Odchylky afinních podprostorů v euklidovském prostorů
Bud' n G N přirozené číslo. Budeme se věnovat odchylkám afinních podprostorů kladných dimenzí v euklidovskem vektorovem prostoru En, to jest ve vektorovem prostoru Rn se standardním skalárním součinem (x,y) h-> (x,y).
Odchylku dvou afinních podprostoru P, Q kladních dimenzí v euklidovskem vektorovem prostoru En znacíme symbolem /(P, Q) a definujeme ji jako odchylku /(Z (P), Z (Q)) zamerení Z (P), Z (Q) techto afinních podprostoru:
/(P, Q) = /(Z(P),Z(Q)).
To znamena, ze se v dalsím vykladu muzeme omezit na odchylky nenu-lovích vektorovích podprostoru euklidovskeho vektoroveho prostoru En.
V nasledující definici odchylky dvou nenulovích vektorovích podprostoru euklidovskeho vektoroveho prostoru En budou figurovat odchylky dvojic nenulovích vektoru z Rn vypoctene v euklidovskem prostoru En. Pripomenme proto, ze pro odchylku /(x, y) libovolních dvou nenulovích vektoru x, y G Rn v euklidovskem prostoru En jsme v predchozím textu odvodili formuli:
(x, y)
cos/(x, y) =.........
l|x|H|y||
Doplňme jeste, ze pro libovolne dva nenulove vektory x, y G Rn odtud plyne vztah
1 < 1,
||x|ľ||y||
coz je fakticky instance Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti. Pro kterekoliv dva nenulove vektory x, y G Rn to mí za nísledek, ze tyto dva vektory mají v euklidovskem prostoru En podle predchozí formule jednoznacne urcenou odchylku /(x, y) nachízející se v intervalu <0,n>.
Jsou-li nyní V, W dva nenulove vektorove podprostory v euklidovskem vektorovem prostoru En splňující podmínku V H W = {o}, je jejich odchylka /(V, W) v euklidovskem prostoru En definovína formulí
/(V, W) = inf{/(x,y) : x G V - {o}, y G W - {o}}.
1
Je zřejmé, na rozdíl od odchylky dvou nenulových vektorů v euklidovském prostoru En, Ze odchylka dvou nenulových vektorových podpro-storů v euklidovskem prostoru En, jejichZ prunik je nulovy podprostor, se vZdy nachýzí v intervalu <0, | >.
V dalsím výkladu se nebudeme venovat obecnemu prípadu odchylky dvou nenulových vektorových podprostoru V, W v euklidovskem vekto-rovem prostoru En splňujících podmínku V H W = {o}, ale omezíme se pouze na studium nekterých specialních prípadu, vesmes prevoditelných na situaci, kdy alespoň jeden ze zmínených vektorových podprostoru V, W je jednorozmerný. Pro obecný prípad odkazujeme napríklad na skripta:
Bohumil išmarda, Lineírní algebra, SPN, Praha 1985, kap. IX, §5.
Nicmene z obecných poznatku o odchylkých dvou nenulových vektorových podprostoru V, W v euklidovskem vektorovem prostoru En splňujících podmínku V H W = {o} plyne, ze odchylka takových dvou vektorových podprostoru V, W se vzdy realizuje jako odchylka vhodných konkretních nenulových vektoru x G V a y G W. To ale znamena, ze predchozí definicní formuli pro odchylku dvou nenulových vektorových podprostoru V, W v euklidovskem vektorovem prostoru En splňujících podmínku V H W = {o} lze prepsat ve tvaru
Poznamenejme jeste, ze doposud diskutovaný prípad, kdy V, W jsou dva nenulove vektorove podprostory v euklidovskem vektorovem pro-
splňeno V C W--). V teto situaci ale zrejme mame /(V, W) = |.
Dokonceme nyní definici odchylky dvou nenulových vektorových podprostoru V, W v euklidovskem vektorovem prostoru En v prípade, kdy
V H W = {o}. Jestlize V C W nebo W C V, pak prirozene klademe /(V, W) = 0. Jestlize vsak V H W = {o}, avsak soucasne V ^ W a W ^ V, pak uvazíme vektorove podprostory V = V H (V H W)--a W = W H (V H W)--. Pak zrejme V a W jsou nenulove vektorove podprostory euklidovskeho vektoroveho prostoru En splňující podmínku
V H W = {o}. Vtom prípade klademe /(V, W) = /(V, W).
