Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy • Jde o seznam typových úloh, které jsme probrali na cvičení a dalších obdobných úloh na procvičení za domácí úlohu. Na písemkách se objeví výhradně modifikace příkladů z této sbírky a jim obdobné příklady. • Příklady označené hvězdičkou jsou určeny pro studenty, kteří by se na cvičení příliš nudili a jsou zde uvedeny pouze jako doplňující příklady, které nebudou obsahem písemek. • Časový údaj je pouze orientační. Program jednotlivých cvičení si sestavují vyučující sami a popsaný časový plán nemusí dodržovat. • Velké množství příkladů je převzato ze sbírky „Seminář ze středoškolské matematiky" autorů Herman, Kučera, Simša (skriptum MU, 2004). 1 Test středoškolských znalostí Cvičení konaná 16. a 17. 9. 2019. Příklad 1.1: Nechť T = [r, s] je těžiště AABC, kde A = [2,-1], B = [-1,3] a C = [5,7]. Určete hodnoty ras. [Řešeni: r = 2, s = 3.] Příklad 1.2: Nechť S = 72 cm2 je povrch krychle vepsané do kulové plochy o poloměru r. Určete hodnotu k = r2 + r + 3. [Řešeni: k = 15.] Příklad 1.3: Nechť M je množina všech reálných čísel, která splňují nerovnici |2x+l| < x+3. Určete množinu M. [Řešeni: M = (-f, 2).] Příklad 1.4: Komplexní číslo z je řešením rovnice z + \z\ = 5 + (2 + i)2. Určete komplexní číslo z2. [Řešeni: z2 = -7 + 24«.] Příklad 1.5: Čísla a, b G IR, a < b, jsou řešením rovnice x21ogx+3,5 = 100y/x. Určete číslo k = ab2. [Řešeni: k = j^.] Příklad 1.6: Nechť číslo c je součtem všech řešení rovnice cos x + sin x = y/2 v intervalu [0,27r]. Určete hodnotu c. [Řešeni: c = | (jediné řešeni v daném intervalu).] Příklad 1.7: Určete počet všech lichých pěticiferných přirozených čísel, která neobsahují ve svém zápisu cifru 9. [Řešení: 8 • 93 • 4.] Příklad 1.8: Nechť c = a2 + b2, kde a a b jsou délky poloos kuželosečky k o rovnici k : 3x2 + 5y2 + 6x — 20y + 8 = 0. Určete hodnotu c. [Řešeni: c = 8.] 2 Porovnávání průměrů, formální zápis množin Cvičení konaná 23. a 24. 9. 2019. Příklad 2.1: Dříve než začneme rozebírat výsledky testu, si matematicky přesně definujme, co je to aritmetický průměr n-tice reálných čísel a1; a2,..., an a co je medián těchto čísel. Na příkladech čtyř čísel ukažte, že někdy je medián menší než aritmetický průměr a jindy je tomu naopak. Příklad 2.2: Pro n-tici kladných reálných čísel můžeme definovat kromě aritmetického průměru i jiné průměry. Nejznámější je geometrický a harmonický průměr: Dokažte, že pro každá dvě kladná reálná čísla a1,a2 platí A(a1,a2) > G(a1,a2) > H(ai,a2). Pro která a±, a2 nastane rovnost? (A značí aritmetický průměr čísel v závorce.) Příklad 2.3*: Jaká je průměrná rychlost auta, které jede n stejně dlouhých úseků postupně rychlostmi v±, v2,..., vnl Příklad 2.4*: Nerovnosti z příkladu 2.2 platí nejen pro dvojice, ale pro všechny n-tice kladných reálných čísel. Dokažte, že z nerovnosti A > G plyne nerovnost G > H. Zkuste dokázat nerovnost A > G. Příklad 2.5: Pomocí množinového zápisu zapište následující množiny definované slovně: 1. Množinu všech přirozených čísel, která jsou dělitená třemi. 