4. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. K symetrické matici A = I 1    3    — 1 I najděte diagonální matici D kon-
V2  -1 4/
gruentní s A. Současně najděte regulární matici P takovou, že D = PTAP.
Poznámka. Matice D ani P nejsou určeny jednoznačně. Jednoznačně je určen pouze počet kladných a záporných čísel na diagonále matice D, tj. signatura matice D.
Příklad. 2. Symetrická bilineární forma / : IR3 x IR3 —> IR má v souřadnicích standardní báze vyjádření f(u,v) = xľyľ + 2xľy2 + 3xľy3 + 2x2y\ + 3x3y\. (x a y jsou souřadnice vektorů uauve standardní bázi.) Najděte v IR3 nějakou její polární bázi, tj. bázi (3 v jejíž souřadnicích má / vyjádření f(u, v) = bužiýi + b22x2y2 + b33x3y3. Toto vyjádření rovněž najděte, (x a y jsou souřadnice vektorů iiauv bázi (5.)
Poznámka. Polární báze není určena jednoznačně. Jednoznačně je určen pouze počet kladných a záporných koeficientů v zápisu bilineární formy v souřadnicích polární báze.
Příklad. 3. Zjistěte, zda následující funkce jsou kvadratické formy. Pokud ano, napište odpovídající symetrickou bilineární formu a matici této formy ve standarní bázi prostoru IR2 nebo IR2 M •
a) / : IR2 ->• IR, f(x) = x\ + xxx2 - 5x2,
b) g : IR2 —^ IR, g(x) = x\ + ^X\x2 — 5x1,
c) h : R2[x] -> R, h(p) = p(l)p(2) + 4p(3)3,
d) k : R2[x] -> IR, k(p) = p(l)p(2) + 4p(3)p'(8). Zde p'(8) značí derivaci polynomu p v čísle 8.
Příklad. 4. Kvadratická forma / : IR3 —> IR má ve standardní bázi vyjádření
f(u) = 2x\ + 1x\X2 — x\ — 2x2x3 — rr2.
Najděte její vyjádření v bázi a = ((1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)). Dále najděte nějakou její polární bázi, tj. bázi (3, v jejíž souřadnicích je f{u) = h\\x\ + h22x\ + 633X3, kde čísla ba = 0, 1 nebo —1. Určete signaturu /.
Příklad. 5. Definují následující symetrické bilineární formy skalární součin na IR3? Pokud ano, napište pro ně Caychyovu nerovnost.
a) f(x, y) = xxyx + 3x2y2 + 5x3y3 + 3xty3 + 3x3yt - x2y3 - x3y2,
b) f(x, y) = xxy\ + 3x2y2 + 5x3y3 + 2xľy3 + 2x3y± - x2y3 - x3y2,
c) f(x, y) = xxy2 + x2yx + 2xxy3 + 2x3yx + Ax2y3 + Ax3y2,
d) f(x, y) = xxy\ - 2xxy2 - 2x2yx + 5x2y2 - x2y3 - x3y2 + 2x3y3.
Domácí úloha
Příklad. Kvadratická forma / : IR4 —> IR má ve standardní bázi vyjádření
f(u) = 2x\x2 + %X\X3 — 2x2x3 — 8x2^4 + 8x3X4.
1
2
Najděte nějakou bázi (3, v jejíž souřadnicích je f{u) = h\\x\ + 622^2 + ^33^3 + bu^l, kde čísla ba = 0, 1 nebo — 1.