červenou skvrnu, druhý má zelený filtr a vytváří zelenou skvrnu, třetí má modrý filtr a čtvrtý vytváří bílý kruh s černou skvrnou uprostřed. Zapneme-li nyní červené svědo a dále zelené, vidíme, že část, kde se barvy překrývají, v nás vyvolá vjem, který nenazýváme červeno - zelenou barvou, ale nové, v tomto případě žluté barvy. Změnou proporcí červené a zelené můžeme projít různými odstíny oranžové atd. Nastavíme-li filtry na určitý odstín žluté, můžeme tentýž odstín získat, dostat ne smísením těchto dvou barev, ale smísením některých jiných barev, například žlutého filtru a bílého svěda nebo něčeho podobného, co vytváří stejný vjem. Takže různé barvy lze vytvářet nejen jedním způsobem, ale více způsoby, míšením barev z různých filtrů. Tento náš objev lze vyjádřit analyticky. Například určitou žlutou barvu lze vyjádřitjako nějaký symbol Y, jenž je součtem určitého množství svěda z červeného filtru (R) a ze zeleného filtru (G). Když k popisu jasu svěda (R) a (G) použijeme písmena r a g, máme pro žluté svědo Y=rR + gG. (35.1) Jak můžeme získat všechny různé barvy smísením dvou nebo tří světel různých pevně zvolených barev? Podívejme se, co lze v této souvislosti udělat. Všechny barvy určitě nezískáme jen smísením červené a zelené, neboť tato kombinace například nikdy nedá modrou. Když k nim přidáme modrou, střední část, kde se všechny tři barvy prolínají, lze zbarvit tak, že je skoro bílá. Sledováním střední části při míšení těchto různých barev zjistíme, že změnou jejich proporcí můžeme získat pozoruhodné spektrum barev a není vyloučeno, že smísením těchto tří barevje možné vytvořit všechny barvy. Povíme si, do jaké míry je to pravda; v podstatě je to tak a brzy uvidíme, jak lépe definovat jejich proporce. Abychom to lépe objasnili, nastavíme projektory tak, aby se všechny skvrny vzájemně překrývaly a pak se pokusíme smísením dostat barvu, kterou bude mít vnější prstenec při zapnutí čtvrté lampy. To, co jsme považovali za bílou barvu čtvrtého projektoru, se teď jeví nažloudé. Vhodnými změnami intenzity červené, zelené a modré barvy můžeme po několika pokusech najít barvu, která se velmi blíží k tomuto odstínu „krémové", jakou má prstenec. Proto není těžké uvěřit, že můžeme vytvořit všechny barvy. Za chvíli se pokusíme udělat žlutou barvu, ale nejdřív si řekneme, že existuje barva, jejíž vytvoření může být velmi obtížné. Lidé, kteří přednášejí 471 BARVA ZÁVISÍ NA INTENZITĚ • MĚŘENÍ BAREVNÉHO VJEMU o barvách, vytvářejí všechny možné barvy, ale nikdy ne hnidou aje dost těžké si vzpomenout, zda jsme vůbec někdy viděli hnědé svědo. Co se toho týká, tato barva se nikdy nepoužívá při vytváření světelných efektu najevištích, takže se zdá, že vytvořit hnědé svědo může být nemožné. Abychom zjistili, zda lze hnědé svědo vytvořit, poznamenáme, že hnědé svědo je něco, co nejsme zvyklí vidět bez příslušného pozadí. Fakticky ho můžeme sestavit smísením červené a žluté. Na důkaz toho, že se díváme na hnědé svědo, prostě zvýšíme jas pozadí, proti kterému se na svědo díváme a zjistíme, že je to skutečně to, co nazýváme hnědoul Hnědá, to je vždy tmavá barva na svědejším pozadí. Hnědou barvu můžeme snadno měnit. Když dáme například pryč trochu zelené> dostaneme červenohnědou jako je barva čokolády, a když přidáme trochu zelené, dostaneme tu strašnou barvu, jakou mají uniformy americké armády, ale svědo této barvy není tak strašné samo o sobě; když ho vidíme proti světlému pozadí, je žlutavě zelené. Nyní dejme na čtvrtou lampu žlutý filtr a pokusme se takovou barvu namísit. (Samozřejmě( že intenzita musí být v rozsahu jednotlivých lamp. Nemůžeme namísit přílišjasnou barvu, nebof lampy nemusí mít dostatečný výkon.) Žlutou však namísit můžeme. Použijeme směs zelené a červené a k tomu přidáme špetku modré, aby to bylo perfektní. Snad jsme ochotni věřit, že při dobrých podmínkách můžeme dokonale namísit jakoukoliv danou barvu. | Nyní si proberme zákony míšení barev. V první řadě jsme zjistili, že různá spektrální složení mohou vytvářet stejnou barvu. Dále jsme zjistili, že „libovolnou" barvu lze vytvořit smísením tří barev - červené, modré a zelené. Nejzajímavější rys míšení barev je tento: Máme-li nějaké barevné svědo, řekněme X, které je pro oko nerozlišitelné od svěda ľ (může mít jiné spektrální složení, ale jeví se jako nerozlišitelné), nazýváme tato svěda „stejnými" v tom smyslu, že oko je, vnímá jako stejná a píšeme X= Y. (35.2) Zde máme jeden z velkých zákonů barev: Jsou-li dvě spektrální složení nerozlišitelná, a přidáme-li ke každému z nich, řekněme, svědo Z (zápis X+ Zznamená, že obě svěda svítí na stejné místo) a pak vezmeme ľa přidáme k němu stejné množství stejného svěda Z, nové směsi jsou též navzájem nerozlišitelné X+ Z= Y+ Z (35.3) Před chvílíjsme namfsili žlutou barvu, aby odpovídala předloze. Osvítíme-liji spolu s předlohou růžovým svědem, nové barvy si budou opět odpovídat. Takže přidání jakéhokoliv svěda k barvám, které již jsou stejné, zanechá opět stejné barvy. Mohli bychom to shrnout tak, že máme-li jednou svěda, která se barevně rovnají, když je vidíme vedle sebe a za stejných podmínek, jejich rovnost se zachová a jedno svědo můžeme zaměnit druhým při libovolném míšení barev. Fakticky se ukazuje, aje to velmi důležité a zajímavé, že tato rovnost barev svěda nezávisí na charakteristikách oka v době pozorování. Víme, že když se dlouho díváme na jasnou červenou plochu nebo do jasného červeného svěda, a pak se podíváme na bílý papír, zdá se být zelenkavý a i ostatní barvy vidíme pozměněny. Když však máme nyní dvě stejná, řekněme, žlutá světla, jež skutečně vnímáme jako stejná, pak se nadlouho zahledíme na jasnou červenou plochu, a opět se podíváme zpět na naše žluté barvy, už nebudou vypadatjako žluté. Nevím, jak budou vypadat, ale přesto se budou jevit stále stejné. Proto, když se oko přizpůsobuje různé intenzitě svěda, rovnost barev stále platí se zřejmou výjimkou, když se dostaneme do oblasti, kde je intenzita svěda tak malá, že vidění se přesouvá z čípků na tyčinky. Pak už rovnost barev neplatí, neboí používáme jiný systém. Druhý princip týkající se míšení barev je tento: Jakoukoliv barvu lze vytvořit ze tří různých barev, v našem případě z červené, zelené a modré. Jejich míšením ve vhodném poměru můžeme 472 BAREVNÉ VIDĚNI vytvořit barvu, jakou chceme, jak jsme si ukázali na našich dvou příkladech. Tyto zákony jsou velmi zajímavé i matematicky. A pro ty, jež matematické vyjádření zajímá, je uvedeme. Předpokládejme, že vezmeme naše tři barvy, červenou, zelenou a modrou, označímejejako A, B, Ca budeme je nazývat našimi primárními barvami. Každou barvu pak lze vytvořit smísením těchto tří barev v určitých množstvích; například množství a barvy A plus množství b barvy B a množství c barvy C dává barvu X. X=aA + bB+cC (35.4) Předpokládejme, že jinou barvu ľlze vytvořit ze stejných barev. Y=a'A + b'B+c'C. (35.5) Pak se ukazuje, že smísením těchto dvou světel se získá svědo, jež lze vytvořit tak, že sčítáme složky Xa F (je to jeden z důsledků zákonů, o nichž jsme právě mluvili): Z = X* F= [a + a1) A + (b + b1) B + (c + c') C. (35.6) Vypadá to jako matematika sčítání vektorů, kde (a, b, c) jsou souřadnice jednoho vektoru a (a', b', c') jsou souřadnice druhého vektoru, přičemž nové svědo Zje „součtem" těchto vektorů. To je předmět, který vždy přitahoval fyziky i matematiky. Například Schrôdinger napsal o barevném vidění nádherný článek, v němž rozvinul tuto teorii vektorů k analýze míšení barev. Vzniká otázka, které primární barvyjsou správné. Něco takového jako správné primární barvy k míšení svěda neexistuje. Z praktického hlediska mohou existovat tři barevné pigmenty, z nichž lze namíchat víc barevných odstínů a jež jsou užitečnější než jiné tři, ale to nás nyní nezajímá. Libovolná tři různě barevná svěda43' lze vždy smísit ve správném poměru a vznikne jakákolivjiná barva. Můžeme předvést tento fantastický fakt? Místo červené, zelené a modré použijeme v našich projektech červenou, modrou a žlutou. Můžeme použít červenou, modrou a žlutou k vytvoření dejme tomu zelené? Míšením těchto tř í barev vrůzných poměrech dostáváme různé barvy v rozsahu téměř celého spektra, ale přes mnohé pokusy zjistíme, že nic z toho se nepodobá zelené. Otázka zní: „Můžeme vytvořit zelenou?" Ano, ale jak? Když do zelené přimícháme trochu červené, vznikne barva, kterou můžeme vytvořit pomocí určitého poměru žluté a modré! Takže nakonec jsme dosáhli rovnosti barev, jenomže jsme museli udělat malý podvod tím, že jsme přidali červenou na druhou stranu. Protože však máme určitou matematickou představu, chápeme, že jsme vlastně dokázali nikoliv to, že Xlze vždy vytvořit, dejme tomu, z červené, modré a žluté, ale přidáním červené na druhou stranu jsme zjistili, že červená plus Xse dá vytvořit z modré a žluté. Převedení červené na druhou stranu rovnice, můžeme interpretovat jako záporný příspěvek, takže dovo-líme-li, aby koeficienty v rovnici, jako je (35.4), bylyjak kladné tak i záporné, a interpretujeme-li záporný příspěvek tak, že znamená přidání dané barvy na druhou stranu, můžeme tvrdit, že jakoukoliv barvu lze vytvořit libovolnými třemi barvami a něco takového jako fundamentální primární barvy neexistuje. Můžeme se zeptat, zda existují takové tři barvy, z nichž lze získat všechny ostatní jen pomocí kladných příspěvků. Odpověď je, že neexistují. Každá sada tří primárních barev vyžaduje pro některé barvy záporné příspěvky a proto neexistuje jediný způsob, jak definovat primární barvy. Samozřejmě s výjimkou případu, kdy barva jednoho z nich vznikne smfsením barev druhých dvou. 473 DIAGRAM BAREVNOSTI ♦ MECHANIZMUS BAREVNÉHO VIDÉNl V základních učebnicích se říká, že jsou to červená, zelená a modrá, ale to je dáno jen tím, že z těchto barev lze získat větší spektrum barevjen pomocí kladných příspěvků než pro některé jiné kombinace. jg^ DIAGRAM BAREVNOSTI Nyní se podívejme na kombinace barev na úrovni matematiky v geometrickém vyjádření. Je-li možné každou barvu reprezentovat rovnicí (35.4), můžeme ji znázornit jako vektor v prostoru, kde na osy barevných souřadnic nanášíme hodnoty a, ba ca určité barvě odpovídá určitý bod. Od-povídají-lijiné barvě jiné hodnoty (a\ b', c1), odpovídá jí jiný bod. Smísením těchto dvou barev vznikne barva, kterou získáme sčítáním těchto dvou vektorů. Tento diagram lze do roviny zjednodušit na následujícím základě: zdvojnásobíme-li pro nějakou barvu a, b a c, tj. kdyžje všechny zvětšíme ve stejném poměru, dostaneme stejnou barvujen jasnější. Proto, rozhodneme-li se všechno zredukovat na stejnou světelnou intenzitu, můžeme použít projekce na rovinu, je to provedeno na obr. 35.4. Z toho vyplývá, že libovolná barva, kterou lze získat smísením dvou barev v libovolném poměru, se bude nacházet někde na čáře spojující tyto dva body. Například pro stejnýpoměr barev bude výsledná barva ležet ve středu mezi nimi a pro 1/4 jedné a 3/4 druhé bude ležet ve čtvrtině vzdálenosti od první k druhé. Vezmeme-li za primární barvy modrou, zelenou a červenou, vidíme, že všechny barvy, jež z nich můžeme vytvořit pomocí kladných koeficientů, leží uvnitř čárkovaného trojúhelníka, jež obsahuje skoro všechny běžné barvy. Všechny možné viditelné barvy jsou totiž ohraničeny zakřivenou čárou ohraničující divně tvarovanou plochu. Odkud pochází tato plocha? Kdosi jednou velmi pozorně sladil všechny viditelné barvy pomocí tří speciálních barev. Nemusíme ale kontrolovat všechny viditelné barvy, stačí, když si zkontrolujeme čisté spektrální barvy, spektrální čáry. Libovolné svědo můžeme považovat za součet různých kladných příspěvků různých čistých spektrálních barev - čistých z fyzikálního hlediska. Dané svědo bude obsahovat určité množství spektrálních barev- červené, žluté, modré atd. Proto, když víme, kolikje třeba každé naší primární barvy k vytvoření těchto čistých složek, můžeme vypočítat, kolik je jí třeba k vytvoření dané barvy. Najdeme-li tedy barevné koeficienty všech spektrálních barev pro libovolné dané tři primární barvy, můžeme sestavit celou tabulku míšení barev. y 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0.3 0,2 0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 x Obr. 35.4 Standardní diagram barevnosti i 520 474 BAREVNÉ VIDĚNI 720 680 640 600 560 620 480 440 400 VLNOVÁ DÉLKA [nm] Obr.35.5 Barevnékoefidentyproästéspektrálníbarvyvyjáa^enépo červená, G -zelená, B -modrá) Příklad takového experimentálního míšení barevje na obr. 35.5.]e na něm vidět, jaké množství každé ze tří různých primárních barev, červené, zelené a modré, je třeba k vytvoření všech spektrálních barev. Na levém konci spektra je červená, vedle je žlutá a tak až po modrou. Všimněme si, že v některých bodech jsou nutná záporná znamení. Na základě takových údajů je pak možné najít polohy všech barev na náčrtku, na němž jsou osy x a y dány do souvislostí s množstvím různých použitých primárních barev. Takovým způsobem byly nalezeny zakřivené hraniční čáry. Jsou to polohy čistých spektrálních čar. Každou libovolnou barvu lze vytvořit pomocí sčítání spektrálních čar, proto vše, co lze vytvořit spojenímjedné částí hraniční čáry sjejí druhou částí, odpovídá barvám přítomným v přírodě. Přímá čára spojuje krajní fialový bod s krajním červeným bodem spektra. Je to poloha purpurové. Uvnitř hraničních čar jsou barvy, jež lze vytvořit pomocí světel a vně barvy, jež nelze pomocí světel vytvořit, a které nikdo nikdy neviděl (snad jen v halucinacích). 35.5 MECHANIZMUS BAREVNÉHO VIDĚNI Další stránka problému souvisí s otázkou, proč se barvy tak chovají. Podle nejjednodušší teorie, kterou navrhl Young a Helmholtz, se předpokládá, že v okujsou tři různé pigmenty cidivé na světlo, jež mají různá absorpční spektra, takže jeden pigment silně absorbuje, dejme tomu, červené svědo, druhý modré a třetí zelené svědo. Když je osvítíme, nastane v těchto tř ech oblastech různá absorpce a tyto tři částí informace se v mozku nebo v oku, případně někde jinde zpracovávají na výsledný barevný vjem. Snadno lze ukázat, že z těchto předpokladů by vyplývala všechna pravidla míšení barev. O celé věci se mnoho debatovalo, další problém je samozřejmě určit absorpční charakteristiky každého z těchto tří pigmentů. Bohužel se ukazuje, že vzhledem k tomu, že barevné souřadnice lze libovolně transformovat, můžeme při experimentech s míšením barev najít jen všechny možné lineární kombinace absorpčních křivek, ale ne křivky pro jednodivé pigmenty. Lidé se snažili různými způsoby získat určitou křivku, jež by popsala nějakou fyzikální vlastnost oka. Jedna z nich se nazývá křivka jasu a je na obr. 35.3. Jsou tam dvě křivky, jedna pro vidění za šera, druhá pro vidění za svěda - taje křivkou jasu pro čípky. Měří se tak, že se zjišťuje, jaké je nejslabší barevné svědo, jež jsme ještě schopni zaregistrovat. Určuje míru cidivosti oka v různých spektrálních oblastech. Tu lze změřit i jiným zajímavým způsobem. Vezmeme-li dvě barvy, jimiž budeme střídavě osvědovat nějakou plochu a bude-li frekvence střídání barev dost nízká, budeme pozorovat blikání. Budeme-li barvy střídat rychleji, při určité 475 DIAGRAM BAREVNOSTI ♦ MECHANIZMUS BAREVNÉHO VIDĚNI frekvenci, jež závisí na jasu světla, blikání ustane. Může to být třeba při 16 opakováních za sekundu. Nyní nastavíme jas nebo intenzitu obou barev tak, aby při 16 cyklech blikání ustalo. Abychom s takto nastavenou intenzitou svěda opět pozorovali blikání barev, musíme frekvenci hodně snížit. Takže při vyšších frekvencích vzniká blikání jasu a při nižších frekvencích blikání barev. Pomocí techniky blikání lze nastavit dvě barvy na „stejný jas". Výsledek je téměř stejnýjako výsledky měření prahové cidivosti oka na vidění svěda pomocí čípků. Většina pracovníků používá k definici křivkyjasu tuto metodu. Nacházejí-li se v oku tři pigmenty cidivé na barvy, je třeba pro každý z nich určit tvar absorpčního spektra. Jak? Víme, že jsou lidé, kteří jsou barvoslepí - osm procent mužů a půl procenta žen. Většina barvoslepých lidí nebo lidí s abnormálním barevným viděním majíjinou míru citlivostí k různým barvám, ale k vytvoření dané barvy stále potřebují tři různé barvy. Jsou však i tací, jež se nazývají dichromati a kteří získávají libovolný barevný vjem jen pomocí dvou primárních barev. Vnucuje se tady myšlenka, že jim chybíjeden ze tří pigmentů. Kdybychom našli tři druhy barvoslepých dichromatů, kteří mají různá pravidla míšení barev, jedněm by měla chybět červená, druhým zelená a třetím modrá pigmentace. Měřením těchto tří typů bychom mohli určit tři hledané křivky! Tři druhy barvoslepých dichromatů skutečně existují. Dva z nich jsou dost běžné a třetí je dost vzácný. Pomocí nich se podařila určit absorpční spektra pigmentů. 520 Obr. 35.6 Polohy barev zaměňovaných deuteranopy Na obr. 35.6^ znázorněno míšení barev pro určitý druh barvoslepých osob, tzv. deuteranopů. Pro ně nejsou polohy konstatních barev body, ale určité přímky, podél nichž se jim barvajeví jako stejná. Pokud je teorie, že jim chybíjedna ze tří informací, správná, všechny takové přímky by se měly protínat v jednom bodě. Když tento graf pozorně změříme, zjistíme, že se dokonale protínají. Ovšem.je to proto, že graf byl sestrojen matematikem a nepředstavuje skutečné údajel Je pravda, podíváme-li se na nejnovější článek se skutečnými údaji, na grafu, jako na obr. 35.6, není průsečík všech přímek na správném místě. Pomocí přímek na uvedeném obrázku nemůžeme určit rozumné spektrum; potřebovali bychom negativní i pozitivní absorpci pro různé oblastí. Pomocí nových údajů výzkumůJustové vychází každá z absorpčních křivek všude kladná. 476 BAREVNÉ VIDĚNI Obr. 35.7 Polohybarevzaměňovanýchprotanopy Na obr. 35.7je znázorněn jiný typ barvosleposti, tzv. protanopický typ, jenž má ohnisko v blízkosti červeného konce hraniční křivky. To přibližně odpovídá i údajům Justové. Pomocí tří typů barvosleposti byly nakonec definitivně určeny tři křivky cidivosti pigmentů, jak jsou znázorněny na obr. 35.8. Definitivně? Snad. Otázkou je, zda platí třípigmentová teorie, zdaje barvoslepost důsledkem toho, že jeden pigment chybí a dokonce i to, zda jsou údaje o míšení barev u bar-voslepých správné. Různí odborníci mají různé výsledky. Na tomto poli se stále ještě pracuje. 400 500 600 700 X(nm) Obr. 35.8 Spektrální citlivost receptoru normálního tri chromata FYZIOCHEMIE BAREVNÉHO VIDĚNÍ A což tak zkontrolovat, zda tyto křivky platí pro skutečné pigmenty v oku? Pigmenty, jež lze získat ze sítnice, se většinou skládají z pigmentu nazvaného rhodopsin (oční purpur). Jeho nejzajímavější vlastností je za prvé, že se nachází téměř u všech obradovců a za druhé, že jeho křivka citlivosti se krásně shoduje s cidivosti oka, jak vidíme na obr. 35.9. Jsou tam naneseny ve stejném měřítku cidivosti rhodopsinu a oka adaptovaného na tmu. Je jasné, že to je pigment, pomocí kterého vidíme za šera; oční purpur je pigment tyčinek a nemá nic společného s barevným viděním. Tento fakt byl zjištěn v roce 1877. Dokonce i dnes lze říci, že barevné 477 FYZIOCHEMIE BAREVNÉHO VIDÉNl pigmenty čípků se nikdy nepodařilo získat ve zkumavce. V roce 1958 bylo možné tvrdit, že barevné pigmenty nikdy nikdo neviděl. Od té doby Rushton pomocí jednoduchého a krásného experimentu dva z nich detekoval. Obr. 35.9 Citlivost oka přizpůsobeného tměvporovnánísabsorpfcníkřivkourhodopsinu Těžkosti zřejmě spočívají v tom, že když je oko tak málo cidivé na jasné svědo ve srovnání s cidivostí na nízké intenzity, potřebuje k vidění mnoho rhodopsinu, ale nepotřebuje tolik barevných pigmentů k vidění barev. Rushtonova myšlenka byla ponechat pigmenty v oku a nějak je změřit. Provedl to následovně. Existuje přístroj nazvaný oftalmoskop, jímž se pomocí čoček vyšle svědo do oka a odražené svědo přicházející zpět se soustředí do ohniska. Pomocí tohoto přístroje lze zjistit, kolik svěda se odrazilo zpět. Tak lze měřit koeficient odrazu svěda, které prošlo pigmentem dvakrát (svědo se na očním pozadí odráží a znovu prochází pigmentem při návratu zpět). Příroda není vždy tak krásně organizovaná. Čípky jsou zkonstruovány tak zajímavě, že světlo, které vstupuje do čípku, se odráží od stěn a postupuje dolů k malým citlivým bodům ve vrcholu. Svědo jde až k cidivému bodu, odráží se a vrací zpět a opět vylétá ven, takže na své cestě prochází kolem velkého množství tohoto pigmentu. Při pohledu na žlutou skvrnu, kde nejsou tyčinky, nám rhodopsin situaci nekomplikuje. Ale barva sítnice byla pozorována již dávno, je oranžovo - růžová, jsou v ní také krevní cévy a materiál zadní stěny oka, jenž má také svou barvu. Jak víme, že se díváme na pigment? Odpověď je tato: Za prvé, vezmeme si barvoslepou osobu, která má méně pigmentu a pro kterouje proto možné snadněji provést analýzu. Za druhé, různé pigmenty, jako rhodopsin, mění svou intenzitu, když je vyběluje svědo; při osvědení mění svou koncentraci. Proto při sledování absorpčního spektra oka osvědil Rushton celé oko dalším světlem, které měnilo koncentraci pigmentu a měřil změnu, která nastala ve spektru. Samozřejmě, že tento rozdíl nemá nic společného s množstvím krve nebo s barvou odrazových vrstev apod., ale závisíjen na pigmentu. Tak Rushton získal křivku pro protanopické oko, která je na obr. 35.10. Druhá křivka na obr. 35.i Oje křivka získaná pro normální oko. Tato křivka vznikla měřením normálního oka. Známe-li vlastnost jednoho pigmentu, můžeme vybělit druhý pigment červeným švédem, na nějž není první pigment cidivý. Červené svědo nemá na protanopické oko vliv, ale ovlivňuje normální oko, takže tak můžeme získat křivku pro chybějící pigment. Tvar jedné křivky se shoduje se zelenou křivkou Justové, ale červená křivka je o něco posunuta. Snad se dostáváme na správnou stopu, aleje možné, že ne, neboť poslední výzkumy s deuteranopy neukazují na to, že by nějaký pigment chyběl. Otázka barvy není jen otázkou fyziky svěda. Barva je vjem a vjem barvy se v různých situacích mění. Například máme-li růžové svědo vytvořené překrýváním bílého a červeného svěda (růžová 400 500 600 VLNOVÁ DÉLKA [nm] 478 BAREVNÉ VIDĚNÍ jejediná barva, kterou můžeme vytvořit pomocí bílé a červené), můžeme ukázat, že bílá se bude zdát modrá. Postavíme-li do cesty paprskům nějaký předmět, dostaneme od něho dva stíny -jeden osvědený pouze bílým svědem a druhý pouze červeným svědem. Většině bdí se zdá, že „bílý" stín je modrý, ale když ho zvětšujeme, až pokryje celé plátno, najednou vidíme, že je bílý a ne modrý! Další podobné efekty můžeme získat smísením červeného, žlutého a bílého svěda. Červená, žlutá a bílá mohou vytvořit pouze oranžovožluté barvy, tedy kdyžj e smísíme v přibližně stejném poměru, dostaneme jen oranžové svědo. Navzdory tomu, když z těchto světel vytvoříme stíny s různě překrývajícími se barvami, dostaneme celou sérii nádherných barev, které tam vlastně nejsou (svědo je jen oranžové), ale jsou v našich vjemech. Jasně vidíme mnoho různých barev, které jsou zcela jiné než „fyzikální" barvy v paprsku. Velmi důležité je, abychom si uvědomili, že již sítnice o svědě „přemýšlí"; porovnává to, co vidí v jedné oblastí s tím, co vidí v druhé, i když si to neuvědomuje. O našich poznatcích, jak to sítnice dělá, se dočtete v další kapitole. DVOJNÁSOBNÁ HUSTOTA DVOJNÁSOBNÁ HUSTOTA 500 550 600 650 nm Obr. 35.10 Absorpční spektrum barevného pigmentu barvoslepého protanopa (čtverce) a normálního oka (tečky) 479 echanizmus vidění 36.1 BAREVNÝ VJEM 36.2 FYZIOLOGIE OKA 36.3 TYČINKY 36.4 SLOŽENÉ OKO HMYZU 36.5 JINÉ OČI 36.6 NEUROLOGIE ZRAKU BAREVNÝ VJEM Při studiu pocitu vidění si musíme uvědomit, že nevidíme náhodné barevné nebo světelné skvrny (mimo galerie moderního umění)! Když se na něco díváme, vidíme člověka nebo věc; jinými slovy mozek interpretuje, co vidíme. Jak to dělá, nikdo neví a je třeba dodat, že to dělá na velmi vysoké úrovni. I když k tomu, abychom rozeznali člověka, potřebujeme dlouhou zkušenost, má vidění mnoho stránek, kteréjsou mnohem elementárnější, ale které také zahrnují kombinování informací z různých částí toho, co vidíme. Abychom pochopili vytváření celkového obrazu, stojí za to prostudovat první stupně skládání informací z různých buněk sítnice. V této kapitole se soustředíme hlavně na tento aspekt vidění, i když se vedle toho zmíníme i o dalších problémech, jež s tím souvisejí. Příkladem akumulace současných informací z různých částí oka na velmi elementární úrovni, aniž bychom si to uvědomovali nebo mohli vůlí ovládat, byl modrý stín vytvořený bílým švédem při současném osvědení plátna bílým a červeným svědem. Tento efekt zahrnuje přinejmenším naši znalost o tom, že pozadí plátna je růžové, i když se díváme jen na modrý stín, z něhož do našeho oka přichází jen bílé svědo. Někde došlo ke spojení různých částí informací. Čím známější a úplnější je kontext toho, co vidíme, tím udělá oko větší korekce všech zvláštností. Land skutečně ukázal, že smísíme-li tuto zdánlivou modrou s červenou v různých poměrech pomocí dvou průhledných fotografických desek, které různě absorbují červené a bílé svědo, pak lze dosáhnout celkem věrného znázornění reálné scény s reálnými předměty. V tomto případě dostaneme také mnoho intermediálních zdánlivých barev analogických tomu, co bychom dostali 480 MECHANIZMUS VIDĚNÍ smísením červené a modro - zelené; zdá se to být téměř úplný systém barev, ale podíváme-li se na ně velmi pozorně, vidíme, že nejsou příliš dobré. I tak je překvapující, jak mnoho můžeme získat pouze z červené a bílé. Čím víc je scéna podobná reálné situaci, tím více jsme schopni vykompenzovat skutečnost, že svědo není ve skutečností žádné jiné, jen růžové! Dalším příkladem j e vznik „barev" na černobílém rotujícím kotouči, jehož černé a bílé plochy jsou znázorněny na obr. 36.1. Při rotaci kotouče jsou změny svědé a tmavé stejné pro jakýkoliv poloměr, rozdíljejen v pozadí pro dva druhy „proužků". Apřece, jeden z prstenců sejeví zbarvený jednou barvou a druhý druhou.44' Proč je tyto barvy vidět, to zatím ještě nikdo neví, aleje jasné, že dochází ke skládání informací na velmi elementární úrovni, nejpravděpodobněji v samotném oku. Obr. 36.1 Pfirotadkotoučesenajednomztanavýchprstencůobjeví^ barvy se objeví na druhém prstenci. Téměř všechny dnešní teorie barevného vidění se shodují v tom, že údaje o míšení barev nasvědčují, že v čípcích okajsoujen tři druhy pigmentů, a že k barevnému vjemu dochází v podstatě díky spektrální absorpci v těchto třech pigmentech. Ale výsledný vjem, který je spojen s absorpčními charakteristikami těchto pigmentů, není roven nutně součtu jednotlivých vjemů. Všichni souhlasíme s tím, že žlutá prostě nevypadá jako červeno — zelená; objev, že svědo je ve skutečností směsí barev, může být pro mnoho lidí obrovským překvapením. Je zřejmé, že vnímání svěda souvisí s jiným procesem než s pouhým míšením. Hudební akord je tvořen například třemi tóny, jež jsou stále přítomny a když se dobře zaposloucháme, můžeme je slyšet každý zvlášť. Nemůžeme se však dobře zadívat a uvidět červenou a zelenou zvlášť. Starší teorie vidění tvrdily, že existují tři pigmenty a tři druhy čípků, každý obsahující jeden pigment, a že nervy spojují každý čípek s mozkem, takže do mozku se přenáší trojí informace a tam už se s ní může dít cokoli. To je samozřejmě neúplná představa. Objev, že informace se přenáší do mozku optickým nervem, nic neznamená, protože to není anijen začátek řešení našeho problému. Musíme si položit základnější otázky: Záleží na tom, kde se informace spojují, vyplývá z toho nějaký rozdíl? Je důležité to, že se informace přenášejí do mozku optickým nervem nebo může předtím provést sítnice nějakou analýzu? Na obrázku jsme viděli, že sítnice je velmi komplikovaná s množstvím propojení (obr. 35.2), a že by mohla vykonávat nějakou analýzu. Lidé studující anatomii a vývoj oka ukázali, že sítnice je ve skutečnosti součástí mozku. Po dobu embryonálního vývoje se část mozku vysune dopředu, přičemž se vyvinou dlouhá vlákna, která potom spojují oko s mozkem. Sítnice je vnitřně organizována stejně jako mozek a kdosi to výstižně vyjádřil takto: „Mozek si našel způsob, jak se dívat na svět" Oko je část mozku, která se takříkajíc dotýká vnějšího svěda. Není proto nepravděpodobné, že už vsamotné sítnici nastává určitá analýza barev. 44) Barvy závis! na rychlosti otáčení, intenzitě osvětleni a do uráte míry na tom, kdo se divá, a jak soustředěná se na ně dfvá. 481 BAREVNÝ VJEM Tím se nám nabízí zajímavá možnost. U žádného jiného smyslu, který umožňuje nějaká měření, nedochází před vstupem do nervu k tak velkému množství procesů, jež by bylo možné nazvat výpočty. Pro všechny ostatní smysly probíhají výpočty v samotném mozku, kde je tolik vzájemných spojů, že dostat se na určité místo a provést tam měření, je téměř nemožné. U zrakového smyslu máme svědo, tři vrstvy buněk vykonávajících výpočty a výsledek se přenáší zrakovým nervem. Máme proto první možnost fyziologicky pozorovat, jak asi pracují první vrstvy mozku při svých krocích. Je to dvojnásob zajímavé, nejen z hlediska vidění, ale i z hlediska celkové fyziologie. NERVOVÉ REAKCE FOTOCHEMICKÉ ABSORBCE y-i**,(P+r2a) Obr. 36.2 Nervové spoje podle „oponentní" teorie barevného vidění Skutečnost, že existují tři pigmenty neznamená, že musí být tři druhy vjemů. Jiná teorie barevného vidění má zcela protikladná schémata uspořádání barev (obr. 36.2). Podle níjedno z nervových vláken přenáší hodně impulsů, když oko vidí žlutou barvu a málo impulsů, když vidí modrou. Další nervové vlákno přenáší stejným způsobem zelenou a červenou informaci a další bílou a černou. Jinak řečeno, někdo se již pokusil odhadnout způsob připojení a metodu výpočtu. Problémy, jež bychom rádi vyřešili odhadem těchto výpočtu, souvisí s otázkou zdánlivých barev, které vidíme na růžovém podkladě, tím, co se stane, když se oko adaptuje na různé barvy a otázkou tzv. psychologických jevů. Psychologickými jevy jsou například takové jevy, jako že bílou „necítíme" jako červenou, žlutou a modrou. Tato teorie barevného vidění dále pokročila, protože psychologové tvrdí, že existují čtyři zdánlivé čisté barvy: „Existují čtyři stimuly, jež mají pozoruhodnou schopnost vyvolat psychologicky jednoduché barvy - modrou, žlutou, zelenou a červenou. Na rozdíl od žlutohnědé, červenohnědé, purpurové nebo od většiny odlišitelných barevjsou tyto jednoduché barvy nesmíšené v tom smyslu, že žádná z nich se nezúčastňuje na podstatě druhé; přesněji modrá není nažloudá, načervenalá nebo nazelenalá atd.; jsou to psychologicky primární barvy." To nazýváme psychologickým faktem. Abychom zjistili, na základě čeho se došlo k tomuto konstatování, musíme opravdu těžko hledat v celé odborné literatuře. Vše, co o tom najdeme v moderní literatuře, je opakování toho, co jsme citovali. Případně bývá citován jistý německý psycholog, pro nějž je uznávanou autoritou Leonardo da Vinci, který, jak všichni dobře víme, byl velký umělec. Říká: „Leonardo si myslel, že existuje pět barev." Hledáme-li dál, v ještě starší knize najdeme takový důkaz: „Purpurová je červeno -modrá, oranžová je červeno - žlutá, ale můžeme vidět červenou jako purpurovo - oranžovou? Není červená a modrá jednodušší než purpurová nebo oranžová? Průměrná osoba, které se zeptáte, jaké jsou jednoduché barvy, vám vyjmenuje červenou, žlutou a modrou, tyto tři a někteří pozorovatelé dodají ještě čtvrtou, zelenou. Psychologové si zvykli považovat tyto čtyři za 482 MECHANIZMUS VIDĚNÍ významné barvy." Taková je tedy situace v psychologické analýze včci. Když každý říká, že jsou tři, tak jsou tři, a když někdo řekne, že jsou čtyři a oni chtějí, aby byly čtyři, tak budou čtyři. Na tom jsou vidět těžkostí psychologického výzkumu. Je jasné, že máme takové pocity, ale informace o nich lze získat j en velmi těžko. Druhým směrem, kterým se můžeme ubírat, je směr fyziologický, to je experimentálně zjistit, co se ve skutečností děje v mozku, v oku, v sítnici nebo kdekoliv a můžeme objevit, že se po určitých nervových vláknech přenášejí určité kombinace impulzů z různých buněk. Mimochodem, primární pigmenty se nemusí nacházet v oddělených buňkách; mohou být buňky, jež obsahují směsi různých pigmentů, buňky s červeným a zeleným pigmentem, buňky, kde jsou všechny tři pigmenty (informace od všech tří je pak informace o bílé barvě) atd. Existuje mnoho způsobů, jak lze celý systém poskládat a na nás je, abychom objevili, jak je to v přírodě. Nakonec, můžeme mít naději, že pochopíme-li fyziologické souvislosti, potom aspoň zčásti pochopíme psychologické aspekty, o nichž jsme mluvili. Proto se podíváme tímto směrem. FYZIOLOGIE OKA Abychom.si připomněli propojení uvnitř sítnice, znázorněné na obr. 35.2, nebudeme mluvit jen o barevném vidění, ale o vidění obecně. Sítnice je ve skutečností jako povrch mozku. I když skutečný obraz, jak ho vidíme mikroskopem, je o něco komplikovanější než tento schématický náčrt, můžeme při pozorné analýze vidět všechna vzájemná spojení. Nejsou pochybnosti, že jedna část povrchu sítnice je spojena s druhými částmi a že informace, jež se šíří v dlouhých axonech k nervovým buňkám, jsou kombinace informací z mnoha buněk. Jsou zde tři vrstvy buněk s navazujícími funkcemi: buňky sítnice.ježjsou ovlivňovány svědem, intermediální buňky, které přebírají informace od jednodivých nebo od několika buněk sítnice a odevzdávají je buňkám v třetí vrstvě, odkud se přenášejí do mozku. Buňky v těchto vrstvách jsou křížově propojeny všemi možnými směry. Nyní přejdeme k některým stránkám struktury a činnosti oka (viz obr. 35.1). Zaostřování svěda se uskutečňuje hlavně rohovkou, díkyjejímu zakřivenému povrchu, na němž se paprsky lámou. Proto nevidíme dobře pod vodou, neboť ve vodě nemáme dostatečný rozdíl mezi indexy lomu rohovky, kterýje roven 1,37 a vody, jenž je 1,33. Za rohovkou je tekutina s indexem lomu téměř 1,33 a pak čočka, která má velmi zajímavou strukturu: skládá se ze série vrstev jako cibule, jenomže je celá průhledná. Uprostřed má index lomu 1,40 a na krajích 1,38. (Bylo by dobré, kdybychom uměli vyrobit optické sklo s proměnlivým indexem lomu. Pak bychom nemuseli zakřivovat povrch čoček, jako to musíme dělat při konstantním indexu.) Navíc rohovka nemá tvar kulové plochy. U sférické čočky se projevuje určitá sférická aberace. Rohovka je na okrajích „plošší" než kulová čočka, takže má menší sférickou aberacil Pomocí systému rohovka - čočka se svědo zaostřuje na sítnici. Při pohledu na blízké a vzdálenější předměty se čočka napíná nebo uvolňuje, čímž přizpůsobuje ohnisko různým vzdálenostem. K přizpůsobení oka celkovému množství svěda slouží duhovka, podle níž udáváme barvu očí jednodivých osob - hnědou, modrou apod. Když se množství svěda zvětšuj e nebo zmenšuje, duhovka se stahuje nebo rozšiřuje. Podívejme se na nervový systém, jenž řídí akomodaci čočky, pohyby oka, svaly, jež pohybují okem a duhovkou a kterýje schematicky znázorněn na obr. 36.3. Néjvětší část informace, jež vychází z oka po optickém nervu A, se rozdělí do dvou svazků (o nichž ještě bude řeč) a tak jde do mozku. Několik vláken, které nás nyní zajímají, však nejde přímo do vizuálního centra v mozku, kde „vidíme" obrazy, ale místo toho jdou do mezimozku (H). Jimi se měří osvědení a nastavuje se clona duhovky, když je obraz rozmazaný, snaží se zkorigovat čočky, nebo když je 483 FYZIOLOGIE OKA obraz rozdvojený, snaží se nastavit oči na binokulární vidční. Procházejí mezimozkem a zpětně se napojují na oko. jsou svaly, jež ovládají akomodaci čoček a L jsou další svaly, jež jsou napojeny na duhovku. Duhovka má dva systémy svalů. Jeden tvoří kruhový sval L, který při podráždění duhovku stahuje a uzavírá. Jeho činnostje velmi rychlá aje přímo spojen s mozkem prostřednictvím krátkých axonů. Druhý, opačně působící systém, tvoří radiální svaly, takže, když se setmí a kruhový sval se uvolní, radiální svaly duhovku rozevřou. Zde se setkáváme, jako na mnohajiných místech v těle, s několika svaly, jež působí v opačných směrech. V každém takovém případě je nervový systém ovládající svaly velmi jemně vyvážen, takže, když se vyšle signál, aby se jeden sval stáhnul, automaticky se vysílá i signál k uvolnění druhého svalu. Duhovka je v tom vzácnou výjimkou: nervy, jež způsobují stažení duhovky, jsme si již popsali, ale o nervech, které způsobují její roztažení, nikdo neví, odkud přesně přicházejí. Vedou někam dolů do míchy v hrudní části páteře, z míchy vedou vzhůru krčními gangliemi zpět do hlavy, aby nakonec ovládly zpětný pohyb duhovky. Vskutku, tento signál prochází zcelajiným nervovým systémem, vůbec ne centrálním, ale sympatickým nervovým systémem. Je to velmi divný způsob zabezpečení správné funkce. Další zvláštní věc týkající se oka jsme si již jednou zdůraznili. Jde o to, že buňky citlivé na svědo jsou na opačné straně, takže svědo musí projít několika vrstvami jiných buněk, než se dostane k receptorům - vnitřní strana je obrácena směrem venl Vidíme, že některé vlastnosti oka jsou podivuhodné a některé jsou zdánlivě hloupé. Obr. 36.3 Nervové mezispojení pro mechanické ovládání očí Obrázek .Jo".4 znázorňuje spojení mezi očima a částí mozku, která má přímý vztah k procesu vidění. Ihned za bodem D vnikají vlákna zrakových nervů do určité zóny nazvané geniculatum laterale, odkud jdou do části mozku nazvané kůrové zrakové centrum. Všimněme si, že část vláken jde z každého oka do opačné části mozku, takže vytvořený obraz je neúplný. Zrakové nervy z levé části pravého oka procházejí optickým křížem (chiasma opticum) B a přidávají se k nim nervy z levé části levého oka. Takže levá část mozku dostává všechny informace přicházející z levé části každého oka, tj. z pravé části vizuálního pole, zatímco pravá strana mozku vidí levou část vizuálního pole. Tak se skládají informace z každého oka k určení vzdálenosti objektů. V tom spočívá binokulární systém vidění. 484 MECHANIZMUS VIDĚNÍ Obr. 36.4 Nervové spojení oäse zrakovým centrem Spojení mezi sítnicí a zrakovým centrem jsou velmi zajímavá. Poškodí-li se část sítnice, celé nervové vlákno odumře a podle toho můžeme zjistit, kde bylo připojeno. Ukazuje se, že v principu jde o spojení jedna k jedné - každému bodu na sítnici odpovídá jeden bod v zrakovém centru a body, jež jsou velmi blízko sebe na sítnici, jsou blízko sebe i v zrakovém centru. Zrakové centrum takještě stále odpovídá prostorovému seskupení tyčinek a čípků, i když už značně zdeformovanému. Body, jež jsou ve středu pole, a jsou na sítnici soustředěny na velmi malé ploše, jsou v zrakovém centru rozloženy na velmi mnoho buněk. Je vhodné, když věci, které jsou původně těsně vedle sebe, zůstanou vedle sebe i nadále. Nejzajímavější stránka celé věci je však tato: Místo, kde se zdá, že je nejdůležitější, aby věci zůstaly těsně vedle sebe, by bylo přesně ve sďedu vizuálního pole. I když se to zdá neuvěřitelné, svislá čára jdoucí středem našeho zrakového poleje taková, že informace z bodů ležících napravo od ní jdou do levé části mozku a informace z bodů ležících od ní nalevo jdou do pravé strany mozku. A tato střední oblast je rozdělena svislým řezem přímo uprostř ed, takže věci, které jsou si ve středu velmi blízké, jsou od sebe v mozku velmi vzdálené! Takže informace z jedné části mozku se musí nějak dostávat do druhé části, což je dost překvapující. Velmi zajímávaje otázka, jak je celá tato síť propojena. Zde je starý problém, týkající se toho, co je již propojeno a co se teprve spojí učením, zkušeností. Někdy dříve se učilo, že přesné spojení ani není poďebné, stačí, když existují hrubé spoje a pak na základě zkušeností se malé dítě naučí, že když se věc nachází „tam", vyvolá to určité pocity v mozku. (Lékaři nám vždy rádi říkají, co dítě „cítí", ale jak vědí, co cítí dítě, když je mu jeden rok?) Lze předpokládat, že roční dítě vidí nějaký předmět „tam", má určité pocity a učí se sáhnout „tam", protože, když sáhne „sem", předmět nenahmatá. Takový přístup pravděpodobně není správný, protože vidíme, že v mnoha případech již existují hotová detailní spojení. Mnohem více svěda vrhají na věc některé pozoruhodné experimenty s mloky. (Shodou okolností mlok má přímé křížové spojení bez optického kříže, protože oči, které má každé na jedné straně hlavy, nemají společnou část zorného pole. Mlok nemá binokulární vidění.) Lze provést následující experiment. Přetneme-li mlokovi zrakový nerv, nerv z očí opět naroste. Tisíce a tisíce buněk vláken se tak opět spojí. U zrakového nervu nezůstávají vlákna jedno u druhého - je to jako velký spletený telefonní kabel, kde se všechna vlákna kroutí a překrývají, ale když se dostanou do mozku, všechna se opět uspořádají. Vzniká otázka: Když se mlokovi protne zrakový nerv, napojí se vůbec někdy správně? Odpověď je pozoruhodná: Ano. Protneme-li mlokovi nerv a ten opět naroste, má mlok opět 485 TYČINKY dobrou zrakovou ostrost Protneme-li však zrakový nerv, oko obrátíme vzhůru nohama a necháme opět přirůst, má mlok znovu dobrý ostrý zrak, aleje tadyjedna osudná chyba: Když mlok vidí mouchu „tam nahoře", skočí za ní „tam dolů" a nikdy se to správně nenaučí. Jde tu proto o jakýsi záhadný způsob, kterým si tísíce vláken v mozku najdou své správné místo. Otázka počtu daných a získávaných spojuje důležitá pro teorii vývoje živočichů. Odpověď není známa, ale problematika se intenzivně zkoumá. Stejný experiment provedený s karasem zlatým ukazuje, že na místě, kde jsme nerv přesekli, vznikne nepěkný uzel jako velká jizva, ale přesto všechna vlákna srostou tak, že spojují správná místa mozku. Aby se to mohlo uskutečnit, jak rostou nová vlákna ve starých kanálech zrakového nervu, musí se nějak rozhodovat, kterým směrem mají růst. Jak to dělají? Zdá se, že záhada rozdílného růstu různých vláken je chemické povahy. Představme si obrovské množství rostoucích vláken, z nichž každé se něčím liší od svých sousedů a přitom roste tak, že si najde své jediné správné místo pro konečné spojení s mozkem! Přitom zřejmě reaguje individuálním způsobem na nějaký neznámý chemický podnět. To je velmi zajímavá, přímo fantastická věc. Je to jeden z největších nedávných objevů biologie a nepochybně souvisí s mnoha dávnými nevyřešenými problémy růstu, organizace a vývoje organizmů a hlavně embryí. Další zajímavý jev souvisí s pohyby očí. Oči se musí pohybovat tak, aby jejich dva obrazy za různých okolností splývaly. Tyto pohybyjsou různého druhu. Jeden spočívá ve sledování něčeho, co si vyžaduje, aby se oči současně pohybovaly ve stejném směru, vpravo nebo vlevo, další pohyb je směřuje nastejné místo při různých vzdálenostech od očí, což vyžaduje protiběžné pohyby očť. Nervy ovládající oční svaly jsou popojeny tak, že jsou k těmto pohybům přizpůsobeny. Jeden druh nervů způsobuje stahy svalů na vnitřní straně jednoho oka a na vnější straně druhého oka a současně uvolní svaly na opačných stranách, takže oči se pohybují současně. Vzruch z dalšího centra způsobí, že oči se vychýlí z rovnoběžného směru směrem k sobě. Každé oko se může otočit k vnějšímu koutku, když se druhé oko pohybuje k nosu, aleje nemožné, ať už vědomě nebo nevědomě, otočit obě oči současně k vnějším koutkům. Ne proto, že by na očích nebyly takové svaly, ale proto, že neexistuje způsob jak vyslat signál, že se mají obě oči otočit směrem ven. Výjimkou může být úraz nebo porušený nerv. I když svaly jednoho oka jím mohou volně pohybovat, ani jogín nedokáže vytočit současně obě oči směrem ven, neboť, jak se zdá, nejsme k tomu přizpůsobeni. Naše nervová spojení jsou do jisté míry zafixována. To je důležitý fakt, protože většina starších knih o anatomii a psychologii neuznává nebo nezdůrazňuje skutečnost, že naše nervová spojení jsou do takové míry zafixována - tvrdí, že vše je jen naučené. TYČINKY Podívejme se pozorněji, co se děje v tyčinkách. Obr. 36.5 znázorňuje střed tyčinkové buňky při pohledu elektronovým mikroskopem (tyčinka vyčnívá ze zorného pole). Mnoho vrstev je složeno z rovinných útvarů, zvětšeně je vidíme vpravo. Obsahují látku rhodopsin, barvu nebo pigment, jenž vyvolává zrakový efekt v tyčinkách. Pigment rhodopsin je protein obsahující zvláštní skupinu nazvanou retinal, kterou můžeme oddělit od proteinu, a která je nepochybně hlavní příčinou absorpce svěda. Důvod existence rovinných útvarů neznáme, ale je velmi pravděpodobné, že existuje nějaký důvod, proč musí být rhodopsinové molekuly uloženy rovnoběžně. Po chemické stránce je tato problematika dobře rozpracována, ale může se tu uplatnit i fyzika. Je možné, že všechny molekuly jsou seřazeny do jakési řady, takže, je-li některá z nich vypuzena, elektron, jenž se při tom uvolní, proletí celou řadou až dolů, aby signál vyšel 486 MECHANIZMUS VIDĚNÍ ven, případně něco podobného. To je velmi důležitý, zatím však nevyřešený problém. Uplatnit se zde může biochemie i fyzika pevných látek. Takovou vrstevnatou strukturu můžeme najít i jinde, kde je důležité svědo, například u chloroplastu v rosdinách, kde svědo způsobuje fotosyntézu. Při zvětšení tam najdeme téměř stejné vrstvy, jen v rosdinách je místo retínalu chlorofyl. Chemická struktura retinalu je znázorněna na obr. 36.6. V bočním řetězci obsahuje sérii střídajících se dvojných vazeb, což je charakteristické pro téměř všechny silně absorbující organické látkyjakoje chlorofyl, krev atd.Je to látka, kterou si člověk nedokáže vytvořit ve svých vlastních buňkách - musíme ji přijímat potravou. Proto ji jíme ve formě zvláštní látky, jež je skoro stejná jako retinal, jen na pravém konci má ještě připojen vodík -je to vitamin A. Je-li přísun tohoto vitamínu nedostatečný, máme málo retinalu a může se to projevit jako šeroslepost. Tehdy není v rhodopsinu dostatek pigmentu, abychom viděli v šeru pomocí tyčinek. Obr. 36.6 Struktura retinalu Důvod, proč takový řetězec dvojných vazeb silně absorbuje svědo, je také znám. Můžeme ho naznačit. Řada střídavých vazeb se nazývá konjugovanou dvojnou vazbou; dvojná vazba znamená, že tam je jeden elektron navíc a tento elektron se může velmi snadno přesunout doprava nebo doleva. Když na takovou molekulu dopadne svědo, elektrony v každé dvojné vazbě se posunou o jeden krok. Posunou se všechny elektrony v celém řetězci, jako když padají kostky domina postavené do řady, a i když se každá posune jen o kousek (očekáváme, že v jednom atomu se může elektron posunout pouze o malou vzdálenost), ale výsledný efekt je stejný, jakoby se Obr. 36.5 Elektronová mikrografie tyčinkových buněk CH, CH, CH, 487 složené oko hmyzu elektron posunul z jednoho konce až na druhý konecl Je to totéž, jako by se jeden elektron pohyboval sem a tam po celém řetězci. Proto vlivem elektrického pole vzniká mnohem silnější absorpce, než kdybychom mohli posunout elektron jen o vzdálenost odpovídající jednomu atomu. Retínin velmi silně absorbuje svědo, neboť elektrony tak lze snadno posouvat. Takový je tady fyzikálněchemický mechanizmus. 36^ SLOŽENÉ OKO HMYZU Vraťme se nyní do biologie. Lidské oko není jediným druhem oka. Téměř všichni obradovci mají oči podobné lidským. Nižší živočichové však mají mnoho jiných druhů očí: oční skvrny, různé oční pohárky a jiné méně citlivé orgány, o nichž nemáme čas hovořit. Mezi bezobradými však existuje jeden druh vysoce vyvinutého oka a to je složené oko hmyzu. (Většina hmyzu má vedle velkých složených očíještě i různé dodatečné.jednodušší oči.) Velmi podrobně se zkoumal zrak včely. Vlastnosti včelího zraku lze snadno studovat, protože včely přitahuje med a lze připravit experimenty, kde se med odliší tak, že se položí na modrý nebo na červený papír a sleduje se, ke kterému včely přiletí. Takovou metodou se podařilo objevit několik velmi zajímavých věcí týkajících se vidění včel. V první řadě musíme poznamenat, že při pokusech měřit jak vidí včely rozdíl v barvě mezi dvěma „bílými" papíry, zjistili někteří výzkumníci, že včely to příliš dobře neumí a jiní zjistili, že jsou v tom fantastické. I když byly dva kousky bílého papíru téměř úplně stejné, včely stále mohly poznat rozdíl mezi nimi. Experimentátoři použili na jednom papíru zinkovou bělobu a na druhém olověnou bělobu, a i kdyžjsou obě barvy pro nás úplně stejné, včelyje mohly stále rozeznat, neboť tyto barvy různě odrážejí svědo v ultrafialové oblasti. Tak se zjistilo, že včelí oko je citlivé v širším rozsahu spektra než je náš rozsah. Naše oko vidí od 700 nm do 400 nm, od červené po fialovou, ale včelí oko vidí až do 300 nm, ti. po ultrafialovou oblasti Na základě toho vzniká mnoho zajímavých jevů. Za prvé, včely mohou rozlišit mnoho květů, které se nám zdají stejné. Samozřejmě, musíme si uvědomit, že barvy květů nejsou určeny pro naše oči, ale pro včelí; jsou to signály, které přitahují včely k určitým květům. Všichni víme, že existuje mnoho „bílých" květů. Bílá barva není zřejmě pro včely příliš zajímavá, neboť se ukazuje, že všechny bílé květy různě odrážejí ultrafialovésvědo. Neodrážejí ho na sto procent, jak by ho měla odrážet skutečná bílá. Ne všechno svědo se odráží zpět, ultrafialové chybí, to znamená, že vzniká nějaká barva, právě tak jako pro nás, když chybí modrá, svědo je žluté. Proto jsou pro včely všechny květy barevné. Ale také se zjistilo se, že včely nevidí červenou. Proto bychom mohli očekávat, že všechny červené květy jsou pro včelu černé, ale není tomu tak. Při podrobném studiu červených květů dokonce i naším okem můžeme postřehnout, že většina z nich má mírně namodralý nádech, protože dodatečně odrážejí ještě i modrou barvu, kterou včela vidí. Experimenty dále ukazují, že květy se liší i v tom, jak různé části jejich okvětních lístků odrážejí ultrafialové svědo atd. Kdybychom tedy mohli vidět květy tak, jak je vidí včely, byly byještě krásnější a různorodější! Bylo zjištěno, že existují takové červené květy, které neodrážejímoáré nebo ultrafialové svědo, takže včelám se budou zdát černé! To velmi zaujalo odborníky zabývající se těmito věcmi, protože černá barva se zdá být nezajímavá, neboťje těžko odlišitelná od špinavého stínu. Skutečně se ukázalo, že se včely těmto květům vyhýbají, ale „navštěvují" je kolibříci a ti červenou vidí! Další zajímavou stránkou zraku včel je, že při pohledu na kousek modrého nebe umí včela určit směr ke Slunci, aniž by ho viděla. My to tak snadno nedokážeme. Když se podíváme z okna na nebe a vidíme, že je modré, kterým směrem se nachází Slunce? Včela to pozná, protože je 488 MECHANIZMUS VIDĚNI dost cidivá k polarizaci svěda a rozptýlené svědo oblohyje polarizované. O tom jak se tato citlivost uplatňuje, se stále ještě diskutuje. Zatím nevíme, zda díky tomu, že odraz svěda je různý za různých okolností neboje přímo včelí oko tak cidivé. ^ Říká se také, že včela postřehne blikání až do frekvence 200 cyklů za sekundu, zatímco my jen do 20. Pohyby včel v úlu jsou velmi rychlé. Včely pohybují nohama a vibrují křídly, ale tyto pohyby lze velmi těžko postřehnout naším okem. Kdybychom však viděli mnohem rychleji, tyto pohyby bychom pozorovali. Pro včelu je asi velmi důležité, abyjejí oko mělo tak rychlý postř eh. Podívejme se, jakou ostrost vidění můžeme předpokládat u včely. Její oko je složené, vytvořené z velkého množství zvláštních buněk nazvaných ommatidia. Jsou uspořádána kuželovitě na kulové ploše na vnější částí hlavy včely. Jedno ommatídiumje na obr. 36.7. Nahoře se nachází průhledná část, druh jakési „čočky", ale ve skutečností je to spíš filtr nebo světelná trubice, která přivádí svědo podél tenkého vlákna, kde pravděpodobně dochází k absorpci. Z druhého konce vychází nervové vlákno. Centrální vlákno je obklopeno šesti buňkami, které ho kryjí. Takový popis pro naše účely stačí. Hlavní je, že ommatídiumje kuželovitý útvar a že se jich vejde na povrchu včelího oka vedle sebe velmi mnoho. ret n -bm -nt Obr. 36.7 Struktura ommatidia (jednoduché buňkysloženého oka) Lidské oko je také mírně citlivé na polarizaci světla a určit polohu Slunce se lze naučitl Uplatňuje se zde Haidingerův jev. Podíváme-ll se na široká, volná prostranství polarizačními skly, uprostřed vizuálního pole vidíme slabou nažloutlou strukturu, podobnou hodinovému sklíčku. Můžeme ho vidět i na modré obloze a bez pomoci polarizačních brýlí, když otočíme hlavu ze strany na stranu kolem osy vidění. 46) Důkazy z posledního období naznačují, že jde o přímou citlivost oka. 489 SLOŽENÉ OKO HMYZU Obr. 36.8 Schéma umístění ommatídií v oku včely Nyní se podívejme na rozlišovací schopnost včelího oka. Nakreslíme-li čáry znázorňující ommatidia na povrchu koule s poloměrem r (obr. 36.8), můžeme vypočítat šířky každého omma-tídia. Použijeme k tomu náš rozum a budeme předpokládat, že vývoj je stejně chytrýjako my. Je-li ommatídium velmi velké, rozlišovací schopnost bude malá. Jedna buňka získá informaci z jednoho směru a vedlejší buňka z nějakého jiného směru atd., a co je mezi tím, to včela dobře neuvidí. Takže neurčitost zrakové ostrostí oka bude určitě souviset s nějakým úhlem - s úhlem příslušejícím jednomu ommatidiu - mezi krajním směrem ommatidia a směrem ke středu křivostí oka. (Zrakové buňky jsou, samozřejmě, pouze na povrchu koule, uvnitř je hlava včely.) Tento úhel od jednoho ommatidia k druhému je roven poměru průměru ommatidia a poloměru oka Aa=-. (36.1) í r Takže bychom mohli říct, „čím bude ô menší, tím bude lepší zraková ostrost oka. Proč potom nemá včela velmi tenoučká ommatidia?" Odpověď je následující. Z fyziky již víme dost k tomu, abychom si uvědomili, že chceme-li svědo dostat do úzké štěrbiny, uplatní se ohybové jevy a v daném směru nebudeme dobře vidět. Vzhledem k difrakci tam může vnikat svědo z různých směrů z celkového úhlu A ai takového, že Atf, = i (36.2) Nyní vidíme, že bude-li ô příliš malé, nebude vzhledem k difrakci každé ommatídium vidět jen vjednom směru. Budou-li ommatidia příliš velká, uvidí každé v určitém směru, ale nebude jich dost k tomu, aby vytvořily dobrý obraz dané scény. Proto vzdálenost ô nastavíme tak, abychom optimalizovali vliv obou účinků. Sečteme-li je a najdeme minimum tohoto součtu (obr. 36.9), máme d(Adr+AaO i i do r s Odtud plyne pro vzdálenost ô = {Tr. (36.4) Odhadneme-li, že rje kolem 3 milimetrů a za vlnovou délku svěda, které vidí včela, vezmeme 400 nm, máme Ô = (3 x 10"3 x 4 x ÍO"7)"2 m = 3,5 x 10"5 m = 35 um. 490 MECHANIZMUS VIDĚNÍ 8/n Obr. 36.9 Optimálrd velikost oriunatidiaje ôm Podle literaturyje to 30 um, cožje v dobrém souhlasu s naším odhadem, a tedy chápeme, čím je určena velikost včelího oka! Lze postupovat i opačně, vycházet z tohoto čísla a zjistit, jakáje rozlišovací schopnost včelího oka. Ve srovnání s našije velmi slabá. Ve porovnání se včelou jsme schopni uvidět předměty, jejichž zdánlivá velikost je třicetkrát menší. Ve srovnání s námi vidí včela dost rozmazaně a neostře. Přesto je to v pořádku a je to nejlepší, co může být. Můžeme se zeptat, proč nemá včela dobré oči jako my s čočkou atd. Je k tomu několik zajímavých důvodů. Za prvé, včelaje příliš malá, a kdyby měla takové oko jako my, ale v měřítku svých rozměrů, otvor oka by měl kolem 30 um a difrakce by se projevovala tak silně, že byjím i stejně neviděla dobře. Oko není dobré, je-li příliš malé. Za druhé, kdyby bylo tak velké jako včelí hlava, byla by celá hlava obsazena okem. Krása složeného okaje v tom, že nepotřebuje prostor, je tojen velmi tenká vrstva na povrchu včely. Takže, když tvrdíme, že ho mají mít takové jako my, musíme si připomenout, že i včely mají své vlastní problémy! JINÉ OČI Kromě včel vidí barvu i mnozí jiní živočichové. Ryby, motýli, ptáci a plazi mohou vidět barvu, ale předpokládá se, že většina savců ji vidět nemůže. Primáti ji mohou vidět. Ptáci barvu určitě vidí a to souvisí i se zbarvením ptáků. Bylo by zbytečné, aby samečkové byli tak krásně zbarveni, kdyby to samičky nemohly ocenit! Takže vývoj pohlavního nebo jiného vybavení, které mají ptáci, je výsledkem toho, že samičky jsou schopny vidět barvy. Až se příště podíváme na páva a zamyslíme se nad bohatstvím a jemností jeho zbarvení, měli bychom vzdát hold ne pávovi, ale pávici za její zrakovou ostrost a estetický smysl, neboť ten inspiroval takovou nádhernou podívanou! Všichni bezobradí mají slabě vyvinuté oči nebo složené oči, ale všichni obradovci mají oči podobné našim, až na jednu výjimku. Když myslíme na nejvyšší formu živočichů, obvykle říkáme: To jsme my, ale když přistoupíme na méně předpojaté hledisko a omezíme se jen na bezobradé, k nimž nepatříme a zeptáme se, který z nich je nejvyšší živočich, většina zoologů bude souhlasit s tím, že je to chobotnice! Velmi zajímavéje to, že kromě vyvinutého mozku a reakcí, ježjsou pro bezobradé velmi dobré, má ještě i samostatně vyvinuté oko. Není to složené oko nebo oční skvrna - má rohovku, víčko, duhovku, má čočku, má dvě oblasti naplněné tekutinou a vzadu má sítnici. V podstatě je to stejné jako u obradovců! Je to zajímavý příklad koincidence v evoluci, kde příroda našla dvakrát totéž řešení problému, jen s malým vylepšením. Překvapivě se ukazuje, že sítnice chobotnice je také částí mozku, jež se oddělila v embryonálním vývoji od mozku stejně jako u obradovců, ale odlišné a zajímavéje to, že buňky cidivé na svědo jsou na vnitřní straně a buňky, které „dělají výpočty",jsou za nimi, opačně, než u našeho oka. Tak aspoň vidíme, že pro otočení naší sítnice vnitřkem ven není nějaký vážný důvod. (Viz obr. 36.10) Krakatice obrovská má největší oči na světě. Našli se už i takové oči, které měly průměr až 38 cm! 491 JINÉ OČI * NEUROLOGIE ZRAKU Obr.36.10 Oko chobotnice NEUROLOGIE ZRAKU Jeden z hlavních bodů našeho předmětu je otázka propojení informací z jedné části oka s druhou částí. Podívejme se na složené oko ostrorepa amerického, s nímž byly provedeny pozoruhodné experimenty. Nejdříve si musíme uvědomit, jaké informace se mohou přenášet prostřednictvím nervů. Nerv přenáší určitý vzruch, jenž má elektrické účinky aje snadné je detekovat. Je to vzruch podobný vlně, která se Šíří podél nervu a vyvolává nějaké účinky na jeho druhém konci. Informace se Síří podél dlouhé části nervové buňky, nazvané axon, ve formě určitého hrotovitého pulzu. Šfří-li se po nervu jeden pulz, nemůže hned po něm následovat další. Všechny pulzy mají stejnou velikost, takže při větším dráždění nedostaneme větší pulzy, ale za sekundu je jich víc. Velikost pulzuje určena nervovým vláknem. To je důležité si uvědomit, abychom viděli, co se děje dále. Na obrázku 36.11a) je složené oko ostrorepa amerického. Oku se moc nepodobá, má jen kolem tisíce ommatidif. Na obrázku 36. llb)je průřez oka.Jsou tam vidět ommatidia s nervovými vlákny, které z nich vycházejí do mozku. Všimněme si, že dokonce i u ostrorepa je málo mezispojů. Jsou mnohem jednodušší než v lidském oku a to nám umožňuje studovatjednoduššf případ. Obr.36.11 Složené oko ostrorepa amerického: a) normální pohled, ĚJprúřez Nyní se podívejme na experimentyjež byly provedenypomocíjemných elektrod napojených na opdcké nervy ostrorepa při osvětlení pouze jednoho ommatidia, což lze snadno realizovat 492 MECHANIZMUS VIDĚNÍ pomocf čoček. Zapneme-li v nějakém čase t0 světlo a měříme vycházející elektrické signály, zjistíme, že nejprve je krátká pauza a za ní následuje série pulzů, které se postupně ustálí, a následují v pravidelných intervalech jak j e to na obr. 36.12a). Když svědo vypneme, signály se ztratí. Zajímavé je, že necháme-li zesilovač napojen na týž nerv a osvítíme jiné ommatídium, nic se nestane, nevzniknou žádné signály. svetlo světlo Obr. 36.12 Reakce nervových vláken oka ostrorepa amerického na světlo Nyní provedeme jiný experiment. Osvítíme původní ommatídium a dostaneme to, co předtím. Když však nyní osvítíme i jiné blízké ommatídium, pulzy se na chvíli přeruší a pak pokračují v mnohem pomalejším rytmu (obr. 36.12b). Rytmus jednoho je zpomalen pulzy, které přicházejí z druhého! Každý nerv tedy přenáší signály z jednoho ommatidia, ale jejich množství je ovlivněno signály z ostatních ommatidií. Když je tedy celé oko téměř rovnoměrně osvědeno, bude informace přicházející zjednoho ommatidia relativně slabá, neboťje brzděna ostatními. Toto přibrzdění je aditivní. Neboť osvítíme-li mnoho blízkých ommatidií, bude zbrzdění velké. Pro blízká ommatidia je tedy přibrzdění velké a pro ta, jež jsou dost daleko, je prakticky nulové. Takže je aditivní a závisí na vzdálenosti. To je první příklad toho, jak se kombinují informace z různých částí oka už v samotném oku. Když o tom trochu přemýšlíme, vidíme, že je to asi zařízení k zesílení kontrastu na obrysech předmětů, neboť, je-li část obrazu svědá a část černá, dávají ommatidia v osvědené části pulzy zeslabované okolním švédem, takže jsou relativně slabé. Zato ommatídium, jež je zaměřeno na okraj předmětu a ještě dostává svědo, je přibrzďováno okolními, ale těch není mnoho, neboť některá z nich jsou tmavá. Výsledný signál je proto silnější. Výsledek bude dán křivkou na obr. 36.13. Ostrorep bude vidět zvýrazněný obrys předmětu. Fakt, že dochází k zvýraznění obrysuje známjiž dávno. Je to zajímavýjev, který psychologové mnohokrát komentovali. Abychom nakreslili předmět, stačí, když nakreslíme jeho obrysy. Jak jsme zvyklí se dívat na obrázky, které mají jen obrysy! Co jsou to obrysy? Obrys je jen rozdíl na okraji mezi svědem a tmou nebo mezi dvěma barvami. Není to nic určitého. Třeba se zdá neuvěřitelné, ale vůbec to neznamená, že každý předmět má kolem sebe čáru! Taková čára neexistuje. Existuje jen v našem psychologickém založení - začínáme rozumět tomu, proč stačí čára, abychom dostali klíč k celé věci. Lze předpokládat, že naše oči pracují podobným způsobem - mnohem komplikovanějším, ale podobným. 493 JINÉ OČI • NEUROLOGIE ZRAKU ♦ REAKCE «*■" OMMATIDIA OSVĚTLENI x Obr. 36.13 Výsledná reakce ommatidia ostrorepa amerického na ostré rozhraní při osvětlení Nakonec stručně popíšeme pěkný, rozsáhlejší a pokročilejší výzkum, který se prováděl se žábami. Pomocí velmi jemných elektrod zasunutých do optických nervů žáby můžeme získat signály, které postupují jen daným axonem, podobně jako tomu bylo u ostrorepa. Na základě analogického experimentu zjistíme, že tato informace nezávisí jen na jednom místě v oku, ale je součtem informací z více míst Poslední experimenty studující funkci žabího okajsou následující. Můžeme najít čtyři druhy nervových vláken odpovídajících čtyřem druhům reakcí. Tyto experimenty se neprovádějí zapínáním a vypínáním světelných pulzů, protože to žába nevidí. Žába si prostě sedí a její oči se vůbec nehýbají, pokud se nepohne list leknínu a v tom případě kývá očima přesně tak, že obraz se nemění. Jinak žába oči neotáčí. Když se něco pohybuje vjejím zorném poli, například malý brouček (musí být schopna vidět něco malého pohybujícího se na pevném pozadí), ukáže se, že má čtyři druhy vláken, které přenášejí informaci. Jejich vlastnosti jsou shrnuty v tabulce 36.1. Udržovaná detekce rozhraní (nevymazatelná) znamená, že posuneme-li do zorného pole žáby předmět s okrajem v tomto vlákně, vznikne mnoho pulzů, které trvají, dokud se předmět pohybuje, ale klesnou na udržovanou hodnotu, když je okraj už vzorném poli, i když se nepohybuje. Vypneme-li svědo, pulzy zmizí. Když ho opět zapneme, dokud je okraj ještě v zorném poli, opět se obnoví. Další druh vláknaje velmi podobný, ale nereaguje, je-li okraj přímý. Musí být vypouklý s tmavým pozadími Jak komplikovaný musí být systém mezispojení v sítnici žabího oka, aby rozeznal, že do zorného pole vstoupil vypouklý předmět! Dále, i když toto vlákno částečně udržuje signály, není to tak dlouho jako u prvního vlákna a při vypnutí a opětovném zapnutí svěda se signály už neobnoví. Závisí na pohybu vypouklého předmětu v zorném poli. Oko ho vidí vstupovat dovnitř a pamatuje si, že tam je, ale stačí, když na chvíli vypneme svědo, zapomene na něj a už ho nevidí. Tabulka 36.1 Typy reakci optických vláken žáby Typ Rychlost Úhlové pole 1. Udržovaná detekce rozhraní (nevymazatelná) 2. Detekce vypouklého rozhraní (vymazatelná) 3. Detekce změny kontrastu 4. Detekce stmívání 5. Detekce tmy 0,2-0,5 m/s 0,5 m/s 1-2 m/s do 0,5 m/s ? 1° 2°-3° 7°-10° do 15° velmi velké Další příklad se týká detekce změny kontrastu. Pohybuje-li se rozhraní dovnitř nebo ven, vznikají pulzy, ale když se nehýbe, žádné pulzy nevznikají. Dále se v oku žáby nachází detektor stmívání. Klesá-li intenzita svěda, generuje signály, když se však intenzita ustálí, signály přestanou. Detektor působí jen při stmívání. 