17. JORDANŮV KANONICKÝ TVAR
Jan Paseka
Masarykova univerzita Brno
7. května 2020
Abstrakt
V této kapitole si ukážeme, že i nediagonalizovatelné lineární
operátory či matice můžeme volbou vhodné báze upravit na tzv.
Jordanův kanonický tvar, který je – alespoň na pohledd – velmi
blízký diagonálnímu tvaru.
Obsah přednášky I
Jordanův kanonický tvar matice
Obsah přednášky I
Jordanův kanonický tvar matice
Příklady na Jordanův kanonický tvar matice
Jordanův kanonický tvar matice I
Motivace 1: Existují lineární operátory, které nelze
diagonalizovat, tj. nelze je ve vhodné bázi psát jako
(ϕ)α,α =





λ1 0 . . . 0
0 λ2
...
...
...
... ...
...
0 0 . . . λn





.
Jordanův kanonický tvar matice I
Motivace 1: Existují lineární operátory, které nelze
diagonalizovat, tj. nelze je ve vhodné bázi psát jako
(ϕ)α,α =





λ1 0 . . . 0
0 λ2
...
...
...
... ...
...
0 0 . . . λn





.
Uvažme matici
A =
2 3
0 2
a zobrazení ϕ: R2 → R2 určené předpisem ϕ(x) = A · x. Vlastní
čísla jsou kořeny determinantu det
2 − λ 3
0 2 − λ
= (λ − 2)2.
Vlastní číslo 2 je algebraické násobnosti 2, ale geometrické
násobnosti 1. Totiž, prostor řešení homogenního systému rovnic
0 3
0 0
má dimenzi jedna.
Jordanův kanonický tvar matice II
Řešení homogenního systému rovnic
0 3
0 0
je pak tvaru
p
0
.
Tedy neexistuje báze α taková, že by v ní bylo (ϕ)α,α =
2 0
0 2
,
tj. matice
2 3
0 2
není podobná žádné diagonální matici, neplatí
tedy 2 3
0 2
= P−1
·
2 0
0 2
· P
pro žádnou regulární matici P.
Cílem je najít pro obecný operátor ϕ bázi α tak, aby matice
(ϕ)α,α byla co nejjednodušší. Hledaný tvar se nazývá Jordanův
kanonický tvar.
Jordanův kanonický tvar matice III - Opakování
Označme Jn ∈ Kn×n
čtvercovou matici řádu n, jejíž prvky na
místech (i, i + 1) jsou rovné 1 pro 1 ≤ i ≤ n − 1 a všechny ostatní
prvky jsou rovné 0. Zřejmě h(Jn) = n − 1. Dále položme
Jn(λ) = λIn + Jn =






λ 1 0 . . . 0
0 λ 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 . . . λ 1
0 0 . . . 0 λ






pro λ ∈ K. Tedy Jn(λ) je tvořená diagonálou z n lambd, vedlejší
diagonálou vpravo od ní z n − 1 jednotek a zbytek jsou nuly.
Jordanův kanonický tvar matice III - Opakování
Označme Jn ∈ Kn×n
čtvercovou matici řádu n, jejíž prvky na
místech (i, i + 1) jsou rovné 1 pro 1 ≤ i ≤ n − 1 a všechny ostatní
prvky jsou rovné 0. Zřejmě h(Jn) = n − 1. Dále položme
Jn(λ) = λIn + Jn =






λ 1 0 . . . 0
0 λ 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 . . . λ 1
0 0 . . . 0 λ






