Program přednášky z lineární algebry II, jaro 2019
1. přednáška: Bilineární formy. Definice bilineárního zobrazení a bilineární formy, matice bilineární formy v dané bázi, změna matice bilineární formy při přechodu od jedné báze k druhé bázi, kongruentní matice. Symetrické bilineární formy a matice. Kongruence matic. Každá symetrická matice je kongruentní s diagonální maticí - popis a zdůvodnění algoritmu, který provádí stejné řádkové a sloupcové operace.
2. přednáška: Bilineární a kvadratické formy. Algoritmus pro nalezení báze, v níž má symetrická bilineární forma diagonální tvar. Definice kvadratické formy. Diagonalizace kvadratické formy. Polární báze. Sylvestrův zákon setrvačnosti.
3. přednáška: Kvadratické formy. Skalární součin. Signatura kvadratické formy. Sylvestrův zákon setrvačnosti. Kriterium kongruence symetrických matic. Pozitivně definitní, negativně definitní a indefinitní kvadratické formy. Hlavní minory a Syl-vestrovo kriterium.
Skalární součin na reálných a komplexních vektorových prostorech, příklady. Velikost vektoru, kolmé vektory. Cauchyova nerovnost, úhel dvou vektorů.
4. přednáška: Skalární součin a eukleidovská geometrie. Trojúhelníková nerovnost, Pythagorova věta. Ortogonální vektory, Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces. Ortonormální báze. Kolmá projekce do podprostoru. Vzdálenost afinních pod-prostorů.medskip
5. přednáška: Odchylky podprostoru, ortonormální báze. Lineární operátory.
Odchylky přímek, odchylky afinních podprostoru. Role kolmé projekce při počítání odchylky přímky a podprostoru.
Vlastnosti ortonormální báze - vyjádření souřadnic a skalárního součinu.
Lineární operátory. Matice lineárního operátoru v dané bázi. Invariantní podprostory.
Příklad na invariantní podprostor.
6. přednáška: Lineární operátory, vlastní čísla a vlastní vektory. Definice a výpočet vlastních čísel a vektorů. Charakteristický polynom. Kořeny polynomů a jejich počítání. Matice lineárního operátoru v bázi tvořené vlastními vektory.
7. přednáška: Vlastní čísla a vektory. Ortogonální a unitární operátory.
Definice algebraické a geometrické násobnosti vlastního čísla a jejich vztah. Definice unitárního a ortogonálního operátoru. Základní vlastnosti. Příklady zadané pomocí ortogonálních a unitárních matic. Determinant má absolutní hodnotu 1. Vlastní čísla a vlastní vektory těchto operátorů. Každý unitární operátor má v prostoru na kterém operuje ortonormální bázi tvořenou vlastními vektory. Ortogonální operátory v dimenzi 2 - otočení kolem počátku a symetrie podle přímky procházející počátkem.
8. přednáška: Ortogonální operátory II. Samoadjungované operátory.
Ortogonální operátory v dimenzi 3.
l
2
Adjungované lineární zobrazení k danému zobrazení, samoadjungované operátory, symetrické a hermitovské matice. Vlastnosti vlastních čísel a vektorů. Pro každý samo-adjungovaný operátor existuje ortonormální báze tvořená vlastními vektory. Důsledky: spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.
9. přednáška: Samoadjungované operátory II, singulární rozklad matice, pseudoinverzní matice.
Diagonalizace kvadratických forem v ortonormální bázi. vztah mezi samoadjungo-vanými operátory a symetrickými bilineárními formami.
Singulární rozklad matice A = PSQ*. Důkaz, který dává návod k výpočtu. Sloupce Q jsou ortonomální vlastní vektory ui,..., un matice A*A. Matice S je "diagonální"s odmocninami z vlastních čísel matice A* A. Sloupce matice P jsou normované vektory Auí, pokud jsou nenulové, zbývající jsou doplněním do ortonormální báze. Příklad. Geometrická interpretace.
Definice pseudoinverzní matice pomocí singulárního rozkladu. Vlastnosti pseudoin-verzních matic. Výpočet pseudoinverze z definice nebo pomocí inverzní matice k matici A* A.
10. přednáška: Pseudoinverzní matice a jejich aplikace. Další rozklady matic. Pseudoinverzní matice a jejich vlastnosti. Nalezení nejlepší aproximace řešení soustavy Ax = 6, pokud soustava není řešitelná, pomocí pseudoinverze, x = A^~^b. Příklad na lineární regresi.
Polární rozklad matice aplikací singulárního rozkladu.
QR rozklad čtvercové matice s použitím Grammova-Schmidtova ortogonalizačního procesu.
11. přednáška: Jordánův kanonický tvar I. Jordánův kanonický tvar, věty o Jordánově kanonickém tvaru, řetězce. Příklady na výpočet Jordánova kanonického tvaru u matic 3 x 3 a 4 x 4.
12. přednáška: Jordánův kanonický tvar II, aplikace na řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic.
Další úlohy na Jordánův kanonický tvar v dimenzi 4.
Aplikace JKT na soustavy diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Výpočet pro matici A diagonální, v Jordánově tvaru, podobné matici v Jordánově tvaru.
13. přednáška: Důkaz Jordánovy věty. Základní myšlenka důkazu věty o JKT. Definice nilpotentního operátoru. Kořenové podprostory a jejich vlastnosti. Pro daný operátor splňující předpoklady Jordánovy věty je prostor direktním součtem kořenových podprostorů. Pro daný nilpotentní operátor najdeme jeho rozklad na direktní součet podprostorů, z nichž na každém je operátor cyklický. Tím dostaneme řetězce, které dávají bázi potřebnou pro Jordánův kanonický tvar.