F6122 Základy fyziky pevných látek — seminář
elektrony v pevné látce
včetně řešení, verze 16. března 2020
1 Drudeho model volných elektronů 1
1.1 Mathiessenovo pravidlo ............................................... 1
1.2 Frekvenční závislost vodivosti volných elektronů v kovu v Drudeho modelu .................. 1
1.3 Optická odezva zlata v IR a VIS.......................................... 2
2 Sommerfeldův model volných elektronů 3
2.1 Betheho-Sommerfeldův rozvoj ........................................... 3
2.2 Tepelná kapacita v Sommerfeldově modelu za nízkých teplot........................... 4
2.3 Tepelná vodivost elektronového plynu....................................... 4
1   Drudeho model volných elektronů
1.1    Mathiessenovo pravidlo
Mějme kovový materiál, kde elektrony se mohou rozptylovat na příměsech s teplotně nezávislou relaxační dobou tv a také na tepelných kmitech mříže s relaxační dobou rt(T). Předpokládejme, že oba druhy rozptylu jsou vzájemně nezávislé. Jaká bude celková relaxační doba, teplotní závislost měrného elektrického odporu a měrné vodivosti?
Řešení Pravděpodobnosti rozptylu jsou nezávislé, tudíž je pravděpodobnost rozptylu za jednotku času rovna součtu poravděpodobností. Pravděpodobnost za čas dí je
dí     dí dí P(dí) = - = - + ——.
t Tp Tt(T)
Odtud cr
me ( 1 1 P = Pd + Pt(T) = —j--1--
rt(T)
1.2   Frekvenční závislost vodivosti volných elektronů v kovu v Drudeho modelu
V Drudeho modelu je pohyb elektronů popsán rovnicí
Najděte frekvenční závislost vodivosti. Řešení
*L + ľ = £ = la [-ese-**] at     t     m m
j = —nev = oE,
v (t) = v0t
V0(uj)
<j{uj) = —nevo/E =
er 1
■E,
ml— iujT ^0 c0
1 — IUJT        1 + UJ2T2
1 + lj2T2
kde a o =
Ne t
Alternativně: Řešení je podobné Lorentzovu modelu, s tím, že ujq = 0.
eM = 1 -
Ne2
1
eo?n uj2 + iuj/i
= 1 -
Ne2r
1
eo?n uj(í-\-ujt)
= 1 -
uj(í + ujt)
= 1 -
^0
1
EqUJ í + UJT
e(u) = 1
1 + UJ2T2
. u)2pt/u)
ll + uj2t2
^0
. CTq
1
6q 1 + U!2T2 6qU! 1 + U!2T2
kde (Tq
Ne
eQĽdpT je statická vodivost v Drudeho modelu. Pro komplexní vodivost dostaneme
u{ui) = —iujeo{e{uj) — 1) =
co0=0.0, y=0.1, (0p=1.0
^0
^0
1 — iu1t        1 + u12T2
. (JqUJT l\ + UJ2T2 '
to0=0.0, 7=0.1, o)p=1.0
2345 01234
Poznámky: ei(ujL) = 0, ujl = ^uj2p-\/t2 « ujp. cr(0) = cr0. (Ti(1/t) = (72(1/t) = cr0/2.
1
1.3   Optická odezva zlata v IR a VIS
Optická odezva zlata v IR a VIS oblasti se dá popsat Drudeho formulí
e(E) = ec
Ep
E (E + iT)
[eV],
kde = 3, E p = 57.2eV2 a T = 0.0602eV. Spočtěte reálnou část vodivosti, index lomu a hloubku průniku pro energie fotonu fiuj = 0.001, 0.01, 0.1, 1, 2 a 3eV.
ĹUpT j OJ
Rešení EP = 7.56 eV, e(w) =£„ - i+f^i 1 ^1+UJ2T2 ■
^,tdr = huj/T, cr0 = upřev a tedy cr0 = e0Ep/hT = 12.786 • 106 fi"1!