pro λ ∈ K. Tedy Jn(λ) je tvořená diagonálou z n lambd, vedlejší
diagonálou vpravo od ní z n − 1 jednotek a zbytek jsou nuly.
Každá matice tvaru Jn(λ) sa nazývá Jordanova buňka řádu n.
Zřejmě i Jn = Jn(0) je Jordanova buňka.
Jordanův kanonický tvar matice IV
Říkáme, že matice A ∈ Kn×n je v Jordanově kanonickém tvaru,
zkráceně JKT, má-li blokově diagonální tvar
A = diag Jn1 (λ1), . . . , Jnk
(λk) ,
kde Jni (λi ) jsou Jordanovy buňky rozměrů ni × ni , příslušející
skalárům λi ∈ K.
Jordanův kanonický tvar matice IV
Říkáme, že matice A ∈ Kn×n je v Jordanově kanonickém tvaru,
zkráceně JKT, má-li blokově diagonální tvar
A = diag Jn1 (λ1), . . . , Jnk
(λk) ,
kde Jni (λi ) jsou Jordanovy buňky rozměrů ni × ni , příslušející
skalárům λi ∈ K.
Zřejmě v takovém případě je n1 + . . . + nk = n a A má
charakteristický polynom
det(A − xI) = (λ1 − x)n1
. . . (λk − x)nk
.
Vidíme, že skalár λ ∈ K je vlastní hodnotou matice A právě
tehdy, když se nachází v seznamu λ1, . . . , λk.
Jordanův kanonický tvar matice V
Protože λ1, . . . , λk nemusí být nutně různé, algebraická násobnost
λ vzhledem k A je součet velikostí bloků s hodnotou λ na
diagonále, tj.
λi =λ
ni .
Jordanův kanonický tvar matice V
Protože λ1, . . . , λk nemusí být nutně různé, algebraická násobnost
λ vzhledem k A je součet velikostí bloků s hodnotou λ na
diagonále, tj.
λi =λ
ni .
Bloku Jni (λi ), bez ohledu na velikost ni , odpovídá pouze
jednorozměrný vlastní podprostor — proto je geometrická
násobnost λ vzhledem k A rovna počtu takových bloků, t.j.
počtu prvků množiny
{i ≤ k; λi = λ}.
Jordanův kanonický tvar matice VI
S Jordanovými buňkami úzce souvisí pojem řetězce operátoru
ϕ: V → V pro vlastní číslo λ.
Jde o k-tici nenulových vektorů β = uk, . . . , u1 takových, že
(ϕ − λidV )(u1) = 0
(ϕ − λidV )(u2) = u1
...
(ϕ − λidV )(uk) = uk−1
tj. podle schématu
ϕ − λidV : uk → uk−1 → . . . → u2 → u1 → 0.
Jordanův kanonický tvar matice VII
ϕ − λidV : uk → uk−1 → . . . → u2 → u1 → 0.
Jordanův kanonický tvar matice VII
ϕ − λidV : uk → uk−1 → . . . → u2 → u1 → 0.
Potom první vektor u1 řetězce β (v našem schématu první
nenulový vektor zprava) je vlastním vektorem operátoru ϕ
příslušným vlastní hodnotě λ. Celý řetězec je pak tvořen
postupnými obrazy posledního vektoru uk (v našem schématu
prvního vektoru zleva) v zobrazení ϕ − λidV , tj.
β = uk, (ϕ − λidV ) uk , . . . , (ϕ − λidV )k−1
uk .
Jordanův kanonický tvar matice VIII
Vektory řetězce generují invariantní podprostor
U = [uk, . . . , u1].
Totiž,
ϕ(u1) = λu1 ∈ U
ϕ(u2) = u1 + λu2 ∈ U
ϕ(u3) = u2 + λu3 ∈ U
...
ϕ(uk) = uk−1 + λuk ∈ U.
Tedy ϕ(U) ⊆ U. Navíc vektory uk, . . . , u1 jsou lineárně nezávislé
(indukcí podle k).
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice I
Příklad
Uvažujme matici
A =




1 0 2 −2
1 3 1 −1
1 0 0 −1
3 4 3 −4



 ∈ R4×4
.
Její charakteristický polynom
det(A − xI) = x4
− 2x2
+ 1 = (x − 1)2
(x + 1)2
má dva kořeny x1,2 = 1 a x3,4 = −1, oba dvojnásobné. Najdeme
k nim příslušné vlastní vektory.
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice II
Podprostor řešení homogenní soustavy s maticí
A − I =




0 0 2 −2
1 2 1 −1
1 0 −1 −1
3 4 3 −5



 ∼




1 0 0 −2
0 1 0 1
0 0 1 −1
0 0 0 0




je jednorozměrný, generovaný vlastním vektorem
v1 = (2, −1, 1, 1)T . Algebraicky dvojnásobné vlastní číslo 1 má
tedy geometrickou násobnost 1.
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice II
Podprostor řešení homogenní soustavy s maticí
A − I =




0 0 2 −2
1 2 1 −1
1 0 −1 −1
3 4 3 −5



 ∼




1 0 0 −2
0 1 0 1
0 0 1 −1
0 0 0 0




je jednorozměrný, generovaný vlastním vektorem
v1 = (2, −1, 1, 1)T . Algebraicky dvojnásobné vlastní číslo 1 má
tedy geometrickou násobnost 1.
Další vektor řetězce najdeme jako nějaké řešení x = v2 soustavy
(A − I) · x = v1 úpravou její rozšířené matice