2. Množinu všech celých čísel, která dávají po dělení osmi zbytek 5. 3. Množinu všech reálnych čísel, jejichž druhá mocnina je větší než 3. 4. Množinu všech kladných reálnych čísel, jejichž druhá mocnina je menší než jejich trojnásobek. 5. Množinu všech dvojic reálnych čísel, kde první je třikrát větší než druhé. 6. Množinu všech trojic přirozených čísel, která mohou být délkami stran pravoúhlého trojúhelníka. Je tato množina prázdná? Příklad 2.6: Pomocí množinového zápisu zapište následující množiny definované slovně: 1. Množinu všech lichých přirozených čísel, která jsou dělitená 5. 2. Množinu všech dvouciferných celých čísel, která jsou dělitená 17. 3. Množinu všech reálných čísel x, která jsou řešením nerovnice x2 + 2x + 1 > 0. 4. Množinu všech kladných reálných čísel, jejichž třetí mocnina je menší než jejich druhá mocnina. 5. Množinu všech dvojic přirozených čísel, kde první dělí druhé. 6. Množinu všech dvojic celých čísel, která se navzájem dělí, tj. první dělí druhé a naopak. 7. Množinu všech čtveřic celých čísel, kde třetí je součtem prvních dvou a čtvrté je součinem prvních tří. 3 Reálné funkce a jejich grafy Cvičení konaná 30.9. a 1. 10. 2019. Zopakujte si, co je zobrazení množiny A do množiny B. O zobrazení do množiny reálných čísel IR budeme mluvit jako o funkci. Příklad 3.1: Určete definiční obor a obor hodnot funkcí / zadaných předpisy f(x) = 2x+7, f(x) = \3x + l\-x, f(x) = _ , f(x) = x2+2x+3, f(x)=\og10(x + 2), f(x) = 2x~3, f(x) = 3cosx, f(x) = tan(—x). Načrtněte jejich grafy. Zjistěte, zda jsou injektivní, surjektivní (zobrazení ze svého definičního oboru). Najděte maximální intervaly, na kterých jsou funkce rostoucí, resp. klesající. Příklad 3.2: Funkce / je dána předpisem f{X) = log10(x2-l)-ť Najděte její definiční obor jako podmnožinu reálných čísel. Najděte její obor hodnot. Zjistěte, na kterých maximálních intervalech je funkce rostoucí, resp. klesající. Příklad 3.3: Zkoumejte, jak se mění graf funkce y = f (x), když přejdeme k funkci: 1 y = 2f(x), y = ^-f(x), y = -f(x), y = f(-x), y = f(x + 3), y = f(x-2), y = f(x)-A, y = f {x) + 6 y = f(3x), ž/=/(f )• Je-li původní funkce rostoucí na svém definičním oboru, co můžeme říci o nově vytvořených funkcích? Příklad 3.4: S využitím předchozí úlohy nakreslete grafy funkcí f(x) = \x\, g(x) = 2 • \x\, h(x) = \3x — 8| + 2. Zjistěte, na kterých maximálních intervalech je funkce rostoucí, resp. klesající. Příklad 3.5: Nakreslete graf funkce f(x) = 2cos(3x + ^) - 1. Určete všechny maximální intervaly, na nichž je funkce klesající (resp. rostoucí). Určete všechna x G IR splňující f(x) = 0. Určete zejména, kolik je takových reálných čísel v intervalu (0, 2tt). [Řešeni: a) pro každé k G Z je f klesající na intervalu = [^irk — |, ^irk + ^] a rostoucí na intervalu = [|7rA; + |, ^nk + ^]. b) Množina všech řešení