Již jsme se naučili počítat dvojný integrál v kartézských souřadnicích a umíme množinu, přes kterou integrujeme, vyjádřit v polárních souřadnicích. Nyní si ukážeme, jak do polárních souřadnic transformovat celý integrál. Tomu je věnována část 6. 4 ve skriptu od str. 77. Když jsme počítali integrály v prvním semestru, používali jsme substituční metodu při výpočtu určitého integrálu jedné proměnné. V podstatě můžeme říct, že se nám vždy změnily meze integrálu, za proměnnou „x“ jsme dosadili novou proměnnou, třeba „t“, a změnilo se nám i „dx“. Na transformaci dvojného integrálu se může dívat podobně. Množinu M vyjádříme v polárních souřadnicích, což se nám projeví v mezích dvojnásobného integrálu. Dosadíme za proměnné x a y do integrované funkce a nahradíme „dxdy“. Přitom hraje roli jakobián transformace, který je pro polární souřadnice odvozen na konci části 6. 3. Studenti na jakobián ρ často zapomínají, musíme na to stále myslet. Fubiniova věta pro transformaci do polárních souřadnic 6. 10 je na str. 77. V minulém textu s příklady jsme viděli, že v případě části kruhu a mezikruží se středem v počátku dostáváme pro nové proměnné ρ a φ konstantní meze. Pak si můžeme vybrat, podle které proměnné budeme integrovat jako první. Držme se však pořadí ve skriptu. Je to proto, že v případě, kdy meze nejsou konstantní, pak vzdálenost od počátku ρ závisí na úhlu φ. To vidíme v příkladu 6. 18. Potom musíme nejprve integrovat podle ρ. V případě, že navíc jednotlivé proměnné jsme schopni „separovat“ (včetně jakobiánu) do jednotlivých integrálů, pak dvojný integrál můžeme počítat jako součin dvou určitých integrálů jedné proměnné. Tak je ukázáno poprvé v případě příkladu 6. 12 na str. 78. Začněte ovšem příkladem 6. 11 a pak třeba příklady v mém textu. Množina M je kruh se středem v počátku a poloměru 3. Vyjádření v polárních souřadnicích je tedy velmi snadné. Meze obou integrálů jsou konstantní. Dosazení za x a y, ale také za dxdy proběhlo ve skriptu bez rozepsání, ale snad je jasné, kde se vzalo ρ2 . Výpočet jednotlivých integrálů také problém není. Nejprve integrujeme ρ2 v mezích od 0 do 3, výsledek 9 vytkneme před druhý integrál a integrujeme podle φ. I v tomto příkladě jsme mohli převést na součin dvou integrálů. Udělejte si to a možná řada z vás výsledek „nula“ odhadne brzy. Stačí se jen zamyslet na tím, co je integrálem funkcí sinus a kosinus na intervalu <0,2π>. To víme z prvního semestru. Příklad 6. 12 je početně složitější, je tam substituce, ale množina M je opět jednoduchá pro popis. Vyskytuje je tam výraz x2 + y2 , který je v polárních souřadnicích roven ρ2 . Musíte být schopni bezpečně odvodit a nejlépe si pamatovat výsledek. V písemkách je to často. V příkladu 6. 13 si všimněte, jak je v kartézských souřadnicích vyjádřeno mezikruží s poloměry kružnic 1 a 2. Zamyslete se i nad nerovností y ≥ |x|. Z obrázku je pak již vyjádření množiny M v polárních souřadnicích vcelku snadné. V textu je odvozen výpočet mezí pro proměnnou φ, nicméně víme, ramena úhlů půli kvadranty, je tam tedy 45 stupňů a tedy π/4 a tedy … . I tady je x2 + y2 , nesmíme zapomenout na jakobián a výhodně rozdělíme na součin dvou integrálů. Zbytek části 6. 4 je jen pro vážné zájemce o transformaci dvojného integrálu. Předcházející tři příklady jsou pro budoucí písemku základní. Doplňte si je o příklady z mého textu a počítejte příklady 2a,c,f,g na str. 83. 2c je nejtěžší, je tam třeba nezapomenout na jakobián a použít substituci za -ρ2 . Posledním úkolem je naučit se využití dvojného integrálu. Již v úvodní části na konci str. 71 je řečeno, že dvojným integrálem je možno vypočítat objem tělesa V, které je definováno na posledním řádku této stránky. Vysvětlím na konzultaci. Objemy těles ovšem budeme počítat pomocí trojných integrálů, takže příklad 6. 19 na str. 81 si ukážeme až tam a uvidíme, že po dvou krocích se dostaneme k výpočtům zachyceným na posledních dvou řádcích str. 81. Dvojný integrál ovšem poslouží k určení obsahu (míry) množiny M. Stačí integrovat na množině M „jedničku“, tedy položit funkci f(x,y) = 1. Je-li např. množinou M kruh, pak vypočteme obsah kruhu. V příkladu 6. 17 je odvozen vzorec pro obsah kruhu o poloměru R. Pochopitelně v polárních souřadnicích. Příklad tedy ukazuje, „k čemu nám to je“. Zapamatujte si ho, přesně v takovém zadání bývá v písemkách. Opět nezapomeňte na jakobián. Příklad 6. 18 je složitější v tom, že kružnice nemá střed v počátku. Ze střední školy víte, jak z její rovnice najít střed a poloměr doplněním na čtverec. V tomto případě pak meze pro ρ nejsou konstantní. Příklad je obtížný i ve vlastním výpočtu. Třebaže vše v něm máte znát, je určen jen zájemcům. Podobně jako 6. 20, který ukazuje fyzikální aplikaci pro výpočet hmotnosti velmi tenké, tedy vlastně dvojrozměrné, desky (třeba plechu), kde hustota není v každém bodě desky stejná, ale je vyjádřena funkcí dvou proměnných. Příklad 3a si můžete zkusit spočítat dvojným integrálem, ale brzy zjistíte, že takové úlohy jsme dělali již v prvním semestru. Kdo zvládl příklad 6. 18, může zkusit příklad 3b. V mém textu najdete čtyři příklady. Zmíním jen poslední, který se nepočítá, jen máme integrál transformovat z kartézských souřadnic do polárních. Takový úkol se může v písemce objevit. Ze zbývajících příkladů je zřejmé, co musíme umět. Nakreslit správný kruh, podle zadání vybrat požadovanou část, umět se orientovat v úhlech π/4, π/2, π, 2π. V těchto a z nich „odvozených“ úhlech musíme umět spočítat hodnoty funkcí sinus a kosinus.