0 0 2 −2
1 2 1 −1
1 0 −1 −1
3 4 3 −5
2
−1
1
1



 ∼




1 0 0 −2
0 1 0 1
0 0 1 −1
0 0 0 0
2
−2
1
0



 ,
tedy např. v2 = (2, −2, 1, 0)T .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice III
Podprostor řešení homogenní soustavy s maticí
A + I =




2 0 2 −2
1 4 1 −1
1 0 1 −1
3 4 3 −3



 ∼




1 0 1 −1
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0




má dimenzi 2 (a taková je i geometrická násobnost algebraicky
dvojnásobného vlastního čísla −1); jeho bázi tvoří vlastní vektory
v3 = (1, 0, −1, 0)T , v4 = (1, 0, 0, 1)T .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice III
Podprostor řešení homogenní soustavy s maticí
A + I =




2 0 2 −2
1 4 1 −1
1 0 1 −1
3 4 3 −3



 ∼




1 0 1 −1
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0




má dimenzi 2 (a taková je i geometrická násobnost algebraicky
dvojnásobného vlastního čísla −1); jeho bázi tvoří vlastní vektory
v3 = (1, 0, −1, 0)T , v4 = (1, 0, 0, 1)T .
A je tedy podobná matici v JKT
J = diag J2(1), −1, −1 =




1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1



 .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice IV
Příslušná Jordanova báze (v1, v2, v3, v4) je tvořená sloupci matice
přechodu
P =




2 2 1 1
−1 −2 0 0
1 1 −1 0
1 0 0 1



 .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice IV
Příslušná Jordanova báze (v1, v2, v3, v4) je tvořená sloupci matice
přechodu
P =




2 2 1 1
−1 −2 0 0
1 1 −1 0
1 0 0 1



 .
Na předchozím příkladě bylo vidět, že je poměrně snadné se
vypořádat s řetězci vektorů, příslušnými různým vlastním číslům.
Nyní se soustředíme na hledání řetězců příslušných jedinému
vlastnímu číslu — budeme se zabývat maticemi s jednoprvkovým
spektrem.
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice V
Příklad
Matice
A =


−2 1 0
−3 1 1
−1 0 1

 ∈ R3×3
má charakteristický polynom
det(A − xI) = −x3
a jediné, algebraicky trojnásobné vlastní číslo x1,2,3 = 0.
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice V
Příklad
Matice
A =


−2 1 0
−3 1 1
−1 0 1

 ∈ R3×3
má charakteristický polynom
det(A − xI) = −x3
a jediné, algebraicky trojnásobné vlastní číslo x1,2,3 = 0.
Vlastní vektory najdeme řešením homogenní soustavy s maticí
A − 0I = A ∼


1 0 −1
0 1 −2
0 0 0

 .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice VI
Podprostor řešení je jednorozměrný, generovaný vektorem
u = (1, 2, 1)T , geometrická násobnost vlastního čísla 0 je tedy 1.
Hledaná báze je tedy tvořena jediným řetězcem příslušným
vlastnímu vektoru u1 = u.
Vektor u2 najdeme jako nějaké řešení x = u2 soustavy A · x = u1
úpravou její rozšířené matice
(A | u1) =


−2 1 0
−3 1 1
−1 0 1
1
2
1

 ∼


1 0 −1
0 1 −2
0 0 0
−1
−1
0

 ;
takže můžeme položit např. u2 = (−1, −1, 0)T .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice VII
Podobně, třetí vektor u3 našeho řetězce najdeme jako nějaké řešení
x = u3 soustavy A · x = u2 úpravou její rozšířené matice
(A | u2) =


−2 1 0
−3 1 1
−1 0 1
−1
−1
0

 ∼


1 0 −1
0 1 −2
0 0 0
0
−1
0

 ,
tedy např. u3 = (0, −1, 0)T .
To znamená, že A je podobná přímo s Jordanovou buňkou
J3 = J3(0) =


0 1 0
0 0 1
0 0 0


prostřednictvím matice přechodu
P =


1 −1 0
2 −1 −1
1 0 0

 .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice VIII
Příklad
Matice
A =


8 10 −5
−2 −1 2
1 2 2

 ∈ R3×3
má charakteristický polynom
det(A − xI) = 27 − 27x + 9x2
− x3
= (3 − x)3
a algebraicky trojnásobné vlastní číslo x1,2,3 = 3.
K němu příslušné vlastní vektory najdeme řešením homogenní
soustavy s maticí
A − 3I =


