16. SAMOADJUNGOVANÉ OPERÁTORY A
JEJICH VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY
Jan Paseka
Masarykova univerzita Brno
30. dubna 2020
Abstrakt
V této kapitole budeme pokračovat ve studiu struktury lineárních
operátorů na konečně rozměrných vektorových prostorech se
skalárním součinem. Zavedeme pojem adjungovaného zobrazení
a samoadjungovaného lineárního operátoru a podíváme se na
jeho diagonalizovatelnost.
Abstrakt
V této kapitole budeme pokračovat ve studiu struktury lineárních
operátorů na konečně rozměrných vektorových prostorech se
skalárním součinem. Zavedeme pojem adjungovaného zobrazení
a samoadjungovaného lineárního operátoru a podíváme se na
jeho diagonalizovatelnost.
V celé této kapitole bude V buď reálný nebo komplexní vektorový
prostor, tj. pole skalárů je K = R nebo K = C.
Obsah přednášky I
Samoadjungované operátory
Adjungované zobrazení a samoadjungované operátory.
Vlastní vektory a vlastní čísla samoadjungovaných operátorů.
Věta o spektrálním rozkladu a její důsledky.
Obsah přednášky I
Samoadjungované operátory
Adjungované zobrazení a samoadjungované operátory.
Vlastní vektory a vlastní čísla samoadjungovaných operátorů.
Věta o spektrálním rozkladu a její důsledky.
Rozklady matic
Singulární rozklad matic.
Pseudoinverzní matice.
Samoadjungované operátory I
Motivace 1: Vlastní vektory a vlastní čísla symetrické matice
1 −1
−1 2
.
|A − λE|= (1 − λ)(2 − λ) = λ2
− 3λ + 1
= (λ − 3+
√
5
2
)(λ − 3−
√
5
2
) = 0
Samoadjungované operátory I
Motivace 1: Vlastní vektory a vlastní čísla symetrické matice
1 −1
−1 2
.
|A − λE|= (1 − λ)(2 − λ) = λ2
− 3λ + 1
= (λ − 3+
√
5
2
)(λ − 3−
√
5
2
) = 0
Vlastní čísla jsou λ1 = 3+
√
5
2
a λ2 = 3−
√
5
2
.
Pro tato vlastní čísla nalezneme vlastní vektory v1 a v2.
(1 −
3
2
−
√
5
2
)x1 − x2 = 0, (1 −
3
2
+
√
5
2
)y1 − y2 = 0
v1 = (1, −
1
2
−
√
5
2
)T
, v2 = (1, −
1
2
+
√
5
2
)T
Tyto vektory jsou na sebe navzájem kolmé.
Samoadjungované operátory II
Tedy k symetrické matici
1 −1
−1 2
.
existuje ortogonální báze tvořená vlastními vektory.
Toto není náhoda.
Samoadjungované operátory II
Tedy k symetrické matici
1 −1
−1 2
.
existuje ortogonální báze tvořená vlastními vektory.
Toto není náhoda.
Motivace 2: Kolmá projekce
Buď U vektorový prostor se skalárním součinem, V jeho konečně
rozměrný vektorový podprostor a PV : U → U kolmá projekce na
podprostor V . Ukážeme, že platí
∀u, v ∈ U : PV (u), v = u, PV (v)
PV (u), v = PV (u)
∈V
, (v − PV (v))
∈V ⊥
+ PV (v)
∈V
= PV (u), PV (v)
Samoadjungované operátory III
u, PV (v) = (u − PV (u))
∈V ⊥
+ PV (u)
∈V
, PV (v)
∈V
= PV (u), PV (v)
Pak říkáme, že PV je samoadjungované zobrazení.