je {^nk — j^; k G Z}U{|7rA; — j^ti; k G Z}; 6 řešení leží v intervalu (0,27r).] Příklad 3.6: Definujte (formálně) pojem „funkce / je rostoucí na intervalu J". Zformulujte precizně tvrzení, že složení rostoucích funkcí (na intervalu) je rostoucí funkce (na intervalu) a větu dokažte. Zejména si uvědomte, jaké všechny předpoklady je třeba uvést. Přesněji: pokud g je rostoucí funkce na intervalu J, kde I C D (g), a dále / je rostoucí funkce na intervalu J C D (f), potom ještě musíme něco předpokládat o množině {g (x); x G /}, abychom mohli dokázat, že f o g je rostoucí na intevalu J. Příklad 3.7: Nechť f a, g jsou rostoucí funkce na intervalu J, tj. zejména I C D(f) H D(g). Rozhodněte, zda je rostoucí nebo klesající funkce h daná následujícím předpisem: [i) h(x) = f(x) + g(x), (ii) h(x) = f(x) - g(x), (iii) h(x) = f(x) ■ g(x), 1 (iv) h(x) = —g(x), (v) h(x) = g(x) ■ g(x), (vi) h(x) = \g(x)\, (vii) h(x) g(x)' V případech, kdy odpovídáte „ano", se pokuste o formální důkaz. V případech, kdy odpovídáte „ne", dejte protipříklad a navíc se pokuste (přidáním vhodných předpokladů pro funkce / a g) zformulovat platné tvrzení. Řešte úlohy (i)-(iii) za předpokladu, že / je konstatní funkce, tj. f(x) v definici funkce h(x) nahraďte konstantou c G IR. Pozor, v tomto případě se může někdy odpověď lišit v závislosti na paramatru c. 4 Funkce s absolutní hodnotou, kvadratické funkce Cvičení konaná 7. a 8. 10. 2019. Příklad 4.1: Nakreslete graf funkce / : IR —> IR dané předpisem f(x) = \2x - 3| - \x + 2| + 110 - 3a;| - 1 na intervalu [—5,5]. Najděte obor hodnot této funkce, maximální intervaly, na kterých je monotónní, a vyřešte nerovnici f(x) < 2. [Řešeni: a) H(f) = [—|,oo); b) klesající na intervalu (—oo,y]; rostoucí na intervalu [y,oo). ej {* G K;/(s)< 2} = (!,§).] Příklad 4.2: Řešte v IR rovnice a) \x + 1| — |rr| + 3|x — 1| — 2\x — 2| = |rr + 2|, |X \x2-4x\+3 I x2 + \x—5| 1. [Řešení: a) x e (-oo, -2] U [2, oo), b) x e {-2/3,1/2, 2} ] Příklad 4.3: Pomocí úpravy na čtverec odvoďte "vzoreček" pro řešení obecné kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0, kde a, b, c G IR, a ^ 0. Načrtněte graf kvadratické funkce f(x) = ax2 + bx + c pro a > 0 a pro a < 0. Určete, jaké maximum nebo minimum tato funkce nabývá a v kterém bodě. Příklad 4.4: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby daná nerovnost platila pro všechna x E A. (Kreslete si, jak musí vypadat grafy příslušných kvadratických funkcí.) a) (r + A)x2 - 2rx + 2r - 6 < 0, A = R. b) rx2 - Ax + 3r + 1 > 0, A = (0, oo). c) (r - 2)x2 + rx + 1 - r > 0, A = (0, oo). d) (x - 3r)(x - r - 3) < 0, A = [1, 3]. [i?ese?w: aj r G (-oo, -6), 6] r G (l,oo), cj nemá řešení, d) r G (0,1/3)] Příklad 4.5: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby nerovnost {rx - l)(x + r) < 0 platila pro všechna x G A. a) A =(0,1). b) A= (-1,1). c) A =(-2,2). d) A = (0,oo). Příklad 4.6*: Nalezněte kvadratickou rovnici s celočíselnými koeficienty, jejímž jedním řešením je Xi [Řešení: x-y = 4 - y/TE, x2 = 4 + \/l5, polynom x2 - 8x + 1.] Příklad 4.7*: Určete všechna x G IR, pro která platí 1 x + 1 > 1. [Äešem; i£l\{-l}] 5 První písemka; kvadratické rovnice a polynomy Cvičení konaná 14. a 15. 