5 10 −5
−2 −4 2
1 2 −1

 ∼


1 2 −1
0 0 0
0 0 0

 .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice IX
Podprostor řešení je dvojrozměrný, generovaný (například) vektory
u = (2, −1, 0)T , v = (1, 0, 1)T .
Geometrická násobnost vlastního čísla 3 je tedy 2, takže k němu
příslušejí dva řetězce délek 1 a 2. Nyní ale dopředu nevíme, ke
kterému vlastnímu vektoru v1 ∈ [u, v] existuje vektor v2 tak, že
v1 = (A − 3I) · v2, musíme uvažovat libovolnou lineární kombináci
v1 = au + bv = (2a + b, −a, b)T , kde parametry a, b ∈ R budeme
volit tak, aby soustava (A − 3I) · x = v1 měla nějaké řešení x = v2.
Úpravou její rozšířené matice dostaneme


5 10 −5
−2 −4 2
1 2 −1
2a + b
−a
b

 ∼


1 2 −1
0 0 0
0 0 0
b
a − 2b
0

 .
Soustava má řešení právě tehdy, když a = 2b; volíme např. b = 1,
a = 2. Tomu odpovídá v1 = (5, −2, 1)T , v2 = (1, 0, 0)T .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice X
Za v3 lze zvolit libovolný vektor, který spolu s v1 tvoří bázi
vlastního podprostoru R(A − 3I) = [u, v]; vidíme, že vyhovují obě
volby v3 = u, resp. v3 = v. Vyberme si např. druhou možnost
v3 = (1, 0, 1)T .
JKT matice A je tedy
J = diag J2(3), 3 =


3 1 0
0 3 0
0 0 3


a příslušná matice přechodu tvořená sloupci Jordanovy báze
(v1, v2, v3) je např.
P =


5 1 1
−2 0 0
1 0 1

 .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice XI
Příklad
Matice
A =




−4 −6 −19 −1
2 4 3 1
1 1 6 0
5 5 20 2



 ∈ R4×4
má charakteristický polynom
det(A − xI) = x4
− 8x3
+ 24x2
− 32x + 16 = (x − 2)4
a algebraicky čtyřnásobné vlastní číslo x1,2,3,4 = 2.
K němu příslušné vlastní vektory najdeme řešením homogenní
soustavy s maticí
A − 2I =




−6 −6 −19 −1
2 2 3 1
1 1 4 0
5 5 20 0



 ∼




1 1 0 4/5
0 0 1 −1/5
0 0 0 0
0 0 0 0



 .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice XII
Podprostor řešení je dvojrozměrný, generovaný (například) vektory
u = (1, −1, 0, 0)T , v = (4, 0, −1, −5)T .
Geometrická násobnost vlastního čísla 3 je tedy 2, takže k němu
příslušejí dva řetězce délek buď 1 a 3 nebo 2 a 2. Nyní ale dopředu
nevíme, ke kterému vlastnímu vektoru v1 ∈ [u, v] existuje vektor
v2 tak, že v1 = (A − 2I) · v2, musíme uvažovat libovolnou lineární
kombináci v1 = au + bv = (a + 4b, −a, −b, −5b)T , kde parametry
a, b ∈ R budeme volit tak, aby soustava (A − 2I) · x = v1 měla
nějaké řešení x = v2. Řešíme tedy následující systém




−6 −6 −19 −1
2 2 3 1
1 1 4 0
5 5 20 0
a + 4b
−a
−b
−5b



 ∼




1 1 0 4/5
0 0 1 −1/5
0 0 0 0
0 0 0 0
−4a/5 + 3b/5
a/5 − 2b/5
0
0




Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice XIII
Tato soustava má řešení pro libovolná a, b. Můžeme pak zvolit
a = 1, b = 0. Tomu zodpovídá první řetězec
u1 = u = (1, −1, 0, 0)T , u2 = (−4/5, 0, 1/5, 0)T .
Podobně pro volbu a = 0, b = 1 dostaneme druhý řetězec
v1 = v = (4, 0, −1, −5)T , v2 = (3/5, 0, −2/5, 0)T .
JKT J = diag J2(2), J2(2) matice A a příslušná Jordanova báze
(u1, u2, v1, v2) jsou
J =




2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2



 , P =




1 −4/5 4 3/5
−1 0 0 0
0 1/5 −1 −2/5
0 0 −5 0



 .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice XIV
Příklad
Matice
A =




0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 1 1
−1 −2 −1 −1



 ∈ R4×4
má charakteristický polynom
det(A − xI) = x4
a algebraicky čtyřnásobné vlastní číslo x1,2,3,4 = 0.
K němu příslušné vlastní vektory najdeme řešením homogenní
soustavy s maticí
A − 0I =




