12. BILINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FORMY NAD ČÍSELNÝM TĚLESEM R Jan Paseka Masarykova univerzita Brno 25. února 2020 Abstrakt V této části se omezíme na bilineární a kvadratické formy na vektorových prostorech nad číselným tělesem reálných čísel. Tento zvláštní případ je najdůležitější z hlediska aplikací lineární algebry v geometrii a matematické analýze. Abstrakt V této části se omezíme na bilineární a kvadratické formy na vektorových prostorech nad číselným tělesem reálných čísel. Tento zvláštní případ je najdůležitější z hlediska aplikací lineární algebry v geometrii a matematické analýze. Množina reálných čísel je mimo strukturu číselného tělesa vybavená relací uspořádání, která je vhodně sladěná se sčítáním a násobením na R. Abstrakt V této části se omezíme na bilineární a kvadratické formy na vektorových prostorech nad číselným tělesem reálných čísel. Tento zvláštní případ je najdůležitější z hlediska aplikací lineární algebry v geometrii a matematické analýze. Množina reálných čísel je mimo strukturu číselného tělesa vybavená relací uspořádání, která je vhodně sladěná se sčítáním a násobením na R. Navíc, pro a ∈ R platí a ≥ 0 právě tehdy, když existuje nějaké b ∈ R tak, že a = b2. Tato vlastnost nám umožní objasnit a klasifikovat strukturu bilineárních a kvadratických forem nad R. Obsah přednášky I Bilineární a kvadratické formy na vektorových prostorech nad číselným tělesem reálných čísel Signatura symetrické matice. Sylvestrův zákon setrvačnosti. Obsah přednášky I Bilineární a kvadratické formy na vektorových prostorech nad číselným tělesem reálných čísel Signatura symetrické matice. Sylvestrův zákon setrvačnosti. Definitnost kvadratických forem na vektorových prostorech nad číselným tělesem reálných čísel Zjištění definitnosti formy. Jacobiho věta a Sylvestrovo kritérium. Určení extrému funkcí. Signatura I Nechť A ∈ Rn×n je symetrická matice. Pak A je kongruentní s nějakou diagonální maticí B ∈ Rn×n . Potom A a B mají stejnou hodnost h(A) = h(B), která se rovná počtu nenulových prvků na diagonále matice B. Mimo hodnost jsou však i počty kladných a záporných prvků na diagonále matice B invarianty, společnými pro navzájem kongruentní matice. Signatura I Nechť A ∈ Rn×n je symetrická matice. Pak A je kongruentní s nějakou diagonální maticí B ∈ Rn×n . Potom A a B mají stejnou hodnost h(A) = h(B), která se rovná počtu nenulových prvků na diagonále matice B. Mimo hodnost jsou však i počty kladných a záporných prvků na diagonále matice B invarianty, společnými pro navzájem kongruentní matice. Pro libovolnou diagonální matici A ∈ Rn×n položme σ(A) = (s+, s−, s0), kde s+ je počet kladných, s− počet záporných a s0 počet nulových prvků na diagonále matice A. Uspořádanou trojici σ(A) = (s+, s−, s0) nazýváme pak signaturou matice A. Signatura II Složky signatury σ(A) nejsou nezávislé. Platí totiž s+ + s− = h(A) a s+ + s− + s0 = n. Signatura II Složky signatury σ(A) nejsou nezávislé. Platí totiž s+ + s− = h(A) a s+ + s− + s0 = n. To znamená, že při znalosti rozměru n a hodnosti h(A) je signatura jednoznačně určená už jedním z čísel s+, s−. Z tohoto důvodu někteří autoři definují signaturu jen jako číslo s+. Signatura II Složky signatury σ(A) nejsou nezávislé. Platí totiž s+ + s− = h(A) a s+ + s− + s0 = n. To znamená, že při znalosti rozměru n a