10. 2019. Příklad 5.1: Určete, kdy pro řešení Xi < x2 rovnice 2x2 - 2(2a + l)x + a(a - 1) = 0 platí X\ < a < x2. Nápověda: Vyznačte na grafu příslušné kvadratické funkce její hodnotu v a. [Řešení: a G (—oo, —3) U (0, oo)] Příklad 5.2: Určete, kdy pro řešení x-y a x2 rovnice (a - 2)x2 - 2(a + 3)x + 4a = 0 platí x\ > 3 a x2 < 2. [Řešení: a G (2, 5)] Příklad 5.3: Určete, pro která a G IR má následující polynom dvojnásobný kořen (2a - 5)x2 - 2(a - l)x + 3. [Řešení: a = 4] Příklad 5.4: Najděte nejmenší celé číslo fc, pro něž má rovnice x2 - 2(k + 2)x + 12 + k2 = 0 dvě různá reálná řešení. [Řešení: k = 3, diskriminant D = 16(k — 2)] Příklad 5.5: Určete všechny hodnoty parametru a G IR tak, aby obě rovnice měly aspoň jedno společné řešení. (1 - 2a)x2 - 6ax - 1 = 0, ax2 - x + 1 = 0. [Řešení: a = -3/4, 0, 2/9] Příklad 5.6: Určete všechny hodnoty parametru a G IR tak, aby obě rovnice měly aspoň jedno společné řešení. x2 + ax + 8 = 0, x2 + x + a = 0. [Řešení: a = —6] Příklad 5.7*: Označme a = \fž^M + l, b= \J: 3\/21- 8 . Dokažte, že součin i rozdíl těchto dvou reálných čísel je celočíselný a určete jej. Zjednodušte algebraické výrazy pro čísla a a b tak, aby obsahovala kromě celých čísel a obvyklých operací již pouze druhé odmocniny. Nápověda: Napište si kvadratickou rovnici s dvojicí řešení a, —b. [Řešení: ab = 5, a - b = 1. Potom a = ^±+1, b = *@kzl.] 6 Racionální kořeny, Viětovy vztahy, iracionální funkce Cvičení konaná 21. a 22. 10. 2019. Příklad 6.1: Najděte nějaký polynom s celočíselnými koeficienty, a) jehož kořeny jsou 0,1, —1/2, b) jehož jediný reálný kořen je —1, ale stupeň polynomu je větší než 1, c) který má trojnásobný kořen 1, d) jehož kořeny jsou y/2 a —1. Příklad 6.2: Najděte racionální kořeny polynomu: a) 2x3 + x2 - Ax - 3, b) 27x3 + 27x2 - 4, c) AxA + 7x3 + 2x2 + 7x - 2. Příklad 6.3: Označme x1} x2 řešení rovnice 3x2 + 8x + 4 = 0. Aniž danou rovnici řešíte, určete číslo: 8b^ X-^ ~\~ «2^2? b) x\ + x?,, 2? Příklad 6.4: Polynom x2 + ax + b má kořeny Xi,x2. Určete kvadratický polynom, který má kořeny: a) —x1,—x2, b) 2x1}2x2, c) x1 + l,x2 + 1, cL^) X-^ j * Příklad 6.5: Řešte v IR rovnice: a) y/x + 1 — 1 = \Jx — yfx + 8, b) V3a; + 4 + - 4 = 2^ř\ c) V3a; + 2 = y/5x + 3 + 2V2x + 1. [Řešeni: a) 8, b) A, c) -1/2.] Příklad 6.6: Řešte v IR nerovnice: a) 3 > x + 3 • y/l — x2, b) V^TŠ - y/x - 1 > V2a; - 1, c) 1 > x + \/4 - x2. [Řešení: a) [-1,0) U (3/5,1], b) [1,3/2), ej [-2,±(1 - V*Ť)]. ] Příklad 6.7*: Nechť polynom x3 + ax2 + bx + c má tři kladné kořeny. Dokažte, že a3 < 27c. 8 Exponenciální a logarimické funkce Cvičení konaná 4. a 5. 11. 