494 MECHANIZMUS VIDĚNÍ Obr. 36.14 Tectumžáby Nakonec je tam několik vláken, které slouží jako detektory tmy. Nejpřekvapivější na nich je, že neustále vyrábějí signály. Zvětšíme-li osvědení, následují signály řidčeji, ale neustanou. Když osvědení zmenšíme, signályjsou častější. Ve tmě divoce kmitají a neustále říkají: Je tma! Je tma! Je tma!" Tyto reakce se zdají být dosti komplikované na to, aby bylo možné je klasifikovat a můžeme i pochybovat zda se experimenty správně interpretují. Proto je velice zajímavý poznatek, že takové čtyři druhy vlákenje u žáby možnojasně anatomicky rozeznat! Po klasifikaci těchto reakcí byly realizoványjiné experimenty (je důležité, že až /wprovedení klasifikace), při nichž se zjistilo, že v různých vláknech není rychlost šíření signálů stejná, což umožňuje další nezávislou kontrolu toho, o které vlákno jde! Další zajímavou otázkouje, zjak veliké oblasti sbírá určité vlákno informaci. Zjistilo se, že tato oblast je různá pro různá vlákna. Obr. 36.14 znázorňuje povrch nazvaný tectum žáby, kde vstupují vlákna zrakového nervu do mozku. Všechna nervová vlákna vytvářejí spojení v různých vrstvách tecta. Tato vrstvovitá strukturaje podobná sítnici, a to je z části důvod, proč víme, že sítnice a mozek jsou si navzájem podobné. Vezmeme-li elektrodu a procházíme jí postupně různými vrstvami, můžeme zjistit, kde příslušná vlákna končí a dostaneme nádherný výsledek, že různé druhy vláken končí v různých vrstvách! První druh vlákna končí ve vrstvě prvního typu, druhý ve vrstvě druhého typu, třetí a pátý končí na stejném místě a nejhlouběji ze všech končí čtvrtý druh. (Jaká shoda okolností, žeje očíslovali téměř ve správném pořadí!? Není to tak, protože právě kvůli tomuje přečíslovali; v prvním článku byly očíslovány jinak!) Můžeme stručně shrnout, co jsme se naučili: Pravděpodobně existují tři pigmenty. Mohou existovat různé druhy receptorových buněk obsahujících tyto tři pigmenty v různých poměrech, ale existuje mnoho mezispojení, která dovolují sčítání a odčítání barev sčítáním a zesilováním signálů v nervovém systému. Takže dříve než pochopíme barevné vidění, budeme muset pochopit výsledný vjem. Je to stále otevřený problém, ale výzkumy pomocí mikroelektrod a podobných zařízení nám snad poskytnou víc informací o tom, jak vidíme barvy. 495 vantové chování 37.1 MECHANIKA ATOMŮ 37.2 EXPERIMENT S KULKAMI 37.3 EXPERIMENT S VLNAMI 37.4 EXPERIMENT S ELEKTRONY 37.5 INTERFERENCE ELEKTRONOVÝCH VLN 37.6 SLEDOVÁNÍ ELEKTRONŮ 37.7 ZÁKLADNÍ PRINCIPY KVANTOVÉ MECHANIKY 37.8 PRINCIP NEURČITOSTI MECHANIKA ATOMŮ V posledních několika kapitolách jsme se zabývali základními myšlenkami potřebnými k pochopení nejdůležitějších světelných jevů, nebo obecně elektromagnetického záření. Zabývali jsme se „klasickou teorií" elektromagnetických vln, která poskytuje adekvátní popis přírody pro velké množstvíjevů. Zatím nás nemuselo znepokojovat, že energie svědase šířívporcích zvaných „fotony". Rádi bychom se dál zabývali problémem chování relativně velkých částí hmoty, například jejich mechanickými a tepelnými vlastnostmi. Při tomto studiu dojdeme velmi rychle k tomu, že „klasická" (nebo starší) teorie velmi rychle selže, neboť hmota se skládá z malých částic s rozměry atomů. Přesto se budeme dál zabývat klasickou fyzikou, neboťjen tu můžeme pochopit pomocí klasické mechaniky, kterou jsme se učili. Nebudeme však příliš úspěšní. Zjistíme, že na rozdíl od svědase v případě látek velmi rychle dostaneme do těžkostí. Atomové jevy bychom mohli nechávat soustavně stranou, ale radši si uděláme krátkou exkurzi, v níž si popíšeme základní myšlenky kvantových vlastností hmoty, tj. kvantové principy atomové fyziky, abychom získali odhad toho, co budeme vynechávat. Některé důležité věci budeme totiž muset vynechat, i když se jim nebudeme moci zcela vyhnout. Podáme tedyjen úvodáo kvantové mechaniky, neboťjí samou se budeme zabývat mnohem později. Kvantová mechanika - to je popis vlastností hmoty ve všech jejích detailech, ale hlavně popis toho, co se s ní děje na úrovni atomů. Objekty, které mají velmi malé rozměry, se vůbec nechova- 496 KVANTOVÉ CHOVÁNI jí tak, jak bychom očekávali na základě naší bezprostř ední zkušenosti. Nechovají se jako vlny, ani jako částice, nechovají se jako mraky, ani jako kulečníkové koule nebo závaží na pružinách, jako nic z toho, co jsme již viděli. Newton si myslel, že svědo se skládá z částic, ale pak se zjistilo, že se chovájako vlnění. Avšak později (začátkem 20. století) se zase ukázalo, že někdy se svědo opravdu chovájako částice. Historie objevu elektronu byla taková, že nejdříve se předpokládalo, že se chovájako částice a pak se zjistilo, že se chová v mnoha ohledech jako vlna. Takže ve skutečnosti se nechová ani tak, ani tak. Dnes už neříkáme, zda se elektron chovájako částice nebo vlna - prostě jsme to vzdali. Chová se jako něco úplně jiného. Existuje všakjedno šťastné řešení- elektrony se chovají právě takjako svědo. Všechny atomové objekty (elektrony, protony, neutrony, fotony atd.) se chovají stejně, všechno jsou to „částice -vlny" nebo jak bychom je již nazvali. Proto vše, co se dozvíme o vlastnostech elektronů (které budeme používat v našich příkladech), bude platit pro všechny částice včetně fotonů svěda. V první čtvrtině našeho století se nahromadilo o dějích na úrovni atomů a objektů malých rozměrů množství informací, které způsobovaly rostoucí zmatek. Jeho vysvědenf podali v letech 1926 a 1927 Schrödinger, Heisenberg a Born. Podařilo se jim získat konzistentní popis chování hmoty při velmi malých rozměrech. V této kapitole si probereme základní body tohoto popisu. Protože se chování atomů vůbec nepodobá tomu, co známe z běžné zkušenosti, je velmi těžké si na ně zvyknout a nováčkovi i zkušenému fyzikovi se zdá divné a záhadné. Dokonce ani odborníci ho nechápou tak, jak by si přáli. Je to zcela odůvodněné, neboť celá bezprostřední lidská zkušenost a intuice platí pro velké objekty. Víme, jak se chovají velké objekty, ale objekty malých rozměrů se tak prostě nechovají. Proto se o nich dozvídáme pomocí abstrakce a představivosti, a ne prostřednictvím přímé zkušenosti. V této kapitole se pustíme hned do základních projevů tohoto záhadného chování v jeho nejzvláštnějšf formě. Budeme zkoumat jev, který naprosto nelze vysvědit žádným klasickým způsobem, a který tvoří podstatu kvantové mechaniky. Obsahuje vlastně celou a jedinou záhadu. Tuto záhadu nemůžeme vysvětlit Můžeme si jen říct, jak to funguje a tím si ozřejmíme základní zvláštnosti kvantové mechaniky. 37^ EXPERIMENT S KULKAMI Abychom pochopili kvantové chování elektronů, budeme je srovnávat v určitém experimentálním uspořádání s chováním takových částic, jako jsou kulky a s chováním vln na vodě. Nejdříve se podíváme, jak se v experimentu, zobrazeném na obr. 37.1, budou chovat kulky. Máme samopal, který střílí proud kulek. Není příliš přesný, protože rozptyluje kulky náhodně v dosti širokém úhlu, jak naznačuje obrázek. Před samopalem je pancéřová deska, jež má dva otvory takové velikosti, že jimi může proletět právě jedna kulka. Za ní se nachází ochranná zeď (například z dustého dřeva), která zachytí kulky, jež do ní narazí. Před zdí máme umístěn „detektor" kulek. Může to být krabice naplněná pískem. Každá kulka, která trefí detektor, v něm uvázne. Budeme-li chtít, můžeme detektor vyprázdnit a zjistit kolik kulek se v něm zachytilo. Detektor se může pohybovat nahoru a dolů (ve směru, který nazveme x). S tímto zařízením jsme schopni experimentálně najít odpověď na otázku: Jaká je pravděpodobnost toho, že kulka, která proletí otvory v desce, dopadne na záchytnou zeď ve vzdálenosti x od středu ?" Všimněme si nejprve, že mluvíme o pravděpodobnosti, neboť neumíme přesně říci, kam určitá kulka dopadne. Kulka, jíž se podaří trefit některý z otvorů, se může odrazit od okraje a dopadnout kamkoliv. Pod „pravděpodobností" myslíme možnost, že kulka dopadne na detektor. Můžeme ji určit tak, že 497 MECHANIKA ATOMU ♦ EXPERIMENT S KULKAMI spočítame kulky, jež se zachytily v detektoru za určitou dobu a tento počet dělíme celkovým počtem kulek, jež za tuto dobu narazily na záchytnou stěnu. Můžeme také předpokládat, že po dobu měření střílí samopal stále rovnoměrným tempem, takže hledaná pravděpodobnost bude úměrná počtu střel, které dopadly na detektor za nějaký pevně stanovený čas. STÉNÁ LAPAČ /»»/?+/? a b c Obr. 37.1 Interferenční experiment s kulkami Pro naše účely bude lepší, když si představíme trochu zidealizovaný experiment, v němž kulky nejsou skutečnými kulkami, ale jsou nezničitelné - nemohou se například rozlomit na polovinu. V našem experimentu kulky přilétají nepoškozené, a když v detektoru něco najdeme, je to vždy celá kulka. Bude-li frekvence výstřelů samopalu malá, zjistíme, že v libovolném okamžiku nedopadne na stěnu buď nic nebo jenjedna kulka. Velikost celku tedy nezávisí na kadenci samopalu. Kulky přilétají vždy ve stejných celcích. Detektorem měříme pravděpodobnost toho, že přiletí celek. Tuto pravděpodobnost měříme jako funkci vzdáleností x. Výsledek takového měření s tímto zařízením (i když jsme měření neprováděli, výsledek si můžeme představit) je zobrazen na grafu c) na obr. 37.1. Na grafu nanášíme vodorovně pravděpodobnost a svisle x, takže stupnice % souhlasí s náčrtem zařízení. Tuto pravděpodobnost nazýváme P|2, neboť kulky mohly přiletět jedním nebo druhým otvorem. Není nic divného na tom, že P,2 je největší ve středu grafu a že pro velká xje velmi malé. Možná se budete divit, že Pl2 má maximum pro hodnotu x= 0. To lze pochopit, když experiment zopakujeme tak, že nejdřívzakryjeme otvor 2 a pak otvor 1 Je-li otvor 2 zakrytý, kulky mohou létat jen prvním otvorem a dostaneme křivku, označenou na částí b) obrázku jako J°,. Podle očekávaní maximum P, najdeme pro tu hodnotu x, která leží na přímce spojující samopal a otvor č. 1. Když se zakryje otvor č. 1, dostaneme symetrickou křivku zobrazenou jako P2. Srovnáním částí b) a c) na obr. 37.1 dostáváme důležitý výsledek Pravděpodobností se prostě sčítají. Výsledek s oběma otevřenými otvoryje roven součtu výsledků, je-li otevřen jen jeden otvor. Říkáme, že při tom „nenastává interference", jak uvidíme později. Tolik o kulkách, přilétají v celcích a pravděpodobnostjejich dopadu neprojevuje interferenci. 498 KVANTOVÉ CHOVÁNÍ EXPERIMENT S VLNAMI Nyní chceme provést podobný experiment s vlnami. Na obr. 37.2jc náčrt experimentálního zařízení. Máme koryto s mělkou vodou. Zdrojem vln je nějaký malý předmět poháněný motorem nahoru a dolů, který vytváří kruhové vlny. Napravo od zdroje máme opět stěnu s dvěma otvory a za níje druhá stěna, kteráje pro jednoduchost „absorbérem", takže vlny, které na ní dopadají, se neodrážejí. Toho lze dosáhnout pomocí postupné pískové „pláže". Před pláž umístíme detektor, který se může pohybovat podél osy x jako dříve. Jako detektor si můžeme představit přístroj k měření výšky vln, jen jeho stupnice bude kalibrovaná v druhé mocnině skutečné výšky, takže jeho údaje budou úměrné energii vlnění nebo také výkonu přenášenému vlněním k detektoru. Obr.37.2 Interferenčmexperimentsvlaaminavodě První věc, jíž je třeba si všimnout, je to, že intenzita vlnění může nabýt libovolnou velikost Pokud se zdroj hýbe jen velmi málo, je vlnění u detektoru velmi slabé. Když se zdroj pohybuje víc, je i intenzita vlnění u detektoru větší. Intenzita vlny může nabývat jakoukoliv hodnotu. Nemohli bychom říci, že energie se přenáší v jakýchsi „celcích". Nyní změřme intenzitu vln pro různé hodnoty xza předpokladu, že zdroj vlnění pracuje stále rovnoměrně. Dostaneme zajímavý výsledek označený na obrázku (část c) jako křivka I{2. Vznik takového průběhu jsme odvodili při studiu interference elektromagnetických vln. V tomto případě bychom viděli, že na otvorech nastává difrakce původní vlny a od každého otvoru se šíří nové kruhové vlny. Zakryjeme-li na chvíli jeden z otvorů a změříme rozložení intenzity podél absorbéru, dostaneme dost jednoduché křivky, znázorněné na obrázku v částí b). /, je intenzita vlny z otvoru 1 (kterou měříme tak, že otvor 2 je zakryt) a 1^ je intenzita vlny z otvoru 2 (při zavřeném otvoru 1). Intenzita 712, kterou pozorujeme, když jsou oba otvory otevřeny, určitě není rovna součtu /,a^. Říkáme, že dochází k „interferenci" dvou vln. Na některých místech (kde má křivka I{2 maxima) jsou vlnění „ve fázi", součet amplitud je velký a je tedy velká i intenzita. Taková „konstruktivní interference" nastane všude tam, kde je vzdálenost detektoru od jednoho otvoru větší (nebo menší) o celý násobek vlnové délky než vzdálenost detektoru od druhého otvoru. 499 EXPERIMENT S VLNAMI • EXPERIMENT S ELEKTRONY Na místech, kam dopadnou vlny s fázovým rozdílem n (kde jsou v protifázi), bude výsledné vlnění v detektoru rovno rozdílu obou amplitud. Vlny „interferují deštruktívne" a pro intenzitu vlny dostáváme malou hodnotu. Tak malé hodnoty dostaneme všude tam, kde se vzdálenost otvoru 1 od detektoru liší od vzdálenosti k otvoru 2 o lichý násobek poloviny vlnové délky. Malé hodnoty I[2 na obr. 37.2 odpovídají místům, kde vlny interferují destruktivně. Určitě si pamatujeme, že vztah mezi i,, L a Jj„ lze vyjádřit takto: Okamžitou výšku vody v detektoru od vlny z otvoru 1 lze zapsat jako n i e (z toho reálná část), kde amplituda ň i je obecně komplexní číslo. Intenzita je úměrná střední hodnotě druhé mocniny výšky nebo pomocí komplexních čísel \H\\ . Podobně pro otvor 2 je výška rovna Ä2 e'*" a intenzita je úměrná . Jsou-li otevřeny oba otvory, výšky vln se sčítají (£1 + £2) e'"' a intenzita je IÄ1 + £21 ■ Pro na$e účely můžeme vynechat konstantu úměrností, takže pro interferující vlny máme vztahy: /, = |£,|2 Jr2 = |Ä2|2 /12 = |(Ä1+Ä2)|2. (37.2) Vidíme, že výsledek se zcela liší od toho, co jsme dostali pro kulky (rovnice 37.1). Umocníme-li |^i + Ä2|2, vidíme, že |Ä,+Ä2|2 = |Äl|2 + |Ä2|2+2|Äl| |Ä2|cos<5, (37.3) kde ôje fázový rozdíl mezi /t\ a H^- Pomocí intenzit můžeme napsat /I2-/1+4+2^cos<í. (37.4) Poslední člen v (37.4) je „interferenční člen". Tolik, pokud jde o vlny na vodě. Intenzita může nabývat jakoukoliv hodnotu a projevuje interferenci. EXPERIMENT S ELEKTRONY Nyní si představme podobný experiment s elektrony. Je znázorněn na obr. 37.3. Použijeme elektronové dělo, jež se skládá z elektricky žhaveného wolframového vlákna obklopeného kovovou krabicí s otvorem. Má-li drát záporné napětí vzhledem ke krabici, budou elektrony emitované drátem urychlovat směrem ke krabici a některé z nich proletí otvorem. Všechny elektrony vyletující z děla budou mít (přibližně) stejnou energii. Před dělem je opět stěna (z tenkého plechu) s dvěma otvory. Za ní se nachází další deska, která slouží k zachytávání elektronů. Před ní umístíme pohyblivý detektor. Detektorem může být Geigerův počítač nebo ještě lépe, elektronový násobič napojený na reproduktor. Hned na začátku musíme říci, abyste se nepokoušeli tento experiment sestavit (na rozdíl od předcházejících dvou). Tento experiment se nikdy takto nedělal. Obtíž spočívá v tom, že k tomu, aby se projevily pro nás zajímavé efekty, muselo by mít zařízení neskutečně malé rozměry. Provádíme „myšlený experiment", kterýjsme si vybrali proto, že se o něm dá snadno přemýšlet. Výsledky známe, neboť bylo provedeno mnoho experimentů v takových měřítkách a rozměrech, že se v nich popisované jevy projevily. První věc, které si v našem experimentu s elektrony všimneme, je ta, že z detektoru (tj. z reproduktoru) slyšíme ostrá „cvaknutí". Všechna „cvaknutí" jsou stejná. Neexistují „polocvaknutí". Také si všimneme, že „cvaknutí" jsou velmi nepravidelná; něco jako: cvak... cvak- cvak... cvak... 500 KVANTOVÉ CHOVÁNÍ cvak... cvak - cvak... cvak... atd., jistě jste to slyšeli, když pracoval Geigerův počítač. Počet cvaknutí, jež napočítáme za dostatečně dlouhou dobu, dejme tomu za mnoho minut, bude vždy přibližně stejný. Můžeme mluvit o průměrném tempu, sjakýmje slyšet cvaknutí (v průměru tolik a tolik cvaknutí za minutu). b c Obr.37.3 Interferenční experimentselektrony Při posunování detektoru se tempo cvakání buď zrychluje nebo zpomaluje, ale velikost (hlasitost) každého cvaknutí je stejná. Snížíme-li teplotu vlákna v děle, tempo cvakání se zpomalí, ale stále zní každé cvaknutí stejně. Všimli bychom si také, že když použijeme dva nezávislé detektory, cvakne jeden nebo druhý, ale nikdy ne oba najednou. (Leda že by občas následovala dvě cvaknutí tak rychle za sebou, že byje naše ucho nemuselo rozlišit.) Cokoliv tedy dopadá na zachycovač, dopadá v „celcích". Všechny „celky" mají stejnou velikost: přilétajíjen úplné „celky" a přilétají na zachycovač jednodivě. Říkáme: „Elektrony vždy přilétají ve stejných celcích." Podobně jako u našeho experimentu s kulkami můžeme jít dál a experimentálně najít odpověď na otázku, jaká je relatívni pravděpodobnost toho, že elektronový „celek" dopadne na zachycovač v různých vzdálenostech xod středu. Jako již dříve relatívni pravděpodobnost dostaneme sledováním tempa cvakání při rovnoměrné činností děla. Pravděpodobnost, že celky dopadnou do určitého bodu x, je úměrná střednímu tempu cvakání v bodě x Výsledkem našeho experimentuje zajímavá křivka označenájako Pl2 na obr. 37.3c). Ano. Tak se chovají elektrony. INTERFERENCE ELEKTRONOVÝCH VLN Pokusme se analyzovat křivku na obr. 37.3, abychom viděli, zda můžeme pochopit toto chování elektronů. První, co bychom řekli, je, že přilétají-li elektrony v celcích, přilétají buď otvorem 1 nebo otvorem 2. Zformujeme to jako předpoklad: Předpoklad A: Každý elektron prochází buď otvorem 1 nebo otvorem 2. Na základě předpokladu A všechny elektrony, které doletí na zachycovač, můžeme rozdělit do dvou tříd: 1) na ty, které přiletěly otvorem 1 a 2) na ty, co přiletěly otvorem 2. Takže naměřená křivka musí být dána součtem efektů od elektronů, které přiletěly otvorem 1 a od elektronů, které přiletěly otvorem 2. Ověřme si to experimentem. Nejdříve budeme měřit elektrony, které 501 INTERFERENCE ELEKTRONOVÝCH VLN ♦ SLEDOVÁNÍ ELEKTRONŮ přiletí otvorem 1. Otvor 2 uzavřeme a spočítáme cvakání v našem detektoru. Z tempa cvakání dostaneme J°,. Výsledek měřeníje znázorněn křivkou označenou na obr. 37.3b)J3.ko J°,. Výsledek se zdá být celkem rozumný. Stejným způsobem měříme P2, rozložení pravděpodobností pro elektrony, které přiletěly otvorem 2. Výsledek tohoto experimentu je také znázorněn na obrázku. Je jasné, že výsledek P{2, získaný, když byly oba otvory otevřeny, není součtem pravděpodobností P{ a P2 pro každý otvor zvlášť. Analogicky s naším vlnovým experimentem můžeme říci: „Existuje tady interference." Pro elektrony: Pl2 * P, + P^ (37.5) Jak může dojít k takové interferenci? Snad bychom měli říci: „Dobře, to znamená, že pravděpodobně není pravda, že celky letí jedním nebo druhým otvorem, neboť, kdyby to byla pravda, pravděpodobností by se měly sčítat. Možná, že letí nějakým komplikovanějším způsobem. Rozdělí se na polovinu a.. ."Ale ne! Nemohou se rozdělit, vždy přilétají v celcích... „Dobře, snad některé z nich projdou otvorem 1 a pak projdou kolem otvorem 2 a tak několikrát dokola nebo letí po nějaké jiné komplikované dráze... pak, tím že zakryjeme otvor 2, změníme celkové možnosti a elektron, který začal letět otvorem 1, nakonec dopadne na zachycovač..." Ale všimněme sil Existují takové body, do nichž přiletí velmi málo elektronů, kdyžjsou otevřeny oba otvory, ale kdyžjeden z nich zavřeme, přiletí do nich mnoho elektronů, takže zakrytím jednoho otvoru se zvýší počet od druhého otvoru. Je třeba si také všimnout, že ve středu křivky je Pn víc než dvakrát větší než P, + P2. Vypadá to tak, jakoby se zakrytím jednoho otvoru snížil počet elektronů, které prilétávají druhým otvorem. Tyto dva jevy lze těžko vysvědit tím, že by elektrony letěly po složitějších dráhách. Je to úplně záhadné a čím víc na to myslíme, tím se to zdá záhadnější. Bylo vymyšleno mnoho teorií k vysvětlení křivky Px2 pomocí jednodivých elektronů letících otvory po komplikovaných dráhách, ale anijedna nebyla úspěšná. Žádná neumí získat správnou křivku Pn pomocí J°, a P2. Přesto je matematika dávající do souvislostí Pt a P2 s P{2 mimořádně jednoduchá, cožjedost překvapující. J°|2 se podobá 712 z obr. 37.2 a tam to bylo jednoduché. Co se děje na zachycovači lze popsat pomocí dvou komplexních čísel, která můžeme nazvat 2\2, a výsledek pro oba otvory je ■^12 = l^i + ^2|2Je to stejná matematika, kterou jsme měli pro vlny na vodě! (Tak jednoduchý výsledek by se dal těžko získat tím, že elektrony by létaly otvory sem a tam po nějakých komplikovaných dráhách.) Můžeme tedy udělat závěr: Elektrony přilétají v celcích jako částice a pravděpodobnost dopadu těchto celků je rozložena jako rozložení intenzity vlny. V tomto smyslu se elektron chová „někdy jako částice a někdy jako vlna". Mimochodem, kdyžjsme se zabývali klasickými vlnami, definovalijsme intenzitujako časovou střední hodnotu druhé mocniny amplitudy a komplexní číslajsme použilijako trik ke zjednodušení analýzy. Ale z kvantové mechaniky vychází, že amplitudy musí být reprezentovány komplexními čísly. Jen reálná část nepostačuje. Zatím je to jen technický rozdíl, neboťjinak vypadají vzorce úplně stejně. Je-li pravděpodobnost příletu oběma otvory dána tak jednoduše, i když ne jako součet J°, + P2, není k tomu vlastně už co dodat. S tím, že se příroda chová takovým způsobem, souvisí mnoho drobných záludností. Rádi bychom si nyní některé z nich ilustrovali. Za prvé, protože 502 KVANTOVÉ CHOVÁNI počet elektronů, které dopadnou do určitého bodu není roven počtu těch, které proletí otvorem 1, plus těch, které proletí otvorem 2, jak plyne z předpokladu A. Předpoklad A tedy neplatí Není pravda, že elektron musí letět iwďotvorem 1 nebo otvorem 2. Toto tvrzení lze ověřit dalším experimentem. SLEDOVÁNÍ ELEKTRONŮ Pokusíme se provést následující experiment: Do naší elektronové aparatury přidáme velmi silný zdroj svěda a umístíme ho za stěnu s otvory, těsně mezi ně, jak je ukázáno na obr. 37.4. Víme, že elektrické náboje rozptylují svědo, takže, když elektron proletí na své cestě k detektoru kolem zdroje, část svěda se na něm rozptýlí i do našeho oka, a tak uvidíme, kudy elektron letí. Když například elektron poletí po dráze otvorem 2, měli bychom vidět světelný záblesk vycházející z blízkostí bodu A na obr. 37.4. Když elektron poletí přes otvor 1, budeme očekávat, že uvidíme záblesk v blízkostí horního otvoru. Kdyby se stalo, že svědo uvidíme na obou místech současně, protože elektron se rozdělil na poloviny ... Proveďme už ten experiment! a b c Obr.37.4 Jinýexperimentselektrony Vidíme toto: vždy, když slyšíme „cvaknutí" z našeho elektronového detektoru (na zachyco-vači), vidíme /aA/světelný záblesk buď\ blízkostí otvoru 1 nebo blízko otvoru 2, ale nikdy ne u obou současně! Výsledek je vždy stejný, bez ohledu na to, kde máme detektor. Z tohoto pozorování můžeme vyvodit závěr, že sledujeme-li elektrony, vidíme, že procházejí jedním nebo druhým otvorem. Experimentálně je tedy potvrzeno, že předpoklad A musí platit. Kde je potom chyba v našem argumentu proti tvrzení A? Proč prostě P{2 není rovno P{ + J°2 ? Vraťme se k experimentu. Sledujme dráhy elektronů a zjistíme, co se s nimi děje. V každé poloze x detektoru spočítáme dopadající elektrony a také si pomocí sledování záblesků všimneme, kterým otvorem přiletěly. Můžeme si o tom vést takové záznamy: Vždy, když budeme slyšet „cvaknutí" a uvidíme záblesk v blízkostí otvoru 1, uděláme čárku v prvním sloupci a když uvidíme záblesk v blízkostí otvoru 2, uděláme čárku v druhém sloupci. Každý elektron je zaznamenán v některé ze dvou tříd: mezi těmi, které proletěly otvorem 1 nebo mezi těmi, které proletěly otvorem 2. Z čísel zaznamenaných ve sloupci 1, dostaneme pravděpodobnost iy,, že elektron přiletí na detektor otvorem laz čísel zaznamenaných ve sloupci 2 dostaneme P2, pravděpodobnost toho, že elektron dopadne na detektor otvorem 2. Zopakujeme-li toto měření pro mnoho hodnot x, dostaneme křivky P{ a P2 znázorněné na obr. 37.4b). 503 INTERFERENCE ELEKTRONOVÝCH VLN ♦ SLEDOVÁNI ELEKTRONŮ To není ani tak překvapující! Pro Fl dostáváme něco velmi podobného tomu, co jsme předtím dostali pro Fřl zakrytím otvoru 2 a F2 je podobné tomu, co jsme dostali zakrytím otvoru 1. Takže odpadají všechny komplikované záležitostí jako průchod oběma otvory. Sledujeme-li elektrony, vidíme, že prolétají otvory tak, jak to od nich očekáváme. Ať už jsou otvory zavřené nebo otevřené, ty, které vidíme přiletět otvorem 1, mají stejné rozložení, bez ohledu na to, zda je otvor zavřený nebo otevřený. Ale počkejme! Co nyní dostáváme pro celkovou pravděpodobnost? Pravděpodobnost toho, že elektrony dopadnou na detektor libovolnou cestou? Tuto informaci už máme. Prostě se zatváříme, jako bychom se nikdy nedívali na světelné záblesky a sečteme impulzy detektoru, jež jsme měli rozděleny do dvou sloupců. Musíme sčítat jenom tato čísla. Pro pravděpodobnost, že elektron přiletí na zachycovač libovolným otvorem máme P,2 = P\+P2- Takže při sledování toho, kterým otvorem naše elektrony prolétají, již nedostáváme známou interferenční křivku Pn, ale novou F n, v níž se neprojevuje interference! Když svědo vypneme, dostaneme opět PX2. Musíme udělat závěr, že když se na elektrony díváme, jejich rozložení na zachycovači je jiné, než když se na ně nedíváme. Narušila se snad celá věc tím, že jsme zapnuli světelný zdroj? Musí to být tak, že elektrony jsou velmi jemné a svědo tím, že se na nich rozptyluje, do nich „strčí" a tím se změní jejich pohyb. Víme, že elektrické pole svěda působící na elektron se projeví silou pohybující elektronem. Možnájsme měli očekávat takovou změnu pohybu. V každém případě má světlo na elektrony velkývliv. Tím, že jsme se pokusili elektrony „sledovat", změnilijsmejejich pohyb. To znamená, že náraz, který elektron pocítí, když se na něm rozptyluje foton, je takový, že dokáže dostatečně změnit pohyb elektronu, takže, když měl letět do bodu, kde má J°|2 maximum, přiletěl tam, kde má minimum. To je důvod, proč už nevidíme interferenční efekty. Možná si myslíte: „Nepoužívejme tak silný zdroj! Zmenšeme jeho jasl Světelné vlny potom budou slabší a nebudou tak silně elektrony rušit. Určitě, čím bude svědo slabší a slabší, tím budou světelné vlny slabší a slabší, až budou mít zanedbatelný efekt." Dobře, zkusme to. První věc, které si všimneme, je ta, že záblesky svěda rozptýleného na elektronech letících kolem se nezeslabují. Jsou to vidy stejně velké záblesky. Jediná věc, která se stane při zmenšování jasu svěda, je ta, že někdyslyšíme „cvaknutí" v detektoru, ale nevidíme žádný záblesk. Elektron proletěl kolem aniž bychom ho viděli. Pozorujeme jen to, že svědo se projevuje podobně jako elektrony; věděli jsme, že je to vlnění, nyní zjišťujeme, že jsou to také „částice". Vždy přiletí nebo se rozptyluje v celcích, které nazýváme „fotony". Zmenšením intenzity světelného zdroje nezměníme velikost fotonů, jen počet emitovaných fotonů za jednotku času. To vysvěduje, proč při slabém zdroji některé elektrony proletí kolem aniž bychom je viděli. Když elektron letěl kolem, právě tam nebyl žádný foton. Trochu to odstrašuje. Je-li pravda, že vždy, když „vidíme" elektron, vidíme záblesk stejné velikostí, pak vidíme vždyjen ty elektrony, jejichž pohyb byl švédem ovlivněn. Zkusme provést takový experiment se slabým svědem. Uslyšíme-li nyní cvaknutí v detektoru, uděláme si o tom záznam v některém ze tří sloupců: Ve sloupci 1 pro elektrony, jež vidíme u otvoru 1, ve sloupci 2 pro elektrony, jež vidíme u otvoru 2 a ve sloupci 3 pro elektrony, jež jsme vůbec neviděli. Zpracu-jeme-li tyto údaje (vypočítáme pravděpodobností), dostaneme tyto výsledky: Elektrony, které jsme „viděli u otvoru 1" mají rozdělení jako f,; ty, jež jsme „viděli u otvoru 2", mají rozdělení jako P 2 (takže ty, které jsme „viděli buď u otvoru 1 nebo u otvoru 2 " mají rozdělení jako Pi2) a ty, které jsme vůbec neviděli, mají „vlnové" rozložení jako je Pl2 na obr. 37.3\ Když elektrony nevidíme, máme interferencii Je to pochopitelné. Když elektron nevidíme, žádný foton na něj nepůsobil a když ho vidíme, působil na něj foton. Toto působení je vždy stejné, neboť světelné fotony vyvolávají vždy stejně 504 KVANTOVÉ CHOVÁNI velký záblesk a rozptyl fotonů je dostatečně silný jev k tomu, aby zrušil jakýkoliv interferenční efekt. Neexistuje nějaký způsob, jak uvidět elektrony aniž bychom je ovlivnili? Vjedné z předcházejících kapitol jsme se dozvěděli, že hybnost, kterou má „foton", je nepřímo úměrná vlnové délce {p= h/A). Náraz, který pocítí elektron od fotonu při jeho rozptylu směrem do našeho oka, závisí určitě na velikostí hybností fotonu. Když jsme chtěli elektrony ovlivnit jen slabě, neměli jsme zmenšovat intenzitu svěda, ale frekvenci (to je totéž jako zvětšení vlnové délky). Použijme svědo červenější barvy! Můžeme dokonce použít infračervené „svědo" nebo rádiové vlny (jako radar) a „zjistit" kudy letěl elektron pomocí nějakého zařízení, které může „vidět svědo" takových vlnových délek. Použitím jemnějšího „svěda" se snad vyhneme silnému ovlivňování elektronů. Zkusme provést celý experiment s delšími vlnami. Budeme ho několikrát opakovat vždy se „švédem", které má větší vlnovou délku. Zpočátku se zdá, že se nic nemění. Výsledky jsou stále stejné. Pak se stane strašná věc. Jistě si pamatujete, jak jsme si řekli, když jsme mluvili o mikroskopu, že vzhledem k vlnové povaze svěda existuje určité omezení pro vzdálenost dvou bodů, abychom je mohli ještě vidět jako dvě oddělené tečky. Tato vzdálenost je řádově rovna vlnové délce svěda. Proto, když je nyní vlnová délka větší než je vzdálenost mezi otvory, vidíme při rozptylu svěda elektrony rozmazaný záblesk a už nemůžeme říci, kterým otvorem elektron proletěl.Víme jen to, že někde proletěl. A právě pomocí „svěda" této barvy zjistíme, že nárazy na elektrony jsou tak slabé, že P,2 se začíná podobat Pn - začneme registrovat nějakou interferenci. Ovlivnění elektronů švédem bude dostatečně malé, až když jsou vlnové délky „svěda" mnohem delší než vzdálenost mezi otvory (kdy už nemáme žádnou možnost určit, kudy elektron proletěl), a tehdy opět dostaneme křivku J°,2 znázorněnou na obr. 37.3. Zjišťujeme, že v našem experimentu nelze svědo nastavit tak, aby se dalo určit, kudy elektron proletěl a aby se současně nezměnilo rozložení pravděpodobností. Heisenberg naznačil, že nové zákony přírody mohou být konzistentní, jen když existují nějaká základní omezení našich experimentálních schopností, kterájsme si předtím neuvědom ováli. Jako obecný princip navrhl Heisenberg svůj princip neurčitosti, který v řeči našeho experimentu můžeme zformulovat takto: „Nelze zkonstruovat takové zařízení, pomocí něhož bychom mohli určit, kterým otvorem proletěl elektron, aniž bychom elektrony neovlivnili natolik, že by se porušil interferenční obraz." Když nějaké zařízení dokáže určit, kterým otvorem elektron proletěl, nemůže být tak dostatečně jemné, že by se podstatně neporušil interferenční obraz. Nikdo nikdy nenašel ani nevymyslel způsob, jak by bylo možné princip neurčitostí obejít. Musíme proto předpokládat, že popisuje základní vlastnost přírody. Řeknete: „Dobře, ale co bude s předpokladem A? Je pravda nebo není, že elektron prochází buď otvorem 1 nebo otvorem 2? Jediná odpověď, kterou máme je ta, že pomocí experimentu jsme zjistili, že k tomu, abychom se nedostali do rozporu, musíme přemýšlet určitým zvláštním způsobem. Abychom se vyhnuli nesprávným předpovědím, musíme mluvit takto:" Díváme-li se na otvory, nebo přesněji, máme-li zařízení, jež může určit, zda elektron prochází otvorem 1 nebo 2, lze říci, že prochází buď otvorem 1 nebo otvorem 2. Ale když se nepokoušíme určit, kudyjdou elektrony, když nic nemůže v experimentu elektrony ovlivnit, nelze říci, zda elektrony jdou otvorem 1 nebo otvorem 2. Kdyby to někdo řekl a začal z toho vyvozovat závěry, dopustí se ve své analýze chyby. To je logické „lano", po němž musíme balancovat, chceme-li úspěšně popsat přírodu. Když se pohyb hmoty - včetně elektronů - musí popsat pomocí vln, co potom platí pro naše kulky z prvního experimentu? Proč tam nevidíme interferenční obraz? Z vlnového popisu vyplývá, že vlnové délky kulek jsou tak nepatrné, že interferenční obraz je velmi jemný. Tak 505 ZÁKLADNÍ PRINCIPY KVANTOVÉ MECHANIKY jemný, že oddělená maxima a minima nelze rozeznat žádným detektorem s konečnými rozměry, Viděli jsme jen určitý průměr, jenž dává klasickou křivku. Na obr. 37.5 jsme se pokusili schematicky naznačit, jak to vypadá pro velkorozměrné objekty. V části a) je znázorněno rozložení pravděpodobnosti, které lze předpovědět pro kulky pomocí kvantové mechaniky. Rychlé kmity by měly představovat interferenční obraz od takových velmi krátkých vln. Avšak libovolný fyzikální detektor zabírá vždy několik vlnových délek a měření dává hladkou křivku nakreslenou na obrázku v části b). a b Obr. 37.5 Interferenční obrazs kulkami: a) skutečný, b) pozorovaný 37.7 ZÁKLADNÍ PRINCIPY KVANTOVÉ MECHANIKY Napíšeme shrnutí hlavních závěrů z našich experimentů, ale upravíme šije do takové formy, aby platily obecně, pro všechny takové experimenty. Naše shrnutí bude úspěšnější, když si nejprve definujeme „ideální experiment"jako takový, v němž se neprojevují neurčité vnější vlivy, s nimiž nemůžeme počítat. Budeme zcela přesní, když řekneme: „Ideální experiment je ten experiment, v němžjsou všechny počáteční i konečné podmínky přesně definovány." „Událostí" budeme obecně nazývat určitou množinu počátečních a konečných podmínek. (Například: „Elektron vyletí z děla, dopadne na detektor a nicjiného se nestane.") Přistupme tedy ke shrnutí našich poznatků: Shrnutí 1. Pravděpodobnost P toho, že v ideálním experimentu nastane nějaká událost, je dána druhou mocninou absolutní hodnoty komplexního čísla VÁLEČKY ii ^ i ü — C. DETEKT0F S3** I >VÁLEČKY STĚNA 1 LAPAČ Obr. 37.6 Experiment, v němž se měří zpětnýráz stěny Abychom to mohli udělat, musíme znát hybnost stěny předtím, než jí proletí elektron. Změ-říme-li její rychlost po průletu elektronu, můžeme určit změnu hybností stěny. Pamatujme, že podle principu neurčitostí nemůžeme současně znát s libovolnou přesností polohu stěny a její hybnost. Neznáme-li však přesnou polohu stěny, nevíme ani přesně, kde se nacházejí oba otvory. Pro každý elektron budou na jiném místě. To znamená, že pro každý elektron bude střed interferenčního obrazu jinde. Rychlé změny interferenčního obrazu se takto smažou. V další kapitole si ukážeme kvantitativně, že určíme-li dostatečně přesně hybnost stěny, abychom podle zpětného rázu zjistili, který otvor byl použit, potom bude podle principu neurčitosti neurčitost v poloze stěny x dost velká, aby se obraz na detektoru posouval nahoru a dolů ve směru osy x o vzdálenost, jež je rovna přibližně vzdálenosti maxima od vedlejšího minima. Tyto náhodné posuny stačí k tomu, aby se obraz rozmazal natolik, že nevidíme žádnou interferenci. Princip neurčitostí „ochraňuje" kvantovou mechaniku. Heisenberg si uvědomil, že kdyby se dala změřit současně hybnost i poloha s větší přesností, kvantová mechanika se zhroutí. Proto vyslovil domněnku, že to musí být nemožné. Mnoho lidí se pokoušelo vymyslet nějaký způsob, jak by se to dalo udělat, ale nikdo nedokázal vymyslet, jak změřit polohu i hybnost čehokoliv-stěny, elektronu, kulečníkové koule, atd. - s větší přesností. Kvantová mechanika si zachovává svou ohroženou, ale odůvodněnou existenci. 508 ouvislost mezi vlnovým a korpuskulárním _hlediskem_ 38.1 AMPLITUDY VLN PRAVDĚPODOBNOSTI 38.2 MĚŘENÍ POLOHY A HYBNOSTI 38.3 DIFRAKCE NA KRYSTALECH 38.4 VELIKOST ATOMU 38.5 ENERGETICKÉ HLADINY 38.6 FILOZOFICKÉ DŮSLEDKY AMPLITUDY VLN PRAVDĚPODOBNOSTI V této kapitole se zamyslíme nad vztahem mezi vlnovým a korpuskulárním hlediskem. Z poslední kapitoly už víme, že ani vlnové, ani korpuskulárni hledisko není správné. Obvykle jsme se snažili vše podávat přesně nebo alespoň tak přesně, že se to nemuselo měnit, když se naše vědomostí dostaly dále - mohli jsme je rozšířit, ale nikdy jsme je nemuseli měnit! Pokusíme-li se mluvit o vlnovém nebo korpuskulárním obraze, oba jsou přibližné a oba se budou muset změnit. Proto ani to, co se v této kapitole dozvíme, nebude v určitém smyslu přesné; bude to polointuitivní argumentace, která se později upřesní, ale některé věci se změní, budeme-li je interpretovat kvantově - mechanicky správně. Důvod, proč to tak uděláme, je ten, že se nehodláme zabývat přímo kvantovou mechanikou, ale chceme získat aspoň určitou představu o jevech, s nimiž se setkáme. Navíc, protože se všechny naše zkušenosti týkají vln a částic, abychom pochopili, oč tu jde, dřív než zvládneme celou matematiku kvantově - mechanických amplitud, 509 AMPLITUDY VLN PRAVDĚPODOBNOSTI je velmi výhodné použít vlnové a korpuskulárni představy. Přitom se budeme snažit ilustrovat nejslabší místa, ale většinou budeme téměř zcela korektní - je to zcela věc interpretace. Především víme, že nový způsob reprezentace světa v kvantové mechanice - nový rámec -spočívá v tom, že každé možné událostí přísluší amplituda. Týká-li se událost dopadu jedné částice, můžeme určit amplitudu pravděpodobností, že se částice najde v různých časech na různých místech. Pravděpodobnost nalezení částice je pak úměrná druhé mocnině absolutní hodnoty amplitudy. Obecně se amplituda pravděpodobností, že najdeme částici na různých místech v různých časech, mění s polohou a časem. Ve zvláštním případě se amplituda měnívprostoru a čase sinusoidálnějako e,'- mAAm— Obr. 38.1 Vlnovýbalík délky Ax Zde se setkáváme s podivnou vlastností vln. Je to velmi snadná věc, která nijak nesouvisí s kvantovou mechanikou. Něco, co zná každý, kdo se zabývá vlněním, i když nezná kvantovou mechaniku: Pro krátký vlnový impulz nemůžeme jednoznačně definovat vlnovou délku. Vlnové číslo je neurčité, souvisí s konečnou délkou impulzu, a proto je neurčitá i hybnost částice. 510 SOUVISLOST MEZI VLNOVÝM A KORPUSKULARNÍM HLEDISKEM MĚŘENÍ POLOHY A HYBNOSTI Podívejme se na dva příklady, abychom si ozřejmili, proč musí podle kvantové mechaniky existovat neurčitost v poloze nebo v hybností. Už dříve jsme viděli, že kdyby něco takového neexistovalo - kdyby bylo možné současně měřit polohu i hybnost - byl by to paradox. To naštěstí nenastává a skutečnost, že taková neurčitost vyplývá z vlnového obrazu svědčí o tom, že vseje vzájemně konzistentní. Obr. 38.2 Difrakcečástícprocházejícíchštěrbinou Uvedeme příklad, na němž lze snadno pochopit, jaký je vztah mezi polohou a hybností. Předpokládejme, že máme štěrbinu a částice s určitou energií, jež přilétají velmi zdaleka, takže v podstatě všechny letí vodorovně (obr. 38.2). Budeme se zajímat o svislou složku hybnosti. Všechny částice mají, v klasickém smyslu, určitou horizontální hybnost pQ, takže, v klasickém smyslu, známe vertikální hybnost p každé částice předtím, než proletí štěrbinou. Částice neletí ani směrem vzhůru, ani dolů, nebotípřilétá od velmi vzdáleného zdroje - a proto je její vertikální hybnost rovna nule. Předpokládejme, že dále letí částice štěrbinou vertikální šířky B. Po průletu štěrbinou známe vertikální polohu - souřadnici y a to s pozoruhodnou přesností ± B. Neurčitost polohy Ay je tedy rovna řádově B. Mohlo by se zdát, vzhledem k tomu, že hybnost částice má čistě horizontální směr, bude Ap^ rovno nule, ale není tomu tak. Věděli jsme, že hybnost je horizontální, ale už to nevíme. Dříve, než částice proletěly otvorem, neznali jsme jejich vertikální polohy a nyní, tím, že jsme je nechali proletět otvorem, jsme ztratili informaci ojejich vertikální hybností! Proč? Podle vlnové teorie při průchodu vln štěrbinou dochází kjejich rozmazání nebo difrakci, podobně jako u světía. Proto existuje určitá pravděpodobnost, že částice nevyletují ze štěrbiny úplně přímo. Difrakční efekt rozmaže obraz jejich rozmístění a úhel, který můžeme definovat jako úhel prvního minima, je mírou neurčitostí konečného úhlu. Jak dochází k rozmazání obrazu? Řekneme-li, že je rozmazaný, znamená to, že existuje určitá pravděpodobnost, že částice se vychýlí nahoru nebo dolů, tj. že bude mít složku hybností ve směru nahoru nebo dolů. Mluvíme o pravděpodobností a o částici, protože difrakční obraz můžeme proměnit pomocí počítače částic, který, když zachytí částici, dejme tomu v bodě C na obr. 38.2, zachytí celou částici, takže v klasickém smyslu, aby se částice dostala od štěrbiny do C, musí mít nějakou vertikální hybnost. Abychom dostali aspoň přibližnou představu o rozmazání hybností, uvědomme si, že rozmazání vertikální hybností je rovno pQAů, kde pQ je horizontální hybnost. Jak velké je Aův difrakčním obraze? Víme, že první minimum nastává při takovém úhlu Aů, při němž je dráha vln od jednoho okraje štěrbiny delší o vlnovou délku než dráha vln od druhého okraje štěrbiny - zdůvodnili jsme si to už dříve (v kapitole 30). Proto A#je A/B, takže A p je v tomto 511 MĚŘENÍ POLOHY A HYBNOSTI experimentu p0^/B. Vidíme, že čím víc zmenšíme B a přesněji určíme polohu, tím bude difrakční obraz širší. Vzpomeňme si, že čím víc jsme uzavřeli štěrbinu v našem experimentu s mikrovlnami, tím větší byla intenzita ve vzdálených polohách. Takže, čím užší bude štěrbina, tím víc se celý obraz roztáhne a tím je větší pravděpodobnost, že naměříme příčnou složku hybností částice. Neurčitost vertikální hybností je tedy nepřímo úměrná neurčitostí y. Vidíme, že jejich součin je roven pQA. Ale /i je vlnová délka, pQ je hybnost a podle kvantové mechaniky součin vlnové délky a hybností dává Planckovu konstantu h. Dostali jsme tak pravidlo, že součin neurčitostí vertikální hybností a neurčitostí vertikální polohyje řádově roven h: AyApy~ h. (38.3) Nemůžeme sestrojit zařízení, jež by umožnilo ze známé vertikální polohy částice předpovědět i její vertikální pohyb s větší přesností, nežje dána pomocí (38.3). Neurčitost vertikální hybnosti musí být větší než h/Ay, kde Ayje neurčitost, s níž známe polohu. Lidé občas říkají, že celá kvantová mechanika je pochybená. Když částice přilétávala zleva, měla nulovou vertikální hybnost a nyní, když prošla štěrbinou a dopadla na detektor, je její poloha známa. Zdá se, že jak poloha, tak i hybnost jsou známé s libovolnou přesností. Je to tak, po dopadu částice můžeme určit její polohu a hybnost, kterou musela mít, aby dopadla na dané místo. Je to pravda, ale netýká se to relace neurčitostí (38.3). Rovnice (38.3) se vztahuje k možností předpovědět situaci na základě znalostí z minulostí. Co máme z toho, když řekneme: „Věděl jsem, jaká byla hybnost před průchodem štěrbinou a nyní znám polohu", když teď nevím nic o hybností. Skutečnost, že částice proletěla štěrbinou, nám nedovoluje předpovědět její vertikální hybnost. Mluvíme o prediktívní teorii, nejen o měřeních z minulosti. Musíme mluvit o tom, co dokážeme předpovědět. Nyní pojďme na celou věc z opačného konce. Proveďme si podrobnější kvantitativní analýzu dalšího příkladu téhožjevu. V předcházejícím příkladě jsme měřili hybnost klasickou metodou -uvažovali jsme o směru, rychlostí, úhlech atd., takže hybnostjsme určovali klasicky. Ale protože hybnost souvisí s vlnovým číslem, existuje další možnost, jak změřit hybnost částice (fotonu nebo podobně), jež nemá klasický analog, neboť je založena na rovnici (38.2). Spočívá v měření vlnové délky. Pokusme se hybnost změřit tímto způsobem. Předpokládejme, že máme difrakční mřížku s velkým počtem vrypů (obr. 38.3) a že na ni nasměrujeme svazek částic. O tomto problému jsme mluvili často. Mají-li částice určitou hybnost, v určitém směru dostáváme, díky interferenci, ostré maximum. Mluvili jsme i o tom, jak přesně umíme určit hybnost, tj. jakáje rozlišovací schopnost této mřížky. Místo toho, abychom to znovu odvozovali, můžeme se odvolat na kapitolu 30, kde vidíme, že relativní neurčitost při měření vlnové délky pomocí dané mřížky je l/Nm, kde N je počet vrypů na mřížce a >raje řád na difrakčním obraze. Takže AÁ 1 (38.4) Vztah (38.4) lze napsat jako A Nm AA 1 1 (38.5) # NmA L 512 SOUVISLOST MEZI VLNOVÝM A KORPUSKULÁRNÍM HLEDISKEM Obr.38.3 Určení hybnosti pomod difrakční mřížky kde L je vzdálenost znázorněná na obr. 38.3. Je to rozdíl vzdáleností, jež musí projít vlna nebo cokoliv, když se odrazí od horního okraje mřížky a když se odrazí od dolního okraje. Vlny, které vytvářejí difrakční obraz, přicházejí od různých částí mřížky. První přiletí ta, která přichází od dolního okraje mřížky ze začátku vlnového signálu, další pocházejí od pozdějších částí vlnového signálu a odrážejí se od různých částí mřížky, až nakonec přiletí poslední, jež odpovídá bodu vzdálenému ve vlnovém signálu o vzdáleností L od začátku. Proto, abychom dostali v našem spektru ostrou čáru, jež odpovídá pevné dané hybnosti s neurčitostí podle (38.4), musíme mít vlnový balík aspoň o délce L. Je-li balík kratší, nevyužijeme celou mřížku. Vlny vytvářející spektrum se odrážejí od velmi malé části mřížky a mřížka nepracuje, jak by měla - dostaneme velké úhlové rozložení. Aby bylo rozložení užší, musíme použít celou mřížku, aby se aspoň v některém okamžiku odrážel celý vlnový balík současně od různých částí mřížky. Proto, chceme-li, aby neurčitost vlnové délky byla menší, než udává vztah (38.5), délka balíku musí být L. Platí M=a(±)=M. (38.6) a2 UJ 2n Proto A*=^r, (38.7) kde Lje délka vlnového balíku. To znamená, že máme-li vlnový balík, který je kratší než L, musí být neurčitost ve vlnovém čísle větší než 2tc/Lnebo že součin neurčitostí vlnového čísla a délky balíku - kterou si označíme jako A*-bude větší než 2tc. Jako A x ji značíme proto, protože je to neurčitost v poloze částice. Má-li vlnový balík jen omezenou délku, určuje nám místo, kde můžeme najít částice s nepřesností A*. Vlastnost vln, že délka vlnového balíku násobená neurčitostí vlnového čísla je rovna nejméně 27t, je známa každému, kdo se vlnami zabývá. Nemá nic společného s kvantovou mechanikou. Znamená to jen to, že máme-li konečný vlnový balík, nemůžeme v něm přesně určit počet vln. Pokusme se to pochopit z jiného hlediska. Předpokládejme, že máme konečný vlnový signál délky L. Protože na koncích musí zanikat, jak je to na obr. 38.1, neurčitost v počtu vln na délce Lje přibližně ± 1. Počet vln na délce Lje kL/2n. Proto Aje neurčité a opět dostáváme výsledek (38.7); je to jen obyčejná vlastnost vln. Totéž platí o vlnách v prostoru, kde A je počet radiánu na centimetr a Lje délka balíku, i o vlnách v čase, kde tyje počet oscilací za sekundu a Tje „délka" času trvání signálu. Máme-li tedy vlnový signál, který trvá j enom určitý omezený čas T, je neurčitost frekvence dána vztahem Aw=y. (38.8) 513 DIFRAKCE NA KRYSTALECH Snažili jsme se zdůraznit, že to jsou vlastnosti jen samotných vln, ježjsou dobře známé například v teorii zvuku. Důležitéje to, že v kvantové mechanice interpretujeme vlnové číslo jako míru hybnosti částice podle pravidla p = hk, takže ze vztahu (38.7) vyplývá Ap~ň/Ax. Takje omezena klasická představa hybnosti. (Je zcela přirozené, že musí být nějak omezena, chceme-li částice reprezentovat vlnami!) Podařilo se nám najítjakési pravidlo, které nám pomáhá rozlišit, kde začínají selhávat klasické představy. DIFRAKCE NA KRYSTALECH Dále si představme odraz vln na krystalu. Krystal je objemné těleso skládající se z množství pěkně seřazených podobných atomů - některé komplikace zahrneme později. Otázka zní, jak je máme nastavit svedu (rentgenovým paprskům), elektronům, neutronům aj., abychom dostali po odrazu výrazné maximum v daném směru. Abychom dostali silný odraz, musí být na všech atomech rozptyl ve fázi. Nemůže jich být stejný počet ve fázi a v protifázi, neboť by se vlny vyrušily. Lze toho dosáhnout tak, že najdeme oblasti konstantní fáze.jakjsmejiž vysvědovali;jsou to roviny, jež svírají s počátečním i konečným směrem stejné úhly (obr. 38.4). Obr. 38.4 Rozptyl vln na krystalových rovinách Vezmeme-li dvě rovnoběžné roviny, jako na obr. 38.4, vlny, které se od nich odrazily, budou ve fázi za předpokladu, že rozdíl vzdáleností, které překonají čela vln, je roven celému násobku vlnových délek. Je vidět, že tento rozdíl je 2d sin ô, kde d]e kolmá vzdálenost mezi rovinami. Takže podmínkou pro koherentní odraz je, aby 2dsm&=nÁ(n=\,2,3...). (38.9) Máme-li například krystal, jehož roviny splňují podmínku (38.9) pro n= 1, bude odraz silný. Na druhé straně, jsou-li v polovině vzdáleností mezi rovinami další atomy (se stejnou hustotou), tyto intermediální roviny budou také způsobovat stejně silný rozptyl a interference způsobí, že výsledný efekt bude nulový. Proto se d musí vztahovat na přilehlé roviny, vztah (38.9) nemůžeme použít pro roviny vzdálené o pět vrstev! Pro zajímavost: Krystaly nejsou ve skutečnosti tak jednoduché, aby se v nich určitým způsobem opakoval stejný druh atomů. Kdybychom chtěli provéstjejich dvourozměrné analýzy, 514 SOUVISLOST MEZI VLNOVÝM A KORPUSKULARNlM HLEDISKEM velmi by se podobal tapetě, na níž se pravidelně opakuje nějaký vzor. Vzorem v případě atomů rozumíme nějaké jejich seskupení: - například pro uhličitan vápenatý atom vápníku, atom uhlíku a tři atomy kyslíku - kde může být relativně velký počet atomů. Ať je vzor jakýkoliv, vždy se opakuje. Tento základní vzorek se nazývá jednotkovou buňkou. Různé druhy opakování vzorků definují to, Čemu říkáme typ mřížky. Typ mřížky lze poznat ihned podle toho, jaké symetrické obrazce vytváří odražené svědo. Podle míst, kde dochází k odrazům, určíme typ mřížky, ale abychom zjistili, coje uvnitř každé buňky, musíme vzít v úvahu intenzitu rozptylu v různých směrech. Smer, v němž dochází k rozptylu, závisí na druhu mřížky, ale^aÄ silný je rozptyl v příslušném směruje určeno tím, coje v každé jednotkové buňce. Tímto způsobem se zjišťuje struktura krystalů. Na obrázcích 38.5 a JS.éjsou dvě fotografie vzorků pomocí rentgenové difrakce. Znázorňují rozptyl na kamenné soli a namyoglobinu (červené barvivo svalu). Zajímavá situace nastává, jsou-li sousední krystalové roviny od sebe vzdáleny o méně než A/% V tom případě podmínka (38.9) nemůže být splněna. Proto je-li >l větší než dvojnásobek vzdálenosti mezi sousedními rovinami, nevzniká žádný difrakčnf vzor a světlo (nebo cokoliv) projde materiálem, aniž by se odráželo nebo ztrácelo. Je-li A v případě světla mnohem větší než vzdálenost mezi rovinami, prochází svědo krystalem, aniž by docházelo kjeho odrazu od rovin krystalu. NEUTRONY 8 MALÝM \ REAKTOR— GRAFIT -* NEUTRONY — S VELKÝM í. NEUTRONY S MALÝM X. Obr. 38.7 Difúze neutronů z reaktoru grafitovým blokem To má zajímavý důsledek pro neutrony z reaktoru ijsou to zřejmě částice za všechny peníze!). Postavíme-li jim do cesty blok z grafitu, neutrony difundují a razí si jím cestu (obr. 38.7). Difundují, neboť se srážejí s atomy, ale přesně řečeno podle vlnové teorie, odrážejí se, neboť dochází k jejich difrakci na krystalových rovinách. Neutrony, jež vylétají z velmi velkého kusu grafitu na druhém konci, mají všechny velkou vlnovou délku! Když si graficky znázorníme jejich intenzitu jako funkci vlnové délky, vidíme, že je různá od nuly jen pro vlnové délky větší než určitá minimální délka (obr. 38.8). Znamená to, že tak můžeme získat velmi pomalé neutrony. 515 VELIKOST ATOMU Grafitem proletí jen ty nejpomalejší neutrony, které se na krystalových rovinách nedifragují nebo nerozptylují, ale letí přímo skrz jako svědo sklem a nerozptylují se do stran. Je mnoho jiných důkazů existence neutronových vln a vln jiných částic. Obr. 38.8 Intenzita neutronů vyletujících z grafitového blokujako funkce vlnové délky VELIKOST ATOMŮ Nyní se zamyslíme nad jinou aplikací principu neurčitosti vyjádřeného rovnicí (38.3). Tuto aplikaci nesmíme brát příliš vážně. Myšlenka je správná, ale naše analýza nebude moc přesná. Týká se demonstrace rozměrů atomů a toho, že podle klasické teorie by měly elektrony vyzařovat svědo a obíhat po spirále, dokud nespadnou najádro. To však nemůže být vsouladu s kvantovou mechanikou, kde nemůžeme vědět, kde byl každý elektron a jak rychle se pohyboval. Představme si, že chceme určit polohu elektronu ve vodíkovém atomu. Je nemožné, abychom přesně určili jeho polohu, neboť pak by byla neurčitost jeho hybnosti nekonečná. Kdykoliv se na elektron podíváme, někde se nachází; má však určitou amplitudu pravděpodobnosti, vyskytovat se na různých místech. Tato místa se nemohou nacházet všechna v jádře; budeme předpokládat, že jsou rozložena ve vzdálenosti a od jádra, tj. že vzdálenost elektronu od jádra je obvykle řádově rovna a. Minimalizací celkové energie atomu určíme a. Ze vztahu neurčitosti vyplývá, že neurčitost hybnosti je h/a, takže kdybychom chtěli nějak změřit hybnost elektronu, například pomocí rozptylu rentgenových paprsků na elektronu a sledováním Dopplerovajevu na pohybujícím se rozptylovém centru, očekávali bychom, že nedostaneme vždy nulu - elektron nebude stát na místě - ale jeho hybnost musí být řádově p ~ h/a. Kinetická energieje přibližně 1/2 mv2 =p2/2m = h272 ma2. (V určitém smyslu provádíme jistý druh rozměrové analýzy, jak závisí kinetická energie na Planckově konstantě, na m a rozměrech atomu. Naší odpovědi můžeme důvěřovat s přesností na faktory jako 2, n atd. Dokonce ani a jsme nedefinovali moc přesně.) Potenciální energieje rovna e2 dělenému vzdáleností od středu, -e2/a,kde e2 (jak si pamatujeme) je rovna druhé mocnině náboje elektronu dělené 47tfi'0.Vtip je nyní v tom, že potenciální energie klesá, když se a zmenšuje, ale čím je menší a, tím je podle principu neurčitosti větší hybnost a tedy i kinetická energie. Celková energieje l2 2 E = -?—-—. (38.10) 2ma2 a Nevíme, čemu je rovno a, ale víme, že atom se uspořádá tak, aby došlo k určitému kompromisu a aby jeho energie byla tak malá, jak jen může být. Abychom našli minimum E, zderivujeme ji podle a, položíme derivaci rovnu nule a z této rovnice najdeme a. Derivace £je rovna 516 SOUVISLOST MEZI VLNOVÝM A KORPUSKULÁRNÍM HLEDISKEM ÚE h2 e2 ■ + - da ma3 a2 a když ji položíme rovnu nule, dostaneme pro hodnotu a (38.11) aQ = — =0,528- 10-'°metrů. (38.12) me2 Tato vzdálenost se nazývá Bohrův poloměru tak jsme se dozvěděli, že rozměry atomů jsou řádově 10"'°m, cožje pravda. To je krásné -je to úžasné, neboť do této doby jsme neměli žádnou bázi, najejímž základě bychom mohli odhadnout rozměry atomůl Přitom z klasického hlediska atomy vlastně nemohou existovat, neboť elektrony by měly spadnout po spirále na jádro. Dosadíme-li hodnotu pro aQ z (38.12) do vztahu pro energii (38.10), dostáváme £. = -— = -— = -13,6 eV. (38.13) ^ 2% 2h2 Co znamená záporná energie? Znamená, že elektron má v atomu menší energii, než když je volný. Znamená to, žeje vázaný. Znamená to, že k uvolnění elektronuje ďeba energie. Kioniza-ci vodíkového atomu musíme dodat energii 13,6 eV. Nemáme důvod, abychom si nemysleli, že má být dvakrát nebo třikrát větší než tato energie - nebo poloviční nebo l/7t násobek, když naše argumentace byla taková ledabylá. Myjsme však trochu podváděli, použili jsme takové konstanty, aby nám vyšlo správné číslo! Hodnota 13,6 elektronvoltů se nazývá Rydbergova energie. Je to ionizační energie vodíkového atomu. Teď alespoň chápeme, proč se nepropadneme podlahou. Když jdeme, naše boty dači svými atomy na atomy podlahy. Kdybychom sdačili atomy blíže k sobě, musely by elektrony zabírat menší prostor a podle principu neurčitosti by se musely v průměru zvýšit jejich hybností, což by znamenalo vyšší energii. Odpor při sdačování atomů je kvantově-mechanický efekt a ne klasický efekt. Klasicky bychom předpokládali, že kdybychom k sobě přiblížili všechny elektrony a protony, energie by se stále zmenšovala. Nejvýhodnější seskupení kladných a záporných atomů v klasické fyzice je, když jsou všechny těsně u sebe. V klasické fyzice to bylo dobře známé a existence atomů byla záhadou. Samozřejmě, vědci tehdy objevili několik způsobůjak se dostat z těžkostí, ale teprve myjsme našli ten správný způsob! (Snad.) I když nemáme předpoklady, abychom tomu na naší úrovni porozuměli, zmíníme se o tom, že tam, kde je mnoho elektronů, snaží se být od sebe co nejdále. Obsadí-li jeden elektron určitý prostor, druhý elektron ho neobsadí. Přesněji řečeno existují dva případy spinu, takže dva elektrony mohou ještě „sedět" jeden na druhém, přičemž mají opačné spiny, ale víc jich tam už nemůžeme dát. Ostatní musíme dát najiná místa a to je skutečný důvod, proč má hmota pevnost. Když bychom mohli umístit všechny elektrony na stejné místo, hmota by se zkondenzovalaještě víc, než nyní. Právě této skutečnosti, že všechny elektrony se nemohou shluknout v jednom místě, vděčíme za to, že stoly a jiné věci jsou pevné. K pochopení vlastností hmoty budeme muset zřejmě použít kvantovou mechaniku a nemůžeme se spokojit s klasickou mechanikou. 517 ENERGETICKÉ HLADINY 38.5 ENERGETICKÉ HLADINY Mluvili jsme o atomu v nejnižším možném energetickém stavu, ale jak je vidět, elektron dokáže i jiné věci. Může se vrtět a kmitat mnohem energičtěji, takže v atomu existuje mnoho různých pohybů. Podle kvantové mechaniky může mít atom určitou energii jen ve stacionárním stavu. Na obrázku 38.9 máme diagram, kde nanášíme energii na svislou osu a pro každou dovolenou energii máme nakreslenou vodorovnou čáru. Je-li elektron volný, tj.je-lijeho energie kladná, jeho energie může být libovolná, může se tedy pohybovat libovolnou rychlostí. Energie vázaného elektronu však nejsou libovolné. Atomy musí mít některou z dovolených hodnot energie, jako jsou ty na obr. 38.9. ///////// I 5 "H, Obr. 38.9 Energetické schéma atomu znázorňující několik možných přechodů Označme dovolené hladiny energie EQ, Ev E^, Ei. Nachází-li se atom v některém z excitovaných vzbuzených stavů E{, E^ atd., nezůstane v něm navždy. Dříve nebo později klesne do nižšího stavu a vyzáří energii ve formě svěda. Frekvenci emitovaného svěda lze určit pomocí zákona zachování energie a kvantově-mechanického chápání toho, že frekvence svěda souvisí s jeho energií podle (38.1). Proto frekvence svěda, jež se uvolní při přechodu od energie Ei k energii E. (například),je «*. =-LžJ- <38-14> To je pak charakteristická frekvence atomu a definuje jeho spektrální emisní čáru. Další možný přechod by byl od E^ k Eg. Ten bude odpovídat frekvenci ň *>3o= \ ■ (38-!5) Další možnostje ta, že když byl atom vzbuzen do stavu E{, může spadnout do základního stavu EQ, přičemž vyzáří foton s frekvencí ú)io=-lyl- (38-16) Tyto tři přechodyjsme vybrali proto, abychommohli ukázat na zajímavý vztah. Z (38.14), (38.15) a (38.16) je snadno vidět, že S>"^i+fi,io- <38-17) Obecně platí, že najdeme-li dvě spektrální čáry, můžeme očekávat, že další najdeme na součtu 518 SOUVISLOST MEZI VLNOVÝM A KORPUSKULÁRNfM HLEDISKEM jejich frekvencí (nebo na rozdílu jejich frekvencí). Tyto čáry můžeme objasnit pomocí série hladin tak, že každá čára odpovídá rozdílu energií nějakého páru energedckých hladin. Tato pozoruhodná shoda spektrálních frekvencí byla objevena dříve, než kvantová mechanika a nazývá se Ritzův kombinační princip. Z hlediska klasické mechanikyje to opět záhada. Nemusíme se dále snažit zdůrazňovat, že klasická fyzika selhává v oblasd atomů, zdá se, že jsme to dokázali dostatečně jasně. Již jsme si řekli, že kvantová mechanika je reprezentována pomocí amplitud, jež se chovají jako vlny s určitými frekvencemi a vlnovými čísly. Podívejme se, jak plyne z hlediska amplitud, že atom má určité energetické stavy. Je to něco, co nemůžeme pochopit z toho, co jsme si dosud řekli, ale všichni víme, že stojaté vlny mají určité frekvence. Například zvuk uzavřený ve varhanní píšťale však může vibrovat více způsoby, přičemž každému z nich přísluší určitá frekvence. Proto má objekt, v němžjsou vlny uzavřené, určité rezonanční frekvence. To, že vlnění může existovat jen při určitých frekvencích, je vlastnost vln v uzavřeném prostoru. O tom budeme mluvit podrobně včetně vzorců až později. A protože mezi frekvencemi amplitud a energií existuje obecný vztah, nejsme překvapeni, že s elektrony vázanými v atomech souvisí jen určité energie. FILOZOFICKÉ DŮSLEDKY Proberme si stručně některé filozofické důsledky vyplývající z kvantové mechaniky. Jako vždy má tento problém dvě stránky: jednou jsou fdozofické důsledky pro fyziku a druhou jejich extrapolace do jiných oblastí. Když se fdozofické myšlenky, spojené s přírodní vědou, přenášejí do jiných oblastí, obvykle se zcela překroutí. Proto naše poznámky omezíme, pokud to bude možné, jen na fyziku. Nejzajímavějším aspektemje především myšlenka principu neurčitosti; pozorování nějakého jevu ovlivňuje samotnýjev. Vždy bylo známo, že pozorováním nějakéhojevu se tentojev ovlivňuje, ale jde tady o to, že toto ovlivňování nelze zanedbat, minimalizovat nebo libovolně zmenšovat pomocí vhodného uspořádání aparatury. Sledujeme-li nějaký jev, nemůžeme si pomoci, ale musíme ho aspoň minimálním způsobem narušit a toto narušení je nevyhnutné pro konzistentnost našeho chápání. V předkvantové fyzice byl někdy pozorovatel důležitý, ale jen v triviálním smyslu. Byl nastolen takový problém: Když v lese padne strom a není tam nikdo, kdo by to slyšel, vzniká přitom zvuk? Přirozeně, pádem skutečného stromu ve skutečném lese vzniká zvuk, i kdyby tam nikdo nebyl. I když tam nikdo není, kdo by to slyšel, zůstanou i jiné stopy. Zvuk rozechvěje listy a kdybychom byli dostatečně pozorní, snad bychom zjistili, že se někde nějaký trn otřel o list a jemně ho poškrábal, což nelze vysvědit bez předpokladu, že se list rozechvěl. Takže v určitém smyslu musíme přiznat, že při tom vzniká zvuk. Můžeme se zeptat: Došlo přitom k pocitu zvuku? Ne, pociťování zřejmě souvisí s vědomím. A zda si to uvědomili mravenci, zda byli nějací mravenci v lese nebo zda si to uvědomil strom, to nevíme. Nechrne tento problém tak, jakje. Další věc, kterou lidé zdůrazňovali před kvantovou mechanikou, je myšlenka, že bychom neměli mluvit o věcech, jež nemůžeme měřit. (Skutečně to tvrdila i teorie relativity.) Nemůžeme-li něco určit měřením, nemá to v teorii co hledat Protože přesnou hodnotu hybnosti lokalizované částice nelze měřením určit, nemá v teorii místo. Představa, že tak to bylo v klasické teorii, je falešná Je důsledkem nedbalé analýzy situace. Nemožnost přesného měření polohy a hybnosti ještě a priori neznamená, že o nich nemůžeme mluvit. Znamená to jen tolik, že o nich nemusíme mluvit. Ve vědě je taková situace: Pojem nebo představa, kterou nelze měřit nebo nelze přímo odvodit z experimentu, může být, ale nemusí být užitečná. Nemusí existovat v teorii. Jinými slovy, předpokládejme, že porovnáme klasickou teorii světa s kvantovou teorií a předpo- 519 FILOZOFICKÉ DŮSLEDKY kládejme, že experimentálně platí fakt, že jak polohu tak i hybnost můžeme měřitjen nepřesně. Vzniká otázka, zdapředstavapřesné polohy častíce a představa přesné hybností částice platí nebo ne. Klasická teorie tyto představy připouští, kvantová teorie nepřipouští. To samo o sobě ještě neznamená, že klasická fyzikaje chybná. Když byla objevena kvantová mechanika, klasici (to byli všichni kromě Heisenberga, Schrôdingera a Borna) říkali: „Podívejte se, vaše teorie nestojí za nic, protože neumíte dát odpovědi na určité otázky jako například: Jaká je přesná poloha částice? Kterým otvorem prošla? atd." Heisenbergova odpověď zněla: „Nepoďebujeme odpovědi na tyto otázky, protože vyje nemůžete experimentálně ověřit." Vtip je v tom, že nemusíme. Vezměme si dvě teorie: o a i. Teorie a obsahuje představu, kterou nelze přímo ověřit, ale která se používá při analýze a teorie b tuto představu neobsahuje. Když se teorie ve svých předpovědích neshodnou, nelze tvrdit, že b je špatná, protože neumí vysvědit představu, kterou používá a, neboť je to představa, jež paďí mezi ty, co nelze přímo ověřit. Je vždy dobré, když víme, které představy nelze přímo ověřit, ale ne vždy je nutné je všechny odstranit. Není pravda, že vědu můžeme posunout dále jen pomocí koncepcí, jež přímo souvisí s experimentem. Kvantová mechanika obsahuje amplitudu vlnové funkce, potenciál a mnoho dalších konstrukcí, jež nelze přímo měřit. Podstata vědy spočívá v její schopnosti předpovídat. Předpovídat znamená říci, co se stane v experimentu, kterýještě nikdo nikdy neudělal. Jak to můžeme vědět? Nezávisle na experimentu předpokládáme, že víme, co při něm probíhá. Musíme extrapolovat experimenty do oblasti, kde se ještě nedělaly. Musíme své představy rozšířit na situace, v nichž je ještě nikdo neprověřil. Když to neuděláme, nemáme předpověď. Proto se klasickým fyzikům zdálo rozumné předpokládat, že poloha - jež má jasný smysl v bejsbolu - bude mít smysl i pro elektron. Nebyl to projevhlouposti. Byl to rozumný proces. Dnes říkáme, že zákon relativity platí pro všechny energie, ale jednou může někdo přijít a říci, jací jsme byli hloupí. V čem jsme „hloupí", nevíme, dokud „nevystrčíme hlavu ven". Celá idea spočívá v tom, abychom vystrčili ven hlavu. Jediný způsob, jak můžeme zjistit, že se mýlíme, je ten, že se podíváme, jaké jsou naše předpovědi. Je nutné, abychom vymýšleli nové konstrukce. Už jsme udělali několik poznámek o neurčitostí kvantové mechaniky. O tom, že nejsme schopni předpovědět, co se fyzikálně stane za daných fyzikálních podmínek, ježjsou uspořádány tak pečlivě, jakjen lze. Máme-li atom, kterýje v excitovaném stavu a který se chystá vyzářit foton, nemůžeme říci, kdy ho vyzáří. V každém okamžiku má určitou amplitudu, že foton vyzáří a my umíme předpovědětjen pravděpodobnost emise; nemůžeme předpovědět budoucnost přesně. To dalo podnět ke vzniku všelijakých nesmyslů, k otázkám o smyslu svobodné vůle a k myšlence, že svět je neurčitý. Musíme zdůraznit, že klasická fyzikaje také v určitém smyslu indeterministická. Obyčejně se má za to, že tato vlastnost, tj. že nemůžeme předpovědět budoucnost, je důležitá kvantově-mechanická vlastnost a tím by se mělo vysvědovat myšlení, city, vůle atd. Kdyby svět byl klasický -kdyby bylyjen klasické zákony mechaniky- není vůbec zřejmé, že mysl by nepracovala více méně stejně. Je pravda, že kdybychom klasicky znali polohu a rychlost každé částice ve světě nebo v krabici s plynem, mohli bychom exaktně předpovědět, co bude. Proto je klasický svět deterministický. Předpokládejme však, že máme konečnou přesnost a že známe polohu každého atomu dejme tomu s přesnostíjedné miliardtíny. Pak tento atom narazí do dalšího atomu a když jsme jeho polohu neznali přesněji než na jednu miliardtinu, bude po srážce nepřesnost v jeho poloze ještě větší. Další srážkou se chyba ještě zvětší, takže, když začneme třeba jen s malými chybami, ty rychle narostou na velmi velkou neurčitost. Uvedeme příklad. Voda se při pádu z přehrady tříští a stojíme-li někde blízko, tu a tam nám na nose přistane kapka. Zdá se to být zcela náhodné a přece by se to dalo předpovědět pomocí klasických zákonů. Přesné polohy 520 SOUVISLOST MEZI VLNOVÝM A KORPUSKULÁRNÍM HLEDISKEM kapek závisí na proudění vody dřív než protéká přes přehradu. Jak? Nejmenší nahodilostí se ve vodopádu zesilují, takže dostáváme úplnou mahodilost. Je jasné, že polohy kapek nemůžeme reálně předpovědět, když neznáme pohyb vody naprosto přesně. Přesněji řečeno, při libovolné přesnosti lze najít dostatečně vzdálený čas, pro který nemůžeme udělat platné předpovědi. Vtip je v tom, že tento čas není ani příliš vzdálený. Věc se nemá tak, že by přesnosti najednu miliardtinu odpovídal čas miliónů roků. Čas se fakticky mění jen logaritmicky ve srovnání s chybou a ukazuje se, že už za velmi krátký čas ztrácíme celou informaci. Je-li přesnost dána najednu miliardtinu z miliardtiny (můžeme vzít miliardtín kolik chceme, jen když se někde zastavíme), zjistíme, že čas, po němž už nemůžeme předpovědět, co se stane, je kratší, než byl čas, za který jsme si stanovili původní přesnosti Není proto čestné říkat, že na základě zdánlivé svobody a indeterminizmu lidské mysli jsme si měli uvědomit, že klasická „deterministická" fyzika si nikdy nemohla dělat naději, že to pochopí a vítat kvantovou mechaniku jako osvobození od „úplně mechanistického" vesmíru, neboť z praktického hlediska už existoval indeterminizmus v klasické mechanice. 