hodnosti h(A) je signatura jednoznačně určená už jedním z čísel s+, s−. Z tohoto důvodu někteří autoři definují signaturu jen jako číslo s+. Věta (Sylvestrův zákon setrvačnosti) Nechť A, B ∈ Rn×n jsou diagonální matice. Potom A ≡ B ⇒ σ(A) = σ(B). Signatura III Dokázaná věta umožňuje korektně rozšířit definici signatury z diagonálních matic na všechny symetrické matice, a rovněž na symetrické bilineární a kvadratické formy. Signatura III Dokázaná věta umožňuje korektně rozšířit definici signatury z diagonálních matic na všechny symetrické matice, a rovněž na symetrické bilineární a kvadratické formy. Signaturou symetrické matice A ∈ Rn×n , píšeme σ(A), rozumíme signaturu každé s ní kongruentní diagonální matice B ∈ Rn×n . Signatura III Dokázaná věta umožňuje korektně rozšířit definici signatury z diagonálních matic na všechny symetrické matice, a rovněž na symetrické bilineární a kvadratické formy. Signaturou symetrické matice A ∈ Rn×n , píšeme σ(A), rozumíme signaturu každé s ní kongruentní diagonální matice B ∈ Rn×n . Signaturou symetrické bilineární formy F : V 2 → R na konečně rozměrném reálném vektorovém prostoru V , označení σ(F), rozumíme signaturu její matice vzhledem k libovolné bázi v V . Signatura III Dokázaná věta umožňuje korektně rozšířit definici signatury z diagonálních matic na všechny symetrické matice, a rovněž na symetrické bilineární a kvadratické formy. Signaturou symetrické matice A ∈ Rn×n , píšeme σ(A), rozumíme signaturu každé s ní kongruentní diagonální matice B ∈ Rn×n . Signaturou symetrické bilineární formy F : V 2 → R na konečně rozměrném reálném vektorovém prostoru V , označení σ(F), rozumíme signaturu její matice vzhledem k libovolné bázi v V . Signaturou kvadratické formy q : V → R na konečně rozměrném vektorovém prostoru V nad R, označení σ(q), rozumíme signaturu její polární formy. Signatura IV Pro symetrickou bilineární i pro kvadratickou formu sa příslušná signatura rovná signatuře nějaké její diagonální matice. Signatura IV Pro symetrickou bilineární i pro kvadratickou formu sa příslušná signatura rovná signatuře nějaké její diagonální matice. Sylvestrův zákon setrvačnosti spolu s větou o kongruenci matic nám zaručují, že libovolné dvě diagonální matice zodpovídající dané formě vzhledem k různým bazím, ve kterých má tato forma diagonální matici, mají stejnou signaturu. Signatura IV Pro symetrickou bilineární i pro kvadratickou formu sa příslušná signatura rovná signatuře nějaké její diagonální matice. Sylvestrův zákon setrvačnosti spolu s větou o kongruenci matic nám zaručují, že libovolné dvě diagonální matice zodpovídající dané formě vzhledem k různým bazím, ve kterých má tato forma diagonální matici, mají stejnou signaturu. Každou reálnou symetrickou matici A ∈ Rn×n můžeme upravit na s ní kongruentní diagonální matici. Tu zase můžeme změnou pořadí prvků na diagonále upravit na s ní kongruentní matici tvaru diag(d1, . . . , dk, −dk+1, . . . , −dk+l , 0, . . . , 0 m-krát ), kde σ(A) = (k, l, m) a di > 0 pro i ≤ k + l. Signatura V Pokud pro každé i ≤ k + l vynásobíme i-tý sloupec i řádek skalárem 1/ √ di , vyjde nám matice v blokově diagonálním tvaru A ≡ diag(Ik, −Il , 0m,m). Signatura V Pokud pro každé i ≤ k + l vynásobíme i-tý sloupec i řádek skalárem 1/ √ di , vyjde nám matice v blokově diagonálním tvaru A ≡ diag(Ik, −Il , 0m,m). Spojením