2019. Příklad 8.1: Mocniny a exponenciální funkce 0 a n G Z definujte an. 2. Je-li a > 1 reálné číslo a n < m celá čísla, pak an < am. 3. Pro o > 0 reálné a i = ^ p e Z, g G N definujte ax. 4.* Pro a > 0 reálné a x,y racionální, dokažte, že axay = ax+y a (ax)y = axy. 5. Pro a > 1 a x reálné definujeme ax = supja^ G IR; y G Q, y < x}. 6.* Dokažte, že funkce ď je rostoucí pro a > 1 a klesající pro a G (0,1). 7* Pro a > 0 reálné a x,y reálná, dokažte, že axay = ax+y a (ax)v = axy. 8. Nakreslete graf exponenciální funkce pro různá a. Příklad 8.2: Logaritmická funkce \ogax. 1. Definujte inverzní funkci k funkci /. 2. Definujte \ogax jako inverzní funkci k exponenciální funkci ď. 3. Jak je to s monotonií logaritmické funkce? Nakreslete grafy logaritmické funkce pro různé základy. Příklad 8.3: Z vlastností exponenciálních funkcí dokažte tyto vlastnosti logaritmických funkcí: 1- ioSa(xy) = ^gax + \ogay. 2- loga| = logax - \ogay. 3. \oga(xy) = y\ogax. 4 log x = ]2Ět£ 5. log. b = 7-^—. 6. blogaC = clogab. Příklad 8.4: Určete číslo m, je-li (a) m = 491-ilog?25. (b) m = log (log a/\/lÔ). i (c) m = 81 logs3. (d) m = log2| + log4|. (e) m = 32iog32+iog35- (f) m = + - v ^ log2 3 log4 9 log8 3 (g) m = 36logf35 + 101_logl°2 - 3loS936. [Řešeni: (a) §, (b) -1, (c) 625, fdj 0, (e) 20, tfj - log3 2, fo) 24] 9 Druhá písemka; Exponenciální a logarimické funkce Cvičení konaná 11. a 12. 11. 2019. Příklad 9.1: Pomocí čísel a, b, c vyjádřete x: (a) x = log100 40; a = log2 5. (b) x = log6 16; a = log12 27. (c) x = log 3^; a = log 2, 6 = log 3, c = log 5. (d) x = log140 63; a = log2 3,6 = log3 5, c = log7 2. [Řešení: (a) ^a,(b)^, (c) -{2a + b + 2c), (d) ] Příklad 9.2: Řešte v IR rovnice: (a) Ax + 2X+1 = 24. (b) \x\x2-2x = 1. (c) 6 • 9X - 13 • 6X + 6 • 4X = 0. (d) (r+i=2*. [Řešení: (a) 2, (b) — 1, 1, 2, (c) 1, — 1, (d) 1 (lze snadno ukázat, že má právě jedno řešení)] Příklad 9.3: Řešte v IR rovnice: (a) log 5 + \og(x + 10) = 1 - log(2x - 1) + log(21x - 20). (b) log0,5x x2 ~ 14 logi6x x3 + 40 log4s Vx = 0. (c) 15log53 • ^í+iogsOO = 1. (d) log y/1 + x + 3 log \/l — x = log \/l — X2 + 2. [/Žešera: (aj 3/2, 10, (b) y/2/2, 1, 4, (cj 1/15, 1/3 (dj nemá řešení] Příklad 9.4: Řešte v IR nerovnice: (*) < 1 v ) 3x+5 — Z^1-!' (b) 8X + 18x - 2 • 27x > 0. (c) iog(x-2)(2x - 3) > \og(x_2)(2A - 6x). (d) xlo^x > 2. [Řešení: (a) (-1,1], (b) (-oo,0); (c) (2, 3) U (27/8,4), (d) (0,1/2) U (2, oo).] 10 Goniometrické funkce Cvičení konaná 18. a 19. 11. 2019. Příklad 10.1: Odvoďte základní vztahy: (a) sin2 x + cos2 x = 1, (b) sin(—x) = — sinx, cos(—x) = cosx, tg(—x) = —tgx, (c) sin(x + 2-k) = sinx, cos(x + 2%) = cosx, tg(x + 7r) = tgx, (d) sinx = sin(7r — x) = — sin(7r + x) = — sin(27r — x), (e) cos x = — cos(tt — x) = — cos(tt + x) = cos(27r — x), tg x = — tg(7r — x). (f) cosx = sin(x + f) = sin^ — x), sinx = cos^ — x). Příklad 10.2: Předpokládejme, že platí e%x = cosx + i sinx, kde x je libovolné reálné číslo. Dále předpokládejme, že pro umocňování reálného čísla e na komplexní čísla platí obvyklé vlastnosti pro