0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 1 1
−1 −2 −1 −1



 ∼




1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0



 .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice XV
Podprostor řešení je dvojrozměrný, generovaný (například) vektory
u = (1, 0, −1, 0)T , v = (1, 0, 0, −1)T .
Geometrická násobnost vlastního čísla 3 je tedy 2, takže k němu
příslušejí dva řetězce délek buď 1 a 3 nebo 2 a 2. Nyní ale dopředu
nevíme, ke kterému vlastnímu vektoru v1 ∈ [u, v] existuje vektor
v2 tak, že v1 = (A − 0I) · v2, musíme uvažovat libovolnou lineární
kombináci v1 = au + bv = (a + b, 0, −a, −b)T , kde parametry
a, b ∈ R budeme volit tak, aby soustava (A − 0I) · x = v1 měla
nějaké řešení x = v2. Řešíme tedy následující systém




0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 1 1
−1 −2 −1 −1
a + b
0
−a
−b



 ∼




1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
−2a − b
a + b
2a + b
0




Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice XVI
Tato soustava má řešení právě tehdy, když 2a + b = 0. Budeme
tedy mít dva řetězce délek 1 a 3.
Můžeme pak zvolit a = −1, b = 2. Tomu zodpovídá první vektor
řetězce délky 3, a to v1 = −u + 2v = (1, 0, 1, −2)T . Druhý vektor
řetězce délky 3 zatím ponecháme v obecném tvaru
v2 = x = (c + d, 1, −c, −d)T řešení soustavy A · x = v1 a
parametry c, d ∈ R budeme volit tak, aby existovalo nějaké řešení
y = v3 soustavy A · y = v2.
Úpravou její rozšířené matice obdržíme




0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 1 1
−1 −2 −1 −1
c + d
1
−c
−d



 ∼




1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
−2c − d
c + d
1 + 2c + d
0



 .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice
XVII
Tato soustava má řešení právě tehdy, když 1 + 2c + d = 0. Zvolme
tedy c = 0, d = −1. Této volbě odpovídá vektor
v2 = (−1, 1, 0, 1)T a dále například vektor v3 = (1, −1, 0, 0)T .
Jediný vektor druhého řetězce zvolíme tak, aby spolu s vektorem v1
tvořily bázi vlastního podprostoru [u, v]; vyhovuje každý z vektorů
u, v. Zvolme např. v4 = u = (1, 0, −1, 0)T .
JKT J = diag J3(0), J1(0) matice A a příslušná Jordanova báze
(v1, v2, v3, v4) jsou
J =




