16. SPEKTRUM LINEÁRNíHO OPERÁTORU Jan Paseka Masarykova univerzita Brno 16. dubna 2020 Abstrakt V této kapitole budeme pokračovat ve studiu struktury lineárních operátorů na konečně rozměrných vektorových prostorech. Zavedeme důležitý, ještě v předchozí kapitole avizovaný pojem spektra lineárního operátoru, jakožto i pojmy algebraické a geometrické násobnosti vlastní hodnoty, které nám umožní klasifikovat případné překážky jeho diagonalizovatelnosti. Abstrakt V této kapitole budeme pokračovat ve studiu struktury lineárních operátorů na konečně rozměrných vektorových prostorech. Zavedeme důležitý, ještě v předchozí kapitole avizovaný pojem spektra lineárního operátoru, jakožto i pojmy algebraické a geometrické násobnosti vlastní hodnoty, které nám umožní klasifikovat případné překážky jeho diagonalizovatelnosti. Dále si ujasníme, jaký vliv má řešitelnos polynomických rovnic v základním tělese na spektrum lineárního operátora. Vhodným rozšířením tohoto pole lze dosáhnout, aby každý lineární operátor na n-rozměrném prostoru měl n vlastních hodnot, pokud každou z nich počítáme tolikrát, jaká je její algebraická násobnost. Budeme pracovat s vektorovým prostorem nad tělesem K. Obsah přednášky I Spektrum lineárního operátoru Algebraická násobnost vlastní hodnoty. Geometrická násobnost vlastní hodnoty. Jordanova buňka a její vlastnosti. Diagonalizovatelnost lineárního operátoru. Obsah přednášky I Spektrum lineárního operátoru Algebraická násobnost vlastní hodnoty. Geometrická násobnost vlastní hodnoty. Jordanova buňka a její vlastnosti. Diagonalizovatelnost lineárního operátoru. Ortogonální a unitární operátory Vlastnosti ortogonálních a unitárních operátorů. Příklady ortogonálních a unitárních operátorů. Vlastní hodnoty a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů. Spektrum lineárního operátoru a matice I Připomeňme, že polynom f (x) ∈ K[x] dělí polynom g(x) ∈ K[x], pokud existuje polynom p(x) ∈ K[x] takový, že g(x) = f (x) p(x). Spektrum lineárního operátoru a matice I Připomeňme, že polynom f (x) ∈ K[x] dělí polynom g(x) ∈ K[x], pokud existuje polynom p(x) ∈ K[x] takový, že g(x) = f (x) p(x). Zřejmě, pokud f dělí g, tak stupeň f je menší nebo rovný stupni g. Spektrum lineárního operátoru a matice I Připomeňme, že polynom f (x) ∈ K[x] dělí polynom g(x) ∈ K[x], pokud existuje polynom p(x) ∈ K[x] takový, že g(x) = f (x) p(x). Zřejmě, pokud f dělí g, tak stupeň f je menší nebo rovný stupni g. Skalár λ ∈ K je kořenem polynomu f (x) (t. j. f (λ) = 0) právě tehdy, když polynom x − λ dělí polynom f (x). Skalár λ ∈ K je m-násobný kořen polynomu f (x) ∈ K[x], pokud (x − λ)m je nejvyšší mocnina polynomu x − λ, která ještě dělí f (x). Namísto o 1-násobném kořenu mluvíme o jednoduchém kořenu. Spektrum lineárního operátoru a matice I Připomeňme, že polynom f (x) ∈ K[x] dělí polynom g(x) ∈ K[x], pokud existuje polynom p(x) ∈ K[x] takový, že g(x) = f (x) p(x). Zřejmě, pokud f dělí g, tak stupeň f je menší nebo rovný stupni g. Skalár λ ∈ K je kořenem polynomu f (x) (t. j. f (λ) = 0) právě tehdy, když polynom x − λ dělí polynom f (x). Skalár λ ∈ K je m-násobný kořen polynomu f (x) ∈ K[x], pokud (x − λ)m je nejvyšší mocnina polynomu x − λ, která ještě dělí f (x). Namísto o 1-násobném kořenu mluvíme o jednoduchém kořenu. Polynom f stupně n má nanejvýš n kořenů, pokud každý z nich počítáme s jeho