11. BILINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FORMY Jan Paseka Masarykova univerzita Brno 14. února 2020 Abstrakt Nejjednodušším netriviálním příkladem multilineárních zobrazení jsou tzv. bilineární zobrazení. Z nich se budeme soustředit hlavně na bilineární formy, tj. na bilineární zobrazení s hodnotami v příslušném číselném tělese. Od bilineárních forem je už jen krok k tzv. kvadratickým formám. Abstrakt Nejjednodušším netriviálním příkladem multilineárních zobrazení jsou tzv. bilineární zobrazení. Z nich se budeme soustředit hlavně na bilineární formy, tj. na bilineární zobrazení s hodnotami v příslušném číselném tělese. Od bilineárních forem je už jen krok k tzv. kvadratickým formám. Tímto krokem vystoupíme ze světa objektů lineárních (tj. "prvého stupně") a dostaneme sa do světa objektů kvadratických (tj. "druhého stupně"). Abstrakt Nejjednodušším netriviálním příkladem multilineárních zobrazení jsou tzv. bilineární zobrazení. Z nich se budeme soustředit hlavně na bilineární formy, tj. na bilineární zobrazení s hodnotami v příslušném číselném tělese. Od bilineárních forem je už jen krok k tzv. kvadratickým formám. Tímto krokem vystoupíme ze světa objektů lineárních (tj. "prvého stupně") a dostaneme sa do světa objektů kvadratických (tj. "druhého stupně"). V celé kapitole K označuje nějaké pevné ale jinak libovolné číselné těleso. Vektorovým prostorem budeme rozumět vektorový prostor nad K. Obsah přednášky I Bilineární zobrazení a bilineární formy Matice bilineární formy. Hodnost bilineární formy. Obsah přednášky I Bilineární zobrazení a bilineární formy Matice bilineární formy. Hodnost bilineární formy. Symetrické bilineární formy a kvadratické formy Symetrické a antisymetrické bilineární formy. Rozklad bilineární formy, kvadratická a polární forma. Obsah přednášky I Bilineární zobrazení a bilineární formy Matice bilineární formy. Hodnost bilineární formy. Symetrické bilineární formy a kvadratické formy Symetrické a antisymetrické bilineární formy. Rozklad bilineární formy, kvadratická a polární forma. Diagonalizace kvadratických a symetrických bilineárních forem Lagrangeova metoda. Kongruence matic a diagonalizace symetrických matic. Bilineární zobrazení a bilineární formy I Nechť U, V , W jsou vektorové prostory nad číselným tělesem K. Říkáme, že F : U × V → W je bilineární zobrazení, pokud pro všechna x, x1, x2 ∈ U, y, y1, y2 ∈ V a c1, c2 ∈ K platí F(x, c1y1 + c2y2) = c1F(x, y1) + c2F(x, y2), F(c1x1 + c2x2, y) = c1F(x1, y) + c2F(x2, y). Bilineární zobrazení a bilineární formy I Nechť U, V , W jsou vektorové prostory nad číselným tělesem K. Říkáme, že F : U × V → W je bilineární zobrazení, pokud pro všechna x, x1, x2 ∈ U, y, y1, y2 ∈ V a c1, c2 ∈ K platí F(x, c1y1 + c2y2) = c1F(x, y1) + c2F(x, y2), F(c1x1 + c2x2, y) = c1F(x1, y) + c2F(x2, y). Zobrazení F : U × V → W je bilineární právě tehdy, když 1. pro libovolné pevné x ∈ U je přiřazením y → F(x, y) definované lineární zobrazení V → W 2. a pro libovolné pevné y ∈ V je přiřazením x → F(x, y) definované lineární zobrazení U → W . Bilineární zobrazení a bilineární formy II Příklad Pro pevné m, n, p je předpisem F(A, B) = A · B dané bilineární zobrazení F : Km×n × Kn×p → Km×p . Tedy násobení matic je bilineární zobrazení mezi vektorovými prostory matic příslušných rozměrů. Bilineární zobrazení a bilineární formy II Příklad Pro pevné