'A
5. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Pomocí Cauchyovy nerovnosti dokažte nerovnost mezi aritmetických a kvadratickým průměrem nezáporných reálných čísel xux2,...,xn
X! + x2 +----Vxn      jx\ + xl + ---+x2n
n "V n
Kdy nastane rovnost?
Ov* /^u^jzým^vo    i/f Il> • / i—5—i-rí"1
Y, = Y:
(D
2
Příklad. 2. Najděte ortonormální bázi podrostoru
S = [(1,2, -1,3,1), (5,2, -1, 7,1), (2, -1,2, -4, -2)] c M5,
jestliže prostor M5 bereme se standardním skalárním součinem. Použijte k tomu prvně Gram-mův-Schmidtův ortogonalizační proces a potom získané vektory ortogonální báze vynor-mujte (tj. vydělte normou, abyste získali vektory jednotkové velikosti).
^   = (2,-1,2-^-2.)    ./mj$ewjL<   ýírw^u' (Sm^n^t^u
o
2
Příklad. 2. Najděte ortonormální bázi podrostoru
S = [(1, 2, -1, 3,1), (5, 2, -1, 7,1), (2, -1, 2, -4, -2)] c R5;
jestliže prostor M5 bereme se standardním skalárním součinem. Použijte k tomu prvně Gram-mův-Schmidtův ortogonalizační proces a potom získané vektory ortogonální báze vynor-mujte (tj. vydělte normou, abyste získali vektory jednotkové velikosti).
3
Příklad. 3. V R5 se standardním skalárním součinem najděte ortogonální doplněk podpro-Moru
V =[(1,2,-1,-3,3), (1,-2,3,1,-1)].
i/; ^ ^el^e^^-ii 2,-1 r3i 3) ^
--(1-2, 3, i,"f) .     éhte'-**^ /a*^*«-
= ( p H/-^        f f (^,^^o)fs('1,i,^ qo)
Příklad. 4. Spočtěte kolmou projekci vektoru u = (2,11, -3, -k 7) do podurostoru V a jeho ortogouáluiho doplňku V± z předchozího příkladu. *       Podprostoru 1/ a
\kŮMjXo   jj^^to /ittl&uo M/ tfo- féftýjsvbciv V
« - Tm J- V7
Dosa^c'^   av<rbvz  oa. Tu dvstaneš ^sédWw c   soustavu   tfvou irovhi'c 0L<*<,<rd ^<*y*>
-f Z /6
-kO
'      7 x .^7
' 5"
Součeů 4. a 2. niti iq
Příklad. 4. Spočtěte kolmou projekci vektoru u = (2,11, —3, —^ 7) do podprostoru V a jeho ortogonálního doplňku V1- z předchozího příkladu.
-5~ -5"
[o 5
íffeXwét' ^jj^cAce, /ueJA&uts  ao    črte- ^^^A^yť^uo V
- (i, 6,-*/-?,*)
-{4,^2, 1,0).
5
Příklad. 5. Uvažujme Rn se standardním skalárním součinem a nadrovinu p
axxi + a2x2 H-----h anxn = 0.
Pomocí skalárního součinu napište předpis lineárního zobrazení P : R™ -> Rn, které je kolmou projekcí do nadroviny p. (Předpokládáme, že (ax, a2,..., an) ^ (0,0,..., 0).)
-Lij.
— k • v     í    A &
fit <ji ->$j-ciz 1 - ■ fQ**^
5
Příklad. 5. Uvažujme Rn se standardním skalárním součinem a nadrovinu p
aiXi + a2x2 H-----H anxn = 0.
Pomocí skalárního součinu napište předpis lineárního zobrazení P : Rn ->• En, které je kolmou projekcí do nadroviny p. (Předpokládáme, že (a1, a2,..., an) ^ (0, 0,..., 0).)
®
Příklad. 6. Nechť v :     _> M3 je koJmá projekce ^ ^
2ari -x2+ 2x3 = 0. Najděte matici A tvaru 3 x 3 takovou, že v souřadnicích standardní báze
je
xh
*3
^jz. ^3
<2-
v
3
(Les s^®- /í^Us^tMj
(li ^ (*-',2)>
*3
Příklad. 6. Nechť <p : M3 -> M3 je kolmá projekce na rovinu
2zi - x2 + 2x3 = 0. Najděte matici ,4 tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
'X!
(p(x) = Ax = A [ x2
^3,
4
\
(2*4- >^2^) H_)
/
3
t2xž tS-Xj
3
2    g 2
f
R3 je kolmá projekce na rovinu
2xi - x2 + 2x3 = 0 Najděte matici A tvaru 3x3 takovou, že
2 -r ^3 — u.
souřadnicích standardní báze je
ip{x) = Ax = A
fXi
^dunoví
i f
/CO AT
14 1 O 4   O -i
As
40 4 \ $04 -2-0 2- l ,/L/   ^ ^
/L/
§ 0 0\5 Q.~4\ 06 0 2 i l
z s
0 0%
•S
22
t h
3
-f 2. S