0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0



 , P =




1 −1 1 1
0 1 −1 0
1 0 0 −1
−2 1 0 0



 .
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice I
Klíčové výsledky celé kapitoly lze shrnout do následujících dvou vět.
Věta
Nechť ϕ: V → V je lineární operátor na vektorovém prostoru V
konečné dimenze n nad K. Má-li ϕ nad K spektrum algebraické
váhy n, pak existuje báze β prostoru V , vzhledem na kterou má ϕ
matici (ϕ)β v Jordanově kanonickém tvaru. Přitom Jordanův
kanonický tvar matice zobrazení ϕ je určený jednoznačně až na
pořadí Jordanových bloků.
Věta
Nechť matice A ∈ Kn×n má nad K spektrum algebraické váhy n.
Potom A je podobná s maticí J ∈ Kn×n v Jordanově kanonickém
tvaru. Přitom matice J je určená jednoznačně až na pořadí
Jordanových bloků.
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice II
Důsledek
Nechť matice A, B ∈ Kn×n mají nad K spektrum plné algebraické
váhy n. Potom A ∼ B právě tehdy, když A a B mají týž Jordanův
kanonický tvar.
Předpoklad o plné algebraické váze spektra je automaticky splněn
nad tzv. algebraicky uzavřenými tělesy (např. C).
Obě uvedené věty jsou zřejmě ekvivalentní, proto stačí dokázat jen
jednu z nich. Důkaz je ale poměrně náročný, budeme před vlastním
důkazem potřebovat připomenout pár pojmů a dokázat pomocná
tvrzení.
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice III
Lemma (Wildonovo lemma)
Nechť V je n-rozměrný vektorový prostor a T : V → V je lineární
zobrazení V do sebe tak, že Ts = 0 pro některé přirozené číslo s.
Pak existují vektory u1, . . . , uk a přirozená čísla a1, . . . , ak tak, že
Tai
(ui ) = 0 pro i = 1, . . . , k,
a vektory
u1, T(u1), . . . , Ta1−1
(u1), . . . , uk, T(uk), . . . , Tak −1
(uk)
jsou nenulové vektory, které tvoří bázi V.
Důkaz se provede indukcí vzhledem k dimenzi dim V.
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice III
Příklad (Aplikace Wildonova lemmatu)
Nechť V = R3 a T : R3 → R3 je definováno předpisem
T(x1, x2, x3) = (x2 + x3, 0, 0). Pak Im(T) = [(1, 0, 0)] a
T(Im(T)) = {0}. Tedy T2 = 0V a s = 2.
Zároveň jádro Ker(T) = [(1, 0, 0), (0, 1, −1)]. Vidíme tedy, že stačí
zvolit u1 = (0, 1, −1), a1 = 1 a u2 = (0, 1, 0), a2 = 2. Pak
T(u2) = (1, 0, 0).
Odtud u1, u2, T(u2) tvoří bázi R3.
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice IV
Definice
Říkáme, že vektorový prostor V je přímým součtem svých
podprostorů V1, . . . , Vm, pokud pro každý vektor v ∈ V existuje
jediná posloupnost vektorů v1, . . . , vm taková, že vi ∈ Vi pro
i = 1, . . . , m a v = v1 + · · · + vm. V takovém případě píšeme
V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm.
Jedinečnost v definici znamená, že pro každé dva různé indexy i, j
musí být Vi ∩ Vj = {0}.
Lemma
Nechť ϕ: V → V je lineární operátor na vektorovém prostoru V
konečné dimenze n nad K. Má-li ϕ nad K spektrum algebraické
váhy n a jsou-li λ1, . . . , λr všechna navzájem různá vlastní čísla
operátoru ϕ, pak existují přirozená čísla s1, . . . , sr tak, že
V = Ker(ϕ − λ1)s1
⊕ · · · ⊕ Ker(ϕ − λr )sr
.
a každý sčítanec je invariantní vzhledem k ϕ.
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice V
Důkaz lemmatu - základní body
Bod 1 Vybereme nejprve libovolné z vlastních čísel operátoru ϕ a
označíme jej λ.
Bod 2 Položme
t = min{i ∈ N | Ker(ϕ − λidV)i
= Ker(ϕ − λidV)i+1
}.
Bod 3 Dokážeme
Ker(ϕ − λidV)t
∩ Im(ϕ − λidV)t
= {0}.
Bod 4 Dokážeme
Ker(ϕ − λidV)t
⊕ Im(ϕ − λidV)t
= V.
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice VI
Bod 5 Dokážeme invariantnost podprostorů
Ker(ϕ − λidV)t
a Im(ϕ − λidV)t
= V.
Bod 6 Použijeme indukční předpoklad na zúžení operátoru ϕ na
podprostor Im(ϕ − λidV)t:
Im(ϕ − λidV)t
= Ker(ϕ − λ2)s2
⊕ · · · ⊕ Ker(ϕ − λr )sr
.
pro λ = λ1 a dokážeme tedy z Bodu 4
V = Ker(ϕ − λ1)s1
⊕ Ker(ϕ − λ2)s2
⊕ · · · ⊕ Ker(ϕ − λr )sr
.
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice VII
Důkaz Věty o existenci Jordanova kanonického tvaru matice
- základní body
Bod 1 Z předcházejícího lemmatu víme, že existují přirozená čísla
s1, . . . , sr tak, že
V = Ker(ϕ − λ1)s1
⊕ · · · ⊕ Ker(ϕ − λr )sr
,
λ1, . . . , λr jsou všechna navzájem různá vlastní čísla operátoru
ϕ a každý sčítanec je invariantní vzhledem k ϕ.
Bod 2 Potřebnou bázi α prostoru V obdržíme zřetězením jednotlivých
bazí α(λ1), . . . , α(λr ) tzv. kořenových podprostorů
Ker(ϕ − λ1)s1
, . . . , Ker(ϕ − λr )sr
.
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice VIII
Bod 3 Příslušná matice zobrazení (ϕ)α,α má pak tvar
(ϕ)α,α =









Jλ1 0 . . . . . . 0
0 Jλ2
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
... Jλr−1 0
0 . . . . . . 0 Jλr









.
Přitom Jλ1 , . . . , Jλr jsou čtvercové matice tak, že Jλi
je
matice restrikce operátoru ϕ na podprostor Ker(ϕ − λi idV)si
vzhledem ke zvolené bázi α(λi ).
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice IX
Bod 4 Nechť λ ∈ {λ1, . . . , λr }. Protože báze α(λ) byla sestrojena
pomocí Wildonova lemmatu, nutně každá matice Jλ je tvaru
Jλ =