521 RIKLADY A CVIČENI 38.1 ■ V kapitole 32 jsme ukázali, že vybuzený atom vyzařuje svou energii po určitých porcích. To má za následek omezení doby života vybuzeného stavu a vzniku konečné šířky příslušné spektrální čáry. Ukažte, že tyto jevy, popisujeme-li je jako neurčitosti energie a doby vyzařování fotonu, jsou v souladu s relacemi neurčitosti. 38.2 ■ Odhadněte Bohrúv poloměr atomu vodíku pomocí rozměrové analýzy. Na základě relace neurčitosti ukažte, že energie potřebná k odtržení elektronu od protonu v atomu vodíku je řádově několik elektronvoltů. 38.3 ■ V ultrafialové oblasti spektra vybuzeného vodíku se nachází série spektrálních čar nazývaná Lymanova série. Tři čáry této série mají vlnové délky 121,6 nm, 102,6 nm, 97,3 nm. Vypočítejte vlnové délky odpovídající třem dalším možným čarám ve spektru vybuzeného vodíku, jež mohou být předpovězeny pouze na základě těchto údajů a Ritzova kombinačního principu. Dvě z nich leží v oblasti viditelného světla (Balmerova série) a jedna v infračervené oblasti (první čára Paschenovy série). 522 inetická teorie plynů 39.1 VLASTNOSTI LATEK 39.2 TLAK PLYNU 39.3 STLAČITELNOST ZÁŘENÍ 39.4 TEPLOTA A KINETICKÁ ENERGIE 39.5 ZÁKON IDEÁLNÍHO PLYNU 39.1 VLASTNOSTI LÁTEK Touto kapitolou začneme nový předmět, jemuž se budeme poměrně dlouho věnovat. Na začátku našich úvah o vlastnostech látek z fyzikálního hlediska si uvědomíme, že látky se skládají z velkého množství atomů nebo čásdc, které na sebe působí elektrickými silami a chovají se podle zákonů mechaniky a budeme se snažit pochopit proč se různá seskupení atomů chovají právě určitým způsobem. Je to bezpochyby těžká úloha a snad bude dobré, když si hned na začátku řekneme, že je to mimořádně těžký předmět a budeme k němu muset přistupovat jinak, než jsme přistupovali k problémům, které jsme řešili do této doby. V případě mechaniky a nauky o svědě jsme mohli vycházet z přesné formulace některých zákonůjako například Newtonových zákonů nebo vztahu pro pole vytvářené urychlovaným nábojem. Pomocí nich jsme mohli vysvědit mnoho jevů a staly se pro nás základem pro chápání mechaniky a optiky. S jejich využitím můžeme ve studiu pokračovat, ale už se nenaučíme novou fyziku, jenom se seznámíme s dokonalejšími matematickými metodami řešení jednodivých problémů. Takový postup však není vhodný ke studiu vlastností látek. O vlastnostech látek můžeme uvažovatjen velmi elementárním způsobem. Kdybychom naši analýzu začali základními zákony, kterými jsou vlastně zákony mechaniky a elekďiny, byla by příliš složitá. Od těchto zákonů je totiž příliš daleko k vlastnostem, které nás zajímají. Je třeba udělat mnoho kroků, než se od Newtonových zákonů dostaneme k vlastnostem látek a samotné tyto kroky jsou dost složité. My sice nastoupíme tuto cestu a uděláme některé z těchto kroků, ale i když některé z našich analýz budou dost přesné, bude tato přesnost postupně ubývat. Získáme takjen velmi hrubou představu o vlastnostech látek. 523 C VLASTNOSTI LÁTEK Jednou z příčin, proč budeme v naši analýze tak nedokonalí, je skutečnost, že vyžaduje hluboké vědomostí z teorie pravděpodobností. Nebudeme se zajímat o to, jak se každý atom pohybuje, ale spíše o to, jaký je střední počet atomů pohybujících se v tom či onom směru a jaké jsou pravděpodobností různých jevů. Tento předmět si tedy vyžaduje poznání teorie pravděpodobností, ale naše vědomosti z matematiky nám zatím nestačí a my nechceme své síly přepínat. Druhou příčinou - z fyzikálního hlediska důležitější - je skutečnost, že atomy se nechovají podle klasické mechaniky, ale podle kvantové, takže tento problém správně pochopíme až tehdy, když budeme znát kvantovou mechaniku. Na rozdíl od kulečníkových koulí a automobilů je nyní rozdíl mezi zákony klasické a kvantové mechaniky velmi důležitý a výrazný, a proto mnohé z věcí, jež odvodíme pomocí klasické fyziky, budou principiálně nesprávné. Některé věci nám proto zůstanou částečně nepochopené, ale na každou nepřesnost vás upozorním, takže budete vědět, kde jsou hranice našeho výkladu. Jedna z příčin, proč jsme v předcházejících kapitolách mluvili 0 kvantové mechanice, spočívá v tom, že musíme vědět, proč je klasická mechanika v některých směrech nesprávná. Proč se tímto předmětem nyní vůbec zabýváme? Proč půl roku nebo rok nepočkáme, než budeme lépe znát teorii pravděpodobností a něco z kvantové mechaniky a tak se jednodušeji dostaneme k vlastnostem látek? Proto, že je to těžký předmět a nejlepší způsob, jak se ho naučit, je učit se pomalu! Nejprve musíme získatjakousi představu o tom, co by se mělo stát za různých okolností a později, když budeme lépe znát základní zákony, zformulujeme vše přesněji. Kdo by chtěl analyzovat vlastností látek v nějakém konkrétním případě, začal by možná tak, že by zapsal základní rovnice a pak by se je pokusil matematicky řešit. Existují lidé, kteří se pokoušejí postupovat takovým způsobem, ale nejsou úspěšní. Úspěchu dosáhnou ti, kteří začnou problém řešit z fyzikálního hlediska, kteří mají hrubou představu o tom, kam směřovat, a pak používají správné aproximace, vědí, co je v dané složité situaci malé a co je velké. Tyto problémy jsou tak složité, že stojí za to dopracovat se i kjejich elementárnímu chápání, i kdyžje nepřesné a neúplné. K takovým problémům se znovu a znovu vracíme a vždy je poznáváme přesněji a přesněji, a tak budeme postupovat i v tomto kurzu fyziky. Další příčina, proč se touto problematikou budeme zabývat už nyní, spočívá v tom, že s mnoha takovými myšlenkami jste se už setkali například v chemii a o některých jste slyšeli už 1 na střední škole. Bude zajímavé poznat fyzikální podstatu těchto věcí. Jako zajímavý příklad vzpomeňme, že stejné objemy plynů obsahují při stejném daku a teplotě stejný počet molekul. Zákon násobných poměrů, který říká, že dva plyny, které se slučují v chemické reakci, mají objemy v poměru malých celých čísel, pochopil Avogadro jako zákon vyjadřující skutečnost, že stejné objemy mají stejné počty atomů. Proč je ve stejných objemech stejný počet atomů? Vyplývá něco takového z Newtonových zákonů? Otázkám takového charakteru bude věnována tato kapitola. V dalších kapitolách budeme mluvit i o různých jiných jevech zahrnujících dak, objem, teplotu a teplo. Zjistíme, že k tomuto předmětu je možné přistupovat nejen z atomistíckého hlediska, a že existuje mnoho vzájemných vztahů mezi vlastnostmi látek. Například, když nějakou látku sdačíme, ohřeje se; kdyžji ohřejeme, zvětší svůj objem. Mezi těmito dvěma skutečnostmi existuje vztah, kterýmůžeme odvodit, aniž bychom pochopili vnitř ní mechanizmus. Odborná disciplína, jež se zabývá takovými vztahy, se nazývá termodynamika. Hluboké pochopení termodynamiky však pochází z pochopení vnitřního mechanizmu a tím se právě budeme zabývat. Budeme předpokládat, že látky mají atomovou povahu a na základě toho se budeme snažit pochopit jejich různé vlastností a zákony termodynamiky. Začneme tedy zkoumat plyny, a to tak, že budeme vycházet z Newtonových zákonů mechaniky. 524 KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ TLAK PLYNU Víme, že plyn vyvolává tlak a naší úlohou bude vysvětlit příčinu tohoto jevu. Kdyby byl náš sluch několikrát citlivější, slyšeli bychom stálý rušivý šum. V průběhu vývoje však ucho nedosáhlo takové cidivosti, protože by to bylo zbytečné - slyšeli bychom totiž stálý hluk. Příčina spočívá v tom, že ušní bubínek je ve styku se vzduchem a vzduch je ohromné množství neustále se pohybujících molekul, které na ušní bubínek narážejí. Tyto nárazy molekul vytvářejí jakési nepravidelné bubnování, ale my ho neslyšíme, neboť atomy jsou příliš malé a naše ucho není dostatečně cidivé. Výsledkem takového neustálého bombardování by mělo být oddačení bubínku, ale protože i najeho opačné straně dochází k takovému bombardování, je výsledná síla nulová. Kdybychom zjedné strany odstranili vzduch nebo kdybychom změnili relativní množství vzduchu na stranách bubínku, došlo by k posunutí bubínku na jednu nebo na druhou stranu, protože bombardování zjedné strany by bylo větší než bombardování z druhé strany. Tento nepříjemnýjev pociťujeme tehdy, když stoupáme příliš rychle výtahem nebo letadlem a hlavně, když máme silnou rýmu (při rýmě dojde k ucpání trubice, která spojuje vzduch uvnitř bubínku s dutinou ústní s vnějším vzduchem a jejich tlaky se nemohou vyrovnat). •••••> Obr. 39.1 Atomyplynuvnádoběspístemježsepohybujebeztření Abychom mohli kvantitativně analyzovat tuto situaci, představme si, že se plyn nachází v nádobě a na jedné straně nádoby je pohyblivý píst (obr. 39.1). Zajímá nás, jaká síla působí na píst v důsledku toho, že v nádobě jsou atomy. Atomy se pohybují v nádobě s objemem Vvšemi možnými rychlostmi a narážejí na píst. Předpokládejme, že na druhé straně pístu není nic, jen vakuum. Co se bude dít? Kdyby byl píst ponechán sám sobě a nikdo by ho nepřidržoval, po nárazu atomu by vždy získal nepatrnou hybnost a postupně by se vysouval ven z nádoby. Kdybychom chtěli zabránitjeho vysouvání, museli bychom ho přidržovat silou F. Zajímá nás, jak velká je tato síla. Jeden ze způsobů jak vyjádřit sílu, je udatjejí velikost připadající na jednotkovou plochu. Je-li A plocha pístu, pak sílu působící na píst můžeme zapsat jako součin nějakého čísla a plochy. Tímto způsobem definujeme dakjako sílu působící na píst dělenou plochou pístu p = - (39.1) A Abychom lépe pochopili tuto myšlenku (později ji použijeme i k jinému účelu), stanovme infinitezimální práci d Wkonanou při sdačení plynu pístem, který se posunul o infinitezimální vzdálenost -áx. Tato práce bude rovna součinu síly a posunutí, takže podle vztahu (39.1) součinu daku, plochy a posunutí, To je záporně vzatý součin daku a změny objemu áW=F\-áx) = -pAáx=-páV (39.2) 525 TLAK PLYNU (Součin plochy A a vzdálenosti dxje změna objemu.) Záporné znaménko označuje skutečnost, že při sdačovánf se objem zmenšuje, taková volba znaménka vede k tomu, že ke sdačení plynuje třeba vykonat práci. Jakou silou musíme dačit na píst, abychom vykompenzovali nárazy molekul? Píst získává při každé srážce hybnost. Každou sekundu dostává píst určitou hybnost a začíná se pohybovat. Abychom tomuto pohybu zabránili, musí naše síla odevzdat pístu za sekundu stejně velkou hybnost opačného směru. Síla představuje hybnost odevzdanou pístu za sekundu. Můžeme to říci i jinak: Když pístu nebudeme bránit v pohybu, získá v důsledku nárazu molekul rychlost; každá další srážka představuje malý přírůstek rychlosti, takže píst se bude pohybovat se zrychlením. Zrychlení pístu je úměrné síle, jež na něj působí. Síla, o níž jsme říkali, že je součinem daku a plochy, j e tedy rovna hybností odevzdané za sekundu pístu narážejícími molekulami. Vypočítat hybnost za sekunduje snadné - můžeme to udělat ve dvou krocích: Nejprve najdeme hybnost, kterou pístu odevzdá při srážce jeden atom a pak tuto hybnost musíme násobit počtem srážek atomu s pístem za sekundu. Síla bude právě součin těchto dvou faktorů. Všimneme si těchto dvou faktorů blíže. Především předpokládáme, že pístje dokonalým „odrážečem" atomů. Kdyby nebyl, celá teorie by byla chybná, neboť píst by se začal ohřívat a situace by se změnila. Kdyby se však nakonec dosáhlo rovnováhy, výsledek by byl takový, že srážky by byly efektivně pružné. V průměru by si každá dopadající částice zachovala svou energii. Můžeme si proto představit, že plyn je v ustáleném stavu a pístu neodevzdáme žádnou energii, protože pístje v klidu. Když za těchto podmínek dopadá částice s určitou rychlostí, odráží se stejnou rychlostí a ovšem se stejnou hmotností. Je-li v rychlost atomu a vx velikost x-ové složky v, bude mvx velikost složky hybností ve směru x Protože tato složka při odrazu od pístu změní směr na opačný a zachová si svou velikost, bude celková hybnost dodaná pístu částicí při jedné srážce rovna 2 mvx. Nyní potřebujeme zjistit počet srážek atomů s pístem za sekundu nebo za určitý časový interval dť a pak ho dělit intervalem dť. Kolik atomů naráží na píst? Předpokládejme, že v objemu Vse nachází TV atomů, tedy n= N/V v každém jednotkovém objemu. Abychom určili, kolik atomů narazí na píst, musíme si uvědomit, že za dobu t nedosáhnou pístu všechny částice, které se proti němu pohybují určitou rychlostí, ale jen ty, které jsou dost blízko. Jsou-li příliš daleko, projdou za dobu ťjen část cesty k pístu, ale nedosáhnou ho. Je jasné, že za dobu t narazí na pístjen ty částice, které od něho nebudou ve větší vzdálenosti než v t. Proto je počet srážek za čas í roven počtu atomů nacházejících se ve vzdáleností ne větší než v t a je-li plocha pístu A, budou atomy, jež narazí na píst, zaujímat objem vxtA. Počet atomů, jež narazí na píst, získáme násobením tohoto objemu počtem atomů nacházejících se vjednotkovém objemu tedy nvjA. My však nechceme počet atomů, které narazí za dobu t, zajímá nás počet atomů, které narazí za sekundu a ten získáme vydělením tohoto výrazu časem /, dostaneme tedy nvxA. (Dobu t můžeme zvolit velmi malou, pro eleganci ji můžeme označit át a pak derivovat. Ale to je vlastně totéž, co jsme dělali.) Pro sílu tak dostáváme vztah F= nvxA-2mvx. (39.3) Všimněte si, že sílaje úměrná ploše, je-li při změně plochy hustota částic stálá. Pro dak potom platí vztah p = 2nmvx. (39.4) Nyní si všimneme některých těžkostí, jež vznikají při takové analýze. Především ne každý atom má stejnou rychlost a ne každý se pohybuje týmž směrem. Veličiny vx jsou tedy pro každý atom 526 KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ 2 různé! Každý atom přispívá jinak, a proto musíme vzít střední hodnotu z vx . Musíme vzít druhou mocninu z vx a zprůměrovat ji přes všechny atomy: p = nm(vx). (39.5) Nezapomněli jsme na koeficient 2? Ne, neboť ze všech atomů směřuje k pístu jen polovina. Ta druhá polovina se pohybuje na opačnou stranu, a když bereme (vx), průměrujeme druhé mocniny zápornýchi kladných vx. Vezmeme-li tedy prostě (vx) a nerozlišujeme kladné a záporné vx, dostaneme dvakrát tolik, než kolik potřebujeme. Střední hodnota z vx je pro kladná vx rovna polovině střední hodnoty z vx pro všechna vx. „Směr osy x" není nijak zvlášť charakteristický a atomy narážejí stejně i v ostatních směrech. Atomy se stejně dobře pohybují nahoru i dolů, dopředu i dozadu, dovnitř i ven. Proto (vx) bude rovna odpovídajícím středním hodnotám v ostatních dvou směrech, tedy (v2)=(v2)=(v2). (39.6) Použitím jednoduchého matematického triku bychom zjistili, že tyto střední hodnotyjsou rovny třetině jejich součtu, což je samozřejmě střední hodnota druhé mocniny z rychlosti (v2) = i (v2 * v2 + v2) = (v2)/3. (39.7) á Výhodou takového zapisuje, že se nemusíme starat o nějaký speciální směr a naše formule pro dak získá tvar (39.8) Poslední činitel zapisujeme ve tvaru (mv2/2) proto, že taková je kinetická energie pohybu těžiště molekuly. Tak jsme vlastně dospěli k vztahu r2 Budeme-li znát rychlosti molekul, můžeme pomocí této rovnice vypočítat dak. Jako jednoduchý příklad uveďme takové plyny jako je helium, argon, rtuťové páry nebo draslíkové páry při dost vysoké teplotě, které jsou jednoatomovými plyny a můžeme o nich předpokládat, že nemají vnitřní stupně volnosti. Kdybychom měli složitou molekulu, mohl by v ní existovat vnitřní pohyb, různé kmity apod. Předpokládejme, že to vše můžeme ignorovat -ve skutečnosti je to vážný problém a budeme se k němu muset vrátit, ale v našem případě je takové zanedbání možné. Budeme tedy předpokládat, že není třeba uvažovat vnitřní pohyb atomů, a proto pro náš účel kinetická energie pohybu molekuly jako celku představuje úplnou energii. V případě jednoatomového plynuje kinetická energie celkovou energií. Obecně budeme celkovou energii označovat symbolem U (někdy se nazývá i celkovou vnitřní energií - kdoví proč, vždyť plyn nemá vnější energii), tj. půjde o celkovou energii všech molekul plynu nebo jakéhokoliv jiného objektu. 527 TLAK PLYNU V případě jednoatomového plynu budeme předpokládat, že celková energie £/je rovna součinu počtu atomů a střední kinedcké energii každého z nich, neboť neuvažujeme možnost excitace nebo vnitřního pohybu atomů. Za těchto okolností můžeme psát pV= | U. (39.10) Mimochodem, zde se můžeme na chvíli zastavit a zodpovědět následující otázku: Předpokládejme, že máme určité množství plynu a ten pomalu sdačujeme; jaký dak potřebujeme ke sdačení tohoto plynu na určitý objem? Je to možno snadno určit, neboť dak představuje 2/3 z energie dělené objemem. Při sdačování plynu konáme práci a zvětšujeme energii U. Dostaneme proto jakousi diferenciální rovnici: Začneme-li za určitých podmínek, s určitou energií a určitým objemem, známe dak. Začneme-li plyn sdačovat, energie U poroste a objem Vse bude zmenšovat a nás zajímá, jak vzrosd dak. K tomu musíme vyřešit diferenciální rovnici a ihned to provedeme. Je však třeba zdůraznit, že předpokládáme, že při sdačování plynu jde všechna práce na zvětšení energie atomů plynu. Můžete se zeptat: Je vůbec nutné o tom mluvit? Vždyť kam jinam by mohla práce přejít?" Ukazuje se však, že práce by mohla přejít i jinam. Existuje tzv. únik tepla stěnami. Horké (tj. rychle se pohybující) atomy narážejí na stěny a ohřívajíje a tak uniká energie. Zatím budeme předpokládat, že k takovým procesům nedochází. Náš postup trochu zobecníme, i když stále půjde jen o velmi speciální případ, a místo PV= 2/3 U budeme psát pV= (y-l)U. (39.11) Koeficientem (y-1) násobíme U proto, protože v budoucností budeme pracovat s případy, kdy před £/nebudou 2/3, ale nějaké jiné číslo. Označení (y- 1) zvolíme proto, protože už téměř sto let používají takové označení fyzici. V našem případě, projednoatomovýplynjako například hélium, je y rovno 5/3, protože tehdy platí y - 1 = 2/3. Už jsme si všimli, že při sdačení plynu se koná práce - pdV. Sdačení, při němž se nedodává a neodvádí tepelná energie, se nazývá adiabatické sdačení. Slovo adiabatícký pochází z řečtiny: a (ne) + dia (přes) + bainein (jít). (To slovo se používá ve fyzice v různých významech a někdy je dost těžké říct, co mají společné.) Při adiabatíckém sdačení přechází všechna vynaložená práce na změnu vnitřní energie. Podstata tedy spočívá v tom, že nedochází k jiným ztrátám energie, a proto máme pdV= -dU. Platí-li však U= pV/(y- 1), můžeme psát dU= (pdV+ Vdp)/(y- 1). (39.12) Máme tedy pdV= - (pdV+ Vdp)/(y- 1) nebo po přeskupení členů ypdV= - Vdp, tedy (ydV/V) + (dp/p) = 0. (39.13) Předpokládáme-li, že yje konstanta, cožje v případech jednoatomových plynů naštěstí oprávněné, můžeme tuto rovnici integrovat a dostaneme yln V+ Inp=ln C, kde Cje integrační konstanta. Přejdeme-li k exponenciálám, dostaneme zákon pVr = C (konstanta). (39.14) 528 KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ rento zákon říká, že v adiabatických podmínkách, když se teplo neodvádí a teplota při sdačení ■zrůstá.je součin daku a 5/3 mocniny objemu pro jednoatomový plyn konstantní. Ačkoli jsme ento zákon odvodili teoreticky, experimenty potvrzují, že jednoatomové plyny se opravdu tak :hovají. J9j3 stlačitelnost záření Uvedeme ještě příklad z kinetické teorie plynů, který se v chemii často nepoužívá, ale setkáme e s ním v astronomii. Mějme v nádobě ohřáté na velmi vysokou teplotu velký počet fotonů. (Mu-í to být plyn nějaké velmi horké hvězdy. Slunce nemá z tohoto hlediska dost vysokou teplotu; e v něm příliš mnoho atomů. Hvězdy mají také mnoho atomů, ale kdyby šlo o velmi horkou ivězdu, bylo by možné atomy zanedbat a předpokládat, že máme pouze fotony.) Foton má irčitou hybnost/?. (V kinetické teorii máme vždy problém s označováním: p je dak, ale jbje íybnost; Vje objem, ale uje rychlost; 7je teplota, aleje to i kinetická energie nebo čas nebo noment síly a na to je třeba dávat pozor!) Nyní představuje symbol p vektorovou veličinu -íybnost. Analýzu provedeme stejně jako předtím. Za nárazy fotonů bude zodpovědná *ová ložka vektoru p a dvojnásobek vektoru p představuje hybnost odevzdanou při srážce. Místo 2 mvx máme tedy 2 px a při výpočtu počtu srážekje třeba dosadit tak j ako předtím vx. Takovým působem nakonec dostaneme jiné vyjádření vztahu (39.4) pro dak p = 2npxvx. (39.15) 'o zprůměrování dostaneme n-násobek střední hodnoty px vx (o koeficientu 2 jsme již mluvili) i uvážíme-li i další dva směry, dostaneme pV=N{p-v)/3. (39.16) ľo souhlasí se vztahem (39.9), neboť hybnostje rovna mv,je tojen trochu obecnější vztah. Součin laku a objemu je roven celkovému počtu atomů násobenému střední hodnotou z 1/3 [p • v). Čemu je rovno 1/3 (p • v) v případě fotonů? Hybnost a rychlost mají stejný směr a rychlost : rovna rychlosti svěda, takže jde o hybnost fotonu násobenou rychlostí svěda. Součin hybnosti . rychlosti svěda představuje u každého fotonu jeho energii: E= pc takže tyto výrazyjsou energie ednodivých fotonů a my musíme vzít střední hodnotu energie násobenou počtem fotonů. )ostaneme tak 1/3 vnitřní energie plynu p V= U/3 (fotonového plynu). (39.17) itojí-li před U faktor 1/3, bude v případě fotonů (y- 1) ze vztahu (39.11) rovno 1/3, takže *= 4/3, a proto musí záření v nádobě vyhovovat vztahu pV**-C. (39.18) Tak jsme se dozvěděli, jaká je sdačitelnost záření! Tento vztah se používá, když se zajímáme o ô, jak ve hvězdě přispívá záření k daku. Nyní vidíme, jak se tento příspěvek počítá a jak se mění )ři sdačení hvězdy. Jaké úžasné věci už dokážeme! 529 STLAČITELNOST ZÁŘENÍ • TEPLOTA A KINETICKÁ ENERGIE 39.4 TEPLOTA A KINETICKÁ ENERGIE Zatím jsme nepřišli do styku s teplotou; zcela úmyslně jsme se tomuto pojmu vyhýbali. Víme, že při sdačení plynu energie molekul vzroste a říkáme, že plyn se přitom ohřívá. Bude třeba vysvědit, jak to souvisí s teplotou. Zajímá nás, co je třeba dělat, aby proces neprobíhal adiabatic-ky, ale aby se uskutečnil při konstantní teplotě. Kdybychom k sobě přiložili dvě nádoby s plynem a ponechali je tak dostatečně dlouho, měly by obě nakonec stejnou teplotu, i když původně to, co nazýváme teplotou, bylo v nádobách různé. Co to znamená? To, že se dostaly do situace, v níž by se ocdy, kdyby byly dostatečně dlouho ponechány samy soběl Pod rovností teplot rozumíme právě to, že se dosáhl konečného stavu, kdyjsou už objekty dost dlouho ve vzájemné interakci. Všimněme si, co se stane, když máme dva plyny v nádobě rozdělené pohyblivým pístem (situaci znázorňuje obr. 39.2 a pro jednoduchost předpokládáme, že jde o jednoatomové plyny, například helium a neon). V části (1) mají atomy hmotnost m,, rychlost í>, a v objemové jednotce je jich n{ a v druhé částí mají atomy hmotnost w^, rychlost v2 a v objemové jednotce je jich n2. Jaké jsou podmínky rovnováhy? ♦ # * o o * o e 1 o o 1 2 Obr. 39.2 Atomydvourůmýchjednoatomovýchplynůoddělených pohyblivým pístem Je zřejmé, že nárazy zleva způsobují pohyb pístu doprava a sdačování druhého plynu, dokud nevzroste jeho dak a nenastane opačný pohyb pístu, a takový kyvadlový pohyb pístu neustane do té doby, dokud se nevyrovnají daky na obou stranách. Tak lze zařídit rovnost daků; znamená to, že vnitřní energie na jednotkový objem jsou si rovny nebo že součin čísla n a střední kinetické energie je na obou stranách stejný. My však chceme nakonec ukázat, že i samotné počty n{ a jsou stejné. Zatím však víme jen to, že součiny takových čísel a kinetických energií jsou stejné: M—)-">{—/• To vyplývá ze vztahu (39.8), neboť daky jsou stejné. Musíme si uvědomit, že to z dlouhodobého hlediska neníjediná podmínka, ale že musí probíhat i nějaký další, pomalejší proces, než se ustaví úplná rovnováha se stejnými teplotami. Abychom lépe pochopili oč jde, předpokládejme, že dak na levé straně je vyvolán velkou hustotou, ale malými rychlostmi atomů. Při velkém n a malém v můžeme dosáhnout stejného daku jako při malém n a velkém v. Atomy se mohou pohybovat pomalu a být víc nahuštěny nebo jich může být méně, ale mohou narážet na píst prudčeji. Zůstane to tak trvale? Na první pohled by se zdálo, že ano, ale když se vážně zamyslíme, zjistíme, že jsme zanedbali jednu velmi důležitou věc. Neuvědomili jsme si, že přehrazovací píst není vystaven trvalému daku, ale chvěje se tak jako ušní bubínek, o němž jsme již mluvili. K tomuto chvění dochází proto, že nárazy nejsou zcela pravidelné. Nemáme co dělat s konstantním dakem, ale s jakýmsi vytrvalým bubnováním - dak se neustále mění a proto píst poskakuje. Předpokládejme, že atomy na pravé straně narážejí na píst dosti pravidelně, ale atomy na levé straně, i kdyžje jich méně ajejich nárazyjsou 530 KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ řidčf, mají velkou energii. Proto dostane píst čas od času silný impulz zleva, pohne se proti pomalým atomům na pravé straně a zrychlí je. (Při srážce s pístem každý atom získá nebo ztratí energii podle toho, na kterou stranu se pohybuje píst při srážce s atomem.) V důsledku srážek tedy píst poskakuje a poskakuje a rozechvívá i ostatní plyn - tak odevzdává energiijiným atomům a jejich pohyb se zrychluje, dokud nenastane rovnováha. K určité rovnováze dojde tehdy, když se píst bude pohybovat takovou střední kvadratickou rychlostí, že bude stejně rychle odebírat energii atomům, jako jim odevzdávat. Píst tedy získává jakousi nepravidelnost rychlosti a myji musíme určit. Když se nám to podaří, budeme blíž k vyřešení problému, protože plyny budou měnit rychlosti svých atomů do té doby, dokud nenastane taková situace, že každý plyn bude prostřednictvím pístu získávat tolik energie, kolik ztrácí. Je velmi obtížné určit pohyb uvažovaného pístu ve všech jeho detailech. I když se tyto věci velmi snadno chápou, dost těžko se analyzují. Dřív, než se do takové analýzy pustíme, všimněme si jiného problému. Uvažujme nádobu s plynem, který je tvořen dvěma druhy molekul s hmotnostmi m1 a wíj, rychlostmi ^ a v2 atd. Proti předcházejícímu případu máme nyní mnohem těsnější kontakt dvou částí. Kdyby molekuly druhého druhu byly v klidu, netrvalo by to dlouho, protože by do nich narážely molekuly prvního druhu a udělily by jim rychlost. I kdyby se molekuly druhého druhu pohybovaly mnohem rychleji než molekuly prvního druhu, nebyl by tento stav trvalý a nakonec by tyto molekuly odevzdaly molekulám prvního druhu část své energie. Naší úlohou je najít pravidlo, které by určovalo relativní rychlosti tamolekul kových dvou plynů nacházejících se vjedné nádobě. I tato úloha je velmi obtížná, ale vyřešíme ji následujícím způsobem. Nejprve se budeme zabývatjedním částečným problémem (opětjde o případ, kdy dostaneme snadno zapamatovatelný výsledek, ale odvození si vyžaduje hodně důvtipu.) Předpokládejme, že se srazí dvě molekuly, které mají různé hmotnosti a že tuto srážku pozorujeme z těžiště těchto dvou molekul, abychom se vyhnuli komplikacím. Ze zákonů pružných srážek při zachování celkové hybnosti a energie už víme, že se molekuly mohou po srážkách pohybovat pouze tak, že každá si zachová velikost své původní rychlosti a změní se jen směr jejich pohybu. Takovou typickou srážku znázorňuje obrázek 39.3. Na chvíli předpokládejme, že pozorujeme všechny srážky v podmínkách, kdy těžiště je v klidu. Dále si představme, že se všechny molekuly pohybují zpočátku horizontálně. Po první srážce se samozřejmě některé z molekul odchýlí o určitý úhel. Jinými slovy, i když se původně všechny pohybovaly horizontálně, budou se později aspoň některé pohybovat vertikálně. Po dalších srážkách se opět změní směr jejich pohybu a budou se pohybovat pod jiným úhlem. I kdyby zpočátku byly dokonale organizovány, rozletí se do různých směrů a tak to půjde dále. Ptáme se k čemu to nakonec povede. Odpověď je taková: Každá dvojice atomů se bude se stejnou pravděpodobností pohybovat v každém směru prostoru. Pak už další srážky nemohou změnit rozdělení molekul. Obr. 39.3 Srážka dvou různých molekul v těžišťové vztažné soustavě Co máme rozumět tím, že v každém směru se budou molekuly pohybovat se stejnou pravděpodobností? Nemůžeme samozřejmě mluvit o pravděpodobnosti pohybu v určitém směru, neboť 531 STLAČITELNOST ZÁŘENÍ ♦ TEPLOTA A KINETICKÁ ENERGIE směrje něco velmi úzkého a my musíme vztahovat pravděpodobnost k jednotce „něčeho". Naši myšlenku však můžeme vyjádřit tak, že danou částí kulové plochy, která má střed v bodě srážky, prochází stejné množství molekuljako kteroukolivjinou stejně velkou částí této plochy. Výsledek srážek je pak takové rozdělení molekul podle směrů, při kterém stejným částem kulové plochy odpovídá stejná pravděpodobnost. Mimochodem, kdybychom porovnávali původní směr se směrem odkloněným o úhel ů, přišli bychom na zajímavou vlastnost: elementární ploška na kouli sjednotkovým poloměremje rovna 271-násobku výrazu sin &á&, ale to je stejný výraz jako diferenciál cos Ä To znamená, že kosinus úhlu ířmezi dvěma směry se stejnou pravděpodobností nabývá libovolné hodnoty z intervalu od -1 do +1. Nyní musíme věnovat pozornost té skutečností, že srážky neprobíhají v těžišťové soustavě, ale atomy mají před srážkou rychlostí », a »2. Srážku s takovými rychlostmi můžeme pak analyzovat následujícím způsobem. Těžiště soustavy dvou atomů se pohybuje „střední" rychlostí s váhami úměrnými hmotnostem, takže pro rychlost těžiště »T platí: »T = (m,», + »2) / (m, + . Pozoru-jeme-li srážku v těžišťové soustavě, vypadá tak, jako na obr. 39.3, kdy se atomy srážejí určitou relativní rychlostí w. Tou relativní rychlostí je právě o, - »2. Situace je pak taková, že soustava spojená s těžištěm se pohybuje a v této soustavě se molekuly přibližují relativní rychlostí w, srazí se a pohybují se v nových směrech. Zatímco se to odehrává, těžiště se pohybuje nerušeně dál. Jaké je rozdělení molekul, jež získáme takovým způsobem? Argumenty, které jsme uvedli, vedou k závěru: V rovnováze jsou stejné pravdepodobné všechny směry w vzhledem ke směru pohybu těžiště.^ Mezi směrem relativní rychlostí a směrem pohybu těžiště nebude nakonec žádná korelace. I kdyby byla, srážky byji narušovaly, takže by vymizela. Proto je stř ední hodnota kosinu úhlu mezi w a »T rovna nule. Platí tedy , rovna střední hodnotě »2. To ale znamená, že střední kinetické energie obou molekul musí být stejné Taková argumentace, kterou kdysi použil Maxwell, má hlubší pozadí. I když je závěr správný, bezprostředně nevyplývá z úvah o symetrii, o které jsme se předtím opírali. Při přechodu ke vztažná soustavě pohybující se plynem by mohlo dojít k narušení rozdělení rychlostí. Jednoduchý důkaz našeho výsledku se nám nepodařilo najít. 532 KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ Kdyby se plyn skládal ze dvou druhů atomů, bylo by možné ukázat (předpokládáme, že se nám to podařilo ukázat), že střední hodnota kinetické energie jednoho druhu atomů je stejná jako střední hodnota kinetické energie druhého druhu atomů, pokud se oba druhy atomů nacházejí vjedné nádobě a jsou v rovnováze. To znamená, že těžší atomy se pohybují pomaleji než lehčí. Snadno se o tom můžeme přesvědčit pomocí experimentu s „atomy" různých hmotností na vzduchové dráze. Dále se budeme zajímat o dva různé plyny oddilenév nádobě a ukážeme, že i takové plyny mají po dosažení rovnováhy stejné střední hodnoty kinetické energie, a to i tehdy, když nejsou v téže části nádoby. Důkaz můžeme provést různými způsoby. Jeden ze způsobů předpokládá pevnou přihrádku mezi plyny, v nížje tak nepatrný otvor (obr. 39.4), že jím jeden plyn může procházet, ale druhý ne, protože má příliš velké molekuly. Nastane-li rovnováha, pak se v té části, kde je směs molekul, střední hodnoty energie molekul obou druhů vyrovnají. Menší molekuly však procházejí otvorem beze ztráty kinetické energie, takže střední hodnoty kinetické energie v čistém plynu a směsi musí být stejné. Tento důkaz není dost uspokojivý, neboť takový druh otvoru separující jednotlivé druhy molekul nemusí existovat Obr.39.4 Dvaplynyvnádoběspolopropustaoumembránou Vraťme se proto k naší úloze s pístem. Můžeme ukázat, že kinetická energie pístu musí být také rovna 1/2 m2v2 .~Ve skutečnosti jde o kinetickou energii čistě horizontálního pohybu pístu, a proto, když odhlédneme odjeho vertikálního pohybu, dostaneme vlastně 1/2 m2v2 .Budeme-li vycházet z rovnováhy na druhé straně, můžeme stejným způsobem dokázat, že kinetická energie pístu je rovna 1/2 m, p. .1 když píst není uprostřed plynu, ale na jedné jeho straně, můžeme opět tvrdit, že střední kinetická energie pístu a molekul plynu jsou v důsledku srážek stejné, i když takový důkaz je trochu obtížnější. Kdyby nás ani takový postup neuspokojil, můžeme si vymyslet příklad, v němž by se zabezpečovala rovnováha zařízením, na které naráží molekuly každého plynu ze všech stran. Předpokládejme, že máme krátkou tyč, která prochází pístem a na každém konci má kouli. Tato tyč se může pohybovat ložiskem v pístu bez tření. Každá z koulí je vlastně jakoby velká molekula a molekuly plynu na ni mohou narážet ze všech stran. Celý takový objekt má určitou hmotnost m a opět máme molekuly plynu s hmotnostmi m,, . Stejnou analýzou srážek jako dříve bychom zjistili, že kinetická energie objektu s hmotností wimusí být v důsledku nárazů molekul z jedné strany v průměru rovna 1/2 ml p, . Podobně v důsledku srážek s molekulami na druhé straně musí být střední kinetická energie rovnat 1/2 . Obě strany proto musí mít stejnou kinetickou energii, jsou-li v tepelné rovnováze. Výsledek získaný v případě směsi plynů lze takovým způsobem zobecnit na případ dvou různých, oddělených plynů při stejné teplotě. Máme-li tedy dva plyny se stejnou teplotou, budou střední kinetické energie molekul těchto plynů v teziiíové soustavě stejné. Střední kinetická energie molekul je vlastností pouze „teploty". Protože závisí na „teplotě", a ne na samotném plynu, můžeme ji využít k definování teploty. Střední kinetická energie molekuly je tedy určitou funkcí teploty. Jakou stupnici však máme použít k určování teploty? Mohli bychom svévolně definovat teplotní stupnici tak, aby střední energie byla přímo úměrná teplotě. Nejlépe by bylo udělat to tak, že bychom samotnou stř ední energii nazvali „teplotou". 533 ZÁKON IDEÁLNÍHO PLYNU To by byla nejjednodušší funkce. Bohužel teplotní stupnice byla zvolena jinak a místo toho, abychom střední energii nazvali přímo teplotou, používáme konstantní koeficient, který dává do souvislostí střední energii molekuly a stupeň absolutní teploty, který nazýváme kelvin. Konstanta úměrnosti je k = 1,38 • 10"23 joulu na kelvin. 48> Při absolutní teplotě Tje střední kinetická energie molekuly rovna 3/2 kT. (Koeficient 3/2jsmezavedlijen z praktických důvodů, abychom se zbavili číselných koeficientů vjiných vztazích.) Je třeba poznamenat, že kinetická energie připadající na jednu složku pohybu v kterémkoliv směruje rovna jen 1/2 kT. Tři nezávislé směry pohybu vedou k hodnotě 3/2 kT. 39.5 ZÁKON IDEÁLNÍHO PLYNU Nyní můžeme aplikovat naši definici teploty v rovnici (39.9) a tak najít zákon závislosti daku plynu na teplotě, který zní: Součin daku a objemu je roven součinu celkového počtu atomů, univerzální konstanty k a teploty T pV= NkT (39.22) Navíc při daných hodnotách teploty, daku a objemu je počet atomů přesně určen a také představuje univerzální konstantul Stejné objemy různých plynů proto mají při stejném daku a stejné teplotě stejný počet molekul a to je důsledek Newtonových zákonů. Je to opravdu překvapující důsledek! V praxi, když máme pracovat s molekulami, musíme používat velmi velká čísla, a proto chemici vybrali jedno velmi velké číslo a dali mu speciální název, a to mol Molem je tedy třeba chápat určité praktické číslo. Zůstává historickou otázkou, proč nevybrali kulaté číslo např. 1024. Za počet objektů, který slouží jako standard, bylo vybráno číslo NQ = 6,02 • 1023, a toto číslo dostalo název mol. Místo měření počtu molekul v jednotkách se měří tento počet v molech.49) Pomocí NQ můžeme vyjádřit počet molů, násobit ho počtem atomů v molu a dále násobit veličinou kT. Počet atomů v molu násobený veličinou A je vlastně molární hodnota k a používá se pro ni speciální označení R Molární hodnota Aje rovna 8,317 joulu: R = NQ k = 8.317J • mol"' • K"'. Zákon ideálního plynu tedy můžeme zapsat ve tvaru obsahujícím součin počtu molů (označujeme ho také písmenem AQ50> a veličiny AT nebo součin počtu atomů a veličiny kT. pV= NRT. (39.23) Je to stejný zákon, ale vyjádřený v jiných jednotkách. My používáme jako jednotku číslo 1, ale chemici číslo 6- 1023. Ještě se zmíníme o zákonu ideálního plynu v případě, kdy máme co dělat s objekty, jež jsou odlišné od jednoatomových molekul. Do této dobyjsme se zabývali pohybem atomůjednoato- 48) Celsiova stupnice je vlastně Kelvinova stupnice, v níž považujeme za nulu 273,15 stupně, takže platí: T = 273,15 + Celsiova teplota. 49) To, co chemici nazvali molekulární váhou, je vlastně hmotnost molu molekul v gramech. Mol je definován tak, že hmotnost molu atomů izotopu uhlíku 12 (jeho jádra se skládají ze 6 protonů a 6 neutronů) je rovna pře$ně 12 gramů. 50) V češtině se tento základní zákon nazývá stavová rovnice Ideálního plynu a zapisuje se ve tvaru pV * nRT, kde počet molů (látkově množství) je označeno písmenem n. (Pozn. red.) 534 ' KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ mového plynu v soustavě spojené s těžištěm. Ptáme se, co se stane, když se přidají i síly. Nejprve si všimneme případu, kdyje píst udržován horizontální pružinou, takže na něj působí síly. Pohyb vyvolávající nárazy mezi atomy a pístem nezávisí v žádném časovém okamžiku na tom, kde se právě píst nachází. Rovnovážné podmínky zůstávají stejné. Rychlost pohybu pístu bude nezávisle na jeho poloze právě taková, aby předával molekulám energii jako dříve. Nezáleží tedy na pružině. Rychlost, s níž se musí pohybovat píst, je v průměru stejná. Naše poučka, že střední hodnota kinetické energie vjednom směruje rovna 1/2 kT, zůstává v platnosti bez ohledu na to, zda působí á nepůsobí síly. Uvažujme jako příklad dvouatomovou molekulu složenou z atomů o hmotnostech mA a mB. Dokázali jsme, že pohyb částí A a B v těžišťové soustavě je takový, že (l/2/n^) =(l/2mBvl) = 3/2 k T. Jak je to ale možné, když jsou tyto čásd vzájemně spojeny? I když jsou spojeny, výměna energie při vzájemné rotaci a vibraci, při srážkách s jinými molekulami závisí pouze na tom, jak rychle se pohybují. Právě to určuje rychlost výměny energie při srážkách. V daném časovém okamžiku není síla rozhodující. Proto platí stejný princip i tehdy, působí-li síly. Nakonec bychom měli dokázat, že zákon ideálního plynuje správný i tehdy, zanedbáme-li vnitřní pohyb molekul. Do této doby jsme vlastně s vnitřním pohybem nepočítali, protože jsme zkoumali jednoatomový plyn. Nyní však ukážeme, že rychlost těžiště libovolného objektu, který můžeme považovat za těleso o hmotnosti M, je taková, že platí ±Mv\-lkT. (39.24) Jinak řečeno, můžeme sledovat buďjednodivé částí nebo těleso jako celek! Podívejme se, proč tomu tak je: Hmotnost dvouatomové molekuly je M= mA + mg a pro rychlost těžiště vT platí vr = (mA vA + nigV^/M. Potřebujeme znát (uf). Umocníme-li vT, dostaneme 2_m2Av2A+2mA mBvAvB * ml v\ Vt = M2 Násobíme-li tento výraz veličinou -i M a najdeme střední hodnotu, dostaneme 3 3 m. —kT+2 m.mB(v + ma—kT 0 / v lMv2- 2 2 - 3 kT- 2m*m*iV*'V*> 2 T M 2 M (Využili jsme skutečnost, že (mA + rn^/M = 1.) Čemuje rovna (»A • »^? (Nejlepší by bylo, kdyby byla rovna 0!) Abychom to zjistili, použijeme náš předpoklad, že relativní rychlost w = vA - vB má v každém směru stejnou pravděpodobnost, takže střední hodnota její složky do kterékoliv směru je rovna nule. Budeme tedy předpokládat, že (w vT) = 0. 535 zákon ideálního plynu Co však představuje to • vT? Je to (*A ~ Vl) * lmAVA + mBVä mAVA + (mB ~ MJ iV A ' Vj) ~ mBVl m • v _ =-=-, T M M 2 2 Protože (mA vA> =(mgvB), vyruší se ve střední hodnotě první a poslední člen a zůstane nám {mB-mA)(vA-vB)=0. Je-li mg* mA, bude (vA • vB) = 0, a proto pohyb celé molekuly jako tělesa o hmotností M má kinetickou energii, v průměru rovnou 3/2 kT. Současně jsme ukázali, že střední kinetická energie vntírníAopohybu dvouatomové molekuly, neuvažujeme-li pohyb těžiště, je rovna 3/2 kT. Vždyť celková kinetická energie částí molekuly je 1/2 mAv2A + 1/2 mBv2B a její střední hodnota je rovna 3/2*7+ 3/2*7, tedy 3kT. Kinetická energie pohybu těžištěje rovna 3/2 kT,a proto stř ední kinetická energie rotačního a vibračního pohybu dvou atomů v molekule, kterou dostaneme z rozdílu těchto energií, musí být rovna 3/2 kT. Věta o střední energii pohybu těžiště má obecný charakter: V případě libovolného objektu, který zkoumáme jako celek v přítomnosti nebo nepřítomnosti sil, je střední kinetická energie každého nezávislého pohybu rovna 1/2 k T. Takové „nezávislé směry pohybu" nazýváme stupni volnosti systému. Počet stupňů volnosti molekuly složené z r atomů je roven 3r, neboť k určení polohy každého atomu potřebujeme tři souřadnice. Celkovou kinetickou energii molekuly lze vyjádřit buď jako součet kinetických energií jednotlivých atomů nebo jako součet kinetické energie pohybu těžiště a kinetické energie vnitřního pohybu. Vnitřní pohyb je někdy možné vyjádřit jako součet rotační a vibrační energie molekuly, ale takové vyjádření je jen určitou aproximací. Aplikujeme-li naše tvrzení na r-atomovou molekulu, zjistíme, že molekula má v průměru 3rkT/2 joulů kinetické energie, z čeho 3/2 ATjoulů připadá na kinetickou energii těžiště celé molekuly a zbytek, ti. 3/2 (r - 1) £7* joulů, připadá na vnitřní vibrační a rotační kinetickou energii. 536 39.1 ■ Lze ukázat, že při adiabatickém stlačení ideálního plynu platí vztah pl/"=konst (viz rovnici 34.14). Na druhé straně, za všech podmínek platípV/r=konst. Použitím těchto údajů najděte vztahy mezi parametry p a T nebo V a T pro případ adlabatického stlačení. 39.2 ■ Pomocí dvoutaktní hustilky, jež se používá při nahušťování pneumatik u bicyklů lze dosáhnout tlaku 3,5 atmosféry, jestliže výchozí tlak byl normální (1 atmosféra při 20° C neboli 293 K). Jaká je teplota vzduchu vycházejícího z hustilky ve stupních Celsia, platí-li pro vzduch y=1,40? Zanedbejte tepelné ztráty stěnami hustilky. 39.3 ■ Mějme dvě identické, tepelně izolované nádoby. Každá z nádob je napůl přehrazena přepážkou s uzavíratelným otvorem. V jedné polovině každé nádoby je plynné hélium, druhá polovina je odčerpána do úplného vakua. Uvažte dva pokusy: a) Otvor v přepážce jedné nádoby se otevírá a plyn přechází do druhé poloviny nádoby, dokud se neustaví rovnováha. Pak se přepážka začne pomalu přemisťovat k jednomu kraji nádoby. b) Přepážku druhé nádoby pomalu přemístíme k okraji té části, v níž je vakuum. Porovnejte výsledný stav plynu v těchto dvou nádobách. Tření při přemisťování přepážek zanedbejte. 39.4 ■ a) Představte si vysoký svislý válec naplněný plynem nebo kapalinou, jejichž hustota se mění s výškou. Ukažte, že v takovém případě je závislost tlaku na výšce popsána diferenciální rovnicí ůpláh=-g(h) g. b) Řešte tuto rovnici pro případ atmosférického vzduchu (jeho molární hmotnost je //) za předpokladu, že jeho teplota na výšce nezávisí. 39.5 ■ Atmosféra se nazývá adiabatickou, platí-li v ní pro tlak a hustotu v závislosti na výšce vztah pp'^konst. a) Ukažte, že teplota takové atmosféry klesá s výškou lineárně a najděte koeficient úměrnosti. Takový gradient teploty se nazývá adiabatický. Najděte gradient teploty pro zemskou atmosféru. b) Na základě energetických úvah dokažte, že atmosféra, jejíž teplotní gradient je menší nebo větší než adiabatický, bude stabilní, resp. nestabilní vůči konvekci. 39.6 ■ Válec s hladkou, dokonale nepropustnou přepážkou obsahuje jeden krychlový metr plynu při tlaku jedné atmosféry. Plyn budeme pomalu stlačovat při stálé teploto až na konečný objem 0,4 m3. Jakou práci přitom vykonáme? 39.7 ■ Dva plyny, A a B, jež původně zaujímaly týž objem V0 při témž počátečním tlaku P0 se začnou náhle adiabatický stlačovat, každý na polovinu původního objemu. Jaký bude konečný tlak každého plynu ve srovnání s počátečním tlakem, je-li první plyn je jednoatomový (yA=5/3) a druhý dvouatomový (yB=7/5)? 39.8 ■ Najděte poměr prací potřebných ke stlačení plynů v úloze 39.7. počáteční stav konečný stav 537 39.9 M Dvě kulové nádoby o objemech 200 cm 3 a 100 cm 3 jsou spojeny krátkou f ^ trubicí (viz obrázek), v níž se nachází izolovaná pórovitá přepážka. Ta f twd J vyrovnává tlaky v nádobách, ale ne teploty. Soustava má teplotu ^—^ t=27°C a obsahuje kyslík pod atmosférickým tlakem. Malou kouli umístíme do nádoby s ledem při 0°C a velkou kouli do nádoby s párou při 100°C. Jaký se v soustavo ustaví tlak? Zanedbejte teplotní dilataci nádob. 39.10 ■ Kontejner o objemu 501 je spojen s jiným kontejnerem o objemu 151 pomocí krátké trubice, v níž je umístěn speciální tlakový ventil. Ten umožňuje plynu pronikat z velkého kontejneru do malého při přetlaku 116 kPa. Za teploty f = 17°C velký kontejner obsahuje plyn při atmosférickém tlaku a malý kontejner je úplně evakuován. Jaký v něm bude tlak, zahřejeme-li oba kontejnery na teplotu 162°C? 39.11 ■ Dimer oxidu dusičitého N204 může disociovat na oxid dusičitý podle rovnice N204 » 2N02. Do evakuované nádobky o objemu 250 cm3 zavedeme 0,90 g tekutého N204. Když se kapalina vypaří při 0°C, tlak v nádobce bude roven atmosférickému. Kolik procent N204 se přitom disociovalo? 39.12 ■ V izolované nádobě s posuvným víkem je na počátku 1 mol ideálního jednoatomového plynu, který zaujímá objem V, při tlaku p, a teplotě 7"1=27°C. Potom plyn pomalu zahříváme pomocí ohřívače umístěného uvnitř nádoby a vykonáme práci 8,31 W. h. Plyn se přitom bude rozpínat za stálého tlaku p, a dosáhne teploty 7"2 a zaujme objem V2. Vypočítejte práci, kterou plyn při rozpínání vykonal a energetický obsah plynu. Určete také a) T2, b) V2I V,. 538 F^rincipy statistické _mechaniky_ 40.1 EXPONENCIÁLNÍ ATMOSFÉRA 40.2 BOLTZMANNŮV ZÁKON 40.3 VYPAŘOVÁNÍ KAPALINY 40.4 ROZDĚLENÍ MOLEKUL PODLE RYCHLOSTI 40.5 MĚRNÁ TEPELNÁ KAPACITA PLYNŮ 40.6 SELHÁNÍ KLASICKÉ FYZIKY EXPONENCIÁLNÍ ATMOSFÉRA Už jsme mluvili o některých vlastnostech velkého počtu srážejících se atomů. Tímto předmětem se zabývá kinetická teorie. Je to vlastně popis vlastností látek z hlediska srážek mezi atomy. Tvrdíme, že vlastnosti látky jako celku lze vysvědit na základě pohybu jeho jednodivých částí. Zatím se omezíme na podmínky tepelné rovnováhy, budeme tedy zkoumat pouze určitou skupinu přírodních jevů. Zákony mechaniky aplikovatelné v podmínkách tepelné rovnováhy nazýváme statistickou mechanikou^, v této části se seznámíme s některými základními teorémy této vědní disciplíny. S jedním z poznatků statistické mechaniky jsme se již setkali. Bylo to tvrzení, že na každý nezávislý pohyb, tj. na každý stupeň volnosti, připadá v případě libovolného pohybu při absolutní teplotě 7" střední hodnota kinetické energie, která je rovna 1/2 k T. Tak se dozvídáme něco o střední kvadratické rychlosti atomů. Nyní se ještě musíme dozvědět něco víc o polohách atomů, abychom uměli říci, kolik se jich nachází na tom nebo onom místě v podmínkách tepelné rovnováhy a musíme se podrobněji zabývat rozdělením atomů podle rychlostí. Je sice pravda, že známe střední kvadratickou rychlost, ale neumíme odpovědět na otázku, kolik atomů se pohybuje rychlostí, ježje trojnásobkem střední kvadratické rychlosti nebo rychlostí, kteráje čtvrtinou stř ední kvadratické rychlosti. Nebo snad mají všechny atomy stejnou rychlost? Máme tedy dvě otázky, na něž se budeme snažit odpovědět: Jak se seskupí v prostoru molekuly, když na ně působí síly a jaké je jejich rozdělení podle rychlostí? 539 EXPONENCIÁLNÍ ATMOSFÉRA Ukazuje se, že tyto dvě otázky jsou zcela nezávislé a rozdělení podle rychlostí je vždy stejné. Jistý náznak této druhé skutečnosti jsme poznali tehdy, když jsme zjistili, že střední kinetická energie připadající na každý stupeň volnosti je rovna 1/2 kT bez ohledu na to, jaké síly působí na molekuly. Rozdělení podle rychlostí molekul nezávisí na silách, neboť síly neovlivňují frekvenci srážek. Začněme s příkladem rozdělení molekul v takové atmosféře, jakou je naše, ale za bezvětří a bez jiných poruch. Předpokládejme, že máme sloupec vzduchu plynu sahající do velké výšky a ten se nachází v tepelné rovnováze. Tím se Uší od naší atmosféry, protože taje ve větších výškách chladnější. Poznamenejme, že nerovnovážnost situace při rozdílnosti teplot v různých výškách je možné demonstrovat propojením tyčí, jež by se na horním i dolním konci dotýkala kuliček (obr. 40.1). Spodní kuličky by od molekul plynu získaly energii 1/2 & Ta prostřednictvím tyče by rozkmitaly kuličky nahoře a ty zase molekuly plynu v horní části. Takovým způsobem by se nakonec ustálila teplota a byla by v gravitačním poli v každé výšce stejná. Obr. 40.1 Tlak ve výšce h musí převyšovat tlak ve výšce h+dho tíhu plynu nacházejícího se v takto ohraničené vrstvě Naším úkolem je zjistit, podle jakého zákona by řídla atmosféra s rostoucí výškou, kdyby teplota ve všech výškách byla stejná. Je-li TVcelkový počet molekul plynu v objemu Vpři daku p, pak musí platit pV=NkT, tedy p = nkT, kde n = N/Vje počet molekul v jednotkovém objemu. Jinak řečeno, známe-li počet molekul vjednotkovém obj emu, známe dak a naopak. Tyto veličiny jsou navzájem úměrné, protože teplotaje v tomto případě konstantní. Tlak však konstantní není, ten musí s poklesem výšky vzrůstat, neboť vlastně musí takříkajíc držet tíhu všeho plynu nad ním. V tom spočívá klíč k určení závislosti změny daku s výškou. Uvažujeme-li jednotkovou plochu ve výšce h, pak vertikální síla, která na tuto jednotkovou plochu působí zespoda, představuje dak p. Kdyby nebyla gravitace, musela by být vertikální síla působící směrem dolů na jednotkovou plochu ve výšce h + dh stejná. Jenže síla působící zdola musí převýšit sílu působící shora právě o tíhu plynu ve vrstvě mezi ha. h+ dh. Víme, že na každou molekulu působí gravitační síla o velikosti mg, přičemž gje gravitační zrychlení. Dále víme, že n dAje celkový počet molekul v uvažované vrstvě. To nám umožňuje sestavit diferenciální rovnici pktik -ph = d^ = - mgndh. Protože p = nkT, přičemž 7je konstanta, můžeme vyloučit/mebo n. Vyloučíme-li dak P, získáme rovnici 540 PRINCIPY STATISTICKÉ MECHANIKY dn = mg dh" kT ' a tato diferenciální rovnice nám řekne, jak se zmenšuje hustota s rostoucí výškou. Tak jsme získali rovnici pro hustotu částic n, která se mění s výškou, a to tak, že derivace této hustotyje úměrná samotné hustotě. Víme však, že funkce s takovou vlastností je exponenciála, takže řešení uvedené diferenciální rovnice má tvar n = nQem*k/kT. (40.1) Integrační konstanta Mq je zřejmě hustota ve výšce A = 0 (tu však můžeme zvolit libovolně) a hustota s výškou exponenciálně klesá. VÝŠKA [km] Obr. 40.2 Normovaná hustota jako funkce výšky v gravitačním poli Země - pro kyslík a vodík při konstantní teplotě Všimněte si, že v případě různých druhů molekul s různými hmotnostmi jsou tyto exponen-ciály různé. Hustota těžších molekul bude s výškou klesat rychleji než hustota lehčích molekul. Proto by bylo možné očekávat, že kyslík, který j e těžší než dusík, bude v atmosféře ubývat s rostoucí výškou rychleji než dusík a relativní podíl dusíku vzhledem ke kyslíku poroste. V přiměřených výškách naší atmosféry se to však nestává, neboť různé poruchy a pohyby opět promíchávají tyto plyny. Naše atmosféra není izotermická. Ve velmi velkých výškách však přece jen v atmosféře převládají lehčí plyny, jako je např. vodík, protože molekuly lehkých plynů se mohou vyskytovat i tam, kde ostatní exponenciály klesly k nule (obr. 40.2). 541 BOLTZMANNŮV ZÁKON BOLTZMANNŮV ZÁKON Nyní si všimněme zajímavé skutečnosti, že čitatel v exponentu rovnice (40.1) představuje potenciální energii atomu. Proto můžeme tento zákon formulovat i takto: Hustota v libovolném bodě je úměrná g - (potenciální energie atomu /kT) Mohla by to být náhoda, tj. mohlo by to platitjen v našem speciálním případě homogenního gravitačního pole. Můžeme však ukázat, že tento zákon má obecnější platnost. Předpokládejme, že na molekuly plynu působí nějaká jiná síla než gravitace. Molekuly mohou být například elektricky nabité a může na ně působit elektrické pole nebo jiný náboj, který je přitahuje. I v důsledku vzájemného přitahování atomů nebo přitahování atomů stěnami nádoby, nějakou tuhou látkou nebo čímkoliv jiným může vzniknout přitažlivá síla, která závisí na poloze a která působí na všechny molekuly. Pro jednoduchost předpokládejme, že molekulyjsou stejné a síla působí na každou j ednodivou molekulu, takže celková síla působící na libovolnou část plynu bude prostě součin počtu molekul a síly působící na jednu molekulu. Abychom se vyhnuli zbytečným komplikacím, zvolme souřadnicovou soustavu tak, aby osa x ležela ve směru síly F. Budeme-li v plynu podobně jako v předcházející částí uvažovat dvě rovnoběžné roviny vzdálené o dx, pak síla působící na každý atom násobená počtem atomů n v cm 3 (zobecnění dříve uvažovaného výrazu nmg) a násobená dx. musí být kompenzována dakovou změnou: Fn dx=áp= kTdn. Tomuto zákonu můžeme dát i jiný tvar, který nám bude užitečný později: F=kl4-(^n). (40.2) dx Zatím si uvědomte, že - Fdxje práce potřebná k přemístění molekuly z x do x + dx, a je-li síla ^konzervativní, tj. práci můžeme vyjádřit jako rozdíl potenciální energie, pak půjde o změnu potenciální energie (PE). Záporný diferenciál potenciální energie je vykonaná práce Fdx, a proto d(ln n) = - d(PE)/Wa po integrování n = (konst) e"PE/*r. (40.3) Ukazuje se tedy, že to, co jsme zjistili ve speciálním případě, má obecnou platnost. (Co by se stalo tehdy, kdyby Fnebyla konzervativní? Pak by rovnice (40.2) vůbec neměla řešení. V takovém případě by nenastala rovnováha, neboť energie by přibývala nebo ubývala, jak by se atomy pohybovaly po uzavřených křivkách, pro něž není celková práce nulová. Tepelná rovnováha nemůže nastat, nejsou-li vnější síly působící na atomy konzervativní.) Rovnice (40.3), známájako BoUzmannůvzákon,]e dalším z principů statistické mechaniky. Říká, že pravděpodobnost nalezení molekuly v dané prostorové konfiguraci se mění exponenciálně se zápornou potenciální energií této konfigurace dělenou kT. Tak se dozvídáme o rozdělení molekul: Předpokládejme, že v kapalině máme kladný ion, který přitahuje záporné ionty z okolí. Ptáme se, kolik jich bude v různých vzdálenostech od tohoto kladného iontu. Víme-li, jak se mění se vzdáleností potenciální energie, pak poměr počtu iontů v různých vzdálenostechje určen právě tímto zákonem. Aplikací tohoto zákonaje opravdu mnoho. 542 PRINCIPY STATISTICKÉ MECHANIKY 40.3 VYPAŘOVÁNÍ KAPALINY K složitějším úlohám, které se řeší ve statistické mechanice, patří následující důležitý problém. Uvažujme soubor molekul, jež se vzájemně přitahují a předpokládejme, že síla mezi libovolnými molekulami, např. ta;', závisí pouze na vzdáleností r.. mezi nimi a lze vyjádřitjako derivaci potenciálové funkce V[r.). Na obr. 40.3je znázorněno, jaký tvar může mít taková funkce. Pro r> rQ energie klesá s přibližováním se molekul, proto se molekuly přitahují. Když se molekuly příliš přiblíží, energie rychle roste a tehdy dochází k jejich silnému odpuzování. Takové je chování molekul v hrubých rysech. VW \ A \ —■ r Obr. 40.3 Graf závislosti potenciální energie dvou molekul najejich vzdálenosti Nyní předpokládejme, že máme nádobu plnou takových molekul a zajímáme se o to, jak se v průměru uspořádají. Odpověď na tuto otázku dává výraz exp{-pE/kT). Předpokládáme-li, že síly jsou párové (ve složitých problémech se mohou vyskytnout i trojčástícové síly, ale např. elektrické síly jsou párové), pak bude celková potenciální energie součtem přes všechny páry. Proto bude pravděpodobnost toho, že molekuly vytvářejí konfiguraci s určitými kombinacemi vzdáleností r.., úměrná y exp IkT Kdyby teplota byla velmi vysoká, takže k T» | F(rQ) |, byl by exponent téměř všude relativně malý a pravděpodobnost výskytu molekuly by téměř nezávisela na poloze molekuly. Všimněme si případu dvou molekul: v takovém případě bude exp (-pE/kT) udávat pravděpodobnost toho, že se nacházejí ve vzájemné vzdáleností r. Je jasné, že pravděpodobnost j e největší tam, kde má potenciál největší zápornou hodnotu a je téměř nulová tam, kde se potenciál blíží k nekonečnu, to se stává při velmi malých vzdálenostech. To ukazuje, že atomy v plynu se nemohou dostat těsně k sobě, protože se silně odpuzují. Vztahujeme-li pravděpodobnost na jednotkový objem, můžeme prohlásit, že největší pravděpodobnost nalezení molekulyje v bodě rQ. Do jaké míry je větší proti ostatním místům, závisí na teplotě. Je-li teplota velmi malá ve srovnání s rozdílem energií mezi r = r„ a r = °°, je exponenciála téměř vždy blízká jedné. V takovém případě, když střední kinetická energie (řádově kT) značně převyšuje potenciální energii, nezáleží příliš na silách. S poklesem teploty však pravděpodobnost nalezení molekul ve vzdáleností rQ postupně roste ve srovnání s pravděpodobnostmi jejich výskytu najiných místech, aje-li ÄTmnohem menší než | V(rJ \, bude v okolí rQ poměrně velký kladný exponent. Jinak řečeno: V daném objemu budou molekuly s mnohem větší pravděpodobností ve vzdálenosti odpovídající minimu energie než daleko od této vzdálenosti. Při poklesu teploty se atomy přibližují, shlukují se a vytvářejí kapaliny, tuhé látky a molekuly a při zahřátí se vypařují. 543 VYPAŘOVÁNÍ KAPALINY ♦ ROZDĚLENÍ MOLEKUL PODLE RYCHLOSTI Kdybychom chtěli přesně určit, jak se látky vypařují, co se skutečně děje v daných podmínkách, museli bychom postupovat následujícím způsobem. Nejprve bychom museli přesně znát zákon molekulárních sil V(r), a to z kvantové mechaniky nebo např. z experimentu. Kdybychom znali zákon mezimolekulárních sil, stačilo by nám jen analyzovat funkci exp (- £ Vy/ki), abychom zjistili, jak se bude chovat miliarda molekul. Je až překvapující, že přes velkou jednoduchost této funkce i celé myšlenky a po nalezení potenciálu nás čeká ohromně složitá úloha a ta složitost spočívá v příliš velkém počtu proměnných. Přes tyto těžkostí je to vzrušující a zajímavá úloha. Často se uvádí jako příklad „úlohy mnoha částic" a jde skutečně o zajímavý problém. V jediném vztahu popisujícím tuto úlohu musí být zahrnuty např. všechny podrobností o přechodu plynu v tuhou látku nebo o krystalických formách, jichž taková tuhá látka může nabýt. Mnozí se pokoušeli takový vztah získat, ale matematické těžkostí jsou příliš velké, přičemž těžkost nespočívá v zápisu tohoto zákona, ale v práci s velkým počtem proměnných. A to j e vše, co se týká rozdělení částic v prostoru. Je to prakticky konec klasické statistické mechaniky, protože když známe síly, můžeme v principu najít prostorové rozdělení a rozdělení podle rychlostíje něco, co získáme jednou provždy a co se nemění od případu k případu. Nej-větší problém spočívá v získání konkrétní informace z našeho formálního řešení, a to je hlavním předmětem klasické statistické mechaniky. 