7. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení
/5  2  -3\ /xx (p : R3 -> R3,   ^(ar) =4 5  -4   ■ \x2
V6 4  "V W
Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru R3, napište matici zobrazení <p v této bázi.
^    ^   /WMAfsHL' A^^t'   ^^L-       ^>*^   ^ ■
^ ^   /^etM^.' ýAÁ^r A^ifC ^J^^*^
p 5    éfáuoÁM^M^ 6^
fs-^)z(^^) - 4Ž - 4£ + U 15-7) ■t^t'h) -flkíS-l) =
®
7. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení
/5 2  -3\ (xi
<p : M3    IR3,   ^(z) =4 5  -4 x2
\6 4  -47 \z3,
Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru M3, napište matici zobrazení u> v této bázi.
Č£^au/^m' A^tl^u ^n^y>tf ^Íí-^íX- a-tcx>6<,<í<4</ &ů>*v š.   ŮČCť^Oi' yp^,   ťi, ±2/ ±3, ±é.
^ ^*3-
	(4	-1	-4					
	0	-2					-2	
	\o	-Z					0	
<^ž^ tt&fýl Č^í^y    /yo*Cc r/ú% fs2*t£s :
'W^T  -^<w   ^ 3 - (V/ 2/ 2)
2-
9
fa,)) (?(«>))
Příklad. 2. Najděte vlastní čísla a vlastní podprostory lineárního zobrazení
ý> : ™3
1    -1 1 ý{x) = ( -1    1 1 ,-1  -1 3,
Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru E3, napište matici zobrazení ip v této bázi.
-4 -i
4
4
3-
t(1-^) tí^T)
/' -1  O -i
\
4-1 -4 -1    1-1 1 -1     -1 3-1
\
O O
0
-1
4 1
4
-1   -1 2.
0-14 V o  o O
1-4    4  \ h< -1   4-1 4
_ /
-1     -1 3-2
x
1r/l£l£>&*^/
(4,14)
0 J
01
5"
2
Příklad. 2. Najděte vlastní čísla a vlastní podprostory lineárního zobrazení
/l -1 1>		
-111	•	
Ui -i 3y		
Pokud lze z vlastních vektorů sestavit bázi prostoru M3, napište matici zobrazení ip v této bázi.
As
fi     (é sf <rf t) - é     O, i) +s(-1t 4f o) , (9 (9 z
AP (■dz.) =- í ^ =
Příklad. 3. Najděte vlastní čísla a jejich algebraickou a geometrickou násobnost u lineárního zobrazení
<p : ur ->
¥>0) =
(B	-1 0	0\	
i	1 0	0	
3	0 5	-3	^3
\4	-1 3	-v	V*/
Bázi vlastních podprostorů doplňte na bázi a celého prostoru R4 a napište matici zobrazení <p v této bázi.
okí
	- 4		
		\ o	o
			
U		i ^	
4 1-1
Aoti-^í,      04OMl^ ý^-ípu>r:
'í
3
4
-1	0	
		0 l
0	3	
-/	3	-3/
{ 4 -4  O 0\ 0  0  0 0 4  0   4 -i [4-100,
Příklad. 3. Najděte vlastní čísla a jejich algebraickou a geometrickou násobnost u lineárního zobrazení
<P
ip(x) =
/8	-1 0		
i	1 0	°	
3	0 5		^3
V4	-1 3	-v	W
Bázi vlastních podprostorů doplňte na bázi a celého prostoru M4 a napište matici zobrazení 9? v této bázi.
/ v o o \    o   o o
řf, p-f, f i 1°
- (0(4,4, <V) + f (-1,-1,4,0)
2.
7
- f-^f
) - ID
0
~1 í
'O \
o
©
r3\		i% \	
-i		1 3	f /o
(9			0
1-5/		.o	U
CL
'ß>A
2 0
D 2
O Q
\ 0 0
-1 -3
0 -3
a. o
0 2.
q>Ut)( (f>/^)f q>f**)t <řfo
(D
Příklad. 4. Pomocí vlastních čísel a vektorů zjistěte, které z následujících matic jsou podobné diagonální matici nad M a které nad C.
/O 0  -2\ /4   7 -5\ A  2 -5N
i4=   1 2   1    ,   B=   -4 5   0    , C=   6 4 -9 V1  0   3 /             V 1   9-4/ \5 3 -7,
/ftuUCe*,   A //C
/kčAs&Hy   slovu. /^<^U/tu^    £f ■ íltk—*?IK^ čóeýi'owéi-
Qfakw/L <m&>u^    <ŤUoUS /*,-3 .
/
e,< / faXe
či A 2. i- ^ & s
\
O 2 O DO Z.
Příklad. 4. Pomocí vlastních čísel a vektorů zjistěte, které z následujících matic jsou podobné diagonální matici nad R a které nad C.
/O 0  —2\ (AI  -5\ /4 2 -5N
.4=12    1    ,   B =   -4 5   0,   C =   6 4 -9 V1  0   3 / V 1    9  "V \5  3 -7,
/fúziám j£ 4^f^O J , / ^
/.y   O D o £+?>e o
o o z-sc
//y
'4 ér
4 t 1
0-2 3
-/   4 -2 \
H    2 -<T
Príklad. 5. Zobrazení (p je symetrií prostom R3 podle přímky procházející počátkem se směrovým vektorem (1,1,1). Napište předpis tohoto zobrazení v souřadnicích standardní báze ve tvaru <p(x) = Ax. Jaké má <p vlastní čísla a vektory?
Cf (4i ) =- ^1
fkw, w «< f        ' ***** x
čfíúz.) = -^2-!    (ft^i) =-^3 .
Příklad. 5. Zobrazení y? je symetrií prostoru E3 podle přímky procházející počátkem se směrovým vektorem (1,1,1). Napište předpis tohoto zobrazení v souřadnicích standardní báze ve tvaru <p(x) = Ax. Jaké má (p vlastní čísla a vektory?
H D
^^^^^^
9    A -
*f**,*5
4 14
0-11 -1 0-1,
As
4  4 4
O i -1 0 0 -3
4 -/ -/
1 4 o
-2 -Z 4
O O i
0
0	Ú					
y						
		%	2/3		\ ^3	(f Cd) /
2 -Y 2 \ 2.   Z -y
3
A (1) Ji)
AÍ?) ■f J
Příklad. 6. Zobrazení <p : M3 —>■ R3 je kolmá projekce na rovinu
x1 - x2 + x3 = 0.
Napište předpis tohoto zobrazení v souřadnicích standardní báze ve tvaru tp(x) = Bx. Jaké má (p vlastní čísla a vektory?
fy'jWtO .AjÍ/k'/T^   syCtf'sr&eo   ym^^O ý&Ja^
Příklad. 6. Zobrazení tp : R3 —>• R3 je kolmá projekce na rovinu
x\ — x2 + x3 = 0.
Napište předpis tohoto zobrazení v souřadnicích standardní báze ve tvaru <p(x) = Bx. Jaké má <p vlastní čísla a vektory?
	4,1 \	I"	4	0	4	1
		0	4	4	0	/
	o 1	\ 4	-1	1	0	0
As
As
4 1 0
0 4 4 0 '1 *
4 0 0 0 4 0 0 0 4
1 4 0\ 0 4 i I ^ -1-1 0 j
fh 7s </3
"*3 % %
14 4 0 ^ 0 0 ?>
4 4 O \ 0 4 -/ -14 2-1
3 = |
2.	-f	
'Z		
-7		2-