umocňování. Odvoďte součtové vzorce sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin y. Součtových vzorců využijte k odvození vzorců (e) a (f) z předchozího příkladu. Příklad 10.3: Odvoďte dále vztahy: (a) sin2x = 2 sinx cosx, cos 2x = cos2 x — sin2 x, (b) sin x + sin y = 2 sin cos ? cos x + cos V = 2 cos cos , (c) sin x — sin y = 2 sin cos , cos x — cos y = — 2 sin sin Nápověda: V částech (b) a (c), napište x = a + j3 a y = a — j3 a použijte součtové vzorce. Příklad 10.4: Za předpokladu, že výrazy na obou stranách rovnosti dávají smysl, dokažte: i / . \ tgx + tgy tg x-tg y tg(x + í/) = -----—, tg(x-y) 1 — tg x tg y 1 + tg x tg y Přitom si řádně promyslete, pro které hodnoty tyto rovnosti platí. Navíc dokažte, že pro libovolné x G IR takové, že ^ ^ Z platí tgz-tg (tj +^) = -1. Příklad 10.5: Odvoďte následující vztahy (a promyslete, pro které hodnoty x G IR platí): 2tgf 1 - tg2 f 2tgf siní =--, cosrr =--^— , tg x =--^— . 1 + tg2 § 1 + tg2 § 6 1 - tg2 § 11 Goniometrické funkce, inverzní funkce Cvičení konaná 25. a 26. 11. 2019. Příklad 11.1: Za předpokladu, že výrazy na obou stranách rovnosti dávají smysl, dokažte: (a) sizxsx = 1+tgx+tg2x+tg3x, (b) i»=tg(Í+^ / \ tg 3x _ 3-tg2 a ^ I tg x 1—3 tg2 x ' 1—cos2a+sin2a _ ^ ^ z 1+cos 2x+sin 2x o ' (e) cos6 x — sin6 x = ^(3 + cos2 2rr) cos 2rr, (f) sin x cos(y — x) + cos x sin(y — x) = sin Příklad 11.2: Vypočtěte bez kalkulačky: (a) cos 15°, (b) tg 75°, (c) tg 20° + tg40° + y/Štg 20° tg40°, (d) sin 160° cos 110° + sin 250° cos 340° + tg 110° tg 340°, (e) sin 777 sin 777 — sin ^- sin ^- + sin 777 sin 777. ^ 1 10 10 5 5 10 10 Nápověda: (a) 15 = 45 — 30, (b) 75 = 45 + 30, (c) použijte vztah 10.4 Pro argumenty 20° a 40°, (d) použijte vztahy 10.1. na posunutí argumentů do základního intervalu. Potom součtový vzorec na součet prvních dvou členů a poslední vzorec z 10.4- na třetí sčítanec, (e) použijte poslední vzorec z 10.3c v opačném směru. [Řešení: (a) ^ • (1 + \/3), (b) 2 + VŽ, (c) VŠ, (d) 0, (e) 0.] Příklad 11.3*: Dokažte, že pro vnitřní úhly a,/3,7 trojúhelníka platí: r i i i a ■ a ■ ^ ■ T cos a + cos p + cos 7 = 1+4 sin — sin — sin —. Příklad 11.4: Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce / monotónní. Na těchto intervalech určete inverzní funkci. (a) f(x) = x2 + x — 6, (b) f(x) = Vx2 + 4x- 12. [Řešení: (a) I\ = (—oo, —1/2] a J2 = [—1/2, oo); Pro I\ je inverzní funkce f^1{x) = —| — x + ^, s definičním oborem [— ^, oo] a oborem hodnot I\; Pro I2 je inverzní funkce f^1(x) = ~\ + \/x + f> s definičním oborem [—^,00] a oborem hodnot I2; (b) I\ = (—00,—6] a I2 = [2, 00); Pro I\ je inverzní funkce f~x(x) = —2 — \J x2 + 16, s definičním oborem [0, 00] a oborem hodnot l\; Pro I2 je inverzní funkce f^(x) = —2 + v1 x2 + 16, s definičním oborem [0, 00] a oborem hodnot I2] Příklad 11.5: Funkce arcsin je inverzní funkce k funkci sin na intervalu [—|; |]. Napište předpis inverzní funkce k funkci sin na intervalu (a) [2kn - f,2kn + f], (b) [(2fc + l)7T-f;(2fc + l)7r + f] pomocí funkce arcsin. (c) Navrhněte a řešte analogickou úlohu pro dvojice funkcí cos, arccos, resp. tg, arctg. [Řešení: (a) arcsin x + 2kir, (b) — arcsin x + (2k + 1)tt. ] Příklad 11.6: Najděte maximální interval obsahující 0, na němž je funkce / monotónní. Na tomto intervalu určete inverzní funkci. (a) f(x) = sinrr • cosrr, (b) f(x) = sinrr + cosrr, (c) f{x) = y/Š ■ sin rr + cos rr, (d) /(rr) = log(cosrr), (e) /(rr) = log(log(rr + 10)). [Řešeni: (a) f(x) = ±sin2rr; I = [-tt/4,tt/4], H(f) = [-1/2,1/2], tzn. f'1{x) = ±arcsin2rr s definičním oborem [—1/2,1/2] a oborem hodnot I. (b) /(rr) = V2-coS(x-n/A), I = [-fTr, Jtt], H(f) = [-y/2,y/2], tzn. f~\x) = - arccos(^f) + f s definičním oborem \—y/2, y/2] a oborem hodnot I. (c) f(x) = 2 ■ sin(rr + tt/6), / = [—|tt, |tt]; H(f) = [-2,2], tzn. f-^x) = arcsin(f) - f s definičním oborem [—2,2] a oborem hodnot I. (d) Protože funkce cos (a tudíž i funkce f) nabývá v bodě 0 svého maxima, existují dva maximální intervaly I\ a I2 obsahující bod 0, kde je f monotónní: I\ = ( —f,0] a I2 = [0, |). V obou případech je H(f) = (—00, 0]. Pro I\ je inverzní funkce f~x(x) = — arccos(10:E); s definičním oborem (—00, 0] a oborem hodnot I\; Pro J2 je inverzní funkce f~x(x) = arccos(10:E); s definičním oborem (—00, 0] a oborem hodnot I2. (e) Definiční obor funkce f je (—9, 00) a obor hodnot je IR. Funkce je na svém definičním oboru rostoucí. Tedy f^1{x) = 101QX — 10 má definiční obor IR a obor hodnot (—9, 00). ] 12 Rovnice a nerovnice s goniometrickými funkcemi Cvičení konaná 2. a 3. 12. 2019. Příklad 12.1: Určete nejmenší periodu zadané funkce: (a) /(rr) = sinrr + cos x. (b) /(rr) = sin3rr, (c) f(x) = cos 2rr , (d) /(rr) = sin -, X ' (e) f(x) = sinx2, (0 f(x) = sinx + tgrr. [Řešení: (a) 2n, (b) (c) f, (d) není periodická, (e) není periodická, (f) 2%.] Příklad 12.2: U dané funkce určete, zda je sudá nebo lichá. (a) f(x) = x ■ sin x, (b) /(*) = x ■ cos 2x, (c) f(x) = x + sinx, (d) f(x) = sin -, X 1 (e) f(x) = cos x2, (0 /(*) = sin2 x, (g) /(*) = sin x + cos x (h) f(x) = sin |rr|. [Řešeni: (a) sudá, (b) lichá, (c) lichá, (d) lichá, (e) sudá, (f) sudá, (g) není ani sudá ani lichá, (h) sudá.] Příklad 12.3: Udejte příklad funkce s vhodným definičním oborem, která má předepsané vlastnosti: (a) perioda 3%, obor hodnot [1,2], (b) perioda 1, obor hodnot IR, (c) perioda 2, obor hodnot [0,1] U (2, 3), rostoucí na intervalu (0, 2). Příklad 12.4: Udejte příklad funkce s definičním oborem obsahující interval J, pro niž je obor hodnot na intervalu I roven (0, oo), tzn. /(/) = (0, oo). (a) I = (n, oo), pro pevně zvolené n G N, (b) J = (—oo,n), pro pevné zvolené n G N, (c) J = (0,n), pro pevně zvolené n G N, (d) J = (a, b), pro pevně zvolená a, b G M splňující a < b, Příklad 12.5: Udejte příklad funkce s definičním oborem R takové, že pro libovolné kladné reálné číslo e je obor hodnot na intervalu (0,e) roven J, tzn. f(0,e) = I. (a) 