8. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Lineární zobrazení ip : IR2 —> IR2
Xi\     f cos a   — smaX   i x\
%2J     V srna    cos a l \x2 je otočení o úhel a proti směru hodinových ručiček. Přesvědčte se o tom tím, že zobrazíte
Vekt0ryei=(j)'e2=(?)a(rsľn^)-
Ukažte podle definice, že je to ortonormální operátor. Spočtěte determinant příslušné matice a v oboru komplexních čísel najděte její vlastní čísla.
Příklad. 2. Zobrazení p> : IR2 —> IR2 je symetrie podle přímky xi — 2x2 = 0. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích ie o? ( Xl ) = B ■ [Xl Jaká jsou vlastní čísla zobrazení íp a čemu se rovná det BI
Příklad. 3. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení (p(x) = Ax, kde
Příklad. 4. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení (p(x) = Bx, kde
2-12
Příklad. 5. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení (p(x) = Cx, kde
-2N
Příklad. 6. Nechť ip : IR3 —ř IR3 je symetrie podle roviny
2xi — x2 + 2x3 = 0. Najděte matici A tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je
íxi
<f(x) = Ax = A I x2 W
2
Příklad. 7. Zobrazení tp : IR3 —>• IR3 je rotace kolem přímky
xi — x2 = 0 , x3 = 0
převádějící vektor (0, 0, 2)T na vektor (y/2, — y/2, 0)T. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je <p(x) = Bx.
Domácí úloha k 8. cvičení
Příklad. 1. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 10, úloha la.] Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p(x) = Gx, kde
/O    0 -1N F =    1    0 0 \0  -1 0
Příklad. 2. Zjistěte, jakou geometrickou transformaci popisuje zobrazení <p{x) = Fx, kde
■1    0 0N G=I 0     0 1
0   -1 o,
Příklad. 3. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 10, úloha 2b.] Zobrazení tp : IR3 —ř IR3 je rotace kolem přímky
x2 — x3 = 0 , X\ = 0
převádějící vektor (2, 0, 0)T na vektor (0, y/2, —\/2)T. Najděte matici B takovou, že ve standardních souřadnicích je <p(x) = Bx.
Příklad. 4. Nechť tp : IR3 —ř IR3 je symetrie podle roviny
xl — x2 + x3 = 0.
Najděte matici C tvaru 3x3 takovou, že v souřadnicích standardní báze je <p(x) = Cx.