m, n, p je předpisem F(A, B) = A · B dané bilineární zobrazení F : Km×n × Kn×p → Km×p . Tedy násobení matic je bilineární zobrazení mezi vektorovými prostory matic příslušných rozměrů. Příklad Pro libovolné vektorové prostory U, V je předpisem F(ϕ, x) = ϕ(x) definované bilineární zobrazení F : L(V , U) × V → U. To znamená, že na dosazení argumentu do funkce se můžeme dívat jako na bilineární zobrazení na příslušných vektorových prostorech. Nejdůležitějším případem takovéhoto bilineárního zobrazení je tzv. dualita V ∗ × V → K. Bilineární zobrazení a bilineární formy III Příklad Pro libovolné vektorové prostory U, V , W je předpisem F(ϕ, ψ) = ϕ ◦ ψ definované bilineární zobrazení F : L(V , U) × L(W , V ) → L(W , U). Tedy kompozici můžeme chápat jako bilineární zobrazení na uvedených vektorových prostorech lineárních zobrazení. Bilineární zobrazení a bilineární formy III Příklad Pro libovolné vektorové prostory U, V , W je předpisem F(ϕ, ψ) = ϕ ◦ ψ definované bilineární zobrazení F : L(V , U) × L(W , V ) → L(W , U). Tedy kompozici můžeme chápat jako bilineární zobrazení na uvedených vektorových prostorech lineárních zobrazení. Bilineární formou na vektorových prostorech U, V rozumíme libovolné bilineární zobrazení F : U × V → K. Bilineární zobrazení a bilineární formy IV Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory s bázemi α = (u1, . . . , um) resp. β = (v1, . . . , vn). Bilineární zobrazení a bilineární formy IV Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory s bázemi α = (u1, . . . , um) resp. β = (v1, . . . , vn). Potom pro libovolnou matici A = (aij ) ∈ Km×n je předpisem F(x, y) = (x)T α · A · (y)β = m i=1 n j=1 aij xi yj , kde (x)α = (x1, . . . , xm)T , (y)β = (y1, . . . , yn)T jsou souřadnice vektorů x ∈ U, y ∈ V v příslušných bazích, definovaná bilineární forma F : U × V → K. Bilineární zobrazení a bilineární formy IV Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory s bázemi α = (u1, . . . , um) resp. β = (v1, . . . , vn). Potom pro libovolnou matici A = (aij ) ∈ Km×n je předpisem F(x, y) = (x)T α · A · (y)β = m i=1 n j=1 aij xi yj , kde (x)α = (x1, . . . , xm)T , (y)β = (y1, . . . , yn)T jsou souřadnice vektorů x ∈ U, y ∈ V v příslušných bazích, definovaná bilineární forma F : U × V → K. Obráceně, každá bilineární forma na vektorových prostorech U, V má uvedený tvar pro jednoznačně určenou matici A ∈ Km×n, kde aij = F(ui , vj ). Bilineární zobrazení a bilineární formy V Maticí bilineární formy F : U × V → K vzhledem na báze α, β nazýváme matici [F]α,β = F(ui , vj ) ∈ Km×n , která je složena z hodnot formy F na dvojicích vektorů bazí α, β. Bilineární zobrazení a bilineární formy V Maticí bilineární formy F : U × V → K vzhledem na báze α, β nazýváme matici [F]α,β = F(ui , vj ) ∈ Km×n , která je složena z hodnot formy F na dvojicích vektorů bazí α, β. Tvrzení Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory s bázemi α, resp. β a F : U × V → K je bilineární forma. Potom pro všechna x ∈ U, y ∈ V platí F(x, y) = (x)T α · [F]α,β · (y)β a A = [F]α,β je jediná matice s touto vlastností. Bilineární zobrazení a bilineární formy VI Speciálně každá bilineární forma F : Km × Kn → K na (sloupcových) vektorových prostorech Km , Kn má tvar F(x, y) = xT · A · y = m i=1 n j=1 aij xi yj , kde A = [F]ε(m),ε(n) je matice formy F vzhledem na kanonickou bázi ε(m), ε(n). Bilineární zobrazení