Přednáška se zapomenutým názvem Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Brno, 25.04. 2019 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Inspirace Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Inspirace Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Motto (podle L. Wapnera) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Motto (podle L. Wapnera) Studentova tichá modlitba: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Motto (podle L. Wapnera) Studentova tichá modlitba: Milý Bože, kdyby mi zbývala už jen jediná hodina života, dej, ať ji mohu strávit na přednášce z teorie míry. Pak mi bude tato hodina připadat jako věčnost. (student, jenž si nepřál být jmenován) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Začneme s jednotkovou koulí v 3D Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Začneme s jednotkovou koulí v 3D Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Věta Stefana Banacha a Alfreda Tarského (1924) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Věta Stefana Banacha a Alfreda Tarského (1924) Jednotkovou kouli v 3D lze rozložit na sjednocení konečně mnoha podmnožin a z nich potom složit dvě koule, obě identické s původní koulí. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Věta Stefana Banacha a Alfreda Tarského (1924) Jednotkovou kouli v 3D lze rozložit na sjednocení konečně mnoha podmnožin a z nich potom složit dvě koule, obě identické s původní koulí. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Ty následky . . . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Ty následky . . . Důsledek. Hrášek a sluníčko jsou po částech kongruentní. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Ty následky . . . Důsledek. Hrášek a sluníčko jsou po částech kongruentní. Přesněji: množinu velikosti hrášku je možné rozložit na konečně mnoho kousků, a z nich potom sestavit množinu velikosti sluníčka. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Ty následky . . . Důsledek. Hrášek a sluníčko jsou po částech kongruentní. Přesněji: množinu velikosti hrášku je možné rozložit na konečně mnoho kousků, a z nich potom sestavit množinu velikosti sluníčka. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem FAQ Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem FAQ Opravdu umějí matematikové zdvojnásobovat objem? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem FAQ Opravdu umějí matematikové zdvojnásobovat objem? Jak se to prakticky provádí? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem FAQ Opravdu umějí matematikové zdvojnásobovat objem? Jak se to prakticky provádí? Nemělo by se to zakázat? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem FAQ Opravdu umějí matematikové zdvojnásobovat objem? Jak se to prakticky provádí? Nemělo by se to zakázat? Kdo za to může? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrana matematikova Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrana matematikova My nejsme fyzikové ani inženýři, my jsme matematikové. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrana matematikova My nejsme fyzikové ani inženýři, my jsme matematikové. Matematika je deduktivní formalizovaný systém, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrana matematikova My nejsme fyzikové ani inženýři, my jsme matematikové. Matematika je deduktivní formalizovaný systém, tudíž musí někde začít. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrana matematikova My nejsme fyzikové ani inženýři, my jsme matematikové. Matematika je deduktivní formalizovaný systém, tudíž musí někde začít. Veškerá matematická tvrzení jsou vyvozována z axiomů, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrana matematikova My nejsme fyzikové ani inženýři, my jsme matematikové. Matematika je deduktivní formalizovaný systém, tudíž musí někde začít. Veškerá matematická tvrzení jsou vyvozována z axiomů, a to nevyhnutelně vede ke vzniku paradoxů. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Chvála konečnosti Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Chvála konečnosti Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hlavní postavy příběhu: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hlavní postavy příběhu: Stefan Banach (1892-1945) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hlavní postavy příběhu: Stefan Banach (1892-1945) Alfred Tarski (1901-1983) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Publikace věty: 1924 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Publikace věty: 1924 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Publikace věty: 1924 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kam to může dotáhnout matematik? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kam to může dotáhnout matematik? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kam to může dotáhnout matematik? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kam to může dotáhnout matematik? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Tak kdo může za ten paradox? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Tak kdo může za ten paradox? existence neměřitelných množin Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Tak kdo může za ten paradox? existence neměřitelných množin axiom výběru Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Tak kdo může za ten paradox? existence neměřitelných množin axiom výběru zásady práce s nekonečnými množinami Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Georg Cantor (1845–1918) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Georg Cantor (1845–1918) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Cantor a nekonečno Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Cantor a nekonečno Cantorův objev: kardinalita množiny Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Cantor a nekonečno Cantorův objev: kardinalita množiny U konečných množin je to počet prvků. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Cantor a nekonečno Cantorův objev: kardinalita množiny U konečných množin je to počet prvků. U nekonečných množin . . . ? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Cantor a nekonečno Cantorův objev: kardinalita množiny U konečných množin je to počet prvků. U nekonečných množin . . . ? Množina A má kardinalitu menší než nebo stejnou jako B, jestliže existuje prosté zobrazení z A do B. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Cantor a nekonečno Cantorův objev: kardinalita množiny U konečných množin je to počet prvků. U nekonečných množin . . . ? Množina A má kardinalitu menší než nebo stejnou jako B, jestliže existuje prosté zobrazení z A do B. Množiny jsou ekvivalentní, jestliže mezi nimi existuje bijekce. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí práce s nekonečnem Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí práce s nekonečnem Máme více kostiček než koleček. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí práce s nekonečnem Máme více kostiček než koleček. Máme více kostiček než koleček? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí práce s nekonečnem Máme více kostiček než koleček. Máme více kostiček než koleček? Nemáme! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem První Cantorův šok Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem První Cantorův šok Množina může být ekvivalentní své vlastní podmnožině! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem První Cantorův šok Množina může být ekvivalentní své vlastní podmnožině! Příklad: přirozená čísla a sudá čísla. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem První Cantorův šok Množina může být ekvivalentní své vlastní podmnožině! Příklad: přirozená čísla a sudá čísla. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Co je to nekonečná množina? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Co je to nekonečná množina? DEFINICE: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Co je to nekonečná množina? DEFINICE: Množina je nekonečná, pokud existuje prosté zobrazení této množiny na některou její vlastní podmnožinu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Spočetné množiny Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Spočetné množiny Množiny, mající nejvýše tolik prvků jako N, nazýváme spočetné. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Druhý Cantorův šok Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Druhý Cantorův šok Racionálních čísel není více, než přirozených! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Druhý Cantorův šok Racionálních čísel není více, než přirozených! Racionální čísla jsou spočetná. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Druhý Cantorův šok Racionálních čísel není více, než přirozených! Racionální čísla jsou spočetná. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Třetí Cantorův šok Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Třetí Cantorův šok Reálných čísel je podstatně více než přirozených! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Třetí Cantorův šok Reálných čísel je podstatně více než přirozených! Reálná čísla jsou nespočetná. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Třetí Cantorův šok Reálných čísel je podstatně více než přirozených! Reálná čísla jsou nespočetná. To vyplývá z diagonalizační metody, kterou Cantor vyvinul. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Tvrzení. Interval (0, 1) je nespočetná množina. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Tvrzení. Interval (0, 1) je nespočetná množina. Důkaz. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A tedy . . . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A tedy . . . . . . existuje více druhů nekonečen! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A tedy . . . . . . existuje více druhů nekonečen! Cantor dokázal existenci hierarchie nekonečen. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A tedy . . . . . . existuje více druhů nekonečen! Cantor dokázal existenci hierarchie nekonečen. ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < . . . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A tedy . . . . . . existuje více druhů nekonečen! Cantor dokázal existenci hierarchie nekonečen. ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < . . . Hypotéza kontinua: c = 2ℵ0 = ℵ1? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A tedy . . . . . . existuje více druhů nekonečen! Cantor dokázal existenci hierarchie nekonečen. ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < . . . Hypotéza kontinua: c = 2ℵ0 = ℵ1? Cantor věřil, že ano, ale nedokázal to. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A k tomu jeden citát ... Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A k tomu jeden citát ... . . . odhaduji, že důkaz hypotézy kontinua Vám pošlu asi tak za čtrnáct dní . . . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A k tomu jeden citát ... . . . odhaduji, že důkaz hypotézy kontinua Vám pošlu asi tak za čtrnáct dní . . . (z dopisu G. Cantora G. Mittag-Lefflerovi, 1882) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův seznam Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův seznam David Hilbert (Paříž 1900): 23 nejdůležitějších neřešených matematických problémů. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův seznam David Hilbert (Paříž 1900): 23 nejdůležitějších neřešených matematických problémů. První místo na seznamu: hypotéza kontinua. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiomy teorie množin Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiomy teorie množin Cantor, Zermelo, Fränkel (1908) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiomy teorie množin Cantor, Zermelo, Fränkel (1908) 1) axiom existence množiny 2) axiom extenzionality 3) axiom vydělení 4) axiom dvojice 5) axiom sumy 6) axiom potence 7) axiom nahrazení 8) axiom nekonečna 9) axiom výběru Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pozor, na seznamu je ukryt škodič! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pozor, na seznamu je ukryt škodič! S jedním z axiomů budou problémy. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pozor, na seznamu je ukryt škodič! S jedním z axiomů budou problémy. Který to je? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pozor, na seznamu je ukryt škodič! S jedním z axiomů budou problémy. Který to je? 1) axiom existence množiny 2) axiom extenzionality 3) axiom vydělení 4) axiom dvojice 5) axiom sumy 6) axiom potence 7) axiom nahrazení 8) axiom nekonečna 9) axiom výběru Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiom výběru Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiom výběru Axiom výběru: Pro libovolný soubor množin existuje výběrová množina, která obsahuje po jednom prvku z každé množiny v daném souboru. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiom výběru Axiom výběru: Pro libovolný soubor množin existuje výběrová množina, která obsahuje po jednom prvku z každé množiny v daném souboru. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiom výběru v praxi Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiom výběru v praxi Pro konečný počet množin je to snadné. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiom výběru v praxi Pro konečný počet množin je to snadné. Pro nekonečné soubory množin začínají problémy. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiom výběru v praxi Pro konečný počet množin je to snadné. Pro nekonečné soubory množin začínají problémy. Příklad Bertranda Russella: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiom výběru v praxi Pro konečný počet množin je to snadné. Pro nekonečné soubory množin začínají problémy. Příklad Bertranda Russella: • nekonečná množina párů bot Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiom výběru v praxi Pro konečný počet množin je to snadné. Pro nekonečné soubory množin začínají problémy. Příklad Bertranda Russella: • nekonečná množina párů bot • nekonečná množina párů ponožek Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kurt Gödel (1906-1978) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kurt Gödel (1906-1978) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kurt Gödel (1906-1978) Kurt Gödel v roce 1931 dokázal existenci tzv. nerozhodnutelných tvrzení. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiom výběru – konzistence a nezávislost Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiom výběru – konzistence a nezávislost Kurt Gödel 1940: Axiom výběru ani hypotézu kontinua nelze vyvrátit (jsou konzistetní s ostatními axiomy). Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Axiom výběru – konzistence a nezávislost Kurt Gödel 1940: Axiom výběru ani hypotézu kontinua nelze vyvrátit (jsou konzistetní s ostatními axiomy). Snažil se dokázat jejich nezávislost, ale neúspěšně. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paul Cohen (1934-2007) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paul Cohen (1934-2007) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paul Cohen (1934-2007) dokázal (1965) nezávislost axiomu výběru i hypotézy kontinua. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí elementární aritmetiky Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí elementární aritmetiky Vy nejste jen záporná veličina, vy jste záporná veličina na druhou! (Josef Vissarionovič Stalin) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí diferenciálního počtu Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí diferenciálního počtu Rychlost růstu inflace se zpomaluje. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí diferenciálního počtu Rychlost růstu inflace se zpomaluje. (Richard Nixon) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí práce s kvantifikátorem Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí práce s kvantifikátorem Písňový text: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí práce s kvantifikátorem Písňový text: Vyždímejte kapesníky a nebuďte smutní, každá holka pro někoho má sluch absolutní! (Karel Plíhal) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí manipulace s fyzikálními jednotkami Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí manipulace s fyzikálními jednotkami Ještě jeden písňový text: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí manipulace s fyzikálními jednotkami Ještě jeden písňový text: Ten okamžik trval snad celý světelný rok . . . (Zdeněk Rytíř) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí manipulace s fyzikálními jednotkami Ještě jeden písňový text: Ten okamžik trval snad celý světelný rok . . . (Zdeněk Rytíř) PRO SROVNÁNÍ: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí manipulace s fyzikálními jednotkami Ještě jeden písňový text: Ten okamžik trval snad celý světelný rok . . . (Zdeněk Rytíř) PRO SROVNÁNÍ: Dnes ráno jsem uběhl patnáct kilogramů. (Luboš Pick) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí manipulace se zlomky Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Úskalí manipulace se zlomky Z té třetiny, co přišla k volbám, mě volila polovina, takže mám důvěru většiny obyvatelstva. (Miloš Zeman) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Co je matematický paradox? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Definice? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Definice? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Definice? Paradox je pravda, která stojí na hlavě, aby upoutala pozornost. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Definice? Paradox je pravda, která stojí na hlavě, aby upoutala pozornost. (Nicholas Falletta, 1983) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Inspirace Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Inspirace Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Inspirace Ian Stewart: je Richardův paradox opravdu paradoxem? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jules Richard (1862–1956) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jules Richard (1862–1956) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox Některé slovní útvary a věty v češtině definují nějaké číslo, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox Některé slovní útvary a věty v češtině definují nějaké číslo, zatímco jiné nikoli. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox Některé slovní útvary a věty v češtině definují nějaké číslo, zatímco jiné nikoli. Například výraz výška nejvýše položeného místa České republiky v metrech definuje číslo Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox Některé slovní útvary a věty v češtině definují nějaké číslo, zatímco jiné nikoli. Například výraz výška nejvýše položeného místa České republiky v metrech definuje číslo 1638. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox Některé slovní útvary a věty v češtině definují nějaké číslo, zatímco jiné nikoli. Například výraz výška nejvýše položeného místa České republiky v metrech definuje číslo 1638. Naopak, výraz nejvýše položené místo České republiky Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox Některé slovní útvary a věty v češtině definují nějaké číslo, zatímco jiné nikoli. Například výraz výška nejvýše položeného místa České republiky v metrech definuje číslo 1638. Naopak, výraz nejvýše položené místo České republiky žádné číslo nedefinuje. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox - pokračování Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox - pokračování OTÁZKA: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox - pokračování OTÁZKA: Které číslo definuje následující slovní spojení? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox - pokračování OTÁZKA: Které číslo definuje následující slovní spojení? “Nejmenší přirozené číslo, které není možné žádným způsobem definovat pomocí českého slovního útvaru obsahujícího počet slov menší než dvacet.” Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox - pokračování OTÁZKA: Které číslo definuje následující slovní spojení? “Nejmenší přirozené číslo, které není možné žádným způsobem definovat pomocí českého slovního útvaru obsahujícího počet slov menší než dvacet.” ODPOVĚĎ: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Richardův paradox - pokračování OTÁZKA: Které číslo definuje následující slovní spojení? “Nejmenší přirozené číslo, které není možné žádným způsobem definovat pomocí českého slovního útvaru obsahujícího počet slov menší než dvacet.” ODPOVĚĎ: Ať je toto číslo jakékoli, právě jsme jej definovali pomocí českého slovního útvaru o pouhých devatenácti slovech. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pozorování Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pozorování Podobné paradoxy nevyhnutelně vznikají v každé formalisované teorii umožňující reference na svou vlastní syntaxi. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je-li něco divné, ještě to nemusí být paradox Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je-li něco divné, ještě to nemusí být paradox Posuďme následující výpočet: −1 = (−1)3 = (−1) 6 2 = (−1)6 = √ 1 = 1 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je-li něco divné, ještě to nemusí být paradox Posuďme následující výpočet: −1 = (−1)3 = (−1) 6 2 = (−1)6 = √ 1 = 1 Úloha: rozhodněte, která z uvedených pěti rovností je nesprávná. