5. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Pomocí Cauchyovy nerovnosti dokažte nerovnost mezi aritmetických a kvadratickým průměrem nezáporných reálných čísel xi,x2,... ,xn
X\ -\- X2 ~\~ ' ' ' ~\~ Xn ^     / X-y -\- X<2 ~t~ ' ' ' ~t~ X^t
n ~ V n
Kdy nastane rovnost?
Příklad. 2. Najděte ortonormální bázi podrostoru
S = [(1,2,-1,3,1), (5,2,-1,7,1), (2,-1,2,-4,-2)] CM5,
jestliže prostor IR5 bereme se standardním skalárním součinem. Použijte k tomu prvně Gram-mův-Schmidtův ortogonalizační proces a potom získané vektory ortogonální báze vynor-mujte (tj. vydělte normou, abyste získali vektory jednotkové velikosti).
Příklad. 3. V IR5 se standardním skalárním součinem najděte ortogonální doplněk podpro-storu
V= [(1,2,-1,-3,3), (1,-2,3,1,-1)].
Příklad. 4. Spočtěte kolmou projekci vektoru u = (2,11, —3, —4, 7) do podprostoru V a jeho ortogonálního doplňku V± z předchozího příkladu.
Příklad. 5. Uvažujme IRn se standardním skalárním součinem a nadrovinu p
a\X\ + 02^2 + • • • + o,nxn = 0.
Pomocí skalárního součinu napište předpis lineárního zobrazení P : IRn —> W1, které je kolmou projekcí do nadroviny p. (Předpokládáme, že (ai, a2, • • •, a>n) Ý (0, 0,..., 0).)
Příklad. 6. Nechť tp : IR3 —ř IR3 je kolmá projekce na rovinu
2xi — x2 + 2x3 = 0. Najděte matici A tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
íXl\
(f{x) = Ax = A \ x2 .
w
Domácí úloha k 5. cvičení
Příklad. 1. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 6, úloha ld.] Najděte ortonormální bázi podrostoru
V= [(1,1,3,3,4), (1,3,-5,-7,-1), (1,-1,5,7,-3)] CM5,
jestliže prostor IR5 bereme se standardním skalárním součinem.
1
Příklad. 2. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 7, úloha 1]
V IR5 se standardním skalárním součinem najděte kolmou projekci vektoru u = (1, 2, 3,4, 5)
do vektorových podprostorů
V= [(3,3,2,1,3), (5,1,4,-1,1)]
W= [(1,-3,4,-2,2), (1,5,-8,-2,4), (1,-9,16,4,-4)]
Ve druhém případě spočtěte prvně ortogonální doplněk W± a kolmou projekci vektoru u do W±.
Příklad. 3. Nechť tp : IR3 —>• IR3 je kolmá projekce na přímku p procházející počátkem se směrovým vektorem (1, —2,1). Najděte matici B tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
(f{x) = Bx = B \ x2 .