a bilineární formy VI Speciálně každá bilineární forma F : Km × Kn → K na (sloupcových) vektorových prostorech Km , Kn má tvar F(x, y) = xT · A · y = m i=1 n j=1 aij xi yj , kde A = [F]ε(m),ε(n) je matice formy F vzhledem na kanonickou bázi ε(m), ε(n). Tvrzení Nechť V1, V2 jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K, α1, β1 jsou dvě báze prostoru V1, α2, β2 jsou dvě báze prostoru V2 a F : V1 × V2 → K je bilineární forma. Potom [F]β1,β2 = (Pα1,β1 )T · [F]α1,α2 · Pα2,β2 . Bilineární zobrazení a bilineární formy VII Příklad Nechť F : Km × Kn → K je bilineární forma a α, β jsou nějaké báze prostorů Km, resp. Kn. Označme A = [F]α,β, M = [F]ε(m),ε(n) matice formy F vzhledem na báze α, β, resp. vzhledem na kanonické báze ε(m) , ε(n) . Pak platí A= Pε(m),α T · M · Pε(n),β = αT · M · β, M= Pα,ε(m) T · A · Pβ,ε(n) = α−1 T ·A · β−1 . Bilineární zobrazení a bilineární formy VIII Tvrzení Nechť U je m-rozměrný a V je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem K. Potom pro libovolné matice A, B ∈ Km×n jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) A, B jsou matice té stejné bilineární formy F : U × V → K vzhledem na nějaké dvě dvojice bazí prostorů U, V ; (ii) existují regulární matice P ∈ Km×m , Q ∈ Kn×n takové, že B = P · A · Q; (iii) h(A) = h(B). Bilineární zobrazení a bilineární formy VIII Tvrzení Nechť U je m-rozměrný a V je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem K. Potom pro libovolné matice A, B ∈ Km×n jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) A, B jsou matice té stejné bilineární formy F : U × V → K vzhledem na nějaké dvě dvojice bazí prostorů U, V ; (ii) existují regulární matice P ∈ Km×m , Q ∈ Kn×n takové, že B = P · A · Q; (iii) h(A) = h(B). Na základě uvedeného tvrzení můžeme korektně definovat hodnost h(F) bilineární formy F na konečně rozměrných vektorových prostorech jako hodnost jejich matice vzhledem k libovolné dvojici bazí. Bilineární zobrazení a bilineární formy VIII Důsledek Pro každou bilineární formu F : U × V → K na konečně rozměrných vektorových prostorech nad tělesem K můžeme zvolit bázi α prostoru U a bázi β prostoru V tak, že F má vzhledem k bazím α, β matici v blokovém tvaru [F]α,β = Ih 0h,n−h 0m−h,h 0m−h,n−h , kde m = dimU, n = dimV a h = h(F). Bilineární zobrazení a bilineární formy IX Je-li F : U × V → K libovolná bilineární forma, tak pro každé x ∈ U je předpisem ϕx(y) = F(x, y) definovaný lineární funkcionál ϕx : V → K, tj. prvek duálu V ∗ = L(V , K) vektorového prostoru V . Bilineární zobrazení a bilineární formy IX Je-li F : U × V → K libovolná bilineární forma, tak pro každé x ∈ U je předpisem ϕx(y) = F(x, y) definovaný lineární funkcionál ϕx : V → K, tj. prvek duálu V ∗ = L(V , K) vektorového prostoru V . Položíme-li F∗ (x) = ϕx, je tím definované zobrazení F∗ : U → V ∗ . Bilineární zobrazení a bilineární formy IX Je-li F : U × V → K libovolná bilineární forma, tak pro každé x ∈ U je předpisem ϕx(y) = F(x, y) definovaný lineární funkcionál ϕx : V → K, tj. prvek duálu V ∗ = L(V , K) vektorového prostoru V . Položíme-li F∗ (x) = ϕx, je tím definované zobrazení F∗ : U → V ∗ . Budeme se zabývat otázkou, pro jaké F má každý lineární funkcionál ϕ ∈ V ∗ tvar ϕ = F∗(x) pro nějaké, případně pro jediné x ∈ U. Bilineární zobrazení a bilineární formy X Věta (a) Nechť U, V jsou vektorové prostory a F : U × V → K je bilineární forma. Potom