násobností. Pokud λ1, . . . , λk jsou všechny navzájem různé kořeny polynomu f stupně n a m1, . . . , mk jsou jejich násobnosti, tak m1 + . . . + mk ≤ n. Spektrum lineárního operátoru a matice II Skalár λ ∈ K se nazývá m-násobná vlastní hodnota matice A ∈ Kn×n , pokud λ je m-násobným kořenem jejího charakteristického polynomu chA(x); říkáme rovněž, že algebraická násobnost vlastní hodnoty λ matice A je m. Namísto o 1-násobné mluvíme o jednoduché vlastní hodnotě. Spektrum lineárního operátoru a matice II Skalár λ ∈ K se nazývá m-násobná vlastní hodnota matice A ∈ Kn×n , pokud λ je m-násobným kořenem jejího charakteristického polynomu chA(x); říkáme rovněž, že algebraická násobnost vlastní hodnoty λ matice A je m. Namísto o 1-násobné mluvíme o jednoduché vlastní hodnotě. Podobne definujeme i pojem m-násobné vlastní hodnoty a algebraické násobnosti vlastní hodnoty pro lineární operátory na konečně rozměrných prostorech. Matice řádu n má nanejvýš n vlastních hodnot, pokud každý z nich počítáme s její násobností. Spektrum lineárního operátoru a matice II Skalár λ ∈ K se nazývá m-násobná vlastní hodnota matice A ∈ Kn×n , pokud λ je m-násobným kořenem jejího charakteristického polynomu chA(x); říkáme rovněž, že algebraická násobnost vlastní hodnoty λ matice A je m. Namísto o 1-násobné mluvíme o jednoduché vlastní hodnotě. Podobne definujeme i pojem m-násobné vlastní hodnoty a algebraické násobnosti vlastní hodnoty pro lineární operátory na konečně rozměrných prostorech. Matice řádu n má nanejvýš n vlastních hodnot, pokud každý z nich počítáme s její násobností. Spektrem lineárního operátoru ϕ na konečně rozměrném vektorovém prostoru nazýváme množinu všech jeho vlastních hodnot a označujeme ji Specϕ. Stejně definujeme i spektrum matice A ∈ Kn×n , které značíme SpecA. Spektrum lineárního operátoru a matice III Algebraickou váhou spektra Specϕ nazýváme součet algebraických násobností všech vlastních hodnot λ ∈ Specϕ. Říkáme, že lineární operátor ϕ má jednoduché spektrum, pokud se jeho algebraická váha rovná počtu jeho prvků, t. j. právě tehdy, když všechny vlastní hodnoty operátoru ϕ jsou jednoduché. Spektrum lineárního operátoru a matice III Algebraickou váhou spektra Specϕ nazýváme součet algebraických násobností všech vlastních hodnot λ ∈ Specϕ. Říkáme, že lineární operátor ϕ má jednoduché spektrum, pokud se jeho algebraická váha rovná počtu jeho prvků, t. j. právě tehdy, když všechny vlastní hodnoty operátoru ϕ jsou jednoduché. Množina všech lineárních operátorů na vektorovém prostoru V tvoří vektorový prostor L(V , V ) nad číselným tělesem K, jehož prvkem je i identický operátor idV V → V . Proto pro ϕ ∈ L(V , V ) a λ ∈ K i zobrazení ϕ − λidV , dané předpisem x → ϕ(x) − λx, je lineární operátor na V . Spektrum lineárního operátoru a matice III Algebraickou váhou spektra Specϕ nazýváme součet algebraických násobností všech vlastních hodnot λ ∈ Specϕ. Říkáme, že lineární operátor ϕ má jednoduché spektrum, pokud se jeho algebraická váha rovná počtu jeho prvků, t. j. právě tehdy, když všechny vlastní hodnoty operátoru ϕ jsou jednoduché. Množina všech lineárních operátorů na vektorovém prostoru V tvoří vektorový prostor L(V , V ) nad číselným tělesem K, jehož prvkem je i identický operátor idV V → V . Proto pro ϕ ∈ L(V , V ) a λ ∈ K i zobrazení ϕ − λidV , dané předpisem x → ϕ(x) − λx, je