této úvahy se Sylvestrovým zákonem setrvačnosti dostaneme Věta Nechť A, B ∈ Rn×n jsou libovolné symetrické matice. Potom A ≡ B ⇔ σ(A) = σ(B). Signatura VI Důsledek Nechť V je vektorový prostor nad R konečné dimenze n. Potom (a) každá symetrická bilineární forma F : V 2 → R má ve vhodné bázi α prostoru V blokově diagonální matici tvaru [F]α = diag(Ik, −Il , 0m,m), kde σ(F) = (k, l, m); (b) každá kvadratická forma q : V → R má ve vhodné bázi α prostoru V diagonální tvar q(x) = x2 1 + . . . + x2 k − x2 k+1 − . . . − x2 k+l , kde σ(q) = (k, l, n − k − l) a (x)α = (x1, . . . , xn)T . Signatura VII Každou symetrickou matici A typu n × n nad C i Q můžeme upravit na s ní kongruentní diagonální matici A ≡ diag(d1, . . . , dh, 0, . . . , 0), kde h = h(A) a dj = 0 pro j ≤ h. Signatura VII Každou symetrickou matici A typu n × n nad C i Q můžeme upravit na s ní kongruentní diagonální matici A ≡ diag(d1, . . . , dh, 0, . . . , 0), kde h = h(A) a dj = 0 pro j ≤ h. V komplexním případě si každý z prvků dj můžeme vyjádřit v goniometrickém tvaru dj = rj (cos αj + i sin αj ), kde rj = |dj | > 0 a 0 ≤ αj < 2π. Signatura VII Každou symetrickou matici A typu n × n nad C i Q můžeme upravit na s ní kongruentní diagonální matici A ≡ diag(d1, . . . , dh, 0, . . . , 0), kde h = h(A) a dj = 0 pro j ≤ h. V komplexním případě si každý z prvků dj můžeme vyjádřit v goniometrickém tvaru dj = rj (cos αj + i sin αj ), kde rj = |dj | > 0 a 0 ≤ αj < 2π. Pokud pro každé j ≤ h vynásobíme j-tý sloupec i řádek skalárem cj = 1 √ rj cos αj 2 − i sin αj 2 , pro který platí c2 j dj = 1, dostaneme A ≡ diag(Ih, 0m,m), kde m = n − h. Signatura VIII Z toho vidíme, že nad číselným tělesem C se nic podobné rozdělení nenulových prvkov na kladné a záporné nekoná – všechny nenulové prvky na diagonále jsou rovnocenné a můžeme je nahradit jedničkou. Signatura VIII Z toho vidíme, že nad číselným tělesem C se nic podobné rozdělení nenulových prvkov na kladné a záporné nekoná – všechny nenulové prvky na diagonále jsou rovnocenné a můžeme je nahradit jedničkou. Jediným invariantem, který jednoznačně určuje kongruenci symetrických matic i kanonický tvar matic symetrických bilineárních i kvadratických forem nad C, je jejich hodnost, která tak plně přebírá úlohu signatury v reálném případě. Signatura VIII Z toho vidíme, že nad číselným tělesem C se nic podobné rozdělení nenulových prvkov na kladné a záporné nekoná – všechny nenulové prvky na diagonále jsou rovnocenné a můžeme je nahradit jedničkou. Jediným invariantem, který jednoznačně určuje kongruenci symetrických matic i kanonický tvar matic symetrických bilineárních i kvadratických forem nad C, je jejich hodnost, která tak plně přebírá úlohu signatury v reálném případě. Tvrzení (a) Nechť A, B ∈ Cn×n jsou symetrické matice. Potom A ≡ B právě tehdy, když h(A) = h(B). (b) Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor nad C, a F : V 2 → C je symetrická bilineární forma. Potom F má vzhledem k nějaké bázi α prostoru V matici v blokově diagonálním tvaru [F]α = diag(Ih, 0m,m), kde h = h(F) a m = dimV − h. Signatura IX Situace nad C je podstatně jednodušší než nad R a dokázali jsme ji zcela popsat. Nad Q si tak lehko poradit nedovedeme. Základní problém tkví v tom, že ne všechna kladné racionální čísla mají racionální druhé odmocniny. Signatura IX Situace nad C je