Samoadjungované operátory III
u, PV (v) = (u − PV (u))
∈V ⊥
+ PV (u)
∈V
, PV (v)
∈V
= PV (u), PV (v)
Pak říkáme, že PV je samoadjungované zobrazení.
Definice
Nechť ϕ: U → V je lineární zobrazení unitárních (euklidovských)
prostorů. Adjungovaným zobrazením k ϕ se nazývá lineární
zobrazení ϕ∗
: V → U takové, že pro všechny vektory u ∈ U a
v ∈ V platí
ϕ(u), v V = u, ϕ∗(v) U.
Samoadjungované operátory IV
Příklad
Buď ϕ: Cn
→ Ck
lineární zobrazení, ϕ(x) = A · x. Hledáme
adjungované zobrazení ϕ∗
: Ck
→ Cn
ve tvaru ϕ∗(y) = B · y.
Samoadjungované operátory IV
Příklad
Buď ϕ: Cn
→ Ck
lineární zobrazení, ϕ(x) = A · x. Hledáme
adjungované zobrazení ϕ∗
: Ck
→ Cn
ve tvaru ϕ∗(y) = B · y.
Musí platit
ϕ(x), y Ck = x, ϕ∗(y) Cn
A · x, y Ck = x, B · y Cn
(A · x)T · y = xT · (B · y)
xT · AT
· y = xT · B · y
Odtud B = A
T
je matice adjungovaného zobrazení ϕ∗ k ϕ.
Samoadjungované operátory V - Souřadnicové zobrazení
Nechť α = (u1, . . . , un) je ortonormální báze v unitárním
(euklidovském) prostoru V dimenze n. Pak souřadnicové zobrazení
(−)α : V → Cn ((−)α : V → Rn) je unitární (ortogonální)
zobrazení, tj.,
u, v V = (u)α, (v)α Cn ( u, v V = (u)α, (v)α Rn ).
Totiž, pro u = n
i=1 ci ui a v = n
j=1 dj uj máme
u, v V = n
i=1 ci ui , n
j=1 dj uj V = n
j=1
n
i=1 ci ui , uj V dj
= n
i=1 ci ui , ui V di = n
i=1 ci di
=(u)T
α · (v)α = (u)α, (v)α Cn .
Tedy i inverzní zobrazení (−)−1
α : Cn → V ((−)α : Rn → V ) je
unitární (ortogonální) zobrazení.
Samoadjungované operátory VI
Věta
Nechť α je ortonormální báze v V , β je ortonormální báze v U,
ϕ : U → V je lineární zobrazení unitárních (euklidovských)
prostorů, A = (ϕ)α,β. Potom k ϕ existuje právě jedno adjungované
zobrazení ϕ∗ a matice adjungovaného zobrazení ϕ∗
: V → U má
tvar
(ϕ∗
)β,α = A
T
v unitárním případě,
AT
v euklidovském případě.
Obráceně, je-li ψ : V → U lineární zobrazení a (ψ)β,α = A
T
, pak
ψ = ϕ∗
.
Samoadjungované operátory VII
Definice
Lineární operátor ϕ : U → U na unitárním (euklidovském) prostoru
U se nazývá samoadjungované zobrazení, jestliže pro všechny
vektory u, v ∈ U platí
ϕ(u), v U = u, ϕ(v) U
tj. pokud ϕ∗
= ϕ.
Věta
Operátor ϕ : U → U na unitárním (euklidovském) prostoru U je
samoadjungovaný právě tehdy, když pro jeho matici v ortonormální
bázi α platí
(ϕ)α,α = A = A
T
v unitárním případě,
AT
v euklidovském případě.
Samoadjungované operátory VIII
Maticím A, které splňují podmínku A = A
T
se nazývají
hermitovské. Dále budeme značit A∗
= A
T
.
Samoadjungované operátory VIII
Maticím A, které splňují podmínku A = A
T
se nazývají
hermitovské. Dále budeme značit A∗
= A
T
.
Příkladem hermitovské matice je matice
A =