Ja1 (λ) 0 . . . . . . 0
0 Ja2 (λ)
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
... Jλr−1 0
0 . . . . . . 0 Jak
(λ)









.
Přitom Jai (λ) je Jordanova buňka tak, že
Jai (λ) = (ϕ)α(λ)i ,α(λ)i
.
Platí α(λ)i = (Tai −1(ui ), Tai −2(ui ), . . . , T(ui ), ui ) je báze
invariantního podprostoru Ui vzhledem k ϕ a T = ϕ − λ idV.
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice X
Bod 5 Ověření jednoznačnosti (až na pořadí) JKT
(a) Stačí se omezit na podprostory U tvaru Ker(ϕ − λ idV)t
.
Položme tedy T = ϕ − λ idU.
(b) Buď β celkový počet Jordanových buněk operátoru ϕ
zúženého na U, tj. počet všech řetězců. Dále buď β(l) celkový
počet Jordanových buněk typu l × l operátoru ϕ zúženého na
U, tj. počet všech řetězců délky k.
(c) Protože každý řetězec končí právě vlastním vektorem
příslušným k vlastnímu číslu λ a tyto vlastní vektory jsou
lineárně nezávislé, máme
dim Ker(T) = β.
(d) Dále se dimenze dim Ker(T2
) liší od dimenze dim Ker(T) o
počet bloků β − β(1). Tedy
dim Ker(T2
) = dim Ker(T) + β − β(1).
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice XI
Bod 5 Ověření jednoznačnosti (až na pořadí) JKT
(e) Celkem tedy
dim Ker(T) = β,
dim Ker(T2
) = dim Ker(T) + β − β(1),
...
dim Ker(Tl+1
) = dim Ker(Tl
) + β − β(1) − . . . − β(l).
(f) Indukcí lehce ověříme, že každé β(l) je jednoznačně určeno
pouze operátorem T, tj. ϕ. Jsou tedy počet bloků a jejich
rozměry jednoznačně určeny.
Uvědomme si, že součet délek řetězců je roven dimenzi příslušného
kořenového podprostoru (pomocí Wildonova lemmatu).
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice XII
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice XIII
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice XIV
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice XV
Věta o existenci Jordanova kanonického tvaru matice XVI
Popis postupu úprav matic na JKT matice zleva doprava I
Předpokládáme, že matice A typu n × n má plné spektrum nad K.
(1) Pro každé λ ∈ Spec A vypočítáme mocniny matice
Aλ = A − λI a každou z nich upravíme na redukovaný
stupňovitý tvar. Dostáváme tak posloupnost dvojic matic
Aλ ∼ B1, A2
λ ∼ B2, . . . , At
λ ∼ Bt, At+1
λ ∼ Bt+1,
kterou ukončíme pro první t takové, že t = tλ a Bt = Bt+1
(což může nasta i když At
λ = At+1
λ ). Potom podprostor
Ker(A − λI)t
= R(At
λ) = R(Bt)
řešení homogenní soustavy
At
λ · x = 0
je kořenový podprostor matice A příslušející vlastnímu číslu λ.
V případě jednobodového spektra platí At
λ = 0.
Popis postupu úprav matic na JKT matice zleva doprava II
Máme tedy požadovaný rozklad
Kn
= Ker(ϕ − λ1)s1
⊕ · · · ⊕ Ker(ϕ − λr )sr
,
λ1, . . . , λr jsou všechna navzájem různá vlastní čísla operátoru
ϕ = A · x a každý sčítanec je invariantní vzhledem k ϕ. Nyní se
omezíme na pevně zvolené vlastní číslo λ.
(2) Na základě každé z matic Bp, 1 ≤ p ≤ t najdeme bázi
podprostoru řešení homogenní soustavy
Ap
λ · x = 0 ,
kterou zapíšeme jako sloupce matice Cp.
Popis postupu úprav matic na JKT matice zleva doprava III
Popis postupu úprav matic na JKT matice zleva doprava IV
(3) Ze sloupců matice Ct vybereme vektory
v1, . . . , vηt ,
tak, aby doplnily bázi podprostoru Ker(A − λI)t−1 do báze
podprostoru Ker(A − λI)t, tj. sloupce matice Ct−1 rozšíříme
o vhodné sloupce matice Ct.
(4) Když už máme zkonstruováno prvních k řádků našeho
schématu, přičemž k-tý řádek bude obsahovat vektory
(A − λI)k−1(v1), . . . , (A − λI)k−1(vηt ), (A − λI)k−2(vηt +1),
. . . , (A − λI)k−2(vηt−1 ), . . . , vηt+2−k +1, . . . , vηt+1−k
, pak
k + 1-ní řádek získáme z k-tého řádku následovně.
Popis postupu úprav matic na JKT matice zleva doprava V
(4) Nový k + 1-ní řádek bude obsahovat vektory
(A − λI)k(v1), . . . , (A − λI)k(vηt ), (A − λI)k−1(vηt +1),
. . . , (A − λI)k−1(vηt−1 ), . . . , (A − λI)(vηt+2−k +1), . . . ,
(A − λI)(vηt+1−k
), vηt+1−k +1, . . . , vηt−k
,
přičemž vektory vηt+1−k +1, . . . , vηt−k
získáme tak, aby
doplnily bázi podprostoru Ker(A − λI)t−k rozšířenou o vektory
(A − λI)k(v1), . . . , (A − λI)k(vηt ), (A − λI)k−1(vηt +1), . . . ,
(A − λI)k−1(vηt−1 ), . . . , (A − λI)(vηt+2−k +1), . . . ,
(A − λI)(vηt+1−k
)
do báze podprostoru Ker(A − λI)t+1−k, tj. sloupce matice
Ct−k společně s vektory
(A − λI)k(v1), . . . , (A − λI)k(vηt ), (A − λI)k−1(vηt +1), . . . ,
(A − λI)k−1(vηt−1 ), . . . , (A − λI)(vηt+2−k +1), . . . ,
(A − λI)(vηt+1−k
)
rozšíříme o vhodné sloupce matice Ct+1−k.
Popis postupu úprav matic na JKT matice zleva doprava V
(4) Pak už ze znalosti řetězců poskládáme blokově diagonálně
JKT, přičemý si musíme uvědomit, že příslušná báze začíná
posledním vektorem příslušného řetězce, tj. začínáme vlastním
vektorem z posledního řádku našeho schématu.
Příklady úprav matic na JKT matice zleva doprava XVIII
Příklad
Matice
A =