N =
ě1
K = \Hel + el^, d= Avac
Huj (eV)	A (/xm)	ei	é2	cti (106ÍT	^m-1)	N	K	d (/im)	R
0.001	1239.8	-15776	949904		12.78	683	694	0.142	0.997
0.01	123.98	-15356	92465		12.44	198	233	0.042	0.992
0.1	12.398	-4195	2527		3.401	18	67	0.0146	0.985
1.0	1.2398	-54	3.4		0.046	0.23	7.4	0.0134	0.983
2.0	0.6199	-11.3	0.43		0.0116	0.064	3.36	0.0147	0.979
3.0	0.4133	-3.35	0.127		0.0051	0.035	1.83	0.0179	0.968
2
2   Sommerfeldův model volných elektronů 2.1    Betheho Sommerfeldův rozvoj
Ukažte, že integrál J0°° H(E)fFB(E) dE je možné aproximovat rozvojem
ľ°° 7t2 7tt4
J    H{E)fFD{E)áE= J   H(E)dE + -(kBTfH'(ri + ^(kBTýH"'(ri + O
kBT
Pomůcka:
Řešení Máme nalézt rozvoj integrálu
dx-
1 12
1= f   H(E)fFD(E) dE ,    fFD(E) = -
Jo e kbt + 1
Prvním krokem bude úprava s využitím skokové funkce fo(E) = 6{n — E), která nabývá hodnoty 1 pro E < /i a 0 pro E > /i:
1=1   H(E)dE+ H(E)[fFD(E)-f0(E)]dE. Jo Jo
První integrál lze obvykle snadno spočítat, v druhém se vyskytuje funkce fFB(E) — fo(E), která má vyjádření
fFD(E)-f0(E)
kfíT    _|_ l
sgn(£ - /z)
e "b
a následující příznivé vlastnosti: je nezanedbatelná jen v malém okolí chemického potenciálu /i (několik kBT) a je lichá vůči jjl. Rozviňme funkci H(E) v okolí E = jjl do Taylorovy řady
n=0
n\ dE"
(E-»)n
Je-li funkce H(E) dostatečně hladká v okolí E = (i, budou koeficienty v této řadě rychle klesat sna postačí tak vzít jen několik prvních členů. Po dosazení a prodloužení integračního oboru na (—oo,+oo), které způsobí zanedbatelnou chybu (kBT <C /i), dostaneme
1=      H(E)dE/ (E-u)n\JFD(E)-ME)]dE
Jo n=Q n- M J-co
Cleny se sudým n vypadnou, protože integrujeme lichou funkci fFB(E) — fo(E) se sudou funkcí (E — /i)™ na symetrickém intervalu. Ve zbývajících členech zavedeme substituci
E-fj,
a využijeme sudosti integrandů
1 d2'+1H
roo 2j+l
i
Omezíme-li se pouze na první dva opravné členy, máme
I « /   H{E)dE + {kBTfH'{l,)2 /    ——dx + (kBTýH'"(ri-Jo Jo   e +1 3 Jo
= £ H(E) dE + ?l(kBTfH'(n) + 7^(kBTýH'"(n) .
■ dx
3
2.2   Tepelná kapacita v Sommerfeldově modelu za nízkých teplot
Experimentálně zjištěná tepelná kapacita kovů pro nízké teploty splňuje vztah
Vmo\
Vypočtěte koeficient 7 následujících kovů a srovnejte s tabulkovou hodnotou.
	a [A]	7 [mJ/niol.K]
Cu	3,61	0,695
Ag	4,09	0,646
Au	4,08	0,729
Předpokládejte jeden vodivostní elektron na atom. Všechny tyto kovy mají strukturu kubickou plošně centrovanou (fcc). Pomůcka: {j^)2^ ^^fr^ = 3.848 x 1015 Jmol^K^m-2.
Řešení Tepelná kapacita na jednotku objemu elektronového plynu v Sommerfeldově modelu je rovna cy = ^nkBYj; = 25"n^s"^' za Fermiho energii dosadíme Ep = \^ a za Fermiho vlnový vektor kp = \^3Ťř^n, kde n je koncentrace elektronů n =     pro kubickou plošně centrovanou mřížku a jeden volný elektron na atom. Tepelná
kapacita na mol látky je rovna cy = Ak2B-j^- Dosazením dostaneme cy = (y^)2^3 k r^Aa2 pro tepelnou kapacitu na jeden mol látky. Dosazením snadno porovnáte teoretické a experimentální hodnoty.
2.3   Tepelná vodivost elektronového plynu
Tok tepelné energie v materiálu, kde předpokládáme tepelný gradient ve směru osy z, je dán vztahem
^=3^ď?
kde l je střední volná dráha, (v) střední driftová rychlost a m je hustota vnitřní energie. Gradient ^ můžeme napsat ve tvaru
du     du dT dT
dz
dT dz      V dz
kde cy je tepelná kapacita elektronového plynu. Dosaďte do předchozích vztahů vztahy získané pro elektronový plyn a odvoďte Wiedemannův-Franzův zákon
oT
2,45 x ÍO^WSIKT2.
Výsledek porovnejte s tabulkovými hodnotami pro reálné kovy.
kov	L (10-8Wíldeg-2)		kov	L (10~8Wíldeg-2)	
	při 0°C	při 100°C		při 0°C	při 100°C
Ag	2.31	2.37	Pb	2.47	2.56
Au	2.35	2.40	Pt	2.51	2.60
Cd	2.42	2.43	Sn	2.52	2.49
Cu	2.23	2.33	W	3.04	3.20
Mo	2.61	2.79	Zn	2.31	2.33
Řešeni cy = ynKs^- = ^nkB-^-
MeE
mil*    ' ±
l/2mvF.
1^   ,     ti2 nk2t    ,     x tt2nk2tt
A = -Cvvl = —^^vp(vFr) =--2—.
3 3  míJp óm