podstatně jednodušší než nad R a dokázali jsme ji zcela popsat. Nad Q si tak lehko poradit nedovedeme. Základní problém tkví v tom, že ne všechna kladné racionální čísla mají racionální druhé odmocniny. Např. pro matici rozměru 1 × 1 máme např. (2) ≡ (1) v důsledku iracionality čísla √ 2. Signatura IX Situace nad C je podstatně jednodušší než nad R a dokázali jsme ji zcela popsat. Nad Q si tak lehko poradit nedovedeme. Základní problém tkví v tom, že ne všechna kladné racionální čísla mají racionální druhé odmocniny. Např. pro matici rozměru 1 × 1 máme např. (2) ≡ (1) v důsledku iracionality čísla √ 2. Pro rozměr 2 × 2 máme např. 2 0 0 2 ≡ 1 0 0 1 ≡ 2 0 0 1 . Definitnost I Nechť V je vektorový prostor nad číselným tělesem R. Definitnost I Nechť V je vektorový prostor nad číselným tělesem R. Kvadratická forma q : V → R se nazývá (a) kladně (pozitivně) definitní, pokud q(x) > 0 pro každé 0 = x ∈ V ; (b) kladně (pozitivně) semidefinitní, pokud q(x) ≥ 0 pro každé x ∈ V ; (c) záporně (negativně) definitní, pokud q(x) < 0 pro každé 0 = x ∈ V ; (d) záporně (negativně) semidefinitní, jestliže q(x) ≤ 0 pro každé x ∈ V ; (e) indefinitní, pokud existují x, y ∈ V tak, že q(x) < 0 < q(y). Definitnost I Nechť V je vektorový prostor nad číselným tělesem R. Kvadratická forma q : V → R se nazývá (a) kladně (pozitivně) definitní, pokud q(x) > 0 pro každé 0 = x ∈ V ; (b) kladně (pozitivně) semidefinitní, pokud q(x) ≥ 0 pro každé x ∈ V ; (c) záporně (negativně) definitní, pokud q(x) < 0 pro každé 0 = x ∈ V ; (d) záporně (negativně) semidefinitní, jestliže q(x) ≤ 0 pro každé x ∈ V ; (e) indefinitní, pokud existují x, y ∈ V tak, že q(x) < 0 < q(y). Stejnou klasifikaci zavádíme i pro symetrické bilineární formy F : V 2 → R. Forma F má příslušnou vlastnost definitnosti právě tehdy, když jí indukovaná kvadratická forma q(x) = F(x, x), má tuto vlastnost. Definitnost II Podobně, symetrická matice A ∈ Rn×n má příslušnou vlastnost definitnosti právě tehdy, když tuto vlastnost má kvadratická forma q(x) = xT · A · x na prostoru Rn . Definitnost II Podobně, symetrická matice A ∈ Rn×n má příslušnou vlastnost definitnosti právě tehdy, když tuto vlastnost má kvadratická forma q(x) = xT · A · x na prostoru Rn . Evidentně platí: (a) ⇒ (b), (c) ⇒ (d), ale každá z podmínek (a), (c), (e) vylučuje zbývající dvě. Dokonca (e) vylučuje každou z podmínek (b), (d). Podmínky (b), (d) se vzájemně nevylučují, ale jediná kvadratická forma, která je zároveň kladně i záporně semidefinitní, je forma identicky rovná nule na V . Definitnost II Podobně, symetrická matice A ∈ Rn×n má příslušnou vlastnost definitnosti právě tehdy, když tuto vlastnost má kvadratická forma q(x) = xT · A · x na prostoru Rn . Evidentně platí: (a) ⇒ (b), (c) ⇒ (d), ale každá z podmínek (a), (c), (e) vylučuje zbývající dvě. Dokonca (e) vylučuje každou z podmínek (b), (d). Podmínky (b), (d) se vzájemně nevylučují, ale jediná kvadratická forma, která je zároveň kladně i záporně semidefinitní, je forma identicky rovná nule na V . V dimenzi n = 1 je to však jediná (kladně nebo záporně) semidefinitní forma. V dimenzi n = 1 neexistují žádné indefinitní formy. Definitnost II Podobně, symetrická matice A ∈ Rn×n má příslušnou vlastnost definitnosti právě tehdy, když tuto vlastnost má kvadratická forma q(x) = xT · A · x na prostoru Rn . Evidentně platí: (a) ⇒ (b), (c) ⇒ (d), ale každá z podmínek (a), (c), (e) vylučuje zbývající dvě. Dokonca (e) vylučuje každou z podmínek (b), (d). Podmínky (b), (d) se vzájemně nevylučují, ale jediná kvadratická forma, která je zároveň kladně i záporně semidefinitní, je forma identicky rovná nule na V . V dimenzi n = 1 je to však jediná (kladně nebo záporně) semidefinitní forma. V dimenzi n = 1 neexistují žádné indefinitní formy. Totiž, všechny kvadratické formy v jedné proměnné jsou tvaru g(x) = kx2 , kde buď k > 0 nebo k < 0 nebo k = 0. Definitnost III Nasledující tvrzení poskytuje úplný popis definitnosti i regularity kvadratických forem (a zároveň i symetrických bilineárních forem a symetrických matic) v jazyce jejich signatury. Definitnost III Nasledující tvrzení poskytuje úplný popis definitnosti i regularity kvadratických forem (a zároveň i symetrických bilineárních forem a symetrických matic) v jazyce jejich signatury. Tvrzení Nechť V je n-rozměrný vektorový prostor nad číselným tělesem R a q : V → R je kvadratická forma se signaturou σ(q) = (s+, s−, s0). Potom (a) q je kladně definitní právě tehdy, když platí σ(q) = (n, 0, 0); (b) q je kladně semidefinitní právě tehdy, když σ(q) = (h(q), 0, n − h(q)); (c) q je záporně definitní právě tehdy, když σ(q) = (0, n, 0); (d) q je záporně semidefinitní právě tehdy, když σ(q) = (0, h(q), n − h(q)); (e) q je indefinitní právě tehdy, když s+ ≥ 1 a s− ≥ 1; (f) q je regulární právě tehdy, když s0 = 0. Definitnost IV Důsledek Symetrická matice A ∈ Rn×n je kladně definitní právě tehdy, když existuje regulární matice P ∈ Rn×n tak, že A = PT · P. Definitnost IV Důsledek Symetrická matice A ∈ Rn×n je kladně definitní právě tehdy, když existuje regulární matice P ∈ Rn×n tak, že A = PT · P. Předchozí tvrzení nám spolu s algoritmem na diagonalizaci symetrické matice (případně Lagrangeovou metodou) dává přímý návod na zjištění charakteru definitnosti formy či matice. Definitnost IV Důsledek Symetrická matice A ∈ Rn×n je kladně definitní právě tehdy, když existuje regulární matice P ∈ Rn×n tak, že A = PT · P. Předchozí tvrzení nám spolu s algoritmem na diagonalizaci symetrické matice (případně Lagrangeovou metodou) dává přímý návod na zjištění charakteru definitnosti formy či matice. Tak například kvadratická forma g(x1, x2, x3, x4) = x1x2 − 2x2 2 + 2x2x3 − 3x3x4 z našeho příkladu má signaturu (2, 2, 0), je tedy indefinitní a regulární. Definitnost V Někdy však může být užitečné, jestliže dokážeme určit charakter definitnosti nějaké symetrické matice (a tím pádem i jí určené kvadratické či bilineární formy) přímo, t. j. bez její předcházející úpravy na s ní kongruentní diagonální tvar. Definitnost V Někdy však může být užitečné, jestliže dokážeme určit charakter definitnosti nějaké symetrické matice (a tím pádem i jí určené kvadratické či bilineární formy) přímo, t. j. bez její předcházející úpravy na s ní kongruentní diagonální tvar. Zavedeme jistou modifikaci úprav typu (1) – nazvěme je úpravami typu (1+) Nechť i ≤ n je nejmenší index takový, že aii = 0. Potom postupně pro každé j ≤ n takové, že j > i a aij = aji = 0, připočteme k j-tému sloupci matice − aij aii -násobek i-tého sloupce a v takto získané matici připočteme − aji aii -násobek i-tého řádku k j-tému řádku. Tedy pomocí diagonálního prvku aii = 0 vynulujeme všechny nenulové prvky i-tého řádku i