40.4 ROZDĚLENÍ MOLEKUL PODLE RYCHLOSTI Nyní se budeme věnovat úvahám o rozdělení molekul podle rychlostí, protože je zajímavé a někdy velmi užitečné znát počet molekul, jež se pohybují tou či onou rychlostí. Využijeme přitom poznatky, k nimž jsme dospěli při zkoumání plynu v atmosféře. Plyn budeme považovat za ideální, tak jako jsme to udělali tehdy, kdyžjsme při vyjádření potenciální energie neuvažovali energii vzájemného přitahování atomů. Jedinou potenciální energií, s nížjsme v našem prvním příkladě počítali, byla energie pocházející od gravitace. Kdybychom zahrnuli síly působící mezi atomy, dostali bychom samozřejmě složitější výraz. Předpokládáme tedy, že mezi atomy nepůsobí síly a na chvíli zapomeneme i na srážky; později se vrátíme k odůvodnění takového předpokladu. Viděli jsme, že ve výšce Aje méně molekul než v nulové výšce; podle vztahu (40.1) počet molekul s rostoucí výškou exponenciálně klesá. Proč je ve větší výšce méně molekul? Nedostanou se nakonec do výšky A všechny molekuly, které se v nulové výšce pohybovaly směrem nahoru? Ne, nedostanou, neboť některé z těch, které se v nulové výšce pohybovaly směrem nahoru, se pohybovaly příliš pomalu a nemohly se dostat na potenciálový vrch do výšky h. S tímto klíčem k řešení se nám už podaří vypočítat, kolik molekul musí mít tu kterou rychlost, neboť ze vztahu (40.1) už víme, kolik molekul má menší rychlost než je ta, která je potřebná pro výstup na potenciálový vrch do výšky A. Právě tyto molekuly přispívají k tomu, že hustota ve výšce Aje menší než hustota v nulové výšce. Zformulujme nyní tuto myšlenku přesněji: vypočítejme, kolik molekul prochází zdola nahoru rovinou A = 0 (tím, že nějakou výšku nazýváme nulovou, nepředpokládáme, že to je dno; je to prostě vhodné označení a v záporných výškách může plyn existovat také). Molekuly plynu se pohybují všemi směry, ale některé z nich procházejí touto rovinou. V každém okamžiku jí prochází zdola nahoru různými rychlostmi určité množství molekul za sekundu. Nyní si všimněme následující skutečnosti. Označíme-li symbolem u rychlost potřebnou k dosažení výšky A (kinetická energie m«2/2 = /n^A), pak počet molekul procházejících zasekundu nahoru dolní 544 PRINCIPY STATISTICKÉ MECHANIKY rovinou ve vertikálním směru se složkou rychlosti větší než uje stejnýjako počet molekul, které procházejí horní rovinou s libovolnou nahoru směřující rychlostí. Molekuly, jejichž vertikální rychlost nepřevyšuje u, se horní rovinou nedostanou. Je tedy vidět, že počet molekul procházejících rovinou h = 0 s z>^> u = =počet molekul procházejících rovinou h = A s v>0. h=o Obr. 40.4 VýškyÄdosahujíjentymolekuh/.kterésevevýšce h=0 pohybovaly dostatečně rychle. Jenže počet molekul, které procházejí rovinou A s libovolnou rychlostí větší než 0, je menší než počet molekul procházejících dolní rovinou libovolnou rychlostí větší než 0, protože dole je víc molekul. A to je vše, co potřebujeme. Už víme, že rozdělení molekul podle rychlostí je stejné ve všech výškách, protože teplotu považujeme za konstantní v celé atmosféře. Je-li rozdělení podle rychlostí všude stejné a dole je víc molekul, musí být poměr počtu molekul n>Q (A) procházejících s kladnou rychlostí výškou A k počtu molekul n>Q (0) procházejících s kladnou rychlostí nulovou výškou roven poměru hustot v těchto výškách a ten je roven exp( -mgh/kT). Víme však, že n>0 (A) = n>u (0) a dále 1/2 mu2 = mgh, a proto můžeme psát ">,(Q) »>o(°) = exp(- mgh/kT) =exp(- mu2/2kT). Jinak řečeno: Počet molekul procházejících za sekundu jednotkovou plochou v nulové výšce se z-ovou složkou rychlostí větší než uje roven součinu exp (- mu2/2 k T) a celkového počtu molekul, které procházejí touto rovinou rychlostí větší než nula. Platí to nejen pro libovolně zvolenou nulovou výšku, ale samozřejmě pro jakoukoliv výšku, a proto je rozdělení podle rychlosti všude stejná (Výsledné tvrzení neříká nic o výšce A, ta se objevujejen v průběžných úvahách.) Jako výsledek dostáváme obecné tvrzení o rozdělení podle rychlostí. Kdybychom do plynového potrubí vyvrtali malou dírku, tak malou, aby tam jen zřídka docházelo ke srážkám a vzdálenost mezi dvěma srážkami by byla mnohem větší než průměr dírky, pak by ve shodě s odvozeným tvrzením měly vyletující částice různé rychlostí, ale ta část částic, která by vyletovala s rychlostí větší než u, by se rovnala exp (- mu212 kT). Vraťme se nyní k otázce zanedbání srážek. Proč jsou srážky nepodstatné? Mohli bychom argumentovat stejně jako předtím, ale místo konečné výšky brát infinitezimální výšku A, která je tak malá, že srážka mezi 0 a A nepřichází v úvahu. To však není třeba. Náš důkaz je totiž 545 VYPAŘOVÁNI KAPALINY ♦ ROZDĚLEN! MOLEKUL PODLE RYCHLOSTI založen na analýze hodnot energie a na zachování energie a při srážkách dochází k výměně energie mezi molekulami. Nemusíme se však starat o to, zda sledujeme stejnou molekulu, neboť k výměně energie dochází pouze s druhou molekulou. Ukazuje se, že i při důkladnější analýze (a taje přirozeně namáhavější) dostaneme stejný výsledek. Je zajímavé, že rozdělení podle rychlostí, které jsme našli, má tvar n>u~exp (- kin. energie/kT). (40.4) Takový způsob popisu rozdělení podle rychlostí, při němž určujeme počty molekul procházejících danou plochou s určitou minimální z-ovou složkou rychlosti, není nejvhodnější. Často nás například zajímá, kolik molekul se v plynu pohybuje rychlostí, jejíž z-ová složka je z intervalu mezi dvěma danými hodnotami, a to přímo vztah (40.4) neudává. I když to, o čem jsme psali, je celkem obecné, chtěli bychom náš výsledek vyjádřit ve vhodnější formě. Všimnite si, ženemůieme tvrdit, ie kterákoliv molekula má přesně určitou hodnotu rychlosti. Žádná z molekul nemá rychlost, která by byla rovna přesné 1,796 289 9173 m • s. Aby naše tvrzení mělo smysl, musíme se ptát, kolik molekul má rychlost z intervalu od 1,796 do 1,797 apod. Kdybychom se chtěli vyjádřit matematicky, zavedli bychom J[u) d u tak, aby představovala tu část molekul, které mají rychlosti mezi u a u + dunebo, cožje totéž (je-li dw infinitezimální), mají rychlost u s přesností na du. Obr. 40.5 znázorňuje možný tvar funkce j{u) a vyšrafovaná část šířky du a střední výšky J[u) představuje uvažovanou tústjl u)du. Tedy poměr šrafované plochy a celkové plochy pod křivkou je roven relativnímu počtu molekul s rychlostí u z intervalu šířky du. Definujeme-li funkciou) tak, že relativní počet molekul s rychlostí z tohoto intervalu je roven přímo vyšrafované ploše, musí celková plocha představovat 100 % molekul, tj. I"f[u)du = \. (40.5) 1 du - u • 1 Obr.40.5 Distribuční (rozdělovarí)funkcerycMostí.V^ f(u) d u.tj.relativnípočet částic s rychlostmi z intervalu šířky d u v okolí u Nyní nám zbývá pouze určit toto rozdělení porovnáním se vztahem, který jsme odvodili už dříve. Nejprve musíme vědět, jak lze pomocí J[u) vyjádřit počet molekul procházejících za sekundu danou plochou rychlostí větší než u. Na první pohled by se zdálo, tento počet je dán integrálem ľ" f(u) d u. To však není pravda, protože se zajímáme o počet molekul procházejí- cích plochou za sekundu. Rychlejší molekuly budou procházet plochou častěji než pomalejší a abychom vyjádřili, kolik jich prošlo, musíme násobit rychlostí. (Už jsme o tom mluvili v před- 546 PRINCIPY STATISTICKÉ MECHANIKY cházejfcf kapitole, když jsme diskutovali o počtu srážek.) Celkový počet molekul, které v daném čase t procházejí povrchem, je dán počtem molekul schopných dosáhnout povrchu a to jsou ty, které přišly ze vzdáleností uL Počet molekul dosahujících povrchu vyjadřujeme tedy jako počet molekul, které jsou v jednotkovém objemu, násobený vzdáleností, kterou překonaly na cestě k ploše, jíž mají projít, a taje úměrná u. Proto potřebujeme vyjádřit integrál z w násobeného J[u) du, integrál přes nekonečnou oblast s dolní mezí w a až na konstantu úměrností musíme dostat to, co v předcházejících úvahách, tedy exp (- mu2/2 kT). Tak máme f" uf{u) d u = konst. exp (- mu212 k 7), (40.6) a konstantu úměrnosti určíme později. Derivujeme-li tento integrál podle u, dostaneme podintegrální výraz, ti. integrand (se znaménkem minus, protože m je dolní mez), a když derivujeme pravou stranu, dostaneme stejnou exponenciálu násobenou u (a nějaké konstanty). Vykrátíme-li na obou stranách u, dostaneme vztah /(«)da= C-exp(-mM2/2A;7)da. (40.7) Na obou stranách ponecháme du, aby nám to připomínalo, žejde o rozdělení. Tato rovnice nám udává relativní počet molekul s rychlostmi z intervalu od w do u + du. Konstantu C^je třeba určit tak, aby integrál vystupující v rovnici (40.5) byl roven jedné. Můžeme ukázat že í~ exp[-x2)dx = Jň . J u Použijeme-li tento výsledek, snadno zjistíme, že C = Jm/(2 n kT). Protože jsou rychlost a hybnost navzájem úměrné, můžeme prohlásit, že rozdělení molekul podle hybnostíje také úměrné exp (-kin. energie/Ä7), najednotkový interval hybnosti. Ukazuje se, že tento teorém platí i v teorii relativity, je-li vyjádřen pomocí hybností, ale neplatí v prostoru rychlostí. Proto je výhodné si ho pamatovat ve tvaru vyjádřeném pomocí hybností f(p) dp = C- exp (-kin. energie/kT) dp. (40.8) Zjistili jsme, že pravděpodobností jsou v případě různých druhů energií - jak kinetické, tak i potenciální - vyjádřeny stejně: pomocí exp(- energie/AT), a proto si tento krásný poznatek můžeme snadno zapamatovat. Dosud jsme mluvili jen o „vertikálním" rozdělení rychlostí. Můžeme se však zajímat i o pravděpodobnost toho, že molekula se pohybuje vjiném směru. Je samozřejmé, že taková rozdělení vzájemně souvisí a úplné rozdělení můžeme získat z rozdělení, které už známe, neboť úplné Abychom vypočítali tento integrál, označme. / = j" exp (- x2) d x Pak platí ;2= j~ exp(-x2)dx-f~ exp(-y2)dy = f" f" exp[-(x2 + y2)]dxdy. To je však dvojný integrál přes celou rovinu xy a můžeme ho vyjádřit pomocí polárních souřadnic ve tvaru I2 = f" exp(-r2)2ttrdr = Tf f" exp(-ř)dř = tt. Jo jo 547 MĚRNÁ TEPELNÁ KAPACITA PLYNŮ rozdělení závisí pouze na druhé mocnině absolutní hodnoty rychlosti a ne na z-ové složce Musíme dostat něco nezávislého na směru a taková funkce může vyjadřovatjen pravděpodobnost různých velikostí rychlosti. Už známe rozdělení z-ové složky a z ní můžeme získat rozdělení ostatních složek. Jako výsledek dostaneme, že pravděpodobnost je i nadále úměrná exp(- kin. energie/AT), ale nyní se kinetická energie skládá ze tří částí: mvx/2, mvy/2, mvi/2 a v exponentu postupuje součet těchto částí. Můžeme to však vyjádřit i ve tvaru součinu f{v,v.v)dv dv dv ~ ~ exp(- mv2x/2k7) • exp(- mv},/2k7) • exp (- mv\12 k7) • dvxdvydvf. O správnosti tohoto vztahu se můžete přesvědčit Za prvé: Je v souladu s původním požadavkem být funkcí pouze v2. A zadruhé, pravděpodobnosti jednotlivých hodnot v(, jež dostaneme integrováním přes všechny vx a v^, jsou právě ty, které vyhovují vztahu (40.7). Funkce (40.9) vyhovuje tedy oběma požadavkůml MĚRNÁ TEPELNÁ KAPACITA PLYNŮ Nyní si všimněme některých způsobů ověření teorie a odhadněme, jak úspěšná je klasická teorie plynů. Již dříve jsme poznali, že je-li í/vnitřní energie N molekul, pak možná v některých případech pro některé plyny platí vztah PV = NkT = (y - 1)U. Víme i to, že v případě jednoatomového plynuje tento výraz roven 2/3 kinetické energie pohybu atomů v těžišťové soustavě. V případě jednoatomového plynu je však kinetická energie rovna vnitřní energii, a proto y- 1 = 2/3. Předpokládejme však, že jde o složitější molekulu, u níž může dojít k rotaci avibraci a dále předpokládejme (v klasické mechaniceje takový předpoklad správný), že energie vnitřních pohybů jsou také úměrné kT. Pak má molekula při dané teplotě kromě kinetické energie kTi vnitřní vibrační nebo rotační energii. Celková energie U obsahuje nejen vnitřní kinetickou energii, ale i rotační energii, a proto máme jinou hodnotu y. Technicky nejlepším způsobem měření yje měření měrné tepelné kapacity představující změnu energie s teplotou. K tomuto způsobu měření se ještě vrátíme. Zatím budeme předpokládat, že y jsme experimentálně určili z křivky p Vr odpovídající adiabatickému sdačování. Vypočítejme nyní y pro některé speciální případy. Nejprve uvažujeme jednoatomový plyn, který má celkovou energii U stejnou jako kinetickou energii, a tehdy, jak už víme, je y= 5/3. Jako příklad dvouatomového plynu bychom mohli vzít kyslík, jodovodík, vodík apod. a přitom předpokládat, že dvouatomový plyn se skládá z dvojic atomů vázaných podobným druhem sil, jaké znázorňuje obr. 40.3. Dále můžeme předpokládat (a to se ukazuje správné), že při teplotách, které nás v případě dvouatomových plynů zajímají, mají dvojice atomů silnou tendenci zakotvit ve vzájemné vzdálenosti rQ, tj. ve vzdálenosti odpovídající minimu potenciální energie. Kdyby to tak nebylo a pravděpodobnost by se se vzdáleností atomů výrazně neměnila, většina atomů by se nemusela nacházet v blízkosti minima energie. Pak by musel být plynný kyslík směsí 02 ajednodivých atomů kyslíku v netriviálním poměru. Víme však, že v kyslíkuje jen velmi málo samostatných atomů, což znamená, že minimum potenciální energie je podstatně větší co do velikosti než kT, a to jsme i předpokládali. Jsou-li atomy molekuly silně vázány na vzdálenost rQ, budeme z potenciálové křivky potřebovat pouze část blízkou minimu a tu můžeme aproximovat parabolou. Parabolický potenciál ale odpovídá harmonickému oscilátoru a molekulu kyslíku si opravdu můžeme velmi dobře představit jako dva atomy spojené pružinou. 548 PRINCIPY STATISTICKÉ MECHANIKY Čemu je rovna celková energie takové molekuly při teplotě 7? Víme, že kinetická energie každého z atomů je rovna 3/2 kT, a proto je kinetická energie obou atomů rovna 3/2 kT+ 3/2 kT. To však můžeme vyjádřit i jiným způsobem: na tyto 3/2 plus 3/2 se můžeme dívat jako na kinetickou energii těžiště (3/2), kinetickou energii rotace (2/2) a kinetickou energii vibrace (1/2). Na kinetickou energii vibrace připadá 1/2, neboť jde o jednorozměrný pohyb a víme, že každému stupni volnosti odpovídá energie 1/2 kT. Pokud jde o rotaci, může se uskutečňovat kolem dvou os, takže máme dva nezávislé pohyby. Atomy si představujeme jako jakési body, a proto nepředpokládáme rotaci kolem jejich spojnice. Na to musíme pamatovat, protože objeví-li se rozpory, mohou mít svůj původ právě v takovém předpokladu. Je tady však ještě i potenciální energie vibrací a nás zajímá její velikost. V případě harmonického oscilátoru je střední potenciální energie stejná jako střední kinetická energie, tj. rovná se 1/2 kT. Pro celkovou energii molekuly proto platí: U= 7/2 ÄTnebo kT= 2/7 ř/na atom. To znamená, že y je rovno 9/7, a ne 5/3, tedy y= 1,286. Tyto hodnoty můžeme porovnat se skutečně naměřenými hodnotami y vyjádřenými v tabulce 40.1. Když si všimneme hélia, které je jednoatomovým plynem, zjistíme hodnotu velmi blízkou 5/3 a odchylka od této hodnotyje pravděpodobně experimentální chyba, i když při takové nízké teplotě se mohou objevit síly vzájemného působení mezi atomy. I krypton a argon, oba jednoatomové, dávají hodnoty, jejichž odchylka je v mezích experimentální chyby. Tab.40.1 Hodnoty poměru měrných tepelných kapacit různých plynů Plyn T(°C) Y He -180 1,660 Kr 19 1,680 Ar 15 1,668 H, 100 1,404 °2 100 1,399 HI 100 1,400 Br2 300 1,320 \ 185 1,300 15 1,310 C2H6 15 1,220 Přejdeme-li k dvouatomovým plynům a všimneme si vodíku s hodnotou 1,404, musíme konstatovat, že nesouhlasí s teoretickou hodnotou 1,286. Kyslík s hodnotou 1,399j e velmi podobný vodíku a také nesouhlasí s teorií. Podobně je to i s jodovodíkem, jenž má hodnotu 1,40. Vypadá to tak, jakoby ^mělo mít hodnotu 1,40, ale budeme-li v porovnávání pokračovat a všimneme si bromu, zjistíme, že mu odpovídá hodnota 1,32 a dále jódu 1,30. Protože hodnota 1,30 je blízká hodnotě 1,286, můžeme v případě jódu mluvit o souhlasu s experimentem, což nebylo možné v případě kyslíku. Stojíme tedy před dilematem. Pro jedny molekuly máme souhlas, pro druhé nesouhlas a bude třeba mnoho důvtipu, abychom tuto situaci vysvětlili. Všimněme si, jak to bude s ještě složitějšími molekulami, které mají mnoho částí a jako příklad zvolme ethan - C2Hg. Ethan má osm atomů a ty rotují a kmitají v rozmanitých kombinacích, takže celková vnitřní energie se bude skládat z velkého počtu KT. Jen kinetická energie musí být aspoň 12 kT, a proto musí být y-l velmi blízké nule, tedy p musí být téměř 549 SELHÁNI KLASICKÉ FYZIKY přesně rovno jedné. Tato hodnota je opravdu nižší než v předcházejících případech, ale 1,22 není zase tak málo a je to víc než 11/12, což představuje hodnotu vypočítanou při započítání pouze kinedcké energie. To je ale nepochopitelné! Y 1.6 1,4 1.2 1.0 0 500 1000 1500 2000 TEPLOTA ['C] Obr.40.6 Experimentálníhodnoty Tjakofim^ y= 1,286 nezávisle na teplotě. Tato záhada máještě hlubší kořeny, protože dvouatomovou molekulu nemůžeme ani v limitě považovat za tuhou. I kdyby byla vazba mezi atomy nekonečně silná, atomy by nepřestaly úplně kmitat. V molekule by stále zůstávala vibrační energie kT, protože ta nezávisí na síle vazby. Kdybychom si přece jen představili absolutné tuhou molekulu nacházející se ve stavu, kdy přestávají všechny kmity a zbavili se tak jednoho stupně volnosd, pro dvouatomový plyn bychom dostali U= 5/2 kTz. y= 1,40. Tato hodnota vypadá slibně i pro H2 a 02. Problém by se tím však nevyřešil, neboť v případě kyslíku i vodíku závisí pna teplotě! Z naměřených hodnot znázorněných na obr. 40.6je vidět, že v případě H2 se yméní z hodnoty přibližně 1,6 při -185°C na hodnotu 1,3 při 2000°C. Tato změnaje v případě vodíku výraznější než v případě kyslíku, ale i v případě kyslíku je zřejmé, že y roste s poklesem teploty. SELHÁNÍ KLASICKÉ FYZIKY Musíme tedy přiznat, že máme určité těžkosd. Místo myšlené pružiny působící na atomy bychom mohli zkusit působení nějaké jiné síly, ale to vše by pouze zvětšovalo hodnotu y. Kdybychom zahrnuli více forem energie, y by se v rozporu se skutečností více blížilo jedné. Všechny klasické teorie by situaci jen zhoršily. Faktem je, že v každém atomu jsou elektrony a z atomových spekter víme, že jim odpovídá vnitřní pohyb. Každý z elektronů musí mít kinetickou energii aspoň 1/2 k T a ještě i určitou potenciální energii a vezmeme-li je v úvahu bude y ještě menší. To je absurdní. Určitě je to nesprávné. První významný článek o dynamické teorii plynů publikoval Maxwell v roce 1859. Na základě myšlenek, o nichžjsme již mluvili, byl Maxwell schopen přesně vysvědit mnoho známých vztahů, jako například Boylův zákon, teorii difúze, viskozitu plynů a jevy, o nichž budeme mluvit v následující kapitole. V souhrnu své práce uvádí výčet těchto významných úspěchů a nakonec říká: „Stanovením potřebného vztahu mezi postupným a rotačním pohybem nesférických částic (měl tím namysli poučku o 1/2 AT) jsme dokázali, že systém takových částic nesplňuje známý vztah platný mezi dvěma měrnými tepelnými kapacitami." Mluví zde o y (později uvidíme, že 550 PRINCIPY STATISTICKÉ MECHANIKY tato veličina souvisí s dvěma způsoby měření měrné tepelné kapacity) a upozorňuje na to, že tento problém neumíme vyřešit. V přednášce, kterou měl o deset let později, Maxwell řekl: „Nyní jsem vás seznámil s tím, co považuji za největší problém, s nímž se bude muset molekulární teorie vypořádat." Tato slova jsou prvním upozorněním na chybnost zákonů klasické fyziky. Byl to první náznak toho, že chyba je v podstatě, neboť správně dokázaná poučka byla v rozporu s experimentem. Kolem roku 1890 se o této záhadě znovu zmínil Jeans. Často slyšíme, že fyzici konce devatenáctého století byli přesvědčeni o tom, že znají všechny podstatné zákony a už jim nezůstává nicjiného, jen upřesňovat výpočty na víc desetinných míst. Možná to někdo jednou řekl a ostatní to po něm opakovali. Jenže důkladné studium literatury té doby ukazuje, že fyzici byli něčím velmi znepokojeni. Jeans o tomto problému mluvil jako o záhadném jevu, z něhož jakoby vyplývalo, že při poklesu teploty „zamrzají" některé druhy pohybu. Kdybychom mohli například předpokládat, že kmitavý pohyb neexistuje při nízkých teplotách, ale existuje při vysokých teplotách, pak bychom si uměli představit existenci takového plynu, v němž není při dostatečně nízké teplotě vůbec kmitavý pohyb a. y = 1,40, ale při vyšší teplotě, když se objevují kmity, y klesá. Totéž můžeme říci o rotaci. Kdyby bylo možné vyloučit rotaci, například protože „zamrzá" při dostatečně nízkých teplotách, pak by nám byla pochopitelná skutečnost, že y vodíku při poklesu teploty dosahuje hodnoty 1,66. čím to však můžeme vysvětlit? Je jasné, že takové „zamrzání" pohybu nelze vysvědit klasickou mechanikou. Kpochope-ní takového jevu došlo až po objevení kvantové mechaniky. Bez důkazu zformulujeme výsledky statistické mechaniky založené na kvantověmechanické teorii. Podle kvantové mechaniky má potenciálem vázaný systém, například oscilátor, diskrétní soubor energetických hladin, tj. stavů s různou energií. Vzniká otázka: Jakje třeba modifikovat statistickou mechaniku, aby byla v souladu s kvantověmechanickou teorií? Je skutečně zajímavé, že i když převážná většina problémů je obtížnější v kvantové mechanice než v klasické mechanice, jsou problémy statistické mechaniky při kvantověmechanickém přístupu mnohem jednodušší! Jednoduchý výsledek klasické mechaniky, že n = ^ • exp (- energie/k T), se stane v kvantové teorii velmi důležitým poznatkem: Označíme-li energie souboru molekulárních stavů EQ, E{, E2,.... E.,pak v tepelné rovnováze je pravděpodobnost nalezení molekuly ve stavu s energií E. úměrná exp (- E./ k T). Tak se určují pravděpodobnosti obsazeníjednodivých stavů. Jinými slovy: relativní pravděpodobnost obsazení stavu 2?, proti stavu EQ je rovna t^^rim- <4010) cožje totéž jako nrnQ-exp[-(Ei-E0)/kT], (40.11) protože Px = nx/ N, PQ = nQ/N. Obsazení stavu s vyšší energií je tedy méně pravděpodobné než obsazení stavu s nižší energií. Poměr počtu atomů ve vyšším stavu k počtu atomů v nižším stavu je roven mocnině e (exponent je záporně vzatý rozdíl energií dělený WT) - a to je velmi jednoduchý vztah. Ukazuje se, že v případě harmonického oscilátorujsou každé dvě sousední hladiny stejně vzdálené. Jesdiže nejnižší energetické hladině přisoudíme hodnotu E^ = 0 (ve skutečnosti se tato hodnota trochu liší od nuly, ale posunem všech energetických hladin o stejnou hodnotu se nestane nic nepřípustného), první hladina bude mít hodnotu 2?, = ňco, druhá 2 fico, třetí 3 ňco atd. 551 SELHÁNI KLASICKÉ FYZIKY Nyní si všimneme, co se stane. Předpokládejme, že zkoumáme kmity dvouatomové molekuly a aproximujeme je harmonickým oscilátorem. Ptáme se, jaká je relativní pravděpodobnost nalezení molekuly ve stavu 2J, místo ve stavu EQ. Odpověď na tuto otázku je taková, že pravděpodobnost nalezení molekuly ve stavu 2J, proti pravděpodobnosti nalezení molekuly JŠJ, klesá jako exp (- ň co/k T). Nyní předpokládejme, že A7je mnohem menší než hco, tj. máme co činit s nízkými teplotami. Potomje pravděpodobnostvýskytu ve stavu El mimořádně malá. Prakticky všechny atomy jsou ve stavu Eg. I když změníme teplotu, ale ta zůstane stále malá, bude pravděpodobnost výskytu ve stavu 2J, = h co nekonečně malá - energie oscilátoru zůstane téměř nulová. To se nezmění pokud je teplota mnohem menší než hco - energie oscilátoru se s teplotou nemění. Všechny oscilátory jsou v nejnižším stavu, jejich pohyb je efektivně „zmrazený" a nepřispívají k měrné tepelné kapacitě. Z tabulky 40.1 můžeme usoudit, že při 100°C, neboli 373 K, je kT mnohem menší než energie kmitavého pohybu kyslíkových a vodíkových molekul, ale ne molekul jódu. Příčina tohoto rozdílu spočívá v tom, že atom jóduje velmi těžký ve srovnání s atomem vodíku, a i když síly působící mezi atomy jódu a atomu vodíku jsou srovnatelné, je molekulajódu příliš těžká a vlastní frekvence jejích kmitů příliš malá ve srovnání s vlastní frekvencí vodíku. Při pokojové teplotě je kT takové, že hco vodíku je větší než kT a ň co jóduje menší než kT, a proto se pouze jód vyznačuje klasickou vibrační energií. Zvyšujeme-li teplotu plynu od velmi malých hodnot T, kdy se téměř všechny molekuly nacházejí v nejnižšfm stavu, postupně se objevuje nenulová pravděpodobnostjednodivých vyšších stavů. Pokud máme nenulové pravděpodobnosti mnoha stavů, blíží se chování plynu k tomu, které předpokládá klasická fyzika, neboť kvantové stavy se stávají téměř nerozlišitelnými od energetického kontinua a systém může nabýt téměř libovolnou energii. Při vzrůstu teploty bychom tedy měli opět dostat výsledky klasické fyziky a na to ukazuje obr. 40.6. Stejným způsobem můžeme ukázat, že rotační stavy atomů jsou také kvantovány, ale tyto stavy jsou rozmístěny tak těsně, že za normálních podmínekje AT mnohem větší než jejich rozestup. Proto je vybuzeno mnoho hladin a rotační kinetická energie systému se projevuje klasickým způsobem. Jen vodík se nechová při pokojových teplotách zcela podle tohoto tvrzení. To je poprvé, co jsme porovnáním teoretických a experimentálních výsledků zjistili, že v klasické fyzice je nějaká chyba a z těžkostí jsme se snažili dostat pomocí kvantové mechaniky způsobem, který se velmi podobal metodě použité v průběhu vývoje fyziky. Až po 30 nebo 40 letech od tohoto problému se objevila další obtíž, jež také souvisela se statistickou mechanikou, ale v tomto případě s mechanikou fotonového plynu. Tento problém vyřešil Plaňek na začátku našeho století. 552 Příklady a cvičení 40.1 ■ V radiometru molekuly plynu bombardují tenká lehká křidélka vrtulky, jež jsou z jedné strany začerněna a z druhé pokryta lesklou barvou. Dopadá-li na křidélka záření, je pohlcovaná energie unášena především molekulami, jež bombardujízačernénou stranu křidélek. Tak vzniká nerovnováha sil, která roztáčí vrtulku. Mějme nádobu, jež obsahuje v jednotce objemu n molekul o hmotnosti m při absolutní teploto T. Tenké křidélko jednotkového plošného obsahu umístěné uvnitř nádoby pohlcuje za jednotku času energii záření P wattů, přičemž tato energie je unášena izotropně molekulami, jež dopadají jen na jednu stranu křidélka. Odhadněte přibližně velikost síly, která působí na křidélko ve vzduchu za pokojové teploty. 40.2 ■ Plyn v nádobě je v tepelné rovnováze. Jaká část jeho molekul, které za jednotku času dopadají na stěnu nádoby má kinetickou energii a) větší než střední tepelnou, b) 3krát větší než střední tepelnou? 40.3 ■ Molámí tepelná kapacita látky při stálém objemu C je množství energie potřebné ke zvýšení teploty 1 molulátkyo 1 °C zůstává-li objem stejný. Čemu je rovna molárnítepelnákapacitalátky při stálém objemu a) ideálního jednoatomového plynu, b) ideálního dvouatomového plynu? 40.4 ■ Plyn za normálního tlaku a teploty je nasáván rychlostí v trubicí s hladkými stěnami a stálém průřezu obsahu Ado reaktivního motoru. Když plyn prochází drátěnou síťkou, jež neklade odpor proudění, zahřívá se a získává výkon O wattů. Z trubice vytéká plyn rychlostí v'. Napište rovnice, které vyjadřují zákony zachování hmotnosti, hybnosti a energie pro případ proudění vzduchu a pak určete a) v', ti) výslednou teplotu T, c) výslednou tažnou sílu F (základní charakteristika reaktivního motoru). 40.5 ■ Posuďte přednosti vzduchového reaktivního motoru na základě výsledků předchozí úlohy, jestliže spotřebovává 100 kg vzduchu a 2,00 kg leteckého benzínu za sekundu. Výhřevnost paliva je asi 4,65 • 107 J/kg. Jaké okolnosti mohou učinit váš odhad nespolehlivým? 40.6 ■ Maxwellův rozdělovači zákon má tvar —=Av2 e'""'. Může být vyjádřen jako y=x2 exp (-x2)dv a) Nakreslete graf této funkce pro 0sx<:3,0 a ukažte, že při růstu x hraje hlavní úlohu exponenciální člen. b) Najděte maximum y. 40.7 ■ Podle barometrického vzorce platí n = n0e'm9l"kr, kde kT/mg je charakteristický parametr úlohy. Vypočítejte tento parametr pro zemskou atmosféru a pro prostor v okolí Slunce, jestliže relativní molekulová hmotnost částic vokolíZemě je 29,0 a v okolí Slunce 1,5, dále Tr=300 K, 7S=5500 K a 0^=9,8 m s"2, p,=270 m • s"2. 553 rownův pohyb 41.1 EKVIPARTIČNOST ENERGIE 41.2 TEPELNÁ ROVNOVÁHA ZÁŘENÍ 41.3 EKVIPARTIČNOST A KVANTOVÝ OSCILÁTOR 41.4 NÁHODNÁ PROCHÁZKA EKVIPARTIČNOST ENERGIE V roce 1827 objevil botanik Robert Brown Brownův pohyb. Při sledování mikroskopického života zpozoroval malé částice rosdinného pylu, jak poskakují v tekutině, kterou zkoumal. Byl dost moudry, aby si uvědomil, že nejde o živé organizmy, ale o drobné částečky nečistoty pohybující se ve vodě. Aby dokázal, že opravdu nejde o živou hmotu, vzal starý kus křemene, v němž bylo zachyceno trochu vody. Ta tam byla uvězněna po milióny let, a přece v ní uviděl stejný pohyb. Pohled, který se nám naskytne, to je nepřetržitý rej drobných částeček. Později se ukázalo, že jde o jeden z účinků molekulárního pohybu, který můžeme kvalitativně pochopit, představíme-li si obrovský míč na hřišti plném lidí postrkujících ho v nejrozmanitěj-šfch směrech a my se na vše díváme z velké vzdálenosti. Lidi nemůžeme vidět, neboť jsou příliš daleko, ale vidíme míč a pozorujeme, že se pohybuje zcela nepravidelně. Z pouček, o nichž jsme mluvili v předcházejících kapitolách, už víme, že střední kinetická energie malé částice vznášejí se v kapalině nebo plynuje rovna 3/2 kT, i kdyžje tato částice mnohem těžší než molekula. Je-li velmi těžká, znamená to, že je relativně pomalá, ale ve skutečnosti její rychlost není příliš malá. Je-li střední kinetická energie takové částice 3/2 kT, dostáváme v případě objektu s průměrem jednoho nebo dvou mikrometrů rychlost kolem milimetru za sekundu. Pozorování pohybu takové částice není snadné ani při použití mikroskopu, protože částice neustále mění směr svého pohybu, a tak se vlastně nikam nedostane. Kam se až dostane, o tom budeme mluvit na konci této kapitoly. Tento problém byl poprvé vyřešen Einsteinem na začátku dvacátehé století. Mimochodem, když říkáme, že střední kinetická energie částiceje rovna 3/2 k T, požadujeme odvození tohoto výsledku z kinetické teorie, tj. z Newtonových zákonů. Uvidíme, že z kinetické teorie můžeme odvodit ty nejrozmanitější a nejpozoruhodnější věci, a co je nejzajímavější, to vše získáme z tak mála. Tím samozřejmě nemyslíme, že Newtonovy zákonyjsou „málo"-samy o sobě jsou hluboké - ale máme na mysli že nám stačilo udělat málo. Jak se nám daří tak mnoho získat? Odpověď na tuto otázku spočívá v tom, že jsme soustavně vycházeli z jednoho důležitého předpokladu; je-li daný systém při určité teplotě v tepelné rovnováze, pak při této teplotě bude s čímkolivv tepelné rovnováze. Například, když chceme zjistit,jak by se částice pohybovala, kdyby 554 BROWNŮV POHYB se skutečně srážela s vodou, můžeme si představit, že máme plyn složený z částic jiného druhu, droboučkých kuliček, které (podle našeho předpokladu) neinteragují s vodou, ale jenom silně narážejí na uvažovanou částici. Předpokládejme, že z částice vyčnívá osten a naše kuličky ho musí zasáhnout. O tomto představovaném plynu kuliček při teplotě Tvíme všechno -je to ideální plyn. Voda je složitá, ale ideální plyn je jednoduchý. Naše částice musí být v rovnováze s plynem kuliček. Střední pohyb částice musí být takový, jak to určují srážky s plynem. Kdyby se totiž částice nepohybovala správnou rychlostí vzhledem k vodě, ale byla by například rychlejší, znamenalo by to, Že kuličky od ní získávají energii a stávají se teplejší než voda. Jenže my jsme začali při stejné teplotě a předpokládáme, že cokoliv se dostalo do rovnováhy, v rovnováze zůstane. Některé části se samovolně nestanou teplejší a jiné chladnější. Tento předpoklad je správný a ze zákonů mechaniky ho lze dokázat, ale důkazje příliš složitý aje možné ho provéstjen použitím náročnějších partií mechaniky. Důkazje mnohem snadnější v kvantové než v klasické mechanice. Poprvé ho provedl Boltzmann a my nyní budeme prostě předpokládat, že platí. Pak můžeme tvrdit, že naše částice musí mít energii 3/2 kT, když se sráží s umělými kuličkami, a proto také musí mít energii 3/2 kT, když naráží na vodu při stejné teplotě, takže můžeme kuličky vypustit a energieje 3/2 kT. Je to divný, ale zcela správný způsob argumentace. a b Obr. 41.1 a) citlivý zrcadlový galvanometr. Světlo ze zdroje Lse odráží od malého zrcátka na stupnici b)schématickýzáznamúdajenastupnicijakofunkce času Kromě pohybu koloidních částic, při němž byl Brownův pohyb objeven, existuje řada jiných jevů v laboratorních i jiných podmínkách, kdy můžeme Brownův pohyb pozorovat. Pokusíme-li se zkonstruovat to nejjemnější zařízení, například velmi malé zrcátko na tenkém křemenném vlákně velmi cidivého balistického galvanometru (obr. 41.1), zrcátko nebude stát na místě, ale bude se stále chvět, v každém okamžiku. Dopadne-li na něj světelný paprsek a budeme sledovat jeho odraz, nebudeme mít dokonalé zařízení, protože zrcátko bude stále v pohybu. Proč? Protože střední kinetická energie takového zrcátka je 1/2 kT. Jakýje střední kvadratický úhel, o nějž se zrcátko odchyluje? Předpokládejme, že jsme zjistili periodu vlastních kmitů zrcátka tím, že jsme klepli najednujeho stranu a zjistili.jak dlouho trvá pohyb vpřed a zpět, a známe také jeho moment setrvačnosti /. Známe vztah pro kinetickou energii rotace-vyjadřuje ho rovnice (19.8): T= 1/2 Ico2. Taková j e kinetická energie, příslušná potenciální energieje úměrná druhé mocnině úhlu aje rovna V= 1/2 a&2. Známe-li periodu kmitů a pomocí ní vypočítáme vlastní frekvenci coQ = 2it//0, dostaneme potenciální energii V= 1/2 lco\ ů2. Víme, že stř ední kinetická energieje 1/2 kT, ale jde-li o harmonický oscilátor, střední potenciální energieje také 1/2 kT. Proto -idař) = -kT 2^2 555 EKVIPARTIČNOST ENERGIE neboli (tf2)--^. (41.1) ICÚQ Tak můžeme vypočítat kmity zrcátka galvanometru a najít hranice přesnosti našeho zařízení. Chceme-li zmenšit kmity, musíme zrcátko ochladit. Můžeme položit zajímavou otázku: Kde je třeba zrcátko ochladit? Závisí to na tom, odkud přijímá nárazy. Jesdiže od vlákna, ochladíme ho nahoře. Je-li zrcátko obklopeno plynem a do pohybu se dostává hlavně v důsledku srážek s atomy plynu, je lépe ochladit plyn. Ukazuje se, že zdroj tlumeni kmitů je vždy i zdrojem fluktuací a k tomuto problému se ještě vrátíme. a b Obr.41.2 Rezonančníobvodsvelkouhodnotou Q. a) skutečny obvod při teplotě T b) umělý obvod s ideálním bezsumovým odporem a „generátor šumu" C Dost překvapuje, že tytéž fluktuace působí i v elektrických obvodech. Předpokládejme, že stavíme velmi cidivý, přesný zesilovač na určitou frekvenci, a aby byl velmi cidivý na zvolenou frekvenci, používáme najeho vstupu, podobně jako v radiopřijímači, velmi kvalitní rezonanční obvod (obr. 41.2). Předpokládejme, že se chceme dostat až úplně na dolní hranici cidivostí zařízení, a tak snímáme napětí například z indukčností a podáváme ho na zesilovač. V každém takovém obvodu existují, samozřejmě, určité ztráty. Není to dokonalý rezonanční obvod, aleje to přecejen velmi dobrý rezonanční obvod, který má jenom malý odpor (v schématu je zakreslen rezistor, předpokládáme, že má malý odpor). Chtěli bychom zjistit, jaké jsou fluktuace změn napětí na indukčností. Odpověď na takovou otázku je následující. Víme, že 1/2 LI2 je „kinetická energie"-energie, kterou má cívka v rezonančním obvodu (kapitola 25). Protoje střední hodnota 1/2 LÍ1 rovna 1/2 k T. Tak zjistíme střední kvadratickou hodnotu proudu a z ní můžeme určit střední kvadratickou hodnotu napětí. Vztah pro napětí na indukčností je totiž Ů,= icoLÍ a střední kvadratická absolutní hodnota napětí na indukčností je (UL) = L2 coqÍJ2). Po dosazení do 1/2 L(r) = 1/2 /trdostaneme (l%)=Lú%kT. (41.2) Tak můžeme navrhovat obvody a předpovídat, jaký budou mít Johnsonův šum, tj. šum podmíněný tepelnými fluktuacemi. Odkud se nyní vzaly fluktuace? Pocházejí opět z rezistorú-jsou důsledkem skutečností, že elektrony odporového materiálu se chaoticky pohybují, protože jsou v tepelné rovnováze s látkou rezistoru, a tak vznikají fluktuace elektronové hustoty. Tak vznikají nepatrná elektrická pole, která působí na rezonanční obvod. Elektrotechničtí inženýři odpovídají na takovou otázku jiným způsobem. Z fyzikálního hlediska je zdrojem šumu rezistor. Skutečný obvod se skutečným fyzikálním rezistorem, který vytváří šum, však můžeme nahradit fiktivním obvodem, který obsahuje malý.generátor a ten 556 BROWNUV POHYB představuje zdroj šumu. Rezistor bude potom ideální - nebude produkovat šum. Všechen šum pochází z fiktivního generátoru. Kdybychom znali charakteristiky šumu produkovaného rezisto-rem, a kdybychomje umčli analyticky vyjádřit, mohli bychom vypočítat, jak bude obvod na tento šum reagovat. Potřebujeme tedy znát vztah pro šumové fluktuace. Šum generovaný rezistorem obsahuje všechny frekvence, protože samotný rezistor není rezonanční. Samozřejmě, že rezonanční obvod „slyší" jen tu část fluktuací, která je blízko rezonanční frekvence, ale rezistor má i mnoho jiných frekvencí. Sílu generátoru můžeme popsat takto: Střední výkon, který by rezistor absorboval, kdyby byl přímo připojen na generátor šumu, by byl (U%)/R, kde UG je napětí generátoru. Chtěli bychom však podrobněji znát, jaký výkon připadá najednodivé frekvence. Na každou frekvenci připadájen velmi malý výkon; jde o rozdělení. Nechť P(tú) dwje výkon, který generátor dodává ve frekvenčním rozsahu dw témuž rezisto-ru. Pak můžeme dokázat (dokážeme to v jiném případě, ale stejným matematickým postupem), že dodávaný výkon je P[ú))áa) = {2/v.) kTáco, (41.3) a v tomto vyjádření tedy nezávisí na odporu. jM^ TEPELNÁ ROVNOVÁHA ZÁŘENÍ Nyní se budeme zabývat složitější, ale velmi zajímavou situací. Předpokládejme, že máme nabitý oscilátor podobný tomu, o němž jsme mluvili při zkoumání světla, řekněme, elektron kmitající v atomu. Když kmitá, vyzařuje svědo. Předpokládejme, že tento oscilátor se nachází ve velmi řídkém plynu jiných atomů a čas od času se s nimi srazí. V rovnováze, po delší době, tento oscilátor shromáždí energii tak, že kinetická energie jeho kmitů bude 1/2 kT, a protože jde o harmonický oscilátor, jeho celková energie pohybu bude kT. Samozřejmě, zatím je to špatný popis, protože oscilátor nese elektrický náboj, a má-li energii kT, kmitá sem tam a vyzařuje svitlo. Proto je nemožné dosáhnout rovnováhy jen v látce, jsou-li v ní atomy vyzařující světlo. Je-li vyzařováno svědo, uniká energie, oscilátor v průběhu času ztrácí svou energii ÄTa plyn, který s oscilátorem interaguje, postupně chladne. Takovým způsobem chladnou i horká kamna za studené noci. Do okolí vyzařují energii, protože v atomech kmitají náboje, spojitě vyzařují a v důsledku tohoto vyzařování kmitavý pohyb pomalu slábne. Obklopíme-li však uvažovaný systém jakousi krabicí, takže svědo záření nemůže uniknout do nekonečna, můieme nakonec dosáhnout tepelné rovnováhy. Plyn můžeme umístit v nádobě, v jejíchž stěnách jsou jiné zářiče vysílající svědo nazpět nebo, co je ještě hezčí příklad, můžeme předpokládat, že nádoba má zrcadlové stěny. Bude jednodušší uvažovat právě tento případ. Předpokládáme tedy, že všechno záření oscilátoru se uchovává v nádobě. I v takovém případě začne oscilátor kmitat, ale brzy si bude udržovat hodnotu kT své kinetické energie přestože vyzařuje. Je vlastně ozařován svým vlastním svědem odraženým od stěn nádoby. Za krátkou dobu bude v nádobě hodně svěda, a i když oscilátor určité svědo vyzařuje, svědo přichází zpět a vrací část energie, která byla vyzářena. Nyní určíme, kolik svěda musí být v takové nádobě při teplotě T, aby dopad svěda na oscilátor vytvářel právě takovou energii, jaká je potřebná k udržení záření. Nechť je atomů plynu velmi málo a ať jsou od sebe velmi vzdálené, takže máme ideální oscilátor, který nemá žádnýjiný odpor, než radiační. Všimněme si, že v tepelné rovnováze dělá oscilátor současně dvě věci. Za prvé - má střední energii kT, a tak můžeme vypočítat, kolik záření 557 TEPELNÁ ROVNOVÁHA ZÁŘENÍ emituje. Za druhé - množství tohoto záření musí být přesně stejné jako množství svěda, které oscilátor z dopadajícího svěda rozptyluje. Když energie nemůže zmizet nikam jinam, toto efektívni záření je skutečně všechno rozptýlené svědo v nádobě. Nejdříve tedy počítáme energii, kterou oscilátor vyzáří za sekundu, pokud nějakou energii má. (Z kapitoly 32 „O radiačním odporu" si vypůjčíme některé rovnice aniž bychom se vraceli kjejich odvození.) Poměr energie vyzářené za sekundu a energie oscilátoru se označuje 1/Q (viz (32.8): \/Qj= (d W/díj/ú)Q W. Použitím veličiny y, konstanty údumu, můžeme tedy psát vztah ve tvaru \/Qj= y/ú;0,kde (0q je vlasmi frekvence oscilátoru. Předpokládáme, že yj e velmi malé a Q velmi velké. Energie vyzářená za sekunduje pak d w tonW o)nWy — = -5— = ——- = Wy. (41.4) dt £ coQ Energie vyzářená za sekunduje prostě )<-násobek energie oscilátoru. Oscilátor má však mít střední energii kT, takže ykTje střední hodnota energie vyzářené za sekundu (dW/dt) = ykT. (41.5) Nyní už potřebujeme vědět pouze to, jaké je y. Tuto veličinu můžeme snadno najít z rovnice (32.12).Je rovna 2 r = -l = ±Jľl, (41.6) d 3 e kde r0 =e2/ mc2 je klasický poloměr elektronu a položili jsme A = 2tzc/ú)q. Náš konečný výsledek pro sďední rychlost vyzařování svěda v blízkosti frekvence (oQ je tento dt 3 c Dále se budeme ptát, kolik svěda musí dopadat na oscilátor. Musí ho být tolik, aby oscilátorem absorbovaná energie (která je pak rozptýlena) byla rovna uvedené veličině. Jinak řečeno: emitované svědo je rozptýlené svědo ze světla, které svítí na oscilátor v dutině. Proto nyní musíme vypočítat, kolik svěda oscilátor rozptýlí, dopadá-li na něj určité neznámé množství záření. Budiž /(o))d0)energie svěda s frekvencí eoz intervalu deo (protože nemáme svědo, jež by mělo přesnědanou frekvenci; vždy máme určité spektrum). I(co) je určité spektrální rozdělení, které budeme hledat -je to barva pece při teplotě T, kterou vidíme, díváme-li se otevřenými dvířky dovnitř. Ptáme se, kolik svěda se absorbovalo. Už jsme určili množství záření absorbovaného zdaného dopadajícího světelného svazku a vyjádřilijsme ho pomocí účinného průřezu. Odpovídá to tomu, jako bychom řekli, že všechno svědo dopadající na určitý průřezje absorbováno. Proto celkové množství, které je opětovně vyzářeno (rozptýleno) je součinem dopadající intenzity I((o)d(oa účinného průřezu a. Náš vztah pro účinnýprůřez (rovnice (31.19)) neobsahoval dumení. Nebude těžké zopakovat odvození a započítat předtím zanedbaný člen odpovídající odporu. Kdybychom to udělali, dostali bychom pro účinný průřez vyjádření 558 BROWNUV POHYB 8 7irft _co_ + y2 v2 (41.8) Účinný průřez a má významnou hodnotu jako funkce frekvence jen pro co velmi blízké vlastní frekvenci coQ. (Vzpomeňme si, že v případě vyzařujícího oscilátoru je Q řádově 108.) Oscilátor rozptyluje velmi silně, když je co rovno co0 a velmi slabě při jiných hodnotách co. Proto můžeme nahradit co veličinou coQ a co2 - coQ veličinou 2 co0 [co - co^j. Tak dostaneme a = ■ 2nrlco\ (co-cof + y2/^ (41.9) Celá křivka je soustředěna v okolí co = coQ. (Není nevyhnutné dělat aproximace, ale výpočet integrálů bude mnohem jednodušší, když si rovnici trochu zjednodušíme.) Násobíme-li intenzitu v daném frekvenčním rozsahu účinným průřezem rozptylu, dostaneme množství energie rozptýlené v intervalu dco. Celková rozptýlená energie je pak integrálem tohoto výrazu přes všechna co. Tak dostaneme d W —í=f"I(co)as(co)dco=[' dt Jo Jo 2 7i r2col I(co) d co 3 Uco-cotf + y2/* (41.10) Položme nyní d WJdt = 3 ykT. Proč je tam koeficient 3? Protože při naší analýze účinného průřezu v kapitole 32 jsme předpokládali takovou polarizaci svěda, která umožňovala rozkmitání oscilátoru. Kdybychom použili oscilátor schopný kmitat jen v jednom směru a svědo by bylo nesprávně polarizované, nedošlo by k rozptylu. Musíme proto buď zprůměrovat účinný průřez oscilátoru schopného kmitat pouze v jednom směru přes všechny směry dopadu a polarizace svěda, nebo - a to je jednodušší - představit si oscilátor, který bude sledovat pole bez ohledu na to, jakým směrem je orientováno. Takový oscilátor, který může stejně kmitat ve třech směrech, bude mít střednf energii 3kT, protože má tři stupně volnosti. Proto máme tedy 3 ykT. KaJ- -"^ i i i 1 co Obr. 41.3 Průběh podintegrálni funkce (41.10). Rezonanční křivka má strmý průběh. V blízkosti rezonance můžeme I(u) nahradit I(co^. Nyní musíme vypočítat integrál. Předpokládejme, že neznámé spektrální rozdělení svěda I(co) je hladkou křivkou a ve velmi úzké frekvenční oblastí, kde má Of ostré maximum, se příliš nemění (obr. 41.3). Potom výrazný příspěvek k integrálu bude pocházet jen od těch hodnot co, 559 TEPELNÁ ROVNOVÁHA ZÁŘENÍ které jsou velmi blízké coQ a od této hodnoty se liší jen o velmi malou veličinu y. I kdyby I(co) byla neznámá a složitá funkce, bude důležitá pouze oblast blízko co = coQ a tam můžeme hladkou křivku nahradit „konstantou" o stejné výšce. Jinak řečeno, prostě vytkneme I(co) před znak integrálu a nahradíme I(co^. I ostatní konstanty můžeme dát před integrál a tak dostaneme | tc rl col I(co0) r--^-2- =3 VkT. (41.11) 3 u Jo (o- ú;0)2 + f/l Integrál by se měl brát od 0 do °°, ale Oje už tak daleko od (co^, že křivka je tam nulová, a proto můžeme dolní mez nahradit minus °° a takový integrál se počítá mnohem snadněji. Integrál je typu j dx/(x2 + a2) a vede na funkci arcustangens. V příručce bychom našli, že je roven it/a v našem případě tedy 2Tt/y . Po určitých úpravách bychom dostali ncoQ)--^^-. (41.12) ,222 4« r0 co0 Pak dosadíme místo ^vzorec (41.6) (pro stručnost vynecháme označení coQ, protože výraz platí pro jakékoliv co0, a napíšeme prostě co) a vztah pro I(co) má tvar I{co)=^I. (41.13) tc C Tento vztah nám určuje rozdělení svěda v horké peci. Říká se mu záření černého tělesa. Černého proto, protože otvor v peci, do něhož hledíme, by byl při nulové teplotě černý. Vztah (41.13) udává rozložení energie záření uvnitř uzavřené nádoby při teplotě T podle klasické teorie. Všimněme si nejdřív pozoruhodného charakteru tohoto výrazu. Náboj oscilátoru, hmotnost oscilátoru, všechny jeho charakteristické vlastností vymizely, protože když jsme se dosáhli rovnováhy s jedním oscilátorem, musíme byt v rovnováze sjakýmkolivjiným oscilátorem s jinou hmotností, jinak bychom se dostali do těžkostí. To je důležitý způsob ověření předpokladu, že rovnováha nezávisí na tom, s čím jsme v rovnováze, ale závisí jen na teplotě. Nakreslíme si teď obrázek znázorňující křivku I(co) (obr. 41.4). Z něj se dozvíme, kolik svěda připadá najednodivé frekvence. Intenzita v nádobě připadající najednotkový frekvenční interval se chovájako druhá mocnina frekvence. To znamená, že při libovolné teplotě by z nádoby vycházelo velké množství rentgenového záření! To, samozřejmě, není pravda. Když otevřeme pec a podíváme se do ní, rentgenové záření nám oči nespálí. Je to tedy nesmysl. Navíc, celková energies nádobě, celková intenzita sčítaná přes všechny frekvence, by měla být rovna obsahu plochy pod touto nekonečnou křivkou. V samotné podstatě musí být proto něco naprosto špatně. Klasická teorie byla proto úplně neschopná správně vyjádřit rozložení záření černého tělesa, právě tak jako byla neschopna správně vyjádřit měrnou tepelnou kapacitu plynů. Fyzikové zkoumali toto odvození z mnoha různých hledisek, ale nenacházeli východisko. Je to předpověď klasické fyziky. Vztah (41.13) se nazývá Rayleighůvzákon, je předpovědí klasické fyziky aje zřejmě absurdní. 560 BROWNŮV POHYB EKVIPARTIČNOST A KVANTOVÝ OSCILÁTOR Uvedená těžkost je jen další část téhož problému klasické fyziky, který se projevil obtížemi souvisejícími s měrnou tepelnou kapacitou plynů a teď se soustředil na rozložení svěda v černém tělese. Zatímco teoretici studovali tento problém, bylo provedeno mnoho měření skutečné křivky. Ukázalo se, že správná křivka vypadá tak jako přerušované čáry na obr. 41.4. Tedy žádné rentgenové paprsky. Kdybychom snižovali teplotu, křivka by se snižovala úměrně s teplotou podle klasické teorie, ale měřená křivka se také při nízké teplotě dříve odřízne. Nízkofrekvenční konec teoretické křivky je správný, ale vysokofrekvenční ne. Z jakých důvodů? Když se James Jeans zabýval problémem měrné tepelné kapacity plynů, všiml si, že pohyb s vysokými frekvencemi „zamrzá" při snižování teploty. Kdyžje teplota příliš nízká a frekvence příliš vysoká, oscilátory nemají střední hodnotu energie KT. Připomeňme si, jak jsme odvodili vztah (41.13). Vše záviselo na energii oscilátoru v tepelné rovnováze. To KT, které jsme dosadili do (41.5), bylo stejné jako AT v (41.13), neboli střední energie harmonického oscilátoru s frekvencí co při teplotě T. V klasické fyzice to je kT, ale experiment říká něco jiného: při příliš nízkých teplotách nebo při příliš vysokých frekvencích oscilátoru taková závislost neplatí. Důvod proč teoretická křivka nevyhovuje je tedy stejný jako příčina selhání staré teorie měrné tepelné kapacity plynů. Je jednodušší zkoumat křivku záření černého tělesa, než měrné tepelné kapacity plynů, která je příliš složitá. Soustředíme se tedy na určení správné křivky záření černého tělesa, protože z ní se dovíme, jak střední energie harmonického oscilátoru při libovolné frekvenci ve skutečnosti závisí na teplotě. Obr.41.4 Rozdělení intenzity záření černého tělesa při dvou teplotách podle klasické fyziky (plnéčáry). Přerušované čáry znázorňují skutečné rozdělení. Zkoumáním této křivky se zabýval Plaňek. Nejdřív našel řešení empiricky tak, že srovnáním naměřené závislosti a známých funkcí vybral takovou, která výborně vystihovala takovou závislost. Našel tedy empirický vztah pro střední energii oscilátoru jako funkci frekvence. Jinými slovy, získal správný vztah místo kT a pak se mu podařilo tento vztah i odvodit za velice zvláštního předpokladu. Tento předpoklad spočíval v tom, že harmonický oscilátor může nabývat energii jen v množstvích Aco. Představa, že může mít jakoukoliv energii, je nesprávná. To byl, samozřejmě, začátek konce klasické mechaniky. Nyní odvodíme vztah, k němuž se dospělo jako k první správné kvantověmechanické formuli. Předpokládejme, že dovolené energetické hladiny harmonického oscilátoru jsou rovnoměrně rozloženy tak, že sousedící jsou od sebe vzdálené o Ao)0, a oscilátor může tedy nabývat energie jen některé z těchto hladin (obr. 41.5). Plaňek sice použil složitější zdůvodnění než my, protože kvantová mechanika byla ve svých počátcích a musel některé věci dokázat. My prostě přijmeme jako fakt (který Plaňek na tomto případě demonstroval), že pravděpodobnost obsazení hladiny s energií £je P[E) = ae'ElkT. Budeme-li vycházet z této skutečnosti, dospějeme k správnému 561 EKVIPARTIČNOST A KVANTOVÝ OSCILÁTOR výsledku. _AL n, n, n, ■ E,=4Tkd P,»/9xp(-4tno/ PřzA6xp(-3ha/kT) ■ Eŕ=Ztw> P^4exp(-2hm/x7) ■E,=Okd P,=/texp(-1TKD/j(rT) ■ £>0 P^A Obr. 41.5 Energetické hladinyharmorúckéhooscálátomjsouekvidistantaí: En = nň&> Předpokládejme, že máme mnoho oscilátorů a každý z nich kmitá s frekvencí ťyQ. Některé z nich jsou v nejnižším kvantovém stavu, jiné jsou na následující hladině atd. Nás zajímá stř ední energie těchto oscilátorů. Najdeme ji tak, že spočítáme celkovou energii všech oscilátorů a vydělíme ji počtem oscilátorů. Tak dostaneme sďední energii na oscilátor v tepelné rovnováze a je to také energie, která je v rovnováze se zářením černého tělesa. Tuje třeba dosadit do rovnice (41.13) místo AT. Nechť NQje počet oscilátorů, které jsou v základním stavu (nejnižším energetickém stavu); iVj je počet oscilátorů ve stavu iVj, N2 je počet oscilátorů ve stavu N2 atd. Podle hypotézy (kteroujsme neověřili), nahradíme klasické výrazy pro pravděpodobnosti e~PK/kT nebo e "v kvantové mechanice výrazem e"A£/*r,kde AJ?je přebytek energie. Proto můžeme předpokládat, že počet oscilátorů JVj, které jsou v prvním stavu, bude roven e ■w*rkrátpočeJ oscilátorů NQ, které jsou v základním stavu, tj. N{ = N0 e"A,kT. Pro zjednodušení algebry zavedeme x = e'ha/kT. Pak lze počet oscilátorů jednoduše vyjádřit: A'', = NQx, N2 = NQx2,... Nn = N0x ". Nejdřív musíme najít celkovou energii všech oscilátorů. V základním stavu má oscilátor nulovou energii. V prvním stavu je jeho energie ha a takových oscilátorů je JVj. Z těchto oscilátorů můžeme tedy získat A'', h(ů nebo Aú)N0x energie. V druhém stavu mají oscilátory energii 2/>ťyajejich A^,proto dostáváme energii N2 • 2 ň(ů = 2 ň coNQ x2 atd. Když to všechno sečteme, dostaneme Ealk = NQň/kT_ ! To byl vlastně první kvantověmechanický vztah, který byl znám a diskutován, a představoval krásné vyústění celých desetiletí zmatků. Maxwell věděl, že něco není v pořádku a problém byl v tom, že se nevědělo, co je vlastně správné. Tadyje kvantitativní odpověď na otázku, co je tř eba 562 BROWNŮV POHYB vzít místo kT. Samozřejmě by tento výraz měl konvergovat ke kT, když co -> 0 nebo T->«. Zkuste to dokázat - procvičíte se tak v matematice. Výraz pro střední energii představuje slavný odřezávající faktor, po kterém pátral Jeans a dosadíme-li ho místo AT do vztahu (41.13), pro rozdělení svěda v černé skříňce dostaneme vyjádření I(co)áco- t"**" . (41.16) Je vidět, že i přestože máme v čitateli co3, bude při velkých co křivka opět klesat a nevyskočí nahoru, neboť ve jmenovateli bude exponenciální funkce obsahovat velmi velký exponent -a proto se ultrafialové svědo a rentgenové paprsky neobjeví tam, kde je neočekáváme! Mohli byste namítat, že při odvození (41.16) jsme použili kvantovou teorii pro energetické hladiny harmonického oscilátoru, ale klasickou teorii pro určení účinného průřezu c^. Jenže kvantová teorie svěda interagujícího s harmonickým oscilátorem dává přesně stejnývýsledekjako klasická teorie. Proto jsme si mohli dovolit věnovat tolik času určování indexu lomu a rozptylu svěda a modelovat přitom atomy malými oscilátory - kvantové výrazy vycházejí v podstatě stejně. Vraťme se nyní kjohnsonovu šumu rezistorů. Užjsme se zmínili, že teorie sumuje ve skutečnosti stejnájako klasická teorie záření černého tělesa. Dokonce jsme s trochou humoru poznamenali, že když odpor v obvodu není skutečným odporem, ale anténou (anténa se chová jako odpor, neboť vyzařuje energii), radiačním odporem, lze snadno vypočítat vyzařovaný výkon. Je to ten výkon, který anténa dostává od svěda, jež ji obklopuje a měli bychom dospět ke stejnému rozdělení až najeden či dva faktory. Můžeme předpokládat, že rezistor je generátor s neznámým spektrem výkonu P{co). Spektrum je dáno skutečností, že tento generátor připojený k rezonančnímu obvodu libovolné:frekvence, jako na obr. 41.2b, generuje v indukčnosti napětí, jehož velikost je dána rovnicí (41.2). To nás přivádí ke stejnému integrálu jako v (41.10) a stejný postup vede k rovnici (41.3). Samozřejmě v případě nízkých teplot musíme nahradit KT v (41.3) výrazem (41.15). Tyto dvě teorie (záření černého tělesa ajohnsonůvšum) ifyzikálně úzce souvisí, protože rezonanční obvod můžeme připojit k anténe, takže odpor iřje pak čistým radiačním odporem Protože (41.2) nezávisí na fyzikálním původu odporu, bude generátor G stejný pro skutečný odporjako pro radiační odpor. Co je zdrojem generovaného výkonu P(co), je-li odporem Äjen ideální anténa v rovnováze s jejím okolím při teplotě Ti Je to záření I(co) v prostoru při teplotě T, jež dopadá na anténu a jako „přijatý signál" vytváří efektivní generátor. Proto, postupujeme-H od (41.13) k (41.3), můžeme odvodit přímý vztah mezi P{co) a I(co). Vše, o čem jsme mluvili -Johnsonův šum a Planckovo rozdělení - a také správná teorie Brow-nova pohybu, jsou výsledky získané přibližně během prvního desetiletí 20. století. Se získanými poznatky a znalostí historického pozadí se vrátíme k Brownovu pohybu. NÁHODNÁ PROCHÁZKA Zkoumejme, jak se mění s časem poloha chaoticky se pohybující částice, zajímáme-li se o doby, jež jsou velmi velké ve srovnání s dobou mezi nárazy. Uvažujme malou částici Brownova pohybu, která poskakuje, protože je bombardována ze všech stran nepravidelně narážejícími molekulami vody. Ptáme se: Jak daleko od počáteční polohy se dostane částice za určitou dobu? Tento problém vyřešili Einstein a Smoluchovski. Představíme-li si čas rozdělený na malé intervaly, například setiny sekundy, dostane se částice po první setině sekundy na určité místo, v další 563 NÁHODNÁ PROCHÁZKA setině se dostane o kus dál, v další setině zase jinam atd. Vzhledem k frekvenci, jakouje částice bombardována, představuje setina sekundy velmi dlouhou dobu. Čtenář si může snadno ověřit, že počet srážek, kterých se zúčastní jedna molekula vody za sekundu, je kolem 1014, takže za setinu sekundyje to 1012 srážek, a to je velmi mnoho! Proto si po setině sekundy částice nepamatuje, co se s ní dělo předtím. Jinými slovy, srážky jsou náhodné, takže „krok" částice nezávisí na předcházejícím „kroku". Podobá se to známému problému opilého námořníka, který vychází z hospody a udělá řadu kroků, jenže každý krok je náhodný, námořník volí kroky v libovolném úhlu (obr. 41.6). Klademe si otázku: Kam se dostane námořník po dlouhé době? To samozřejmě nevíme! Na tuto otázku nemůžeme odpovědět. Můžeme říci jen tolik, že se kamsi více méně náhodně dostal. Kam se tedy dostal aspoň v průměru? Jaká je střední vzdálenost od hospody, kam námořník došel? Na tuto otázku jsme však už odpověděli, neboťjsme zkoumali superpozici světía přicházejícího od množství rozličných zdrojů s různými fázemi a museli jsme sčítat velké množství šipek v rozmanitých směrech (kapitola 32). Tehdy jsme zjistili, že střední hodnota druhé mocniny vzdálenosti mezi konci řetězce náhodných kroků (představující intenzitu svěda) je rovna součtu intenzit jednotlivých příspěvků. Použijeme-li tedy stejnou matematiku, můžeme ihned dokázat, že sďední kvadratická vzdálenost od počátku je úměrná počtu kroků. Je-li Ä„ vektor vzdálenosti od počátku po Marocích, pak (RN) = NL2, kde Lje délka každého kroku. Je-li počet kroků v našem problému úměrný času, je střední kvadratická vzdálenost úměrná času (R2) = at. (41.17) To neznamená, že střední vzdálenost je úměrná času. Kdyby byla střední vzdálenost úměrná času, znamenalo by to, že pohyb probíhá pěkně ustálenou rychlostí. Námořník sice postupuje dopředu, ale jen tak, žejeho střední kvadratická vzdálenost] e úměrná času. Toje charakteristický rys náhodné procházky. Obr. 41.6 Náhodnáprocházka36krokůdélky i Jakje daleko Sx od£? Odpověď: v průměru asi o 6 l Lze snadno ukázat, že každý krok zvětšuje střední kvadratickou vzdálenost v průměru o L2. Když totiž zapíšeme RN = RN_ t + L, zjistíme, že pro RN platí rn'rn = rn = rn-i + 2RN-t-L*L2 , 2 2 o a zprůměrováním přes mnoho pokusů dostaneme (RN) = (RN. y) + L , protože (RN_ y'Ľ) = 0. Indukcí získáme výsledek R2N = NL2. (41.18) Teď bychom měli vypočítat koeficient a\ (41.17), ale dříve než k tomu přistoupíme, musíme si ještě něco připomenout. Budeme předpokládat, že bude-li na částici působit síla, částice bude reagovat následujícím způsobem (tato síla nesouvisí s Brownovým pohybem - zatím se zabýváme vedlejším problémem). Především se projeví setrvačnost Nechť m je koeficient setrvačnosti, 564 BROWNUV POHYB efektivní hmotnost objektu (nemusí to být skutečná hmotnost skutečné částice, neboť při pohybu částice vodou se bude pohybovat i voda v okolí častíce). Mluvíme-li tedy o pohybu částice v jednom směru, máme na jedné straně rovnice výraz typu m(d2x/dt ). Dále budeme předpokládat, že při působení stálého tahu na objekt bude objekt brzděn kapalinou a toto brzdění bude úměrné rychlostí objektu. Kromě setrvačností kapaliny je zde ještě odpor proti proudění vyvolaný viskozitou a složitostí kapaliny. Pro vznik fluktuací je bezpodmínečně nutná existence nevratných ztrát, něčeho, co se podobá odporu. Bez takových ztrát není možné získat kT. Příčina fluktuací velmi těsně souvisí s těmito ztrátami. Později uvidíme, jaký je mechanizmus tohoto brzdění, až budeme mluvit o silách úměrných rychlostí, a o tom, odkud pocházejí. Nyní však předpokládejme, že takový odpor existuje. Potom vztah vyjadřující pohyb pod vlivem vnější síly, působící na částici obvyklým způsobem, vypadá takto: m$llL + u—=F,. (41.19) d t2 d t al Veličinu u můžeme určit přímo z experimentu. Můžeme například pozorovat pád kapky pod vlivem gravitace. Tehdy víme, že sílaje mga. uje wig-dělené rychlostí, které padající kapka nakonec dosáhne. Případně bychom mohli dát kapku do odstředivky a pozorovat rychlost sedimentace. Je-li kapka nabitá, mohli bychom na ni aplikovat elektrické pole. Veličina pije tedy měřitelná veličina, nejen něco umělého a je známá pro mnoho druhů koloidních částic. Použijme stejný vztah i v případě, kdy síla není vnější, aleje rovna nepravidelným silám Brow-nova pohybu. Místo toho, abychom uvažovali vzdáleností v třírozměrném prostoru, budeme se zajímat pouze o jeden rozměr a abychom se připravili na řešení úlohy, hledejme střední hodnotu x2. (Je zřejmé, že střední hodnota x je stejná jako střední hodnota y2 a střední hodnota z2, a proto střední kvadratická vzdálenostje trojnásobek toho, co budeme počítat) .Je jasné, že x-ová složka nepravidelných silje právě tak nepravidelnájako kterákolivjiná složka. Jaká je rychlost změny x2? Platí d [x2)/d t = 2 x (d x/d t), a tak musíme hledat střední hodnotu součinu polohy a rychlostí. Ukážeme, že je konstatní, a proto bude str ední kvadratický poloměr narůstat úměrně s časem. Určíme rychlost nárůstu. Vynásobfme-li rovnici (41.19) x, získáme mx[d2x/d t2) + fix(d x/d i) = x^.Potxebujemeznátčasovýprůměrx(dx/dr),aprotozprůměru-jeme celou rovnici a budeme zkoumat její tři členy. Co můžeme říci o součinu x a síly? Když se částice dostala do určité vzdáleností x, pak následující impuls může být v libovolném směru vzhledem k x, neboť působící sílaje zcela nahodilá a nerozezná, odkud částice vyšla. Když bude x kladné, není důvod, proč by střední síla měla být v tomto směru. Se stejnou pravděpodobností může být v jednom i v druhém směru. Bombardující síly ji nepoženou v určitém směru. Proto je střední hodnota součinu x a jFrovna nule. V případě členu mx(d2 x/d t2) však musíme být trochu vynalézaví a zapsat ho v podobě d2x d[x{dx/dt)] ( dx\2 mx-= m——-—-ml — d*2 d t [dtj Původní výraz jsme vyjádřili pomocí dvou členů a tyto členy musíme zprůměrovat. Všimněme si, jak vypadá součin polohy a rychlostí. Má sďední hodnotu, která se nemění s časem, neboť, když se částice dostane do určité polohy, už si nepamatuje, kde byla předtím a veličiny takového druhu se nemění s časem. Časová derivace této veličinyje proto v průměru nulová. Zůstává nám 565 NÁHODNÁ PROCHÁZKA veličina mv2, o níž víme jen to, že mv2/2 má střední hodnotu 1/2 kT. Proto rovnice d2x\ I dx\ dává -{mv2)^4-(x2)=0 2 d t neboli d(x2) =2kT (412Q) dt fi Proto pro střední kvadratickou vzdálenost (R2) částice v čase í platí (R2)=6kT-. (41.21) Tak můžeme vlastně určit, jak daleko se částice dostanoul Nejprve musíme určit, jak reagují na konstantní sílu, jak rychle putují pod vlivem známé síly (abychom určili u) a pak můžeme určit, jak daleko se dostanou při svém náhodném pohybu. Tato rovnice má velký historický význam, neboť se na ní zakládal jeden z prvních způsobů určení konstanty k. Můžeme totiž změřit u, čas, vzdálenost, do které se částice dostanou a určit průměr. Určení k bylo tak důležité, neboť ve stavové rovnici pV= RTpro jeden mol můžeme změřit R, a Rje rovno Ä-násobku počtu atomů vjednom molu. Mol byl původně definován jako určitý počet gramů nuklidu kyslíku 160 (dnes se používá uhlík), takže počet atomů v jednom molu nebyl původně znám. Je to samozřejmě velmi zajímavý a důležitý problém. Jak velké jsou atomy? Kolik jich je? A tak se jedno z prvních určení počtu atomů zakládalo na určení toho, jak daleko se dostane drobná částice nečistoty, kdyžji určitý čas trpělivě pozorujeme mikroskopem. Když bylo už změřeno R, bylo možné určit Boltzmannovu konstantu k a Avogadrovu konstantu NQ. 566 ŘÍKLADY A CVIČENÍ 41.1 41.2 ■ Vypočítejte a zapamatujte si a) teplotu 7", pro nlz kT= 1 eV; b) velikost kT(v eV) při pokojové teplotě; c) vlnovou délku fotonu odpovídající kvantovému přechodu s rozdílem energií 1 eV. hw3doi Traca(e*"/*T-1) Rozdělení záření absolutně černého tělesa má tvar / (cj) d (tu) = Přejděte k nové proměnné x=hcj/kTa ukažte, že a) celková intenzita záření zintegrovaná v celém rozsahu frekvencí je úměrná čtvrté mocnině absolutní teploty. b) frekvence íj, při níž má I(cj) maximální hodnotu, je úměrná absolutní teplotě. 