1 1 + i 2 + 3i
1 − i 3 −5i
2 − 3i 5i 0


Samoadjungované operátory VIII
Maticím A, které splňují podmínku A = A
T
se nazývají
hermitovské. Dále budeme značit A∗
= A
T
.
Příkladem hermitovské matice je matice
A =


1 1 + i 2 + 3i
1 − i 3 −5i
2 − 3i 5i 0


Podobně samoadjungované operátory na euklidovských prostorech
(speciálně na Rn) jsou určeny symetrickými maticemi.
Samoadjungované operátory IX
Příklad
Buď nyní U konečně rozměrný vektorový prostor se skalárním
součinem, V jeho vektorový podprostor a PV : U → U kolmá
projekce na podprostor V . Nechť α = (u1, . . . , un) je ortonormální
báze U a (u1, . . . , uk) je báze V . Pak matice kolmé projekce je
PV =














1 0 . . . 0 . . . 0 0
0 1
... 0 . . . 0 0
0 0 1
... 0 . . . 0
0 0 0 0
... 0 0
...
...
... 0 0
... 0
0 0 0 0 0
... 0
k
0 0 0 0 0 0 0














.
Samoadjungované operátory X
Lemma
Nechť lineární operátor ϕ : U → U na unitárním (euklidovském)
prostoru U je samoadjungovaný s invariantním podprostorem V .
Pak V ⊥
je rovněž invariantní.
Samoadjungované operátory X
Lemma
Nechť lineární operátor ϕ : U → U na unitárním (euklidovském)
prostoru U je samoadjungovaný s invariantním podprostorem V .
Pak V ⊥
je rovněž invariantní.
Věta
Nechť ϕ : U → U je samoadjungovaný operátor na unitárním
(euklidovském) prostoru U. Pak platí:
1. Vlastní čísla zobrazení ϕ jsou reálná.
2. Vlastní vektory příslušné k různým vlastním číslům jsou
navzájem kolmé.
Samoadjungované operátory XI
Věta
O spektrálním rozkladu. Pro každý samoadjungovaný operátor
ϕ : U → U na unitárním (euklidovském) prostoru U existuje
ortonormální báze α prostoru U tvořená vlastními vektory, v níž má
ϕ diagonální matici s reálnými vlastními čísly na diagonále.
Samoadjungované operátory XI
Věta
O spektrálním rozkladu. Pro každý samoadjungovaný operátor
ϕ : U → U na unitárním (euklidovském) prostoru U existuje
ortonormální báze α prostoru U tvořená vlastními vektory, v níž má
ϕ diagonální matici s reálnými vlastními čísly na diagonále.
Důsledek
Buď ϕ : U → U lineární operátor na unitárním (euklidovském)
prostoru U. Pak ϕ je samoadjungovaný operátor právě tehdy, když
ϕ = λ1P1 + λ2P2 + · · · + λkPk,
λ1, . . . , λk jsou všechna navzájem různá vlastní čísla operátoru ϕ a
P1, . . . , Pk jsou kolmé projekce do navzájem kolmých vlastních
podprostorů Ker(ϕ − λi idU), i = 1, . . . , k.
Samoadjungované operátory XII
Důsledek
Pro každou reálnou symetrickou matici A existuje ortogonální
matice P tak, že matice
PT
AP = P−1
AP
je diagonální.
Samoadjungované operátory XII
Důsledek
Pro každou reálnou symetrickou matici A existuje ortogonální
matice P tak, že matice
PT
AP = P−1
AP
je diagonální.
Důsledek
Každá kvadratická forma na euklidovském prostoru U dimenze n
má ve vhodné ortonormální bázi analytický tvar
f (x) =
n
i=1
λi x2
i .
Singulární rozklad matice I
Příklad
Je-li A reálná matice typu m × n, pak matice
AT
A
je reálná symetrická matice typu n × n.
Snadno pak ověříme následující rovnost
(AT
· A)T
= AT
· (AT
)T
= AT
· A.
i
AT
·
k
A
=
k
i
AT
· A
Singulární rozklad matice II
Příklad
Je-li A komplexní matice typu m × n, pak matice
A∗
A
je komplexní hermitovská matice typu n × n.
Snadno pak ověříme následující rovnost
(A∗
· A)∗
= A∗
· (A∗
)∗
= A∗
· A.
i
A∗
·
k
A
=
k
i
A∗
· A
Singulární rozklad matice III
Lemma
Nechť ϕ: U → V je lineární zobrazení mezi prostory se skalárním
součinem. Pak ϕ∗ ◦ ϕ: U → U (a ϕ ◦ ϕ∗ : V → V ) jsou
samoadjungované, pozitivně semidefinitní, tj.
∀u ∈ U : (ϕ∗
◦ ϕ)(u), u ≥ 0.
Speciálně, všechna vlastní čísla jsou nezáporná a platí
Ker(ϕ∗
◦ ϕ) = Ker(ϕ).
Singulární rozklad matice IV
Věta
Nechť A ∈ Matk×n, kde K = R nebo K = C. Pak existují unitární
(případně ortogonální nad R) matice P typu k × k a Q typu n × n
takové, že
A = P · S · Q∗
,
kde
S =