lineární operátor na V . Zřejmě 0 = v ∈ V je vlastní vektor operátoru ϕ příslušející k jeho vlastní hodnotě λ právě tehdy, když v ∈ Ker(ϕ − λidV ). Spektrum lineárního operátoru a matice IV Lineární podprostor Ker(ϕ − λidV ) ⊆ V nazýváme vlastní podprostor lineárního operátoru ϕ V → V příslušející k jeho vlastní hodnotě λ ∈ K. Zřejmě pro všechny vektory v ∈ Ker(ϕ − λidV ) platí ϕ(v) = λv, tedy Ker(ϕ − λidV ) je invariantní podprostor operátoru ϕ. Spektrum lineárního operátoru a matice IV Lineární podprostor Ker(ϕ − λidV ) ⊆ V nazýváme vlastní podprostor lineárního operátoru ϕ V → V příslušející k jeho vlastní hodnotě λ ∈ K. Zřejmě pro všechny vektory v ∈ Ker(ϕ − λidV ) platí ϕ(v) = λv, tedy Ker(ϕ − λidV ) je invariantní podprostor operátoru ϕ. Geometrickou násobností vlastní hodnoty λ lineárního operátoru ϕ nazýváme dimenzi dim(Ker(ϕ − λidV )) jeho vlastního podprostoru příslušejícího k λ. Geometrická násobnost vlastní hodnoty λ matice A ∈ Kn×n se zřejmě rovná číslu dimR(A − λI). Připomínáme, že R(A − λI) označuje podprostor řešení homogenní soustavy s maticí A − λI, takže platí 1 ≤ dimR(A − λI) = n − h(A − λI) ≤ n. Spektrum lineárního operátoru a matice V Geometrickou váhou spektra lineárního operátoru ϕ na konečně rozměrném vektorovém prostoru nazýváme součet geometrických násobností všech jeho vlastných hodnot. λ ∈ K je vlastní hodnota právě tehdy, když Ker(ϕ − λidV ) = {0}, což je ekvivalentní s nenulovostí jak geometrické tak i algebraické násobnosti λ vzhledem k ϕ. Spektrum lineárního operátoru a matice V Geometrickou váhou spektra lineárního operátoru ϕ na konečně rozměrném vektorovém prostoru nazýváme součet geometrických násobností všech jeho vlastných hodnot. λ ∈ K je vlastní hodnota právě tehdy, když Ker(ϕ − λidV ) = {0}, což je ekvivalentní s nenulovostí jak geometrické tak i algebraické násobnosti λ vzhledem k ϕ. Lemma Nechť ϕ je lineární operátor na konečně rozměrném vektorovém prostoru V a S ⊆ V je jeho invariantní podprostor. Označme ϕ1 = ϕ S zúžení lineárního operátoru ϕ na podprostor S. Potom charakteristický polynom chϕ1 (x) dělí charakteristický polynom chϕ(x). Spektrum lineárního operátoru a matice VI Příklad Nechť je zadán lineární operátor ϕ: R3 → R3 předpisem ϕ(x) = Ax =   2 0 0 0 2 0 0 0 2   x. Charakteristický polynom chϕ(λ) je chϕ(λ) = 2 − λ 0 0 0 2 − λ 0 0 0 2 − λ = (2 − λ)3 . Tedy λ1,2,3 = 2 je vlastní číslo algebraické násobnosti 3. Zároveň Ker(A − 2I) = Ker   0 0 0 0 0 0 0 0   = R3 . Máme pak to, že geometrická násobnost vlastního čísla 2 je 3. Spektrum lineárního operátoru a matice VII Tvrzení Nechť λ je vlastní hodnota lineárního operátoru ϕ na konečně rozměrném vektorovém prostoru V . Potom její geometrická násobnost je menší nebo rovná její algebraické násobnosti. Pokud algebraická násobnost skaláru λ vzhledem k operátoru ϕ je ≥ 1, tj. pokud λ je vlastní hodnota, tak i geometrická násobnost λ vzhledem k ϕ je alespoň 1. Spektrum lineárního operátoru a matice VIII Příklad Označme Jn ∈ Kn×n čtvercovou matici řádu n, jejíž prvky na místech (i, i + 1) jsou rovné 1 pro 1 ≤ i ≤ n − 1 a všechny ostatní prvky jsou rovné 0. Zřejmě h(Jn) = n − 1. Dále položme Jn(λ) = λIn + Jn =       λ 1 0 . . . 0 0 λ 1 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 . . . λ 1 0 0 . . . 