41.3 ■ Najděte relativní intenzity světla o vlnové délce 0,31 um vyzařovaného dvěma absolutně černými tělesy, jež mají termodynamické teploty 2000 K a 4000 K. 567 plikace kinetické teorie 42.1 VYPAROVANÍ 42.2 TERMOEMISE 42.3 TERMOIONIZACE 42.4 CHEMICKÁ KIN ETIKA 42.5 EINSTEINOVY ZÁKONY ZÁŘENÍ 42.1 VYPAŘOVÁNÍ V této kapitole budeme mluvit o některých dalších aplikacích kinetické teorie. V předcháze jící kapitole jsme zdůraznili jeden zvláštní rys kinetické teorie, konkrétně, že střední kinetická energie každého stupně volnosti molekuly nebo jiného objektu je rovna 1/2 kT. Hlavním předmětem našich úvah bude nyní skutečnost, že pravděpodobnost nalezení částice vjednotko-vém objemu na určitém místě se mění podle závislosti exp (- potenc. energie/kT). Tuto skutečnost využijeme v řadě případů. Jevy, které chceme zkoumatjsou poměrně složité: vypařování kapaliny, vyletování elektronů z povrchu kovů nebo chemické reakce zahrnující velký počet atomů. V takových případech už není možné vyvozovat z kinetické teorie jednoduché a přitom přesné závěry, neboť situace je příliš složitá. Proto je tato kapitola poměrně nepřesná, až na případy, na které zvlášť upozorňujeme. Chtěli bychom zdůraznit pouze to, že pomocí kinetické teorie můžeme do určité míry tyto jevy pochopit. Použitím termodynamických argumentů nebo některých měření určitých kritických veličin o nich můžeme získat přesnější představu. Je však velmi užitečné poznat, i když jen částečně, proč děje probíhají určitým způsobem, protože v nové situaci nebo v situaci, kterou se jen chystáme analyzovat, můžeme přibližně říci, co by se mělo stát. Taková analýzaje sice velmi nepřesná, ale v podstatě správná - zakládá se na správné myšlence, jen je trochu zjednodušená, řekněme v některých jemných detailech. První příklad, který budeme uvažovat, je vypařování kapaliny. Předpokládejme, že máme nádobu s velkým objemem částečně zaplněnou kapalinou, kteráje v rovnováze s párou při určité teplotě. Budeme předpokládat, že molekuly páry jsou od sebe poměrně vzdálené a molekuly v kapalině jsou natěsnané. Naší úlohou je zjistit, kolik molekul je v plynné fázi ve srovnání 568 APLIKACE KINETICKÉ TEORIE s počtem molekul, jež jsou v kapalině. Jakje hustá pára při dané teplotě a jak závisí tato hustota na teplotě? Ať nje počet molekul páry v jednotkovém objemu. Samozřejmě, tento počet se mění s teplotou. Přidáme-li teplo, zvýší se vypařování. Zaveďme jinou veličinu 1 / Va, kteráje rovna počtu atomů vjednotkovém objemu kapaliny. Předpokládáme, že každá molekula kapaliny zaujímá určitý objem. Je-li v kapalině více molekul, obsadí spolu větší objem. Je-li tedy Va objem zaujímaný jednou molekulou, počet molekul vjednotkovém objemu bude roven jednotkovému objemu dělenému objemem připadajícím na jednu molekulu. Dále budeme předpokládat, že mezi molekulami působí přitažlivé síly, které je v kapalině drží pohromadě. Jinak bychom nemohli pochopit, proč dochází ke kondenzaci. Předpokládejme tedy, že taková síla existuje a existuje vazbová energie molekul v kapalině, která se ztrácí, když molekuly přecházejí do páry. Budeme tedy předpokládat, že k vytržení molekuly z kapaliny do páry je třeba vynaložit určité množství práce W. Existuje určitý rozdíl Wmezi energií molekuly v kapalině a její energií v páře, protože ji musíme odtrhnout od ostatních molekul, které ji přitahují! Nyní využijeme obecný princip, podle něhožje počet atomů vjednotkovém objemu ve dvou různých oblastech roven n^/n{ = exp [- (K^ - E^/k 7]. Tedy počet molekul n vjednotkovém objemu páry dělený počtem molekul 1 / V vjednotkovém objemu kapaliny je roven n7a = exp[- W/kT\. (42.1) To je vlastně obecné pravidlo. Podobá se to situaci v atmosféře v gravitačním poli, kde je plyn dole hustší než nahoře, protože ke zdvižení molekuly plynu do výšky A je třeba práce mgh. V kapalině jsou molekuly hustší než v plynu, protože ven bychom je dostali jen přes energetický val Wa poměr hustot je exp(- W/kT). To jsme právě chtěli odvodit - že hustota páry se mění jako e na mínus nějakou energii dělenou kT. Koeficient před tímto výrazem nás vlastně ani nezajímá, neboť ve většině případů je hustota páry mnohem menší než hustota kapaliny. V podmínkách, kdy nejsme blízko kritického bodu, kde jsou hustoty kapaliny a páry téměř stejné, ale kdy je hustota páry n mnohem menší než hustota kapaliny 1/ V, je tato skutečnost vyvolána tím, že v exponentuje Wmno-hem větší než KT. Vztahy typu (42.1) jsou tedy zajímavé jen tehdy, když Wje mnohem větší než KT, protože umocňujeme e na velmi velkou zápornou mocninu. Změní-li se Tjen málo, vyvolá to změnu této velké mocniny a hodnota exponenciální funkce bude mnohem významnější než jakýkoli vliv koeficientu stojícího před ní. Proč by se však měly měnit takové veličiny jako V? Protože naše analýza bylajen přibližná. Koneckonců každá molekula nemá ve skutečnosti vymezen stálý objem; při změně teploty nezůstává objem V stálý, neboť kapalina se roztahuje. Působí i jiné podobné vlivy, takže skutečná situace je mnohem složitější. Všude se vyskytují pomalu se měnící faktory závislé na teplotě. Dokonce i o lysamotném můžeme říci, že v malé míře závisí na teplotě, protože při vyšší teplotě, při jiném molekulárním objemu bude jiné průměrné přitahování atd. Mohli bychom sice myslet, že máme vzorec, v němž se všechno mění neznámým způsobem s teplotou, ale ve skutečnosti bychom žádný vzorec neměli. Uvědomíme-li si, že exponent W/kT je obecně velmi velký, pochopíme, že největší změna křivky závislosti hustoty páry na teplotě je vyvolána exponenciálním faktorem a budeme-li Wpovažovat za konstantu a koeficient 1 / Va za přibližně konstantní, dostaneme dobrou aproximaci pro krátké úseky křivky. Jinými slovy: podstatné změny mají obecný průběh exp (- W/kT). Ukazuje se, že v přírodě je velmi mnoho jevů, jež jsou charakterizovány tím, že se energie v nich odkudsi čerpá a jejich hlavním rysem je teplotní závislost e na mínus energie Wdělená 569 VYPAROVANÍ kT. Tento fakt je užitečný jen tehdy, když je energie velká ve srovnání s kT, takže hlavní část změn je určena změnou kTa. ne změnou konstant a jiných faktorů. Uvažujme nyní jiný způsob jak dospět k podobnému výsledku pro vypařování, takový, při němž budeme více přihlížet k podrobnostem. Abychom získali (42.1), použili jsme prostě pravidlo platné při rovnováze. Chceme-li lépe chápat podstatu věcí, nebude na škodu se podrobněji podívat na to, co se vlastně při vypařování děje. Můžeme to popsat takovým způsobem: molekuly páry soustavně bombardují povrch kapaliny; při nárazu se mohou odrazit nebo uváznout. Nevíme, s jakou pravděpodobností se realizují tyto možností - možná v poměru 50 ku 50, možná 10 ku 90. Předpokládejme, že molekuly páry vždy uváznou v kapalině - později můžeme situaci sledovat za předpokladu, že se také někdy odrazí. V daném časovém okamžiku bude určitý počet molekul kondenzovat na povrchu kapaliny. Počet kondenzujících molekul, počet těch, které prošlyjednotkovou plochou, je roven součinu počtu molekul n v objemovéjednotce a rychlostí v. Tato rychlost závisí na teplotě, protože 1/2 mv2 je v průměru rovno 3/2 kT. Proto v představuje jakousi střední rychlost. Samozřejmě musíme integrovat přes úhly a udělat určité zprůměrování, ale výsledek je zhruba úměrný střední kvadratické rychlosti až na nějaký koeficient. Tedy Nk = nv (42.2) představuje počet molekul, jež proniknou jednotkovou plochou povrchu kapaliny a zkondenzují. Současně se však molekuly kapaliny chaoticky pohybují a čas od času některá z nich kapalinu opustí. Naším úkolem je odhadnout, jak často se to stává. Budeme vycházet z toho, že v rovnováze je počet molekul vyletujících z kapaliny zajednu sekundu roven počtu molekul, které do kapaliny zajednu sekundu přicházejí. Kolik molekul vyletuje z kapaliny? Aby se molekula dostala ven, musí nějakým způsobem získat přebytek energie ve srovnání se svými sousedy - značný přebytek, protože je velmi silně upoutána ostatními molekulami kapaliny. Obyčejně kapalinu neopouští, neboť je velmi silně přitahována, ale při srážkách může náhodně takovou energii získat. Je-li W» kT, pravděpodobnost, že získá v našem případě potřebnou energii W, je velmi malá. Pravděpodobnost toho, že molekula získala větší energii než W, je vlastně exp(-W/kT). Takový je obecný princip kinetické teorie: Pravděpodobnost získání energie, která je o W větší než průměr, je rovna takové mocnině e, jejíž exponentje roven mínus Vydělenému kT. Předpokládejme, že některé molekuly získaly takovou energii. Musíme určit, kolik takových molekul opouští za jednu sekundu povrch kapaliny. To, že má molekula potřebnou energii ještě neznamená, že se opravdu odpaří, neboť může být příliš hluboko v kapalině, nebo i když je při povrchu, může se pohybovat nevhodným směrem. Počet molekul, které opouštějíjednotkovou plochu za sekundu, bude takový: Počet molekul v blízkostí povrchu připadajících najednotku plochy dělený časem, který molekula potř ebuje k úniku a násobený pravděpodobností exp (- W/kT) toho, že molekuly mají dostatečnou energii. Budeme předpokládat, že každá molekula na povrchu kapaliny zabírá určitou plošku A. Potom počet molekul připadajících na plochu povrchu kapalinyjednotkového obsahuje roven l/A. Kolik času potřebuje molekula k opuštění kapaliny? Pohybují-li se molekuly určitou střední rychlostí v a musí projít, řekněme, vzdálenost odpovídající průměru molekuly D, tedy doušťce povrchové vrstvy, potom čas, který potřebují k překonání této vzdáleností, je čas potřebný k úniku molekuly, jež má dostatečnou energii. Tento čas se bude roven D/v. Pro počet odpařujících molekul bude přibližně platit 570 APLIKACE KINETICKÉ TEORIE Nv = {l/A) {v/D) exp (- W/kTj . (42.3) Plocha zaujímaná molekulou násobená tloušťkou vrstvyje přibližně stejnájako objem Va, který molekula zabírá. Aby nastala rovnováha, musí platit Nk = Nv, tedy Rychlosti v nám z rovnice vypadnou; i když na jedné straně rovnice představuje v rychlost molekuly v páře a na druhé straně rovnice rychlost odpařující se molekuly. Tyto rychlosti jsou stejné, neboť jejich stř ední kinetická energie (v jednom směru) je 1/2 kt. Možná bude někdo z vás namítat, že jde o zvlášť rychle se pohybující molekuly - ty, které získaly přebytečnou energii. To však není pravda, neboť v okamžiku, kdy se vydaly na cestu z kapaliny, ztratily tento přebytek na úkor potenciální energie. Když opouštějí povrch, jsou už zpomaleny na rychlost v\ Situace je stejnájako při rozdělení rychlostí molekul v atmosféře. V dolních vrstvách měly molekuly určité rozdělení energie, a ty, které dosáhly horní vrstvy, mají íte/n/rozdělení energie, protože pomalé molekuly tam vůbec nedošly a rychlé byly zpomaleny. Molekuly, které se vypařují, mají stejné rozdělení energie jako vnitřní molekuly - a to je pozoruhodná skutečnost. Nemá však velký význam posuzovat náš vztah přísně, neboť obsahuje i jiné nepřesnosti. Neuvažovali jsme například, pravděpodobnost odrazu molekul od povrchu kapaliny, mfstojejich kondezace atd. Získali jsme hrubou představu o rychlosti vypařování a kondenzace a už víme, že hustota páry n se mění stejně jako předtím, nyní to však chápeme detailněji a ne pouze jako svévolnou formuli. Takové hlubší chápání nám dovolí objasnit řadu věcí. Předpokládejme, například, že odsáváme páru tak rychle, že ji odstraníme ihned po vytvoření (máme-li dobrá čerpadla a kapalina se vypařuje velmi pomalu). Ptáme se, jakou rychlostí bude probíhat vypařování, budeme-li udržovat teplotu kapaliny na hodnotě T. Předpokládejme, že jsme již experimentálně určili rovnovážnou hustotu páry, takže víme, kolik molekul v jednotkovém objemu je v rovnováze s kapalinou při dané teplotě. Zajímá nás, jaká bude rychlost vypařování. I když naše analýza vypařování byla jen hrubá, počet přicházejících molekul páry jsme neodhadli špatně, neuvažujeme-li neznámý koeficient odrazu. Můžeme proto využít skutečnost, že v rovnováze je počet odcházejících molekul stejný jako počet přicházejících molekul. Ve skutečnosti je pára odstraňována, a tak molekuly kapalinu jenom opouštějí, ale kdybychom páru ponechali samu sobě, dosáhla by rovnovážné hustoty, při níž se počet odcházejících molekul rovná počtu přicházejících. Proto snadno nahlédneme, že počet molekul, které za sekundu vycházejí z povrchu kapaliny, je roven neznámému koeficientu odrazu R násobenému počtem molekul, jež by za sekundu vycházely z povrchu, kdybychom páru neodčerpávali. To je totiž počet molekul, který vyrovnává ztráty vypařováním. Je samozřejmé, že se snáze vypočítá počet molekul páry dopadajících na kapalinu, protože nemusíme tolik vědět o silách, než když uvažujeme o průniku molekul povrchem kapaliny. Je mnohem jednodušší postupovat naopak. nv = (v/V)exp{- W/kT) . (42.4) Nc = nvR = {vR/ V) exp (- W/kí) . (42.5) 571 TERMOEMISE TERMOEMISE Můžeme uvést další příklad často se vyskytující situace, která se natolik podobá vypařování kapaliny, že si nevyžaduje zvláštní analýzu. Je to v podstatě týž problém. V elektronce existuje zdroj elektronů, konkrétně žhavené wolframové vlákno, a kladně nabitá destička, která přitahuje elektrony. Každý elektron, který unikl z povrchu wolframu, je ihned unášen k destičce. To je naše ideální „čerpadlo", které soustavně odvádí elektrony. Ptáme se: Kolik elektronů můžeme dostat za sekundu z kousku wolframu a jak se tento počet mění s teplotou? Odpověď na tuto otázku představuje vztah (42.5), neboť v kousku kovujsou elektrony přitahovány k iontům nebo atomům kovu. Zhruba řečenojsou udržovány v kovu. Kvytržení elektronu z kovuje třeba určité energie, musíme vykonat určitou práci. Tato práce je pro různé kovy různá. Ve skutečností tato práce závisí dokonce i na vlastnostech povrchu daného kovu, ale celková práce představuje jen několik elektronvoltů, což je typická hodnota energie chemických reakcí. V tomto směruje užitečné si připomenout, že napětí galvanických článků využívajících chemické reakce, používaných např. v baterkách, je přibližně jeden volt. Jak můžeme zjistit, kolik elektronů vychází z vlákna za sekundu? Bylo by dost těžké analyzovat, co se děje s elektrony, které vycházejí z kovu; jednodušší bude opačný postup. V našich úvahách můžeme vycházet z představy, že vyletující elektrony nejsou odváděny pryč, ale jako plyn se mohou vracet zpět do kovu. Bude proto existovat určitá rovnovážná hustota elektronů, kterou bude možno vyjádřit přesně stejným vztahem jako je (42.1), kde V bude zhruba objem připadající najeden elektron v kovu a Wje rovno q T exp(- W/kT). Tento vztah je však z jednoho důležitého hlediska nesprávný. Nachází-li se jeden elektron v atomu, druhý elektron už do tohoto objemu nemůže vstoupit! Jinými slovy: ne všechny objemy, které by elektron mohl obsazovat, jsou pro něj dostupné a při rozhodování, zda zaujme místo v páře nebo v kondenzovaném stavu, se objevuje zvláštní rys spočívající v tom, že elektron nemůže jít tam, kde už je druhý elektron - odtud je vypuzován. Právě proto musíme uvažovat jen tu část objemu, která je pro elektron přístupná. Místa, jež jsou už elektronem obsazena, nepatří k takovému přístupnému objemu. Jediným dovoleným objemem je prostor iontů, kde 573 TERMOIONIZACE se nacházejí nezaplněná místa, která elektron může obsadit Uvážíme-li tyto okolností, dospějeme k přesnějšímu vyjádření našeho vztahu "i^ = — exp(- W/kT) . (42.7) Tento vztah se nazývá Sahova ionizační rovnice. Podívejme se, zdaje možné kvalitativně pochopit správnost takové rovnice pomocí argumentů založených na kinetíce probíhajících dějů. Elektron každou chvíli naráží na iont a rekombinuje v atom. Každou chvíli se však i atom zúčastní srážky a rozpadá se na iont a elektron. Četností těchto procesů musí být stejné. Jak rychle se najdou elektron a iont? Tato rychlost se určitě zvýší, vzroste-li počet elektronů vjednot-kovém objemu. Zvýší se i tehdy, když vzroste početiontů vjednotkovém objemu. Protoje celková rychlost rekombinace určitě úměrná součinu koncentrace elektronů a iontů. Dále musí celková četnost ionizace v důsledku srážek lineárně záviset na počtu atomů schopných ionizace. Rychlosti obou procesů budou vyvážené, když se ustálí určitý poměr mezi součinem n n. a počtem atomů na. Skutečnost, že tento vztahje vyjádřen rovnicí, v níž vystupuje ionizační energie W, dává samozřejmě trochu bohatší informaci, ale snadno lze zjistit, že taková rovnice musí obsahovat koncentrace elektronů, iontů a atomů v kombinaci nt n.l na, která může záviset pouze na teplotě, atomových účinných průřezech a jiných konstantách. Všimněme si také, že rovnice obsahuje počty vjednotkovém objemu, a proto ve dvou experimentech s daným celkovým počtem atomů a iontů N, tedy s určitým pevným počtem jader, jsou při použití nádob s různým objemem počty n menší ve větší nádobě. Když se poměr nt n.l na nemění, bude celkový počet elektronů a iontů větší ve větší nádobě. Abychom se o tom přesvědčili, předpokládejme, že máme A/jader v nádobě s objemem V, a že/tá část z nich je ionizována. Pak nt = f NI V= n. a dále na = (1 -f) NI V. V takovém případě naše rovnice přejde do tvaru i-fv vtt - W/kT (42.8) Jinými slovy, bereme-li stále menší hustotu atomů nebo stále větší a větší objem nádoby, musí relativní počet elektronů a iontů / vzrůstat. Ionizace pocházející z „expanze", při níž klesá hustota, je příčinou, proč věříme, že při velmi nízkých hustotách - jaké se vyskytují ve studeném mezihvězdném prostoru - mohou existovat ionty, i když z energetického hlediska je nám to těžko pochopitelné. Přestože k vytvoření iontů je potřebná energie mnohonásobně převyšující kT, ionty tam přece jsou. Proč jsou tam ionty přítomné jen tehdy, když je kolem nich tak mnoho místa, zatímco při vzrůstu hustoty projevují snahu vymizet? Uvažujme atom. Čas od času svědo nebo jiný atom nebo iont nebo cokolivjiného, co udržuje tepelnou rovnováhu, na tento atom narazí. Velmi řídce -neboť si to vyžaduje obrovské množství přebytečné energie - se elektron odtrhne od atomu a zůstane iont. Je-li prostor obrovský, tento elektron putuje a k iontu se možná nepřiblíží celé roky. Jednou za velmi dlouhou dobu se přece jen vrátí a spolu s iontem vytvoří atom. Rychlost, s níž elektrony opouštějí atomy, je velmi malá. Je-li však objem obrovský, elektron, který unikl, potřebuje tak dlouhou dobu než najde jiný iont, s nímž by rekombinoval, že pravděpodobnost rekombinace je příliš malá. Proto i přes velkou přebytečnou energii poďebnou k ionizaci může být počet elektronů značný. 574 APLIKACE KINETICKÉ TEORIE 42.4 CHEMICKÁ KINETIKA S podobnýmjevem jako je ionizace se setkáváme při chemických reakcích. Například, když se dvč látky A a B slučují a vytvářejí látku AB, pak při kratší úvaze docházíme k tomu, že ABje to, co jsme nazývali atomem, B je to, co jsme nazývali elektronem a A zase to, co jsme nazývali iontem. Po takové záměně rovnice rovnováhy jsou co do formy stejné jako předtím nAnB_ce-wnr (429) fíAB Samozřejmě tento vztah není přesný, neboť „konstanta" c závisí na tom, v jakém objemu se mohou A a B slučovat atd. Pomocí termodynamiky však můžeme určit význam veličiny W vystupující v exponentu a ukazuje se, že tato veličina úzce souvisí s energií potřebnou k reakci. Pokusme se pochopit tento vztah jako výsledek srážek, tedy přibližně tak, jak jsme chápali vzorec pro vypařování, když jsme si všímali počtu elektronů, které odcházely z prostoru a které se do něj vracely za jednotku času. Předpokládejme, že A a B se čas od času při srážkách slučují a vytvářejí AB. Dále předpokládejme, že sloučenina ABje složitá molekula, která se také pohybuje a na níž narážejí jiné molekuly a občas získá dost energie na to, aby se opět rozpadla na A a B. V chemických reakcích dochází k situaci, kdy přibližující se atomy mají příliš malou energii, a i když se v reakci další energie uvolní, sblížení atomů A z. B nemusí ještě reakci nastartovat. Obvykle se vyžaduje, aby srážka byla dost tvrdá. Měkká srážka mezi A a Bnemusí stačit k uskutečnění reakce, i kdyby se během reakce energie uvolnila. Předpokládejme tedy, že obvyklým rysem chemických reakcí je skutečnost, že pro A a B nestačí k vytvoření AB pouhá srážka, ale musí to být srážka s dostatečnou energii Tato energie se nazývá aktivační energie — energie potřebná k aktivování reakce. Nechť A * je aktivační energie, tedy přebytek energie potřebný při srážce k uskutečnění reakce. Pak rychlost Rj, s níž A a B vytvářejí AB, by měla obsahovat součin počtu atomů AaB násobený rychlostí, s níž jednodivý atom naráží na určitou plošku «7^ a násobený faktorem e'A /hT, představujícím pravděpodobnost toho, že atomy mají dostatečnou energii: Krw>°ABe'A'/kT- (42!0) Dále potřebujeme znát rychlost opačného procesu Rf. Je určitá pravděpodobnost, že A a B se rozejdou. Aby se rozešly, nestačíjen energie Wpotřebná k jejich samostatné existenci, ale stejně jako v případě slučování musí A a B překonat určitou bariéru k tomu, aby se oddělily. Musí mít dost energie nejen k vzájemnému odtržení, ale ještě něco navíc. Připomíná to výstup na kopec, když se chceme dostat do hlubokého údolí. Napřed musely šplhat přes kopec, aby se dostaly do údolí, a pak musí opět přes kopec při zpáteční cestě (obr. 42.1). Proto rychlost přeměny AB na A a B bude úměrná počtu nM molekul AB násobenému faktorem exp [ - (W+ A')/ k 7] Rr = énABe'(W*A'),kT ■ (42-n) Koeficient č bude obsahovat objem atomů a pravděpodobnost srážek, kterou bychom získali podobným způsobem jako při vypařování pomocí obsahů ploch, dob a douštěk - to však dělat nebudeme. To, co nás nyní nejvíc zajímá, je skutečnost, že v případě rovnosti těchto rychlostí bude 575 CHEMICKÁ KINETIKA ♦ EINSTEINOVY ZÁKONY ZÁŘENÍ jejich pomčr rovenjedné. To znamená, že podobně jako dříve se nA ng/ = c exp (- W/ k 7), kde c obsahuje průřezy, rychlosti a jiné faktory nezávislé na koncentracích n. x Obr. 42.1 Energetická závislost reakce A + B-* AB Je zajímavé, že rychlost reakcí se také mění podle zákona exp (- konst/kT), když konstantaje nyní jiná než v případě koncentrací. Aktivační energie A * je něco zcela jiného než W. Energie W určuje poměry A, 5a AB v rovnovážném stavu, ale když chceme vědět, jak rychle se slučuje A + B na AB, to už nesouvisí s rovnováhou. V tom případě rychlost reakce určuj e prostřednictvím exponenciálního faktoru jiná energie - aktivační energie. Kromě toho A * není základní konstantou jako W. Předpokládejme, že se na povrchu stěny-nebo v nějakém jiném místě - mohou A a B nacházet dočasně takovým způsobem, že se snáze slučují. Jinými slovy, bariéra je nižší nebo skrz ní vede tunel. V důsledku platnosti zákona zachování energie nakonec vždy z A a B vznikne AB, takže energetický rozdíl VTbude nezávislý na cestě, jíž se reakce uskutečnila. Ale aktivační energie A * na této cestě silně závisí. To je důvod proč jsou rychlosti chemických reakcí velmi cidivé na vnější podmínky. Rychlost reakce můžeme změnit, změníme-li povrchy reagujících látek. Dáme-li látky do jiného prostředí, reakce proběhne jinou rychlostí, ale ta závisí na povaze povrchu. Nebo přidáme-li nakonec třetí látku, můžeme silně změnit rychlost reakce. Některé látky vyvolávají obrovské změny reakčních rychlostí i nepatrnými změnami aktivačních energií A* - takové látky nazýváme katalyzátory. Například reakce se vůbec nemusí uskutečnit, protože A * je příliš velké při dané teplotě, ale přidáním specifické látky - katalyzátoru - se A * sníží a reakce velmi rychle proběhne. Mimochodem, při reakci, kdy A a B dávají AB, jsou určité těžkosti, neboť, když se snažíme dostat dva předměty k sobě tak, aby vznikl jeden, který je stabilnější, nemůžeme zachovat i energii i hybnost. Potřebujeme proto přinejmenším třetí předmět C, a tak skutečná reakce je mnohem složitější. Rychlost přímé reakce musí obsahovat součin nA nBnc a mohlo by se proto zdát, že náš vzorec je nesprávný, jenže není to tak! Všimneme-li si rychlosti, s jakou se AB rozpadá, zjistíme, že i zde je potřebná srážka s C, a proto je rychlost zpětné reakce úměrná nABnc a nc se ve v213011 Pr0 rovnovážné koncentrace vyruší. Rovnovážný zákon (42.9) je zcela správný bez ohledu na to, jakýje mechanizmus reakce! EINSTEINOVY ZÁKONY ZÁŘENÍ Nyní věnujme pozornost zajímavé situaci, která je obdobou toho, o čem jsme mluvili a která souvisí se zákonem záření černého tělesa. V předcházející kapitole jsme odvodili distribuční zákon záření v dutině takovým způsobem, jak to udělal Plaňek, který uvažoval záření oscilátoru. Oscilátor měl určitou střední energii, a když kmital, musel vyzařovat. Toto záření se hromadilo v dutině, dokud se neustavila rovnováha mezi emisí a absorpcí. Tak jsme pro intenzitu záření s úhlovou frekvencí o) našli vztah 576 APLIKACE KINETICKÉ TEORIE I((0)dco =--. (42.12) Tento výsledek předpokládá, že oscilátor produkující záření má určité od sebe stejně vzdálené energetické hladiny. Nic jsme neříkali o tom, že svědo jsou fotony nebo něco podobného. Nemluvili jsme ani o tom, jakým způsobem se při přechodu atomu z jedné hladiny na druhou přenáší kvantum energie A co ve formě svěda. Původní Planckova myšlenka spočívala v tom, že látka je kvantována, ale svědo ne: oscilátory látky nemohou přijímat libovolnou energii, ale jen určité dávky energie. Další těžkost spočívala v tom, že odvození bylo částečně klasické. Počítali jsme intenzitu záření oscilátoru podle klasické fyziky a pak jsme změnili názor a prohlásili jsme: „Ne, tento oscilátor má mnoho energetických hladin." Abychom dospěli ke správnému výsledku, důsledně kvantověmechanickému, byl zapotřebí pomalý postupný vývoj, který kulminoval v roce 1927 završením kvantové mechaniky. Mezitím se však Einstein pokusil pozměnit Planckův názor, že pouze látkové oscilátoryjsou kvantovány a přišel s myšlenkou, že svědo jsou skutečně fotony a můžeme je v určitém smyslu chápat jako částice s energií ňco. Dále Bohr poukázal na to, že jakýkoliv systém atomů má energetické hladiny, které však nejsou od sebe nezbytně stejně vzdáleny jako v případě Planckova oscilátoru. Tak vznikla potřeba nového odvození nebo alespoň prodiskutování zákona záření z úplnějšího kvantověmechanického hlediska. Einstein předpokládal, že Planckův výsledný vztah je správný a použil ho k získání nového, předtím neznámého poznatku o interakci záření s látkou. Uvažoval takto: Mějme dvě z mnoha energetických hladin atomu, například m-tou a ra-tou hladinu (obr. 42.2), a ať na takový atom dopadá svědo vhodné frekvence. Pak takový atom může světelný foton absorbovat a přejít ze stavu n do stavu m. Pravděpodobnost realizace tohoto děje samozřejmě závisí na těchto dvou energetických hladinách, aleje úměrná intenzite dopadajícího světla. Označme konstantu úměrnosti B^, aby nám připomínala, že nejde o univerzální konstantu přírody, ale že závisí na příslušném páru hladin; některé hladiny se vybudí obtížně, jiné snadno. Jaký bude výraz pro pravděpodobnost emise při přechodu z m do n? Einstein předpokládal, že se musí skládat ze dvou částí. Není-li svědo, existuje určitá pravděpodobnost, že se atom z vybuzeného stavu dostane do nižšího stavu a vyzáří foton; tento úkaz nazýváme spontánní emise. Takový předpoklad je obdobou představy, že oscilátor s určitou energií, dokonce i v klasické fyzice, nemůže tuto energii udržet, ale ztrácí ji zářením. Obdobou spontánního záření klasického systému je tedy skutečnost, že atom má ve vybuzeném stavu určitou pravděpodobnost A přechodu ze stavu wido nižšího stavu n a tato pravděpodobnost opět závisí na energetických hladinách, ale nezávisí na tom, zda na atom dopadá nebo nedopadá svědo. Einstein však šel dále a porovnáním s klasickou fyzikou a pomocí dalších argumentů dospěl k závěru, že emise záření je ovlivňována i přítomností svěda- dopadá-li na atom svědo vhodné frekvence, vzrůstá pravděpodobnost vyzáření fotonu úměrně s intenzitou svěda s konstantou úměrnosti B^. Kdyby se nám později podařilo dokázat, že tento koeficientje nulový, dokázali bychom, že se Einstein mýlil. My se však přesvědčíme o tom, že měl pravdu. Einstein předpokládal, že existují tři druhy procesů: absorpce úměrná intenzitě svěda, emise úměrná intenzitě svěda (nazývaná indukovaná emise nebo stimulovaná emise) a spontánní emise, která nezávisí na svědě. Nyní předpokládejme, že při teplotě T se ustálila rovnováha a ve stavu n se nachází určitý počet atomů Nn a ve stavu m zase Nm. Pak je celkový počet atomů, které přecházejí za sekundu z n do m, roven součinu počtu atomů ve stavu n a pravděpodobností přechodu atomu ze stavu n do stavu m 577 CHEMICKÁ KINETIKA • EINSTEINOVY ZÁKONY ZÁŘENÍ ABSORBCE- m_SPONTÁNNÍ EMISE INDUKOVANÁ n EMISE Obr. 42.2 Přechody mezi dvěma energetickými hladinami atomu K^-N^nco). (42.13) Počet atomů přecházejících z m do n vyjádříme stejným způsobem, tj.jako součin počtu atomů A^, které jsou ve stavu m a pravděpodobností, že atom přejde za sekundu do stavu n. Tak dostaneme vyjádření K-.n-Nn[A^B^Kco)] . (42.14) Nyní předpokládejme, že v tepelné rovnováze je počet atomů postupujících do vyššího stavu stejný jako počet atomů přecházejících do nižšího stavu. Alespoň je to jeden ze způsobů zachování stalého počtu atomů na každé hladině. 52) Proto považujeme v rovnováze rychlosti přechodů za stejné. Máme všakještě jednu informaci: víme, jak velké je Nm ve srovnání s Na- poměr těchto dvou veličin je exp [- (Em - I k T] .Dále Einstein předpokládal, že pro přechody ze stavu n do stavu m, je účinné jen to svědo, jehož frekvence odpovídá energetickému rozdílu, tedy ve všech našich vztazích je E - En = ňeo. Proto Nm = A^exp (- hců/kT) . (42.15) Považujeme-li tedy výše uvedené rychlostí přechodů zastejné, pak NnBnmI{a>) = N [A^ + BmnI((ů)\, a když tento vztah dělíme výrazem A^, dostaneme BnmI{co) exp (ňco/kJ) = Amn + BmnI{co) . (42.16) Z této rovnice můžeme vypočítat I{co). Snadno zjistíme, že 7M = -„ • (42.17) Bnmexp{hco/kT)-Bmn Jenže podle Plancka musí mít tento vztah tvar (42.12). Z toho můžeme na něco usoudit. Především, že B^ musí být rovno Bmn, protože jinak bychom nezískali [exp (A co/ k T) - 1]. Tak Einstein objevil některé vztahy, jejichž přímé odvození neznal, konkrétně, že pravděpodobnosti indukované emise a absorbce musí být stejné. To je zajímavé. Dále, aby (42.17) a (42.12) souhlasily, musí být AJSL =Aw3/jt2c2. (42.18) Není to jediný způsob, jak zachovat stálá počty atomů na jednotlivých hladinách, ale je to právě ten způsob, jímž se toto zachování skutečno realizuje. Skutečnost, že v tepelné rovnováze musí být každý proces vyvážen k němu opačným procesem, se nazývá princip detailní rovnováhy. 578 APLIKACE KINETICKÉ TEORIE Známe-li například pravděpodobnost absorbce pro danou hladinu, můžeme určit pravděpodobnost spontánní emise a pravděpodobnost indukované emise nebo jakoukolivjejich kombinaci. To je vše, na co mohl Einstein nebo kdokoliv jiný přijít použitím takových argumentů. Ke skutečnému výpočtu pravděpodobnosti spontánní emise nebo jiných atomových přechodů je třeba znát vlastnosti atomu, jimiž se zabývá kvantová elektrodynamika. Ta však byla zformulována až o jedenáct let později. Einsteinova práce, o níž byla řeč, pochází z roku 1916. MODRÉ ČERVENÉ SVĚTLO LASERU -n Obr. 42.3 Při vybuzení např. modrým světlem se atom dostává do vyššího stavu h a emisí fotonu přejde do stavu nu Bude-li počet atomů ve stavu m dostatečně velký, může nastartovat činnost laseru. Možnost indukované emise našla dnes zajímavé uplatnění. Dopadající svědo má snahu vyvolat přechody atomů směrem dolů. Takový přechod zvětší světelnou energii o Aeo, existují-li atomy, které obsadily vyšší stav. Dodáváním energie nějakým jiným způsobem než zahříváním můžeme připravit takový plyn, v němž je počet atomů ve stavu m mnohem větší než počet ve stavu n. Taková situace se velmi liší od rovnovážné a nemůžeme pro ni použít vzorec exp (- ň co/k T) platný pro případ rovnováhy. Dokonce můžeme dosáhnout to, že počet atomů v horním stavu bude velmi velký, zatímco v dolním stavu bude prakticky nulový. Pak svědo s frekvencí odpovídající energetickému rozdílu Em - En bude jen velmi slabě absorbováno, neboť atomů, jež se nacházejí ve stavu n a jež jsou schopny toto svědo absorbovat, je velmi málo. Na druhé straně, dopadající svědo bude indukovat emisi z horního stavul Máme-li mnoho atomů v horním stavu, nastane jakási řetězová reakce. Začnou-li atomy vyzařovat, přinutí vyzařovat i další, takže všechny se náhle ocitnou v dolním stavu. Takový zdroj záření nazýváme laser nebo v případě mikrovlnné oblasti maser. K získání atomů ve stavu m se používají různé triky. Mohou existovat výše položené hladiny, na které se atomy dostanou, ozáříme-li je silným světelným paprskem vysoké frekvence. Z těchto vysoce položených hladin se mohou atomy dostávat na nižší hladiny při současném vyzařování fotonů dokud nezůstanou na hladině m. Setrvávají-li na této hladině delší dobu bez vyzařování, nazýváme tento stav metastabilnt Z takového stavu se pak všechny dostávají dolů najednou indukovanou emisí. Ještě jeden technický detail - vložíme-li takový systém do obyčejné nádoby, budou atomy zářit spontánně všemi směry a to nám komplikuje situaci, zajímáme-li se o indukované záření. Naštěstí můžeme indukovaný jev zesílit zvýšením jeho účinnosti tak, že umístíme téměř dokonalá zrcadla na koncích nádoby. Emitované svědo se odráží od zrcadel, prochází plynem znovu a znovu a indukuje emisi dalších atomů. I když jsou zrcadla téměř stoprocentně odrazivá, mají přece jen nepatrnou propustnost a malá část svěda se přece jen dostane ven. Nakonec však, podle zákona zachování energie, všechno indukované záření vyrazí ven v podobě krásného soustředěného paprsku a tak se dnes v laserech generují intenzivní světelné svazky. 579 "říklady a cvičení 42.1 ■ Aktivační energie, molami skupenské teplo vypařování, rekombinace a disociace se obyčejně vyjadřují v joulech na mol nebo v elektronvoltech na atom. Jaký je vztah mezi těmito jednotkami? 42.2 ■ a) Sestrojte graf závislosti hustoty rtuťových par na 1/Tv semilogaritmické stupnici (potřebné číselné údaje vyhledejte v literatuře). Pomocí tohoto grafu určete skupenské výparné teplo rtuti a porovnejte s hodnotami v tabulkách, b) Proveďte totéž pro případ vody. 42.3 ■ Výparné teplo rtuti se v teplotním intervalu 0-300 °C mění jen o 3 % (v průměru je rovno 0,61 eV/atom). Jaké chyby se dopustíte při výpočtu hustoty rtuťových par pň 0°C, použijete-li hodnotu výparného tepla pro 300 °C místo správné hodnoty odpovídající 0°C. Všimněte si, že malý relativní rozdíl v exponentu může přivést ke značné chybě. 42.4 ■ Na připojeném grafu je znázorněna závislost měrného elektrického odporu téměř čistého křemíku na teplotě. Co můžete na základě tohoto grafu usoudit o povaze vodivostního proudu v této látce při teplotách vyšších a nižších než 300 °C? 101 0-crn 10 10" 10< 10J / / 500 300 III 200 10c I I 0-c I -1 nebo Jdt = nafiF. (43.34) Nastavme nyní sílu F tak, aby jí podmíněný driftový proud právě vyvážil difúzi, takže nebude existovat čistý výsledný tok zvláštních molekul. Pak máme Jx+Jdt = ^<^ tedy dn D—l = nuF. (43.35) dx " Za podmínky vyváženosti existuje stálý (v čase) gradient koncentrace vyjádřený vztahem d n n uF a a * dx D (43.36) Uvažujme dále! Popisujeme rovnovážnou situaci, takže na ni můžeme aplikovat rovnovážné zákony statistické mechaniky. Podle těchto zákonů je pravděpodobnost nalezení molekuly v bodě se souřadnicí x úměrná exp (-U/kT), kde Í7je potenciální energie. Zajímáme-li se o koncentraci na, znamená to, že na = nDexp(-C//*7l. (43.37) 591 TEPELNÁ VODIVOST Derivujeme-li (43.37) podle x, dostaneme ^ - -t^expi-U/kl)^-^, (43.38) dx u kT dx neboli d«„ n. dU —i = (43.39) dx kT dx V našem případě, kdy síla F působí ve směru osy x, bude potenciální energie U rovna -Fx a -dU/dx = F. Rovnice (43.39) proto nabývá tvaru dn n F -ŕ = ~TŤ' (43-40) dx kT (To je právě rovnice (40.2), z níž jsme původně odvodili exp (- U/kT), a tak se vlastně uzavřel kruh.) Porovnáme-li (43.40) s (43.36), dostaneme právě rovnici (43.31). Ukázali jsme, že rovnice (43.31), která dává do souvislostí difúzni proud a pohyblivost, má správný koeficient a je velmi obecná. Pohyblivost a difúze navzájem úzce souvisí. Tento vztah poprvé odvodil Einstein. TEPELNÁ VODIVOST Metody kinetické teorie, jež jsme používali, nám umožní vypočítat i tepelnou vodivost plynu. Je-li plyn v nádobě nahoře teplejší než dole, objeví se tepelný tok shora dolů. (Předpokládáme, že plyn je teplejší nahoře, neboťjinak by tekly konvexní proudy a nešlo by už o tepelnou vodivost) Přenos tepla z teplejšího do chladnějšího plynuje difúzí „horkých" molekul - těch, které mají větší energii - směrem dolů a difúzí „chladných" molekul nahoru. K tomu, abychom určili tok tepelné energie, musíme znát energii přenášenou molekulami procházejícími elementem plochy směrem dolů a energii molekul pohybujícími se směrem nahoru. Rozdíl nám dá čistý výsledný tok energie směrem dolů. Tepelná vodivost #je definovánajako poměr rychlosti přenosu tepelné energie jednotkovou plochou a gradientu teploty 1 d0 dT ... ... A dt dz Výpočet je velmi podobný tomu, který jsme prováděli, když jsme uvažovali elektrický proud v ionizovaném plynu, proto ponecháme čtenáři jako cvičení ukázat, že platí x = --, (43.42) Y- 1 kde (y-l)kTje střední energie molekuly při teplotě T. Využijeme-li náš vztah nlac=l, budeme moci tepelnou vodivost vyjádřit ve tvaru * = -i- —. (43.43) y - i o. 592 DIFÚZE Dostali jsme dost překvapující výsledek. Víme, že střední rychlost molekul plynu závisí na teplotě, ale nezávisína hustotě. Můžeme čekat, že oc závisí jen na velikosti molekul. Nášjednodu-chý výsledek tedy říká, že tepelná vodivost x (a proto i rychlost toku tepla za libovolných podmínek) nezávisí na hustotě plynul Změna počtu „nosičů" energie při změně hustoty je právě kompenzována větší vzdáleností, kterou „nosiče" projdou mezi srážkami. Můžete se ptát „Bude tepelný tok nezávislý na hustotě plynu i v limitě, kdy se hustota bude blížit k nule? Když v nádobě nebude žádný plyn?" Určitě nel Vztah (43.3), právě tak jako ostatní vztahy této kapitoly, byl odvozen za předpokladu, že střední volná dráha mezi srážkami je mnohem menší než kterýkoliv z rozměrů nádoby. Je-li hustota plynu tak malá, že molekula má značnou pravděpodobnost proletět nádobu z jedné strany k druhé bez srážky, výsledky této kapitoly nemůžeme použít V takových případech se musíme vrátit ke kinetické teorii a opět všechno podrobně vypočítat. 593 Příklady a cvičení 43.1 ■ „Průměr" molekuly kyslíku je přibližně roven d = 0,3 nm. Vypočítejte střední volnou dráhu a střední dobu života mezi dvěma srážkami molekul kyslíku za normálního tlaku a teploty. 43.2 ■ Nádoba obsahuje 1024 molekul plynu, přičemž střední volná dráha jedné molekuly je rovna /. Pro jakou délku dráhy L je pravděpodobnost toho, že alespoň některá z molekul proběhne v nádobě beze srážky dráhu delší než L, menší než 50 %? 43.3 ■ Je-li v látce přítomen teplotní gradient, dochází k přenosu tepla. Přitom energie přenesená za jednotku času je tomuto gradientu úmorná (neuvažujeme-li konvekci). Koeficient úměrnosti vztažený k jednotce plochy a jednotkovému teplotnímu gradientu se nazývá součinitel tepelné vodivosti x. Je tedy = x A —. df óx Ukažte, že bez konvekce je součinitel tepelné vodivosti plynu roven x=knv —— = —-— —, y-1 (y - 1) crc kde /c je Boltzmannova konstanta, n koncentrace molekul, v střední tepelná rychlost, / střední volná dráha, y exponent v rovnici adiabaty a oc = Mnl. Návod: interpretujte tepelnou vodivost jako přenos vnitřní {tepelně) energie U plochou uvnitř látky tak, jak jsme to dělali při zkoumání procesu difúze. 43.4 ■ Existuje-li v tekutině gradient rychlosti, při čemž se rychlost mění se vzdáleností ve směru kolmém ke směru proudění, dochází k brzdění pohybu, které nazýváme vazkostí(viskozitou, vnitřním třením). V plynu lze vazkost vysvětlit jako přenos hybnosti. Myslíme-li si v prostoru nějakou plošku, potom přenos hybnosti touto ploškou zprostředkují molekuly, které se nacházejí na obou stranách od ní ve vzdálenosti menší než střední volná dráha. Proudí-li plyn ve směru osy x a existuje-li gradient rychlosti vx ve směru osy y, potom vazká síla vztažená k jednotce obsahu plochy kolmé k ose y, je rovna F/A=ndvx/dy. Ukažte, že koeficient vazkosti plynu n\e přibližně roven n = nvml=^-, kde n je koncentrace molekul, v střední tepelná rychlost, m hmotnost molekuly, / střední volná dráha a oc = Mnl. 43.5 ■ Podotkněme, že tepelná vodivost a vazkost plynu nezávisí na tlaku. (Ovšem při velmi malých tlacích procesy přenosu energie a hybnosti v plynu už nemůžeme popisovat pomocí výše odvozených koeficientů tepelné vodivosti a vazkosti.) Upravte nyní vzorec pro energii přenášenou mezi dvěma plochami při teplotách Ta T+A 7 nacházejících se v pevné vzájemné vzdálenosti D«/. Totéž proveďte pro případ přenosu hybnosti mezi dvěma takovými plochami, které se pohybují rychlostmi va v + A v. 43.6 ■ Dva plyny AaBo koncentracích částic nA a nB mají určitou teplotu 7"0. Jednotlivý iont, jehož pohyb sledujeme, má pohyblivost pA v plynu A a pohylivost pB v plynu B. Jaká je pohyblivost iontu ve směsi těchto plynů o koncentraci nA + nB pň téže teploto 7"0? 594 - _ Vri'' t z. '«-_*. r ■» vtO. r- ákony termodynamiky 44.1 TEPELNÉ STROJE; PRVNÍ ZÁKON 44.2 DRUHÝ ZÁKON 44.3 VRATNÉ STROJE 44.4 ÚČINNOST IDEÁLNÍHO STROJE 44.5 TERMODYNAMICKÁ TEPLOTA 44.6 ENTROPIE 4A^ TEPELNÉ STROJE; PRVNÍ ZÁKON Dosud jsme mluvili o vlastnostech hmoty z atomového hlediska a snažili jsme se aspoň zhruba pochopit, co se bude dít, předpokládáme-li, že hmota se skládá z atomů podléhajících určitým zákonům. Existuje však mnoho vztahů mezi vlastnostmi látek, k nimž můžeme dospět bez podrobné znalosti jejich struktury. Určování vztahů mezi různými vlastnostmi látek, bez poznání jejich vnitřní struktury je předmětem termodynamiky. Termodynamika vznikla dříve, než byla známa vnitřní struktura hmoty. Uvedeme příklad: Z kinetické teorie víme, že dak plynuje způsobován nárazy molekul a víme i to, že když plyn zahřejeme, nárazy molekul zesílí, a proto musí dak vzrůst Naopak, pohybuje-li se píst v nádobě s plynem proti síle těchto nárazů, energie molekul narážejících na píst vzroste, a proto vzroste i teplota. Zvýšíme-li tedy při daném objemu teplotu, zvýšíme dak. Na druhé straně, sdačíme-li plyn, zjistíme, že jeho teplota vzrosda. Z kinetické teorie můžeme odvodit kvantitativní vztah mezi těmito dvěma jevy, ale instinktivně tušíme, že mezi nimi musí existovat nějaká souvislost, která nezávisí na konkrétním průběhu srážek. Všimněme sijiného příkladu. Mnozí znáte zajímavou vlastnost gumy: Když roztáhneme pásek gumy, zahřeje se. Vložíte-li si takový pásek mezi rty a natáhnete ho, pocítíte, že se zahřál a toto zahřátí je vratné v tom smyslu, že při rychlém uvolnění pásku pocítíte na rtech ochlazení. To znamená, že při napínání pásek gumy hřeje a při uvolňování pásek chladí. Náš instinkt nám napoví, že zahřátá guma může tahat: skutečnost, že při napnutí se pásek zahřál, nás přivede k závěru, že zahřátí pásku vyvolá jeho smrštění. A skutečně, ohřejeme-li plynovým kahanem 595 TEPELNÉ STROJE; PRVNl ZÁKON pásek gumy držící závaží, zpozoruj eme, že se pásek náhle stáhl (obr. 44.1). Je tedy pravda, že při zahřívaní se guma smršťuje a tato skutečnost je ve shodč s tím, že při uvolňování jejího napětí guma chladne. Obr. 44.1 Zahřátý pásek gumy Vnitřní mechanizmus gumy způsobující tytojevyje velmi složitý. Popíšeme ho do určité míry z molekulového hlediska, i když hlavním cílem této kapitoly je pochopit vztahy mezi takovými jevy nezávisle na molekulovém modelu. Na základě molekulového modelu můžeme ukázat, že tyto jevy úzce souvisí. Jeden ze způsobů, jak můžeme pochopit chování gumy, spočívá v představě, že guma se skládá z ohromného svazku dlouhých molekulových řetězců, jakýchsi „molekulových špaget" s jednou dodatečnou komplikací: řetězce jsou vzájemně propojeny-jakoby se některé křížem procházející špagety svařily a vytvořily tak velké klubko. Natahujeme-li takové klubko, některé z řetězců se snaží seřadit do směru tahu. Řetězce jsou zároveň v tepelném pohybu a neustále do sebe narážejí. Řetězec nezůstane sám od sebe natažen, neboť ze stran do něho narážejí jiné řetězce a jiné molekuly a přinutí ho opět se stáhnout. Skutečná příčina toho, že gumový pásek se snaží smrštit, spočívá v následujícím: když ho natáhneme, řetězce se prodlouží, ale tepelné působení molekul ze stran se snaží řetězce zkroutit, a takje zkrátit. Kpříznivé situaci dochází tehdy, když jsou řetězce napnuty a zvýšíme teplotu; tehdy zesílí i bombardování řetězců ze stran, řetězce mají snahu se stáhnout a jsou proto při zahřátí schopny zdvihnout těžší závaží. Dovolíme-li pásku gumy po určitém čase napnutí se uvolnit, stane se každý řetězec měkčím a molekuly narážející do uvolněných řetězců ztrácejí energii. Proto teplota klesá. Viděli jsme, jak kinetická teorie uvádí do souvislosti tyto dva procesy, smrštění při zahřívání a ochlazení během uvolňování, ale bylo by úžasně složité určit přesný vztah mezi nimi z teorie. Museli bychom znát počet srážek za sekundu a tvar řetězců a vzít v úvahu všechny možné komplikace. Podrobnosti mechanizmu jsou tak složité, že pomocí kinetické teorie opravdu nemůžeme přesně určit, co se odehrává; můžeme však odvodit určité vztahy mezi těmito pozorovanými jevy aniž bychom něco věděli o vnitřním mechanizmu. Celá termodynamika spočívá na úvahách následujícího druhu: protože pásek gumy je při vysokých teplotách „silnější" než při nízkých, mělo by být možné zdvíhat závaží a přemisťovatje a konat tak práci pomocí tepla. Už jsme se vlastně experimentálně přesvědčili, že zahřátý pásek gumy může zdvihat závaží. Rozvoj termodynamiky začal studiem toho, jak můžeme pomocí tepla konat práci. Můžeme sestrojit zařízení, jež by ke konání práce využívalo vliv tepla na gumový pásek? Ano, takové zařízení můžeme sestrojit, i když bude vypadat hloupě. Skládá se z kola bicyklu, které má místo drátů gumové pásky (obr. 44.2). Zahříváme-li gumové pásky na jedné straně kola dvojicí výhřevných lamp, stanou se „silnější" než gumové pásky na druhé straně kola. Těžiště kola se posune na stranu, mimo ložisko, a kolo se pootočí. Tak se chladné gumové pásky dostanou k teplu, teplé se vzdálí a ochladí a kolo se bude pomalu otáčet, dokud budou lampy hřát. 596 ZÁKONY TERMODYNAMIKY Obr. 44.2 Tepelnýstroj s pásky gumy Účinnost takového stroje je mimořádně nízká. Výkon 400 wattů potřebný k ohřívání lamp stačí právě tak na zdvihnutí mouchy I Nabízí se proto zajímavá otázka, zda teplo může konat práci s podstatně vyšší účinností. Zrod termodynamiky se vlastně váže na analýzu slavného inženýra Sadi Camota, kterého zaujal problém konstrukce nejlepšího a nejúčinnějšího stroje. Byl to jeden z mála pozoruhodných případů, kdy technika přispěla podstatným způsobem k fyzikální teorii. Jiným případem, který mě napadaje analýza informační teorie podaná Claudem Shannonem. Mimochodem, tyto problémy úzce souvisí. Parní stroj pracuje obvykle tak, že teplo ohně uvádí do varu vodu, a takto vytvořená pára se rozpíná, dači na píst a ten uvádí do chodu kolo. Takže pára zadačf píst - a co potom s ní? Načatou činnost je třeba dokončit a bylo by hloupé skončit cyklus tím, že necháme páru uniknout do vzduchu, vždyť bychom museli stále dodávat vodu. Je levnější - účinnější - nechat proudit páru do jiné nádrže, kde ji zkondenzujeme studenou vodou a pak ji opět přečerpáme do kode a zajistíme tak nepřetržitý oběh. Stroji tedy dodáváme teplo a to se přeměňuje na práci. Nebylo by lepší místo vody použít alkohol? Jakou vlastnost by mělo mít pracovní médium, aby se získal ten nejlepší stroj? Takovou otázku si položil Camot a jedním z výsledků jeho bádání bylo objevení vztahů, o nichž jsme již mluvili. Výsledky termodynamiky můžeme shrnout do určitýchjednoduše vypadajících tvrzení, která nazýváme termodynamické zákony. Když žil Camot, nebyl znám první zákon termodynamiky -zákon zachování energie. Camot však své argumenty formuloval tak pečlivě, že jsou správné i přesto, že v jeho době nebyl první zákon známi O něco později podal Clausius jednodušší odvození, jež bylo možné pochopit snáze než velmi precizní .Carnotova argumentace. Clausius nepředpokládal obecně platnost zákona zachování energie, ale zákon zachování tepla podle teorie kalorika, která se později ukázala jako nesprávná. Proto se často Carnotovo uvažování pokládalo za nesprávné. Jeho logika však byla naprosto v pořádku, jen Clausiova zjednodušená verze, kterou každý čed, byla špatná. Takzvaný druhý zákon termodynamiky byl tedy objeven Camotem dříve než první zákon! Bylo by určitě zajímavé použít Camotovy argumenty a neopírat se o první termodynamický zákon, ale nás zajímá především fyzika a ne historie, a proto budeme postupovat jinak. Hned zpočátku využijeme první zákon přesto, že mnoho by bylo možno udělat bez něho. Začneme tím, že zformulujeme první zákon, zákon zachování energie: Máme-li nějaký systém, dodáváme mu teplo a konáme na něm práci, pak jeho energie vzroste o dodané teplo a vynaloženou práci. Můžeme to zapsat takto: teplo Q dodané systému plus vynaložená práce W 597 DRUHÝ ZÁKON zvyšují energii systému £/(tuto energii často nazýváme vnitřní energií) změna U= Q+ W. (44.1) Změnu U můžeme vyjádřit jako dodání malého množství tepla A ř^a malého množství práce AW AÍ/=A£+AW, (44.2) což je diferenciální forma tohoto zákona. To však velmi dobře víme z předcházející kapitoly. DRUHÝ ZÁKON Co říká druhý termodynamický zákon? Víme, že když konáme práci například proti tření, bude práce, kterou takto ztrácíme, rovna vytvořenému teplu. Konáme-li práci v místnosti s teplotou ľa konáme ji dostatečně pomalu, teplota místnosti se příliš nezmění a nám se podařilo přeměnit práci v teplo při dané teplotě. Je možný i obrácený proces? Můžeme zpátky přeměnit teplo v práci při dané teplotě? Druhý zákon termodynamiky nás ubezpečuje, že to není možné! Bylo by velmi výhodné, kdyby se dalo teplo přeměnit v práci pouhým obrácením takového procesu, jakým je tření. Kdybychom uvažovali jen zákon zachování energie, mohli bychom si myslet, že tepelná energie - taková jakou představují kmitavé pohyby molekul - by mohla být dobrým zdrojem užitečné energie. Carnot však vycházel z toho, že není možné získat energii z tepla při konstantní teplotě.Jinak řečeno, kdyby měl celýsvětstejnou teplotu, nemohli bychom vůbec využít jeho tepelnou energii ke konání práce: proces proměny práce v teplo se může uskutečnit i při konstantní teplotě, avšak tento proces nemůžeme obrátit tak, abychom nazpět získali práci. Carnot konkrétně předpokládal, že při určité teplotě nemůžeme odebrat teplo a přeměnit ho v práci bez nějaké jiné změny v systému nebo v okolí. Poslední výrok je velmi důležitý. Předpokládejme, že při určité teplotě máme v nádobě sdačený vzduch a ten necháme expandovat. Takový vzduch může konat práci; může například uvést do chodu sbíječku. Při expanzi se trochu ochladí, ale kdybychom měli velmi velký tepelný rezervoár s danou teplotou, třeba oceán, mohli bychom vzduch opět zahřát. Tak by se stalo, že z oceánu odebereme teplo a konáme práci se sdačeným vzduchem. Jenže Carnot se nedopustil chyby, vždyť my jsme neponechali všechno v původním stavu. Kdybychom znovu stlačili expandovaný vzduch, zjistili bychom, že konáme práci navíc, a po ukončení bychom pochopili, že jsme nejen nezískali žádnou práci ze systému při teplotě T, ale do systému jsme museli určitou práci vložit Musíme mluvitjen o takových případech, kdy čistým výsledkem celého procesuje odebrání tepla a jeho přeměna v práci, tak jako při překonávání tření je čistým výsledkem přeměna práce v teplo. Kdybychom se pohybovali v kruhu, dostali bychom systém opět do výchozího stavu, ale s čistým výsledkem, že naše práce proti silám tření se přeměnila v teplo. Můžeme takový proces obrátit? Zkusme otočit vypínačem tak, aby vše probíhalo naopak a tření konalo práci proti nám a ochlazovalo oceán. Podle Carnota to není možné! Tak tedy předpokládejme, že to není možné. Kdyby to bylo možné, znamenalo by to mezi jiným, že bychom mohli prostě odebrat teplo z chladného tělesa a beze všeho ho předat teplému tělesu. My však víme, že teplá tělesa ohřívají studená tělesa; kdybychomjen přiložili teplé těleso ke studenému a nicjiného bychom nezměnili, ze zkušenosti víme, že teplé těleso se nestane teplejším a chladné chladnějšími Kdybychom však mohli konat práci odebráním tepla oceánu nebo něčeho jiného při konstantní teplotě, tuto práci bychom 598 ZÁKONY TERMODYNAMIKY mohli přeměnit v teplo pomocí tření při nějaké jiné teplotě. Například, druhé rameno našeho stroje by se třelo o něco, co už je teplé. Čistým výsledkem by byl zisk tepla zchladlého tělesa, oceánu, a jeho odevzdání teplému tělesu. Camotovu hypotézu, druhý zákon termodynamiky, můžeme formulovat i následovně: teplo samo od sebe nemůže přecházet z chladného na teplý předmět. Přesvědčili jsme se, že taková dvě tvrzení jsou ekvivalentní: První, že nemůžeme uskutečnit proces, jehožjediným výsledkem by byla přeměna tepla v práci při konstantní teplotě a druhé, že teplo nemůže samo od sebe přejít z chladnějšího na teplejší místo. Nejčastěji budeme používat první tvrzení. w i 7; o, i T. Obr. 44.3 Tepelnýstroj Carnotova analýza tepelných strojů se docela podobá argumentaci, kterou jsme používali u zdvižných zařízení ve 4. kapitole o zákonu zachování energie. Tehdyjsme vlastně postupovali podle Carnotova vzoru, a proto nám další úvahy budou velmi blízké. Předpokládejme, žejsme sestrojili tepelnýstroj, jehož kotel má teplotu 7j. Z kode odebíráme určité teplo Q,, parní stroj vykoná určitou práci Wa pára odvede určité teplo do chladiče steplotou T2 (obr. 44.3). Camotneřekljakéje to teplo, neboť neznal první zákon termodynamiky, ale ani netvrdil, že je rovno Q,, protože tomu nevěřil. I když ti, kteří byli ovlivněni teorií kalorika, předpokládali, že tepla a jsou stejná, Carnot to netvrdil a i v tom byla bystrost jeho argumentace. Použitím prvního termodynamického zákona bychom zjistili, že odevzdané teplo je rovno dodanému teplu , od něhož musíme odečíst vykonanou práci W. = Q, " W. (44.3) (Kdybychom měli nějaký cyklický proces, v němž by byla zkondenzovaná voda přečerpána zpět do kode, řekli bychom, že během každého cyklu bylo absorbováno teplo Q, a vykonána práce Wpro dané množství vody zúčastňující se cyklu.) Sestrojme nyníjiný stroj a zkoumejme, zda můžeme vykonat více práce při stejném dodaném teple při teplotě ľ, a s chladičem při teplotě T2. Budeme využívat stejné množství tepla Q, z kotle a pokusíme se vykonat víc práce než v případě parního stroje, tř eba tak, že použijeme jinou kapalinu, například alkohol. 4Aj3^ VRATNÉ STROJE Nyní budeme analyzovat naše stroje. Jedno je jasné, obsahuje-li stroj části, v nichž dochází ke tření, nevyhneme se ztrátám. Proto se uchýlíme ke stejné idealizaci jako v případě úvah o zákonu zachování energie - budeme předpokládat, že ve stroji vůbec nedochází ke tř ení. Musíme se zabývat i obdobou pohybu bez tření, kterou je tepelný přenos „bez tření". Přiložíme-li horký předmět při vysoké teplotě ke studenému a vznikne tok tepla, pak není možné směr tohoto toku obrátit jen malou změnou teploty těchto předmětů. Máme-li však stroj bez tření a zapůsobíme na něj nepatrnou silou jedním směrem, bude se tím směrem pohybovat, a když na něj zapůsobíme nepatrnou silou v opačném směru, bude se pohybovat opačným 599 VRATNÉ STROJE směrem. Potíebujeme najft obdobu pohybu bez tření: přenos tepla, jehož směr můžeme obrátit i nepatrnou změnou. Je-li rozdíl teplot konečný, není to možné. Kdybychom však uskutečnili tepelný tok mezi dvěma předměty, které mají prakticky stejné teploty lišící se jen o infinitezimální hodnotu zabezpečující tok v požadovaném směru, mohli bychom mluvit o vratném toku (obr. 44.4). Zahřejeme-li mírně levou polovinu předmětu, poteče teplo doprava; když ji mírně ochladíme poteče teplo doleva. Zjistili jsme tedy, že ideálním strojem je vratný stroj, v němž je každý proces vratný v tom smyslu, že nepatrnými infinitezimálními změnami přinutíme stroj jít opačným směrem. Znamená to, že nikde ve stroji nesmí být tření ani takové místo, kde by teplo rezervoáru nebo plamene kode bylo v přímém styku s něčím podstatně chladnějším nebo teplejším. Obr. 44.4 Vratnýpřenos tepla Zabývejme se nyní idealizovaným strojem, v němž jsou všechny procesy vratné. Abychom ukázali, že takový idealizovaný stroj je v principu možný, uvedeme příklad strojového cyklu, který může, ale nemusí být praktický, ale který je vratný ve smyslu Carnotovy představy. Předpokládejme, že se ve válci s pístem pohybujícím se bez tření nachází plyn, který nemusí být ideálním plynem. Nemusel by to dokonce ani být plyn, ale pro konkrétnost předpokládejme, že máme ideální plyn. Předpokládáme také, že máme dva tepelné polštáře, 7^ a T2 - velká tělesa s určitými teplotami ľ, a T2 (obr. 44.5). Nechť třeba T{ je vyšší než T2. Nejprve ohřejeme plyn za současné expanze a necháme ho ve styku s tepelným polštářem 7]. Zatímco probíhá přívod tepla do plynu, musíme velmi pomalu zvedat píst, abychom zabezpečili, že teplota plynu se nikdy příliš neodchýlí od T,. Kdybychom vytahovali píst příliš rychle, teplota plynu by silně klesla pod T, a proces by nebyl úplně vratný. Pohybujeme-li pístem dostatečně pomalu, teplota plynu se nikdy příliš neodchýlí od Tx. Vrátíme-li pak píst pomalu zpět, teplota bude jen nepatrně vyšší než 7J a teplo poteče obráceným směrem. Je tedy vidět, že takové izotermické rozpínání (tj. probíhající při stálé teplotě), je-li prováděno dostatečně pomalu a jemně, je vratný proces. Abychom lépe pochopili, co se děje, nakreslíme graf závislosti daku plynu na jeho objemu (obr. 44.6). Když se plyn rozpíná, dak klesá. Křivka označená symbolem (1) nám ukazuje, jakse mění objem a dak, když se teplota udržuje na hodnotě Tx. V případě ideálního plynu by tato křivka vyjadřovala rovnici pV=NkTl. Po dobu izotermické expanze dak se vzrůstem objemu klesá, dokud se nedostaneme do bodu b. Současně musíme do plynu přivádět z rezervoáru určité teplo Q,, neboť, jak už víme, jinak by se plyn rozpínáním ochlazoval. Když jsme dokončili izotermickou expanzi a dostali se do bodu b, přerušíme kontakt válce s rezervoárem a budeme pokračovat v expanzi. Tentokrát znemožníme jakýkoliv přísun tepla k válci. Expanzi budeme provádět pomalu, a opětpředpokládáme nepřítomnost třenf, takže nebude důvod, proč bychom proces nemohli obrátit Plyn pokračuje v rozpínání a teplota klesá, neboť do válce už nepřichází teplo. 600 ZÁKONY TERMODYNAMIKY 7ZZ2 KROK (1) IZOTERMICKÁ EXPANZE PŔI 7",; ABSORBCE TEPLA Q, T, T,->T, T, KROK (2) ADIABATICKA EXPANZE; TEPLOTA KLESÁ Z 7", NA T, Ti Q, KROK (3) IZOTERMICKÁ KOMPRESE PAl ODEVZDANÍ TEPLA Qa 1^ KROK (4) ADIABATICKA KOMPRESE; TEPLOTA VZRŮSTÁ Z 7", NA T, Obr. 44.5 Kroky Camotova cyklu 601 VRATNÉ STROJE Nechrne plyn rozpínat podle křivky označené (2), dokud teplota neklesne na hodnotu T2 v bodě označeném c Tento druh expanze bez dodání tepla se nazývá adiabatická expanze. Už víme, že v případě ideálního plynu má křivka (2) tvar ^7y=konst., kde pje konstanta větší než 1, takže adiabatická křivka má rychlejší spád než izotermická křivka. Plyn ve válci dosáhl teploty T2, takže když ho uvedeme do kontaktu s tepelným polštářem s teplotou T2, nenastanou nevratné změny. Nyní plyn pomalu sdačíme, přičemž ho ponecháváme ve styku s rezervoárem při teplotě T2\ toto sdačování proběhne podle křivky označené (3). Protože válec je ve styku s rezervoárem, teplota nevzroste, ale teplo proteče z válce do rezervoáru při teplotě T2. Po izotermickém sdačení plynu podle křivky (3) až k bodu á odvedeme válec z tepelného polštáře s teplotou T2 a budeme ho dále sdačovat, přičemž nedovolíme teplu uniknout. Teplota vzroste a dak se bude měnit podle křivky označené (4). Kdybychom provedli každý krok pečlivě, vrátíme se do bodu a při teplotě 7j, z něhož jsme vyšli a celý cyklus můžeme zopakovat znovu. Podle diagramu vykonal plyn úplný cyklus, vjehož průběhu jsme dodali teplo Q, při teplotě 7", a odebrali teplo při teplotě T2. Důležité je, že cyklusje vratný, takže všechny kroky můžeme provést opačným směrem. Mohli bychom jít nazpět a ne dopředu: mohli bychom začít v bodě a při teplotě 7J, nechat expandovat plyn podle křivky (4), dál expandovat při teplotě T2, absorbovat teplo atd., tedy uskutečnit obrácený cyklus. Probíhá-li cyklus jedním směrem, musíme vykonat práci, probíhá-li cyklus opačně, koná práci plyn. Mimochodem, celkovou práci lze snadno vypočítat, protože po dobu jakékoliv expanze je práce rovna součinu daku a změny objemu, tj. jpdV. Na našem diagramu jsme vynášeli na svislou osu p a na vodorovnou osu V. Označíme-li vertikální vzdálenost y a horizontální x dostaneme f ydx, tedy plochu pod křivkou. Proto plocha pod každou z očíslovaných křivek je mírou práce vykonané plynem nebo námi v odpovídajícím kroku. Snadno lze zjistit, že čistá výsledná práce je rovna obsahu vyšrafované plochy na obrázku. Nyní, když jsme ukázali jednoduchý příklad vratného stroje, budeme předpokládat, že existují i jiné takové stroje. Předpokládejme, že máme vratný stroj A, který odebírá teplo Qj při 7",, koná práci Wa odevzdává určité teplo při teplotě T2. Dále předpokládejme, že máme nějaký jiný, člověkem zkonstruovaný, stroj B, už existující nebo ještě nevynalezený, využívající gumové pásy, páru nebo cokoliv jiného, vratný nebo nevratný, který je navržen tak, že odebírá stejné množství tepla Q, při 7*, a odevzdává teplo při nižší teplotě T2 (obr. 44.7). Předpokládejme, že stroj B koná práci W. Ukážeme, že práce W není větší než W- že žádný stroj nevykonává víc práce než vratný stroj. Proč je tomu tak? Předpokládejme, že by W bylo větší než W. Pak můžeme vzít teplo z rezervoáru při teplotě TJ a pomocí stroje B konat práci W a určité teplo odevzdat rezervoáru při teplotě T2; nezajímá nás, jaké teplo. Když to uděláme, můžeme ušetřit určitou část práce W, o níž předpokládáme, že je větší než W. Odebereme jen její část Wa zbytek W - Wvyužijeme k užitečné práci. S prací Wnecháme stroj A běžet opačně, protože je to vratný stroj. Tento stroj spotřebuje určité teplo z rezervoáru při T2 a odevzdá rezervoáru Qj při 7",. Při tomto dvojitém cyklu bude čistý výsledek takový, že se vše vrátí do původního stavu a vykonala se práce navíc, konkrétně W - W. Při tom vše, jsme udělali, bylo odebrání energie z rezervoáru při teplotě T2! Teplo jsme pečlivě vrátili rezervoáru při teplotě 7",. Proto může být rezervoár malý a může být uvnitř našeho složeného stroje A + B, který nedělá nic jiného, než že odebírá množství tepla odpovídající W - W z rezervoáru při teplotě T2 a mění ho v práci. Jenže získání užitečné práce z rezervoáru při konstantní teplotě bez jiných změn je podle Carnotova postulátu nemožné. Proto nemůže existovat stroj, který by odebíral určité množství tepla při vyšší teplotě TJ, odevzdával jeho část při teplotě T2 a konal větší práci než vratný stroj pracující při stejných teplotních podmínkách. 602 ZÁKONY TERMODYNAMIKY r, Q, .0, A « w B o,-w ► IV- w UŽITEČNÁ PRACE Q,- IV Obr.44.7 VratnýstrojApoháněnýzpětněstrojemB Nyní předpokládejme, že stroj Bje také vratný. Potom, samozřejmě, nejenže W nesmí být větší než W, ale důkaz můžeme obrátit a ukázat, že Wnemůže být větší než W .Jsou-li oba stroje vratné, musí konat stejnou práci a přicházíme k vynikajícímu Carnotovu závěru: je-li stroj vratný, nezáleží na tom, jak konkrétně je zkonstruován a práce, kterou stroj vykoná, absorbuje-li určité množství tepla při teplotě TJ a odevzdá určité teplo při teplotě T2, je u všech takových strojů stejná fde o vlastnost našeho světa, a ne o vlastnost konkrétního stroje. Kdyby se nám podařilo najít zákon určující, kolik práce získáme absorbováním tepla Q, při teplotě 7", a odevzdáním určitého tepla při T2, našli bychom univerzální veličinu nezávislou na vlastnostech látky. Kdybychom však znali vlastností konkrétní látky, mohli bychom je využít k určení takové veličiny a pak by všechny ostatní látky musely dávat ve vratném stroji stejné množství práce. To je klíčová myšlenka, návod, pomocí něhož můžeme určit například smrštění gumy, když ji ohříváme a ochlazení gumy, když jí dovolíme smrštit se. Představme si, že pracovní látkou vratného stroje bude gumový pás a stroj necháme projít celým vratným cyklem. Čistý výsledek, celková vykonaná práce, je univerzální funkcí, užasnou funkcí, nezávislou na vlastnostech látky. Tak přicházíme k přesvědčení, že existuje určité omezení vlastností látek; nemůžeme sestrojit, co se nám zachce, neboťjinak bychom byli schopni vymyslet látku, která by poskytovala víc než maximum možné práce ve vratném cyklu. Tento princip, toto omezení je jediným skutečným pravidlem vyplývajícím z termodynamiky. 44.4 ÚČINNOST IDEÁLNÍHO STROJE Nyní se pokusíme najít zákon určující práci Wjako funkci Q,, T{ a T2. Je jasné, že Wje úměrné Q,, neboť uvažujeme-li dva vratné stroje pracující paralelně, pak takový zdvojený stroj je také vratný. Absorbuje-li každý teplo Q,, pak dva spřažené stroje spotřebují teplo 2 £?j a vykonají práci 2 Watd. Je proto rozumné předpokládat, že práce Wje úměrná Q, • Dalším důležitým krokem bude nalezení tohoto univerzálního zákona. Budeme ho moci odvodit, když prozkoumáme vratný stroj s pracovní látkou, jejíž zákony známe. Takovou látkou je ideální plyn. K tomuto univerzálnímu zákonu bychom mohli dospět i čistě logickým uvažováním, bez použití nějaké konkrétní látky. Je to překrásná ukázka fyzikálního myšlení a bylo by škoda, kdybychom ji nemohli přednést, takže pro ty, kteří by takový důkaz rádi poznali, se o něm ještě zmíníme. Teď však použijeme méně abstraktní a jednodušší metodu přímého výpočtu v případě ideálního plynu. Potřebujeme znát pouze vztahy pro Q, a (neboť Wje Qi ~ 0?)» tetty pro tepla, která si stroj vyměňuje s rezervoáry po dobu izotermického rozpínání nebo sdačování. Například, kolik tepla £?j se absorbuje z rezervoáru při teplotě T{ po dobu izotermického rozpínání (křivka (1) 603 ÚČINNOST IDEÁLNÍHO STROJE na obr. 44.6) z bodu a při daku p , objemu Va, teplotě 7", do bodu b s dakem pb, objemem Vb a stejnou teplotou íj ? V případě ideálního plynu má každá molekula energii, jež závisí jen na teplotě, a protože jsou teplota i počet molekul stejné v a i b, bude vnitřní energie stejná. Energie Use nemění; práce, kterou koná plyn po dobu expanze W J a je rovna energii Q, odebrané z rezervoáru. Po dobu rozpínání p V=NkT1, neboli NkT. P ' —7T-> takže Q, = f bpd V = f bNkTx lľ = NkT, In (44.4) Tento výraz představuje teplo odebrané z rezervoáru při teplotě 7J. Stejným způsobem můžeme určit teplo odevzdané při teplotě T2 (křivka (3) obr. 44.6) rezervoáru po dobu sdačování. Tak dostaneme (^^ NkT2]xx-jr. (44.5) K ukončení našeho rozboru potřebujeme ještě najít vztah mezi VI Vd a Vbl V. Tento vztah najdeme, když si uvědomíme, že (2) představuje adiabatícké rozpínání zbdoc, po dobu kterého je p V7 konstantní. Když/>V= NkT, můžeme psát (p V] V'1 =konst nebo to vyjádřit pomocí 7a V ve tvaru TVr~1 =konst, tedy T^Vr1 = T2Vr'. (44.6) Podobně (4) také představuje adiabatícké rozpínání, a to z á do a, takže můžeme psát TJ",'' = T2Va'1- (446a) Vydělíme-li tuto rovnici předcházející, dostaneme rovnost výrazů Vbl Va a VI Vá. Proto logaritmy v (44.4) a (44.5) musí být stejné a máme * - *. (44.7, 7", T2 To je vztah, který jsme hledali. I když jsme ho dokázali pouze pro stroj pracující s ideálním plynem, musí být správný pro jakýkoliv vratný stroj. Nyní ukážeme, jak můžeme k tomuto univerzálnímu zákonu dospět logickou cestou bez znalosti vlastností nějaké konkrétní látky. Předpokládejme, že máme tři stroje a tři teploty, např. Tx, T2 a 7^,. Nechťjeden stroj absorbuje teplo Q, při teplotě 7^, vykoná určité množství práce 6Ô4 ZÁKONY TERMODYNAMIKY Wl3 a odevzdá teplo při teplotě T3 (obr. 44.