n
s1 0 . . . 0 0 . . . 0
0 s2 . . . 0 0
... 0
0 0
... 0 0
... 0
0 0 . . . sr 0 . . . 0
0 0 . . . 0 0 . . . 0
0 0
... 0 0
... 0
r
0 0 . . . 0
n − r
0 . . . 0













a čísla s1, s2, . . . , sr jsou
druhé odmocniny kladných
vlastních čísel hermitovské
matice A∗
· A.
Pseudoinverzní matice I
Motivace č. 1: Buď ϕ: Kn → Kk lineární zobrazení, tj.
ϕ(x) = A · x, x ∈ Kn. Platí
Kn = Ker(ϕ) ⊕ Ker(ϕ)⊥, Kk = Im(ϕ) ⊕ Im(ϕ)⊥,
ϕ Ker(ϕ)⊥ : Ker(ϕ)⊥ → Im(ϕ).
Pseudoinverzní matice I
Motivace č. 1: Buď ϕ: Kn → Kk lineární zobrazení, tj.
ϕ(x) = A · x, x ∈ Kn. Platí
Kn = Ker(ϕ) ⊕ Ker(ϕ)⊥, Kk = Im(ϕ) ⊕ Im(ϕ)⊥,
ϕ Ker(ϕ)⊥ : Ker(ϕ)⊥ → Im(ϕ).
Lineární zobrazení ϕ Ker(ϕ)⊥ je prosté (jeho jádro je triviální) a
na (Im(ϕ) = Im(ϕ Ker(ϕ)⊥) z důvodu stejné dimenze). Tedy k
ϕ Ker(ϕ)⊥ existuje inverze.
Pseudoinverzní matice I
Motivace č. 1: Buď ϕ: Kn → Kk lineární zobrazení, tj.
ϕ(x) = A · x, x ∈ Kn. Platí
Kn = Ker(ϕ) ⊕ Ker(ϕ)⊥, Kk = Im(ϕ) ⊕ Im(ϕ)⊥,
ϕ Ker(ϕ)⊥ : Ker(ϕ)⊥ → Im(ϕ).
Lineární zobrazení ϕ Ker(ϕ)⊥ je prosté (jeho jádro je triviální) a
na (Im(ϕ) = Im(ϕ Ker(ϕ)⊥) z důvodu stejné dimenze). Tedy k
ϕ Ker(ϕ)⊥ existuje inverze.
Má-li být B pseudoinverzní matice k A, položme ψ(y) = B · y. Pak
ψ: Kk → Kn a určitě by kompozice
ψ ◦ ϕ Ker(ϕ)⊥
: Ker(ϕ)⊥
→ Ker(ϕ)⊥
měla být identita na Ker(ϕ)⊥.
Pseudoinverzní matice II
Tedy lineární zobrazení ψ ◦ ϕ: Kn → Kn by mělo být kolmou
projekcí na podprostor Ker(ϕ)⊥.
Pseudoinverzní matice II
Tedy lineární zobrazení ψ ◦ ϕ: Kn → Kn by mělo být kolmou
projekcí na podprostor Ker(ϕ)⊥.
Podobně by lineární zobrazení ϕ ◦ ψ: Kk → Kk mělo být identita
na podprostoru Im(ϕ), tj. kompozice
ϕ Ker(ϕ)⊥
◦ ψ: Im(ϕ) → Im(ϕ)
by měla být identita na Im(ϕ).
Tedy lineární zobrazení ϕ ◦ ψ: Kk → Kk by mělo být kolmou
projekcí na podprostor Im(ϕ).
Pseudoinverzní matice III
Ker(ϕ)
Ker(ϕ)⊥
Im(ϕ)⊥
Im(ϕ)
A
ϕ
B
ψ
Pseudoinverzní matice IV
Motivace č. 2: Nechť A je matice typu n × n, která je invertibilní.
Pro její singulární rozklad platí
A = P · S · Q∗
, S =





