Příklady pro distanční zkoušku ze Statistické fyziky a termodynamiky
1. Uvažujte plyn kvantových relativistických částic s klidovou hmotností m v třírozměrném prostoru, pro které platí vztah mezi energií a hybností ve tvaru E = \/m2cÁ + p2c2. Vztahy počítejte jak pro fermiony, tak pro bosony.
(a) Spočtěte hustotu stavů jako funkci energie. Jakou minimální energii mohou částice mít? Objevuje se v případě bosonového plynu při nízkých teplotách Boseho-Einsteinova kondenzace?
(b) Spočtěte integrál z hustoty stavů a s jeho pomocí vyjádřete velký kanonický potenciál. Spočtěte počet částic, entropii a tlak plynu.
(c) Ukažte, že pokud jsou kvantové efekty zanedbatelné a částice se pohybují rychlostmi podstatně nižšími než rychlost světla, má stavová rovnice tvar stavové rovnice klasického ideálního plynu.
(d) Spočtěte Fermiho hybnost a Fermiho energii. Pro případ plynu fermionů ukažte, že v limitě T —>■ 0 lze stavovou rovnici napsat ve tvaru p ~ p5/3 pro případ fermionů pohybujících se rychlostí podstatně nižší než rychlost světla a p ~ p4/3 pro případ fermionů pohybujících se rychlostí blízkou rychlosti světla (p je hustota).
2. Matice hustoty harmonického oscilátoru s hamiltoniánem
H=— f 2m
1
2 ~ 2
nitu x
má v souřadnicové reprezentaci tvar
p(x, x , T) =
muj        ( hoj
^tanH^,exp
2frsinh (ff
2 /2 \        i   / ŤlíO i j
x + x  ) cosh I       | — 2xx
(a) Spočtěte střední hodnotu energie E = (H).
(b) Ukažte, že pro T —> oo platí pro střední hodnotu energie ekvipartiční teorém.