$. Nechť druhý stroj pracuje opačným způsobem mezi teplotami ľ2 a ľ3. Předpokládejme, že tento druhý stroj je tak velký, že absorbuje právě teplo Q, a odevzdá teplo Qj. Musíme na něj vynaložit určité množství práce Wn - tato práce bude záporná, neboť stroj pracuje v obráceném cyklu. Když první stroj ukončí cyklus, absorbuje teplo Q, a odevzdá teplo při teplotě T3; druhý stroj odebere stejné teplo Q při teplotě 7^ z rezervoáru a odevzdá ho rezervoáru při teplotě T2. Proto čistý výsledek takových spřažených strojů je odebrání tepla Q, při teplotě T{ a odevzdání tepla při teplotě T2. Tyto dva stroje jsou proto ekvivalentní třetímu, který absorbuje Q, při teplotě 7J, koná práci Wl2 a odevzdává teplo při T2. Přitom Wn = Wl3~ W32, jak vyplývá z prvního zákona W - W YY\i KK32 12' (44.8) Nyní můžeme získat zákony dávající do vzájemného vztahu účinností strojů; vždyťje jasné, že musí existovat určitý druh závislosti mezi účinnostmi strojů pracujících mezi teplotami T, a 7^, mezi ľj a ľ3 a mezi ľ, a T2. Oi T, 77^ o, -Mí, y/ ////// Obr. 44.8 Spojení strojů 1 a 2je ekvivalentní stroji 3 Naše argumenty budou velmi jasné, budeme-li postupovat následujícím způsobem: Zjistili jsme, že teplo absorbované při 7j můžeme vždy dát do souvislosti s teplem odevzdaným při T2, určíme-li teplo odevzdané při nějaké jiné teplotě 7^. Proto budeme moci popsat všechny vlastnosti stroje, zavedeme-li určitou standardní teplotu a naši analýzu provedeme právě při této standardní teplotě. Jinak řečeno, známe-li účinnost stroje pracujícího mezi určitou teplotou T a jakousi standardní teplotou, budeme moci vypočítat účinnost pro jakýkoliv jiný rozdíl teplot. Protože předpokládáme pouze použití vratných strojů můžeme přejít od počáteční teploty dolů ke standardní teplotě a pak přejít zpět k výsledné teplotě. Standardní teplotu můžeme vybrat libovolně a zvolíme za ni jeden stupeň. Pro teplo, jež se odevzdává při této standardní teplotě, zavedeme zvláštní symbol Q,. Jinými slovy: absorbuje-li vratný stroj při teplotě T, teplo Q,.pak při jednotkové teplotě odevzdá teplo j^. Odevzdá-li nějaký stroj absorbující teplo Q, při teplotě Tx teplo Q, při teplotě jednoho stupně a odevzdá-li druhý stroj absorbující teplo při teplotě T2 také teplo Q při teplotě jednoho stupně, pak podle našeho důkazu týkajícího se strojů pracujících mezi tř emi teplotami musí stroj, který absorbuje teplo Q, při teplotě T{, odevzdat teplo , pracuje-li mezi teplotami Tx a T2. Už nám zbývá j en najít, kolik tepla Q, musíme dodat při teplotě T{, abychom odevzdali určité množství tepla při jednotkové teplotě. Jakmile to zjistíme, máme vyhráno. Samozřejmě teplo Qje funkcí teploty T. Snadno se zjistí, že se vzrůstem teploty musí vzrůstat i teplo, protože 605 TERMODYNAMICKÁ TEPLOTA víme, že na zpětný chod stroje a odevzdání tepla při vyšší teplotě se spotřebuje práce. Není těžké pochopit, že teplo Q, musí být úměrné Q. Potom náš velký zákon musí vypadat takto: Danému množství tepla odevzdanému při jednom stupni odpovídá množství tepla Q absorbované strojem při teplotě Ta toto množství je rovno součinu Q a určité rostoucí funkce teploty d- QJiQ. (44.9) 44.5 TERMODYNAMICKÁ TEPLOTA Zatím se nepokusíme najít vztah pro zmíněnou rostoucí funkci teploty vyjádřenou pomocí stupnice známého rtuťového teploměru, ale místo toho definujeme novou teplotní stupnici. Kdysi byla „teplota" definována libovolně rozdělením objemu vody roztahující se teplem na stejné stupně určité velikosti. Když se však teplota měřila rtuťovým teploměrem, zjistilo se, že stupňům už neodpovídají stejné vzdálenosti na stupnici. Nyní však můžeme definovat teplotu, která nezávisí na vlastnostech látky. Můžeme k tomu využít uvedenou funkci fi T), která nezávisí na použitém zařízení, protože účinnost vratných strojů nezávisí na jejich pracovních látkách. Protože tato funkce s růstem teploty roste, můíeme ji samotnou považovat za teplotu měřenou v standardních jednotkách takto: Q=ST, (44.10) kde Qř = J'l'. (44.11) To znamená, že teplotu tělesa určíme tak, že zjistíme, kolik tepla absorboval vratný stroj pracující mezi teplotou tělesa a jednotkovou teplotou (obr. 44.9). Když se z kode odebere sedmkrát víc tepla, než se odevzdájednostupňovému chladiči, říkáme, že tento kotel má teplotu sedm stupňů atd.M) Měřením množství tepla absorbovaného při různých teplotách určujeme teplotu. Takto definovanou teplotu nazýváme absolutní termodynamickou teplotou a tato teplota nezávisí na pracovní látce. Dále budeme výlučně používat tuto definici teploty. M) Nyní je nám jasné, že v případě dvou strojů, z nichž jeden pracuje mezi TJ a jedním stupněm a druhý mezi T2 a jedním stupněm a oba odevzdávají stejné teplo při jednotkové teplotě, musí pro absorbovaná tepla platit vztah (44.12) Kdybychom tedy měli jednoduchý stroj pracující mezi TJ a T2, pak by výsledek naší analýzy, to velké finále, spočíval v tom, že poměr Qj/Ť\ je stejný jako poměr Q^/T2, absorbuje-li stroj energii Q, při teplotě 7j a odevzdá teplo při teplotě T2. Tento vztah musí platit pro 53) Termodynamickou teplotu dnes udáváme v jednotkách zvaných kelvin (pozn. red.). 54) Předtím jsme naši teplotní stupnici definovali jiným způsobem, konkrétno tak, že jsme střední kinetickou energii molekuly ideálního plynu považovali za úměrnou teploto, tedy ve shodě se zákonem ideálního plynu jsme považovali pV úměrné T. Je taková definice ekvivalentní naší nové definici? Na tuto otázku můžeme odpovědět kladně, neboť konečný výsledek (44.7), odvozený ze zákona ideálního plynu, je stejný jako zde odvozený výsledek. V další kapitole se ještě k tomuto problému vrátíme. 6Ô6 ZÁKONY TERMODYNAMIKY libovolný vratný stroj. K tomu je třeba dodat už jen tolik, že jde o nejdůležitější výrok celé termodynamiky. / / // //^ // / / / T OST _L_ VRATNÝ STROJ -W=Q-S-ľ '/s/////// ' 1'K Obr. 44.9 Absolutní termodynamická teplota Představuje-li však toto vlastně celou termodynamiku, proč bývá považována za náročný předmět? Máte-li danou hmotnost látky, můžete stav této látky v kterémkoliv okamžiku popsat udaním její teploty a objemu. Známe-li teplotu a objem látky a víme, že dak je určitou funkcí teploty a objemu, budeme znát vnitřní energii. Jenže někdo si řekne: Já to tak nebudu dělat! Řekněte mi, jaká je teplota a jaký je dak a já vám řeknu, jakýje objem. Objem můžu považovat za funkci teploty a daku a vnitřní energii za funkci teploty a daku atd." Příčina náročností termodynamiky spočívá právě v tom, že každý používá jiný přístup. Kdybychom se však uměli dohodnout na našich proměnných a tuto dohodu i dodržovali, termodynamika by byla docela snadná. Nyní se pustíme do dedukování. Tak jako F = ma představovalo ústf ední rovnici celé mechaniky a vše jsme z ní odvozovali, bude právě nalezený princip představovat základ celé termodynamiky. A my se ptáme, jaké závěry z něho můžeme udělat. Abychom mohli udělat první závěr, zkombinujeme oba zákony - zákon zachování energie a zákon dávající do souvislosti tepla a Qj - a dospějeme k účinnosti vratného stroje. Z prvního zákona máme W= Q, - . Podle našeho nového principu 4-yQ* a pro práci dostáváme vztah 1-^i O* T - T (44.13) který určuje účinnost stroje - říká, kolik práce získáme z určitého množství tepla. Účinnost stroje je úměrná rozdílu teplot, mezi nimiž stroj pracuje, dělenému vyšší teplotou účinnost = — = —!--. (44.14) Účinnost nemůže být větší nezjedná a absolutní teplota nemůže být menší než nula, absolutní nula. Protože T2 musí být kladné, účinnost je vždy menší nezjedná. To je náš první výsledek. 607 ENTROPIE 4AJ6^ ENTROPIE Rovnici (44.7) nebo (44.12) můžeme interpretovat zvláštním způsobem. Pracujeme-li s vratnými stroji, je teplo Q, při teplotě 7", „ekvivalentní" Qj při T2 neboli Qi/Tl = Q2/T2 vtom smyslu, že je-li jedno z tepel absorbováno, je druhé odevzdáno. Kdybychom tedy nějak nazvali veličinu Q/T, mohli bychom prohlásit: ve vratných procesech je absorbováno tolik QJ T, kolik je uvolněno; Q/Tse ani nezískává, ani neztrácí. Poměr QJ T nazýváme entropie a říkáme, že „ve vratném cykluje změna entropie nulová". Když Tje 10, pak je entropie Q/l °, nebo, jak jsme již označili, Q/l °=S. Opravdu S je písmeno, které nejčastěji používáme pro entropii a taje číselně rovna teplu (které jsme označili Q,) dodanému rezervoáru při jednotkové teplotě (samotná entropie není teplo, ale představuje teplo dělené teplotou a měří se v joulech na stupeň).55' Je zajímavé, že kromě daku, který je funkcí teploty, objemu a vnitřní energie, jež je také funkcí teploty a objemu, jsme našli jinou veličinu, která je funkcí stavu a tou je entropie látky. Pokusme se vysvědit, jak se tato veličina počítá a co rozumíme tím, když říkáme, že je „funkcí stavu". Uvažujme systém ve dvou různých stavech, například takových, jaké jsme měli v experimentu s adiabatickou a izotermickou expanzí. (Mimochodem, stroj nemusí mít nezbytně dva rezervoáry; můžou být tři nebo čtyři různé teploty, při nichž odebírá a odevzdává teplo.) Můžeme se pohybovat po celém />Vkliagramu a přecházet z jednoho stavu do druhého. Jinak řečeno, plyn můžeme převádět z určitého stavu a do jiného stavu b a přitom požadovat, aby tento přechod z a do b byl vratný. Nyní předpokládejme, že podél dráhy z a do b máme malé rezervoáry s různými teplotami, takže teplo d Q odebrané látce při každém drobném krokuje odevzdáno každému rezervoáru při teplotě odpovídající příslušnému bodu dráhy. Pak připojme všechny tyto rezervoáry vratnými tepelnými stroji k jednomu rezervoáru při jednotkové teplotě. Když ukončíme převod látky z a do b, vraťme všechny rezervoáry do jejich původního stavu. Každé teplo d Q které bylo odebráno látce při teplotě T, jsme takto přeměnili vratným strojem a při jednotkové teplotě bylo odevzdáno určité množství entropie dS, jmenovitě dS = ^ (44.15) Vypočítejme celkové množství odevzdané entropie. Rozdíl entropií neboli entropie potřebná k přechodu z a do b při takové vratné transformaci představuje celkovou entropii - celkovou entropii odebranou z malých rezervoárů a odevzdanou při jednotkové teplotě: vW/^- (4416) Nyní se ptáme, zda rozdíl entropií závisí na zvolené dráze. Existuje totiž víc způsobů, jak se dostat z a do & Vzpomeňme si, že při Camotově cyklu jsme podle obr. 44.6 mohli přejít z a do c nejprve izotermickou expanzí a pak adiabaticky nebo nejprve adiabatickou expanzí a pak izotermicky. Zajímá nás proto, zdaje změna entropie, která nastává, když přecházíme z a do b podle obr. 44.10, pro každou dráhu stejná. Musí být stejná, neboť kdybychom završili celý cyklus jednou dráhou tam a druhou zpět, měli bychom vratný stroj a nemohly by nastat ztráty tepla do 55) joulech na kelvin (pozn. red.) 608 ZÁKONY TERMODYNAMIKY rezervoáru při jednotkové teplotě. Ve zcela vratném cyklu nesmí být odebráno žádné teplo z rezervoáru při jednotkové teplotě, a tak je entropie potřebná k přechodu z a do b pro kteroukoliv dráhu stejná. Nezávisí na samotné dráze, závisí jen na koncových bodech. Proto můžeme tvrdit, že existuje určitá funkce, kterou nazýváme entropie látky a která závisí pouze na stavu, tj. jen na objemu a teplotě. r b REZERVOÁRY a O ' dQYY VT 1 d^nůůůr J STROJE drTTTT OBJEM Obr. 44.10 Zrněna entropie při vratném přechodu CELKOVÁ ZMĚNA ENTROPIE-0 OBJEM Obr. 44.11 Změna entropie při úplném vratném cyklu Můžeme najít funkci S( V, 7), jež má tu vlastnost, že při vratných změnách látky má změna entropie vyjádřená pomocí tepla odevzdaného přijednotkové teplotě následující tvar A£ = /^, (44.17) kde dQje teplo odebrané látce při teplotě T. Tato celková změna entropie je rozdíl entropie vypočítané v koncovém a počátečním bodě dráhy AS = S(V„ 7p - S(V, T) = (44.18) Tento výraz nedefinuje entropii úplně. Definuje vlastně jen rozdíl entropie ve dvou různých stavech. Jen tehdy, když umíme vypočítat entropii jednoho konkrétního stavu, můžeme definovat entropii S absolutně. 609 ENTROPIE Dlouho se předpokládalo, že absolutní entropie neznamená nic a že je možné definovat pouze rozdíly entropie. Nakonec však přišel Nemst s velmijednoduchým tvrzením, které nazval „věta o teple" a kterému dnes říkáme třetí zákon termodynamiky. Povíme si, co tento zákon říká, ale nebudeme vysvědovat, proč platí. Nernstův postulát prostě tvrdí, že každý objekt má při absolutní nule nulovou entropii. Nyní už víme, při kterém Ta Vje 5 nulové (konkrétně při T = 0), a proto můžeme entropii určit v libovolném jiném bodě. Abychom ilustrovali tyto myšlenky, vypočítejme entropii ideálního plynu. Při izotermické (a tedy i vratné) expanzi je j d Q/T rovno Q/T, protože T je konstanta. Proto (v souhlase se vztahem 44.4) platí pro změnu entropie S{V, Ti-SiV^T) = Attln-i, takže S( V, 7) = Nk ln Vplus nějaká funkce jen teploty T. Jak S závisí na 7? Víme, že v případě vratné adiabatícké expanze nedochází k výměně tepla. Proto se entropie nemění, i když se mění V, ale aby platilo TVr~1 =konst, musí se měnit i teplota T. Chápete, že musí být S {V, T) = Nk In F+—— lnT y-l + a, kde a je nějaká konstanta, která nezávisí na V, ani na 7? (Konstanta a se nazývá chemická konstanta. Závisí na zkoumaném plynu a můžeme ji experimentálně určit z Nemstovy věty měřením tepla uvolňovaného při ochlazování a kondenzaci plynu až po jeho přeměnu na tuhou látku (v případě hélia kapalnou) při nulové teplotě; přitom je třeba vypočítat integrál j dQJT. Konstantu a můžeme určit i teoreticky pomocí Planckovy konstanty a kvantové mechaniky, ale v tomto kurzu se tím nebudeme zabývat.) Nyní si všimněme některých vlastností entropie. Vzpomeňme si, že na úseku vratného cyklu od a do b se entropie látky mění o Sb~ Sa. Dále si vzpomeňme, že při takovém postupu entropie - teplo odevzdané při jednotkové teplotě - vzrůstá podle zákona dS= dQJ T, kde dQje teplo, které odebereme látce při teplotě T. Už víme, že při vratném cyklu se celková entropie všeho nemění, neboť teplo Q, absorbované při TJ a teplo odevzdané při T2 odpovídají stejně velkým, ale opačným změnám entropie, takže výsledná změna entropieje nulová. Proto se při vratném cyklu nemění entropie žádné částí, ani rezervoárů. Toto pravidlo se podobá zákonu zachování energie, ale tím není; platí totiž pouze pro vratné cykly. Kdybychom uvažovali i nevratné cykly, žádný zákon zachování entropie neplatí. Uvedeme dva příklady. Nejprve předpokládáme, že nevratnou práci koná objekt, v němž existuje tř ení a který produkuje teplo Qpři teplotě T. Entropie vzroste o Q/T. Teplo Qje rovno práci, a proto, když konáme nějakou práci třením předmětu, jehož teplotaje T, vzrůstá entropie o W/T. Další příklad nevratností spočívá v následujícím: Spojíme-li dva předměty s různými teplotami 7j a T2, přejde určité množství tepla samovolně z jednoho předmětu na druhý. Například předpokládejme, že jsme do studené vody vložili horký kámen. Jak se změní entropie horkého kamene, když odevzdá teplo A Qz Tx na T2? Poklesne o A QJ 7J. Jak se změní entropie vody? Vzroste o AQJT2. Teplo však poteče jen od vyšší teploty 7", k nižší teplotě T2, takže A Qje kladné, je-li teplota 7", je vyšší než teplota T2. Proto je změna entropie celého světa kladná a je rovna se rozdílu dvou zlomků *S=±£-±Z. (44.19) 610 ZÁKONY TERMODYNAMIKY Platí tedy toto tvrzení: V každém nevratném procesu entropie všeho na světě vzrůstá. Jen ve vratných procesech zůstává entropie konstantní. Protože však žádný proces není absolutně vratný, entropie vždy aspoň o málo vzroste; vratný proces j e idealizace s minimálním přírůstkem entropie. Bohužel, v termodynamice nepůjdeme do hloubky. Naším cílem je jen ilustrace základních myšlenek a vysvědení používané argumentace, ale termodynamikou se příliš zabývat nebudeme. Termodynamiku velmi často používají technici a hlavně chemici, proto musíme učit termodynamiku v chemické nebo technické praxi. Není vhodné všechno opakovat, omezujeme se pouze na diskuzi o povaze této teorie a nevěnujeme se detailům speciálních aplikací. Dva zákony termodynamikyjsou často formulovány takto: První zákon: energie vesmíru je vždy konstantní. Druhý zákon: entropie vesmíru vždy vzrůstá. Formulace druhého zákona není právě nejvhodnější, protože například nevyjadřuje, že ve vratném cyklu se entropie nemění a přesně neříká, co vlastně entropie je. Je to jen způsob vhodný k zapamatování těchto zákonů, ale ve skutečností nám přesně neříká, na čem jsme. Zákony diskutované v této kapitole jsou shrnuty v tabulce 44.1. V další kapitole využijeme tyto zákony k získání vztahu mezi teplem generovaným při rozpínání pásku gumy a dodatečným vnitřním napětím při jeho zahřívání. Tabulka 44.1 Shrnutí termodynamických zákonů První zákon: teplo dodané systému + práce konaná na systému = vzrůst vnitřní energie systému dQ+dW=dí/. Druhý zákon: Proces, jehož^edinymčistým výsledkem by bylo odebrání tepla z rezervoáru ajeho přeměna na práci je nemožná. Žádný tepelný stroj odebírající teplo při Tx a odevzdávající teplo při T2 nemůže vykonat víc práce než vratný stroj, pro nějž platí T - T Definice entropie systému: a) Je-li teplo A vratně dodáno systému při teplotě T, vzroste entropie systému o AS=AQ/T. b) Při T= 0, S = 0 (třetí zákon). Při vratné změně se celková entropie všech částí systému (včetně rezervoárů) nemění. Při nevratné změně celková entropie systému vždy vzrůstá. 611 Příklady a cvičení 44.1 ■ Ideální plyn s exponentem adiabaty y=4/3 postupně přechází ze stavu A (tlak p = 1 atm, objem V= 22,4 I, teplota f= 273 K) do stavu C(p = 2 atm, V= 33,61) buď po dráze ABC nebo po dráze ADC. a) Ukažte, že změna entropie je v obou případech stejná, b) Vypočítejte tuto změnu. 44.2 ■ Převeďte ideální Camotův cyklus abcd na obr. 44.6 na p-V diagramu mezi stavy charakte- rizovanými parametry 7", a T2 a (Pa, Va), (Pc, Vc) na cyklus abcd na diagramu teplota-entropie. 44.3 ■ Teplota parogenerátoru na moderní tepelné elektrárno, která pracuje s přehřátou párou, je 600 "C. Do chladiče je přiváděna řični voda o teplotě 20°C. Jaké maximální účinnosti může být na takové elektrárně dosaženo? 44.4 ■ V Ideálním vratném tepelném stroji, který využívá jako pracovní látku 28 g dusíku (y=7/5) probíhá pracovni cyklus abcd bez použiti ventilu. Teplota ohřívače je 400 K, teplota chladiče 300 K. Původní objem plynu v bodě a je 6,01, objem v bodě cje 18,01. a) Při jakém objemu Vb je třeba zastavit přísun tepla (izotermická expanze) a po tepelné izolaci stroje pokračovat v adiabatické expanzi od Vbk Vc7 Při jakém objemu Vd začne adiabatická komprese? b) Jaké množství tepla vstupuje do soustavy na úseku cyklu abl c) Jaké množství tepla opouští soustavu na úseku cyklu cd? d) Jaká je účinnost cyklu? e) Čemu je rovna změna entropie na 1 g pracovní látky na úsecích ab a cd? f) Ověřte, že u Carnotova cyklu s ideálním plynem jsou si poměry Vbl Va a Vcl Va rovny. 44.5 ■ Nedbalý experimentátor nechal ve spěchu ventil kontejneru naplněného héliem pootevřený. Plyn, původně pod tlakem 200 atm začal opouštět kontejner pomalu, izotermicky, při teploto 20 °C. Určete změnu entropie na 1 kg plynu. atm 2 -1 - A J_L B,_,C □„ 0 0,5 1,0 1,5 v722.4i 612 .-J 7«í je změna tlaku plynu, když se při konstantním objemu změnila teplota z hodnoty Xnahodnotu T-AT Nyní vyjádříme vyšrafovanou plochu geometricky. Cyklus znázorněný na obr. 45.1 se liší od cyklu z předcházející kapitoly v tom, že nyní A T a A Qjsou infinitezimálně malé. Pracujeme mezi adiabatíckými a izotermickými čarami, které jsou velmi těsně u sebe, a proto se obrazec, nakreslený na obr. 45.1 silnými čarami bude blížit rovnoběžníku, když A 7*a A Q.půjdou k nule. Plocha tohoto rovnoběžníku je právě A VAp, kde A V je změna objemu plynu při dodání energie A Q, při konstantní teplotě a A p je změna daku při změně teploty o A T při stálém objemu. To, žeje vyšrafovaná plocha na obr. 45.2rovna A VA ^.snadno nahlédneme, uvážíme-li, 615 vnitrní energie že taková plocha je rovna ploše ohraničené přerušovanou čárou na obr. 45.2, která se od pravo-úhelníku ohraničeného Ap a A V liší jen přidáním a odebráním stejných trojúhelníkových ploch. Obr. 45.2 Vyšrafovaná plocha=plocha ohraničená přerušovanými čárami=plocha pravoúhelníku =ApA. V Shrňme naše dosavadní úvahy: Práce konaná plynem = vyšrafovaná plocha = A VAp nebo nebo (45.5) • (teplo potřebné ke změně V o A ^5rkontUmtm-= A V- (změna p při změně ľo A 7)Kkonstantní -^y (teplo potřebné ke změně V o A V)T = T{dP/dT)y Vztah (45.5) vyjadřuje to podstatné, co vyplývá z Carnotových úvah. Celou termodynamiku můžeme odvodit ze vztahu (45.5) a prvního zákona, který je vyjádřen rovnicí (45.3). Vztah (45.5) je vlastně druhým zákonem, i když ten byl původně odvozen Carnotem v trochu jiném tvaru, protože Camot nepoužil naší definici teploty. Nyní můžeme přistoupit k výpočtu (d U/d V)r O kolik se změní vnitřní energie U, změníme-li objem o A V? Vnitřní energie se mění, protože je dodáváno teplo a protože se koná práce. Dodané teplo je podle vztahu (45.5) rovna A, můžeme naše úvahy o Carnotově cyklu aplikovat na pásek gumy. Pak okamžitě zjistíme, že například teplo A Q, potřebné ke změně délky o AL, je dáno analogem rovnice (45.5): AQj=- r(6ir/67)iAZ,.Udržujeme-likonstantní délku pásku a ohříváme ho, umožní nám tato rovnice vypočítat vzrůst síly vyjádřený pomocí tepla potřebného k udržování konstantní teploty při malém natažení pásku. Vidíme tedy, že stejné rovnice můžeme aplikovat na plyn i na pásek gumy. Když můžeme psát AU=A AAB, kde As. B představují různé veličiny, sílu a délku, dak a objem apod., pak výsledky pro plyn získáme tak, že místo A a B dosadíme p a V! Jako příklad uvažujme rozdíl elektrických potenciálů nebo napětí £ baterie a náboj A Z, který prochází baterií. Víme, že práce konaná vratnou elektrickou baterií, takovou jako je např. akumulátor, je rovna EAZ. (Neuvažujeme-li ve vyjádření pro práci člen p A V, předpokládáme, že baterie má konstantní objem.) Podívejme se, co nám řekne termodynamika o činnosti baterie. Dosadíme-li hodnotu E místo p a hodnotu Z místo V, dostaneme z rovnice (45.6) Rovnice (45.9) říká, když baterií prochází náboj A Z, změní se vnitřní energie U. Proč se A U/AZ nerovná prostě napětí £baterie? Důvod je ten, že skutečná baterie se zahřívá, prochází-lijí proud. AU = AQ+FAL. (45.8) (45.9) 617 APLIKACE Vnitřní energie baterie se mění jednak proto, že baterie koná určitou práci ve vnějším obvodu a jednak proto, že se baterie ohřeje. Pozoruhodné je to, že tu druhou část změny vnitřní energie můžeme opět určit pomocí změny napětí baterie s teplotou. Mimochodem, když baterií prochází náboj, dochází k chemické reakci a rovnice (45.9) poskytuje elegantní způsob měření energie potřebné k uskutečnění chemické reakce. Potřebujeme jen zhotovit baterii využívající takovou reakci, změřit napětí a změřit, jak se mění napětí s teplotou, když z baterie neodebíráme náboj! Předpokládali jsme, že objem baterie zůstává stálý a při vyjádření práce konané baterií jsme vynechali člen p A V, takže nám zůstalo jen EAZ. Ukazuje se však, že je technicky dost složité udržovat konstantní objem. Mnohem jednodušší je udržovat baterii při stálém atmosférickém tíaku. Právě proto nemají chemici rádi rovnice, které jsme odvodili a dávají přednost rovnicím, jež jsou vhodné pro podmínky konstantního tlaku. Na začátku této kapitoly jsme se rozhodli používat V a Tjako nezávislé proměnné. Chemici dávají přednost p a Ta nyní ukážeme, jak můžeme naše výsledky pře transformovat do chemického systému proměnných. Musíme však dát pozor, aby v dalším postupu nedošlo ke zmatku, neboť přecházíme od ľa ľk ľa p. Vyšli jsme z rovnice (45.3), v níž A U- A Qj- p A V; člen pAV můžeme nahradit výrazem EAZ nebo A A B. Kdybychom mohli nějakým způsobem nahradit člen p A F výrazem VAp, vyměnily by si p a Vúlohy a chemici by mohli být spokojeni. S trochou důvtipu můžeme využít to, že diferenciál součinu pVje d(pV) =pdV+ Vdp, a když přičteme tuto veličinu k rovnici (45.3), dostaneme Aby se náš výsledek podobal rovnici (45.3), definujeme U + pVjako novou funkci, nazveme ji entalpieHa. bude pro ni platit AH=AQ+ VAp. Nyní jsme už připraveni transformovat naše výsledky do chemické řeči, budeme-li dodržovat tato pravidla: £/-> H, p- - V, V~p. Například základní vztah, který chemici používají místo rovnice (45.7), má tvar Nyní už by nám mělo být jasné, jak se přechází k chemickým proměnným Ta p. Vraťme se však k našim původním proměnným: ve zbytku této kapitoly budou nezávisle proměnné Ta V. Aplikujme nyní získané výsledky na některé fyzikální situace. Nejdříve uvažujme ideální plyn. Z kinetické teorie víme, že vnitř ní energie plynu závisíjen na pohybu molekul a počtu molekul. Vnitřní energie závisí na T, ale ne na V. Změníme-li V, ale T zachováme konstantní, U se nezmění. Proto (d U/d V)T=0 a rovnice (45.7) nám říká, že pro ideální plyn Rovnice (45.10) je diferenciální rovnice, která nám může něco říci o p. S parciální derivací se vypořádáme takto: Je-li parciální derivace při konstantním V, nahradíme ji obyčejnou derivací A[pV) = pAV+ VAp AU = AQ-pA V A{U+pV) = A£+ VAp (45.10) 618 ILUSTRACE TERMODYNAMIKY a abychom na to nezapomněli, explicitně zapíšeme „konstantní V. Rovnice (45.10) pak nabývá tvaru Víme, že pro tlak ideálního plynu platí (45.13) a tento vztah je v souladu s (45.12), protože Va J?jsou konstanty. Proč jsme se unavovali tímto výpočtem, když jsme už znali výsledek? Protože jsme používali dvě nezávislé definice teploty\ Jednou jsme předpokládali, že kinetická energie molekul je úměrná teplotě a tento předpoklad definoval jednu teplotní stupnici, kterou budeme nazývat stupnicí ideálního plynu. T v rovnici (45.13) se zakládá na této stupnici. Teploty měřené v plynové stupnici nazýváme i kinetickými teplotami. Pozdějijsme definovali teplotu jiným způsobem, který nezávisel na žádné látce. Vycházeli jsme z druhého zákona termodynamiky a definovali to, co můžeme nazvat „absolutní termodynamickou teplotou" Ta tato teplota vystupuje v rovnici (45.12). Zde jsme dokázali, že dak ideálního plynu (definovaného jako něco, co má vnitřní energii nezávislou na objemu) je úměrný absolutní termodynamické teplotě. Víme i to, že dak je úměrný teplotě měřené v plynové stupnici. Z toho můžeme usoudit, že kinetická teplota je úměrná „absolutní termodynamické teplotě". To samozřejmě znamená, že je rozumné tyto dvě stupnice ztotožnit. A opravdu, tyto stupnice byly nakonec zvoleny tak, že se ztotožňují, konstanta úměrnosti je rovna jedné. Lidé si většinou sami dělají těžkosti, ale v tomto případě si situaci zjednodušili. CLAUSIOVA - CLAPEYRONOVA ROVNICE Vypařování kapalinyje dalším procesem, na který můžeme aplikovat výsledky, ježjsme odvodili. Předpokládejme, že máme nějakou kapalinu ve válci a můžeme ji stlačovat pístem. Ptáme se, jak se bude měnit dak v závislosti na objemu, budeme-li udržovat stálou teplotu. Jinak řečeno, chceme nakreslit izotermu na p- V diagramu. Látka ve válci už není ideální plyn, který jsme uvažovali předtím; může to být látka v kapalném nebo plynném stavu, případně může obsahovat obě tyto fáze. Sdačíme-li dostatečně látku, zkondenzuje na kapalinu. Budeme-li dak dále zvětšovat, objem se bude měnit už jen velmi málo a naše izoterma bude s poklesem objemu rychle stoupat, jak to ukazuje levá strana obrázku 45.3. Zvětšíme-li objem vytáhnutím pístu, dak poklesne, dokud nedosáhne bodu, při němž začne kapalina vřít a vytvářet se pára. Když píst ještě víc vytáhneme, bude se ještě více kapaliny vypařovat. Je -li válec částečně zaplněný kapalinou a částečně plynem, jsou tyto fáze v rovnováze -kapalina se vypařuje a pára kondenzuje stejnou rychlostí. Poskytneme-li páře více prostoru, bude k udržení daku potřebné větší množství páry, a tak se vypaří více kapaliny, ale dak zůstane stálý. Na vodorovné části křivky z obr. 45.3 se dak nemění a jeho hodnota se nazývá tlak páry při teplotě p = 0; V konstantní; (45.11) a když tuto rovnici integrujeme, dostaneme ln p = ln T+ konst; Vkonstantní; p = konst x T; Vkonstantní. (45.12) 619 CLAUSIOVA-CLAPEYRONOVA ROVNICE T. Kdybychom pokračovali ve zvětšování objemu, dospěli bychom k situaci, kdy už nezbývá žádná kapalina na vypařování. Tehdy při dalším zvětšování objemu poklesne dak tak, jako v případě obyčejného plynu a tuto situaci znázorňuje pravá strana P-Vdiagramu. Dolní křivka na obrázku 45.3je izotermická křivka při mírně snížené teplotě T- AT. Tlak kapalné fáze mírně klesl, neboť kapalina se při vyšší teplotě roztáhla (většina látek se tak chová.jen voda v blízkostí teploty tání ne) a samozřejmě dak páry je při nižší teplotě nižší. OBJEM Obr. 45.3 Izotermy páry kondenzující ve válci. Vlevo je látka v kapalném stavu, vpravo je látka ve stavu páry. Uprostřed je situace, kdy se ve válci nachází kapalina i pára. 2- 2- OBJEM Obr.45.4 ^ř^diagramCamotovacykluspárou,kterákondenzujeveváld.Vlevojelátkavk^ teplotě Tje dodané množství tepla L, potřebné k vypaření kapaliny. Pára adiabatícky expanduje při změně Tna.T-AT Ze dvou izoterm sestrojíme cyklus tak, že je spojíme (například adiabatami) na koncích vodorovných částí, jak je to znázorněno na obr. 45.4. Malý výčnělek v pravém dolním rohu obrázku není podstatný a zanedbáme ho. Použijeme Carnotovy argumenty, které říkají, že teplo, jež je dodáváno látce a jež ji mění z kapaliny v páru, souvisí s prací, kterou látka koná při průchodu cyklem. Nechť ZJe teplo potřebné k vypaření látky ve válci. Stejně jako při argumentaci bezprostředně předcházející rovnici (45.5) víme, že L{AT/T) = práci konané látkou. Tak jako předtím představuje práci konanou látkou vyšrafovaná plocha, která je přibližně rovna Ap[VG~ VL), kde A p je rozdíl daků páry při dvou teplotách Ta T- AT, VG je objem plynu a VL je objem kapaliny; oba objemyjsou měřeny při daku páry. Vyjádříme-li rovnost těchto výrazů pro stejné obsahy ploch, dostaneme Z. A T/T= Ap(Vc - VL) neboli L dPpiIy T(VG-VL) ~ dT ■ (45.14) 620 ILUSTRACE TERMODYNAMIKY Rovnice (45.14) poskytuje vztah mezi rychlostí změny tlaku páry s teplotou a množství tepla potřebného k vypaření kapaliny. Tento vztah odvodil Carnot, ale nazývá se Clausiova -Clapeyronova rovnice. Nyní porovnejme rovnici (45.14) s výsledky odvozenými z kinetické teorie. VG je obvykle mnohem větší než Vv Proto VQ- VL ~ VG=RT/p namol. Předpokládáme-li dále, že Lje konstantní, nezávislé na teplotě - což není příliš dobré přiblížení - dostaneme dp/dT= LI {RT2 p). Řešení této diferenciální rovnice je p = konsU-iARr. (45.15) Porovnejme to s teplotní změnou daku, kterou jsme odvodili už dříve z kinetické teorie. Kinetická teorie říká, že aspoň zhruba j e počet molekul páry nad kapalinou roven n = — - ť G u , (45.16) "a kde UG - ULje vnitřní energie na mol v plynu mínus vnitř ní energie na mol v kapalině, tj. energie potřebná k vypaření jednoho molu kapaliny. Rovnice (45.15) z termodynamiky a rovnice (45.16) zkinetické teorie velmi těsně souvisí, protože dakje nkT, ale nejsou přesně stejné. Můžeme však zařídit, aby byly stejné, předpokládáme-li, že Ĺ - ř/c=konst místo L = konsL Předpokládáme-li, že i - í/c=konst, která nezávisí na teplotě, pak argumenty, které předtím vedly k rovnici (45.14), povedou k rovnici (45.16). Toto porovnání ukazuje výhody a nevýhody termodynamiky proti kinetické teorii. Zaprvé. Rovnice (45.14) získaná v termodynamice je přesná, zatímco rovnice (45.16) je jen přiblížení; vždyť například vyžaduje, aby U bylo téměř konstantní a i použitý model musí odpovídat skutečností. Za druhé. Nemusíme přesně vědět, jak se plyn mění na kapalinu a rovnice (45.14) je přece jen přesná, zatímco rovnice (45.16) je jen přibližná. Za třett I když jsme náš postup aplikovali na plyn, který kondenzuje na kapalinu, naše argumenty jsou správné pro jakoukoliv změnu stavu. Například přechod tuhé fáze na kapalnou má stejnou křivku, jako je na obr. 45.3 a 45.4. Zavedeme-li latentní teplo tání M/mol, dostaneme vztah podobný rovnici (45.14): {dpliíú/dT)v=M/[T[Vytip - V^]. I když nebudeme rozumět kinetické teorii procesu tání, dostaneme správnou rovnici. Když však porozumíme kinetické teorii, budeme mít další výhodu. Rovnice (45.14) je diferenciální rovnicí a my nevíme, jak určit integrační konstanty. V kinetické teorii můžeme získat i tyto konstanty, pracujeme-li s dobrým modelem, který úplně popisuje daný jev. Každý z přístupů má tedy výhody i nevýhody. Jsou-li naše znalosti slabé a situace složitá, termodynamické vztahy jsou skutečně nejúčinnější. Je-li situace jednoduchá a lze provést teoretickou analyzuje lepší se pokusit získat takovou analýzou víc informací. Uvažujme ještě jeden příklad - záření černého tělesa. Už jsme mluvili o nádobě obsahující záření a nic jiného. Mluvili jsme o rovnováze mezi oscilátorem a zářením. Zjistili jsme, že fotony narážející na stěny nádoby vytvářejí dak p a ukázali jsme, že pV= U/S, kde Uje celková energie fotonů a Vje objem nádoby. Dosadíme-li U= 3PVdo základní rovnice (45.7), dostaneme Protože objem naší nádoby je konstantní, můžeme nahradit (dp/d T) y výrazem dp /dT. Tak 621 CLAUSIOVA-CLAPEYRONOVA ROVNICE získáme obyčejnou diferenciální rovnici a její integrací dostaneme: ln p = 4 ln T+ konst nebo p=konstxT*. Tlak záření se mění se čtvrtou mocninou teploty a energetický obsah záření U/ V= p/S se také mění jako J4. Bývá zvykem psát Ul 7= (4 al c) T*, kde cje rychlost svěda a oje konstanta. Tuto konstantu nemůžeme získat ze samotné termodynamiky. To je názorný příklad její slabé a silné stránky. Poznání toho, že U/Vse chová jako I4, je velkou věcí, avšak abychom věděli, jak velké je ve skutečnosti U/ Vpři libovolné teplotě, museli bychom proniknout až k detailům, a to nám může poskytnout pouze úplnější teorie. Pro záření černého tělesa takovou teorii máme, a proto můžeme odvodit výraz pro konstantu a následujícím způsobem. Nechť / (co) dcoje rozdělení intenzity tok energie plochou 1 m 2 za sekundu s frekvencí z intervalu od co po co + dco. Pro rozdělení hustoty energie = energie / objem = / (co) dco/c můžeme psát — = celková hustota energie = f°° hustota energie mezi co a co + d co = f <^&>. V Ju = o Jo c Z předcházejících úvah už víme, že I[eo) ^(e^t-l) Dosadíme-li do naší rovnice pro £//Vtento výraz za / (co), dostaneme A co3 d co U = _J_ r. V~ * V Jo l0 eňo/kT_ j Zavedením nové proměnné x=Acol kT nabude tento výraz tvar U = (kT)4 x3dx V ~ A3n2c3 Jo e*-ľ Integrál, který zde vystupuje, je nějaké číslo a my ho můžeme vypočítat přibližným způsobem tak, že si nakreslíme graf integrované funkce a určíme plochu pod ní. Tak dostaneme zhruba 6,5. Matematici by uměli dokázat, že tento integrál je roven přesně tc4/ 15.56> Porovnáním tohoto výrazu s výrazem Ul V= (4 al c) dostaneme *4*2 = 5,67 x 1(T8 Wm-2K"4 60 A3 c2 (tzv. Stefanova-Boltzmannova konstanta). Protože (ex - l)"1 =e~* + e~2* + .... integrál je roven £ f e'nxx3 dx. n = 1 J0 Ale fe'ttXdx= lina trojnásobným derivováním podle n dostaneme f "°x3e'nxdx = 6ln4, takže integrál je Jo Jo roven 6^1+ + +... j a dobré přiblížení získáme, vezmeme-li jen několik prvních členů. V kapitole 50 najdeme způsob, jímž lze dá ukázat, že součet převrácených čtvrtých mocnin celých čísel je skutečno K4/90. 622 ILUSTRACE TERMODYNAMIKY Zajímá nás, kolik energie projde zajednotku času otvorem jednotkového průřezu, kterýjsme udělali ve stěně naší nádoby. Abychom přešli od hustoty energie k toku energie, musíme hustotu energie U/ V násobit veličinou c. Dále musíme násobit koeficientem 1/4. To má dvě příčiny. Především musíme zahrnout jen energii, která proniká otvorem ven, tedy 1/2 celkového toku. Musíme také vzít v úvahu, že energie, která se přibližuje k otvoru, přichází z různých směrů, a proto musíme násobit dalším koeficientem 1/2, tj. střední hodnotou funkce kosinus na druhou. Nyní je jasné, proč píšeme Ul V= (4 al c) T*, a tak můžeme nakonec říci, že tok energie jednotkovou plochou malého otvoru je roven a T*. 623 ŘÍKLADY A CVIČENÍ 45.1 ■ Slunce vyzařuje přibližně jako absolutno černé těleso o teploto 5 700 K. Budeme-li slunečním světlem ozařovat absolutno černou měděnou kouli umístěnou ve vzdálenosti 1 AU od Slunce, jaká se na ní ustaví rovnovážná teplota? (Průměr Slunce je ze Země pozorován pod úhlem 30'.) 45.2 ■ Sluneční světlo dopadá kolmo k povrchu Země někde v rovníkové Africe. Bude-li povrch vyzařovat jako absolutno černé těleso, jaká bude maximální teplota v této oblasti? (Sluneční konstanta je rovna 1395 W/m2.) 45.3 ■ Absolutno černé těleso o poloměru r a teploty 7~je obklopeno oboustranně začerněnou obálkou poloměru R. Zjistěte, jak bude takové radiační stínění zpomalovat ochlazování tělesa. V prostoru mezi tělesem a obálkou je vakuum, takže nedochází ke ztrátám tepelnou vodivostí. 45.4 ■ V centru Slunce je hustota přibližně 80 g/cm3 a teplota - 13 • 106 K. Sluneční látka je tvořena převážně protony a elektrony. Najděte tlak plynu a radiační tlak v centru Slunce. 45.5 ■ Latentní výparnó teplo vody je přibližně 2,44-106J/m3 a hustota páry při 100°C je 0,598 kg/m3. Pomocí Clausiovy - Clapeyronovy rovnice najděte rychlost změny bodu varu vody s výškou ve stupních na kilometr na úrovni moře. Teplotu vzduchu položte rovnou 300 K. 45.6 ■ Ukažte, že pro ideální plyn, jehož vnitřní energie závisí pouze na teplotě, rozdíl mezi molámími tepelnými kapacitami při stálém tlaku a stálém objemu je roven plynové konstanto R. CP-CV=R. 45.7 ■ Při 0°C je měrný objem nasycené vodní páry 206 m3/kg. Jaké bude latentní vyparné teplo vody v J/kg při této teplotě? Návod: Určete podle tabulek dp/d T, vypočítejte L a porovnejte s tabulkovou hodnotou. 45.8 ■ Těleso pohlcuje stálý podíl A celkového záření dopadajícího na jeho povrch a zbytek odráží. Ukažte, že při teplotě T vyzařuje energii AoT*. 45.9 ■ a) Na základě termodynamických úvah dokažte, že jestliže látka při zamrzání zvětšuje svůj objem, její teplota tání musí klesat s rostoucím tlakem, b) Je rozšířen názor, že bruslení je umožněno tím, že led pod bruslí taje. Přijmete-li tuto hypotézu, vypočítejte nejnižší teplotu ledu na kluzišti, při níž se ještě dá bruslit. 624 Kohatka se _západkou_ 46.1 JAK PRACUJE ROHATKA 46.2 ROHATKA JAKO STROJ 46.3 VRATNOST V MECHANICE 46.4 NEVRATNOST 46.5 USPOŘÁDÁNÍ A ENTROPIE JAK PRACUJE ROHATKA V této kapitole budeme mluvit o rohatce (ozubené kolo se šikmými zuby) se západkou, která představuje velmi jednoduché zařízení, dovolující hřídeli otáčet se pouze vjednom směru. To že máme zařízení, které se bude otáčetjenjedním směrem si vyžaduje důkladný rozbor, z něhož vyplynou některé zajímavé důsledky. K takové diskuzi nás přivedla snaha o elementární vysvědení skutečností z molekulárního nebo kinetického hlediska, že existuje určité maximum práce, které lze získat z tepelného stroje. Samozřejmě, myuž známe podstatu Carnotových argumentů, ale bylo by krásné najít vysvědení, které by bylo elementární v tom smyslu, že by ukazovalo, co se vlastně fyzikálně děje. Existují složité matematické důkazy, vyplývající z Newtonových zákonů, potvrzující, že při toku tepla z jednoho místa na druhé můžeme získat jen určité množství práce; tyto důkazy nám však nedávají elementární předsavu. Stručně řečeno, nevidíme do nich, i když rozumíme matematické stránce. Skutečnost, že při přechodu od jedné teploty k druhé nemůžeme získat víc než určité množství práce, vyplývá podle Carnotovy argumentace z jiného axiómu, který říká, že v cyklickém procesu nemůžeme přeměnit teplo na práci, je-li vše při stejné teplotě. Pokusme se proto nejdříve aspoň najednom elementárním příkladě ukázat, proč platí toto jednoduché tvrzení. Pokusme se vymyslet zařízení, jež by porušovalo druhý zákon termodynamiky, tedy přístroj, který by získával práci z tepelného rezervoáru a přitom by se vůbec nezměnila teplota. Mějme řekněme nádobu s plynem při určité teplotě a v ní osičku s větrníčkem (viz. obr. 46.1, pro TJ = T2 = T). Větmíček bude v důsledku nárazů molekul kmitat a poskakovat Teď už nám jen zbývá připevnit na druhý konec osičky kolo, které se může otáčetjenjedním směrem - rohatku 625 JAK PRACUJE ROHATKA se západkou. Pootočení větrnfčkujednfm směrem bude možné, ale pootočení opačným směrem bude vyloučeno. Rohatka se proto bude pomalu otáčet, a kdybychom na konec vlákna navíjejícího se na buben upevněný na osičce zavěsili blechu, vytáhne ji nahoru! Je to vůbec možné? Podle Carnotovy hypotézy to není možné. Na první pohled se však zdá, že by to mělo být možné. Proto si toho budeme muset všimnout podrobněji. A opravdu, když si všimneme rohatkyse západkou, objevíme řadu komplikací. Obr. 46.1 Stroj na základě rohatky a západky Především: Naše idealizovaná rohatka je sice co nejjednoduššf, aleje zde západka a u ní musí být pružina, Když západka opustí zub, musí se vrátit a k tomu je potřebná pružina. Je ještě jeden charakteristický rys rohatky se západkou, který není ukázán na obrázku, ale kterýje velmi důležitý. Předpokládejme, že zařízeníje sestrojeno z dokonale pružných částí. Když západka přejede konec zubu a je vrácena pružinou, narazí na rohatku, odrazí se a tak to půjde dál. Při další fluktuaci se rohatka může pootočit i nazpět, protože zub se může dostat pod západku, pokud ta byla nahoře. Podstatnou částí nevratnosti rohatky je dumící mechanizmus, který zastavuje odrazy. Jenže při takovém dumení energie západky přechází na rohatku a projevuje se jako teplo. Rohatka se proto stává teplejší a teplejší. Abychom situaci zjednodušili, umístíme rohatku v nádobě s plynem, abychom mohli odvést určité teplo. Můžeme tedy říci, že při růstu teploty rohatky, roste i teplota plynu. Bude se to dít stále? Ne! Západka a rohatka, nacházející se při teplotě T, mají také Brownův pohyb. Tento pohyb se projevuje tak, že čas od času se západka náhodně zdvihá nad zub právě tehdy, když Brownův pohyb větrníku se snaží otočit osičku nazpět. Čím je teplota vyšší, tím se to stává častěji. V tom je příčina, proč takové zařízení nebude pracovat v neustálém pohybu. Když větrníček dostane náraz, někdy nadzdvihne západku a pootočí se. Jenže někdy, když se snaží pootočit na druhou stranu, je už západka nadzdvihnutá v důsledku fluktuací pohybu osy na straně rohatky a rohatka se pootočí nazpětl Oba pohyby se tak vyruší. Není těžké ukázat, že v případě, kdy je teplota na obou stranách stejná, bude střední výsledný pohyb rohatky nulový. Rohatka sice bude kmitat najednu i druhou stranu, ale nebude se otáčet tak,jak bychom si přáli, tedyjedním směrem. Všimněme si příčiny takového chování. Abychom zdvihli západku na vrchol zubu, musíme konat práci proti síle pružiny. Označme tuto energii symbolem e a symbolem Poznačme úhel mezi zuby. Pravděpodobnost, že systém nashromáždí dost energie e ke zdvihnutí západky na vrchol zubu, je rovna ťelkT. Ale pravděpodobnost, že se západka dostane náhodně nahoru, je také rovna e~e/kT. Proto počet případů, kdyje západka nahoře a rohatka se může volně pootočit v opačném směru, je stejný jako počet případů, kdy je dost energie k pootočení rohatky v přímém směru při spuštěné západce. Tak dostáváme „rovnováhu" a rohatka se nebude otáčet. 626 ROHATKA SE ZÁPADKOU ROHATKA JAKO STROJ Pojďme dále. Uvažujme příklad, kdy má větrník teplotu 7J a rohatka se západkou teplotu 7", přičemž T2 je menší než 7J. Protože rohatka je chladná a fluktuace západky jsou poměrně řídké, bude pro západku velmi těžké dosáhnout energie e. Protože teplota 7J je vysoká, větrnfček často získá energii fa naše zařízení půjde tak, jak si přejeme, tedy v jednom směru. Rádi bychom se dozvěděli, zda naše zařízení může zdvihat závaží. K bubnu uprostřed našeho zařízení přivážeme nit a zavěsíme na ni závaží, například zmiňovanou blechu. Nechť L je moment síly vytvořený závažím. Není-li L příliš velké, náš stroj zdvihne závaží, neboť fluktuace Brownova pohybujím pohnou častěji jedním směrem než druhým. Chtěli bychom vědět, jakou tíhu může zdvihnout, jak rychle se bude točit atd. Nejdříve budeme uvažovat pohyb vpřed, pro nějž je vlastně rohatkové ústrojí přizpůsobeno. Kolik energie je tř eba vzít z větrníkového konce, aby se uskutečnil jeden krok dopředu? Musíme vzít energii f na zdvihnutí západky. Aby se rohatka otočila o úhel oproti momentu L, j e tř eba energie Lů. Celkové množství energie, které musíme vzít, je tedy rovno e + Lů. Pravděpodobnost, že ji dostaneme.je rovna e ^c*LŮ>,kT^ Ve skutečností nám nejdejen o získání této energie, ale i o to, kolikrát za sekundu se to stane. Pravděpodobnost za sekunduje úměrná e LÍ,/kTt a konstantu úměrností označíme 1/ r. Tato konstanta se nakonec stejně vyruší. Při jednom kroku dopředu je práce konaná na závaží rovna Lů. Energie odebraná z větrníkuje rovna e+ Lů. Vlákno se namotává s energií e, potom to zaskřípe, klapne a tato energie se přeměniv teplo. Všechna odebraná energie se spotřebuje ke zdvihnutí závaží a západky a západka pak zaskočí a odevzdá teplo druhé straně. Nyní si všimněme případu, kdy jde o opačný pohyb. Co se tu děje? Má-li se rohatka točit nazpět, stačí nám dodat tolik energie, aby se západka dostatečně zdvihla a rohatka proklouzla. Tato energie je také rovna e. Pravděpodobnost za sekundu, že se západka dostatečně zdvihne, je rovna [l/r) e ^e/kT^. Konstanta úměrností je stejná, ale v exponentu je nyní kT2, protože teplota je jiná. Když západka proklouzne, ztratí se práce, neboť rohatka proklouzne nazpět. Proklouzl jeden zub a tak se ztratila práce Lů. Energie odebraná z rohatkového ústrojí je rovna e a energie odevzdaná plynu při teplotě Tj na straně větrníkuje rovna Lů+ e. Není těžké to pochopit. Předpokládejme, že západka se sama zdvihla v důsledku fluktuace. Zapadne-li potom nazpět a pružina ji zadačí proti zubu, máme sílu, která se snaží pootočit rohatku, protože zub dači na nakloněnou rovinu. Tato síla koná práci, a stejně i síla pocházející od závaží. Celková síla je součtem těchto sil a všechna energie, která se pomalu uvolňuje, se objeví na straně větrníku v podobě tepla. (Musí to tak být v důsledku platnosti zákona zachování energie, aleje to třeba dobře promyslet!) Vidíme, že všechny tyto energie jsou přesně stejné jako předtím, jen působí v opačném směru. Proto podle toho, který z těchto procesuje rychlejší, závaží pomalu stoupá nebo klesá. Samozřejmě závaží stále poskakuje, kousek nahoru a kousek dolů, ale my máme na mysli průměrné chování. Předpokládejme, že při určitém závaží jsou rychlosti těchto procesů stejné. Pak přidejme na konec vlákna nekonečně malé závaží. Závaží bude pomalu klesat a stroj bude konat práci. Energie bude odebíraná rohatce a odevzdávána větrníku. Když ale trochu závaží ubereme, bude mít nerovnováha opačný charakter. Závaží stoupá a teplo je odebíráno z větrníku a odevzdáváno rohatce. Tak máme podmínky Camotova vratného cyklu za předpokladu, že závaží je takové, že rychlosti jsou stejné. Tuto podmínku zřejmě vyjadřuje rovnost (e + Lů)/ Tj = el T2. Nechť stroj pomalu zdvihá závaží. Energie Qj je odebírána větrníku a energie j e dodávána rohatce a tyto 627 ROHATKA JAKO STROJ energie jsou v poměru (e+ Lů)/e. Spouštíme-li závaží, máme také Q,/Qj = [e + Lů)/e. Proto máme (viz tab. 46.1) „ Ä Ľ. Shrnutí pohybů rohatky se západkou Tabulka46.1 Dopředu: Potřebná energie Odebráno z větrníku Vykonaná práce Odevzdáno rohatce e+ Lů z větrníku 1 -[Lťéj/kT^ rychlost procesu = — e r Lů e Dozadu: Potřebná energie Odebráno rohatce Ztracená práce Odevzdáno větrníku spro západku ui . 1 -t/kTi rychlost procesu = — e T e Lů •. stejné jako výše, ale l s opačným Lů+ e ) znamením Je-li systém vratný, rychlostí procesů jsou stejné a tedy-=—. Tedy —=—. Teplo k rohatce Teplo z větrníku Lů* e Dále, práce, kterou získáváme, je k energii odebrané z větrníku v takovém poměru jako Lů k Lů+ e, tedy v poměru (7j - T2) I Tx. Vidíme, že naše vratně pracující zařízení nemůže vytěžit víc práce, než dovoluje tento vztah. To je hlavní výsledek tohoto článku a na základě Carnotova důkazu jsme tento výsledek i čekali. Naše zařízení však můžeme využít k pochopení některých jiných jevů, dokonce i v nerozvážném stavu, a tedy mimo oblast termodynamiky. Vypočítejme, jak rychle se bude naše jednosměrné zařízení otáčet, bude-li vše při stejné teplotě a na buben zavěsíme závaží. Zatáhneme-li velmi, velmi silně, nastanou samozřejmě rozličné komplikace. Západka prokluzuje přes zuby rohatky, zlomí se pružina nebo se přihodí něco jiného. Předpokládejme však, že zatáhneme dostatečně jemně a vše bude krásně pracovat. Tehdy je výše provedená analýza pro pravděpodobností přímého a zpětného pohybu rohatky správná, musíme však zabezpečit rovnost teplot. Při každém kroku získáváme úhel ů, takže úhlová rychlostje ^-násobkem pravděpodobnostijednoho takového skoku za sekundu. Zařízení se pootočí dopředu s pravděpodobností (1/r) e"'e*il,'/*r a dozadu s pravděpodobností (1/ r) e'e/kT, takže pro úhlovou rychlost dostaneme lů T Lů)/kT _ -t/kT ^-t/kT^-LO/kT T "D- (46.1) 628 ROHATKA SE ZÁPADKOU Kdybychom nakreslili závislost co na L, dostali bychom křivku jako na obrázku 46.2.]e vidět že je velký rozdíl mezi tím, když Z, je kladné, a když L je záporné. Vzrůstá-li L v kladné oblastí, což nastává tehdy, snažíme-li se o zpětný chod rohatky, pak se zpětná rychlost blíží konstantě. Stává-li se L záporným, o) prudce roste, protože e na velkého mocnitele je ohromně velkél Obr. 46.2 Úhlová rychlost rohatkyjako funkce momentu sSy Úhlová rychlost vyvolaná různými silami je tedy velmi nesymetrická. Pohyb jedním směrem je snadný: už malá síla vyvolává velkou úhlovou rychlost. Při pohybu opačným směrem můžeme vynaložit velikou sílu a rohatka se sotva točí. S podobnou situací se setkáme u elektrického usměrňovače. Místo síly máme elektrické pole a místo úhlové rychlostí máme elektrický proud. V případě usměrňovače není napětí úměrné odporu a situace je nesymetrická. Analýza, kterou jsme provedli v případě mechanického usměrňovače, se hodí pro elektrický usměrňovač. Vztah, který jsme získali, je typický i pro závislost propustností usměrňovače na působícím napětí. Odložme nyní všechna závaží a všimněme si původního stroje. Kdyby T2 bylo menší než 7j, rohatka by se pohybovala dopředu, tomu každý uvěří. Opačnému případuje však těžší na první pohled uvěřit. Je-li T2 větší než 7",, rohatka se otáčí opačným směrem! Silně zahřátá dynamická rohatka se bude otáčet nazpět, protože její západka odskakuje. Je-li západka v určitém okamžiku na nakloněné rovině, oddačuje tuto rovinu na stranu. Na nakloněnou rovinu však západka dači vždy, neboť i když se zdvihne dost vysoko a přejde přes okraj zubu, nakloněná rovina sklouzne a západkaje opět na nakloněné rovině. Horká rohatka se západkouje tedy ideálně přizpůsobena pro chod v přesně opačném směru, nežje směr, pro který byla původně navržena! Přes všechnu naši šikovnost při konstrukci jednostranného mechanizmu při rovností teplot mizí dispozice otáčet se spíše jedním než druhým směrem. V okamžiku, kdy se na zařízení díváme, může se otáčet na jednu nebo na druhou stranu, ale z hlediska dlouhodobého režimu se nikam nedostane. Tato skutečnostje základním, hlubokým principem, na němž spočívá celá termodynamika. jg^ VRATNOST V MECHANICE Co je to za hluboký mechanický princip, který nám říká, že při rovností teplot se naše zařízení neotočí ani doprava, ani doleva, pracuje-li dostatečně dlouho? Jde zřejmě o základní tvrzení, že nemůžeme zkonstruovat stroj, který by se ponechán sám sobě dostatečně dlouhou dobu 629 VRATNOST V MECHANICE pohyboval s větší pravděpodobností jedním směrem než druhým. Pokusme se vysvědit, jak toto tvrzení vyplývá ze zákonů mechaniky. Zákony mechaniky vypadají asi takto: součin hmotnosti a zrychlení je roven síle působící na částici a síla působící na částici je nějakou složitou funkcí polohy všech ostatních částic. Existují i takové případy, kdy síly závisí na rychlostijako v magnetizmu, ale takové případy teď nebudeme uvažovat. Všimneme si jednoduššího případu, jakým je gravitace, a v takovém případě síly závisí jen na poloze. Předpokládejme, že jsme už vyřešili náš systém rovnic a našli jsme nějaký zákon pohybu x(t) pro každou částici. Je-li systém dost složitý, řešení jsou velmi složitá, a to, co se děje v průběhu času, je velmi překvapující. Vymyslíme-li si totiž libovolnou konfiguraci částic, tato konfigurace se skutečně vyskytne, jen musíme dostatečně dlouho čekat! Sledujeme-li naše řešení dostatečně dlouho, vidíme, že projde vlastně všemi možnými situacemi. V případě nejjednoduš-ších zařízení to není absolutně nevyhnutné, ale je-li systém dost složitý, s velkým množstvím atomů, pak se to stává. Jeještějedna věc, která plyne z našeho řešení. Vyřešíme-li pohybové rovnice, dostaneme určité funkce času, například t+ ŕ + ŕ. Tvrdíme, že druhým řešením bude -t + t2 - t3. Jinými slovy, dosadíme-li v řešení všude -1 místo t, opět dostaneme řešení téže rovnice. Tato skutečnost je důsledkem toho, že při dosazení -1 místo t do původní diferenciální rovnice se nic nezmění, neboť v rovnici vystupují pouze druhé derivace podle /. To znamená, že při určitém pohybuje možný i přesně opačný pohyb. V úplném chaosu, k němuž dochází, čekáme-li dostatečně dlouho, se pohyb uskuteční občas vjednom a občas v druhém směru. Určitý pohyb není o nic hezčí než pohyb opačný. Proto je nemožné zkonstruovat stroj, který by v dlouhodobém režimu dával přednost chodu vjednom směru před chodem v opačném směru, je-li tento stroj dostatečně složitý! Můžeme vymyslet příklad, v němž toto naše tvrzení zřejmě neplatí. Například vezmeme-li kolo a v prázdném prostoru ho roztočíme, bude se neustále otáčet stejným směrem. Existují tedy určité podmínky, jako zachování momentu hybnosti, které nevyhovují našemu tvrzení. Naše tvrzení proto musíme formulovat opatrněji. Moment hybnosti mohou odebrat stěny nebo jiná tělesa, a proto už neplatí zákony zachování pro náš speciální pohyb. Proto je při dostatečné složitosti systému naše tvrzení správné. Zakládá se na skutečnosti, že zákony jsou vratné. Z historických důvodů připomeneme zařízení vymyšlené Maxwellem, který jako první vypracoval dynamickou teorii plynů. Maxwell si představil takovou situaci: Dvě nádoby s plynem jsou spojené malým otvorem a mají stejnou teplotu. U otvoru sedí maličký démon (může to být samozřejmě stroj!). Otvor má dvířka, která démon může otevřít nebo zavřít. Pozoruje molekuly přicházející zleva. Když uvidí rychlou molekulu, otevře dvířka. Když uvidí pomalou molekulu, nechá dvířka zavřená. Kdybychom chtěli, aby to byl zvláště dokonalý démon, mohli bychom požadovat, aby měl oči i vzadu a dělal opačné úkony s molekulami přicházejícími z opačné strany. Pomalé molekuly by nechal procházet doleva a rychlé doprava. A nyní řekněte, jsou zákony termodynamiky narušeny existencí takového démona? Ukazuje se, že démon konečných rozměrů by se sám tak zahřál, že by po chvíli už dobře neviděl. Příkladem takového nejjednoduššího démona by byla dvířka s pružinou, která by zakrývala otvor. Rychlá molekula jimi projde, neboť je schopná dvířka pootevřít. Pomalá molekula však projít nemůže a odrazí se nazpět. Jenže to není nic jiného nežjiná forma našeho rohatkového ústrojí a my už víme, že takový mechanizmus se musí zahřívat. Je v něm jen konečný počet vnitřních součástek, takže se nemůže zbavit přebytku tepla, které získal pozorováním molekul. V důsledku Brownova pohybu se začne brzo chvět tak, že nebude moci rozhodnout, zda se molekuly přibližují nebo vzdalují, a tak nebude schopen činnosti. 630 ROHATKA SE ZÁPADKOU NEVRATNOST Jsou všechny fyzikální zákony vratné? Zřejmě ne! Zkuste udělat ze smaženice vejcel Promítne-te-li film obráceným směrem, budou se všichni smát. Nejpřirozenějším rysem všech jevůje jejich zjevná nevratnost. Odkud nevratnost pochází? Z Newtonových zákonů ne. Žádáme-li, aby chování všech věcí v konečném důsledku vysvětlit pomocí fyzikálních zákonů, a ukáže-li se, že všechny rovnice mají tu fantastickou vlastnost, že při t = -1 máme další řešení, pak musí být všechny jevy vratné. Čím to potom je, že v přírodě ve velkém měřítku nejsou děje vratné? Zřejmě musí existovat určitý zákon, nějaká skrytá základní rovnice, snad z oblasti elektrických jevů nebo fyziky neutrina, u níž záleží na tom, kterým směrem plyne čas. Nyní se zabývejme tímto problémem. Jeden z takových zákonů už známe a ten říká, že entropie vždy roste. Máme-li teplý a chladný předmět, přechází teplo z teplého předmětu na chladný. Zákon entropie je tedyjednfm takovým zákonem. Jenže my bychom chtěli pochopit zákon růstu entropie z hlediska mechaniky. Už se nám podařilo jen pomocí mechanických argumentů odvodit důsledky toho, že teplo samo nemůže procházet nazpět, a tak pochopit druhý zákon termodynamiky. Zřejmě tedy můžeme dostat nevratnost z vratných rovnic. Ale využili jsme při tom opravdu pouze zákony mechaniky? Podívejme se na to podrobněji. Pokusme se najít mikroskopický popis entropie. Když říkáme, že někde (například v plynu) je určité množství energie, pak mikroskopický obraz získáme tehdy, když určíme, kolik energie má každý atom. Sčítáním energiíjednotlivých atomů dostaneme celkovou energii. Podobně můžeme čekat, že každý atom má určitou entropii. Když tyto entropie sečteme, měli bychom dostat celkovou entropii. V tomto případě to už není tak jednoduché, ale uvažme, co se stane. Jako příklad vypočítejme rozdíl entropií plynu při určité teplotě vjednom objemu a téhož plynu při stejné teplotě, ale v jiném objemu. Vzpomeňme si, že v 44. kapitole jsme pro rozdíl entropií měli vztah V našem případě je energie plynu před expanzí a po expanzi stejná, protože teplota se nemění. Musíme tedy dodat dostatek tepla k vyrovnání práce konané plynem, tedy pro každou malou změnu objemu To je výsledek, který jsme získali už v 44. kapitole. ZvětMme-li například objem dvojnásobně, změna entropie bude Nk ln2. Uvažujme nyní jiný zajímavý případ. Předpokládejme, že máme nádobu s přepážkou uprostřed. Najedné straně je neon („černé" molekuly) a na druhé argon („bílé" molekuly). Pak přepážku odstraníme a molekuly necháme smísit. Jak se mění entropie? Můžeme si představit, že místo přepážky máme píst s otvory, jímž mohou procházet bílé molekuly, ale černé ne a potom dQ=pdV. Dosadíme-li za dQ dostaneme 631 NEVRATNOST ♦ USPORÁRÁNÍ ENTROPIE máme jiný píst, který má opačné vlastnosti. Pohybujeme-li pístem z jednoho konce nádoby na druhý, máme pro každý plyn právě takový problém, jaký jsme už vyřešili. Entropie se tedy mění o hodnotu Mln2, to znamená, že entropie připadající na jednu molekulu vzrosda o Äln2. Číslo 2 tam vystupuje, neboť molekula má prostor navíc, cožje dost zvláštní. Není to vlastnost samotné molekuly, ale volného prostoru kolem ní. Vzniká neobvyklá situace, kdy entropie roste, ale všechno má stejnou teplotu a stejnou energii! Jediná změna nastala v tom, že molekuly jsou jinak rozloženy. Velmi dobře víme, že po odstranění přepážky by se po dlouhém čase vše promísilo v důsledku srážek, kmitů, nárazů apod. V průběhu času se stává, že se bílá a černá molekula pohybují proti sobě a mohou se minout. Postupně náhodně vnikají bílé molekuly mezi černé a naopak. Bude-me-li dost dlouho čekat, dostaneme směs. Je to bezpochyby nevratný proces reálného světa a musí vést k růstu entropie. Setkali jsme se s jednoduchým příkladem nevratného procesu, kterýje celý složen z vratných událostí. Každou chvíli dochází ke srážce mezi dvěma molekulami a ty se rozletí do určitých směrů. Kdybychom promídi filmový záznam srážek v opačném sledu, diváci by neshledali na filmu nic neobvyklého. Opravdu, vždyť jeden druh srážkyje stejně pravděpodobný jako druhý. Míšení je úplně vratné, a přece i nevratné. Každý ví, že kdybychom začali s oddělenými černými a bílými molekulami, dostali bychom za několik málo minut směs. Kdybychom si sedli a dívali se na směs ještě několik minut, molekuly by se neoddělily, ale zůstaly by smíšené. Máme tedy nevratnost, která spočívá na vratných situacích. Nyní však vidíme i příčinu. Začali jsme se seskupením, ježje v určitém smyslu uspořádané. V důsledku chaotičnosti srážek se stalo neuspořádaným. Zdrojem nevratnosti je pravé přechod od uspořádaného seskupení k neuspořádanému. Kdybychom nafilmovali takový proces a promítli ho v obráceném sledu, viděli bychom jak postupně dochází k uspořádávání. Někdo by však mohl říci: „Vždyť je to proti fyzikálním zákonům!" Znovu bychom promídi film a sledovali bychom každou srážku. Každá by byla dokonalá a každá by vyhovovala fyzikálním zákonům. Příčina spočívá v tom, že rychlosti všech molekul jsou správné, takže sledujeme-li dráhy nazpět, dostaneme se k počátečním podmínkám. Taková situace je však velmi málo pravděpodobná. Kdybychom začali s plynem, v němž není nějaké zvláštní seskupení molekul, ale jsou tam prostě bílé a černé molekuly, nikdy by se nevrátily do původní situace a neoddělily by se. 46^ USPOŘÁDÁNÍ A ENTROPIE Nyní si musíme říci něco o tom, co rozumíme uspořádáním a co neuspořádáním. Nejde o to, zda je uspořádání hezké a neuspořádání ošklivé. Naše smíšené a nesmíšené plyny se liší v následujícím: Předpokládejme, že jsme prostor rozdělili na malé objemové elementy. Kolika způsoby můžeme rozmístit do objemových elementů bílé a černé molekuly tak, že bílá molekula bude najedné straně a černá molekula na druhé straně? A kolika způsobyje můžeme rozmístit, když neklademe žádnou podmínku na jejich uložení? Je jasné, že v druhém případě máme mnohem více možností. „Neuspořádání" měříme počtem způsobů, jimiž můžeme přeskupovat vnitř ek aniž by se změnil vnější vzhled. Logaritmus tohoto počtu způsobuje entropie. V případě, kdy bílé a černé molekulyjsou odděleny, je počet těchto způsobů menší, a proto je menší entropie, resp. menšíje „neuspořádání". S takovou technickou definicí neuspořádání můžeme pochopit naše tvrzení. Především, entropie měří neuspořádání. Dále vesmír vždy přechází od „uspořádání" k „neuspořádání", takže entropie vždy roste. Uspořádání není pořádkem v tom smyslu, že se nám takové seskupení líbí, 632 ROHATKA SE ZÁPADKOU ale v tom smyslu, že počet různých seskupení, která si můžeme vymyslet tak, aby systém zvenku vypadal stejně, je poměrně omezený. V případě, kdyjsme promítli filmový záznam míšení plynů v opačném sledu, neměli jsme tak velké neuspořádání, jak bychom se mohli domnívat Každý jednotlivý atom měl přesně takovou rychlost a takový směr, aby se dostal na správné místo! I když se to nezdálo, entropie nebyla vůbec veliká. Co můžeme říci o vratností jiných fyzikálních zákonů? Když jsme mluvili o elektrickém poli pocházejícím od náboje pohybujícího se se zrychlením, řekli jsme, že musíme uvažovat retardované pole. V okamžiku í a ve vzdáleností r od náboje bereme pole náboje se zrychlením při t- r/c, ne t + r/c Na první pohled to vypadá tak, jakoby zákony elektřiny nebyly vratné. To je však velmi divné, neboť tyto zákony vyplývají ze soustavy Maxwellových rovnic, které jsou vratné. Můžeme také dokázat, že kdybychom brali jen avansované pole, tedy pole odpovídající událostem v čase t+ r/ca provedli bychom to velmi důsledně ve zcela uzavřeném prostoru, vše by probí* halo přesně tak, jako v případě retardovaných polí! Tato zdánlivá nevratnost v elektřině, alespoň v uzavřeném prostoru není vůbec nevratností. To jsme vlastně už mohli tušit, neboť víme, že když kmitající náboj generuje pole, které se odráží od stěn nádoby, dojde nakonec k rovnováze, v níž není jednostrannost Použití retardovaného pole je jen vhodnou metodou řešení. Pokud víme, všechny základní fyzikální zákony, tak jako Newtonovy rovnice, jsou vratné. Odkud potom pochází nevratnost? Pochází z přechodu od uspořádání k neuspořádání, ale to nepochopíme, dokud nepoznáme důvod uspořádání. Čím to je, že situace, s nimiž se setkáváme v každodenním životějsou vždy nerovnovážné?Jedno možné vysvědeníje toto. Všimněme si opět naší nádoby se směsí bílých a černých molekul. Je možné, že při dost dlouhém čekání by čirou náhodou, velmi nepravděpodobně, ale přece jen možná vzniklo takové rozdělení molekul, že najedné straně by byly většinou bílé a na druhé straně většinou černé molekuly. Pak, postupem času a vývojem událostí by se molekuly opět promfsily. Jedním z možných vysvědení vysokého stupně uspořádání v současném světě je prostě šťastná náhoda. V našem vesmíru možná v minulosti došlo ke vzniku určitého druhu fluktuace, kdy se věci poněkud oddělily a nyní se vrací k původnímu stavu. Taková teorie není nesymetrická, protože si můžeme položit otázku, jak budou oddělené plyny vypadat v blízké budoucností a jak vypadaly v nedávné minulosti. V obou případech bychom viděli šedivou skvrnu na rozhraní, protože molekuly se opět mísí. Plyny by se mísily bez ohledu na to, kterým směrem by plynul čas. Taková teorie by nevratnost vysvědovala jako jednu z náhod života. Vynasnažíme se ukázat, že věci se mají jinak. Předpokládejme, že nevidíme celou nádobu najednou, ale pouze její část a v určitém okamžiku objevíme v této části určitou míru uspořádání. V této malé části jsou bílé a černé molekuly odděleny. Co můžeme soudit o podmínkách v místech, kam jsme se ještě nepodívali? Věříme-li opravdu, že uspořádání vzniklo z úplného neuspořádání jako fluktuace, musíme vzít nejpravděpodobnější fluktuaci z těch, které mohou v pozorované části nastolit uspořádání. Ta však neodpovídá podmínce, že v ostatních částech panuje uspořádání. Z hypotézy, že svět je fluktuace, by vyplývalo, že podíváme-li se na tu část světa, kterou jsme nikdy předtím neviděli, musí být neuspořádaná, a ne taková, jako je ta část, kterou již známe. Kdyby bylo naše uspořádání důsledkem fluktuace, nemohli bychom očekávat uspořádání v jiných místech, než jsou ta, na nichž jsme ho už objevili. Nyní předpokládejme, že rozdělení je důsledkem toho, že v minulosti byl vesmír skutečně uspořádaný. Nejde tedy o důsledek fluktuace, ale původně vypadalo všechno tak, že bílé a černé bylo odděleno. Taková teorie předpovídá, že uspořádání bude i na jiných místech, která jsme zatím ještě neviděli. Například astronomové zatím pozorovali jen některé z hvězd. Každý den obracejí své teleskopy k jiným hvězdám a nové hvězdy se chovají jako ostatní. Z toho usuzujeme, 633 NEVRATNOST ♦ USPORÁRÁNÍ ENTROPIE že vesmír není fluktuace a uspořádání je památkou na ty podmínky, kdy vše začínalo. To však neznamená, že chápeme logiku tohoto děje. Z nějakých důvodů měl vesmír v určitém okamžiku velmi malou entropii vzhledem ke svému energetickému obsahu a od té doby entropie roste. Taková je cesta do budoucna. Takový je původ vší nevratnosti procesů růstu a zániku, proto si pamatujeme věci, které jsou blíže k tomu okamžiku v historii vesmíru, kdy bylo uspořádání vyšší, než je nyní, a proto si nemůžeme pamatovat věci, kdy je neuspořádání vyšší než teď, což nazýváme budoucností. Jak jsme poznamenali vjedné z předcházejících kapitol, v poháru vína vidíme celý vesmír, podíváme-li se na něj pozorně. Pohár vína je opravdu složitá věc, vždyť je tam víno a sklo, svědo a mnoho jiných věcí. Další půvab fyziky spočívá v tom, že i takové jednoduché a idealizované věci, jako je rohatkové ústrojí, pracují jen proto, že jsou částí vesmíru. Rohatka a západka se pohybují jedním směrem, neboťjsou v kontaktu s ostatními částmi vesmíru. Kdyby byly v uzavřeném prostoru a dostatečně dlouho izolovány, ozubené kolo by už nedávalo přednostjednomu směru otáčení před druhým. Jenže tak jako k nám po vytažení žaluzií pronikne svědo, jako nás zem chladí a slunce hřeje, tak se i rohatka pohybuje jedním směrem. Tato jednosměmost souvisí se skutečností, že rohatkaje částí vesmíru, a to nejen v tom smyslu, že podléhá fyzikálním zákonům vesmíru, ale i proto, že celý vesmír má jednostranné chování. Nemůžeme to plně pochopit, pokud se v záhadě historie počátků vesmíru nedostaneme od pochybných spekulací k vědeckému poznání. 