sloupce, které leží napravo resp. dole od prvku aii . Definitnost VI Matice přechodu, která vznikne provedením ESO, odpovídajících nějakým úpravám typu (1+ ) na jednotkové matici, je vždy horní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále. Součin dvou matic takéhoto tvaru má též takýto tvar. Definitnost VI Matice přechodu, která vznikne provedením ESO, odpovídajících nějakým úpravám typu (1+ ) na jednotkové matici, je vždy horní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále. Součin dvou matic takéhoto tvaru má též takýto tvar. Je-li A = (aij )n×n matice nad libovolným číselným tělesem K a 1 ≤ k ≤ n, tak pro potřeby zbývající části tohoto paragrafu bude Ak označovat matici tvořenou levým horním rohem rozměru k × k matice A. Definitnost VI Matice přechodu, která vznikne provedením ESO, odpovídajících nějakým úpravám typu (1+ ) na jednotkové matici, je vždy horní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále. Součin dvou matic takéhoto tvaru má též takýto tvar. Je-li A = (aij )n×n matice nad libovolným číselným tělesem K a 1 ≤ k ≤ n, tak pro potřeby zbývající části tohoto paragrafu bude Ak označovat matici tvořenou levým horním rohem rozměru k × k matice A. Tedy A1 = (a11), A2 = a11 a12 a21 a22 , . . . , An = A. Definitnost VI Matice přechodu, která vznikne provedením ESO, odpovídajících nějakým úpravám typu (1+ ) na jednotkové matici, je vždy horní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále. Součin dvou matic takéhoto tvaru má též takýto tvar. Je-li A = (aij )n×n matice nad libovolným číselným tělesem K a 1 ≤ k ≤ n, tak pro potřeby zbývající části tohoto paragrafu bude Ak označovat matici tvořenou levým horním rohem rozměru k × k matice A. Tedy A1 = (a11), A2 = a11 a12 a21 a22 , . . . , An = A. Determinanty matic Ak, 1 ≤ k ≤ n, budeme nazývat hlavní minory matice A. Definitnost VII Věta (Jacobi) Nechť K je těleso a 0 = A ∈ Kn×n je symetrická matice hodnosti h. Potom následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) matice Ah je regulární a matici A můžeme upravit na s ní kongruentní diagonální tvar výlučně pomocí úprav typu (1+ ); (ii) |Ak| = 0 pro každé 1 ≤ k ≤ h, a platí A ≡ diag |A1|, |A2| |A1| , . . . , |Ah| |Ah−1| , 0, . . . , 0 ; (iii) |Ak| = 0 pro každé 1 ≤ k ≤ h; (iv) |Ak| = 0 pro každé 1 ≤ k ≤ h a matici A můžeme upravit pouze úpravami typu (1+ ) na s ní kongruentní diagonální tvar diag |A1|, |A2| |A1| , . . . , |Ah| |Ah−1| , 0, . . . , 0 . Definitnost VIII Věta (Sylvestrovo kritérium) Nechť A ∈ Rn×n je symetrická matica. Potom (a) A je kladně definitní právě tehdy, když |Ak| > 0 pre všechny 1 ≤ k ≤ n; (b) A je záporně definitní právě tehdy, když (−1)k |Ak| > 0 pre všechna 1 ≤ k ≤ n. Definitnost IX Reálnou funkci jedné proměnné f : U → R definovanou na nějaké otevřené množině U, tj. pro každé a ∈ U existuje ε > 0 tak, že otevřený interval (a − ε, a + ε) je pod U, nazveme dostatečně hladkou, pokud f má na U konečnou a spojitou první i druhou derivaci. Definitnost IX Reálnou funkci jedné proměnné f : U → R definovanou na nějaké otevřené množině U, tj. pro každé a ∈ U existuje ε > 0 tak, že otevřený interval (a − ε, a + ε) je pod U, nazveme dostatečně hladkou, pokud f má na U konečnou a spojitou první i druhou derivaci. Z matematické analýzy víme, že pre takovou funkci f máme v každém bodě a ∈ U Taylorův rozvoj