v
9. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Uvažujme samoadjungovaný lineární operátor <p : R2 -> R3, ^(x) = Ac, kde
/4 2 2N 4 = [ 2 4 2 V2 2 4,
Najděte vlastní čísla tohoto operátoru a ortonormální bázi v R3, která je tvořena vlastními vektory operátoru <p. Napište podobnost mezi maticí A a diagonální maticí s vlastními čísly na diagonále.
^      * ^^ué*'í
f<t» /niet**, a, y*- e M,    fc-^ 1/1
/rwiliets A ^>f<A* y A = /4 .
- fa     f ~~
©
9. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Uvažujme samoadjungovaný lineárni operátor <p : R2 -> M3, ^(z) = Ax, kde
'4 2 2N 2 4 2
,2 2 4y
Najděte vlastní čísla tohoto operátoru a ortonormální bázi v M3, která je tvořena vlastními vektory operátoru (p. Napište podobnost mezi maticí A a diagonální maticí s vlastními čísly na diagonále.
■2. 2.
/
9. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Uvažujme samoadjungovaný lineárni operátor (p
/4  2 2N A =   2 4 2 \2  2 4
<p(x) = Ax, kde
Najděte vlastní čísla tohoto operátora a ortonormální bázi v E3, která je tvořena vlastními vektory operátoru ip. Napište podobnost mezi maticí A a diagonální maticí s vlastními čísly na diagonále.
% = 2.
Z   2. -Z 2   2. Z-/
O o o
\ (9 O O
i -Z   1 ) f
\o  o  o J
4 (1,-1,°)
I
-7
2-
Tž. 6
9. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Uvažujme samoadjungovaný lineárni operátor <p : R2 —>• R3, </j(:e) = Ar, kde
/4 2 2" A = í 2 4 2 \2  2 4,
Najděte vlastní čísla tohoto operátoru a ortonormální bázi v IR3, která je tvořena vlastními vektory operátoru ip. Napište podobnost mezi maticí A a diagonální maticí s vlastními čísly na diagonále.
fiAUu ($>)
A
(<Z 0 o ~   I O 2 0
19 O S
6L
X
i- á. L
Tí r& ri
-i -< -í
ti E P
^ Vó 15
\
\ t
u
M,
-r n
č)
\
/t
i-    jl 3-
l '//3 'tfs '/s/
9. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Uvažujme samoadjungovaný lineárni operátor <p : R2 —» M3, y?(x) = Ar, kde
/4 2 2N 4=2 4 2
V2  2 4y
Najděte vlastní čísla tohoto operátoru a ortonormální bázi v M3, která je tvořena vlastními vektory operátoru (p. Napište podobnost mezi maticí A a diagonální maticí s vlastními čísly na diagonále.
6b /)m<^^^J Jh2^čjnu£MM.t^ /
o O &
In
U 2.
1   -2- n
/i	a
	a
a	4 Í3
		
0	2.	
	O	
		/
Príklad. 2. Uvažujme kvadratickou formu / zadanou v souřadnicích standardní báze takto
f (x) = 4x1 + 4x22 + *4 + 4Xlx2 + 4Xlx3 + 4x2x3.
Najděte ortonormální bázi, v jejíž souřadnicích má kvadratická forma / diagonální tvar Ten rovnez napište.
\
2- ti ^
■2-   2- ty
ď       £ Ct) =        x> = (4*) • x - %rA*
^ tí- F4" ^^^^
r
2
Příklad. 2. Uvažujme kvadratickou formu / zadanou v souřadnicích standardní báze takto
f(x) = 4x\ + 4x\ + 4x23 + 4^i^2 + 4xjx3 + 4x2x3.
Najděte ortonormální bázi, v jejíž souřadnicích má kvadratická forma / diagonální tvar. Ten rovněž napište.
t
Jí fa) - 4f%f * ty**-* ,
Aste-   4,,^,-.^ '
%% o
0lč>iůi spet-w-čĽ    4£^2e,<^tAs   /msie,^   /poise /<c^-^us
i ty) - V^%<^\
Příklad. 3. Uvažujme kvadratickou formu g zadanou v souřadnicích standardní báze takto
g{x) = 17x1 +       + 14^3 + 4xix2 - 4xix3 + 8x2X3. Najděte ortonormální bázi, v jejíž souřadnicích má kvadratická forma g diagonální tvar. Ten
rovnez napište.
v
a!z<L
	
	
-z	
\-<2	H
= (A J-1) [<f*-7)1~- 46 -46 - 4 (ft-n) - 46(4?~i) - ¥ (-f*-*)
3
Příklad. 3. Uvažujme kvadratickou formu g zadanou v souřadnicích standardní báze takto
g(x) = 17x1 + 14x22 + Uxl + 4xlX2 - 4Xlxs + 8x2x3.
ÄSST-" báZÍ' V JCJÍŽ S0UřadnÍCÍCh ^ kVadmÍCká f0mia ' dÍ^onáInř tv-r. Ten
(33 -		x -
		_ ^
		
\ -2	4	
£> c> o
f
Příklad. 4. V souřadnicích standardní báze napište matici kolmé projekce P : R3 -» R3 na rovinu
^i + x2 + x3 = 0. Ukažte, že F je samoadjungovaný operátor.
ty*) ^ A * ■
1 -1 d\
o í -i
-f  Y 0
V
0 ^ ^ -/ ^
M;
1 4-1 0 D 4 '1
\ o o s
A{ -i 0\      U -4 0
0  4 -1
o o oj
TY*)
4-1 D\     (4   0 0
Ž.
3
4
± i
3   " 3 1
3   43 '3
_ jí 3)
i 2 3 3
4
Příklad. 4. V souřadnicích standardní báze napište matici kolmé projekce P : R3 —> R3 na rovinu
x\ + x2 + x3 = 0. Ukažte, že P je samoadjungovaný operátor.
A -
3
\
*3
Q á&ct/Út'/tviiZ;     Á&&l*U)u^   ^řXíí/ sZ*čJU&Uo
3
1*1- 4^r^^y3) \
3
4
Príklad. 4. V souřadnicích standardní báze napište matici kolmé projekce P : R3 -> R3 na rovinu
x1 + x2 + x3 = 0. Ukažte, že P je samoadjungovaný operátor.
3
-1 1-1
\-1 -1 z