0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 1 1
−1 −2 −1 −1



 ∈ R4×4
má charakteristický polynom
det(A − xI) = x4
a algebraicky čtyřnásobné vlastní číslo x1,2,3,4 = 0.
K němu příslušné vlastní vektory najdeme řešením homogenní
soustavy s maticí
A − 0I =




0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 1 1
−1 −2 −1 −1



 ∼




1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0



 .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice XIX
Podprostor řešení je dvojrozměrný, generovaný (například) vektory
u = (1, 0, −1, 0)T , v = (1, 0, 0, −1)T . Maticově zapsáno to je
C1 =




1 1
0 0
−1 0
−0 −1




Druhá mocnina je




0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 1 1
−1 −2 −1 −1



 ∼




1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0



 .
Podprostor řešení je třírozměrný, generovaný (například) vektory
u = (1, 0, −1, 0)T , v = (1, 0, 0, −1)T , w = (0, −1, 0, 0)T .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice XX
Maticově zapsáno to je
C2 =




1 1 0
0 0 −1
−1 0 0
−0 −1 0




Třetí mocnina je




0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0



 .
Podprostor řešení je čtyřrozměrný tj. celé R4, generovaný
(například) vektory u = (1, 0, −1, 0)T , v = (1, 0, 0, −1)T ,
w = (0, −1, 0, 0)T , z = (1, 0, 0, 0)T .
Příklady úprav matic na Jordanův kanonický tvar matice X
Protože máme dva lineárně nezávislé vlastní vektory budeme mít
dva řetězce. Delší bude mít délku 3 (protože (A − 0I)3 = 0), kratší
pak délku 1. Začneme s vektorem z = (1, 0, 0, 0)T , který doplnil
sloupce matice C2 na bázi prostoru R4. Tedy klademe
v3 = z = (1, 0, 0, 0)T . Pak nutně v2 = (A − 0I)z = (0, 1, 1, −1)T
a dále v1 = (A − 0I)v2 = (1, 0, 1, −2)T .
Jediný vektor druhého řetězce zvolíme tak, aby spolu s vektorem v1
tvořily bázi vlastního podprostoru [u, v]; vyhovuje každý z vektorů
u, v. Zvolme např. v4 = u = (1, 0, −1, 0)T .
JKT J = diag J3(0), J1(0) matice A a příslušná Jordanova báze
(v1, v2, v3, v4) jsou
J =




0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0



 , P =




1 0 1 1
0 1 0 0
1 1 0 −1
−2 −1 0 0



 .