f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + 1 2 f (a)(x − a)2 + θ(x)(x − a)2 pro x z jistého okolí N ⊆ U bodu a. Přitom funkce θ: N → R je spojitá a vyhovuje podmínce θ(a) = 0. Tedy absolutní hodnota zbytku θ(x)(x − a)2 je v dostatečně malém okolí M ⊆ N bodu a v porovnání s ostatními členy uvedeného rozvoje zanedbatelně malá. Definitnost X Pre x z tohoto malého okolí bodu a teda lze psát f (x) ≈ f (a) + f (a)(x − a) + 1 2 f (a)(x − a)2 Definitnost X Pre x z tohoto malého okolí bodu a teda lze psát f (x) ≈ f (a) + f (a)(x − a) + 1 2 f (a)(x − a)2 Pokud f (a) = 0, tak lineární člen f (a)(x − a) mění v bodě a znaménko a v dostatečně malém okolí bodu a převažuje nad kvadratickým členem 1 2 f (a)(x − a)2. Definitnost X Pre x z tohoto malého okolí bodu a teda lze psát f (x) ≈ f (a) + f (a)(x − a) + 1 2 f (a)(x − a)2 Pokud f (a) = 0, tak lineární člen f (a)(x − a) mění v bodě a znaménko a v dostatečně malém okolí bodu a převažuje nad kvadratickým členem 1 2 f (a)(x − a)2. Proto dostatečně hladká funkce může nabýt na otevřené množině extrémy jen v bodech a, pro které platí f (a) = 0. Ty nazýváme stacionární nebo také kritické body funkce f . Definitnost X Pre x z tohoto malého okolí bodu a teda lze psát f (x) ≈ f (a) + f (a)(x − a) + 1 2 f (a)(x − a)2 Pokud f (a) = 0, tak lineární člen f (a)(x − a) mění v bodě a znaménko a v dostatečně malém okolí bodu a převažuje nad kvadratickým členem 1 2 f (a)(x − a)2. Proto dostatečně hladká funkce může nabýt na otevřené množině extrémy jen v bodech a, pro které platí f (a) = 0. Ty nazýváme stacionární nebo také kritické body funkce f . Je-li a ∈ U je stacionární bod, tak uvedený Taylorov rozvoj má v tomto bodě tvar f (x) = f (a)+ 1 2 f (a)(x −a)2 +θ(x)(x −a)2 ≈ f (a)+ 1 2 f (a)(x −a)2 pro x ∈ M. Definitnost XI f (x) ≈ f (a) + 1 2 f (a)(x − a)2 Pokud f (a) > 0, tak f (a) < f (x) pro všechna x = a z nějakého okolí L ⊆ M bodu a, tedy f má v bodě a ostré lokální minimum. Definitnost XI f (x) ≈ f (a) + 1 2 f (a)(x − a)2 Pokud f (a) > 0, tak f (a) < f (x) pro všechna x = a z nějakého okolí L ⊆ M bodu a, tedy f má v bodě a ostré lokální minimum. Pokud f (a) < 0, tak f (a) > f (x) pro všechna x = a z nějakého okolí L ⊆ M bodu a, tedy f má v bodě a ostré lokální maximum. Definitnost XI f (x) ≈ f (a) + 1 2 f (a)(x − a)2 Pokud f (a) > 0, tak f (a) < f (x) pro všechna x = a z nějakého okolí L ⊆ M bodu a, tedy f má v bodě a ostré lokální minimum. Pokud f (a) < 0, tak f (a) > f (x) pro všechna x = a z nějakého okolí L ⊆ M bodu a, tedy f má v bodě a ostré lokální maximum. Poku f (a) = 0, neumíme na základě první a druhé derivace určit, zda f má v bodě a extrém ani charakter možného extrému. Definitnost XI f (x) ≈ f (a) + 1 2 f (a)(x − a)2 Pokud f (a) > 0, tak f (a) < f (x) pro všechna x = a z nějakého okolí L ⊆ M bodu a, tedy f má v bodě a ostré lokální minimum. Pokud f (a) < 0, tak f (a) > f (x) pro všechna x = a z nějakého okolí L ⊆ M bodu a, tedy f má v bodě a ostré lokální maximum. Poku f (a) = 0, neumíme na základě první a druhé derivace určit, zda f má v bodě a extrém ani charakter možného extrému. Podobné úvahy fungují při hledání extrému funkcí více proměnných, jen se druhá derivace nahradí tzv. Hessovou maticí parciálních druhých derivací a rozhodujeme se podle toho, zda Hessova matice je pozitivně definitní či negativně definitní.