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kategorisace matematických paradoxů podle L. Wapnera Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kategorisace matematických paradoxů podle L. Wapnera Existují tři typy paradoxů: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kategorisace matematických paradoxů podle L. Wapnera Existují tři typy paradoxů: paradoxy typu 1: tvrzení vypadá absurdně, ale platí; Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kategorisace matematických paradoxů podle L. Wapnera Existují tři typy paradoxů: paradoxy typu 1: tvrzení vypadá absurdně, ale platí; paradoxy typu 2: tvrzení vypadá věrohodně, ale neplatí; Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kategorisace matematických paradoxů podle L. Wapnera Existují tři typy paradoxů: paradoxy typu 1: tvrzení vypadá absurdně, ale platí; paradoxy typu 2: tvrzení vypadá věrohodně, ale neplatí; (obvykle jde o nějaký švindl) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kategorisace matematických paradoxů podle L. Wapnera Existují tři typy paradoxů: paradoxy typu 1: tvrzení vypadá absurdně, ale platí; paradoxy typu 2: tvrzení vypadá věrohodně, ale neplatí; (obvykle jde o nějaký švindl) paradoxy typu 3 (antinomy): výroky vedoucí ke sporným důsledkům Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradoxy typu 3 (antinomy - logické paradoxy) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradoxy typu 3 (antinomy - logické paradoxy) Russellův paradox (1901): Definujeme množinu všech množin, které nejsou samy sobě svým prvkem. Je tato množina svým vlastním prvkem? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradoxy typu 3 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradoxy typu 3 Russellův paradox je založen na samovztažnosti. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradoxy typu 3 Russellův paradox je založen na samovztažnosti. Ta se objevuje i jinde, například ve fyzice, informatice a humanitních vědách, ale také v hudbě a výtvarném umění. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Samovztažnost v umění Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Samovztažnost v umění Escher: Print Gallery Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Samovztažnost v reklamě Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Samovztažnost v reklamě hotelový billboard u silnice v U.S.A. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradoxy typu 2 (švindly) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradoxy typu 2 (švindly) Sam Loyd. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradoxy typu 2 (švindly) Sam Loyd. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem The Vanishing Astronaut Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem The Vanishing Astronaut Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem W.A. Elliott Company (Toronto): The Vanishing Leprechaun Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem W.A. Elliott Company (Toronto): The Vanishing Leprechaun Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem W.A. Elliott Company (Toronto): The Vanishing Leprechaun Máme patnáct pidižvíků. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Zmizelý pidižvík Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Zmizelý pidižvík Po záměně horních dílů jich je jen 14. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Zmizelý pidižvík Po záměně horních dílů jich je jen 14. Kam zmizel patnáctý pidižvík? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak se obohatit pomocí matematiky Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak se obohatit pomocí matematiky Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Fígl se čtvercem Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Fígl se čtvercem Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Fígl se čtvercem a jeho vysvětlení: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Fígl se čtvercem a jeho vysvětlení: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Něco podobného se šachovnicí Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Něco podobného se šachovnicí Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Trojúhelník Mylese Curryho Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Trojúhelník Mylese Curryho Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Králík Mylese Curryho Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Králík Mylese Curryho Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradoxy typu 1 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradoxy typu 1 Braessův paradox: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradoxy typu 1 Braessův paradox: Rozšíření sítě může snížit její průchodnost. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Dietrich Braess (*1938) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Dietrich Braess (*1938) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Fyzikální model Braessova paradoxu podle Joela Cohena Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Fyzikální model Braessova paradoxu podle Joela Cohena Klesne závaží? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Fyzikální model Braessova paradoxu podle Joela Cohena Klesne závaží? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Opak je pravdou! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem “Simpsonův” paradox Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem “Simpsonův” paradox Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem “Simpsonův” paradox Jak je to doopravdy s tím druhým řádkem? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem “Simpsonův” paradox Jak je to doopravdy s tím druhým řádkem? 398712 + 436512 = 4472, 000000007057617187512 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Simpsonův paradox - teď už doopravdy Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Simpsonův paradox - teď už doopravdy Posuzujeme efektivnost dvou druhů léku proti zákeřné chorobě. Máme k dispozici data aplikace léků na 245 pacientů, z toho 200 mužů a 45 žen. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem muži PŘEŽIJE NEPŘEŽIJE PŘEŽIJE NEPŘEŽIJE 80 (80%) 20 (20%) 78 (78%) 22 (22%) ženy PŘEŽIJE NEPŘEŽIJE PŘEŽIJE NEPŘEŽIJE 20 (50%) 20 (50%) 2 (40%) 3 (60%) celkem PŘEŽIJE NEPŘEŽIJE PŘEŽIJE NEPŘEŽIJE 100 (71,4%) 40 (28,6%) 80 (76,2%) 25 (23,8%) červené pilulky žluté pilulky červené pilulky žluté pilulky červené pilulky žluté pilulky Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Simpsonův paradox ve škole Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Simpsonův paradox ve škole Zadání: Kdo je lepší? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Simpsonův paradox ve škole Zadání: Kdo je lepší? student Premiant Zhulenec 1. písemka 30% 25% 2. písemka 100% 75% Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Simpsonův paradox ve škole Zadání: Kdo je lepší? student Premiant Zhulenec 1. písemka 30% 25% 2. písemka 100% 75% Jenomže, co když ... Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Simpsonův paradox ve škole Zadání: Kdo je lepší? student Premiant Zhulenec 1. písemka 30% 25% 2. písemka 100% 75% Jenomže, co když ... student Premiant Zhulenec 1. písemka 3 správně z 10 1 správně ze 4 2. písemka 2 správně ze 2 6 správně z 8 Celkem 5 správně ze 12 7 správně z 12 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Simpsonův paradox ve škole Zadání: Kdo je lepší? student Premiant Zhulenec 1. písemka 30% 25% 2. písemka 100% 75% Jenomže, co když ... student Premiant Zhulenec 1. písemka 3 správně z 10 1 správně ze 4 2. písemka 2 správně ze 2 6 správně z 8 Celkem 5 správně ze 12 7 správně z 12 Takže, kdo je lepší? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Monty Hall aneb jak přeskočit kozu? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Monty Hall aneb jak přeskočit kozu? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Monty Hall aneb jak přeskočit kozu? Monty Hall (1921–2017) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Montyho paradox Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Montyho paradox za jedněmi ze tří dveří je hlavní cena Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Montyho paradox za jedněmi ze tří dveří je hlavní cena soutěžící zvolí jedny dveře Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Montyho paradox za jedněmi ze tří dveří je hlavní cena soutěžící zvolí jedny dveře moderátor otevře jiné dveře, za nimiž je cena útěchy Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Montyho paradox za jedněmi ze tří dveří je hlavní cena soutěžící zvolí jedny dveře moderátor otevře jiné dveře, za nimiž je cena útěchy soutěžící má možnost svou volbu změnit Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Montyho paradox za jedněmi ze tří dveří je hlavní cena soutěžící zvolí jedny dveře moderátor otevře jiné dveře, za nimiž je cena útěchy soutěžící má možnost svou volbu změnit Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Montyho paradox za jedněmi ze tří dveří je hlavní cena soutěžící zvolí jedny dveře moderátor otevře jiné dveře, za nimiž je cena útěchy soutěžící má možnost svou volbu změnit Otázka: Má soutěžící měnit? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Montyho paradox za jedněmi ze tří dveří je hlavní cena soutěžící zvolí jedny dveře moderátor otevře jiné dveře, za nimiž je cena útěchy soutěžící má možnost svou volbu změnit Otázka: Má soutěžící měnit? ODPOVĚĎ: ANO Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Montyho paradox za jedněmi ze tří dveří je hlavní cena soutěžící zvolí jedny dveře moderátor otevře jiné dveře, za nimiž je cena útěchy soutěžící má možnost svou volbu změnit Otázka: Má soutěžící měnit? ODPOVĚĎ: ANO (jeho šance na výhru hlavní ceny se tím zdvojnásobí (!)) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Aniččin paradox? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Aniččin paradox? Úloha 1: Rodina má dvě děti, z nichž jedno je dcera. Jaká je pravděpodobnost, že tato rodina má dvě dcery? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Aniččin paradox? Úloha 1: Rodina má dvě děti, z nichž jedno je dcera. Jaká je pravděpodobnost, že tato rodina má dvě dcery? Úloha 2: Rodina má dvě děti, z nichž jedno je Anička. Jaká je pravděpodobnost, že tato rodina má dvě dcery? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Aniččin paradox? Úloha 1: Rodina má dvě děti, z nichž jedno je dcera. Jaká je pravděpodobnost, že tato rodina má dvě dcery? Úloha 2: Rodina má dvě děti, z nichž jedno je Anička. Jaká je pravděpodobnost, že tato rodina má dvě dcery? OTÁZKA: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Aniččin paradox? Úloha 1: Rodina má dvě děti, z nichž jedno je dcera. Jaká je pravděpodobnost, že tato rodina má dvě dcery? Úloha 2: Rodina má dvě děti, z nichž jedno je Anička. Jaká je pravděpodobnost, že tato rodina má dvě dcery? OTÁZKA: Jsou řešení úloh 1 a 2 stejná? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Aniččin paradox? Úloha 1: Rodina má dvě děti, z nichž jedno je dcera. Jaká je pravděpodobnost, že tato rodina má dvě dcery? Úloha 2: Rodina má dvě děti, z nichž jedno je Anička. Jaká je pravděpodobnost, že tato rodina má dvě dcery? OTÁZKA: Jsou řešení úloh 1 a 2 stejná? ODPOVĚĎ: NE Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Aniččin paradox? Úloha 1: Rodina má dvě děti, z nichž jedno je dcera. Jaká je pravděpodobnost, že tato rodina má dvě dcery? Úloha 2: Rodina má dvě děti, z nichž jedno je Anička. Jaká je pravděpodobnost, že tato rodina má dvě dcery? OTÁZKA: Jsou řešení úloh 1 a 2 stejná? ODPOVĚĎ: NE (!) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Podvodníkův paradox Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Podvodníkův paradox Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Podvodníkův paradox Simon Newcombe (1835–1909) Frank Benford (1883–1948) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Umíme správně podvádět? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Umíme správně podvádět? OTÁZKA: Jaká je pravděpodobnost, že ve velkém souboru náhodných dat bude určité číslo začínat jedničkou? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Umíme správně podvádět? OTÁZKA: Jaká je pravděpodobnost, že ve velkém souboru náhodných dat bude určité číslo začínat jedničkou? Příklady takových souborů dat: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Umíme správně podvádět? OTÁZKA: Jaká je pravděpodobnost, že ve velkém souboru náhodných dat bude určité číslo začínat jedničkou? Příklady takových souborů dat: • fyzikální konstanty Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Umíme správně podvádět? OTÁZKA: Jaká je pravděpodobnost, že ve velkém souboru náhodných dat bude určité číslo začínat jedničkou? Příklady takových souborů dat: • fyzikální konstanty • plocha jednotlivých ostrůvků v rozsáhlém souostroví Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Umíme správně podvádět? OTÁZKA: Jaká je pravděpodobnost, že ve velkém souboru náhodných dat bude určité číslo začínat jedničkou? Příklady takových souborů dat: • fyzikální konstanty • plocha jednotlivých ostrůvků v rozsáhlém souostroví • ceny zboží v supermarketu Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Umíme správně podvádět? OTÁZKA: Jaká je pravděpodobnost, že ve velkém souboru náhodných dat bude určité číslo začínat jedničkou? Příklady takových souborů dat: • fyzikální konstanty • plocha jednotlivých ostrůvků v rozsáhlém souostroví • ceny zboží v supermarketu Je zřejmé, že odpověď je 1 9? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benfordův zákon Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benfordův zákon ŘEŠENÍ: Odpověď ale není 1 9 . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benfordův zákon ŘEŠENÍ: Odpověď ale není 1 9 . Benfordův zákon (Newcombe 1881, Benford 1934): Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benfordův zákon ŘEŠENÍ: Odpověď ale není 1 9 . Benfordův zákon (Newcombe 1881, Benford 1934): Pravděpodobnost, že určité číslo bude začínat číslicí n, kde n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, je dána vzorcem Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benfordův zákon ŘEŠENÍ: Odpověď ale není 1 9 . Benfordův zákon (Newcombe 1881, Benford 1934): Pravděpodobnost, že určité číslo bude začínat číslicí n, kde n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, je dána vzorcem log(n + 1) − log n. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benfordův zákon ŘEŠENÍ: Odpověď ale není 1 9 . Benfordův zákon (Newcombe 1881, Benford 1934): Pravděpodobnost, že určité číslo bude začínat číslicí n, kde n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, je dána vzorcem log(n + 1) − log n. Tedy například: pravděpodobnost, že číslo začne jedničkou = 30, 1% pravděpodobnost, že číslo začne dvojkou = 17, 6% pravděpodobnost, že číslo začne trojkou = 12, 5% pravděpodobnost, že číslo začne devítkou = 4, 6% Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benfordův zákon - ilustrace Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benfordův zákon - ilustrace Příklad (demonstrační): Představme si, že vybíráme ze souboru dat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benfordův zákon - ilustrace Příklad (demonstrační): Představme si, že vybíráme ze souboru dat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Vidíme, že jedničky vskutku převládají. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benford v praxi Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benford v praxi Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benford v praxi Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Benford v praxi Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A když rozdělení není náhodné . . . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A když rozdělení není náhodné . . . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradox psychologické poradny Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradox psychologické poradny Na kolik oblastí rozdělí kruh spojnice n bodů? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrázek Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrázek Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Prvních pár členů Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Prvních pár členů • Pro n = 1 dostaneme 1 oblast. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Prvních pár členů • Pro n = 1 dostaneme 1 oblast. • Pro n = 2 dostaneme 2 oblasti. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Prvních pár členů • Pro n = 1 dostaneme 1 oblast. • Pro n = 2 dostaneme 2 oblasti. • Pro n = 3 dostaneme 4 oblasti. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Prvních pár členů • Pro n = 1 dostaneme 1 oblast. • Pro n = 2 dostaneme 2 oblasti. • Pro n = 3 dostaneme 4 oblasti. • Pro n = 4 dostaneme 8 oblastí. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Prvních pár členů • Pro n = 1 dostaneme 1 oblast. • Pro n = 2 dostaneme 2 oblasti. • Pro n = 3 dostaneme 4 oblasti. • Pro n = 4 dostaneme 8 oblastí. • Pro n = 5 dostaneme 16 oblastí. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Nápověda pro fajnšmekry Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Nápověda pro fajnšmekry Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Nápověda pro fajnšmekry Pro n = 10 dostaneme 256 oblastí. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Záludná otázka Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Záludná otázka Kolik oblastí dostaneme pro n = 6? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Záludná otázka Kolik oblastí dostaneme pro n = 6? Odpověď: 31. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je na to dokonce vzorec Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je na to dokonce vzorec Jenomže tento vzorec nezní 2n−1 , Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je na to dokonce vzorec Jenomže tento vzorec nezní 2n−1 , jak si možná někdo myslel, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je na to dokonce vzorec Jenomže tento vzorec nezní 2n−1 , jak si možná někdo myslel, nýbrž 1 24 n4 − 6n3 + 23n2 − 18n + 24 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je na to dokonce vzorec Jenomže tento vzorec nezní 2n−1 , jak si možná někdo myslel, nýbrž 1 24 n4 − 6n3 + 23n2 − 18n + 24 nebo též n − 1 0 + n − 1 1 + n − 1 2 + n − 1 3 + n − 1 4 . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A jak to bylo s tou nápovědou? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A jak to bylo s tou nápovědou? Mohli jste to vědět? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A jak to bylo s tou nápovědou? Mohli jste to vědět? ANO! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A jak to bylo s tou nápovědou? Mohli jste to vědět? ANO! Je třeba si neplést 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, . . . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem A jak to bylo s tou nápovědou? Mohli jste to vědět? ANO! Je třeba si neplést 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, . . . a 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, . . . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrana matematikova (funguje i v poradně) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrana matematikova (funguje i v poradně) Když poznáte, co bude následovat, dostanete certifikát na IQ: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrana matematikova (funguje i v poradně) Když poznáte, co bude následovat, dostanete certifikát na IQ: 1, 2, 3, 4, 5 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrana matematikova (funguje i v poradně) Když poznáte, co bude následovat, dostanete certifikát na IQ: 1, 2, 3, 4, 5 Otázka: Kolik je a6? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrana matematikova (funguje i v poradně) Když poznáte, co bude následovat, dostanete certifikát na IQ: 1, 2, 3, 4, 5 Otázka: Kolik je a6? Odpověď: a6 = 2019. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obrana matematikova (funguje i v poradně) Když poznáte, co bude následovat, dostanete certifikát na IQ: 1, 2, 3, 4, 5 Otázka: Kolik je a6? Odpověď: a6 = 2019. Vzorec: an = n + 2013 · (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5) 5! . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů a všechny jsou obsazené. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů a všechny jsou obsazené. Přijíždí nový turista. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů a všechny jsou obsazené. Přijíždí nový turista. Hilbert posune všechny hosty do pokoje s číslem o jedničku vyšším. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů a všechny jsou obsazené. Přijíždí nový turista. Hilbert posune všechny hosty do pokoje s číslem o jedničku vyšším. Přijíždí autobus s nekonečně mnoha turisty. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů a všechny jsou obsazené. Přijíždí nový turista. Hilbert posune všechny hosty do pokoje s číslem o jedničku vyšším. Přijíždí autobus s nekonečně mnoha turisty. Hilbert posune každého hosta do pokoje s dvojnásobným číslem. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hotel Infinity Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Aplikace práce s nekonečněm Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Aplikace práce s nekonečněm Otázka: Jaký je podle Vás nejblbější název filmu na světě? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Aplikace práce s nekonečněm Otázka: Jaký je podle Vás nejblbější název filmu na světě? Správná odpověď: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Aplikace práce s nekonečněm Otázka: Jaký je podle Vás nejblbější název filmu na světě? Správná odpověď: Nekonečný příběh II. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy. Začíná: A, AA, AAA, AAAA, . . . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy. Začíná: A, AA, AAA, AAAA, . . . Po nekonečně mnoha výrazech: AB, ABA, ABAA, . . . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy. Začíná: A, AA, AAA, AAAA, . . . Po nekonečně mnoha výrazech: AB, ABA, ABAA, . . . Není to sice výkladový slovník, ale definice a poučky v něm budou (bohužel platné i neplatné): Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy. Začíná: A, AA, AAA, AAAA, . . . Po nekonečně mnoha výrazech: AB, ABA, ABAA, . . . Není to sice výkladový slovník, ale definice a poučky v něm budou (bohužel platné i neplatné): LICHOBEZNIK-JE-CTYRUHELNIK-KTERY-MA-PRAVE- DVE-STRANY-ROVNOBEZNE Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy. Začíná: A, AA, AAA, AAAA, . . . Po nekonečně mnoha výrazech: AB, ABA, ABAA, . . . Není to sice výkladový slovník, ale definice a poučky v něm budou (bohužel platné i neplatné): LICHOBEZNIK-JE-CTYRUHELNIK-KTERY-MA-PRAVE- DVE-STRANY-ROVNOBEZNE LICHOBEZNIK-JE-PLECHOVY-HLODAVEC Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vydání Hyperwebsteru Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vydání Hyperwebsteru Vydavatel se rozhodne vydat slovník ve 26 dílech: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vydání Hyperwebsteru Vydavatel se rozhodne vydat slovník ve 26 dílech: Díl A: A, AA, AAA, . . . , AB, ABA, . . . , ABB, Díl B: B, BA, BAA, . . . , BB, BBA, . . . , BBB, Díl C: C, CA, CAA, . . . , CB, CBA, . . . , CBB, ... Díl Z: Z, ZA, ZAA, . . . , ZB, ZBA, . . . , ZBB, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vydání Hyperwebsteru Vydavatel se rozhodne vydat slovník ve 26 dílech: Díl A: A, AA, AAA, . . . , AB, ABA, . . . , ABB, Díl B: B, BA, BAA, . . . , BB, BBA, . . . , BBB, Díl C: C, CA, CAA, . . . , CB, CBA, . . . , CBB, ... Díl Z: Z, ZA, ZAA, . . . , ZB, ZBA, . . . , ZBB, Pak škrtne zbytečné první písmenko. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vydání Hyperwebsteru Vydavatel se rozhodne vydat slovník ve 26 dílech: Díl A: A, AA, AAA, . . . , AB, ABA, . . . , ABB, Díl B: B, BA, BAA, . . . , BB, BBA, . . . , BBB, Díl C: C, CA, CAA, . . . , CB, CBA, . . . , CBB, ... Díl Z: Z, ZA, ZAA, . . . , ZB, ZBA, . . . , ZBB, Pak škrtne zbytečné první písmenko. Pak zjistí, že jsou všechny díly stejné, takže vydá jen díl A. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vydání Hyperwebsteru Vydavatel se rozhodne vydat slovník ve 26 dílech: Díl A: A, AA, AAA, . . . , AB, ABA, . . . , ABB, Díl B: B, BA, BAA, . . . , BB, BBA, . . . , BBB, Díl C: C, CA, CAA, . . . , CB, CBA, . . . , CBB, ... Díl Z: Z, ZA, ZAA, . . . , ZB, ZBA, . . . , ZBB, Pak škrtne zbytečné první písmenko. Pak zjistí, že jsou všechny díly stejné, takže vydá jen díl A. A změní jeho název na Hyperwebster. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztah superslovníku k hrášku a sluníčku Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztah superslovníku k hrášku a sluníčku Superslovník Hyperwebster je přímým předchůdcem BT paradoxu o hrášku a sluníčku v následujícím smyslu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztah superslovníku k hrášku a sluníčku Superslovník Hyperwebster je přímým předchůdcem BT paradoxu o hrášku a sluníčku v následujícím smyslu. Hyperwebster totiž obsahuje 26 zcela identických kopií sebe sama! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztah superslovníku k hrášku a sluníčku Superslovník Hyperwebster je přímým předchůdcem BT paradoxu o hrášku a sluníčku v následujícím smyslu. Hyperwebster totiž obsahuje 26 zcela identických kopií sebe sama! Kdežto BT věta vyžaduje jen (ušmudlané) dvě kopie. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak chápat Banachovu-Tarského větu? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak chápat Banachovu-Tarského větu? Možnost 1: exemplárně ji zavrhnout jakožto zjevný naprostý nesmysl. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak chápat Banachovu-Tarského větu? Možnost 1: exemplárně ji zavrhnout jakožto zjevný naprostý nesmysl. Dobře, ale pak musíme zavrhnout axiom výběru. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak chápat Banachovu-Tarského větu? Možnost 1: exemplárně ji zavrhnout jakožto zjevný naprostý nesmysl. Dobře, ale pak musíme zavrhnout axiom výběru. A rozloučit se s rozsáhlými partiemi nádherné matematiky. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak chápat Banachovu-Tarského větu? Možnost 1: exemplárně ji zavrhnout jakožto zjevný naprostý nesmysl. Dobře, ale pak musíme zavrhnout axiom výběru. A rozloučit se s rozsáhlými partiemi nádherné matematiky. Možnost 2: přijmout ji bez výhrad a bez další interpretace. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak chápat Banachovu-Tarského větu? Možnost 1: exemplárně ji zavrhnout jakožto zjevný naprostý nesmysl. Dobře, ale pak musíme zavrhnout axiom výběru. A rozloučit se s rozsáhlými partiemi nádherné matematiky. Možnost 2: přijmout ji bez výhrad a bez další interpretace. Pak zase ale musíme začít zdvojovat hmotu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Naštěstí je tu ještě jedna možnost Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Naštěstí je tu ještě jedna možnost Možnost 3: uvědomit si, že jde (pouze) o matematickou větu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Naštěstí je tu ještě jedna možnost Možnost 3: uvědomit si, že jde (pouze) o matematickou větu. V Zermelo-Fränkelově axomatickém systému tvrzení platí, přijmeme-li axiom výběru. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Naštěstí je tu ještě jedna možnost Možnost 3: uvědomit si, že jde (pouze) o matematickou větu. V Zermelo-Fränkelově axomatickém systému tvrzení platí, přijmeme-li axiom výběru. Pracujeme s množinami, které nemají objem. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Naštěstí je tu ještě jedna možnost Možnost 3: uvědomit si, že jde (pouze) o matematickou větu. V Zermelo-Fränkelově axomatickém systému tvrzení platí, přijmeme-li axiom výběru. Pracujeme s množinami, které nemají objem. Prakticky se to provádět nedá. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem BT a reálný svět Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem BT a reálný svět Leonard Wapner (2005): Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem BT a reálný svět Leonard Wapner (2005): Má BT věta uplatnění v reálném světě? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem BT a reálný svět Leonard Wapner (2005): Má BT věta uplatnění v reálném světě? Počkejme a uvidíme! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem BT a reálný svět Leonard Wapner (2005): Má BT věta uplatnění v reálném světě? Počkejme a uvidíme! Není ještě stará ani sto let! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem BT a reálný svět Leonard Wapner (2005): Má BT věta uplatnění v reálném světě? Počkejme a uvidíme! Není ještě stará ani sto let! Ostatně, k čemu se hodí kojenec? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Že by přece? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Že by přece? Bruno Augenstein (1923–2005): Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Že by přece? Bruno Augenstein (1923–2005): V článku Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Že by přece? Bruno Augenstein (1923–2005): V článku Hadron Physics and Transfinite Set Theory, International Journal of Theoretical Physics, 23(12)(1984), 1197–1205 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Že by přece? Bruno Augenstein (1923–2005): V článku Hadron Physics and Transfinite Set Theory, International Journal of Theoretical Physics, 23(12)(1984), 1197–1205 dává BT větu do souvislosti s tzv. Yukawovou reakcí, během níž se proton (3 kvarky) mění na kladně nabitý π meson (2 kvarky) a neutron (3 kvarky). Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Že by přece? Bruno Augenstein (1923–2005): V článku Hadron Physics and Transfinite Set Theory, International Journal of Theoretical Physics, 23(12)(1984), 1197–1205 dává BT větu do souvislosti s tzv. Yukawovou reakcí, během níž se proton (3 kvarky) mění na kladně nabitý π meson (2 kvarky) a neutron (3 kvarky). No, dejme tomu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem The last slide Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem The last slide Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem PES Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Techniky využívané v důkazu BT Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence Dva objekty se nazývají kongruentní, jestliže lze jeden převést na druhý pomocí isometrie. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence Dva objekty se nazývají kongruentní, jestliže lze jeden převést na druhý pomocí isometrie. Isometrie je rigidní pohyb tělesa zachovávající vzdálenosti mezi body. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence Dva objekty se nazývají kongruentní, jestliže lze jeden převést na druhý pomocí isometrie. Isometrie je rigidní pohyb tělesa zachovávající vzdálenosti mezi body. Příklady isometrií: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence Dva objekty se nazývají kongruentní, jestliže lze jeden převést na druhý pomocí isometrie. Isometrie je rigidní pohyb tělesa zachovávající vzdálenosti mezi body. Příklady isometrií: posun, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence Dva objekty se nazývají kongruentní, jestliže lze jeden převést na druhý pomocí isometrie. Isometrie je rigidní pohyb tělesa zachovávající vzdálenosti mezi body. Příklady isometrií: posun, rotace, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence Dva objekty se nazývají kongruentní, jestliže lze jeden převést na druhý pomocí isometrie. Isometrie je rigidní pohyb tělesa zachovávající vzdálenosti mezi body. Příklady isometrií: posun, rotace, zrcadlení. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence – ilustrace Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence – ilustrace Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence po částech Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence po částech Dva objekty jsou kongruentní po částech, lze-li jeden rozložit na sjednocení konečně mnoha částí a z množin jim kongruentních sestavit druhý. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence po částech – příklady Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence po částech – příklady • {1, 2, 3, . . . } a {4, 5, 6, . . . } jsou kongruentní Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence po částech – příklady • {1, 2, 3, . . . } a {4, 5, 6, . . . } jsou kongruentní • {1, 2, 3, . . . } a {2, 4, 6, . . . } nejsou kongruentní Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence po částech – příklady • {1, 2, 3, . . . } a {4, 5, 6, . . . } jsou kongruentní • {1, 2, 3, . . . } a {2, 4, 6, . . . } nejsou kongruentní • {1, 2, 3, . . . } a {1, 2, 3} ∪ {5, 6, 7 . . . } nejsou kongruentní, ale jsou kongruentní po částech, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence po částech – příklady • {1, 2, 3, . . . } a {4, 5, 6, . . . } jsou kongruentní • {1, 2, 3, . . . } a {2, 4, 6, . . . } nejsou kongruentní • {1, 2, 3, . . . } a {1, 2, 3} ∪ {5, 6, 7 . . . } nejsou kongruentní, ale jsou kongruentní po částech, protože množina {5, 6, 7 . . . } je kongruentní množině {4, 5, 6, 7 . . . }. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Kongruence po částech – příklady • {1, 2, 3, . . . } a {4, 5, 6, . . . } jsou kongruentní • {1, 2, 3, . . . } a {2, 4, 6, . . . } nejsou kongruentní • {1, 2, 3, . . . } a {1, 2, 3} ∪ {5, 6, 7 . . . } nejsou kongruentní, ale jsou kongruentní po částech, protože množina {5, 6, 7 . . . } je kongruentní množině {4, 5, 6, 7 . . . }. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradox kongruence (mizející bod) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradox kongruence (mizející bod) Kružnice je po částech kongruentní kružnici bez bodu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradox kongruence (mizející bod) Kružnice je po částech kongruentní kružnici bez bodu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradox kongruence (mizející bod) Kružnice je po částech kongruentní kružnici bez bodu. Konstrukce: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Paradox kongruence (mizející bod) Kružnice je po částech kongruentní kružnici bez bodu. Konstrukce: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obdoba pro kruh bez poloměru Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obdoba pro kruh bez poloměru Kruh je po částech kongruentní kruhu bez ploměru. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obdoba pro kruh bez poloměru Kruh je po částech kongruentní kruhu bez ploměru. Myšlenka: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Obdoba pro kruh bez poloměru Kruh je po částech kongruentní kruhu bez ploměru. Myšlenka: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů a všechny jsou obsazené. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů a všechny jsou obsazené. Přijíždí nový turista. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů a všechny jsou obsazené. Přijíždí nový turista. Hilbert posune všechny hosty do pokoje s číslem o jedničku vyšším. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů a všechny jsou obsazené. Přijíždí nový turista. Hilbert posune všechny hosty do pokoje s číslem o jedničku vyšším. Přijíždí autobus s nekonečně mnoha turisty. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hilbertův hotel Hilbertův hotel má nekonečně mnoho pokojů a všechny jsou obsazené. Přijíždí nový turista. Hilbert posune všechny hosty do pokoje s číslem o jedničku vyšším. Přijíždí autobus s nekonečně mnoha turisty. Hilbert posune každého hosta do pokoje s dvojnásobným číslem. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hotel Infinity Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy. Začíná: A, AA, AAA, AAAA, . . . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy. Začíná: A, AA, AAA, AAAA, . . . Po nekonečně mnoha výrazech: AB, ABA, ABAA, . . . Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy. Začíná: A, AA, AAA, AAAA, . . . Po nekonečně mnoha výrazech: AB, ABA, ABAA, . . . Není to sice výkladový slovník, ale definice a poučky v něm budou (bohužel platné i neplatné): Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy. Začíná: A, AA, AAA, AAAA, . . . Po nekonečně mnoha výrazech: AB, ABA, ABAA, . . . Není to sice výkladový slovník, ale definice a poučky v něm budou (bohužel platné i neplatné): LICHOBEZNIK-JE-CTYRUHELNIK-KTERY-MA-PRAVE- DVE-STRANY-ROVNOBEZNE Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Superslovník Hyperwebster Všechny výrazy, které lze formulovat z 26 písmen anglické abecedy. Začíná: A, AA, AAA, AAAA, . . . Po nekonečně mnoha výrazech: AB, ABA, ABAA, . . . Není to sice výkladový slovník, ale definice a poučky v něm budou (bohužel platné i neplatné): LICHOBEZNIK-JE-CTYRUHELNIK-KTERY-MA-PRAVE- DVE-STRANY-ROVNOBEZNE LICHOBEZNIK-JE-PLECHOVY-HLODAVEC Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vydání Hyperwebsteru Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vydání Hyperwebsteru Vydavatel se rozhodne vydat slovník ve 26 dílech: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vydání Hyperwebsteru Vydavatel se rozhodne vydat slovník ve 26 dílech: Díl A: A, AA, AAA, . . . , AB, ABA, . . . , ABB, Díl B: B, BA, BAA, . . . , BB, BBA, . . . , BBB, Díl C: C, CA, CAA, . . . , CB, CBA, . . . , CBB, ... Díl Z: Z, ZA, ZAA, . . . , ZB, ZBA, . . . , ZBB, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vydání Hyperwebsteru Vydavatel se rozhodne vydat slovník ve 26 dílech: Díl A: A, AA, AAA, . . . , AB, ABA, . . . , ABB, Díl B: B, BA, BAA, . . . , BB, BBA, . . . , BBB, Díl C: C, CA, CAA, . . . , CB, CBA, . . . , CBB, ... Díl Z: Z, ZA, ZAA, . . . , ZB, ZBA, . . . , ZBB, Pak škrtne zbytečné první písmenko. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vydání Hyperwebsteru Vydavatel se rozhodne vydat slovník ve 26 dílech: Díl A: A, AA, AAA, . . . , AB, ABA, . . . , ABB, Díl B: B, BA, BAA, . . . , BB, BBA, . . . , BBB, Díl C: C, CA, CAA, . . . , CB, CBA, . . . , CBB, ... Díl Z: Z, ZA, ZAA, . . . , ZB, ZBA, . . . , ZBB, Pak škrtne zbytečné první písmenko. Pak zjistí, že jsou všechny díly stejné, takže vydá jen díl A. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vydání Hyperwebsteru Vydavatel se rozhodne vydat slovník ve 26 dílech: Díl A: A, AA, AAA, . . . , AB, ABA, . . . , ABB, Díl B: B, BA, BAA, . . . , BB, BBA, . . . , BBB, Díl C: C, CA, CAA, . . . , CB, CBA, . . . , CBB, ... Díl Z: Z, ZA, ZAA, . . . , ZB, ZBA, . . . , ZBB, Pak škrtne zbytečné první písmenko. Pak zjistí, že jsou všechny díly stejné, takže vydá jen díl A. A změní jeho název na Hyperwebster. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztah superslovníku k hrášku a sluníčku Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztah superslovníku k hrášku a sluníčku Superslovník Hyperwebster je přímým předchůdcem BT paradoxu o hrášku a sluníčku v následujícím smyslu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztah superslovníku k hrášku a sluníčku Superslovník Hyperwebster je přímým předchůdcem BT paradoxu o hrášku a sluníčku v následujícím smyslu. Hyperwebster totiž obsahuje 26 zcela identických kopií sebe sama! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztah superslovníku k hrášku a sluníčku Superslovník Hyperwebster je přímým předchůdcem BT paradoxu o hrášku a sluníčku v následujícím smyslu. Hyperwebster totiž obsahuje 26 zcela identických kopií sebe sama! Kdežto BT věta vyžaduje jen (ušmudlané) dvě kopie. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Závěr: jak z toho ven? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak chápat Banachovu-Tarského větu? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak chápat Banachovu-Tarského větu? Možnost 1: exemplárně ji zavrhnout jakožto zjevný naprostý nesmysl. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak chápat Banachovu-Tarského větu? Možnost 1: exemplárně ji zavrhnout jakožto zjevný naprostý nesmysl. Dobře, ale pak musíme zavrhnout axiom výběru. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak chápat Banachovu-Tarského větu? Možnost 1: exemplárně ji zavrhnout jakožto zjevný naprostý nesmysl. Dobře, ale pak musíme zavrhnout axiom výběru. A rozloučit se s rozsáhlými partiemi nádherné matematiky. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak chápat Banachovu-Tarského větu? Možnost 1: exemplárně ji zavrhnout jakožto zjevný naprostý nesmysl. Dobře, ale pak musíme zavrhnout axiom výběru. A rozloučit se s rozsáhlými partiemi nádherné matematiky. Možnost 2: přijmout ji bez výhrad a bez další interpretace. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Jak chápat Banachovu-Tarského větu? Možnost 1: exemplárně ji zavrhnout jakožto zjevný naprostý nesmysl. Dobře, ale pak musíme zavrhnout axiom výběru. A rozloučit se s rozsáhlými partiemi nádherné matematiky. Možnost 2: přijmout ji bez výhrad a bez další interpretace. Pak zase ale musíme začít zdvojovat hmotu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Naštěstí je tu ještě jedna možnost Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Naštěstí je tu ještě jedna možnost Možnost 3: uvědomit si, že jde (pouze) o matematickou větu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Naštěstí je tu ještě jedna možnost Možnost 3: uvědomit si, že jde (pouze) o matematickou větu. V Zermelo-Fränkelově axomatickém systému tvrzení platí, přijmeme-li axiom výběru. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Naštěstí je tu ještě jedna možnost Možnost 3: uvědomit si, že jde (pouze) o matematickou větu. V Zermelo-Fränkelově axomatickém systému tvrzení platí, přijmeme-li axiom výběru. Pracujeme s množinami, které nemají objem. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Naštěstí je tu ještě jedna možnost Možnost 3: uvědomit si, že jde (pouze) o matematickou větu. V Zermelo-Fränkelově axomatickém systému tvrzení platí, přijmeme-li axiom výběru. Pracujeme s množinami, které nemají objem. Prakticky se to provádět nedá. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem BT a reálný svět Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem BT a reálný svět Leonard Wapner (2005): Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem BT a reálný svět Leonard Wapner (2005): Má BT věta uplatnění v reálném světě? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem BT a reálný svět Leonard Wapner (2005): Má BT věta uplatnění v reálném světě? Počkejme a uvidíme! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem BT a reálný svět Leonard Wapner (2005): Má BT věta uplatnění v reálném světě? Počkejme a uvidíme! Není ještě stará ani sto let! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem BT a reálný svět Leonard Wapner (2005): Má BT věta uplatnění v reálném světě? Počkejme a uvidíme! Není ještě stará ani sto let! Ostatně, k čemu se hodí kojenec? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Že by přece? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Že by přece? Bruno Augenstein (1923–2005): Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Že by přece? Bruno Augenstein (1923–2005): V článku Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Že by přece? Bruno Augenstein (1923–2005): V článku Hadron Physics and Transfinite Set Theory, International Journal of Theoretical Physics, 23(12)(1984), 1197–1205 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Že by přece? Bruno Augenstein (1923–2005): V článku Hadron Physics and Transfinite Set Theory, International Journal of Theoretical Physics, 23(12)(1984), 1197–1205 dává BT větu do souvislosti s tzv. Yukawovou reakcí, během níž se proton (3 kvarky) mění na kladně nabitý π meson (2 kvarky) a neutron (3 kvarky). Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Že by přece? Bruno Augenstein (1923–2005): V článku Hadron Physics and Transfinite Set Theory, International Journal of Theoretical Physics, 23(12)(1984), 1197–1205 dává BT větu do souvislosti s tzv. Yukawovou reakcí, během níž se proton (3 kvarky) mění na kladně nabitý π meson (2 kvarky) a neutron (3 kvarky). No, dejme tomu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem The last slide Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem The last slide Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Důkaz Banachovy–Tarského věty Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Důkaz Banachovy–Tarského věty Osnova důkazu: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Důkaz Banachovy–Tarského věty Osnova důkazu: • 1. krok: grupa rotací na sféře Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Důkaz Banachovy–Tarského věty Osnova důkazu: • 1. krok: grupa rotací na sféře • 2. krok: rozklad sféry na množiny, Hausdorffův paradox Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Důkaz Banachovy–Tarského věty Osnova důkazu: • 1. krok: grupa rotací na sféře • 2. krok: rozklad sféry na množiny, Hausdorffův paradox • 3. krok: povinné ztloustnutí (tzv. antianorexie) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rotace Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rotace rotací kolem osy v 3D nazýváme rigidní pohyb všech bodů tělesa po kruhové dráze v rovině kolmé na společnou osu Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rotace rotací kolem osy v 3D nazýváme rigidní pohyb všech bodů tělesa po kruhové dráze v rovině kolmé na společnou osu veškeré distorze jsou zakázány Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Dvě základní rotace Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Dvě základní rotace τ ... rotace o 120◦ kolem osy z Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Dvě základní rotace τ ... rotace o 120◦ kolem osy z σ ... rotace o 180◦ kolem osy z = x Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Dvě základní rotace τ ... rotace o 120◦ kolem osy z σ ... rotace o 180◦ kolem osy z = x Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Skládání rotací Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Skládání rotací Uvažujeme všechna možná složení základních rotací. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Skládání rotací Uvažujeme všechna možná složení základních rotací. Příklady: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Skládání rotací Uvažujeme všechna možná složení základních rotací. Příklady: • ττ = τ2 ... rotace o 240◦ kolem osy z, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Skládání rotací Uvažujeme všechna možná složení základních rotací. Příklady: • ττ = τ2 ... rotace o 240◦ kolem osy z, • σσ = σ2 ... rotace o 360◦ kolem osy z = x (tj. nestane se nic). Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Skládání rotací Uvažujeme všechna možná složení základních rotací. Příklady: • ττ = τ2 ... rotace o 240◦ kolem osy z, • σσ = σ2 ... rotace o 360◦ kolem osy z = x (tj. nestane se nic). • Celkem máme tři základní rotace: τ, τ2, σ. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi rotacemi Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi rotacemi Identickou rotací I nazýváme rotaci, při níž se poloha bodů nemění. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi rotacemi Identickou rotací I nazýváme rotaci, při níž se poloha bodů nemění. Vždy uvádíme nejjednodušší možný zápis rotace: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi rotacemi Identickou rotací I nazýváme rotaci, při níž se poloha bodů nemění. Vždy uvádíme nejjednodušší možný zápis rotace: • Iσ = σI = σ, Iτ = τI = τ, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi rotacemi Identickou rotací I nazýváme rotaci, při níž se poloha bodů nemění. Vždy uvádíme nejjednodušší možný zápis rotace: • Iσ = σI = σ, Iτ = τI = τ, • σ2 = τ3 = I, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi rotacemi Identickou rotací I nazýváme rotaci, při níž se poloha bodů nemění. Vždy uvádíme nejjednodušší možný zápis rotace: • Iσ = σI = σ, Iτ = τI = τ, • σ2 = τ3 = I, • τ7 = τ3τ3τ = IIτ = τ, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi rotacemi Identickou rotací I nazýváme rotaci, při níž se poloha bodů nemění. Vždy uvádíme nejjednodušší možný zápis rotace: • Iσ = σI = σ, Iτ = τI = τ, • σ2 = τ3 = I, • τ7 = τ3τ3τ = IIτ = τ, • τ4σ3τ2 = τ3τσ2στ2 = IτIστ = τστ2. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi rotacemi Identickou rotací I nazýváme rotaci, při níž se poloha bodů nemění. Vždy uvádíme nejjednodušší možný zápis rotace: • Iσ = σI = σ, Iτ = τI = τ, • σ2 = τ3 = I, • τ7 = τ3τ3τ = IIτ = τ, • τ4σ3τ2 = τ3τσ2στ2 = IτIστ = τστ2. Pozorování: Každá rotace je složením konečné posloupnosti základních rotací τ, τ2, σ. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Délka rotace Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Délka rotace Délkou rotace nazýváme počet symbolů v jejím zápisu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Délka rotace Délkou rotace nazýváme počet symbolů v jejím zápisu. Příklady: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Délka rotace Délkou rotace nazýváme počet symbolů v jejím zápisu. Příklady: • I má délku 0, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Délka rotace Délkou rotace nazýváme počet symbolů v jejím zápisu. Příklady: • I má délku 0, • σ, τ, τ2 mají délku 1, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Délka rotace Délkou rotace nazýváme počet symbolů v jejím zápisu. Příklady: • I má délku 0, • σ, τ, τ2 mají délku 1, • στ2στ má délku 4. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Délka rotace Délkou rotace nazýváme počet symbolů v jejím zápisu. Příklady: • I má délku 0, • σ, τ, τ2 mají délku 1, • στ2στ má délku 4. Poznámka: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Délka rotace Délkou rotace nazýváme počet symbolů v jejím zápisu. Příklady: • I má délku 0, • σ, τ, τ2 mají délku 1, • στ2στ má délku 4. Poznámka: zápis rotace čteme zprava doleva. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Grupa rotací Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Grupa rotací Množinu všech rotací na sféře označíme G. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Grupa rotací Množinu všech rotací na sféře označíme G. Potom platí: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Grupa rotací Množinu všech rotací na sféře označíme G. Potom platí: • G tvoří grupu, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Grupa rotací Množinu všech rotací na sféře označíme G. Potom platí: • G tvoří grupu, • všech rotací je spočetně nekonečně mnoho, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Grupa rotací Množinu všech rotací na sféře označíme G. Potom platí: • G tvoří grupu, • všech rotací je spočetně nekonečně mnoho, • každá rotace z G má jednoznačný zápis (tj. různé zápisy odpovídají fyzicky různým rotacím). Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Další krok: rozklad G na tři koše Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Další krok: rozklad G na tři koše Platí G = G1 ∪ G2 ∪ G3 na základě výběrového řízení. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Další krok: rozklad G na tři koše Platí G = G1 ∪ G2 ∪ G3 na základě výběrového řízení. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pravidla rošťárny Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pravidla rošťárny Určíme pravidla rozkladu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pravidla rošťárny Určíme pravidla rozkladu. Pracujeme induktivně podle délky rotace. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pravidla rošťárny Určíme pravidla rozkladu. Pracujeme induktivně podle délky rotace. • 1. krok: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pravidla rošťárny Určíme pravidla rozkladu. Pracujeme induktivně podle délky rotace. • 1. krok: I → G1, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pravidla rošťárny Určíme pravidla rozkladu. Pracujeme induktivně podle délky rotace. • 1. krok: I → G1, • 2. krok: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pravidla rošťárny Určíme pravidla rozkladu. Pracujeme induktivně podle délky rotace. • 1. krok: I → G1, • 2. krok: τ, σ → G2, τ2 → G3, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pravidla rošťárny Určíme pravidla rozkladu. Pracujeme induktivně podle délky rotace. • 1. krok: I → G1, • 2. krok: τ, σ → G2, τ2 → G3, • 3. krok: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pravidla rošťárny Určíme pravidla rozkladu. Pracujeme induktivně podle délky rotace. • 1. krok: I → G1, • 2. krok: τ, σ → G2, τ2 → G3, • 3. krok: στ, τ2σ, στ2 → G1, τσ → G3, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Pravidla rošťárny Určíme pravidla rozkladu. Pracujeme induktivně podle délky rotace. • 1. krok: I → G1, • 2. krok: τ, σ → G2, τ2 → G3, • 3. krok: στ, τ2σ, στ2 → G1, τσ → G3, • atd. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Algoritmus rozkladu Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Algoritmus rozkladu Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Ilustrace rozkladu Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Ilustrace rozkladu Stroj Roberta Frenche: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Ilustrace rozkladu Stroj Roberta Frenche: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi třídami Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi třídami Pozorování: provedeme-li τ na rotaci z G1, dostaneme rotaci z G2. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi třídami Pozorování: provedeme-li τ na rotaci z G1, dostaneme rotaci z G2. Platí to ale i naopak: každá rotace v G2 je tohoto tvaru. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi třídami Pozorování: provedeme-li τ na rotaci z G1, dostaneme rotaci z G2. Platí to ale i naopak: každá rotace v G2 je tohoto tvaru. Matematický zápis: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi třídami Pozorování: provedeme-li τ na rotaci z G1, dostaneme rotaci z G2. Platí to ale i naopak: každá rotace v G2 je tohoto tvaru. Matematický zápis: τG1 = G2. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi třídami – souhrn Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi třídami – souhrn Obdobně platí: Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi třídami – souhrn Obdobně platí: • τG1 = G2, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi třídami – souhrn Obdobně platí: • τG1 = G2, • τ2G1 = G3, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi třídami – souhrn Obdobně platí: • τG1 = G2, • τ2G1 = G3, • σG1 = G2 ∪ G3. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Druhý krok – rozklad sféry Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Druhý krok – rozklad sféry Každá rotace má dva póly. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Druhý krok – rozklad sféry Každá rotace má dva póly. Pól je bod, který se při dané rotaci nemění. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Druhý krok – rozklad sféry Každá rotace má dva póly. Pól je bod, který se při dané rotaci nemění. Rotací je spočetně mnoho, tedy také pólů je spočetně mnoho. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Druhý krok – rozklad sféry Každá rotace má dva póly. Pól je bod, který se při dané rotaci nemění. Rotací je spočetně mnoho, tedy také pólů je spočetně mnoho. Označíme P množinu všech pólů všech rotací. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Druhý krok – rozklad sféry Každá rotace má dva póly. Pól je bod, který se při dané rotaci nemění. Rotací je spočetně mnoho, tedy také pólů je spočetně mnoho. Označíme P množinu všech pólů všech rotací. Pak P je spočetná. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Druhý krok – rozklad sféry Každá rotace má dva póly. Pól je bod, který se při dané rotaci nemění. Rotací je spočetně mnoho, tedy také pólů je spočetně mnoho. Označíme P množinu všech pólů všech rotací. Pak P je spočetná. Množinu P ponechme stranou a věnujme se S \ P. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad množiny S \ P na orbity Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad množiny S \ P na orbity Každý bod množiny S \ P lze propojit rotacemi se spočetně mnoha body S \ P. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad množiny S \ P na orbity Každý bod množiny S \ P lze propojit rotacemi se spočetně mnoha body S \ P. Množinu bodů, které lze vzájemně propojit rotací, nazýváme orbitou. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad množiny S \ P na orbity Každý bod množiny S \ P lze propojit rotacemi se spočetně mnoha body S \ P. Množinu bodů, které lze vzájemně propojit rotací, nazýváme orbitou. Každý bod z S \ P patří právě do jedné orbity. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad množiny S \ P na orbity Každý bod množiny S \ P lze propojit rotacemi se spočetně mnoha body S \ P. Množinu bodů, které lze vzájemně propojit rotací, nazýváme orbitou. Každý bod z S \ P patří právě do jedné orbity. Každá orbita je spočetná. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad množiny S \ P na orbity Každý bod množiny S \ P lze propojit rotacemi se spočetně mnoha body S \ P. Množinu bodů, které lze vzájemně propojit rotací, nazýváme orbitou. Každý bod z S \ P patří právě do jedné orbity. Každá orbita je spočetná. A pochopitelně máme nespočetně mnoho orbit. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Nadešla chvíle pro axiom výběru! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Nadešla chvíle pro axiom výběru! Stvoříme výběrovou množinu C, která obsahuje právě jeden bod z každé orbity. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Nadešla chvíle pro axiom výběru! Stvoříme výběrovou množinu C, která obsahuje právě jeden bod z každé orbity. Pak Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Nadešla chvíle pro axiom výběru! Stvoříme výběrovou množinu C, která obsahuje právě jeden bod z každé orbity. Pak • C je nespočetná, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Nadešla chvíle pro axiom výběru! Stvoříme výběrovou množinu C, která obsahuje právě jeden bod z každé orbity. Pak • C je nespočetná, • C ∩ P = ∅, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Nadešla chvíle pro axiom výběru! Stvoříme výběrovou množinu C, která obsahuje právě jeden bod z každé orbity. Pak • C je nespočetná, • C ∩ P = ∅, • žádné dva body C nelze spojit rotací, Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Nadešla chvíle pro axiom výběru! Stvoříme výběrovou množinu C, která obsahuje právě jeden bod z každé orbity. Pak • C je nespočetná, • C ∩ P = ∅, • žádné dva body C nelze spojit rotací, • každý bod S \ P lze spojit rotací s nějakým bodem C. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad sféry Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad sféry Aplikujeme-li každou rotaci z G1 na body C, dostaneme část sféry, kterou označíme G1C. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad sféry Aplikujeme-li každou rotaci z G1 na body C, dostaneme část sféry, kterou označíme G1C. Podobně vyrobíme množiny G2C a G3C. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad sféry Aplikujeme-li každou rotaci z G1 na body C, dostaneme část sféry, kterou označíme G1C. Podobně vyrobíme množiny G2C a G3C. Pak platí S \ P = G1C ∪ G2C ∪ G3C. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad sféry Aplikujeme-li každou rotaci z G1 na body C, dostaneme část sféry, kterou označíme G1C. Podobně vyrobíme množiny G2C a G3C. Pak platí S \ P = G1C ∪ G2C ∪ G3C. Označme K1 = G1C, K2 = G2C, K3 = G3C. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad sféry Aplikujeme-li každou rotaci z G1 na body C, dostaneme část sféry, kterou označíme G1C. Podobně vyrobíme množiny G2C a G3C. Pak platí S \ P = G1C ∪ G2C ∪ G3C. Označme K1 = G1C, K2 = G2C, K3 = G3C. Tedy celkem S = P ∪ K1 ∪ K2 ∪ K3. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi K1, K2, K3 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi K1, K2, K3 Pozorování: Rotací τ lze propojit každý bod K1 s nějakým bodem z K2, přičemž takto vyčerpáme všechny body z K2. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi K1, K2, K3 Pozorování: Rotací τ lze propojit každý bod K1 s nějakým bodem z K2, přičemž takto vyčerpáme všechny body z K2. Matematický zápis: τK1 = K2, obdodně τ2K1 = K3 a σK1 = K2 ∪ K3. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi K1, K2, K3 Pozorování: Rotací τ lze propojit každý bod K1 s nějakým bodem z K2, přičemž takto vyčerpáme všechny body z K2. Matematický zápis: τK1 = K2, obdodně τ2K1 = K3 a σK1 = K2 ∪ K3. To ale znamená, že K1 a K2 jsou kongruentní tj. K1 ≈ K2, a podobně K1 ≈ K3 a K1 ≈ K2 ∪ K3. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Vztahy mezi K1, K2, K3 Pozorování: Rotací τ lze propojit každý bod K1 s nějakým bodem z K2, přičemž takto vyčerpáme všechny body z K2. Matematický zápis: τK1 = K2, obdodně τ2K1 = K3 a σK1 = K2 ∪ K3. To ale znamená, že K1 a K2 jsou kongruentní tj. K1 ≈ K2, a podobně K1 ≈ K3 a K1 ≈ K2 ∪ K3. Celkem: K1 ≈ K2 ≈ K3 ≈ K2 ∪ K3. Tento vztah se nazývá Hausdorffův paradox třetiny a poloviny. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hausdorffův paradox Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hausdorffův paradox Platí S \ P = K1 ∪ K2 ∪ K3 Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hausdorffův paradox Platí S \ P = K1 ∪ K2 ∪ K3 Protože K1 ≈ K2 ≈ K3, tvoří každá z nich skorotřetinu sféry. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Hausdorffův paradox Platí S \ P = K1 ∪ K2 ∪ K3 Protože K1 ≈ K2 ≈ K3, tvoří každá z nich skorotřetinu sféry. Ale protože K1 ≈ K2 ∪ K3, tvoří zároveň skoropolovinu sféry. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Odbočka (Hausdorffův paradox v praxi) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Odbočka (Hausdorffův paradox v praxi) Z té třetiny, co přišla k volbám, mě volila polovina, takže mám podporu většiny obyvatelstva. (nejmenovaný vysoký český politik) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad na šest dílů Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad na šest dílů Množinu K2 ∪ K3 použijeme jako rozkladovou šablonu. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad na šest dílů Množinu K2 ∪ K3 použijeme jako rozkladovou šablonu. S její pomocí rozložíme každou z K1, K2 a K3 na dvě části. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad na šest dílů Množinu K2 ∪ K3 použijeme jako rozkladovou šablonu. S její pomocí rozložíme každou z K1, K2 a K3 na dvě části. Jedna bude kongruentní K2 a druhá K3. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Rozklad na šest dílů Množinu K2 ∪ K3 použijeme jako rozkladovou šablonu. S její pomocí rozložíme každou z K1, K2 a K3 na dvě části. Jedna bude kongruentní K2 a druhá K3. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Výroba dvou identických kopií sféry Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Výroba dvou identických kopií sféry Tím jsme rozložili množinu S \ P na šest částí, z nichž každá je kongruentní buď K2 nebo K3. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Výroba dvou identických kopií sféry Tím jsme rozložili množinu S \ P na šest částí, z nichž každá je kongruentní buď K2 nebo K3. Vezmeme vždy tři a tři a deklarujeme kongruenci množinám K1, K2 a K3. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Výroba dvou identických kopií sféry Tím jsme rozložili množinu S \ P na šest částí, z nichž každá je kongruentní buď K2 nebo K3. Vezmeme vždy tři a tři a deklarujeme kongruenci množinám K1, K2 a K3. Tím získáme dvě identické kongruentní kopie S \ P, jejichž sjednocením je ale opět S \ P. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Výroba dvou identických kopií sféry Tím jsme rozložili množinu S \ P na šest částí, z nichž každá je kongruentní buď K2 nebo K3. Vezmeme vždy tři a tři a deklarujeme kongruenci množinám K1, K2 a K3. Tím získáme dvě identické kongruentní kopie S \ P, jejichž sjednocením je ale opět S \ P. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Co zbývá? Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Co zbývá? Zbývá zbavit se pólů. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Co zbývá? Zbývá zbavit se pólů. Na to ale stačí posun z nekonečna. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Co zbývá? Zbývá zbavit se pólů. Na to ale stačí posun z nekonečna. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Třetí krok – mentální antianorexie Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Třetí krok – mentální antianorexie Odbydeme to obrázkem! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Třetí krok – mentální antianorexie Odbydeme to obrázkem! (Těžké matiky už bylo dost.) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Třetí krok – mentální antianorexie Odbydeme to obrázkem! (Těžké matiky už bylo dost.) Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Třetí krok – mentální antianorexie Odbydeme to obrázkem! (Těžké matiky už bylo dost.) Díru v počátku zaplníme posunem z nekonečna. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je čas na oslavy! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je čas na oslavy! No vidíte, dokázali jsme to! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je čas na oslavy! No vidíte, dokázali jsme to! Dokázali jsme duplikační verzi Banachovy–Tarského věty. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je čas na oslavy! No vidíte, dokázali jsme to! Dokázali jsme duplikační verzi Banachovy–Tarského věty. Dokázali jsme něco, co odporuje zdravému rozumu! Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem Je čas na oslavy! No vidíte, dokázali jsme to! Dokázali jsme duplikační verzi Banachovy–Tarského věty. Dokázali jsme něco, co odporuje zdravému rozumu! K tomu musíme zaujmout nějaké stanovisko. Luboš Pick (KMA MFF UK Praha) Přednáška se zapomenutým názvem