n
s1 0 . . . 0
0 s2 . . . 0
0 0
... 0
0 0 . . . sn





, si > 0
Pseudoinverzní matice IV
Motivace č. 2: Nechť A je matice typu n × n, která je invertibilní.
Pro její singulární rozklad platí
A = P · S · Q∗
, S =





n
s1 0 . . . 0
0 s2 . . . 0
0 0
... 0
0 0 . . . sn





, si > 0
Pak pro inverzní matici k A platí:
A−1
= (P · S · Q∗
)−1 = (Q∗
)−1S−1
P−1
= (Q∗
)∗S−1
P∗
= Q ·





s−1
1 0 . . . 0
0 s−1
2 . . . 0
0 0
... 0
0 0 . . . s−1
n





· P∗
.
Pseudoinverzní matice V
Definice
Nechť A je matice typu k × n se singulárním rozkladem
A = P ·
D 0r,n−r
0n−r,r 0n−r,n−r
· Q∗
, D =





s1 0 . . . 0
0 s2 . . . 0
0 0
... 0
0 0 . . . sr





, si > 0
Potom se matice
A(−1)
= Q ·
D−1
0r,n−r
0n−r,r 0n−r,n−r
· P∗
typu n × k nazývá pseudoinverzní matice k matici A.
Pseudoinverzní matice VI - Základní vlastnosti
(1) Je-li A invertibilní, je A(−1)
= A−1
.
(2) A(−1)
(−1)
= A.
(3) A(−1)
· A a A · A(−1)
jsou samoadjungované matice.
(4) Buď ϕ: Kn → Kk lineární zobrazení tvaru ϕ(x) = A · x,
x ∈ Kn. Dále položme ϕ(−1)(y) = A(−1)
· y, y ∈ Kk a
definujme tak lineární zobrazení ϕ(−1) : Kk → Kn. Pak
kompozice ϕ(−1) ◦ ϕ tvaru
(ϕ(−1)
◦ ϕ)(x) = A(−1)
· A · x
je kolmá projekce Kn do podprostoru (Ker(ϕ))⊥ (viz
Motivace 1) a kompozice ϕ ◦ ϕ(−1) tvaru
(ϕ ◦ ϕ(−1)
)(y) = A · A(−1)
· y
je kolmá projekce Kk do podprostoru Im(ϕ).
Pseudoinverzní matice VII - Základní vlastnosti
(5) A · A(−1)
· A = A, A(−1)
· A · A(−1)
= A(−1)
.
(6) Důležitá pro počítání:
A(−1)
= (A∗
· A)(−1)
· A∗
.
(7) Důsledek (6) a (1): Existuje-li k matici A∗
· A typu n × n
inverzní matice, pak
A(−1)
= (A∗
· A)−1
· A∗
.
Vlastnost (7) lze často použít při počítání, když n ≤ k.
Pseudoinverzní matice VIII
Příklad
Spočtěte A(−1)
k matici A =


