9. cvičení z lineární algebry II
Příklad. 1. Uvažujme samoadjungovaný lineárni operátor (p : IR2 —> IR3, (p(x) = Ax, kde
/4  2 2\ A =   2  4  2 . \2 2 4/
Najděte vlastní čísla tohoto operátoru a ortonormální bázi v IR3, která je tvořena vlastními vektory operátoru tp. Napište podobnost mezi maticí A a diagonální maticí s vlastními čísly na diagonále.
Příklad. 2. Uvažujme kvadratickou formu / zadanou v souřadnicích standardní báze takto
f{x) = 4x2 + Ax\ + 4x2 + 4x1x2 + 4lX\x% + 4x2x3.
Najděte ortonormální bázi, v jejíž souřadnicích má kvadratická forma / diagonální tvar. Ten rovněž napište.
Příklad. 3. Uvažujme kvadratickou formu g zadanou v souřadnicích standardní báze takto
g{x) = Ylx\ + 14^2 + 14^3 + Axix2 — Ax^x^ + 8x2X3.
Najděte ortonormální bázi, v jejíž souřadnicích má kvadratická forma g diagonální tvar. Ten rovněž napište.
Příklad. 4. V souřadnicích standardní báze napište matici kolmé projekce P : IR3 —> IR3 na rovinu
xi + x2 + x3 = 0. Ukažte, že P je samoadjungovaný operátor.
Domácí úloha k 9. cvičení
Příklad. 1. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 11, úloha 2.]
V souřadnicích standardní báze napište matici kolmé projekce P : IR3 —ř IR3 na rovinu
3xi + Ax2 + 5^3 = 0.
Ukažte, že P je samoadjungovaný operátor.
Příklad. 2. [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 11, úloha 3b.] Uvažujme kvadratickou formu g zadanou v souřadnicích standardní báze takto
g{x) = 2x\ + hx\ + 5xg + Ax\x2 — Axix% — 8x2X3.
Najděte ortonormální bázi, v jejíž souřadnicích má kvadratická forma g diagonální tvar. Ten rovněž napište.
1