F∗ : U → V ∗ je lineární zobrazení. (b) Jsou-li U, V konečně rozměrné, pak h(F∗ ) = h(F). V důsledku toho je F∗ injektivní právě tehdy, když h(F) = dimU, a F∗ je surjektivní právě tehdy, když h(F) = dimV . Bilineární zobrazení a bilineární formy X Věta (a) Nechť U, V jsou vektorové prostory a F : U × V → K je bilineární forma. Potom F∗ : U → V ∗ je lineární zobrazení. (b) Jsou-li U, V konečně rozměrné, pak h(F∗ ) = h(F). V důsledku toho je F∗ injektivní právě tehdy, když h(F) = dimU, a F∗ je surjektivní právě tehdy, když h(F) = dimV . Důsledek Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory stejné dimenze. Potom pro každou bilineární formu F : U × V → K jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) F∗ : U → V ∗ je lineární izomorfismus; (ii) h(F) = dimU = dimV ; (iii) pro libovolné báze α, β prostorů U, resp. V je [F]α,β regulární matice. Bilineární zobrazení a bilineární formy XI Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory stejné dimenze. Bilineární forma F : U × V → K sa nazývá regulární, pokud splňuje některou (a tedy všechny) z podmínek posledního důsledku; v opačném případě se F nazývá singulární. Bilineární zobrazení a bilineární formy XI Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory stejné dimenze. Bilineární forma F : U × V → K sa nazývá regulární, pokud splňuje některou (a tedy všechny) z podmínek posledního důsledku; v opačném případě se F nazývá singulární. Můžeme pak zvolit bázi α prostoru U a bázi β prostoru V tak, že F má vzhledem k bazím α, β matici [F]α,β = In, kde dimU = dimV = n. Symetrické bilineární formy a kvadratické formy I V této části se budeme výlučně věnovat bilineárním formám, ve kterých první i druhá proměnná probíhá nad tím stejným vektorovým prostorem V , t. j. bilineárními formami tvaru F : V × V → K. Budeme je nazývat bilineárními formami na vektorovém prostoru V . Symetrické bilineární formy a kvadratické formy I V této části se budeme výlučně věnovat bilineárním formám, ve kterých první i druhá proměnná probíhá nad tím stejným vektorovým prostorem V , t. j. bilineárními formami tvaru F : V × V → K. Budeme je nazývat bilineárními formami na vektorovém prostoru V . Bilineární forma F : V 2 → K se nazývá symetrická, pokud pro všechna x, y ∈ V platí F(x, y) = F(y, x). Symetrické bilineární formy a kvadratické formy I V této části se budeme výlučně věnovat bilineárním formám, ve kterých první i druhá proměnná probíhá nad tím stejným vektorovým prostorem V , t. j. bilineárními formami tvaru F : V × V → K. Budeme je nazývat bilineárními formami na vektorovém prostoru V . Bilineární forma F : V 2 → K se nazývá symetrická, pokud pro všechna x, y ∈ V platí F(x, y) = F(y, x). Bilineární forma F : V 2 → K sa nazývá antisymetrická, pokud pro všechna x, y ∈ V platí F(x, y) = −F(y, x). Symetrické bilineární formy a kvadratické formy II Tvrzení Nechť F je bilineární forma na vektorovém prostoru V nad tělesem K tak, že char K = 2. Pak F můžeme rozložit na součet F = F0 + F1 pro jednoznačně určené bilineární formy F0, F1 na V , přičemž F0 je symetrická a F1 je antisymetrická. Symetrické bilineární formy a kvadratické formy II Tvrzení Nechť F je bilineární forma na vektorovém prostoru V nad tělesem K tak, že char K = 2. Pak F můžeme rozložit na součet F = F0 + F1 pro jednoznačně určené bilineární formy F0, F1 na V , přičemž F0 je symetrická a