634 vuk. Vlnová rovnice 47.1 VLNY 47.2 ŠÍŘENÍ ZVUKU 47.3 VLNOVÁ ROVNICE 47.4 ŘEŠENÍ VLNOVÉ ROVNICE 47.5 RYCHLOST ZVUKU VLNY V této kapitole budeme mluvit o novém jevu - o vlnách. Je to jev, který se ve fyzice objevuje v mnoha souvislostech a budeme mu věnovat pozornost nejen proto, že se zajímáme o speciální případ vlnění, kterým je zvuk, ale také proto, že tyto myšlenky nacházejí široké uplatnění ve všech odvětvích fyziky. Při studiu harmonického oscilátorujsme ukázali, že vedle mechanických oscilujících systémů existují i elektrické. Vlny souvisí s kmitáním systémů, ale vlnění není jen kmitání na jednom místě závislé na čase, aleje to i šíření prostorem. Vlnyjsme už opravdu zkoumali. Když jsme mluvili o svědě a učili se o vlastnostech světelných vln, věnovalijsme zvláštní pozornost prostorové interferenci vln stejné frekvence pocházejících z různých zdrojů nacházejících se v různých místech. Existujíještě dva důležité vlnovéjevy, které jsme zatím ještě nestudovali a které se vyskytují v případě světla, tj. elektromagnetického vlnění, právě tak jako v případě kterýchkolivjiných vln. Prvním z nich j e interference, jenže ne v prostoru, ale v čase. Máme-li dva zdroje zvuku s nepatrně odlišnými frekvencemi a obaje současně slyšíme, pak k nám někdy přicházejí naráz vrchy obou vln a někdy vrch jedné s dolem druhé (viz obr. 47.1). Výsledkem je zesílení a zeslabení zvuku a tento jev nazýváme rázy (zázněje) nebo interference v čase. Druhý jev nastává, když je vlnění omezeno na určitý objem a odráží se od stěn takového prostoru. O těchto jevech jsme, samozřejmě, mohli mluvit i v případě, kdy jsme zkoumali elektromagnetické vlny. Neudělali jsme to proto, abychom nevzbudili pocit, že se najednou učíme o mnoha odlišných věcech. Abychom zdůraznili obecný charakter vlnění, které se neomezuje pouze na elektrodynamiku, budeme nyní uvažovat jiný příklad vln, konkrétně zvukové vlny. 635 VLNY Obr. 47.1 Interference zvuku od dvou zdrojů s mírně rozdílnými frekvencemi vede k rázům Jinými příklady vln jsou vlny na vodní hladině skládající se z dlouhých hřebenů, které vídáme přicházet ke břehu nebo malé vlnky na zčeřené hladině způsobené povrchovým napětím. Dalším příkladem vlnění jsou dva druhy pružných vln v pevných látkách. Vlny sdačení (podélné vlny), v nichž čásdce pevné látky kmitají podél směru šíření vlny (takovými jsou i zvukové vlny vplynu) a příčné vlny, v nichž čásdce pevné látky kmitají ve směru kolmém ke směru šíření. Seizmické vlny obsahují vlnění obou druhů a vznikají pohybem některého místa zemské kůry. Moderní fyzika objevila další příklad vln. Jsou to vlny určující amplitudu pravděpodobností nalezení částice v daném místě — de Brogliovy „vlny hmoty", o nichž jsme již mluvili. Jejich frekvence je úměrná energii a jejich vlnové číslo je úměrné hybnosti. Jsou to vlny kvantové mechaniky. V této kapitole budeme uvažovat jen takové vlny, jejichž rychlost nezávisí na vlnové délce. Příkladem takových vln je šíření svěda ve vakuu. Rychlost svědaje v takovém případě stejná pro rádiové vlny, modré nebo zelené svědo nebo kteroukoliv vlnovou délku. Právě proto jsme si hned zpočátku při popisu vlnových jevů nevšimli, že máme šíření vlny. Místo toho jsme říkali, že při pohybu náboje v jednom místě je elektrické pole ve vzdálenosti x úměrné ne zrychlení v čase t, ale v pozdějším čase t-x/c. Změna průběhu elektrického pole v prostoruje znázorněna na obr. 47.2, kde je vidět, že v pozdějším čase t se průběh pole posune o vzdálenost ct. Matematicky to pro jednorozměrný případ, o který se zajímáme, můžeme vyjádřit tak, že elektrické pole je funkcí x- ct. Je vidět, že při r= 0 je určitou funkcí x Budeme-li uvažovat pozdější okamžik, dostaneme stejnou hodnotu elektrického pole při větším x Například, když bylo maximum pole v nulovém okamžiku při x= 3, určíme novou polohu maxima pole v okamžiku t takto x-ct = 3, resp. x = 3 + ct. Vidíme, že taková funkce odpovídá šíření vlny. 636 ZVUK. VLNOVÁ ROVNICE h—«—1 \ \ 1 t ' X \ i ' ' Obr. 47.2 Průběh elektrického pole v určitém časovém okamžiku (plná čára) a v okamžiku, který je o dobu t zpožděn (přerušovaná čára) Funkce J[x- ct) tedy představuje vlnu. Tento popis vlny můžeme shrnout do tvrzení, že f(x-clj = /(* +A*- c[t + Atj), když Ax = cAt. Samozřejmě existuje i jiná možnost, kdy místo zdroje na levé straně (obr. 47.2) máme zdroj na pravé straně a vlna se šíří v záporném směru x. V takovém případě bude vlnu popisovat funkce g(x+ ct). Existuje i taková možnost, že v prostoru je současně více vln, takže elektrické poleje například součtem dvou polí a každé se šíří nezávisle. Takové chování elektrických polí můžeme charakterizovat tvrzením, že když fx (x - cl) je vlna a f2 (x - cl) je jiná vlna, jejich součet je také vlna. Toto tvrzení nazýváme principem superpozice. Tento princip platí i v případě zvuku. Dobře známe skutečnost, že při zvukové reprodukci slyšíme dokonale věrně stejnou posloupnost zvuků, jaká byla generována. Kdyby se vyšší frekvence šířily rychleji než nižší, slyšeli bychom místo hudby krátký, ostrý a nepříjemný zvuk. Podobně, kdyby se červené svčdo šířilo rychleji než modré, záblesk bílého svěda by nejprve vypadal červeně, pak bíle a nakonec modře. My však velmi dobře víme, že to tak není. I zvuk, i svědo se šíří vzduchem rychlostí, která téměř nezávisí na frekvenci. Příklady šíření vln, kdy není tato nezávislost splněna, budou uvažovány v kapitole 48. Vpřípadě svěda (elektromagnetických vln) jsme měli pravidlo, které určovalo elektrické pole v daném bodě jako důsledek zrychlení náboje. Dalo by se očekávat, že by bylo potřeba najít pravidlo, podle něhož by byla některá vlastnost vzduchu, řekněme dak, určena v dané vzdálenosti od zdroje pomocí pohybu zdroje s přihlédnutím ke zpoždění při šíření zvuku. V případě svěda bylo možné takový postup použít, neboť vše, co jsme věděli, spočívalo v tom, že náboj vjednom místě působí silou na druhý náboj v jiném místě. Podrobnosti šíření z jednoho místa na druhé nebyly vůbec podstatné. V případě zvuku však víme, že se šíří vzduchem mezi zdrojem a posluchačem aje jistě přirozené se ptát, jakýje dak vzduchu v daném okamžiku. Chtěli bychom vědět i to, jak se vzduch skutečně pohybuje. Vpřípadě elektřiny jsme mohli akceptovat určité pravidlo, neboť jsme ještě neznali její zákony, ale v případě zvuku je už situace jiná. Už by nás neuspokojilo pravidlo o šíření zvukového daku, protože takový proces musí být možné vysvědit jako důsledek zákonů mechaniky. Zkrátka zvuk je částí mechaniky, a proto ho musí být možné vysvědit pomocí Newtonových zákonů. Šíření zvuku z jednoho místa na druhé je pouhým důsledkem mechaniky a vlastností plynů, jde-li o šíření v plynu, nebo vlastností kapalin či pevných látek, jde-li o šíření v takovém prostředí. Později odvodíme vlastnosti svěda a jeho vlnového šíření podobným způsobem ze zákonů elektrodynamiky. 637 ŠÍRENÍ ZVUKU ŠÍŘENÍ ZVUKU Nyní odvodíme vlastností šíření zvuku mezi zdrojem a přijímačem jako důsledek Newtonových zákonů, interakci zdroje a přijímače nebudeme uvažovat. Obvykle klademe důraz spíš na výsledek než na jeho odvození. V této kapitole zaujmeme opačný postoj. Zde bude v určitém smyslu hlavní právě odvození. Způsob vysvědení nového jevu pomocí starýchjevů.jejichž zákony už známe, je snad největším uměním matematické fyziky. Matematický fyzik má dva problémy: jedním je nalezení řešení dané rovnice a druhým je nalezení rovnic, které popisují nový jev. Odvození, které zde podáme, patří k druhému typu problémů. Budeme uvažovat ten nejjednoduŠší problém - Šíření zvuku vjednom směru. Abychom mohli takové odvození uskutečnit, musíme mít nejprve určitou představu o tom, co se děje. Základem tohoto jevuje, že při pohybu tělesa ve vzduqhu vzniká rozrucl^, jenž se šíří vzduchem. Na otázku, o jaký rozruch jde, bychom mohli odpovědět, že pohyb předmětu vyvolává změny daku. Samozřejmě, když se předmět pohybuje pomalu, vzduch hojen obtéká, ale nás zajímá rychlý pohyb, když vzduch nestihne obtéct těleso. Při takovém pohybuje vzduch sdačován, vzniká změna daku, která ovlivňuje sousedící vzduch. Sdačení tohoto vzduchu vede opět k dodatečnému daku, a tak se šíří vlna. Takový proces chceme vyjádřit matematicky. Musíme se rozhodnout, jaké proměnné potřebujeme. V našem speciálním případě potřebujeme vědět, jak se vzduch přemístil, takže posunutí vzduchu ve zvukové vlně bude určitě důležitou proměnnou. Navíc bychom chtěli popsat, jak se mění hustota vzduchu p^ijeho posunutí. I tlak vzduchu se mění, takže bude další proměnnou, která nás zajímá. Vzduch má, samozřejmě, rychlost, a proto musíme popsat rychlost částic vzduchu. Částice vzduchu mají i zrychlení- ale při vyjmenovávání těchto mnoha proměnných snadno pochopíme, že rychlost i zrychlení budeme znát, budeme-li vědět, jak se mění posunutí vzduchu s časem. Jak jsme již uvedli, budeme uvažovat vlnu vjednom rozměru. Tak můžeme uvažovat, jsme-li dostatečně daleko od zdroje a to, co nazýváme čelem vlny, se jen velmi málo liší od roviny. Naše úvahy se zjednoduší tím, že bereme ten nejjednoduŠší příklad. Tak budeme moci říci, že posunutí X závisí pouze nax,íanena),z. Chování vzduchu proto charakterizujeme funkcí x(x, t). Je takový popis úplný? Zdálo by se, že zdaleka není úplný, neboť neznáme podrobnosti pohybu molekul vzduchu. Ty se pohybují všemi směry a takový stav určitě není popsán funkcí x(x, t). Z hlediska kinetické teorie, máme-li větší hustotu molekul vjednom místě a menší v sousedním místě, by molekuly měly odcházet z oblasti větší hustoty a přicházet do místa s menší hustotou, aby se tento rozdíl vyrovnal. Zřejmě bychom nedostali oscilace a neměli bychom ani zvuk. Abychom dostali zvukovou vlnu, musí nastat následující situace: když molekuly vyletují z oblasti větší hustoty a většího daku, odevzdávají hybnost molekulám v přilehlé oblasti menší hustoty, Aby zvuk vznikl, musí být oblast, v níž se mění hustota a dak, mnohem větší než vzdálenost, kterou projde molekula dříve než se srazí s jinou molekulou. Touto vzdáleností je střední volná dráha a musí být mnohem menší než vzdálenost mezi vrchem a dolem daku. Y opačném případě se molekuly volně přemístí z vrchu do dolu vlny a okamžitěji vyhladí. Chování plynu budeme popisovat v měřítku, které je velké ve srovnání se střední volnou dráhou, a proto je jasné, že vlastnosti plynu nebudeme charakterizovat chováním jednotlivých molekul. Například posunutí bude posunutím těžiště malého objemu plynu a dak nebo hustota budou dakem nebo hustotou y tomto objemu. Tlak označíme symbolem p, hustotu Q a tyto veličiny budou funkcemi x a t Musíme však mít na zřeteli, že takový popis je přiblížením, které je vhodné jen tehdy, když se vlastnosti plynu nemění příliš rychle se vzdáleností. 638 ZVUK. VLNOVÁ ROVNICE 47.3 VLNOVÁ ROVNICE Fyzika jevu, který nazýváme zvukovou vlnou, zkoumá tři charakteristické vztahy: I. Plyn se pohybuje a mění se jeho hustota. II. Změně hustoty odpovídá změna daku. III. Nerovnoměrné rozdělení daku vyvolává pohyb plynu. / Nejdříve uvažujme druhý vztah. Jak v případě plynu, tak i v případě kapaliny nebo pevné látky je dak určitou funkcí hustoty. Do příchodu zvukové vlny máme rovnováhu s tlakem pQ a odpovídající hustotou gQ. Tlak v prostředí souvisí s hustotou prostřednictvím určitého charakteristického vztahu p=f(@)3. konkrétně rovnovážný dak p0 je dán vztahem pQ =f(g^). V případě zvuku jsou změny daku vzhledem k rovnovážné hodnotě mimořádně malé. Vhodnou jednotkou měření daku je 1 bar, přičemž 1 bar = 10s N/m2.5'' Tlak jedné standardní atmosféry je přibližně 1 bar. Platí 1 atm = 1,0133 bar. V případě zvuku používáme logaritmickou stupnici intenzit, neboť cidivost ucha je přibližně logaritmická. Je to decibelová stupnice, v níž je hladina akustického daku, odpovídající amplitudě daku p, definována jako /(hladina akustického daku) = 20 log,0 (p/pteí) v dB, (47.1) kde referenční dak pnf = 2 • 10"10 bar. Amplituda daku />= 103/>ref=2 • 10"7 barM) odpovíš mírně silnému zvuku 60 decibelů. Je vidět, že dakové změny zvuku jsou mimořádně malé ve srovnání s rovnovážným nebo středním dakem jedné atmosféry. Posunutí a změny hustoty jsou také mimořádně malé. Při výbuších však změny nejsou už tak malé a vytvořený dodatečný tlak může být větší než 1 atm. Takové velké dakové změny vedou k novým jevům, které budeme uvažovat později. Vpřípadě zvuku často neuvažujeme hladiny akustické intenzity převyšující 100 dB; vždyť při hladině 120 dB již pociťujeme bolest ucha. Proto v případě zvuku, když píšeme budeme mít vždy změnu daku pt velmi malou ve srovnání s pQ a změnu hustoty gt velmi malou ve srovnání s gQ. Proto Po +P< = M+ e) = M)+ Q,f (e0) > (47-3> kde pQ =/(í>„) a f (g0) představuje derivaci f(g) v bodě g = g0. Pravá strana tohoto vztahu platí jen tehdy, když gt je velmi malé. Tak zjišťujeme, že dodatečný dak p je úměrný dodatečné hustotě g a koeficient úměrnosti označíme symbolem >c. pt = xQt, kde x-f (fiLJ = (dp/dg)0 (TJ). (47.4) 57> Vlastně 1(rhPa. (pozn. red.) 58) Při takové volbě p,M nepředstavuje tlak p maximum tlaku zvuková vlny, ale .střední kvadratický" tlak, který je (2),/2-násobkem maximálního tlaku. 59) Indexem e jsme označili dodatečný .excesivni" tlak spojený se zvukovou vlnou. (pozn. red.) 639 VLNOVÁ ROVNICE To je právě vyjádření vztahu II v tom jednoduchém případě. Nyní uvažujeme vztah I. Předpokládejme, že poloha objemového elementu vzduchu neporušeného zvukovou vlnou je x a posunutí v čase ízpůsobené zvukem je ^(x, í). takže nová poloha je x + x{x> 0, jak je to znázorněno na obr. 47.3. Neporušená poloha sousedního objemového elementu vzduchuje x + Ax ajeho novápolohaje x + Ax + %{x + A x, t). Změny hustoty můžeme najít následujícím způsobem. Omezujeme-li se na rovinné vlny, můžeme vzít jednotkovou plochu kolmou na směr osy x, který je směrem šíření zvukové vlny* Množství vzduchu připadajícího na jednotkovou plochu v intervalu Ax je g0 Ax, přičemž g0 je neporušená nebo rovnovážná hustota vzduchu. Tento vzduch se po posunutí zvukovou vlnou nachází mezi x + x(x, t) ax + Ax+jíx + Ax,/), takže v tomto intervalu máme stejné množství vzduchu jako v intervalu Ax dříve, než působila porucha. Je-li g nová hustota, pak g0Ax = g[x + Ax+^(x + Ax, t) -x-jM]. (47.5) r*- xM ->i i rSTARÝ OBJEM ! rNOVÝ OBJEM j* ' ';_I' ' »1 x x+kx x+x(x,t) (x+Ax)+x(x+Ax.O I I I I I I •<- X(X+AX,0 -H Obr. 47.3 Posunutí vzduchu v bodě xje rovno x (*> 0 a v bodě x + A x je rovno ^ (x + A x, /). Původní objem připadající na jednotku plochy v rovinné zvukové vlně je roven Ax a nový objem Ax+^x* Ax,/) -X(*,t)- Protože Ax je malé, můžeme psát %{x + A x, t) ~x(x, $ = (3j/3x) Ax. Zde vystupuje parciální derivace, neboť x závisí na x i na čase. Naše rovnice pak získá tvar g0Ax = p||^Ax+Axj , (47.6) neboli e0 = teo + ^ff+ 3> + éV (47.7) Ve zvukové vlně jsou všechny změny malé, a proto jsou malé gt,Xy dx/dx. Ve vztahu, kterýjsme právě získali e, = - e0^ - (47.8) " ax dx proto můžeme zanedbat g 3^/3x vzhledem k gn —. Tak dostaneme vztah I: dx ec = -e0ir- W (47.9) ax Takovou rovnici by bylo možné z fyzikálního hlediska očekávat. Měnf-li se posunutí při změně 640 ZVUK. VLNOVÁ ROVNICE x, musí existovat změny hustoty. Znaménko je také správné; roste-li posunutí x s rostoucím x, vzduch se rozpíná a hustota musí klesat. Nyní musíme najít třetí rovnici, která by byla rovnicí pohybu vyvolaného dakem. Známe-li vztah mezi silou a dakem, můžeme získat pohybovou rovnici. Vezmeme-li tenkou vrstvu vzduchu s délkou A x a jednotkovou plochu kolmou na x, pak hmotnost vzíduchu v tomto objemu je g0 Ax ä má zrychlení cP/Zôt , takže součin hmotnosti a zrychlení je v takovém objemu roven gQ Ax[d2x/dt). (Pro malé a x nezáleží na tom, zda zrychlení d^/d*2 počítáme na kraji objemu nebo někde uvnitř.) Chceme-li určit sílu působící najednotkovou plochu takové vrstvy kolmou na x, bude rovna gQ Axféx/dt2). Vbodě xmáme sílu velikosti p(x, í) působící na jednotkovou plochu ve směru + x a v bodě x + a x máme sílu velikosti p[x + Ax, í) působící najednotkovou plochu v opačném směru (obr. 47.4), takže výsledná síla na jednotku plochy je p(x,t)-p(x + Ax,t) = -|£ax= -^p-Ax. (47.10) dx ax <-Ax-► X Obr. 47.4 Výsledná síla v kladném směru osy xvytvářená tlakem působícím najednotkovou plochu kolmá na x je rovna - (dp/dx) Ax, Přitom jsme využili to, že A x je malé a jedinou částí p, která se mění, je dodatečný dak p . Tak dostáváme vyjádření vztahu III 32r ' dp d ŕ s x a máme dostatek rovnic k tomu, abychom využitím vzájemných souvislostí zredukovali počet proměnných na jedinou, řekněme x. Ze vztahu III vyloučíme pt použitím vztahu (II), takže dostaneme ff'7* " (m) (4712) Ol ox a pak použijeme vztah I k vyloučení gt. Při takovém postupu nám gQ vypadne a zůstane nám ^ = x**. (47.13) d ŕ d x2 2 Zavedeme označení c = x a můžeme psát d x2 c2 d ŕ' (47.14) To je vlnová rovnice, která popisuje šíření zvuku v látce. 641 VLNOVÁ ROVNICE 47.4 ŘEŠENÍ VLNOVÉ ROVNICE Nyní si všimneme, zda vlnová rovnice skutečně popisuje podstatné vlastnosti zvukových vln v látce. Chtěli bychom odvodit, že zvukový pulz nebo rozruch se pohybuje konstantní rychlostí. Chtěli bychom ověřit, že dva zvukové pulzy mohou procházetjeden druhým - toje zákon superpozice. Chtěli bychom ověřit i to, že zvuk se může šířit vpravo i vlevo. Všechny tyto vlastnosti musí obsahovat tato jediná rovnice. Užjsme poznamenali, že každá porucha v podobě rovinné vlny, která se pohybuje konstantní rychlostí v, má tvar/(x- ví). Nyní musíme zjistit, zda^x, í) = /(x- ví) je řešením vlnové rovnice. Počítáme-li dx/dx, dostaneme derivaci funkce, 3j/3x=/ (x - ví). Derivujeme-li ještě jednou, dostaneme l£=f(x-vt). (47.15) dx2 Derivováním téže funkce podle t dostaneme — v-násobek derivace funkce, tedy dx/dx = - v f (x - ví) a dalším derivováním dostaneme ^ = v2f'[x- ví). (47.16) dt2 Je zřejmé, že/(x- ví) bude vyhovovat vlnové rovnici, bude-li rychlost vlny rovna c . Ze zákonů mechaniky jsme tedy odvodili, že zvukový rozruch se šíří rychlostí a navíc jsme zjistili, že c = : .*'"=íi>r. Takže jsme dali rychlost vlny do souvislosti s vlastností prostředí. Kdybychom uvažovali vlnu postupující opačným směrem, takže x(x, t) = g (x+ ví), snadno bychom zjistili, že takový rozruch vyhovuje vlnové rovnici také. Jediný rozdíl mezi takovou vlnou a vlnou postupující opačným směrem je ve znaménku u v. To, zda máme x+vt nebo x- wťjako proměnnou ve funkci, znaménko před d^/ô t2 neovlivní, neboť tato derivace obsahuje pouze v2. Proto řešení rovnice popisuje vlny šířící se v obou směrech rychlostí cf. Mimořádně zajímávaje otázka superpozice. Předpokládejme, že jsme našli jedno řešení vlnové rovnice a označme ho X\- To znamená, že druhá derivace X\ podle x je rovna 1/^-násobku druhé derivace xx podle t. Předpokládejme, že máme i jiné řešení x2 a to musí mít stejnou vlastnost. Superponujeme-li tato dvě řešení, dostaneme Ži*,*) = Zl{x,*)*Z2 {*,*). (47.17) a proto musíme prověřit, zda x(x> t) je také vlnou, tj. zda vyhovuje vlnové rovnici. To snadno dokážeme, neboť ^=^U^ (47,8) dx2 dx2 dx2 642 ZVUK. VLNOVÁ ROVNICE a dále dť dť dť (47.19) Proto musí platit č^j/d*2 ={l/cfjčŕx/dť a princip superpozice je ověřen. Důkaz principu superpozice je důsledkem skutečností, že vlnová rovnice je lineární v X- Nyní můžeme očekávat, že rovinná světelná vlna šířící se ve směru osy * a polarizovaná tak, že elektrické poleje ve směru osy y, bude splňovat vlnovou rovnici &E i #E -1 = —-1, (47.20) dx2 c2 dt2 v níž cpředstavuje rychlost svěda. Tato vlnová rovnice je jedním z důsledků Maxwellových rovnic. Rovnice elektrodynamiky povedou k vlnové rovnici pro svědo právě tak, jako rovnice mechaniky vedly k vlnové rovnici pro zvuk. 47.5 RYCHLOST ZVUKU Odvození vlnové rovnice pro zvuk nás přivedlo ke vztahu, který dával při normálním daku do následující souvislosti rychlost vlny a rychlost změny daku s hustotou (47.21) Při výpočtu této rychlostí zmčnyje důležité znát, jak se mění teplota. V případě zvukové vlny můžeme čekat, že v oblastí sdačení vzroste teplota a v oblasti zředění teplota poklesne. Newton, který první počítal rychlost změny daku s hustotou, předpokládal, že teplota se nemění. Odůvodňoval to tak, že teplo je vedeno z jedné oblasti do druhé tak rychle, že teplota nestačí vzrůst nebo poklesnout. Takový postup však vede k izotermické rychlosti zvuku a to není správné. Správné odůvodnění podal později Lapiace, který na rozdíl od Newtona předpokládal, že dak a teplota se ve zvukové vlně mění adiabaticky. Tepelný tok ze zhuštěné do zředěné oblastí je zanedbatelný, je-li vlnová délka velká ve srovnání se střední volnou dráhou. Za těchto podmínek nepatrný tepelný tok neovlivňuje rychlost zvukové vlny, i když způsobuje malou absorpci zvukové energie. Je správné očekávat, že tato absorpce vzroste, přiblíží-li se vlnová délka střední volné dráze, ale takové vlnové délkyjsou přibližně miliónkrát menší, než je vlnová délka slyšitelného zvuku. Skutečnou změnou daku s hustotou ve zvukové vlně je taková změna, při níž neteče teplo. To odpovídá adiabatícké změně, pro níž platí pVr=konst, kde Vje objem. Mění-li se hustota g nepřímo úměrně objemu V, adiabaticky vztah mezi p a g má tvar p = konst • gY, (47.22) odkud dostaneme áp/ág = yp/g. Pro rychlost zvuku pak máme vztah c\ = (47.23) Q 643 RYCHLOST ZVUKU 2 Tento vztah lze napsat i ve tvaru cz = ypV/ gV,\ němž můžeme využít toho, že pV= NkT. Dále je vidět, že gVjc hmotnost plynu, kterou lze vyjádřit jako Nm nebo u, kde wije hmotnost molekuly a ^je molekulární hmotnost Tak dospějeme ke vztahu 2_YkT__ YRT, (47.24) m p z něhož je zřejmé, že rychlost zvuku závisí jen na teplotě plynu, a ne na tíaku nebo hustotě. Už víme, že kT=\m{v2), (47.25) ó kde (»2) je druhá mocnina střední kvadratické rychlosti molekul. Proto c2 = {y/3) (v2) neboli (47.26) Tento vztah vyjadřuje skutečnost že rychlost zvuku je součin střední kvadratické rychlosti molekul a určitého čísla, kteréje přibližně rovno 1/ (3)1 .Jinými slovy: rychlost zvukuje stejného řádu velikosti jako rychlost molekul a je ve skutečnosti o něco menší než střední rychlost molekul. Tento výsledek jsme, samozřejmě, mohli očekávat, neboť taková porucha, jakou je změna daku, se vlastně šíří pohybem molekul. Jenže takový argument by nám ještě neurčil přesnou rychlost šíření; mohlo by se ukázat, že zvuk přenášejí především nejrychlejší nebo nejpomalejší molekuly. Je rozumné a uspokojivé, že rychlost zvuku je zhruba 1/2 střední molekulové rychlosti. 644 Příklady a cvičení 47.1 ■ Najděte poměr rychlostí zvuku v héliu a vodíku při téže teplotě. 47.2 ■ Do dvou stejně dlouhých píšťal foukáme Jednak vzduch ochlazený na -180 °C (teplota blízká teploto varu vzduchu), jednak teplý vzduch. Jedna píšťala přitom vydává tón o oktávu vyšší než druhá. Jaká musí být teplota vzduchu, který foukáme do druhé píšťaly? 47.3 ■ Nadýchnete-li se hélia a začnete mluvit, bude váš hlas nepřirozeně vysoký. Kdyby všechny rezonanční dutiny ve vaší hlavě byly zaplněny héliem místo vzduchem, jak by vzrostla jejich rezonanční frekvence? Budete-li přitom zpívat, jak to ovlivní tóninu vašeho zpěvu? 47.4 ■ Uvažte rovinnou zvukovou vlnu o frekvenci 1 kHz, u níž se maximální a minimální hodnoty tlaku odlišují o 0,0001 % od normálního atmosférického tlaku. Rychlost zvuku berte rovnou 340 m/s. a) Jak se mění hustota vzduchu při šíření takové vlny? b) Jaké bude maximální posunutí Částic /m? c) Čemu bude rovna Intenzita vlny? 47.5 ■ Prsty obou rukou uchopte konce gumového pásku asi 5 cm dlouhého a požádejte kolegu, aby lehce brnknul o pásek. Ozve se zvuk. Pak roztahujte pásek na 2, 3, 4, 5 násobnou délku tak, aby hmotnost pásku mezi vašima rukama zůstala stejná a pokus opakujte. Porovnejte zvuk v těchto případech. Proč něco podobného nenastává u houslové struny? 47.6 ■ Stejnorodá, dokonale ohebná struna o lineární hustoto r je natažena napěťovou silou T. Sestavte vlnovou rovnici popisující šíření vlny příčného posunutí y podél struny a najděte rychlost této vlny. Využijte předpoklad o tom, že ve všech bodech struny v každém okamžiku platí dy/dx « 1 a uvažujte pouze rovinné kmity struny. Podotkněme, že složka síly napětí struny v příčném směruje velmi blízká k Tdy/dxj 47.7 ■ Ukažte, že výraz u - A e,(h"" **> vyhovuje vlnové rovnici a*u _ i a2u d x2 t/2 d t2 za podmínky, že , ť a co2t má vyjádření cos 2) í cos (2) (48.5) (48.6) Nyní předpokládejme, že frekvence jsou téměř stejné, takže (1/2) (2. Jenže - 2, neboť podle předpokladu jsou frekvence , eo2 téměř stejné. To znamená, že řešení si můžeme představit tak, jakoby tam byla vysokofrekvenční kosinová vlna více méně stejná jako původní vlny, ale „velikost" této vlny se pomalu mění - tato „velikost" pulzuje s frekvencí (1/2) (, - (o2), ale když mluvíme o intenzitě\\ny, ta se mění s dvojnásobkem této frekvence. Tedy modulace amplitudy, ve smyslu její intenzity, probíhá s frekvencí cj{ - co2,i když v našem vztahu máme náspbení kosinem s poloviční frekvencí. Rozdíl spočívá v tom, že vysokofrekvenční vlna má trochu odlišný fázový poměr v druhém půlcyklu. Nebudeme-li si všímat této nevelké komplikace, můžeme říci, že sčítáním dvou vln s frekvencemi cox a co2 dostaneme výslednou vlnu se střední frekvencí (1/2) (coi + co2), její intenzita osciluje s frekvencí (ol - (ú2. Kdyby byly amplitudy různé, museli bychom celý postup provést znovu, kosiny násobit různými amplitudami A{, A^, vykonat řadu matematických úprav a použít rovnice podobné rovnicím (48.2) až (48.5). Existují však jiné, jednodušší způsoby, kterými můžeme uskutečnit takovou analýzu. Víme například, že je mnohem jednodušší pracovat s exppnenciálami, a ne se 1 . Druhá vlna zase A2 e a to muzeme sinem a kosinem, přičemž A{ cos (ú{ t představuje reálnou část výrazu A{ bude reálnou částí A. e 1 . Složením těchto vln dostaneme A. e 1 + bude reálnou částí A^ e přepsat do tvaru i a. I e 1 + A2 e 1 = ez Ax e * + A2e l (48.7) Opět máme vysokofrekvenční vlnu modulovanou nižší frekvencí. 648 RÁZY 48.2 ZÁZNĚJOVÉ TÓNY A MODULACE Kdybychom chtěli vědět, jaká je intenzita vlny popsané rovnicí (48.7), museli bychom vypočítat druhou mocninu absolutní hodnoty levé nebo pravé strany této rovnice. Vezměme levou stranu. Intenzitu pak lze vyjádřit vztahem I = A\ + a\ + 2 al A2 cos (m=5.Ve skutečné rádiové vlně m zvukovou frekvenci. Kdybychom použili všechny ty věty d kosinech, nebo kdybychom pracovali se1" (vzhledem k výsledkuje úplně jedno, jaký způsob zvolíme, ale s e'* je to jednodušší), dostali bychom S = cos 03 t + — b cos (ú> + oj) t + — b cos (oj_ - oj) t. »2 **iflt'2 " ™ (48.10) Proto bychom mohli z jiného hlediska říci, že výstupní vlna systému představuje superpozici tří vln: nejdříve regulární vlnu s frekvencí con, tedy s nosnou frekvencí, a dále dvě nové vlny s dvěma novými frekvencemi. Jedna z nich je rovna součtu nosné a modulační frekvence a druhá rozdílu. Kdybychom sestrojili jakýsi graf závislosti intenzity generovaných kmitů na frekvenci, dostali bychom velkou intenzitu u nosné frekvence, což je přirozené, ale když začne zpěvačka zpívat, najednou bychom objevili i intenzitu úměrnou síle hlasu zpěvačky, b2, při frekvencích eon + a>m a eon - com, jakje to znázorněno na obr. 4ó\5. Jsou to tzv. postranní pásy a objevují se vždy? když je signál vysílače modulovaný. Zní-li současně více tónů, např. 0jm a (úm* tedy hrají-li dva nástroje nebo máme-li nějakoujinou, složitou kosinovou vlnu, pak nám matematika říká, že dostaneme další vlny, které odpovídají frekvencím con ± com,. Proto se ukazuje, že v případě složité modulace, kterou můžeme vyjádřit pomocí součtu mnoha kosinů8", vysílač vlastně vysílá celou oblast frekvencí - takovou, která obsáhne interval: mezi nosnou frekvencí od níž odečteme a k níž přičteme maximální frekvenci obsaženou v modulačním signálu. 14- Obr.48.5 Frekvenčníspektrumnosnévlny w^modulovanéjedinoukosinovouvlnou &>m I když jsme zpočátku věřili, že rádiový vysílač vysílá jen nominální nosnou frekvenci, protože obsahuje velké, superstabilní krystalové oscilátory a všechno je nastaveno přesně na 800 kHz, 61) Můžeme si položit následující vedlejší otázku: Kdy můžeme vyjádřit křivku jako součet mnoha kosinů? Ve všech božných případech kromě některých, která si vymysleli matematici. Samozřejmě křivka musí mít jen jednu hodnotu v daném bodě a nesmí být tak divoká, aby měla nekonečně mnoho skoků na nekonečně malé vzdálenosti nebo se nesmí nějak podobno šíleně chovat. Odhlédneme-li od těchto omezení, můžeme každou rozumnou křivku 0 tu, kterou vytvoří zpěvačka chvěním hlasivek) vyjádřit ve tvaru součtu kosinových vln. 651 POSTRANNÍ PÁSY • LOKALIZOVANÉ VLNOVÉ BALÍKY v okamžiku, když hlasatel oznámí, že vysílání je na 800 kHz, nastává modulace této frekvence a ta už není přesně rovna 800 kHz. Předpokládejme, že zesilovače jsou zkonstruovány tak, že může být přenášena velká část frekvencí, na něž je cidivé lidské ucho. Naše ucho vnímá frekvence až do 20 kHz, ale vysílače a přijímače obvykle nepracují na vyšších frekvencích než 10 kHz, takže v rádiu neslyšíme nejvyšší tóny). Hlas hlasatele tedy může obsahovat frekvence až do 10 kHz, a proto vysílač vysílá frekvence v rozsahu od 790 kHz do 810 kHz. Kdyby na frekvenci 795 kHz vysílalajiná stanice, nastal by zmatek. Chybou by bylo i to, kdybychom zkonstruovali náš přijímač natolik selektivní, že by přijímal jen 800 kHz a nepřijímal těch 10 kHz na obou stranách, pak bychom hlas hlasatele vůbec neslyšeli-informace j e totiž na těch nepřijatých frekvencích. Proto je nezbytné dodržovat určitou frekvenční vzdálenost mezi stanicemi, aby se nepřekrývalyjejich postranní pásy. Dále přijímač nesmí být natolik selektivní, že by nedovoloval příjem postranních pásů spolu s nominální frekvencí. V případě zvuku tyto požadavky nezpůsobují mnoho problémů. Slyšíme v oblasti ± 20 kHz a pásmo středních vln je od 500 kHz do 1500 kHz, takže je tam místo pro mnoho rozhlasových stanic. V případě televize je situace horší. Elektronový paprsek prochází jednodivými místy obrazovky a musí v nich vyvolat svědé nebo tmavé body. Tato „svědá" a „tmavá" místa jsou vlastně „signálem". Elektronový paprsek obvykle rastruje obraz tak, že přibližně za třicetinu sekundy proběhne 500 řádků. Předpokládejme, že hustoty bodů obrazu v horizontálním a vertikálním směru jsou téměř stejné, tj. na milimetr každého řádku připadá stejný počet bodů jako na milimetr výšky. Musíme mít možnost rozlišit střídání svědých a tmavých míst pokrývajících 500 řádků. Abychom to mohli provést s kosinovými vlnami, musíme použít takovou vlnovou délku, tj. vzdálenost od maxima po maximum, která je rovna 1/250-tině délky obrazovky. Máme tedy 250 x 500 x 30 informací za sekundu, a proto je nejvyšší frekvence, kterou budeme přenášet, rovna přibližně 4 MHz. Abyjednodivé stanice byly od sebe odděleny, potřebujeme trochu vyšší frekvenci, asi 6 MHz; její část se využije k přenosu zvukového signálu a jiných informací. Nyní už víme, proč mají televizní kanály šířku 6 MHz. Rozhodně nelze vysílat televizi na nosném kmitočtu 800 kHz, protože nemůžeme modulovat nosnou frekvenci vyšší frekvencí. Takže televizní pásma začínají na frekvenci 54 MHz. První vysílací kanál, který však má v USA označení 2 (!), má frekvenční rozsah od 54 do 60 MHz, tedy je 6 MHz široký. Nyní můžete namítnout: „Vždyť jsme dokázali, že postranní pásy jsou na obou stranách, a proto by byla potřebná dvojnásobná frekvenční šířka." Jenže radioinženýři jsou lidé chytří. Kdybychom při analýze modulačního signálu pracovali nejen s kosiny, ale i se siny, a tak bychom připustili fázové rozdíly, dospěli bychom k poznatku, že mezi postranním pásem na straně vyšších frekvencí a postranním pásem na straně nižších frekvencí je určitý, invariantní vztah. To znamená, že druhý postranní pás už neobsahuje vzhledem k prvnímu nějakou novou informaci. Proto se jeden postranní pás podačuje a přijímač je zkonstruován tak, že podačenou informaci vytváří z jednoho postranního pásu a nosné frekvence. Vysílání pomocí jednoho postranního pásuje důmyslnou metodou zúžení frekvenční šířky potřebné k přenášení informace. jgj^ lokalizované vlnové balíky Další otázkou, kterou se budeme zabývat, je interference vln v prostoru a v čase. Předpokládejme, že máme dvě vlny, které se šíří prostorem. Už víme, že vlnu šířící se prostorem, můžeme popsat výrazem e1'""" **'. Takový výraz může například představovat posunutí ve zvukové vlně. Předpokládáme-li, že co2 = k2c2, kde c je rychlost šíření vlny, pak jde o řešení vlnové rovnice. V takovém případě můžeme exponenciálu zapsat ve tvaru e'*'*"c^, což je speciální případ 652 RAZY obecného výrazu f (x- ct). Proto to musí být vlna, která postupuje rychlostí oj/k, tedy c a vše je v pořádku. Nyní složme dvě takové vlny. Nechť se jedna šíří se stejnou frekvencí a druhá s jinou frekvencí. Případ, kdy vlny mají různé amplitudy, si ověříte sami; podstatným způsobem se neliší od případu stejných amplitud, který budeme nyní zkoumat Naše skládání bude ei(«,<-M +e'H'-M a mužeme ho uskutečnit pomocí stejné matematiky jako při skládání signálů. Samozřejmě v obou případech bude c stejné, a proto to půjde snadno; bude to stejné jako výpočet, který jsme prováděli dříve ei^(i-«/4 + ei«,(i-*/4 = e«V + e'V (48 n) až na to, že místo ť máme proměnnou ť = t- x/c. Proto dostaneme stejný druh modulací s tím rozdílem, že tyto modulace se pohybují s vlnou. Jinými slovy, složíme-li dvě vlny, které nejen oscilují, ale také se šíří v prostoru, bude se i výsledná vlna šířit stejnou rychlostí. Naše úvahy bychom chtěli zobecnit i na takové vlny, v nichž neplatí tak jednoduchý vztah mezi frekvencí a vlnovým číslem k. Jako příklad vezměme šíření vlny v nějakém materiálu, který má určitý index lomu. V kapitole 31 jsme již studovali teorii indexu lomu a zjistili jsme, že můžeme psát k = nco/c, kde n je index lomu. Zajímavý je případ rentgenového záření, pro něž jsme našli vztah Nq* n = 1--—. (48.12) 2eQmoj2 Ve skutečnosti jsme v kapitole 31 odvodili složitější vztah (31.20), ale jako příklad je náš vztah stejně dobrý. Mimochodem víme, že i tehdy, není-li mezi co a k přímá úměrnost, je poměr co/k určitě rychlost šíření dané frekvence a vlnového čísla. Tento poměr nazýváme fázovou rychlostí; je to rychlost, jíž se pohybuje fáze nebo uzel jednotlivé vlny vf = -|. (48.13) V případě rentgenových paprsků šířících se sklem je tato fázová rychlost větší než rychlost svěda ve vakuu (protože n ve vztahu 48.12 je menší než 1) a to nás trochu znepokojuje, protože si nemyslíme, že by bylo možné posílat signály větší rychlostí než je rychlost svčdal Nyní budeme uvažovat interakci dvou vln, ve kterých co a ftjsou vázány zcela určitým vztahem. Takový vztah nám dává uvedený vzorec pro n, který říká, že ftje dáno jako zcela určitá funkce co. Konkrétně v tomto případě závisí km co takto: * = -^-A (48.14) c co c kde a = Nqt /2eQm představuje konstantu. Každé frekvenci tedy odpovídá zcela konkrétní vlnové číslo a my chceme takové dvě vlny složit Udělejme to jako v rovnici (48.7): ei(, + co2)/2 jsou prakticky stejné jako kterákoliv z frekvencí a podobně je to s (£, + k2)/2. Proto rychlost vlny, rychlých oscilací, uzlů zůstane v podstatě co/k. Jenže rychlost šíření modulace není stejnál Jak musíme změnit x, aby to odpovídalo určité hodnotě í? Rychlost této modulační vlny je poměr Rychlost modulace se někdy nazývá i grupová rychlost. Vezmeme-li případ, kdyje rozdíl frekvencí relativně malý a rozdíl vlnových čísel je pak také relativně malý, v limitě dostaneme výraz (48.17) Jinými slovy, nejpomalejší modulaci odpovídají nejpomalejší rázy a ty se šíří rychlostí, která není stejná jako fázová rychlost vln - a to je záhadnél Pokusme se vysvětlit, proč tomu tak je. Uvažujme dvě vlny, které mají opět mírně odlišné vlnové délky, tak jak je to znázorněno na obr. 48.1. Jejich fáze se liší, shodují, liší atd. Nyní tyto vlny představují ve skutečnosti takové vlny, které se šíří v prostoru a mají přitom i trochu rozdílné frekvence. Protože fázové rychlosti těchto dvou vln, tedy rychlosti jejich uzlů, nejsou přesně stejné, děje se něco nového. Předpokládejme, že putujeme sjednou z těchto vln a pozorujeme druhou vlnu; kdyby měly obě vlny stejnou rychlost, druhá by zůstávala vzhledem k nám na stejném místě. Putujeme třeba na hřebenu vlny a proti sobě vidíme hřeben druhé vlny; jsou-li rychlosti obou vln stejné, hřebeny těchto vln se překrývají. Jenže rychlosti nejsou ve skutečnosti stejné. Mezi frekvencemi je nepatrný rozdíl, a proto bude nepatrný rozdíl i mezi rychlostmi a právě v důsledku tohoto rozdílu se druhá vlna bude pohybovat vzhledem k naší vlně pomalu dopředu nebo dozadu. Co se stane v průběhu času s uzlem? Pohneme-li jednu vlnu trochu dopředu, uzel postoupí dopředu (nebo dozadu) o značnou vzdálenost. Součet těchto dvou vln má tedy obálku a jak vlna postupuje, obálka po ní jezdí různou rychlostí. Grupová rychlost je taková rychlost, jíž se vysílají modulované signály. Kdybychom vytvořili signál, tj. určitý druh změny ve vlně, který lze rozpoznat např. tím, že je slyšitelný, tedy máme-li určitý druh modulace, pak se tato modulace - je-li relativně pomalá -bude šířit grupovou rychlostí. (Je-li modulace rychlá, je velmi těžké ji analyzovat.) Nyní můžeme ukázat (konečněl), že rychlost šíření rentgenového záření v grafitovém bloku není větší než rychlost svěda, i když fázová rychlostje větší než rychlost svěda. Proto musíme najít áco/ák, které vypočítáme derivováním (48.14): dk/áco=\/c + alco2c. Grupová rychlostje převrácená hodnota tohoto výrazu, konkrétně v (48.16) Grupová rychlostje derivace co podle k a fázová rychlostje co/k. c (48.18) 'r 1 +a/co2 654 RAZY i tento výraz je menší než c. Takže i když fáze mohou postupovat větší rychlostí nežje rychlost ivěda, modulační signály postupují pomaleji, a v tom spočívá rozluštění zdánlivého paradoxu! Ovšem máme-li jednoduchý případ co = kc, pak i dco/dk = c Mají-li všechny fáze stejnou rychlost, bude stejná i grupová rychlost. AMPLITUDY PRAVDĚPODOBNOSTI PRO ČÁSTICE Uvažujme ještě jeden mimořádně zajímavý příklad fázové rychlostí, který patří do oblastí kvantové mechaniky. Víme, že amplituda pravděpodobností nalezení částice v daném místě se může za určitých okolností měnit v prostoru a čase následujícím způsobem, uvažujeme-li jednorozměrný problém: přičemž a>je frekvence související s klasickou energií E=ňo) a A je vlnové číslo související s hybností vztahem p=ňk. Kdyby vlnové číslo bylo rovno přesně k, tedy šlo by o dokonalou vlnu, která všude postupuje se stejnou amplitudou, částice by měla zcela určitou hybnost. Rovnice (48.19) vyjadřuje amplitudu a kdybychom vzali druhou mocninu absolutní hodnoty, dostali bychom relativní pravděpodobnost výskytu částice jako funkce polohy a času. Tato veličina je konstantní, to znamená, že pravděpodobnost nalezení částice je všude stejná. Místo toho předpokládejme, že máme takovou situaci, kdy o částici víme, že se bude vyskytovat s větší pravděpodobností na jednom místě než na nějakém jiném místě. Takovou situaci můžeme popsat vlnou, která má maximum a zaniká, když se vzdalujeme od tohoto maxima najednu nebo na druhou stranu {obr. 48.6). (Není to sice totéž jako vlna typu (48.1), která má řadu maxim, ale těchto maxim se až najedno můžeme zbavit tak, že složíme několik vln s téměř stejnými cozk.) Obr. 48.6 Lokalizovaný vlnovýbalík Protože druhá mocnina výrazu (48.19) představuje pravděpodobnost nalezení částice v některém místě, bude v daném okamžiku částice s největší pravděpodobností v blízkostí středu balíku, kde je maximální amplituda vlny. Kdybychom chvíli počkali, vlna by se posunula a za určitou dobu bychom balík našli někde jinde. Kdyžjsme věděli, kde částice původně byla, mohli bychom podle klasické mechaniky očekávat, že někde bude i později, neboť má rychlosta. hybnost. Přitom kvantová teorie přejde na správnou klasickou teorii dávající do souvislostí hybnost, energii a rychlost jen tehdy, když je grupová rychlost - rychlost modulace - rovna rychlostí, kterou bychom získali klasicky pro částici se stejnou hybností. Nyní musíme ukázat, zda to takje nebo ne. Podle klasické teorie souvisí energie s rychlostí vztahem ifr = Aei{i"-k'í>, (48.19) X 655 AMPLITUDY PRAVDĚPODOBNOSTI PRO ČÁSTICE 2 E = mC (48.20) y/l - v2/c2 Podobně platí pro hybnost p = mv . (48.21) sl\-vz/c2 To je klasická teorie a jako důsledek této teorie vyloučením v dostaneme E2 - p2c2 = mV. Takjsme dospěli k velkolepému čtyřrozměrnému výsledku, o němžjsmejiž mnohokrát mluvili. Lze ho zapsat ve tvaru ppp)l = tn2 a vyjadřuje vztah mezi energií a hybností v klasické teorii. Přejde-li Es. pna cos. k substitucí E=ňco, p=ňk, znamená to, že v kvantové mechanice musí platit A2co2 «o i2 _ ^2,2 c2 - ň1 kz = m2c\ (48.22) Ták jsme dostali vztah mezi frekvencí a vlnovým číslem kvantověmechanické amplitudy popisující částici s hmotností m. Z této rovnice vyplývá, že co = cjk2 + m2c2/h2. Fázová rychlost co/k je i v tomto případě větší než rychlost svěda! Nyní věnujme pozornost grupové rychlosti. Grupová rychlost by měla být dco/dk, tedy rychlost s jakou postupuje modulace. Musíme derivovat odmocninu, což není obtížné. Tak dostaneme d co kc ňk Jk2 + m2c2/fi2' Zde vystupující odmocnina je rovna c'x co, a proto dco/dk= c2k/ co. Dále víme, že k/co= p/E, takže c2p v = -—. * E Ze vztahů (48.20) a (48.21) c2p/E= v, kde uje rychlost částice v klasické mechanice. Je vidět, že zatímco základní kvantověmechanické vztahy E-hco, p = h k určující co a k pomocí klasických veličin E a p dávají pouze vztah co2 - k2 c2 = m2 c*/ň2, nyní můžeme pochopit i vztahy (48.20) a (48.21) dávající do souvislosti Eaps rychlostí částice. Grupová rychlost musí být samozřejmě rovna rychlosti částice, má-li mít taková interpretace smysl. Předpokládáme-li, ze částice je v určitém okamžiku na určitém místě a o deset minut později na jiném místě, pak podle kvantové mechaniky vzdálenost, kterou prošlo maximum balíku, dělená časovým intervalem, musí být rovna klasické rychlosti částice. 656 RÁZY VLNY V TROJROZMĚRNÉM PROSTORU Naši diskuzi o vlnách uzavřeme několika obecnými poznámkami o vlnové rovnici. Tyto soznámky jsou míněny tak, aby poskydy pohled do budoucna - neumožní nám nyní všechno Dochopit, ale naznačí nám, jak budou věci vypadat, budeme-li vlny podrobněji zkoumat Především uvažme, že vlnová rovnice pro zvuk v jednom rozměru měla tvar dx2 c2 dt2' cde cje rychlostpodle toho, o jaké vlnyjde - v případě zvukuje to rychlost zvuku, v případě svět-a je to rychlost svěda. Ukázali jsme, že v případě zvukové vlny se určitou rychlostí šíří samotné aosunutí. Jenže určitou rychlostí se šíří i dodatečný dak a stejně i dodatečná hustota. Proto nůžeme očekávat, že stejné rovnici bude vyhovovat i dak, a to je skutečně pravda. Důkaz tohoto vržení ať provede čtenář sám. Připomeňme jen, že gt je úměrné rychlosti změny x v závislosti la x. Proto derivujeme-li vlnovou rovnici podle x, okamžitě zjistíme, že d%/dx vyhovuje stejné •ovnici. Tedy g vyhovuje stejné rovnici. Jenže p( je úměrné gt, a proto pt také vyhovuje rovnici. Proto i dak a posunutí vyhovují stejné vlnové rovnici. Vlnová rovnice pro zvuk se obvykle zapisuje pomocí daku, a ne pomocí posunutí, neboť dak e skalární veličina a nemá směr, zatímco posunutí je vektor a má směr ajeho analýzaje složitější. Další věc, s níž se setkáme, je vlnová rovnice v trojrozměrném prostoru. Víme, žejednoroz-něrná zvuková vlna má tvarné1'"'" *^, v němž (o = kc^ a víme i to, že v trojrozměrném prostoru jopisuje vlnu výraz e' '* ,y ' , přičemž nyní co2 = k2 cz = (kx + ky + kt) cz. Chceme uhádnout právný tvar vlnové rovnice v trojrozměrném případě. V případě zvuku můžeme dedukci udělat ak, že v trojrozměrném prostoru použijeme stejné dynamické argumenty, jež jsme používali 'jednorozměrném prostoru. My však budeme postupovat jinak; místo toho napíšeme prostě fsledek: rovnice pro dak (nebo pro posunutí apod.) má tvar #Pt #Pe #Pe 1 *P, — + — + — = — —. (48.23) dx2 dy2 dZ2 cl dt2 )osazením e''w'" *' ^ se můžeme přesvědčit o tom, že tato rovnice je skutečné správná. Skutečně, řždyť každé derivování podle x znamená násobení - i kx. Dvojnásobné derivování je^násobení - kx, takže první člen pro takovou vlnu bude - kxp(. Podobně druhý člen bude - kyp(a třetí - k;pe. Na pravé straně dostaneme - (co2/cz)pe^Zbavíme-li se vykráčením pe a změníme zna-nénko, dostaneme mezi Ä a (o právě takový vztah, jaký potřebujeme. Vrátíme-li se trochu nazpět, nemůžeme odolat, abychom nenapsali rovnici, která odpovídá iisperznímu vztahu (48.22) pro kvantověmecharůcké vlny. Představuje-li ^amplitudu nalezení částice v místě x,y,z\ okamžiku í, má slavná kvantověmechanická rovnice tvar ô> d2? aV í aV m2c2 ,AQC>A, —+ —£ + —í----£ = -m. (48.24) dx2 dy2 dz2 c2 dt2 h2 657 VLNY V TROJROZMĚRNÉM PROSTORU • NORMÁLNÍ KMITY Nejprve si všimněte, že relativistický charakter tohoto vyřazuje zabezpečen takovou kombinací x, y, z a í, jakou právě teorie relativity vyžaduje. Dále si všimněte, že jde o vlnovou rovnici a dosadíme-li do ní řešení ve tvaru rovinné vlny, dostaneme - k2 + co2/c2 = m2c2/h2, cožje vztah platný v kvantové mechanice. Ještě jedna důležitá věc je obsažena v této vlnové rovnici. Jejím řešením bude i libovolná superpozice vln. Tato rovnice tedy obsahuje celou kvantovou mechaniku a relativitu, o nichž byla do této doby řeč - aspoň pokud jde o jedinou částici v prázdném prostoru bez potenciálů, na kterou nepůsobí žádné síly! 4a^ NORMÁLNÍ MODY Nyní obrátíme naši pozornost najiný příklad rázů, kterýje dost zvláštní a trochu odlišný od předcházejících příkladů. Představme si dvě stejná kyvadla, jež jsou navzájem spojena slabou pružinou. Kyvadla jsou pokud možno stejně dlouhá. Vychýlíme-li jedno kyvadlo a pustíme ho, bude samo kývat a natahovat a sdačovat spojovací pružinu. Dostaneme tedy zařízení vytvářející sílu s frekvencí rovnou vlastní frekvenci druhého kyvadla. Jako důsledek teorie rezonance, kterou jsme již studovali, dochází k situaci, kdy síla aplikovaná s vhodnou frekvencí způsobí pohyb daného objektu. Proto jedno kyvadlo svým kývavým pohybem přinutí pohybovat se i druhé kyvadlo. Za těchto okolností však nastává nový úkaz související s tím, že energie systému je konečná. Odevzdává-li totiž jedno kyvadlo svou energii druhému kyvadlu a uvádí ho do pohybu, ztrácí postupně vlastní energii, až jednou ztratí všechnu svou energii a zastaví se! Pak má všechnu energii druhé kyvadlo a první nemá žádnou, a tak všechno začne opačným směrem a energie se vrací k prvnímu kyvadlu. Je to velmi zajímavý a zábavný jev. Už jsme uvávěli, že takový jev popisuje teorie rázů a my musíme nyní ukázat, jak můžeme analyzovat tento jev z hlediska takové teorie. Všimněte si, že pohyb každé ze dvou kuliček jsou vlastně kmity s periodicky se měnící amplitudou. Proto můžeme pohyb jedné z kuliček zřejmě zkoumat i jinak - tak, že jde o součet dvou současně kmitajících oscilátorů, jež mají trochu odlišné frekvence. Proto by mělo být možné najít dvajiné pohyby systému a tvrdit, že to co pozorujeme, je superpozice těchto dvou pohybů, neboť jde samozřejmě o lineární soustavu. Vskutku můžeme snadno najít dva způsoby uvedení našeho systému do pohybu, z nichž každý je dokonalý periodický pohyb s jednou frekvencí. Pohyb, s nímž jsme předtím začínali, nebyl přísně periodický, protože nepře trvával;jedna kulička odevzdávala energii druhé, a tak měnila svou amplitudu. Existují však takové způsoby uvedení do pohybu, při nichž se nic takového nemění. Jen, co se dozvíte, o jaké způsoby jde, ihned pochopíte, proč tomu takje. Například, kdybychom spustili obě kyvadla současně, pak by v důsledku jejich stejných délek a toho, že tehdy pružina vlastně nic nedělá, kyvadla stále stejně kývala za předpokladu, že není tření a vseje dokonalé. Existuje ještě jiný druh pohybu, při němž také máme určitou frekvenci: je to pohyb, při němž se kyvadla pohybují proti sobě, kdyžjsmeje vychýlili v opačných směrech na přesně stejnou vzdálenost. Tehdy také dostaneme absolutně periodický pohyb. V takovém případě pružina vlastně dělá jen to, že trochu zvětšuje obnovující sílu pocházející od gravitace, a proto systém kmitá s trochu větší frekvencí než v prvním případě. Proč větší? Protože tah pružiny napomáhá gravitaci a dělá systém trochu „tužší", takže frekvence tohoto pohybuje nepatrně větší než frekvence prvního. Náš systém má dva způsoby, kterými může kmitat při nezměněné amplitudě: může kmitat tak, že obě kyvadla se pohybují stejným směrem a kmitají stále se stejnou frekvencí nebo se kyvadla pohybují opačným směrem s trochu větší frekvencí. 658 RÁZY Protože systém je lineární, můžeme si skutečný pohyb představitjako superpozici takových dvou pohybů. (Pamatujme, že předmětem této kapitoly jsou efekty skládání dvou pohybů s různými frekvencemi.) Uvažujme proto, co by se stalo, kdybychom zkombinovali tato dvě řešení. Začnou-li tyto dva pohyby v okamžiku t = 0 se stejnou amplitudou a stejnou fází, superpozice těchto dvou pohybů znamená, žejedna kulička posunutájedním pohybem najednu stranu a druhým pohybem na opačnou stranu zůstane na místě, zatímco druhá kulička posunutá stejným směrem v obou pohybech bude mít velkou amplitudu. Postupem času se však fáze jednoho takového základního pohybu pomalu posouvá vzhledem k fázi druhého pohybu, neboť tyto základní pohyby probíhají nezávisle. To znamená, že po dostatečně dlouhé době, když se v prvním pohybu uskutečnilo např. „900,5" kmitu a v druhém pouze „900" kmitů, relatívni fáze bude opačná než byla na začátku. Pohyb, který měl původně velkou amplitudu, se stane nulovým, zatímco původně nehybná kulička se bude pohybovat plnou silou! Vidíme, že takový složitý pohyb můžeme analyzovatjako rezonanci, při níž přechází energie zjednoho objektu na druhý nebo jako superpozici dvou pohybů s konstantními amplitudami, ale s různými frekvencemi. 659 Příklady a cvičení 48.1 ■ Fázová rychlost Vlny s vlnovou délkou A šířící se na vodní hladino, zanedbáme-li konečnou hloubku Vodního bazénií (tzv. vlna na hluboké vodě) a povrchové napétí, Je rovna v,*JgÁ/2Tt. Ukažte, že grupová rychlost vlny je rovna polovine fázové rychlosti. Čemu jsou rovny fázová a grupová rychlost Vlny o vlnové délce 1 000 m? 48.2 ■ Vezrnemě-ll v předchozí úloze v úvahu vliv povrchového napětí, můžeme ukázat, že fázová rychlost vlný ha hluboké vodě s hustotou q a povrchovým napětím a bude rovna v,"j2Ttcr/Áp + gA/2Ti. Najděte grupovou rychlost takové vlny. 48.3 ■ Najděte fázovou rychlost zčeření o vlnové délce 1,0 cm na povrchu vody (povrchové napětí o\,-0,070 N/m) a etylalkoholu (povrchové napětí a8=0,026 N/m). 48.4 ■ Najděte vlnovou délku a frekvenci zčeření na povrchu vody, jež se šíří minimální rychlostí. 48.5 ■ Dlouhý motorový nákladní vlak se blíží ke kopci rychlostí 5,0 m/s po přímé trati. Před tunelem proraženým ve svislé skalní stěně strojvůdce spustí táhlý zvuk sirény o základní frekvenci 340 Hz. Tón sirény a jeho ozvěnu od stěny slyší jednak strojvůdce, jednak člověk stojící na zemi v blízkosti posledního vagónu. Jaký zvuk uslyší strojvůdce a jaký člověk na zemi? 660 49.1 ODRAZ VLN 49.2 VLNY V OHRANIČENÉ OBLASTI, VLASTNÍ FREKVENCE 49.3 DVOJROZMĚRNÉ MODY 49.4 VÁZANÁ KYVADLA 49.5 LINEÁRNÍ SOUSTAVY jg/^ ODRAZ VLN V této kapitole se budeme zabývat některými pozoruhodnýmij evy, které jsou důsledkem toho, že vlny jsou ohraničené určitou konečnou oblastí. Nejprve se zmíníme o několika zajímavých skutečnostech souvisejících například s chvěním struny a pak zobecněním těchto faktů dospějeme k principu, kterýje pravděpodobně nejdalekosáhlejším principem matematické fyziky. Naším prvním příkladem ohraničených vln bude vlna ohraničená na jedné straně. Jako příklad uvažujme jednorozměrnou Vlnu na struně. Stejně dobře by bylo možné uvažovat jednorozměrně zvuk dopadající na stěnu nebo jiné situace podobného charakteru^ ale případ struny pro naše účely postačí. Předpokládejme, že strunaje najecjnpm konci upevněna, například tak, že je uchycena na „nekonečně pevné" stěrijě, Tuto skutečnost můžeme matqmaúcky vystihnouf; tak, že posunutí struny y v bodě x = 0 Je nulové, protože konec struny se nehýbe. Kdyby nebyla stěna, bylo by obecné řešení pohybu součtem dvou funkcí, F {x-r ct) á G (x+ ct), z nichž první představuje vlnu putující podél struny jedlím směrem a druhé Vlnu postupující opaf ným směrem k opačnému konci struny. Obecné řešení pro kteroukoliv strýnu je y = F[x-ct) + G[x + ct) (49.1) My však musíme vyhovět podmínce, že struna se na jednom konci nehýbe. Položíme-li v rovnici (49.1) x = 0 a určíme y pro libovolnou hodnotu t, dostaneme y = F (- ct) + G (+cť). Má-li se toto rovnat v každém okamžiku nule, musí být funkce G(cť) rovna "F (-*ct). Jinak řečeno, funklce G nějaké veličiny musí být rovna funkci - F téže veličiny se znaménkem minus. Vložíme-li tento poznatek do rovnice (49.1), zjistíme, že řešení naší úlohy má tvar y = F(x-ct) - F{-x-ct) (49.2) 661 ODRAZ VLN Snadno se přesvědčíme o tom, že pro x = 0 dostaneme y = 0. 0£r. 49. i znázorňuje vlnu postupující v záporném směru osy x v blízkostí x= 0 a hypotetickou vlnu postupující v opačném směru s opačným znaménkem a na druhé straně od počátku. Říkáme, že jde o hypotetickou vlnu, protože na té straně stěny není struna, která by kmitala. Za výsledný pohyb struny je třeba považovat součet těchto dvou vln v oblastí kladných hodnot x. Dosáhnou-li počátku x= 0, vždy se navzájem ruší, takže nakonec bude v oblasti kladných hodnot x existovat jen ta druhá (odražená) vlna a bude samozřejmě postupovat v opačném směru. Tyto výsledky jsou ekvivalentní tvrzení: Dosáhne-li vlna upevněného konce struny, odrazí se se změněným znaménkem. Takový odraz můžeme pochopit, představíme-li si, že to, co přichází na konec struny, vychází převrácené za stěnou. Krátce řečeno: Představíme-li si nekonečnou strunu a předpokládáme, že tam, kde máme vlnu postupující jedním směrem, máme i vlnu postupující opačným směrem s uvedenou symetrií. Potom posunutí v x = Oje vždy nulové a nic se nestane, jesdiže strunu v tomto bodě upevníme. Obr. 49.1 Odraz vlnyjako superpozice dvou postupných vln Další věcí, o níž budeme mluvit, je odraz periodické vlny. Předpokládejme, že vlna charakterizovaná funkcí F (x-ct) je sinusoidální vlna a ta se odrazila; odražená vlna je potom -F(-x - ct) je také sinusoidální vlna se stejnou frekvencí, ale postupující opačným směrem. Takovou situaci můžeme nejjednodušeji popsat pomocí komplexních funkcí: F(x- dj=el<ú^'xlil a F(-x - ctj =e,lc,y). Superpozice těchto vln dá nulovou výchylku při y = 0 bez ohledu na to, jaké jsou hodnoty x ä t. (I když tyto funkce jsou definovány pro záporná y, kde není buben, který by kmital, nemusíme si toho všímat, neboť výchylka je opravdu nulová při y = 0.) V tomto případě můžeme na druhou funkci hledět jako na odraženou vlnu. Chceme však, aby uzlová přímka byla nejen pro y = 0, ale i pro y = b. Jak toho docílíme? Řešení takové úlohy souvisí s něčím, co jsme už dělali, když jsme zkoumali odraz svěda od krystalů. Ty vlny, které se kompenzují pro y = 0, se kompenzují i pro y = b jen tehdy, když 1b sin i?je celočíselným násobkem A, přičemž i?je úhel znázorněný na obr. 49.4 665 DVOJROZMĚRNÉ MODY mA = 2bs\nů, m= 0,1,2... (49.7) Stejným způsobem můžeme udělat uzlovou přímku z osy y, přidáme-li další dvě funkce -(e'6") (e1****'^) a + [eiú") (e'*"x~ '*>'), z nichž každá představuje odraz jedné z druhých dvou vln od přímky x = 0. Podmínka pro to, aby přímka x= a byla uzlovou přímkou je podobná té, kterou jsme už měli pro y = b, takže 2a cos #musí být celočíselným násobkem A: nA = 2a cos ů. (49.8) Konečným výsledkem pakje, že vlny odrážející se v krabici mají tvar stojaté vlny, tedy tvoří určité mody. UPEVNĚNÉ OKRAJE Obr. 49.4 Kmitaj ící pravoúhlá deska Chceme-li tedy dostat mody, musíme splnit uvedené dvě podmínky. Najděme nejprve vlnovou délku. Eliminujeme-li z rovnic (49.7) a (49.8) úhel ů, dostaneme vlnovou délku vyjádřenou pomocí a, b, n, m. Nejjednodušeji se to udělá tak, že se obě strany příslušných rovnic dělí 2b, resp 2a, umocní se a rovnice se sečtou. Tak dostaneme sin2 í? + cos2 ů= 1 = (nA/2a)2 + (mA/2b)2 a odtud dostaneme pro A A2 m 4 a2 4 A2 (49.9) Tak máme vlnovou délku určenou pomocí dvou celých čísel a z ní ihned dostaneme frekvenci co, neboť víme, že frekvence je rovna 2itc dělenému vlnovou délkou. Tento výsledek je tak zajímavý a důležitý, že bychom ho měli odvodit čistě matematickou analýzou, a ne použitím představ o odrazech. Představme si kmity jako superpozici čtyř vln zvolených tak, že čtyři přímky x = 0, x = a, y = 0, y = b jsou uzlové. Dále budeme požadovat, aby všechny vlny měly stejnou frekvenci, takže výsledný pohyb bude představovat nějaký mod. Z našeho předcházejícího postupu při odrazu svěda už víme, že (e""') (e V) představuje vlnu postupující ve směru označeném na obr. 49.4. Rovnice (49.6), tj. k = (ú/c, stále platí, předpokládáme-li k2 = (49.10) Z obrázku je jasné, že kx = kcos ů, ky-ksm ů. Tak naše rovnice pro výchylku q> pravoúhelníkové blány bubnu nabude výsledného tvaru

+ e(-V-V»]. (49.lla) 666 MODY I když to působí chaotickým dojmem, součet takových výrazů není příliš komplikovaný. Expo-nenciály můžeme zkombinovat tak, aby z nich vznikly sinové funkce a výraz pro výchylku pak můžeme zapsat takto

