8. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Lineární zobrazení tp : R2 —» R2
fxi \ _ /cos a  — sin a\   íx\ ^ \ x2 J     \sm a    cos a y \x2
je otočení o úhel a proti směru hodinových ručiček. Přesvědčte se o tom tím, že zobrazíte
0\    (r cos [ŕ
vektoryei=^,e2 = ^av
Ukažte podle definice, že je to ortonormální operátor. Spočtěte determinant příslušné matice a v oboru komplexních čísel najděte její vlastní čísla.
0
1
^Aiŕ,   &K^J U#'«4 J
f  <   srna f ÓD^WS) /l> ^[^)
/Kralup/m*,        ^ta;^;
8. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Lineární zobrazení ip : M2 —>• M2
cos o;  — sin a \   / x\ Kx2 J     l^sin a    cos a J \x2/
je otočení o úhel a proti směru hodinových ručiček. Přesvědčte se o tom tím, že zobrazíte
^ = (^ = (3.(^1;
Ukažte podle definice, že je to ortonormální operátor. Spočtěte determinant příslušné matice a v oboru komplexních čísel najděte její vlastní čísla.
^7   (AsOQfct 4s/h>>o S
			
	1=------                         r ^		
6^
/km cL é&OíA
(M,
/H. A/l &~
■2.
Příklad. 2. Zobrazení
M -4 K2 je symetrie podle přímky Xl - 2x2 = 0. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je <p íXl ) = 5 • ( Xl ).
Tato' i<-™, Xí„l„ „»1______;___v________ A  V,   , VX2/
Jaká jsou vlastní čísla zobrazení <p a čemu se rovná det Bl
4
As
4 •£ 0 +5
-1 a. h -3
./ -2.
5,
/V
y o i ^ 9/s
2
Příklad. 2. Zobrazení ip : M2 —>• M2 je symetrie podle přímky    - 2x2 = 0. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je ip ^j1^ = B ■ . Jaká jsou vlastní čísla zobrazení <p a čemu se rovná det B,_
25
Příklad. 3. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Ax, kde
l/2   -1 -2^ \-2  -2 -1
{ r /Hul* /OW**^'
y /A^Ha ' /(Hp^AU^   ýuz&k, A^OnA<^
ftu'smAsti/ A A'<ú>  ^^^^ .
ty AtmA^     r^aAA ji'   AeAA =       a, aA^A '
^^W' ^   /&4.C&at£u /pAlA^'sm_y /uz/Ujxmks A   zMW^W^   étr/AA> A-J. äA rdsiotr   ^        /uAA .
Příklad. 3. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Ax, kde
1 / 2   -1  -2 , A=-\-l   2   -2 .
3
-2  -2 -1
$ M -1 -2\
2 -2 ~{l
8+1-*)
A, AvC^yuu  ^č**^' A*e*^ ( r***^^ "
^   ^yip^^^    sfJ%M& Áí^faytžs
X*/ >z.f   -2*3 = #
7-
Příklad. 4. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Bx, kde
1
-1 2
B = -    2 2-1 1 -1    2 2
3    ^f^^^Au'
7-75
-41
■5» I
2L 3
3 3
—ŕ
3   ''
4>
/V
A/
4 0
0
■ 4 ■3 5
As
1-4 -4
0 4 \0 O
2. \ -1 0
t (4,4,1) , h*0_
®
Příklad. 4. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení ip(x) = Bx, kde
'2   -1 2
B = l I 2     2 -1
3
-1    2 2
imi h<e(*)H       íifl z [oj (-/,
Příklad. 5. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Cx, kde
-2   1 -2N -2  -2 1 1    -2 -2
C =
1
<?U^í>nz'£iuLr spote
-/ -2 -Z
Z?
-2-2
2?
/a a ^ \
As
		4
		3
		3 1
\ 3		
		
\ 3		
	1 <	Y -
	0	3 -
	\ o	-3
-2,
3 3
3
V
-7
-2 /f ^
0 o
4 2
•1
Příklad. 5. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Cx, kde
C= ±   -2  -2 1
3
1    -2 -2,
O
é (i, i /)
^  2T  ^ /vtiÚKco (4, -1, 0) A  /KeUH«, [ 4, 0, i) . 3
Příklad. 6. Nechť ip : R3    R3 je symetrie podle roviny
2si — x2 + 2x3 = 0. Najděte matici A tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
%2
/Ir   /trnout/   /2Z>  y^A^VH^í    ./fUL yl^J-ey _
Ao - { <f, 2, o) f (4, O, -i)
As
/
1 o
1 2
	{4 0	-1	t 1	o	-1\
	0 1	4	0		a
	k0-4	h	-h	a	0
3
0
o
o -3 3 -36
O 3
/V
I q
0
o
3
\o o e J
4I1 V? ~8js 4/9   Vf *t\3
Příklad. 6. Nechť ip : R3 —>■ R3 je symetrie podle roviny
2xi — x<i + 2^3 = 0. Najděte matici ^4 tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
ip(x) = Ax — A \x2 -
4 »
Příklad. 7. Zobrazení (p: R3 —»• E3 je rotace kolem přímky
xi - x2 = 0 , £3 = 0
převádějící vektor (0,0,2)T na vektor (y/2, -y/2,0)T. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je <p(x) — Bx.
<áŕ?7 oc =---í-<~~ =.
//*// //W
/
nfsu'úU^ Cf(t<), ífl^), <f(**) ■ 2        95 fe-)
4 4 o 0 0 1
4 4 o \ (440
V-z-V2- o
0 0-2-/
A.;
0-2Í2 o \0 0 4
Příklad. 7. Zobrazení ip : R3    R3 je rotace kolem přímky
£1 - £2 = 0 ,     = 0
převádějící vektor (0,0,2)T na vektor (^2, —\/2, 0)r. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je <p(x) = Bx.
/Ks
4	4	O	4		0
0	4	0	A z.	2-	-~p
0	0	A	■z.	_ V z 2-	0
'4 0 0 0 4 0
\0 0 4
2.
)
lA   o 0s
3 =
2 =(y>ř£/^
/ ^3
Z.
//    ^ -IT2,
\fe íí. 0/