F1 je antisymetrická. Je-li F bilineární forma na konečně rozměrném vektorovém prostoru V s bází α = (u1, . . . , un), tak pod maticí formy F vzhledem na tuto bázi budeme rozumět její matici vzhledem na dvojici bazí α, α; značíme ji [F]α. Tedy [F]α = [F]α,α = F(ui , uj ) n×n . Symetrické bilineární formy a kvadratické formy III Připomeňme, že čtvercová matice A = (aij )n×n sa nazývá symetrická, pokud A = AT , t. j. pokud pro všechna i, j ≤ n platí aij = aji ; podobne, A sa nazývá antisymetrická, pokud A = −AT , t. j. pokud pro všechna i, j ≤ n platí aij = −aji . Symetrické bilineární formy a kvadratické formy III Připomeňme, že čtvercová matice A = (aij )n×n sa nazývá symetrická, pokud A = AT , t. j. pokud pro všechna i, j ≤ n platí aij = aji ; podobne, A sa nazývá antisymetrická, pokud A = −AT , t. j. pokud pro všechna i, j ≤ n platí aij = −aji . Tvrzení Nechť α je libovolná báze konečně rozměrného vektorového prostoru V a F : V 2 → K je bilineární forma na V . Potom (a) F je symetrická právě tehdy, když její matice [F]α je symetrická; (b) F je antisymetrická právě tehdy, když její matice [F]α je antisymetrická. Symetrické bilineární formy a kvadratické formy III Násobení v tělese můžeme chápat jako bilineární formu F : K2 → K, kde F(a, b) = ab pro a, b ∈ K. Ztotožněním první a druhé proměnné dostáváme zobrazení q : K → K, kde q(a) = F(a, a) = a2 , t. j. "a-kvadrát". Symetrické bilineární formy a kvadratické formy III Násobení v tělese můžeme chápat jako bilineární formu F : K2 → K, kde F(a, b) = ab pro a, b ∈ K. Ztotožněním první a druhé proměnné dostáváme zobrazení q : K → K, kde q(a) = F(a, a) = a2 , t. j. "a-kvadrát". Zobecněním tohoto postupu dospějeme k pojmu kvadratické formy. Symetrické bilineární formy a kvadratické formy III Násobení v tělese můžeme chápat jako bilineární formu F : K2 → K, kde F(a, b) = ab pro a, b ∈ K. Ztotožněním první a druhé proměnné dostáváme zobrazení q : K → K, kde q(a) = F(a, a) = a2 , t. j. "a-kvadrát". Zobecněním tohoto postupu dospějeme k pojmu kvadratické formy. Zobrazení q : V → K vektorového prostoru V do tělesa K sa nazývá kvadratická forma na V , pokud existuje bilineární forma F : V 2 → K taková, že pro všechna x ∈ V platí q(x) = F(x, x). Říkáme, že bilineární forma F indukuje kvadratickou formu q. Symetrické bilineární formy a kvadratické formy IV Je-li F : V 2 → K nějaká bilineární forma a G : V 2 → K je libovolná antisymetrická bilineární forma, tak F(x, x) = F(x, x) + G(x, x), neboť nutně G(x, x) = 0. Zejména F(x, x) = F0(x, x) + F1(x, x) = F0(x, x). Symetrické bilineární formy a kvadratické formy IV Je-li F : V 2 → K nějaká bilineární forma a G : V 2 → K je libovolná antisymetrická bilineární forma, tak F(x, x) = F(x, x) + G(x, x), neboť nutně G(x, x) = 0. Zejména F(x, x) = F0(x, x) + F1(x, x) = F0(x, x). Polární formou kvadratické formy q : V → K nazýváme symetrickou bilineární formu F : V 2 → K, která indukuje formu q. Symetrické bilineární formy a kvadratické formy IV Je-li F : V 2 → K nějaká bilineární forma a G : V 2 → K je libovolná antisymetrická bilineární forma, tak F(x, x) = F(x, x) + G(x, x), neboť nutně G(x, x) = 0. Zejména F(x, x) = F0(x, x) + F1(x, x) = F0(x, x). Polární formou kvadratické formy q : V → K nazýváme symetrickou bilineární formu F : V 2 → K, která indukuje formu q. Tvrzení Nechť q je kvadratická forma na vektorovém prostoru V nad