atd. Je to však trochu složitější. Nemůžeme totiž očekávat, že počáteční fáze budou pro všechny frekvence stejné. Musíme proto pracovat s funkcemi typu cos (cot + q>). Je však jednodušší používat pro každou frekvenci sinus i kosinus. Vzpomeňme si, že cos (cot + /- cos 7cot + ... +... (50.4) + (Lj cos 7cot- cos 7cot + b7 sin 7coť cos 7cot + ... + ... 677 FOURIEROVY KOEFICIENTY Dále najdeme střední hodnoty obou stran. Střední hodnota aQ cos 7cot za dobu Tje úměrná střední hodnotě kosinu za 7 celých period. Jenže taje rovna nule. Střední hodnota téměř všech ostatních členů je také rovna nule. Podívejme se na člen s a,. Víme, že obecně platí vztah cos A cos B = — cos {A + B) + -i cos {A- B). (50.5) Člen s a. proto lze vyjádřit ve tvaru — a, (cos8ťy/ +cos6ťyť). (50.6) Máme tedy dva kosinové členy, z nichž má jeden osm úplných period Ta druhý šest. Střední hodnoty obou těchto členů jsou nulové. Proto je i střední hodnota členu s a, nulová. Pro člen s bychom dostali a^casScút a cos 5 co t a střední hodnota každého z těchto členů je nulová. Pro člen s Og bychom dostali cos 16 art a cos(-2íyf) je stejný jako cos 2*y/.Ukázali jsme však už dříve (rovnice (50.11) a (50.12)), že integrály všech takových členů přes jednu periodu dávají nulu. Zůstávají nám jen kvadratické členy typu a% cos2 cot. Integrál z druhé mocniny libovolného kosinu nebo sinu přes jednu periodu je roven T/2, a proto máme íTf{t)át- TaZ + í(a? + a22 + ... + bf+ £ + = 1^-^ (a2 + b2) JQ A Z n - 1 (50.23) n-l Tato rovnice se nazývá „věta o energii" a říká, že celková energie vlny je rovna součtu energií všech Fourierových složek. Kdybychom například tuto větu aplikovali na řadu (50.19) a uvážili, že [/(<)]2 = 1, dostali bychom ,iii i+—+—+—+, a tak bychom se dozvěděli, že součet reciprokých druhých mocnin lichých celých číselje roven 7t2/8. Kdybychom zapsali podobným způsobem nejprve Fourierovu řadu pro funkci a pak použili větu o energii, mohli bychom dokázat, že 1 + 1/24 + 1/34 + ... je rovno 7t4/90; tento výsledek jsme potřebovali v 45. kapitole. NELINEÁRNÍ ODEZVY V harmonické teorii je ještě jeden důležitý prvek, na kterýje ďeba upozornit pro jeho praktický význam, a tím jsou nelineární efekty. Ve všech soustavách, které jsme dosud uvažovali, jsme předpokládali linearitu, tedy odezvy na síly, např. výchylky nebo zrychlení byly vždy úměrné silám. Proudy v obvodech byly úměrné napětím apod. Nyní budeme uvažovat takové případy, kde tato přísná úměrnost není. Na chvíli uvažujme nějaký přístroj, v němž odezva - označíme ji - bude v okamžiku t určována vstupní veličinou *vj ve stejném okamžiku. Veličinou xvj může například být síla a x^ může být výchylka nebo xvs může být proud a x^ napětí. Je-li přístroj lineární, bude (50.24) 681 VĚTA O ENERGII • NELINEÁRNÍ ODEZVY kde J^je konstanta nezávislá na t a xy>. Předpokládejme však, že přístroj není přesně lineární, ale jen přibližně, takže můžeme psát xjt) = K[xjt) + e£(t)]> (50-25) kde £je malé vzhledem kjedné. Takové lineární a nelineární odezvyjsou znázorněné na grafech obrázku 50.4. Nelineární odezvy mají některé důležité praktické důsledky a o některých z nich si povíme. Nejprve si všimneme, co se stane, připojíme-li na vstup čistý tón. Ať xyt = cos cot. Nakreslíme-li xod jako funkci času, dostaneme plnou čáru na obr. 50.5. Přerušovaná čáraje pro porovnání apředstavuje odezvu lineární soustavy. Je vidět, že na výstupu už nedostáváme kosinovou funkci. Tato funkce je nahoře ostř ejší a dole plošší. Říkáme, že výstupní signál je zkreslený. Taková vlna už není čistým tónem a bude obsahovat vyšší harmonické. Zjistíme, které to budou. Dosadíme-li x =cos cot do rovnice (50.25), dostaneme x^ = K(cos cot + e cos2 cot). (50.26) Xod a LINEÁRNI *bd=f*w Obr. 50.4 Lineární a nelineární odezva Xod b NELINEÁRNÍ *bd=K(Xvs+£XW "—"-LINEÁRNÍ - Obr.50.5 Odezva nelineárního přístroje na vstupní signál cos cot. Pro porovnání je znázorněna i lineární odezva. Využijeme-li známý vztah cos2 #=-^ (1 - cos2#), dostaneme cos cot + — - — cos 2cot I . 2 2 (50.27) Výstupní signál má tedy nejen složku základní frekvence, kterou měl i vstupní signál, ale má i určitou část druhé harmonické. Na výstupu se objevuje i konstantní člen K(e/2), který odpovídá posunu střední hodnoty znázorněnému na obr. 50.5. Proces vytvoření posunu střední hodnoty se nazývá usmernení. 682 HARMONICKÉ KMITY Nelineární systém tedy usmerňuje a vytváří vyšší harmonické frekvencí přivedených na vstup. I když nelinearita, kterou jsme uvažovali, vytvářela j enom druhou harmonickou, nelinearity vyššího řádu-například takové, které obsahují členyjako x3, x* -budou vytvářet vyšší harmonické než druhou. Dalším důsledkem nelineární odezvyje modulace. Obsahuj e-li náš vstupní signál dva čisté tóny (nebo i více), nedostaneme na výstupu jen jejich harmonické, ale ijiné frekvenční složky. Nechť xvs =A cos cjx t + B cos 0)21, přičemž o)x a eo2 nejsou v harmonickém vztahu. Kromě lineárního členu (který je Aľ-násobkem vstupního signálu) dostaneme na výstupů tyto složky x^KelAcos^t + Bcos^t)2 = (50.28) = Ke{A2 cos2 coxt + B2 cos2 x t- cos o>21 můžeme chápat dvojím způsobem. Liší-li se podstatně tyto dvě frekvence (je-li například cox mnohem větší než co2), můžeme považovat tento křížový člen za kosinové oscilace s proměnnou amplitudou. Můžeme si ho představit zapsaný následujícím způsobem AB cos ů)x t cos cú2 t - C (t) cos o>x t, (50.30) kde C(t) = AB cos co2t. (50.31) Říkáme, že amplituda kmitů cos a>x / je modulovaná frekvencí co2. Tento nový člen se však může zapsat i v takovémto tvaru: AB AB cos w, / cos a21 = [cos (ty, + cj2) t + cos(ťy, - ú>2) §. (50.32) Z tohoto zápisu je vidět, že se vytvořily dvě nové složky, jedna se součtovou frekvencí (2) a (w, - a>2) se jen málo liší, a proto zpozorujeme zázněje. Jenže tyto zázněje způsobí modulaci amplitudy střední frekvence cox polovinou rozdílu frekvencí 2co2. Nyní vidíme, proč jsou tyto dva popisy ekvivalentní. Máme-li shrnout, co jsme zjistili, můžeme říci, že nelineární odezvou vzniká několik jevů: usměrnění, tvorba vyšších harmonických a modulace nebo tvorba složek se součtem a rozdílem frekvencí. Všimněme si, že všechny tyto jevy (rovnice 50.29) jsou úměrné nejen koeficientu nelinearity e, ale i součinu dvou amplitud - buď A2 nebo B2 nebo AB. Proto lze čekat, že tyto jevy budou mnohem důležitější v případě silných než slabých signálů. Popsané jevy mají mnoho praktických aplikací. Co se týká zvuku, předpokládá se, že ucho je nelineární soustavou. Podkladem pro takový předpoklad je skutečnost, že při silných zvucích máme pocit, že slyšíme vyšší harmonické a součtové a rozdílové frekvence, i když zvuková vlna obsahuje pouze čisté tóny. 683 VĚTA O ENERGII • NELINEÁRNÍ ODEZVY Prvky používané v zařízeních reprodukujfcích zvuk - zesilovače, reproduktory apod. - obsahují vždy nějaké nelinearity. Zkreslují zvuk - vytvářejí vyšší harmonické apod. - tedy zvuky, které v původním signálu nebyly. Tyto nové složky ucho slyší a překážejí mu. Proto jsou hi-fi zařízení konstruována tak, aby byla co nejlineárnější. (Není však jasné, proč nám stejným způsobem „nepřekáží" nelinearita ucha nebo odkud vlastně víme, že nelinearita je v reproduktoru, a ne v našem uchul) Nelinearity jsou však potřebné a v některých částech rádiových vysílačů a přijímačů jsou úmyslně zabudovány velké nelinearity. Ve vysílači s amplitudovou modulací je hlasový signál (s frekvencí několika kHz) kombinován s „nosným" signálem (s frekvencí několika MHz) v nelineárním obvodu nazývaným modulátor, a tak se vytvářejí modulované vlny, které potom vysílač vysílá. V přijímači se složky přijatého signálu dostanou na nelineární obvod, který zkombinuje součtové a rozdílové frekvence modulovaného nosného signálu a opět vytvoří hlasový signál. Když jsme mluvili o průchodu svěda látkou, předpokládali jsme, že indukované oscilace nábojůjsou úměrné elektrickému poli svěda- že odezvaje lineární. Byla to opravdu velmi dobrá aproximace. Ale byly už zkonstruovány zdroje svěda (lasery), které produkují tak intenzivní svědo, že můžeme pozorovat nelineární efekty. Dnes je už možné generovat harmonické světelných frekvencí. Prochází-li intenzivní červené svědo kouskem skla, vychází ze skla i trochu modrého svěda - to je druhá harmonickál 684 Příklady a cvičení 50.1 ■ S použitím Fourierova rozvoje pravoúhlé vlny 50.2 50.3 50.5 50.6 f(x)=- ukažte, že a) 1 — + — - — +-----, 3 5 7 4 =-^(slnx+^-sln3x+l-sin5x + ...) 1 1 1 b) 1 +J. + _^+_L.+...=J!L, 9 25 49 8 „\ * 1 1 1 1 4 c) 1 + — + — - — + — + ... = _ 4 9 16 25 3 ,111 1 + — + — + — + ... 9 25 49 6 ' Rozložte funkci g(x) = o « 2n do Fourierova integrálu a ukažte, že získané výsledky jsou ve shodě s tím, co dostanete při integrování funkce z předchozí úlohy. I Na základě výsledku předchozí úlohy ukažte, že a) i+± + ±-± + ...=Zl, 34 54 7* 96 no „4 24 - 1 { 34 54 J 90 50.4 ■ V kapitole 45 jsme potřebovali vypočítat integrál j x3 dx e*-r Nyní to můžeme provést tak, že vynásobíme čitatel i jmenovatel e"x, rozložíme integrovanou funkci do řady a integrujeme podle jednotlivých členů. Tak dostaneme }*!**/( uWdu { e*-1 { Ověřte si to. j 1 1 1 + — + — + ... 24 34 90 15" Najděte Fouríerův rozvoj pilové funkce, která popisuje průběh proudu, protékajícího v síti horizontálního vychylování h{x)= elektronového paprsku oscilografu: 0 2n 4tc 6ji I Usměrňovač je zařízení, které přeměňuje sinusoi-dální vlnu, například vlnu napětí amplitudy U0, 4 7^/^f\f\f>\f\f' v napětí následujícího průběhu: t—*-*-*-*-*-*-*-f a) Vypočítejte střední hodnotu U(f) (říká se mu výstupní napětí). b) Najděte amplitudu druhé harmonické výstupního napětí. 50.7 ■ Z transformátoru snímáme výstupní napětí úměrné U^, = + e (L/„,)3. Vysvětlete, jaký bude vliv kubického členu jestliže a) vstupní napětí bude mít sinusoidální průběh; b) na vstup budou přicházet dvě nebo více sinusoidálních vln s různými frekvencemi. 685 51.1 KUŽELOVÉ VLNY 51.2 RÁZOVÉ VLNY 51.3 VLNY V PEVNÝCH LÁTKÁCH 51.4 POVRCHOVÉ VLNY KUŽELOVÉ VLNY I když jsme už skončili kvantitatívni analýzu vln, věnujeme tuto doplňkovou kapitolu kvalitativnímu posouzení některých jevů souvisejících s vlnami, které jsou příliš složité na to, abychom je mohli v těchto přednáškách podrobně prozkoumat. Protože jsme už několik kapitol věnovali vlnám, bylo by přiměřenější nazvat tuto kapitolu kapitolou o „některých složitějších jevech souvisejících s vlnami". Obr.51.1 Čelo rázové vlny vytváfí kužel svrchu úf=arcsin (fl/íj Prvním předmětem našich úvah bude jev, který vzniká tehdy, když se zdroj vln pohybuje větší rychlostí, nežje rychlost vlny nebo fázová rychlost. Uvažujme nejprve vlnyjako zvuk nebo svědo, které mají určitou konstantní rychlost. Je-li rychlost pohybu zdroje zvuku větší než rychlost zvuku, nastává následující jev. Předpokládejme, že v daném okamžiku je zvuková vlna vybuzena zdrojem v bodě *, (viz obr. 51.1). Potom v dalším okamžiku, kdy se zdroj dostane do bodu ^, se vlna rozšíří z bodu x{ na kulovou plochu poloměru r{, který je menší než vzdálenost, jíž prošel zdroj. Z bodu ^ se ovšem začne šířit další vlna. Dostal-li se zvukový zdroj ještě dále, až do bodu x.s a z tohoto bodu vychází další vlna, vlna z x2 se rozšířila na kulovou plochu poloměru 686 VLNY r2 a vlna z *, poloměru r3. DČje se to samozřejmě spojitě, a ne skoky, a proto máme celou řadu takových kulových vlnoploch dotýkajících se pláitč kužele s vrcholem vmiste zdroje. Místo toho, aby zdroj vytvářel kulové vlny, jako v případě, kdyby se nepohyboval, vytváří pohybující se zdroj vlny.jejichžčelojevtrojrozrněrném prostoru kužel a v dvojrozměrném prostoru dvojice přímek. Vrcholový úhel tohoto kužele lze snadno určit. V určitém časovém intervalu projde zdroj vzdálenost např. x3~xl, která je úměrná rychlostí zdroje v. Zatím se čelo vlny dostalo do vzdálenosti r3, která je úměrná rychlostí vlny c^. Je jasné, že sinus polovičního úhlu rozevření kuželeje roven poměru rychlosti vlny k rychlosti zdroje a to je možné jen tehdy, kdyŽje cg menší než v, tedy když se předmět pohybuje rychleji než vlna. Proto sina = —. (51.1) v I když jsme zdůraznili, že máme zdrojzvuY.\i, ukazuje se - a to je velmi zajímavé - že předmět už tím, že se pohybuje rychlostí větší nežje rychlost zvuku, uytoífřfzvuk. To znamená, že on sám nemusí kmitat. Jakýkoliv objekt pohybující se prostředím větší rychlostí nežje rychlost, kterou se v tom prostředí šíří vlny, bude vytvářet automaticky vlny právě v důsledku svého rychlého pohybu. Tak je to v případě zvuku, ale stejnýjev nastává i v případě svěda. Na první pohled by se zdálo, že se nic nemůže pohybovat rychlostí větší nežje rychlost svěda. Jenže svědo má ve skle menSí fázovou rychlost, nežje rychlost svěda ve vakuu a sklem můžeme propustit nabitou částici s velmi vysokou energií, takže rychlost Částice bude blízká rychlosti světla ve vakuu, zatímco rychlost svěda ve skle může být rovna jen 2/3 rychlosti svěda ve vakuu. Částice pohybující se rychleji než svědo v daném prostředí vytvoří kuželovou světelnou vlnu s vrcholem ve zdroji, která se podobá vlně vznikající na vodě za lodí (jde vlastně o stejnýjev). Změřením úhlu u vrcholu kužele můžeme určit rychlost částice. Takový postup se používá vpraxi k měření rychlostí částic jako jedna z metod určování jejich energie ve vysokoenergetícké oblastí. Jediné, co je třeba měřit, je směr Šíření svěda. Tento jev se nazývá podle Čerenkova, který je poprvé pozoroval. Intenzitu tohoto záření teoreticky analyzovali Frank a Tamm. Za tento výzkum dostali tito tři vědci společně Nobelovu cenu za fyziku v roce 1958. Obr. 51.2 Rázová vlna vyvolaná v plynu projektilem pohybují dm se rychleji než zvuk 687 KUŽELOVÉ VLNY ♦ RAZOVÉ VLNY Na obrázku 51.2 můžete vidět, jaká je situace v případě zvuku. Je to fotografie předmětu pohybujícího se v plynu rychlostí, která je větší než rychlost zvuku. Změny daku způsobují změny indexu lomu, takže vhodnou optickou soustavou můžeme okraj vln zviditelnit. Tak vidíme, že předmět pohybující se rychlostí, která je větší než je rychlost zvuku, opravdu vytváří kuželovou vlnu. Podrobnější zkoumání nás přesvědčí o tom, že její povrch je vlastně zakřivený. V asymptotické oblasti není zakřivení, ale u vrcholu zakřivení existuje a my bychom si nyní měli promluvit o příčině tohoto zakřivení. To nás přivádí k druhému tématu této kapitoly. RÁZOVÉ VLNY Rychlost vlny často závisí na její amplitudě a v případě zvuku má tato závislost následující charakter. Předmět, který se pohybuje ve vzduchu, musí odstraňovat vzduch ze své dráhy, a tak vytváří poruchu ve formě určitého dakového skoku. Tlak za čelem vlny je vyšší než dak v neporušené oblasti, do níž se vlna pohybující se normální rychlostí ještě nedostala. Avšak vzduch, který zůstal za vlnou, byl adiabaticky sdačen, a proto jeho teplota bude vyšší. Rychlost zvuku však s teplotou roste, a proto je rychlost v oblasti za skokem větší než ve vzduchu před skokem. To znamená, že jakákoliv další porucha za tímto skokem, vyvolaná třeba stálým dakem tělesa nebo jinak, se bude šířit rychleji než čelo vlny a s růstem daku tato rychlost poroste. Obr. 51.3 charakterizuje takovou situaci a hrboly na křivce daku slouží větší názornosti. Je vidět, že původní zadní oblasti vyššího daku postupem času dobíhají čelo vlny, dokud daková vlna nevytvoří strmé čelo. Je-li síla vlny velmi velká, stane se to ihned; je-li malá, může to trvat dlouho. Ve skutečnosti se však může stát, že zvuk se rozšíří a zanikne dříve, než k takovému jevu dojde. Obr. 51.3 „Momentky" čelavmyvnásledujírích časových okamžicích Zvuky naší řeči jsou nesmírně slabé vzhledem k atmosferickému daku - je to asi jedna milióntina. Ale pro dakové změny řádově jedné atmosféry vzroste rychlost vlny asi o dvacet procent a strmost čela vlny naroste úměrně rychleji. V přírodě se však nic neděje nekoneční rychle, a to, co nazýváme strmým čelem, má ve skutečnosti přece jen jakousi doušťku, není to nekonečně strmé. Vzdálenost, na níž se čelo mění, je řádově rovna střední volné dráze, ale na takové vzdálenosti vlnová rovnice neplatí, neboť neuvažujeme strukturu plynu. Podíváme-li se opět na obrázek 51.2, zjistíme, že zakřivení můžeme vysvětlit tím, že v blízkosti vrcholu jsou vyšší daky než ve větší vzdálenosti od něho, a proto je tam úhel a větší. Zakřivení vzniklo v důsledku toho, že rychlost závisí na síle vlny. Proto se vlna pocházející od výbuchu atomové bomby šíří po určitou dobu mnohem větší rychlostí, než je rychlost zvuku, dokud při šíření natolik nezeslábne, že dakový náraz je malý ve srovnání s atmosférickým dakem. Rychlost dakového nárazu se pak přiblíží rychlosti zvuku v plynu, v němž se šíří. (Ukazuje se, že rychlost rázové vlny je vždy vyšší než rychlost zvuku v plynu před ní, ale nižší než rychlost zvuku v plynu za ní. Impulzy přicházející zezadu doběhnou čelo, ale čelo se noří do prostředí před sebou rychleji, než je normální rychlost šíření signálů v něm. Proto jen podle zvuku nemůžeme říci, VZDÁLENOST 688 VLNY že přichází rázová vlna, dokud není příliš pozdě. Světlo výbuchu bomby přichází nejdříve, ale že přichází rázová vlna, nemůže nikdo říci, dokud vlna opravdu nedorazí, protože ji nepředchází žádný zvukový signál.) Obr. 51.4 Takové nahromadění vln je velmi zajfmavýjev a jeho hlavní příčinou je to, že po příchodu jedné vlny musí rychlost po ní následující vlny vzrůstat. Uvedeme ještě jiný příklad téhož jevu. Představte si, že dlouhým kanálem konečné šířky a hloubky teče voda. Pohybuje-li se podél takového kanálu dostatečně rychle píst nebo příčná stěna, dojde k takovému nakupení vodyjako v případě sněhu před sněžným pluhem. Nechť tedy nastává taková situace, jakou zobrazuje obrázek 51 A, kdy se někde v kanálu objevuje náhlý skok vodní hladiny. Lze ukázat, že v kanálu se dlouhé vlny pohybují v hluboké vodě rychleji než v mělké. Proto každý nový náraz nebo nepravidelnost v přísunu energie od pístu postoupí dopředu a nahromadí se na čele. Teoreticky nakonec opět dostaneme vodu se strmým Čelem. Obrázek 57.4 však ukazuje na některé komplikace. Znázorněná vlna prochází na obrázku kanálem tak, že píst je kdesi daleko na levé straně. Zpočátku mohla situace připomínat dobře se chovající vlnu, ale na cestě podél kanálu se vlna stávala strmější a strmější, až došlo ke stavu znázorněnému na obrázku. Na hladině dochází k silnému víření vody a kapky vody padají dolů, ale podstatné je, že okraj vlny je velmi ostrý a před vlnou není voda porušena. Ve skutečnosti je vlna na vodě mnohem složitější než zvuk. Pro ilustraci se však pokusíme analyzovat rychlost přílivové vlny v kanálu. Neděláme to proto, že by to pro nás mělo principiální význam —nepředstavuje to totiž velké zobecnění —děláme to jenom proto, abychom ukázali, že zákony mechaniky, které už známe, nám umožní tento jev vysvětlit Představte si, že voda vypadá tak, jak to znázorňuje obr. 51,5a na horní hladině ve výšce Aj se pohybuje rychlostí na čelo se posouvá rychlostí «na neporušenou vodu, jejíž hladinaje ve výšce A,. Chceme určit rychlost, kterou postupuje čelo. Za dobu A í se vertikální rovina, která byla původně v xt, posune o vzdálenost oArdo s^, zatímco čelo vlny projde vzdálenost uAí. Nyní použijeme zákony zachování hmotnosti a hybnosti. Začneme prvním z nich. Je vidět, že najednotku šířky kanálu je množství vody Aj vAt, které prošlo *, (vyšrafovaná oblast), kompenzováno druhou vyšrafovanou oblastí, jež představuje množství (Aj - A() a A/. Dělíme-li veličinou At, dostaneme »Aj = u{ht - A,). To námještě nestačí, protože i když známe Aj a A,, neznáme ani u, ani v a obě tyto veličiny chceme najít 689 KUŽELOVÉ VLNY • RAZOVÉ VLNY a b x, x, x, x, Obr.51.5Dvaprůřezyvysokéhopřílivuvkanálu,kde 6je obraz situace o A {pozdější než a Dalším krokem je použití zákona zachování hybnosti. Nezabývali jsme se ještě otázkou vodního daku a nemluvili jsme o hydrodynamice, ale je jasné, že dak vody musí v dané hloubce právě stačit k udržení vodního sloupce nad touto hloubkou. Proto je dak vody roven součinu hustoty vody g, gravitačního zrychlení g a hloubky pod povrchem. Protože dak roste lineárně s hloubkou, střední dak v rovině x, je právě 1/2 ggh\. To je také střední síla na jednotku šířky a jednotku výšky dačící rovinu směrem k x,. Abychom dostali celkovou sílu působící na vodu zleva, musíme získaný výraz znovu násobit . Na vodu však působí i dak zprava a vyvolává sílu, která na uvažovanou oblast působí v opačném směru. Podobnou úvahou jako v předcházejícím případě můžeme vypočítat její velikost: 1/2 gghx. Nyní musíme tyto síly porovnat s rychlostí změny hybností pohybu. Musíme zjistit, o kolik je větší hybnost odpovídající situaci (b) na obr. 51.5 proti hybnosti odpovídající situaci (a). Vidíme, že dodatečná hmotnost, která získala rychlost v, je rovna právě gh^ u At- gh^ v A t (najednotku šířky) a násobíme-li ji v, dostaneme dodatečnou hybnost, která musí být rovna impulzu FA t [gh^uAt-gh^vAij v = |ggh\ ~ ^ Pi^fj Aí. Dosazením už známého vztahu vh2 = u(h\2- A,) vyloučíme z této rovnice v, a kdyžjiještě zjednodušíme, dostaneme nakonec: u2=gh2(hl +h2)/2hi. Je-li rozdíl výšek velmi malý, takže A, a Ajjsou téměř stejné, rychlost bude rovna a po rozpadu 4jednotky. Elektron tedy odnáší spinový moment a úlohu přitom hraje i neutrino. Není těžké si představit, že elektron musí nést svůj spinový moment hybnosti orientovaný ve směru svého pohybu a podobně i neutrino. Elektron by se tedy měl jakoby otáčet zprava doleva, to se opravdu zjistilo. Na Kalifornském technickém institutu dokázali Boehm a Wapstra, že spin elektronu je orientován levotočivě. (O experimentech dokazujících opak se ukázalo, že jsou nesprávné!) 63) Dnes této částici říkáme K* mezon nebo kaon. (Pozn. red.) __ ANTIHMOTA • PORUŠENÁ SYMETRIE Další úlohou bylo najít zákon o nezachování parity. Jaké pravidlo nám říká, kdy se parita nezachovává? Takové pravidlo existuje a říká, že selhání se vyskytuje jen ve velmi pomalých reakcích nazývaných slabé rozpady a dojde-li k narušení zachování parity, pak částice se spinem, jako je elektron nebo neutrino apod., vychází převážně se spinem orientovaným levotočivě. Je to jakési pravidlo jednostrannosti; dává do souvislosti polární vektor rychlosti a axiální vektor momentu hybnosti a říká, že moment hybnosti směřuje s větší pravděpodobností proti vektoru rychlosti než souhlasně s tímto vektorem. Takové je pravidlo, ale dodnes vlastně neznáme jeho příčiny. Prořplatí právě toto pravidlo, jakou má hlavní příčinu a jak to souvisí s ostatním? Takovou nesymetrií jsme byli velmi překvapeni a dosud jsme se z toho neprohráli, takže jsme ještě nepochopili, co znamená tato nesymetrie z hlediska všech ostatních pravidel. Víme však, že je to zajímavý, moderní a dosud nerozřešený problém, takže bude vhodné, promluvíme-li si o některých s ním souvisejících otázkách. ANTIHMOTA Když se ztratí jedna ze symetrií, první věcí, kterou musíme udělat, je vrátit se k seznamu známých nebo předpokládaných symetrií a ptát se, zda některá z nich nezanikla. Ještě jsme se nezmínili o jedné operaci z naší tabulky, kterou nemůžeme nechat nepovšimnutou - je jí vztah mezi hmotou a antihmotou. Dirac předpověděl, že vedle elektronu musí existovat ještě jiná částice (nazval ji pozitron a objevil ji Anderson z Kalifornského technického institutu), která s elektronem úzce souvisí. Vlastnosti těchto částic jsou v určitém vztahu, splňují určitá pravidla korespondence: jejich energie jsou stejné, hmotnostijsou stejné, náboje jsou opačné, ale coje nej důležitější, když se tyto dvě částice setkají, anihilují se a celá jejich hmotnost přejde na energii, např y-zářenf. Pozitron nazýváme antičásticí elektronu a uvedené vlastnosti jsou pro částici a antičástici charakteristické. Z Diracovy argumentace bylo jasné, že i ostatní částice musí mít odpovídající antičástice. Například k protonu musí existovat antiproton, který označujeme symbolem p a jenž má záporný elektrický náboj, stejnou hmotnost jako proton atd. Nejdůleži-tějšf vlastností však je, že proton a antiproton mohou při setkání anihilovat. Tuto vlastnost zdůrazňujeme, neboť lidé dost dobře nechápou, že může existovat neutron a antineutron a říkají: „Neutronje neutrální ajak může mít tedy antineutron opačný náboj?" To, že říkáme „anti-", neznamená, že jde právě o opačný náboj, ale jde o celý soubor vlastností, z nichž mnohé jsou právě opačné. Antineutron se od neutronu liší v následujícím. Kdybychom dali dohromady dva neutrony, zůstaly by dvěma neutrony, ale kdybychom dali dohromady neutron a antineutron, navzájem by anihilovaly za současného uvolnění velkého množství energie v podobě 7t-mezonů, j'-zárení apod. Máme-li antineutrony, antiprotony a antielektrony, můžeme v principu vytvářet antiatomy. Zatím ještě vytvořeny nebyly, ale v principuje to možné.64' Například atom vodíku má uprostř ed proton a elektron ho obíhá. Představte si, že bychom vytvořili antiproton a k němu přiblížili pozitron. Bude pozitron kolem něho obíhat? Víme, že antiproton je elektricky záporný a antielektron je elektricky kladný, takže se budou přitahovat a jsou-li jejich hmotnosti stejné jako hmotnosti protonu a elektronu, bude stejné i vše ostatní. Jeden z principů symetrie ve V roce 1996 bylo na urychlovači v CERNu v Ženevě vyrobeno 11 prvních atomů antlvodíku. Žily jen 30 miliardtin sekundy a za tu dobu uletěly 10 m. (Pozn. red.) 710 SYMETRIE FYZIKÁLNÍCH ZÁKONŮ fyzice, který se zdá vyplývat z rovnic, je ten, že sestrojíme-li jedny hodiny z látky a druhé z andlátky, oboje půjdou stejně. (Kdybychom však takové hodiny přiložili k sobě, navzájem by anihilo-valy, ale to už je jiná záležitost.) Nyní nás může napadnout následující otázka. Z hmoty můžeme sestrojit dvoje hodiny-jedny „levostranné" a druhé „pravostranné". Můžeme například sestrojit ne obyčejné hodiny, ale hodiny s kobaltem a magnety a detektory elektronů, které zaznamenávají přítomnost elektronů vzniklých /^-rozpadem a počítají je. Je-li zaregistrován elektron, pohne se sekundová ručička. Zrcadlové hodiny, které napočítají méně elektronů, půjdoujinou rychlostí. Zřejmě tedy můžeme sestrojit takovou dvojici hodin, v níž levostranné hodiny jdou jinak než pravostranné. Nyní sestrojme z hmoty hodiny, které nazveme standardní nebo pravostranné. Dále sestrojme z hmoty také hodiny, které nazveme levostrannými. Konstatovali jsme, že obecně nepůjdou tyto hodiny stejně, ale až do tohoto významného objevu se předpokládalo, že obě tyto hodiny by měly jít stejně. Předpokládalo se i to, že hmota a andhmotajsou ekvivalentní, tedy že kdybychom sestrojili pravostranné hodiny z antihmoty stejného tvaru jako pravostranné hodiny z hmoty, oboje by šly stejně a totéž by platilo o levostranných hodinách z hmoty a antihmoty. Jinými slovy: zpočátku se předpokládalo, že všechny tyto čtverý hodiny půjdou stejně. Nyní už však víme, že pravostranné a levostranné hodiny z hmoty nejsou stejné. Proto můžeme předpokládat, že ani pravostranné a levostranné hodiny z antihmoty nebudou stejné. Vzniká tedy přirozená otázka, půjdou vůbec některé hodiny stejně, a které? Jinými slovy: chová se pravostranná hmota jako pravostranná antihmota nebo se pravostranná hmota chová jako levostranná antihmota? Experimenty s yff-rozpadem, v nichž místo elektronu vystupují pozitrony, naznačují, „pravá" hmota se chová jako „levá" antihmota. Nakonec se tedy ukázalo, že pravolevá symetrie přece jen existuje! Kdybychom sestrojili levostranné hodiny ne z hmoty, ale z antihmoty, šly by stejně jako pravostranné hodiny z hmoty. Místo dvou nezávislých pravidel v naší tabulce symetrií by zůstalo jedno nové, kombinované pravidlo, mluvící o tom, že pravostranná hmotaje symetrická s levostrannou antihmotou.65' Kdyby byl náš Marťan z antihmoty, dopadly by naše instrukce o „pravostranném" modelu našeho těla opačně. Co by se stalo, kdybychom se po dlouhé konverzaci rozhodli zkonstruovat kosmické lodě a setkat se někde v půli cesty ve vesmíru? Určitě bychom si řekli o našich zvyklostech při setkávání a chtěli bychom si potřást rukama. Museli bychom se však mít na pozoru, kdyby nám náš kosmický přítel chtěl podat levou ruku! PORUŠENÁ SYMETRIE Je přirozené ptát se, co s takovými zákony, které jsou jen přiblňni symetrické? Co nejvíc udivuje, je skutečnost, že v široké oblasti důležitých jevů, jako jsou jaderné síly, elektrické jevy a dokonce i tak slabé interakce jako je gravitace, ve velmi rozsáhlé oblasti fyziky se tyto zákony ukazují být symetrické. Na druhé straně existuje jeden nepatrnýjev a ten nám říká: „Ne, zákony nejsou symetrické! "Jak je to možné, že příroda je téměř symetrická, ale přece jen symetrickou není? Co s tím máme dělat? Nejdříve si všimněme, zda neznáme nějaké jiné příklady tohoto druhu. Několik takových příkladů opravdu existuje. Napříkladjaderné části sil mezi protonem a protonem, mezi neutronem a neutronem a mezi neutronem a protonem jsou přesně stejné - Kdyby Feynmann psal své přednášky o několik let později, určitě by tuto kapitolu dále rozvinul. Další pokusy s kaony ukázaly, že ani kombinované pravidlo s .pravostrannou hmotou" a „levostrannou antihmotou" vždy neplatí. U některých procesů je navíc třeba obrátit i znaménko času (CPT teoném). (Pozn. red.) 711 ANTIHMOTA ♦ PORUŠENÁ SYMETRIE existuje symetrie jaderných sil, nová symetrie, která dovoluje záměnu neutronu a protonu. Je zřejmé, že nejde o obecnou symetrii, neboť mezi neutrony neexistuje elektrické odpuzování, ale existuje mezi dvěma protony. Obecně tedy neplatí, že proton můžeme nahradit neutronem, ale je to dobrá aproximace. Ptáte se proč dobrá) Protože jaderné síly jsou mnohem silnější než elektrické. I v tomto případě jde tedy o „přibližnou" symetrii. Vidíte, že existují i jiné příklady. Jsme zvyklí přijímat symetrii jako projev dokonalostí. Tento náš zvyk připomíná starou představu Reků o dokonalostí kruhů. V důsledku této utkvělé představy bylo přímo hrozné uvěřit, že dráhy planet nejsou přesně kruhové, ale jen přibližně kruhové. Rozdíl mezi kružnicí a něčím, co je téměř kruhové, není vůbec malý a z hlediska myšlení jde o principiální rozdíl. Kružnice nese znak dokonalostí a symetrie a je-li porušena, tyto momenty se ztrácejí - symetrie mizí. Samotná odpověď na otázku, proč jsou dráhy jen přibližné kruhové, je příliš složitá. Skutečné dráhy planet jsou obecně eliptické, ale v průběhu věků pod vlivem slapových sil a podobně se staly téměř symetrické. Podobá se tento problém našemu problému? Jde-li o kružnice, pak kdyby byly dokonalé, nebylo by co vysvětlovat, ale když dokonalé nejsou, je vysvědování příliš mnoho a ve skutečnosti jde o složitý dynamický problém. Měli bychom vysvědit, proč jsou dráhy planet přibližně symetrické z hlediska slapových sil apod. Měli bychom tedy vysvědit, odkud symetrie pochází. Proč je příroda přibližně symetrická? To však dodnes nikdo neví. Jediné, co můžeme navrhnout, je asi toto. V japonském městě Neiko existuje brána, kterou mnozí Japonci nazývají nejkrásnější v Japonsku. Byla postavena v době, kdy japonskou kulturu silně ovlivňovalo čínské umění. Je velmi umělecky vyrobena s množstvím štítů, sloupů, dračích hlav, princů a nádherných rytin. Při pozorném pohledu však můžeme spatřit, že na jednom ze sloupů je ve složitém komplexu znaků jeden z dekoračních prvků vyrytý převráceně. Jinakje vše úplně symetrické. O této bráně koluje pověst, že převrácenýprvekje tam proto, aby bohové nežárlili na dokonalost člověka. Tvůrce této brány udělal schválně chybu, aby zabránil hněvu bohů, který by pramenil ze žárlivosti. Proč bychom tuto myšlenku neobrátili a nepodali následující vysvědení přibližné symetrie přírody? Bůh stvořil zákonyjen přibližně symetrické, aby lidé nežárlili na jeho dokonalost! 712 HL m ýsledky a návody ke cvičením KAPITOLA 1 1.1 Jeden mol vzduchu obsahuje NA = 6,02 • 1O23 mol"1 molekul a za normálního atmosférického tlaku a teploty zaujímá objem 22,41. V 1 m3 je tedy /i0 = 2,7-10" m 3 molekul. Porovnáním približných hustot plynného a kapalného vzduchu najdeme koncentraci molekul kapalného vzduchu nK-2,7-102* m"3 a hmotnostjjnlměmé" molekuly vzduchu 3,7' 10"24 kg. Představ(me-li si molekuly jako twdé kuličky o průměru d uspořádané v jednotkovém objemu tak, že se navzájem dotýkají, dostaneme d » 3,3-10'° m. Pri pohybu střední rychlostí v narazí molekula za sekundu na všechny molekuly, s jejichž středy se bude její střed míjet ve vzdálenosti menší než d, tedy nacházející se v objemu n d V Střední volnou dráhu /molekuly dostaneme jako součin její střední rychlosti a střední doby, která proběhne mezi srážkami a udává jl známý vztah /.—L_. TICÍ2^ Po dosazení číselných hodnot dostaneme přibližně / ■ 1,1 • 10"7 m. Předpoldádáme-ll, že pfl téže teplotě jsou sl koncentrace a tlak plynu vzájemně úměrné, bude střední volná dráha rovna 1 m při tlaku asi 0,11 Pa. 1.2 Vezmeme-li v úvahu rozlohu světového oceánu a jeho střední hloubku kolem 3 km, můžeme odhadnout celkový objem vody na zeměkouli na 1,2 • 10" m3, tedy asi 4,0 • 104* molekul vody. Původní kapka mohla obsahovat 3,0 • 1022 molekul. Jestliže se tyto molekuly rozptýlily rovnoměrně v pozemské vodě, najdeme jich v každé skleničce asi 5. 1.3 Je výhodné uvažovat rovnovážný stav v uzavřené nádobce, kdy počet molekul odpařujících se z vody je roven počtu molekul kondenzujících zpět do vody. Bude-fl nádobka otevřena, uplatní se Jen proces odpařovaní. Počet molekul kondenzujících do vody závisí na jejich koncentraci n v tenké vrstvě o výšce rovné střední volné dráze nad hladinou a na střední rychlosti v. Za 1 s kondenzuje do vody povrchem o obsahu S celkem nSv/B molekul (1/6 molekul se pohybuje směrem k hladině). Označíma-ll koncentraci molekul vody ve sklenici a h výšku hladiny, všechna voda se vypaří za dobu r=6 r^h/nv. Odhadneme-li nj-3,3-102* m"3, h= 10 cm, n-10" m 3 a v-600 m s "'.dostaneme t-3.3-104 s,1j. asi 1 měsíc. Nepřesnost tu spočívá v odhadu koncentrace n, která závisí na vlhkosti vzduchu a silně se mění se vzdáleností od hladiny. Při našich odhadech se z 1 cm2 bude odpařovat 1017 molekul za sekundu. Množství vody odpařené z povrchu oceánů za rok můžeme přibližně přirovnat ročnímu úhrnu srážek. 1.4 V pevných tělesech, například v krystalech, atomy vykonávají rychlé kmitavé pohyby kolem rovnovážných poloh, ale Jejich střední vzájemné vzdálenosti a uspořádání se nemění. 1.5 Stačí uvážit rozložení atomů v jedné z krystalových rovin a použít geometrickou poučku, podle níž k pokrytí roviny mnohoúhelníky téhož druhu lze použít pouze rovnoběžníky, rovnostranné trojúhelníky a pravidelné šestiúhelníky. 1.6 Tlak ideálního plynu bude záviset na hustotě toku molekul a na předávané hybnosti, 4 hmotnosti a střední rychlosti molekul. S růstem rychlosti molekul roste Jednak hustota toku, ale také hybnost. Tlak tedy poroste úměrně koncentraci molekul a druhé mocnině střední kvadratické rychlosti. 1.7 Tepelný pohyb je chaotický pohyb molekul, Jehož střední rychlost roste s teplotou. U letícího míčku se všechny molekuly pohybují navíc společnou, usměrněnou rychlostí. 1.8 Dva troucí se povrchy těles jsou vždy nerovné a mikroskopické nárazy nerovností vedou k růstu chaotického pohybu molekul. 1.9 Pfl roztahování gumy působí řetízky atomů jako svého druhu plst, který při nárazech uvádí do chaotického pohybu i další atomy a guma se zahřívá. 1.10 Chaoticky se pohybující atomy se při srážkách snaží narušit uspořádané, roztažené řetízky a zamotat Je. Zahřátá napjatá guma se pfl zahřívání proti očekávání zkracuje. 1.11 Z geometrie je známo, že při najtesnejším možném prostorovém uspořádání stejných koulí průměru d budou koule zaujímat TT/yTŠ » 0,7405 celkového objemu. Do dostatečně velké nádobky objemu Vse tedy vejde |_?_. |2£ N a, N 4a, \| a, • dostaneme a,/aj-9/8-1,125. 8.9 Aby mina těsně minula okraj srázu, musl být vystřelena pod úhlem daným podmínkou sin 2 a - sg/ v„ (s je vzdálenost od srázu, v„ počáteční rychlost), odkud a - 59*. Pod týmž úhlem rychlostí v0 bude mina míjet okraj srázu směrem dolů. Od tohoto okamžiku poletí 0,41 s a dopadne do vzdálenosti asi 63 m od úpatí srázu. 8.10 Bez komentáře. 8.11 Projde-ll těleso za dobu f úhel p « u f, kde t) je úhlová rychlost, pak x-flcosoif, y-flslngjf, v,--Rweinwt, vr'Rwcosut, a,= -Rurcosut, ay*-R). Zatížení kxfky se tak zmenší na 1445 N, tj. o pouhých 26 N. Kdyby si Paolo a Francesca vyměnili místa, gondole by se ulehčilo podstatně více. ale tento stav by zas trval kratší dobu. 9.10 Hmotnosti závaží A a S jsou v poměru měsíčního zrychlení gu a zemského tíhového zrychlení g. Použijeme-li tento vztah v pohybových rovnicích obou těles na kladce, dostaneme m8«5,75 kg. 9.11 a) a-Ff(M,*MJ-g,b) T'M,F/(M, ♦ /Uy.c) a'= F/^-g.d) ř-v/2ŠAyF. 9.12 a)sr3,b)112kg. 9.13 Z podmínky plyne, že tíha závaží Mj musí být právě rovna napěfové síle niti, odkud zrychlení vozíku musíbýt rovno a = M,0/M,. Potom F'(M * Af, ♦ M2) Mjff/M,. 9.14 Označíme T napěťovou sílu niti, vodorovné zrychlení hmoty M+ m Jako a a svislé zrychlení mjako am. Máme mam*mg - T, (m*M)a'2T, am-2a,odkud am-4mg/{M *Sm) a ř-^2d/am»1 s. 9.15-9.18 Bez komentáře. KAPITOLA 10 10.1 Je-li rrtj hmotnost tělesa v klidu a m, hmotnost tělesa pohybujícího se rychlostí v,, které do něho narazí, ze zákonů zachování hybnosti a energie zjistíme, že tělesa se po srážce rozletí rychlostmi 716 m1 ♦ /říj " mí* 17^2 MaJI-ll si být velikosti těchto rychlostí rovny, musl platit m, - 3 m,. 10.2 Malá změna rychlosti Av = vB2. Budo-ll jedno z těles před srážkou v klidu, bude se po srážce pohybovat rychlostí v- vfl 4, nalétající těleso bude pokračovat malou rychlosti v#4. 10.3 Rychlost družice pohybující se po kruhové dráze ve výSce h určime jako vi*gR2/(RI *h) • oí?,(1 - hlRt) a brzdicí silu F'OSv2 «0,005 N (q je hustota vzduchu, S obsah průřezu družice). Brzdicí síla vyvolá pokles družice a paradoxně vzrůst její rychlosti. 10.4 a) Počáteční zrychlení a'v0r0/M„.b) Tažnáslla F-r0v0,odkud r0-500 kg/s,c) d v/v0-r0dŕ/(M0 - /ji). v-ľjintAyí/H, - r0t)]. 10.5 Bez komentáře. 10.6 m, v, ♦ ff^ v, ♦... m„vn ^tyen|0stj wjsoukiadné v jednom směru a záporné v opačném směru). m, ♦ rtij ♦... ♦ m„ 10.7 Bez komentáře. 10.8 7» Tr ♦ -1 Mv?, kde Mje celková hmotnost a TT kinetická energie v těžišťové soustavě. 10.9 Ze zákonů zachování hybnosti a energie (viz výsledek úlohy 10.1) bude poměr kinetických energií neutronu po srážce a před nl EIE' 121/169 - 0,72. 10.10 Rychlost kulky vAM*ni)x JI. m \ L KAPITOLA 11 11.1 a)5/+/,b)/+3/-2k,c)3,d)3,e)3,f)15/- 18/+9& 112 a) Směr větru svírá se směrem pohybu cyklisty úhel 139,5*. b)CVWIstaJedoud opačným směrem pc<áťuje vítr pod úhlem 141,3*. V obou případech použijeme sinovou větu. 11.3 Určíme závislost vzdálenosti obou lodi na čase a z podmínky minima zjistíme, že druhá loď míří přímo na sever a bude míjet záď naší lodi asi za 10 minut. 11.4 Bod na obvodu kola bude opisovat cykloidu (úloha 8.12). Jeho rychlost má velikost v « r u ■ v tIR, kde r je průvodič bodu z bodu doteku s rovinou, a je k tomuto průvodlčl kolmá. 11.5 Poměr ř^-^/r^WyV - u*. 11.6 Je-li rychlost plaváni v, chůze ua rychlost toku řeky w, bude poměr dob potřebných k prvnímu a druhému způsobu překonáni řeky f,/t, - uv/[(w * U) yVí-iv2].5/4,5 = 1,1 11.7 Z pohybových rovnic dostaneme a) 2 g, b) •JŽg,c) F=MglJŽ=2660 N. 11.8 Dostředivá sdaje výslednici tíhové sdy a napěťové sily niti a je rovna mgRIH ■ mv2IR, kde RJe poloměr dráhy. Potom perioda pohybu r«2Tifl/ľ=2iT 11.9 ľr«— £ m, v,, výraz pro kinetickou energii je formálně týž Jako v úloze 10.8. 11.10 v.m'V'^V^2(/^m/s. fn^ * nfÍ2 11.11 r-i/n, (v,-v)s*im2(v2-v)2-30J, v-vT(vizúlohu 11.10). 11.12 a) Ze zákona zachování hybnosti se těleso pohybuje rychlostí Bf mí=qEf- qXBp mž-0. b) míf - g/B, m/ = -o/B mž-0 V takto se pohybující soustavě (tzv. driftovou rychlostO bude působit jen magnetické pole a částice se bude pohybovat po kružnici. V laboratorní soustavě bude částice opisovat cykloidu. KAPITOLA 14 14.1 a) flP) = (4.5 /+12 / - 2,6 k) N, b) a(0) = (4,5 / +12 / - 2,6 k) m/s 2, c) T(0) = 2.5 J. d) d77dr = fl[0) • v(0) = 21,4 J/s. 14.2 Použijeme-li řešeni úlohy 14.1. dostaneme přibližně a) iť.0.01) = r(0) + 0,01 v(0), b) v(0.01) = v(0) + 0,01 a(0), c) T= T(0) + 0.01 d77df= mv2(0,01)/2 =2,71 J. 11.19 a) r(0)-0, v(0) m/s2, 7=2.5 J 718 14.3 Pro obě trajektorie je práce sfly Fnulová. Aby však silové pole bylo konzervativní, musela by být tato práce nulová pro každou trajektorii. Zjlstíme-ll, že pro některou trajektorii to neplatí, dokážeme tlm, že toto pole konzervativní není, což je náš případ. 14.4 1)3 m/s; 2,5 m/82; 45 W, 2) 4,5 m/s; 2,5 m/s2; 67,5 W. 14.5 g-4TTf,pfl-5,6-105C. 14.6 Pro O, > řV C=4n f, fl, n,/(fl, - H,) F. 14.7 1409 V. 14.8 a-7,2 m/s2. 14.9 Změnu potenciální energie kabelu přirovnáme jeho kinetické energii, odkud v=JgU2. Údaj o lineární hmotnosti kabelu jsme nepotřebovali. 14.10 Máme S=-35cm2, o.30#, /)-4,8 m, y2,4m. Rychlost vody u ústí hadice v • feJŤg/šiřra ■ LH 3 (x*fl)2l { x + R) I KAPITOLA 15 15.1 Zpětnou Lorentzovu transformaci dostaneme, vyměníme-li čárkované a nečárkované souřadnice a změníme znaménko rychlosti soustavy u. 15.2 Analýza ukáže, že pohybující se hodiny půjdou pomaleji než nehybné bez ohledu na jejich prostorovou orientaci. 719 153a) Pozorovaná doba života m lonu f- 1,67 • 10'6 s, vlastní doba života r-2,33 • 10'e s. b) Vrstva atmosféry v soustavo spojené s mlonem má tloušťku d=0,71 km. 15.4 a) 86 kg, b) 3.5 • 10"3 kg/s. 15.5 6,2-10et/s. 15.6 Derivováním x podle času určíme rychlost v a zrychlení oVdr. Dosazením do relativistické pohybové rovnice F=-H. "T----^najdeme F-m^/a-konst. 15.7 a) 0a 1,03 světelných roků za rok na druhou, b) S použitím výsledku úlohy 15.6 zjistíme, že loď uletí vzdálenost 4,15 ly a dosáhne rychlost 0,98 c. KAPITOLA 16 ✓.♦u ✓„.y'l -u2/c2 16.1 Dostaneme vzorce pro relativistickou transformaci složek rychlosti v„=----, v =—£-—. ■* '~2 4 ^ lit/ lf* 16-2 1*ucyc2 ' l*uvye2 1 - uv^c2 (1 - uv./c2)' 16.3 Bez komentáre. 16.4 Přejdeme do vztažné soustavy, v níž se obé částice pohybují proti sobé stejnou rychlostí c/2 a mají relativistickou hmotnost m (viz odstavec 16.3). Nová částice vzniklá nepružnou srážkou bude v této soustavo v klidu a bude mít hmotnost 2m«4m0/^3 V laboratorní soustavě se bude pohybovat rychlostí clí. 16.5 Ve vztažné soustavě, v níž se nalétajícf a terčové protony přibližují stejnou rychlostí u, budou vznikající protony a antiprotony v klidu. Z podmínky 2mp/^1 - u2/c2=4 mp dostaneme u - ^3 c/2. Potom rychlost urychlovaných protonů v laboratorní soustavě v-2u/(1 ♦ u2c2)-4^c/7. Jejich prahová kinetická energie, na níž je třeba urychlovač projektovat, je tedy E^lm, - c2 =6,00 mpc2-5,628 GeV. KAPITOLA 17 17.1 Označíme ŕ=10°r, energii protonu E=£^//l - v2/c2. Pak doba, která uplyne ve vlastní soustavě protonu je r-/^1 - v2/c2-í^,/E-10sr - 5min. 17.2 Bez komentáře. 17.3 Použijeme soustavu jednotek, v níž c=1. Označíme hybnosti mlonu a neutrina pv a pv, klidové hmotnosti pionu a m tonu m„ a m^. Ze zák. zachování hybnosti p„=pt, zák. zachování energie nám dá mn-^p'*m2*pv. Odtud p,,-29,8 MeV, r„-/p'♦ m2-mu-4,1 MeV. 7>E,=p„=29,8 MeV. 17.4 Použijeme výsledku úlohy 12.4, který platí i v relathristikém případě. V uvedených jednotkách dostaneme p=300 ZBR. 17.5 a) Použijeme-ll výsledek úlohy 17.4 a vztah mezi hybností p, kinetickou energií Ta klidovou hmotností n\>: p-^7"(r + 2m0). dostaneme fl-p/300 B-JT(T*2/^/300 fi-1,84 m b) V našem případě relativistická hmotnost m=2 n^/yš a frekvence ř-300 Bc/2^Tm=300^Bc/4^Tm0■=1,3•107s-,. c) Frekvence oběhu se mění v rozsahu 1,5 • 107 s+1,3 • 10" s, tedy asi o 13 %. KAPITOLA 18 18.1 a)140Nm,b)2,8m,c)14N. 18.2 Obvodová rychlost bodu na povrchu Země Rzu>cosq>, kde oj-7,3-10'5 s'', a -3cu0/2. Změnu energie pak určíme jako AE"6M/2a>2. 19.2 a) Potenciální energii určíme jako práci momentu vnějších sil Integraci přes úhel A b) Moment hybnosti rámečku získáme ze vztahu dL/df=n/tfl|dg/df| Jako ĽnAStfc.Na počátku pohybu má rámeček kinetickou energii EK'n1A1B1q^l2l (/Je Jeho moment setrvačností}, a ta se zrněni v potenciální energii registračního zařízeni, takže podle a) bude maximální úhel odkloněni 9mKÍ'nABq(l/^kl. 19.3 / - M/2/12, nezávis! na úhlu ů. 19.4 Je-li li-it-if. 19.5 Podle Pappovy věty V-2TTfl-TTfl2.2TT2R3. 19.6 Těžištěm. 19.7 Poměr úhlové rychlosti v okamžiku uvolněni závaží u a původní úhlové rychlosti u„ plyne ze zákona zachováni momentu hybnosti: ulua'(MR1*imRt)l[(MRi^m(R*tti\'Vn.Odtud /=fltfn»M(n-1)/4/n-1J. 19.8 Provedeme transformaci souřadnic, rychlosti a zrychleni při pootočeni úhel ů a dostaneme F, = F„cos 9 * Fys\n 9*2m/u ♦ mořx', Fy-- F,sln 9* Fycos 9-2mx,u * mu?/. Předposlední členy odpcMdajisneCoriolisově, poslední členy sile odstředivé. 19.9 Jediná sila, která na kouli působivé vodorovném směru, je sila třeni F,*iigM. Přechod od klouzáni k valeni nastane v okamžiku, kdy rychlost bodu doteku koule s rovinou klesne k nule. Označlme-ll vT=v0- fjgt rychlost těžiště koule a u -SygllR úhlovou rychlost rotace způsobenou momentem sily třeni, dostaneme podmínku vT-u>R-0. Přechod tedy nastane v okamžiku /, -2vjl\ig, ve vzdálenosti s = v0t, -ařf/2 = 12v02/49ryg pil rychlosti v= v0-//ffř, =5v„/7. 19.10 Tíhovou silu, kterou hřídel T působí na buben K a válec P rozložíme do směru TP a do směru kolmého. Podmínka pro mezní hodnotu tečné sily Fmezi válcem Pa hřídeli T, aby se neztratil kontakt s bubnem K, Je Fs. Mgcos 9. Tato mezní sila uděluje hřídeli Túhlové zrychleni eT*2gcos&/r, odkud dostaneme úhlové zrychleni válce P. c2gcos9/R. 19.11 Určlme-ll polohu těžlštjednotlivých kvadrantů a zvážíme Je příslušnými hustotami, dostaneme polohutěžište válce xr< -2^2RM5, yT' -^28/15 (RJe poloměr válce) a rovnici hledané přímky y= x/2. 19.12 Poloha těžiště ve středu plného kotouče je rovna poloze těžiště daného útvaru, k niž přičteme polohu těžiště vyříznuté části, takže xr=W6 = 1,67cm. 19.13 Integraci podle definice těžiště dostaneme jeho x-ovou souřadnici xr=2Rsln(o/2)/o, mR*)w0l(lQ*mr). c) Kinetická energie bude rovna práci odstředivé sily, a proto hledaná rychlost v-/(/0*/nn2)(fl2-r2)eo5/(/0*mr2). 721 KAPITOLA 20 20.1 Bez komentáre. 202 Bez komentáre. 20.3 Malý úhel pootočení můžeme považovat za vektor mířící ve směru osy rotace v pravotočivom smyslu. Při postupném pootočení o dva malé úhly Aď, a Aiá,. jejichž osy svírají úhel a, bude výsledný pohyb ekvivalentní Jednomu pootočení o úhel A i9-^A6? *A5^*2Ai9, Ai92cosa ve směru výslednice vektorů obou úhlů. To lze zobecnit na více následných pootočení. Zároveň odtud plyne, že i úhlové rychlosti pohybu tělesa lze sčítat Jako vektory. 20.4 Bez komentáře. 20.5 Plyne z geometrické Interpretace smíšeného součinu vektorů, v daném případě je objem rovnoběžnostěnu 406 objemových Jednotek. 20.6 Při nárazu bude tělesu předána hybnost p, těžiště se začne pohybovat posuvnou rychlostí v=pl2m&těleso bude rotovat kolem osy procházející těžištěm úhlovou rychlostí u= 9p/5ml(m a /jsou hmotnost a délka každé z tyčí). Moment setrvačnosti tělesa Je />5/n/2/12. Těžiště každé z tyčí se pohybuje rychlostí, která je vektorovým součtem rychlost] těžiště tělesa (ve směru osy x) a rýchlostí rotačního pohybu o velikosti v,-9/V10^2/n pod úhlem 45* k ose xa opačných směrů. Pro poměr velikostí výsledných rychlostí dostaneme ^41/221 »0,43. 20.7 Označme úhel mezi osou rotace a osou kotouče a -1 *. Lze ukázat, že vektor momentu hybnost] L bude svírat s osou rotace malý úhel /}• ďi a Jeho složky se budou měnil v čase jako Lx'fSLcosut, Ly=pLs\niot,káe /.-^Š" Affl2w/4. Přitom osa z Je osou rotace, M hmotnost, R poloměr a o úhlová rychlost kotouče (viz obrázek). Z pohybových rovnic pro změnu složek momentu hybnost] dostaneme velikost momentu sil působícího v ložiscích: W-dL/dř, N*f3wĽ3Q N-m. 20.8 Určíme síty působící na každé z těles a z nich výsledný silový moment N=2xmMr's\n2$IR'. 20.9 Působící silové momenty jsou v poměru M/R3, kde M je hmotnost a R vzdálenost Slunce, respektive Měsíce. Měsíc působí na Zemi asi dvakrát větším momentem než Slunce. 20.10 a) /-8,M0,7kg-m2;b) i.»5,9-10M kg-m2-sc) 7-2,1-lO^J. 20.11 Ze zákona zachování energie v*j2Mgh/(M*l/r). To dává pro kouli v«V6g/)/5, kotouč v*J4gh/3 a ve třetím případě 4(Aí, *mjgh "'•{iU^m^^lR,)2]' 20.12 a) Před nárazem I po něm vT=v/2;b) MvífA; c) 6víSt, d) kinetická energie se zmenší o Mv2/10. 20.13 Při uvažované změně rozložení hmoty na povrchu Země by zůstal součin momentu setrvačnosti la úhlové rychlosti ^nezměněn. Při změně momentu setrvačnosti o A/by se změnila úhlová rychlost o Awa perioda rotace o A7= T Mil. Předpokládáme-li, že vodavpodobě polárního ledukmomentusetrvačnostiZemětéměř nepřisp Ivalaapo roztáni vytvořila rovnoměrnou kulovou slupku na celém zemském povrchu, dostaneme A/-8Trpfl4A«3 a AT-8TTpfl47A/Ť3/-1 s. 20.14 a) Rychlost těžiště po nárazu v0*J/M, úhlová rychlost u =12 Ji/Ml2 a rychlost bodu/í v;-J(1 -6r//VM;b) AP-213. KAPITOLA 21 21.1 Jde o tzv. fyzické kyvadlo, a) lě*Mgdsln9=0; b) T'2-njl/Mgd (/je moment setrvačnosti vzhledem k ose rotace). 212 Je-li ír moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose procházející těžištěm. T=2-nJ{lr*Md2)/Mgď. a) Dané hodnotě Todpovldají d, 2 »g72/8Ti2±y'g2 T4/64tt2 -tTIM. c) Uvedené hodnotě tf odpovídá T^ = 2jiJ2d/g- 21.3 Koeficient tuhosti pružiny je *= mg/A. Spojí-li se obě závaží, bude soustava kmitat kolem rovnovážné polohy dané protažením pružiny na délku D*2Ae periodou 7» 2n^2 A/g. Amplitudu určíme z počáteční podmínky dané tím, že pružina byla rozkmitána dopadem závaží m jako a - AlJŽ. Při kmitání vystoupí spojená závaží nejvýše o A - (y/2 -1) nad původní rovnovážnou polohu před dopadem druhého závaží. 21.4 a)2,17cm;b) SOcm-s"1. 21.5 Určíme-ll moment setrvačnosti a polohu těžiště kostry, dostaneme 7-2-nV(2/3+Tr)fl/2g • 1,38 s. 21.6 Označíme m = 20 g, m,-5g, m,-250. Tuhost pružiny je pak /r-36(m*m,) a výchylka d-(m,-m,) g/*-21,8 cm. 21.7 Je-li rychlost nárazu v, bude se po nárazu těžiště soustavy pohybovat rychlostí vT-vfS.V těžišťové soustavě bude dvojice částic, každá o hmotnosti M, spojených pružinou harmonicky kmitat proti sobě s periodou T=2njM/2k a amplitudou a =(v 2w0 bude mlt řešeni tvar x=e Y" [/*exp(- fyV/4 - ♦ Sexp^M - wjj. 23.4 A,B=— 2 yV/4-tj; 23.5 Komplexní napětí mezi body A a B je ÚL,.* -- lL. ^*'toC. 23.6 a) RffCH.= 1;b) Ufl. ^C0,(wf^). ,M.U»"*lu,**>. tg^Vo.RC. tg^-wUR. KAPITOLA 24 24.1 Rovnicem^»/cy=0;označlmeWm= yazvollmepočátečnlpodmlnkyx(0) =0, V(0) = v0.Aešen(x«—(1 -er% v-vBe~r'*v0-YX. 24.2 Rovnice —*-í-ty=0. U = U.e"RC. Ht RC 0 24.3 Rovnice <*yy=F0/m. Aešenlm dostaneme rychlost v=F0/my*Ce',",kteráseprovelkářbllžl F0/my. Pro počáteční podmínky x(0)=0, v(0)=0 najdeme řešeni x*F0(6r'- \ ♦y/)/my2. 24.4 a) U- UjCOsrf/^Tu; b) Jde o hustoty energie elektrického pole v kondenzátoru a magnetického pole v cívce a mění se jako 1/2 C(jfcos2[ř/vTq a 1/2 CUls\r?(lly[LČ) (jejich součet zůstává konstantní). 24.5 Podobně jako v úloze 24.4 najdeme U=(U0/R) vTČsin (t/jLČ), takže maximální napětí L/m„ = (UJR) >fLČ. 24.6 Původní perioda ro"2TT/íJ0"1 s, nová perioda po zavedeni útlumu y je r=2Tř/J/tdít-y2/4. Z udaných podmínek určíme y=0,1386 s1 «td0. a) Pohybová rovnice x*0,1386 /♦39.478X-0; b) T= 1,00006 s; c) za 20 period, za34 period; d) Aešenlm pohybové rovnice dostaneme maximální ztrátový výkon 1,1 W. 24.7 1. Aešenlm rovnice í+yV+wJx^F/m, kde dJ0-Jkím, najdeme a) x«(F0/mo^)[l -e"ľ"(coseuf*y/2eu)slnwf)],kde w-y/wJ-y*/4, y<2w0; b) x^p^moŕje'1"2slnwf. c) x=(F0/ym)[(1/eo0)sineo0ř-(1/íJ)e->"2sinwř]. 2. Při eo* =^t«4-y2/2 nastává rezonance s amplitudou F0/myw. KAPITOLA 25 25.1 V ustáleném režimu t/<ýtl = L/0*[t/2/(1 «R2C2(^2)][cos(jf*eoRCslneoř].Amplitudastřldavésložkyjepotlačena7,6krát. 25.2 Bez komentáře. 25.3 L/výst = -CflL/0eosineoř=Cfl(dL/„,/dř). 25.4 Například obvod z úlohy 25.2, v němž zaměníme vstup a výstup. 25.5 a) V průběhu první půlperiody kmitů máme X*aŕx=fg, kde w=Jk/m a řje koeficient třeni. Aešení vyhovující počátečním podmínkám je x=(A - fg/oŕ) cosut* fgloŕ. Během každé půlperiody klesne amplituda o 2fglvr. b) AiB*2fgnluř. 723 KAPITOLA 26 26.1 Vezmeme-ll za proměnnou veličinu vzdálenost bodu Kod zdi, můžeme vyjádřit celkovou dobu chůze jako funkci této vzdálenosti a najit její minimum. Odpovídá mu vzdálenost KC=27 m. Týž výsledek bychom dostali z představy, že se takto láme světelný paprsek podle zákona slna/sinj3-v,/v2, kde a:a/?jsou úhly dopadu a lomu na rozhraní a v,, v2 rychlosti pohybu po chodníku a po poli. 26.2 Je-li * úhel dopadu paprsku na destičku a /Júhel lomu, platia = /3 ♦ 30* a ze zákona lomu určime p - 38,26*. Potom boční posun PP" • 0,127 m. Doba průchodu vzroste asi o 16 •/.. 26.3 Pňrovname-ll dobu chodu paprsku procházejícího středem čočky a paprsku procházejícího okrajem čočky, dostaneme tloušťku čočky asi 20 mm. 26.4 Zobrazeni Je symetrické vzhledem k rovině zrcadla a postava stojící před zrcadlem se Jakoby otočí o 180*. 26.5 Dochází k dvojímu odrazu. 26.6 Princip se užívá např. pil měřeni vzdálenosti umělých družic nebo Měsíce odrazem laserového paprsku. 26.7 Dochází k úplnému vnitřnímu odrazu, žádný paprsek se neláme. Jev objevil J. Kepler a dnes se využívá např. v technice optických vláken. KAPITOLA 27 27.1 Všechny paprsky musl dorazit do ohniska za stejnou dobu jako osový paprsek. Umfstfme-I počátek soustavy souřadnic do vrcholu plochy a osu x ve směru optické osy, dostaneme rovnici plochy v rovině x, y ve tvaru n2y2 -2Fn (n -1 )x - (n2 -1 )x2. 27.2 Stěna kapiláry působ! jako tlustá válcová čočka a vyjádřeni ď pomoci d, Da nje poměrně komplikované. Pro d * D platí přibližně ď - din. 27.3 Plocha má tvar elipsoidu s ohnisky Pa P1. 27'.4 Jde o Keplerův dalekohled, zvětšeni Fit. 27.5 5 cm a 4,16 cm. V prvním případě je zvětšeni nekonečné, ve druhém přibližně 6 násobné. 27.6 Použijeme-ll dvakrát rovnici pro čočkové zobrazeni, dostaneme vzdálenost fotografické desky od rozptylky přibližně 25 cm. 27.7 Vzdálenost obrazu od ohniska při pozorováni Měsíce je 0,067 mm, při pozorováni družice 80 mm. 27.8 Využijeme-ll vlastnosti hlavních rovin (bod v hlavni rovině v určité vzdálenosti od osy se zobrazuje v druhé hlavni rovině v téže vzdálenosti od osy), dostaneme F*ff/{D-f -f), A ■= fD/(D-f-f), A' = fDI(D-f-f). KAPITOLA 28 28.1 a) |re'»V2Te-|»v2|-2rcos(í)/2) b) Z re1"* n-0 - rsln (A/?/2)/sln (p/2). KAPITOLA 29 29.1 Poměr amplitud pole vyzařovaného oběma anténami je AtIA^ • ')] Z exp 0nA^, kde <4 Je amplituda každého z dipólů, Ap=;rslnďfázovýpo8unmezisousedn(midlpoly, aňý' (rr/2)(1 -slni^fazovýposunmezidipólyvpivnladruhéřadě.Výslednálntenzita / - 2<42sln2Ap/sln2(/v'Ap)/sln2A?. 29.6 Označíme lineám! hustotu elektronů r. Potom pro R » L máme E-- (q, r/.aw2/4TTd a D-Fj/nAMťAA/cosq,; d) W - (wFjCOsflJ^cosíy. 30.4 a) Z podmínky maxima 2sln0-/nAMO\< (A/Je počet vrypů na 1 mm, m řád spektra) dostaneme 5-51,96'; b) A, = 375nm(m-7), At - 437,5nm(m = 6), A3 - 656nm(m-4); c) Možno použít typ mřížky uvažovaný v úloze 30.6; d) D = 11,2 mm (viz úlohu 30.3c); e) /t/(mW-103/)=0,7pm (/= 25 cm Je délka mřížky). 30.5 Nejde o rozlišení dvou spektrálních čar, ale o stanoveni maxima intenzity Jedné čáry. 30.6 a) Dopadající svazek se bude odrážet podle zákona odrazu světla; maximum intenzity nastane, budou-li paprsky odražené od sousedních stupínků ve fázi. Směr, v němž mřížka blyští, bude dán úhlem ů. pro nějž &■ 9„, dsin (mje řád spektra). Je-li AX interval vlnových délek viditelného světla, bude A 9-mAA/2 d cos 9t. 30.7 Amplituda vlny, která se v Interferometru odrazila in krát, je A„*TA0[R2exp(2n\D/Á)f". Sečteme-ll tyto amplitudy přes všechna n, dostaneme pro intenzitu procházejícího světla / > /„ T*/11 - R exp (4 rr I D/A) |2. KAPITOLA 31 31.1 Podle rovnice (31.19) pro w0 « u n-1-6,5-10"7. 3U n • 10" m 31.3 b)/«/0exp(-/Vqí2/ťj/nyeo). 31.4 a) Použijeme vyjádření Intenzity elektrického pole (29.1), hustotu toku energie S vystředujeme a zintegrujeme přes prostorový úhel. Výslednýzáňvývýkon P-q2urx^H2ns^)ci; b) yfl«2e2wí/3mcJ; c) LÁ'2ttcyKltif'q2IZiTmeaci • 10"6nm. KAPITOLA 32 r 32.1 Zářivý výkon oscilátoru za jednu periodu, P,'(2e2l3mc'T) J" (d'x/dr9) (d x/dl) d/, T-2nlw (srv. úlohu 31.4). o 322 Při průchodu jednotkovou plochou nekonečně malé tloušťky dx klesá Intenzita světla o d/ = -INodx, kde W je koncentrace rozptylových center a ajejich efektivní srážkový průřez rozptylu. Integrováním dokážeme výsledný vztah. 32.3 Použijeme rovnici 31.19. 32.4 Použijeme výsledky úloh 32.2 a 32.3; Index lomu vzduchu n - 0,999708. Stačí odhadnout tloušťku atmosférické vrstvy, kterou projde světlo v prvním a druhém případě. Dostaneme /(90*) » 0,78/g, /(10°)-0,24/0. 32.5 Charakter a polarizaci rentgenového zářeni můžeme studovat při Jeho průchodu vhodnými krystaly. 32.6 Za předpokladu, že hustota volných elektronů v uvažovaném prostoru je konstantní z podmínky oslabení slunečního světla rozptylem v K koruně dostaneme koncentraci elektronů A/„ • 10,2m"s. 32.7 Tzv. Impedance vakua 377 □. 32.8 Záleží na velikosti prachových částic. Jejich účinek bude největší, bude-ll rozměr částic srovnatelný s vlnovou délkou světla. Pak můžeme brát účinný průřez přibližně a • ttA2. Je-ll hmotnost částice rovna m, jejich koncentrace N a vzdálenost hvězdy r, platí Nffx-=ln 100. Odtud na Jednotku plochy bude připadat 3'10"6g/cm2 částic. 32.9 a) PoužiJemevýsledekúlohy29.6,odkud £r--(q,Wx£T|íi//4rr^f)c2)cos(íjr'» r<£ Ej2/12rr^ca. Dělíme-ll ho dopadajícím výkonem P^-e^cEl^, najdeme účinný průřez o-N2x*»rql E?/6it£c*EŠ. b) Jako cos2 9. 725 KAPITOLA 33 33.1 l-(l0s\rŕ29)/B. 332 /=■/. - (a* * e*) coss 9 ♦ a' e? sln2 9 * - (a2 ♦ «*) aesln 2 9 2 2 33.3 Bez komentáre. 33.4 Viz úlohu 29.4. V prvním případě je zářeni knihové polarizováno, v druhém lineárně polarizováno. 33.5 Z podmínky fázového posunu Ap>2Tr(n,-na)dopisuJezkrácenoucyKk>idu.Jejíro\mlcejezatárw ú1xláti-(ARcos9*Rt) c'l(A*Rcos9)'. 342 dsx/df2 = -(1 - vfl/xe)cJx/fl2(1 - vxIcRf. 34.3 Použijeme výsledek předechozl úlohy, kde x = R. Poměr intenzit bude /, //2 = 11 ♦ -j^j 1 ~ ~j • 34.4 Plyne z transformace úhlu, který vlnový vektor svírá s osou x, resp. x1 v nehybné a pohybující se vztažné soustavě. 34.5 Energie pohybujícího se elektronu Etíi.c2//! -vs/c2,kde m,c2 =0,511 MeV. Odtud určíme rychlost v. 34.6 Ze vztahu pro Dopplerův jev (34.12) v= 500 km/s. 34.7 600 nm. 34.8 Z aberace můžeme určit oběžnou rychlost Země v, odkud R= vT72n, T= 1 rok. 34.9 a) Obě sily Jsou nepřímo úměrné čtverci vzdálenosti od Slunce. b) Označlme-li intenzitu slunečního zářeni na zemské dráze P. bude sila radiačního tlaku na částice F, > Pcrr R2. Pfirovnáme-li JI gravitační síle, dostaneme R = ZPcrHQMs ■ 0,6 um (?je hustota částic ledu, Ms hmotnost Slunce, /-poloměr zemské dráhy). KAPITOLA 38 38.1 Podle (32.13) můžeme šířku spektrální čáry vyjádřit pomoci kvality O jako AÁ'2ncAL0/uŕ 'A/Q a dobu života atomu ve vybuzeném stavu A r=cyoi V kvantové fyzice energie a hybnost E-ňu, px-f)kx odkud A£AT=/)Aw AT- ň. Použljeme-ll vztahů Ax"CA7, Apx*flbkx, kde kx « 2 tt/A, dostaneme též AxAp, > ti. 382 Kombinací konstant A m,, eí-o,í/4rr^ (kde m, a o. Je hmotnost a náboj elektronu) dostaneme veličinu r,-A2/#»1,8* ■5,29-10'" m,l<,->M'-kon8t 39.2 Považujeme-ll proces huštěnf za adiabatícký a použijeme-li vztahy z úlohy 39.1, dostaneme T2 < T, (p2/p,)w'1|/ř -145%. 39.3 a) Plyn rozpínající se do vakua nekoná práci. Proto r=ro, V=2V0, P'P0/2. b) Plyn koná práci, proces Je adiabatJcký. Pro helium y = 5/3. Jsou-ll T0, V0, p0 parametry původního stavu, budou výsledné parametry 7> 0,629 T0, V-2 V0, p = 0,315 p0. 39.4 a) přírůstek tlaku při změně výšky o dři Je roven tíze vrstvičky tekutiny Jednotkového obsahu plochy áp-gg dh. b) Pro atmosférický vzduch dostaneme za použití Boyleova-Mariotteova zákona plg = konst známý barometrický vzorec p=pa exp (- konst ■ h); konstanta v exponentu konst -pg/RT-Q, glp^, kde p0 a jsou tlak a hustota vzduchu u povrchu Země. 39.5 a) Budeme řešit rovnici d 77d/) = -[(y-1)/y]roÉH,ff/p0, neboli dT/d/i - -//gíy-1)/fly s výsledkem T(h) -T0- [(y- 1)/ylToet)ghlp0■ TB- pg(y-^hlRy. Použijeme-li pro vzduch molámí hmotnost p» 0029 kg/mol a y= 1,40, dostaneme pokles teploty vzduchu na každý kilometr o 9,8 K/km. Skutečně naměřená hodnota v dolních vrstvách atmosféry Je asi 6,5 K/km, což odpovídá y* 1,25. 726 b) Je-ll amosféra v tepelná rovnováze (7= konst), pak podmínku mechanicko rovnováhy udává barometrický vzorec odvozený v úloze 39.4. Je-li v různých vrstvách atmosféry různá teplota, může dojit k nestabilito, vertikálnímu prouděni vzduchu. Máme určit, jak velký musf být gradient teploty, aby se rovnováha atmosféry narušila. Je možno uvažovat dva objemové elementy vzduchu jednotkové hmotnosti v různých výškách. Pokud si tyto elementy vymění místo a energie přitom poklesne, bude situace nestabilní (atmosféra se snaž! zaujmout stav s nejnižšl energii). Podmínku stability proto můžeme zapsat jako d Ulů h * pd V7d h > 0, kde U « p V7(y - 1) je vnitřní energie. Použljeme-ll dále stavovou rovnici Ideálního plynu a rovnici pro změnu tlaku s výškou z úlohy 39.4 a), dostaneme podmínku stability d 77d/» 2 -pg(y-1)/f?y. v, 39.6 W--|pdl/=p, V,ln(V,/Vj) • 105 J (indexy 1 a2 odpovídají počátečnímu a konečnému stavu). v, 39.7 Z rovnice adiabaty pÁ - 3,17 pj,, pB=2,64 p„. 39.8 S uvážením zákona adiabaty po zintegrování W- - j pd V-p0v0[2ft'~') - 1]/(y-1). Poměr pro oba plyny MyiVB = 1,13. 39.9 V konečném stavu bude platit p V, -A^kT",, pV2-N2kT2, kde Arje Boltzmannova konstanta a N, *N2*N celkový počet molekul kyslíku rovný W=p0(V, + V2)/kT0 (index 0 odpovídá počátečnímu stavu, indexy 1 a 2 konečnému stavu v obou nádobách). Z těchto vztahů dostaneme výsledný tlak p-PoT^v", ♦V2)/70[v2+(72/r1) v",]-1,11 p0, kde p„ je atmosférický tlak. 39.10 Podobně jako v úloze 39.9 určíme celkový počet molekul W - p0 v", / k T0, kde p0 je atmosférický tlak a T0 původní termodynamická teplota. Je-ll p,-p,-Aj udaný přetlak, máme ve výsledném stavu (pp + p2)V,-N,kT, p2V2 = {N - N,)kT. Odtud Pj-V, (paT-ppT0)l(V, + vyTo-O^Aj. 39.11 Z Avogadrova zákona určíme celkový počáteční počet molekul N20« rovný N. Po odpaření a dlsociacl bude celkový počet molekul v nádobě pWfcT, z toho 2»N molekul N02 a(1 - o) A/molekul N204, kde *je stupen disociace. Potom a ■ pVINkT-l - 13%. 39.12 Teplo dodané při stálém tlaku 0-5/2 f?(72 - 7,). Odtud T2 ■= 7, ♦ 2Q/5R-1740 K. Plyn vykonal práci IV- p, (V2 - V,) - R (72 - 7,) -2 0/5=3,32 W • h a jeho vnitřní energie je O 3/2 fl 72 - 21700 J. KAPITOLA 40 40.1 Jako přibližný odhad P-Fvk, kde vk*J3kT/m je střední kvadratická rychlost molekul. 402 Ležf-ll stěna v rovině y, z, pak za jednotku času na ni budou dopadat částice, jejichž vzdálenost od stěny je číselně menší nebo rovna v,, kde v„ je příslušná složka rychlosti. Protože částice mají Maxwellovo rozdělení, bude tento počet m J v,e'm,'nkT áv^n^vlA, kde n0 Je koncentrace částic a v střední aritmetická rychlost molekul rovna 2-nkT v.4ttÍ-Í2-]OT f v3e""*'"rdv. {2vkT) { Přejdeme-li ke kinetické energii částic 4 můžeme psát n=o.—| —2!—)" Ceodkr 2 J iď-1)^ 2 2 y 2 * , ♦ ^Q---^—. b)T= Tv-lv, c) F'AKv-v"). (Y--I)v) AI (y-1)/ 40.5 Označ(me-li p hmotnost paliva spotřebovávaného za sekundu a říjeno výhřevnost, pak účinnost vzduchového reaktivního motoru bude n - Fvlph, kde tažná síla Fbyla odvozena v úloze 40.4. Dosadíme-ll pro vzduch y= 9/7 a rychlost v= 800 km/h, dostaneme účinnost 17-12 •/.. Při malých rychlostech závisí účinnost pouze na rychlosti vztahem /} • (y -1) v2/c*. 40.6 y^-0.368. 40.7 Pro zemskou atmosféru je parametr />,-k7/mg-8,8km, v okolí Slunce />s = 113km. Udává přibližně výšku izotermické atmosféry. KAPITOLA 41 41.1 a) 7= 11 600 K, b) kT= 0,025 eV, c) X = 1 ,24 pm. 41.2 Jde o Stefanův-Bořtzmannův a Wienúv zákon. 727 41.3 Pro danou vlnovou délku určíme veličinu Aw//f=4,64-10* K. ňje Ptanckova konstanta a k Boltzmannova konstanta. Pak z Planckova zákona uvedeného v úloze 412 najdeme í,/^ • exp ■ e' KAPITOLA 42 42.1 1 e V/atom-96 520 J mol1. 1 Bez komentáre. Relativní chyba pH určení hustoty An/n-(0/f7)(AErE) bude pň BkT - 2,4 asi 7 %. PM teplotách menších než300*C se uplatní elektrony uvolněné atomy příměsí, pň vyšší teplotě se uvolňuji elektrony z atomů kfemlku (energie odpovídající šířce zakázaného pásu je 1,2 e V). 422 42.3 42.4 KAPÍTOLA43 43.1 Srovnejte řešení úlohy 1.1. Koncentrace molekul kyslíku fy-p/írT, odkud /=ícT/(npdí) »1,3-10'7 m. Střední doba života r-lív- //řřm78TŤ-2,4-10-10s. 432 Pravděpodobnost toho, že molekula projde bez srážky vzdálenost i. Je exp(- Ut). Z podmínky Wexp(- Ut) < 0,5 dostaneme L> 56 /. 43.3 Na jednu molekulu připadá vnitřní energie kTI(y- 1) (pro jednoatomový plyn y = 5/3, pro dvouatomový plyn y =7/5 a pro víceatomový plyn y= 4/3). Předpokládáme, že molekuly přilétají k ploše jednotkového obsahu nastavené kolmo ke gradientu teploty ze vzdálenosti / rovné střední volné dráze. Po vystfedovánf podle směrů dostaneme hustotu toku energie S»n0vfc[r(-/)-r(*ř)]/6(y-1)--[n0v/f//3(y-1)](dr/dx) = -jf(dr/dx),takže fy vm (y-1)-p Wc,y3, kde e)e hustota plynu a cv Je měmá tepelná kapacita plynu při stálém objemu. Koeficient 1/3 Jsme dostali odhadem při štrádování směrů rychlostí a autoři úlohy Je) nepovažuji za podstatný. 43.4 Postup analogický použitému při řešení úlohy 43.3 dá n = n0vml/3 = 0 je latentní teplo táni, A v, a A v2 měrné objemy kapaliny a pevné látky. Pro vodu A v2 > A v,. b) Integraci Clausiovy-Clapeyronovy rovnice dostaneme 7-Taexp[p(Af, -Av2)/i.]. Odhadneme-li tlak brusle na led Jako 104 Pa, Av2 - A v, =8-10 5 m3- kg"1, Z. =3,35' 105 J • kg ' a určime konstantu 7"0 za normálního tlaku a teploty, zjistíme, že exponenciální funkci můžeme aproximovat rozvojem do mocninné řady. Hledaná nejnižšl teplota leží jen nepatrně pod Celsiovou nulou (- -0,06°C). Za mrazivého počasí nebude led pod brusli tát. KAPITOLA 47 47.1 Rychlost zvuku ^^YP'0'^Y^T/M'^YT/p, kde p]e molárnl hmotnost plynu. Pro hélium y = 5/3, pro vodík y= 7/5, takže c,(H*)lc,{H£ =0.78. 47.2 Výška tónu je úměrná {f; hledaná teplota je 99°C. 47.3 Vzrostla by v poměru rychlosti zvuku, tj. 2,9krát (srovnej úlohu 47.1). 47.4 a) Označíme p' a p' proměnnou část hustoty a tlaku ve zvukové vlně. Potom ť>'»p'/c/ í 10"5kg-m *. b) Relativnízměnahustotypnvýchylce^ť''/ÉH)=-3y/ôx,takže/m-e'^ cje^u) » 2,5-10"7 m je srovnatelné se střední volnou dráhou. c) /-(l/^pXXmC, - 5.4-10-4W-m-2. 47.5 Natahujeme-li gumový pásek, bude frekvence jeho kmitů úměrná (1/Ĺ)/ŤŤr,kdeĹjedélka, Tnapětová sila a rlineáml hustota. Protože Tje úměmé L a rnepřlmo úměrné L, frekvence na Ĺ nezávisí. U struny se však mění pouze 7*. 47.6 Čy/dx2 = (r/ 7) Čyld t1, v = JŤTt. 47.7 Bez komentáře. KAPITOLA 48 48.1 Platí v^yfgXizU^yfglk, w v,k*<[gk, v9 - dw/dk-v,/2. Pro Á =1000 m, v,=39,5 m-s'. 482 v9 - (//4tt) (12 tro/gt? * g)ll * w2)y-w2x-0. 49.2 Pro normální mody je O, -w0, Oj •^♦td2*w2., pro O, Je A = B, pro Oj je A > -(/V"i) B. 1 #l 49.3 Dosadíme do rovnice Ař- — —— =0, kde A =&ldx2 ♦ tf/dy2 ♦ ^/áz2 Je Laplaceův operátor. v2 dt2 49.4 Nejmenšífrekvenceodpovldá/=/n=n=1 ajerovna w0»7»ot/6a.Nejnižšídalšífrekvencedostanemenásobením w01,12; 1,25; 1,29; 1,34; 1,48; 1,57; 1,65; 1,79; 1,86; 1,93 ... 729 49.5 Počáteční průběh struny sl můžeme představit Jako superpozici dvou stejných trojúhelníkových průběhů poloviční výšky, která se začnou pohybovat opačnými směry. Na koncích struny se odrážej! tak, že jejich výchylka mění znamení. KAPITOLA 50 50.1 a) Do uvedené řady dosadíme x= rd2, přičemž 1(ntZ) = 1. b) Vypočítáme integrál druhé mocniny uvedené řady a položíme j /2(x)dx«2Tr. c) Hledaný součet nekonečné řady vyjádříme jako E-|l ♦ JL*...j *i|i ♦ ! j .|i ♦ ! ♦ JL*...j ♦ !£. Z této rovnice vypočítáme E a použijeme výsledek b). 1 —„„ . .Lcoss*,...I. 25 ) 50.2 fli(x)"4--4r|cosx*-rcos3x 2 Tri 9 50.3 a) Vypočítáme integrál druhé mocniny uvedené řady a položíme f g2(x)dx>2Tr/3. o b) Hledaný součet nekonečné řady vyjádříme jako E/f1*±»±t...K±íia*±*...).íi*±*±*...u±E. { 34 54 J zH Z4 34 j { 3* 5* ) Z* Z této rovnice vypočítáme E a použijeme výsledek a). 50.4 Bez komentáře. sln2x . sln3x 50.5 ř(x) . 1 1 ( slnx f 2 ~ tt{ 1 ....). 50.6 a) V-4 f V„sinwrdr-—. b) aj--[V(r)cos2wídr=-^ f |slnw/)cos2wrdr=-^£ T J tt 7" j T j 3tt O 0 0 50.7 a) Je-li V„, = V0s\nut, dostaneme V^,-(V0 ♦ 3e t£/4)slnwt- (e l£/4)sln3w/. b) Je-li V„, = Aslnu, ř * Sslnoi,/. dostaneme - {A * 3eA3/4 ♦ 3eAS5/2)slneo, í ♦ ♦ (B ♦ 3eB'/4 ♦ 3eA2B/2)slneu2í - (eA3/4)sln3w, t - - (3e/t2S/4)sin(2