4. cvičení z lineární algebry II
/O   1 2\
Příklad. 1. K symetrické matici A =    1   3   —11 najděte diagonální matici D kon-
\2 -i 4 y
gruentní s A Současně najděte regulární matici P takovou, že D = PTAP.
A	1 t
	
0i,   A&Sí^PC^t ' /U '
D
T
T
í?	A	2	4 0 o x
	3		0 A O
	-1		(9 0 A
A	0		
0			i
0	í?	i	/
AJ
r	H	A	í A	A	0
1 A	3	-1	0	4	0
■2	-1	H	0	0	A
s?	O	O			
\ °	A	0			
\ 0	O	■1			1
a 3
'5"		4	I A A 0
4	3	-1	0 A O
A	~1		
A	0	0	
1	-1	0	
0	0	1	/
s		A j	4 A 0 \
to			
s	- S"	ZO	o o sr
r7"	0	0	
	4	0	
A^
'5 20 S I A i D 20 7-s: -z£ J 0 čr D 5   -2Sffool O 'O S-
f 5~   20  S~ '   A   4 0 \
o -r      -v * 0
0 -fi+^š
1 o
o
o
o o
4
A
\ D
Ô o
<r 0 O £-
- 1 -1
£Aj?cAj2>V«& 4
©
4. cvičení z lineární algebry II
í°   1 2\
Príklad. 1. K symetrické matici A =    1    3   -1   najděte diagonální matici D kon-
V2  "I 4/
gruentní s A. Současně najděte regulární matici P takovou, že D = PTAP.
I
' 5	0	0	4	-1 0
0	-s		-4	1 0
0		i0S	-f	-1 s-
	-h	-/		
X*		-A		
	0	5~		
Os
b"   O O
0  0 Šbá
A  -H 'í
0 o s-
A
"3iT
A 0
* 0 -10 s
s o o \ <f f O 0 -r o -4^0
?'A? - D
Příklad. 2. Symetrická bilineární forma / : l3 x M3 -4 R má v souřadnicích standardní báze vyjádření f(u,v) = xiyi + 2xiy2 + 3xiy^+ 2x2yi + 3x3y1. (x a y jsou souřadnice vektorů uavve standardní bázi.) Najděte v M^nějakou její polární bázi, tj. bázi j3 v jejíž souřadnicích má / vyjádření f(u, v) = buxm + &22Ž2JŽ2 + hzxzyz. Toto vyjádření rovněž najděte, (x a y jsou souřadnice vektorů uavv bázi j3.)
A
V
\
K 0 0
o4 o
00
\
4	2	3 ]	ei
Z	Ů	0	
3	0	Ď \	
			
'4	1	3 í	?1 "
0			
0	-6	-S j	i_.-1
et			
As
AS
Příklad. 2. Symetrická bilineámí forma / : M3 x R3 -> M má v souřadnicích standardní báze vyjádření f(u, v) = xiyi + 2xxy2 + + 2x2yi + Zx^. (xay jsou souřadnice vektorů u a v ve standardní bázi.) Najděte v M^nějakou její polární bázi, tj. bázi /? v jejíž souřadnicích má / vyjádření f(u, v) = bnžm + b22x2y2 + &33Ž3Ž/3. Toto vyjádření rovněž najděte, (x a y jsou souřadnice vektorů uavv bázi
3, SAČÓ^L   /Up^/V?CL/*A4-> Z-
4	0	0		
0	-či	-é		
0	- é	- f		
>	\	>		
— /V
3   svóz><ý£C St*fH&2.
3. - 3^2,
r			4, N
		-é	
		-/í	
\			/
4	0		
			