1 2
1 0
0 1

. Platí:
A∗
· A =
1 1 0
2 0 1
·


1 2
1 0
0 1

 =
2 2
2 5
, det A∗
· A = 6.
(A∗
· A)−1 =
2 2
2 5
−1
=
5
6 −1
3
−1
3
1
3
A(−1)
= (A∗
· A)−1 · A∗
=
5
6 −1
3
−1
3
1
3
·
1 1 0
2 0 1
=
1
6
5
6 −1
3
1
3 −1
3
1
3
Pseudoinverzní matice IX - Aplikace (opakování)
Nechť A ∈ Rm×n
, b ∈ Rm
. Uvažujme soustavu lineárních rovnic
A · x = b
a označme S = [s1(A), . . . , sn(A)] lineární podprostor v Rm
generovaný sloupci matice A.
Pseudoinverzní matice IX - Aplikace (opakování)
Nechť A ∈ Rm×n
, b ∈ Rm
. Uvažujme soustavu lineárních rovnic
A · x = b
a označme S = [s1(A), . . . , sn(A)] lineární podprostor v Rm
generovaný sloupci matice A.
Podle Frobeniova kritéria má naše soustava nějaké řešení x ∈ Rn
právě tehdy, když b ∈ S. Složky řešení x = (x1, . . . , xn)T
∈ Rn
jsou pak koeficienty lineární kombinace
x1s1(A) + . . . + xnsn(A) = A · x = b.
Ale i v případě, kdy b /∈ S, tj. řešení soustavy neexistuje, se
můžeme pokusit nahradit její pravou stranu b co nejbližším
vektorem z podprostoru S. Takto získaná nová soustava už má
řešení, které můžeme právem považovat za nejlepší možné přibližné
řešení původní soustavy.
Pseudoinverzní matice X - Aplikace
Věta
Pro x ∈ Kn
funkce
||Ax − b||
nabývá svého minima v bodě x = A(−1)
b .
Body v Kn
, kde ||Ax − b|| nabývá svého minima, tvoří afinní
podprostor
A(−1)
b + {z ∈ Kn
| Az = 0}.
Pseudoinverzní matice X - Aplikace
Věta
Pro x ∈ Kn
funkce
||Ax − b||
nabývá svého minima v bodě x = A(−1)
b .
Body v Kn
, kde ||Ax − b|| nabývá svého minima, tvoří afinní
podprostor
A(−1)
b + {z ∈ Kn
| Az = 0}.
V úlohách lineární regrese máme zadané hodnoty y1, . . . , ym
neznámé funkce f v bodech x1, . . . , xm jejího definičního oboru,
získané většinou měřením. Funkci f chceme aproximovat lineární
kombinací funkcí f1, . . . , fn, které známe, či alespoň jsou nám
známé jejich hodnoty aij = fj (xi ) v bodech x1, . . . , xm.
Pseudoinverzní matice XI - Aplikace - opakování
Obvykle je m podstatně větší než n. V optimálním případě se nám
může podařit sestrojit funkci f = c1f1 + . . . + cnfn přímo jako
lineární kombinaci funkcí fj tak, aby f v bodech xi nabývala předem
předepsané hodnoty yi , tj.
yi = f (xi ) =
n
j=1
cj fj (xi ) =
n
j=1
aij cj .
Pseudoinverzní matice XI - Aplikace - opakování
Obvykle je m podstatně větší než n. V optimálním případě se nám
může podařit sestrojit funkci f = c1f1 + . . . + cnfn přímo jako
lineární kombinaci funkcí fj tak, aby f v bodech xi nabývala předem
předepsané hodnoty yi , tj.
yi = f (xi ) =
n
j=1
cj fj (xi ) =
n
j=1
aij cj .
Pokud označíme A = (aij ) ∈ Rm×n, y = (y1, . . . , ym)T ∈ Rm,
c = (c1, . . . , cn)T ∈ Rn, vidíme, že vlastně hledáme řešení c
soustavy
A · c = y.
Pseudoinverzní matice XI - Aplikace - opakování
Obvykle je m podstatně větší než n. V optimálním případě se nám
může podařit sestrojit funkci f = c1f1 + . . . + cnfn přímo jako
lineární kombinaci funkcí fj tak, aby f v bodech xi nabývala předem
předepsané hodnoty yi , tj.
yi = f (xi ) =
n
j=1
cj fj (xi ) =
n
j=1
aij cj .
Pokud označíme A = (aij ) ∈ Rm×n, y = (y1, . . . , ym)T ∈ Rm,
c = (c1, . . . , cn)T ∈ Rn, vidíme, že vlastně hledáme řešení c
soustavy
A · c = y.
Tato soustava je v typickém případě neřešitelná.
Pseudoinverzní matice XII - Aplikace
Uvažme následující úlohu: Předpokládejme, že mezi veličinami x a
y je vztah
y = a + bx.
Naměříme hodnoty (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) pro xi xj , i = j.
Chceme najít a a b tak, aby součet čtverců
(y1 − a − bx1)2
+ (y2 − a − bx2)2
+ · · · + (yn − a − bxn)2
byl minimální.
40 60 80 100
160
180
200
0.60 · Váha + 130.2
Výška(cm)
Pseudoinverzní matice XIII - Aplikace
To vede k řešení soustavy







1
1
1
...
1







· a +







x1
x2
x3
...
xn







· b =







y1
y2
y3
...
yn







, tj.