0 λ       pro λ ∈ K. Tedy Jn(λ) je tvořená diagonálou z n lambd, vedlejší diagonálou vpravo od ní z n − 1 jednotek a zbytek jsou nuly. Spektrum lineárního operátoru a matice IX Například J1(λ) = (λ) , J2(λ) = λ 1 0 λ , J3(λ) =   λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ   , atd. Spektrum lineárního operátoru a matice IX Například J1(λ) = (λ) , J2(λ) = λ 1 0 λ , J3(λ) =   λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ   , atd. Každá matice tvaru Jn(λ) sa nazývá Jordanova buňka řádu n. Zřejmě i Jn = Jn(0) je Jordanova buňka. Charakteristický polynom Jordanovy buňky Jn(λ) je det(Jn(λ) − xIn) = det Jn(λ − x) = (λ − x)n . Tato matice má jedinou vlastní hodnotu x = λ s algebraickou násobností n. Spektrum lineárního operátoru a matice X Na druhé straně, podprostor řešení homogenní soustavy s maticí Jn(λ) − λIn = Jn je jednorozměrný, generovaný vlastním vektorem e1 = (1, 0, . . . , 0)T . Tedy geometrická násobnost vlastní hodnoty λ matice Jn(λ) je stále jen 1, bez ohledu na to, jak velké je n. Proto Jn(λ) pro n ≥ 2 není podobná se žádnou diagonální maticí. Spektrum lineárního operátoru a matice X Na druhé straně, podprostor řešení homogenní soustavy s maticí Jn(λ) − λIn = Jn je jednorozměrný, generovaný vlastním vektorem e1 = (1, 0, . . . , 0)T . Tedy geometrická násobnost vlastní hodnoty λ matice Jn(λ) je stále jen 1, bez ohledu na to, jak velké je n. Proto Jn(λ) pro n ≥ 2 není podobná se žádnou diagonální maticí. Tvrzení Podobné matice mají stejné spektrum, včetně algebraické i geometrické násobnosti každé vlastní hodnoty. Spektrum lineárního operátoru a matice XI Věta Nechť ϕ je lineární operátor na konečně rozměrném vektorovém prostoru V dimenze n. Potom jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) ϕ je diagonalizovatelný; (ii) geometrická váha spektra Specϕ se rovná n; (iii) algebraická váha spektra Specϕ se rovná n a algebraická násobnost každé vlastní hodnoty se rovná její geometrické násobnosti; (iv) algebraická i geometrická váha spektra Specϕ se rovná n. Spektrum lineárního operátoru a matice XII Překážky bránicí diagonalizaci lineárneho operátoru ϕ na n-rozměrném vektorovém prostoru V se dělí do dvou kategorií: (1) algebraická váha spektra Specϕ je menší než n = dimV , tj. ϕ má "málo" vlastních hodnot v tělese K, i když každou z nich počítáme i s její algebraickou násobností (příkladem je například rotace o 90◦); (2) geometrická váha spektra Specϕ je menší než jeho algebraická váha, t.j. geometrická násobnost některých vlastních hodnot nedosahuje jejich algebraické násobnosti, tj. ϕ má "málo" vlastních vektorů jako v předchozím příkladu. Prekážky druhého typu definitivně vylučují diagonalizaci. Ortogonální a unitární operátory I Nechť U a V jsou vektorové prostory se skalárním součinem nad R (resp. nad C). Zobrazení ϕ: U → V se nazývá ortogonální (resp. unitární), jestliže pro všechna u, v ∈ U platí ϕ(u), ϕ(v) = u, v . Ortogonální a unitární operátory I Nechť U a V jsou vektorové prostory se skalárním součinem nad R (resp. nad C). Zobrazení ϕ: U → V se nazývá ortogonální (resp. unitární), jestliže pro všechna u, v ∈ U platí ϕ(u), ϕ(v) = u, v . Lemma Je-li ϕ: U → V ortogonální nebo unitární, pak (1) ||ϕ(u)|| = ||u||, (2) ϕ(u) ⊥ ϕ(v) pokud u ⊥ v, (3) ϕ je prosté, (4) ϕ zobrazuje ortonormální posloupnost (bázi) na ortonormální posloupnost, (5) (ϕ(u), ϕ(v)) = (u, v) pro ϕ ortogonální. Ortogonální a unitární operátory II Příklad Otočení