0			
			
	1		
(4-3,2Í
a,
S"
Příklad. 3. Zjistěte, zda následující funkce jsou kvadratické formy. Pokud ano, napište odpovídající symetrickou bilineární formu a matici této formy ve standarní bázi prostoru R2 neboR2[x].
a) /
b) g
c) h
d) k
l2 -> R, f (x) = x\ +       - 5x2, i2 -> R,        = x2 + 4x!X2 - 5s|, ř2fó -> Ř,Jip) = p(l)p(2) + 4p(3)3, i2[x] -> R, jj(p) = p(l)p(2) + 4p(3>'(8).
Zde p'(8) značí derivaci polynomu p v čísle 8.
^ A— A
- -3
4
0 /yúxsHjí- /ďio
4 1-
3
Příklad. 3. Zjistěte, zda následující funkce jsou kvadratické formy. Pokud ano, napište odpovídající symetrickou bilineární formu a matici této formy ve standarní bázi prostoru R2
neboM2[s],
a) /
b) g
c) h
d) k
. -> R, f (x) = x\ + XiX2 - 5x2, R2 -» R,áKx) = x\ + AXlx2 - 5x1 R2[x]    f, J» = p(l)p(2) + 4p(3)3, :2[x] -> R,       = p(l)p(2) + 4p(3)p'(8).
Zde p'(8) značí derivaci polynomu p v čísle 8.
f^^^ fĹ^"+ ■
j, (p) - f-/, 4.<f3 ~ &
^
kí-// Kč*,*)
3fí
\
si ^
3 M 4fr ^
Příklad. 4. Kvadratická forma / : R3 -s- R má ve standardní bázi vyjádření
f(u) = 2x\ + 2xix2 -x\- 2x2x3 - x\. Najděte její vyjádření v bázi a = ((1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)). Dále najděte nějakou její polární bázi, tj. bázi /5, v jejíž souřadnicích je f(u) = bnx\ + b22x\ + &33Ž3, kde čísla ba = 0,1 nebo -1.    /fa q^X^   /h "^jUjum^ -f-,
f : ze * k —>
"R
- v
-10 =• i.
		-1	e'Y)	/ ^	0	
	-1	0		/1 -/	-f	
-1	0	-1				
			/			
As
Příklad. 4. Kvadratická forma /
R má ve standardní bázi vyjádření
f(u) = 2x\ + 2x\X2 — x\ — 2x2X3 — x\.
Najděte její vyjádření v bázi a = ((1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)). Dále najděte nějakou její polární bázi, tj. bázi /3, v jejíž souřadnicích je f(u) = bnx\ + 622^2 + ^33^3» kde čísla ba = 0,1 nebo -1.   4I/í(Á/jl,       <f>U2sOous^ t
\
-i 4 0 A    2. -/
o -1 -1
e, \
3
A7
y O
/\s
As
Als
\
as
-1	0	0		ez
0	-1	-1	c	
0	-1	3	eť r e z.	
-1	0	0		
0	-1	0		
0	0	H		
/V
/-'Z O o ' 0-1-1
\ O O H
e. ^
/
As
-1	0	0
0	~í	0
0	0	1
4z.
2-' Z-
^'^yiastu<(l   £ %i   (T/fj zfo) ^(fi>d^ 4{ j&ctL^-1 Ĺ ý*v£sLO}
Příklad. 5. Definují následující symetrické bilineární formy skalární součin na M3? Pokud ano, napište pro ně Caychyovu nerovnost.
a) f{x, y) = Ziyi + 3x2y2 + 5x3y3 + 3ziy3 + 3x3y1 - x2y3 - x3y2,
b) f(x, y) = xiyi + 3x2y2 + 5x3y3 + 2xxy3 + 2x3y1 - x2y3 - x3y2,
c) f(x, y) = xxy2 + x2yx + 2xxy3 + 2x3y! + 4a;2ž/3 + 4z3y2,
d) /(a;, y) = zij/i - 2ziy2 - 2z2yi + 5z2?/2 - x2y3 - x3y2 + 2x3y3.
7^    ACtCiLf^ f^^t^U.
lA i 4 0-2-0 3 -1
, z.-/
\
v
5
Příklad. 5. Definují následující symetrické bilineární formy skalární součin na R3? Pokud ano, napište pro ně Caychyovu nerovnost.
a) f(x, y) = xxVi + 3x2y2 + 5x3y3 + 3xxy3 + 3^3^ - x2y3 - x3y2,
b) f(x, y) = xxyx + 3x2y2 + 5x3y3 + 2xxy3 + 2x3y1 - x2y3 - x3y2,
c) /O, y) = xm + x2yx + 2xxy3 + 2x3yi + Ax2y3 + 4x3y2,
d) f(x, y) = rciyi - 2x-yy2 - 2x2yx + 5x2y2 - x2y3 - x3y2 + 2x3y3.
0 i  £. \
1 O h \z f OJ
\ J    .z 5" -1 )
\0-l 2 /
0-
Z