2
Věnujme se nyní konkrétně situaci, kdy vektorový podprostor V euklidovského vektorového prostoru En je jednorozměrný. To znamený, že V = [u] pro nektery (kterýkoliv) nenulový vektor u z V. Mame urCit odchylku vektorovýeho podprostoru V od nenulovýeho vektorovýeho pod-prostoru W. V takovem prípade obvykle mluvíme o odchylce vektoru u od vektoroveho podprostoru W a znaCíme ji symbolem /(u, W). Pokud u G W, pak ovsem /(u, W) = 0. Pokud u G W--, pak zrejme /(u, W) = 2. Pokud vsak u G W a take u G W--, uvazme ortogonalný projekci z vektoru u do vektoroveho podprostoru W. Ponevadz u G W--, je z = o. Ponevadz dale u G W, je take u — z = o, a navíc V n W = {o}. Uvidíme, ze pak /(u, W) = /(u,z). K tomu stacý podle definice odchylky vektorových podprostoru V = [u] a W ukýzat, ze pro libovolný nenulový vektor y G W je /(u, y) ^ /(u, z). Ponevadz ale u — z G W--, dostaývýame
cos /(u, y) =
uy)   = (z + u — z, y)
u
u
z, y)
u
lyl lyl
+
u
z, y)
z, y)
u
u
z, z)
u
z, z)
l ull ll ul + (u — z, z) =
u, z)
u
u
u
= cos /(u, z)
s vyuzitím Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti. Ponevadz funkce cos (/? je na intervalu <0,n> klesající, plyne odtud výse zmýnena potrebna nerovnost /(u, y) ^ /(u, z) pro kazdý nenulový vektor y G W. To potvrzuje, ze
/(u, W) = /(u, z),
kde z je ortogonýalnýí projekce vektoru u do vektorovýeho podprostoru W v euklidovskem prostoru En.
Dale se kratce venujme situaci, kdy n > la kdy vektorový podprostor V euklidovskeho vektoroveho prostoru En mý dimenzi n — l, tedy situaci, kdy vektorovyý podprostor V je nadrovina v euklidovskýem vektorovem prostoru En. Tehdy jeho ortogonýlní doplnek V-- je jednorozmerný vektorový podprostor, takze mýme V-- = [r], anebo ekvivalentne V = [r]-- pro nekterý (kterýkoliv) nenulový vektor r z V-1. Takový vektor r se nazýva normalový vektor nadroviny V. Výpocet odchylky
3
této nadroviny V od nenulového vlastního vektorového podprostoru W euklidovského vektorového prostoru En lze převést na výpočet odchylky normálového vektoru r nadroviny V od zmínéného vektorového podprostoru W. Platí totiZ následující tvrzení (viz napríklad skripta MFF Univerzity Komenského: Pavol Zlatos, Linearna algebra a geometria, Bratislava 2010, §14.3).
Pro libovolnyí nenulovyí vlastní vektorovyí podprostor W euklidovskíeho vektorového prostoru En a pro libovolní nenuloví vektor r z tohoto euklidovskíeho vektorovíeho prostoru platí rovnost
/(r, W) + Z([r]-S W) = n.
Dluzno podotknout, ze bez predpokladu, ze v tomto tvrzení vystupuje jen nenuloví vektor r sím, jinak rečeno, ze zde figuruje pouze jednorozmerný vektoroví podprostor [r], tato rovnost obecné neplatí.
Na zaklade poznatku z predchozích odstavcu umíme odchylku /(r, W) v této rovnosti vypocítat. Umíme proto vypocítat i odchylku /([r]-, W), to jest, pri oznacení z predminulého odstavce, umíme vypocítat i odchylku /(V, W) nadroviny V = [r]- od vektorového podprostoru W.
Navíc pro libovolnyí nenulovyí vlastní vektorovíy podprostor W euklidovského vektorového prostoru En a pro libovolní nenuloví vektor r z tohoto euklidovského vektorového prostoru platí zrejmé rovnost
/(r, W) + /(r, W-) = 2.
Kombinací této rovnosti s predchozí rovností dostívame konecné rovnost
/([r]-, W) = /(r, W-).
Pritom rovnéz odchylku /(r, W-) umíme na zíkladé poznatku z mi-nulích odstavcu vypocítat. Dostavíme tak dalsí moznost, jak vypocítat i odchylku /([r]-, W), to jest, pri drívéjsím oznacení, mame dalsí zpusob, jak vypocítat i odchylku /(V, W) nadroviny V = [r]- od vektorového podprostoru W v euklidovském vektorovém prostoru En.
4