1 = [-1,1] (b) / = (-l,i: (c) 1 = [0,1], (d) 1 = (0,1), (e) / = (0,00) Příklad 12.6: Řešte v R rovnice nejdříve graficky a poté i algebraickým výpočtem: (a) sinrr = sin2rr, (b) sin 3rr + cos 3x = 0, (c) sm2rr = cos 3rr. [Řešeni: Řešením je vždy sjednocení\JkeZ Mk množin Mk. Jednotlivé množiny Mk jsou množiny řešení dané nerovnosti na intervalu [2kn, {2k + 2)tt], resp. [(2k — (2k + (a) Mk = {2kn,n + 2kn, § + 2kn, ^ + 2kn}, (b) Mk = {ff + 2kn, f§ + 2kn, + 2kn, + 2kn, ^ + 2kn, + 2kn}, (c) Mk = {f + 2kn, ^ + 2k7T, ff + 2kii, ff + 2kn, + 2kn, ^ + 2kn}.} Příklad 12.7: Řešte v R následující rovnice. Vždy určete počet řešení v intervalu [0,2n). (a) sin 2x = \/2 COS X, (b) 2 sin2 x + 7 cos x - 5 = 0, (c) 2 cos £ cos 2x = cos a:, (d) \/3cosrr + sinrr = 2, (e) sin3rr + sinrr = sin2rr, (f) sin 5rr cos 3x = sin 6rr cos 2x, (g) sin 2x + cos 2rr = sin x + cos rr. Nápověda: (d) Podělte 2 a použijte 10.2 zprava doleva, (e) Použijte 10.3b na levou stranu, (f) Použijte 10.3b zprava doleva, (g) Použijte 10. If. [Řešeni: Ve všech případech se řešeni periodicky opakuji podobně jako v předchozím případě. Lze je tedy i podobným způsobem zapsat. My zde uvedeme pouze výčet řešení v intervalu [O, 2n). fa ) — — — — ("v 4' 2' 4 ' 2 ' 0>)%T> {r> ) ZL ^ZL 2L líZL 12L H"71" (C/ 2' 2'6' 6' 6' 6 ' (d)h fe) O - 7r — - — (7 "i 2» ' 2 ' 3 ' 3 ' (7/ U; 2 ' > 2 ' 6' 6 ' 6 ' 6 ' Příklad 12.8: Řešte graficky v IR následující nerovnice. (a) sin x > i, (b) sinrr < cosx, (c) tg x < — \/3. [i? esem': Řešením je vždy sjednocení {JkeZ h- Jednotlivé množiny Ik jsou množiny řešení dané nerovnosti na intervalu [{2k — 1)tt, (2k + resp. [(k — (k + (a) h = (f +2fc7r,f +2kn), (b) h = (~'Sf + 2kn,i + 2kn), (c) Ik = (-l + A;7r,-f + kn).} Příklad 12.9: Řešte v M. následující nerovnice. (a) sin3x < sinrr, (b) 2 cos2 x + 5 cos £ + 2 > 0, (c) sin x + cos x < , V / cos a'' (d) sin2x + sinrr < 0, (e) 1 — cos x 4 sin x cos 2rr. Nápověda: (a) 10.3c. (b) Substituce y = cos x a vyřešit kvadratickou nerovnici, (c) Pronásobit cos x a použít 10.1a. Ovšem pozor na znaménka při násobení a dělení, (d) 10.3b. (e) Pravá strana je součin levé strany a tgx. (f) Sešíst dle 10.3b smx + sin3x. (g) Vyjádřit obě strany pomocí sin x (za použitím 10.2, resp. 10.3a, s přihlédnutím k W.laO. [Řešení: Řešením je vždy sjednocení [jkeZ Ik množin Ik. Jednotlivé množiny Ik jsou množiny řešení dané nerovnosti na intervalu [2kir, (2k + 2)tt], resp. [(2k — 1)tt, (2k + 1)tv]. (a) Ik = (f + 2kn, f + 2kn) U (f + 2kn, f + 2kn) U + 2kn, 2tt + 2kn), (b) Ik = [-f + 2A;7r,f + 2kn], (c) Ik = (| + 2kn, f + 2kn) U (tt + 2kn, $f + 2kn) U + 2kn, 2tt + 2kn), (d) Ik = [2zl + 2kn, tt + 2kn] U + 2kn, 2tt + 2kn], (e) Ik = (f + 2kn, f + 2kn) U (f + 2kn, f + 2kn) U {2kn}, (f) 4 = (f + 2kn, ^ + 2A;tt) U (tt + 2A;7r, ^ + 2A;tt) U (f + 2Ä;7r, 2tt + 2A;7r); (g) Ik = h + 2kn, 'f + 2ibr) U (tt + 2kn, 7-f + 2kn) U + 2ibr, 2tt + 2ibr). ] 13 Třetí písemka Cvičení konaná 9. a 10. 12. 2019.