tělesem K tak, že char K = 2. Potom existuje jediná symetrická bilineární forma F : V 2 → K tak, že q(x) = F(x, x) Symetrické bilineární formy a kvadratické formy V Tvrzení Nechť q : V → K je kvadratická forma a F : V 2 → K je její polární forma tak, že char K = 2. Potom pro libovolné x, y ∈ V platí F(x, y)= 1 2 (q(x + y) − q(x) − q(y)) = 1 2 (q(x) + q(y) − q(x − y)) = 1 4 (q(x + y) − q(x − y)). Symetrické bilineární formy a kvadratické formy V Tvrzení Nechť q : V → K je kvadratická forma a F : V 2 → K je její polární forma tak, že char K = 2. Potom pro libovolné x, y ∈ V platí F(x, y)= 1 2 (q(x + y) − q(x) − q(y)) = 1 2 (q(x) + q(y) − q(x − y)) = 1 4 (q(x + y) − q(x − y)). Tyto rovnosti jsou jednoduchým zevšeobecněním známých vzorců ab= 1 2 (a + b)2 − a2 − b2 = 1 2 a2 + b2 − (a − b)2 = 1 4 (a + b)2 − (a − b)2 platných pro libovolné a, b ∈ K. Symetrické bilineární formy a kvadratické formy VI Maticí kvadratické formy q : V → K na konečně rozměrném vektorovém prostoru V nad tělesem K tak, že char K = 2, vzhledem na bázi α nazýváme matici její polární formy vzhledem na tuto bázi a značíme ji [q]α. Matice [q]α je tímto požadavkem jednoznačně určená a je to vždy symetrická matice. Symetrické bilineární formy a kvadratické formy VI Maticí kvadratické formy q : V → K na konečně rozměrném vektorovém prostoru V nad tělesem K tak, že char K = 2, vzhledem na bázi α nazýváme matici její polární formy vzhledem na tuto bázi a značíme ji [q]α. Matice [q]α je tímto požadavkem jednoznačně určená a je to vždy symetrická matice. Hodností kvadratické formy q potom nazýváme hodnost její matice vzhledem na jakoukoliv bázi a značíme ji h(q). Zřejmě hodnost h(q) nezávisí od volby báze a rovná sa hodnosti h(F) příslušné polární formy. Symetrické bilineární formy a kvadratické formy VI Maticí kvadratické formy q : V → K na konečně rozměrném vektorovém prostoru V nad tělesem K tak, že char K = 2, vzhledem na bázi α nazýváme matici její polární formy vzhledem na tuto bázi a značíme ji [q]α. Matice [q]α je tímto požadavkem jednoznačně určená a je to vždy symetrická matice. Hodností kvadratické formy q potom nazýváme hodnost její matice vzhledem na jakoukoliv bázi a značíme ji h(q). Zřejmě hodnost h(q) nezávisí od volby báze a rovná sa hodnosti h(F) příslušné polární formy. Kvadratická forma sa nazývá regulární, resp. singulární, pokud má příslušnou vlastnost její polární forma. Diagonalizace kvadratických a symetrických bilineárních forem I Je-li F : V 2 → K libovolná bilineární forma na konečně rozměrném vektorovém priestoru V a A = (aij )n×n je její matice vzhledem k nějaké bázi α prostoru V , tak pro indukovanou kvadratickou formu q : V → K a všechna x ∈ V platí q(x) = F(x, x) = (x)T α · A · (x)α = n i=1 n j=1 aij xi xj , kde (x)α = (x1, . . . , xn)T jsou příslušné souřadnice. Diagonalizace kvadratických a symetrických bilineárních forem I Je-li F : V 2 → K libovolná bilineární forma na konečně rozměrném vektorovém priestoru V a A = (aij )n×n je její matice vzhledem k nějaké bázi α prostoru V , tak pro indukovanou kvadratickou formu q : V → K a všechna x ∈ V platí q(x) = F(x, x) = (x)T α · A · (x)α = n i=1 n j=1 aij xi xj , kde (x)α = (x1, . . . , xn)T jsou příslušné souřadnice. Pokud F je navíc symetrická, t. j. pokud A je přímo matice formy q v bázi α, tak uvedený výraz můžeme dále upravit na tvar q(x) = n i=1 aii x2 i + 2 1≤i