1 x1
1 x2
1 x3
...
...
A
1 xn







·
a
z
b
=







y1
y2
y3
...
b
yn







.
Pseudoinverzní matice XIV - Aplikace
Tedy
a
b
najdeme jako vektor (pseudořešení naší soustavy)







1 x1
1 x2
1 x3
...
...
1 xn







(−1)
·







y1
y2
y3
...
yn







.
Nutně A∗
· A je matice typu 2 × 2, která je invertibilní. Odtud
a
b
= (A∗
· A)−1
· A∗
·







y1
y2
y3
...
yn







.
Polární rozklad matice I
Motivace: Na polární rozklad matice se můžeme dívat jako na
zobecnění exponenciálního tvaru komplexního čísla.
Vezměme lineární zobrazení ϕ: C → C, ϕ(z) = (a + ib) · z,
a, b ∈ R. Pak a + ib = r · (cos α + i sin α), r ≥ 0 .
Na tuto rovnost se můžeme dívat jako na vyjádření bodu z
komplexní roviny v polárních souřadnicích. Odtud zřejmě název
polární rozklad.
Polární rozklad matice I
Motivace: Na polární rozklad matice se můžeme dívat jako na
zobecnění exponenciálního tvaru komplexního čísla.
Vezměme lineární zobrazení ϕ: C → C, ϕ(z) = (a + ib) · z,
a, b ∈ R. Pak a + ib = r · (cos α + i sin α), r ≥ 0 .
Na tuto rovnost se můžeme dívat jako na vyjádření bodu z
komplexní roviny v polárních souřadnicích. Odtud zřejmě název
polární rozklad.
Matice typu 1 × 1 s prvkem cos α + i sin α je vždy unitární, matice
typu 1 × 1 s prvkem r ∈ R je samoadjungovaná, pro r > 0 pak
pozitivně definitní. Totiž,
(cos α + i sin α) · (cos α + i sin α)∗= (cos α + i sin α) · (cos α − i sin α)
= cos 0 − i sin 0 = 1
r∗= r.
Polární rozklad matice II
Věta
Věta o polárním rozkladu matice
Nechť A je čtvercová matice nad R nebo C. Pak existuje
samoadjungovaná (R = R∗
) pozitivně semidenitní ( Rx, x ≥ 0)
matice R a unitární matice U tak, že A = R · U .
Navíc platí, že R2
= A · A∗
(píšeme R =
√
A · A∗
).
Je-li A invertibilní, je tento rozklad jednoznačný.
Gramův-Schmidtův OP a QR-rozklad I - opakování
Nechť A je invertibilní čtvercová matice nad R nebo C. Tedy její
sloupce A · e1, A · e2, . . . , A · en jsou lineárně nezávislé vektory.
Víme, že pomocí Gramova-Schmidtova ortogonalizačního procesu
můžeme najít ortogonální (a tedy nenulové) vektory u1, . . . , un
tak, že
A · e1 = u1 = R11u1
A · e2 = R12u1 + R22u2
A · e3 = R13u1 + R23u2 + R33u3
... =
...
... =
...
A · en = R1nu1 + R2nu2 + R33u3 + · · · + Rnnun
Gramův-Schmidtův OP a QR-rozklad II - opakování
A · e1,A · e2,A · e3,. . .,A · en = u1,u2,u3,. . .,un ·







R11R12R13. . .R1n
0 R22R23. . .R2n
0 0 R33. . .R3n
...
...
...
...
...
0 0 0 . . .Rnn







=
( u1
||u1|| , u2
||u2|| , u3
||u3|| ,. . ., un
||un||
Q
)







(||u1||R11) (||u2||R12) (||u3||R13) . . . (||un||R1n)
0 ||u2||R22 (||u3||R23) . . . (||un||R2n)
0 0 (||u2||R33) . . . (||un||R3n)
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . (||un||Rnn)







A = Q · R, Q unitární nebo ortogonální matice, R horní trojúhelníková
matice.
Gramův-Schmidtův OP a QR-rozklad III - opakování
Aplikace QR-rozkladu:
Platí
A · x = b ⇔ Q · R · x = b ⇔ R · x = Q∗
· b.
Poslední rovnice lze snadno spočítat bez použití Gaussovy
eliminace, protože R je horní trojúhelníková matice.