roviny okolo počátku o úhel α je lineární ortogonální operátor Rα : R2 → R2 , který má v kanonické bázi ε = (e1, e2) matici Rα = cos α − sin α sin α cos α . Ortogonální a unitární operátory II Příklad Otočení roviny okolo počátku o úhel α je lineární ortogonální operátor Rα : R2 → R2 , který má v kanonické bázi ε = (e1, e2) matici Rα = cos α − sin α sin α cos α . Totiž Rα(u), Rα(v) = (Rα · u)T (Rα · v) = uT · (RT α · Rα) · v = uT · cos α sin α − sin α cos α · cos α − sin α sin α cos α · v = uT · cos2 α + sin α 0 0 cos2 α + sin2 α · v = uT · v = u, v . Ortogonální a unitární operátory III Zobecnění předcházejícího příkladu: Nechť ϕ: Rn → Rn je tvaru ϕ(x) = A · x, kde matice A splňuje AT · A = In. Analogicky jako v předcházejícím příkladu máme ϕ(u), ϕ(v) = (A · u)T (A · v) = uT · (AT · A) · v = u, v . Ortogonální a unitární operátory III Zobecnění předcházejícího příkladu: Nechť ϕ: Rn → Rn je tvaru ϕ(x) = A · x, kde matice A splňuje AT · A = In. Analogicky jako v předcházejícím příkladu máme ϕ(u), ϕ(v) = (A · u)T (A · v) = uT · (AT · A) · v = u, v . Reálná čtvercová matice A se nazývá ortogonální, jestliže A−1 = AT neboli AT · A = In . Ortogonální a unitární operátory III Zobecnění předcházejícího příkladu: Nechť ϕ: Rn → Rn je tvaru ϕ(x) = A · x, kde matice A splňuje AT · A = In. Analogicky jako v předcházejícím příkladu máme ϕ(u), ϕ(v) = (A · u)T (A · v) = uT · (AT · A) · v = u, v . Reálná čtvercová matice A se nazývá ortogonální, jestliže A−1 = AT neboli AT · A = In . Komplexní čtvercová matice A se nazývá unitární, jestliže A−1 = A T neboli A T · A = In . (pruh znamená matici komplexně sdružených čísel). Ortogonální a unitární operátory IV Jak na matici A poznáme, že je ortogonální (unitární)? - její sloupce tvoří ortonormální bázi v Rn (Cn), - její řádky tvoří ortonormální bázi v Rn (Cn). Ortogonální a unitární operátory IV Jak na matici A poznáme, že je ortogonální (unitární)? - její sloupce tvoří ortonormální bázi v Rn (Cn), - její řádky tvoří ortonormální bázi v Rn (Cn). Věta Nechť α = (u1, u2, . . . , un) je ortonormální báze v prostoru U a nechť ϕ: U → U je lineární operátor. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: (1) ϕ: U → V ortogonální (nad R) resp. unitární (nad C), (2) (ϕ(u1), ϕ(u2), . . . , ϕ(un)) je ortonormální báze v prostoru U, (3) A je reálná ortogonální matice resp. komplexní unitární matice, kde (ϕ)α,α = A. Ortogonální a unitární operátory V Lemma Nechť A je ortogonální resp. unitární matice. Pak | det A| = 1. Speciálně je determinant ortogonální matice ±1. Lemma Nechť ϕ je unitární operátor. Pak (1) Vlastní čísla operátoru ϕ mají absolutní hodnotu 1. (2) Vlastní vektory příslušné k různým vlastním číslům operátoru ϕ jsou na sebe kolmé. Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů I Věta Nechť ϕ: U → U je unitární operátor. Pak v prostoru U existuje ortonormální báze α = (u1, u2, . . . , un) tvořená vlastními vektory. V této bázi (ϕ)αα =         λ1 0 . . . 0 0 0 λ2 ... 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 . . . λn−1 0 0 0 . . . 0 λn         , kde λ1, λ2, . . . , λn−1, λn jsou vlastní čísla operátoru ϕ tvaru λk = cos αk + i sin αk. Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů II Příklad Popišme nyní všechny ortogonální operátory ϕ: R2 → R2 . Každý takový operátor má tvar ϕ(x) = A · x, kde A je ortogonální matice typu 2 × 2. Nechť první sloupec matice A je tvaru a b . Nutně musí platit (protože sloupce ortogonální matice mají normu 1) a2 + b2 = 1. Protože ale řádky ortogonální matice mají rovněž normu 1, máme a12 = ±b a a22 = ±a. Zároveň máme, že první sloupec musí být kolmý na druhý sloupec, tedy druhý sloupec má jeden ze dvou následujících tvarů: −b a nebo b −a Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů II (1) Uvažme nejprve případ A = a −b b a . Protože a2 + b2 = 1, lze zvolit a = cos α a b = sin α. Pak A = Rα a ϕ je otočení roviny okolo počátku o úhel α. Pro α = kπ nemá ϕ reálná vlastní čísla (viz předcházející kapitola). Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů II (1) Uvažme nejprve případ A = a −b b a . Protože a2 + b2 = 1, lze zvolit a = cos α a b = sin α. Pak A = Rα a ϕ je otočení roviny okolo počátku o úhel α. Pro α = kπ nemá ϕ reálná vlastní čísla (viz předcházející kapitola). (2) Uvažme nyní případ A = a b b −a . Pak charakteristický polynom matice A je tvaru chA(x) = det a − x b b −a − x = x2 − a2 − b2 = x2 − 1. Tedy A má vlastní hodnoty 1 a −1 s vlastními vektory u1, u2 ∈ R2, které jsou na sebe kolmé. Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů III Označme ϕ1 = ϕ [u1] zúžení lineárního operátoru ϕ na podprostor [u1] a ϕ2 = ϕ [u2] zúžení ϕ na podprostor [u2]. Pak ϕ1 je identita na [u1] (ϕ1(u1) = ϕ(u1) = 1u1 = u1) a ϕ2 je −identita na [u2] (ϕ2(u2) = ϕ(u2) = (−1)u2 = −u2). Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů III Označme ϕ1 = ϕ [u1] zúžení lineárního operátoru ϕ na podprostor [u1] a ϕ2 = ϕ [u2] zúžení ϕ na podprostor [u2]. Pak ϕ1 je identita na [u1] (ϕ1(u1) = ϕ(u1) = 1u1 = u1) a ϕ2 je −identita na [u2] (ϕ2(u2) = ϕ(u2) = (−1)u2 = −u2). Položíme-li a = cos 2α a b = sin 2α, lze snadno ověřit, že chceme-li normované (a správně orientované) u1 a u2, nutně bude u1 = (cos α, sin α) a u2 = (sin α, − cos α). Obdržíme pak nám známou souměrnost roviny podle osy procházející počátkem a svírající s osou x úhel α, tj. určené vektorem u1 = (cos α, sin α). Tedy ϕ je lineární operátor Sα : R2 → R2 , který má vzhledem na kanonickou bázi ε = (e1, e2) matici Sα = cos 2α sin 2α sin 2α − cos 2α . Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů IV [3, 2] [−2, −3] 135◦ S135◦ = cos 270◦ sin 270◦ sin 270◦ − cos 270◦ S135◦ = 0 −1 −1 0 u2 = (− sin 135◦, cos 135◦) Překlopení podle přímky y = −x x y u2 = √ 2 2 (1, 1), λ2 = −1 u1 = (cos 135◦, sin 135◦), u1 = √ 2 2 (−1, 1), λ1 = 1 Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů V Příklad Popišme nyní všechny ortogonální operátory ϕ: R3 → R3 . Operátor ϕ je tvaru ϕ(x) = A · x a jeho charakteristický polynom je pak tvaru chA(x) = −x3 + ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R. Protože jde o polynom lichého stupně, má alespoň jeden reálný kořen λ1 o absolutní hodnotě 1 (jedná se o ortogonální operátor). Tedy λ1 ∈ {−1, 1}. −2 2 −50 λ2 = λ3 = −1 λ1 = 1 −2 2 −20 20 40 λ1 = 1 λ2 = i λ3 = −i Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů VI Další kořeny charakteristického polynomu mohou být komplexní. Je-li λ ∈ C kořen polynomu s reálnými koeficienty, je i λ, tj. komplexně sdružené číslo k λ ∈ C rovněž kořenem. Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů VI Další kořeny charakteristického polynomu mohou být komplexní. Je-li λ ∈ C kořen polynomu s reálnými koeficienty, je i λ, tj. komplexně sdružené číslo k λ ∈ C rovněž kořenem. Totiž, pokud −λ3 + aλ2 + bλ + c = 0, pak i −λ3 + aλ2 + bλ + c = 0. Odtud −λ 3 + aλ 2 + bλ + c = 0. Tedy celkem −λ 3 + aλ 2 + bλ + c = 0. Protože je A reálná ortogonální matice, je nutně i unitární. A · A T = A · AT = I3. Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů VII Vlastní čísla matice A v C mají absolutní hodnotu 1. Každé takové číslo lze psát jakožto cos α + i sin α. Tedy všechna vlastní čísla matice A jsou ±1, cos α + i sin α, cos α − i sin α . sin α cos α−1 −1 2 1 −1i −1 2 i 1 2 i 1i cos α + i sin α Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů VIII Pro α = 0 máme vlastní čísla ±1, 1, 1 , pro α = π máme vlastní čísla ±1, −1, −1 pro jiná α ∈ (0, π) ∪ (π, 2π) máme dvě vlastní čísla s nenulovou imaginární částí. Rozlišíme dva případy. Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů VIII Pro α = 0 máme vlastní čísla ±1, 1, 1 , pro α = π máme vlastní čísla ±1, −1, −1 pro jiná α ∈ (0, π) ∪ (π, 2π) máme dvě vlastní čísla s nenulovou imaginární částí. Rozlišíme dva případy. (1) Vlastní čísla ortogonální matice A tvaru 3 × 3 jsou 1, cos α + i sin α, cos α − i sin α . Nechť u1 = 0 je vlastní vektor k vlastnímu číslu 1. Pak R3 = [u1] ⊕ [u1]⊥. Přitom jak [u1] tak [u1]⊥ jsou invariantní vůči zobrazení ϕ(x) = A · x. Totiž ϕ(u1) = u1 a u1 ⊥ [u1]⊥ implikuje ϕ(u1) ⊥ ϕ([u1]⊥ ). Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů IX Toto zobrazení je tedy v rovině [u1]⊥ = ϕ([u1]⊥) otočení o úhel α. Odtud pak v celém R3 to je otočení o úhel α kolem osy dané vektorem [u1]. Velikost a směr otáčení určíme tak, že vezmeme vektor v ∈ [u1]⊥, zobrazíme ho do ϕ(v) a následně určíme odchylku těchto dvou vektorů. Úhel otáčení α je α = (v, ϕ(v)) = arccos v, ϕ(v) ||v|| · ||ϕ(v)|| . Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů X (2) Vlastní čísla ortogonální matice A tvaru 3 × 3 jsou −1, cos α + i sin α, cos α − i sin α . Opět R3 = [u1] ⊕ [u1]⊥, kde u1 = 0 je vlastní vektor k vlastnímu číslu −1. Výsledné zobrazení je pak složení symetrie podle roviny [u1]⊥ = ϕ([u1]⊥) a otočení kolem osy dané vektorem [u1]. Velikost a směr otáčení určují vektory v, ϕ(v) ∈ [u1]⊥ a opět úhel otáčení α je α = (v, ϕ(v)) = arccos v, ϕ(v) ||v|| · ||ϕ(v)|| . Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů XI Lemma Nechť ϕ: Rn → Rn je lineární operátor zadaný maticí A, tj. ϕ(x) = A · x. Tato matice zadává lineární operátor ϕC : Cn → Cn stejným předpisem ϕC(x) = A · x pro x ∈ Cn. Jesliže λ = a + ib je vlastní číslo matice A nad C s vlastním vektorem u = u1 + iu2 ∈ Cn, kde u1, u2 ∈ Rn, pak λ = a − ib je rovněž vlastním číslem s vlastním vektorem u = u1 − iu2. Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů XI Lemma Nechť ϕ: Rn → Rn je lineární operátor zadaný maticí A, tj. ϕ(x) = A · x. Tato matice zadává lineární operátor ϕC : Cn → Cn stejným předpisem ϕC(x) = A · x pro x ∈ Cn. Jesliže λ = a + ib je vlastní číslo matice A nad C s vlastním vektorem u = u1 + iu2 ∈ Cn, kde u1, u2 ∈ Rn, pak λ = a − ib je rovněž vlastním číslem s vlastním vektorem u = u1 − iu2. Každou ortogonální matici A můžeme chápat rovněž jako unitární matici, která zadává unitární operátor ϕC : Cn → Cn, kde ϕC(x) = A · x pro x ∈ Cn. Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů XII Lemma Nechť ϕ: Rn → Rn je ortogonální operátor zadaný ve standardní bázi ortogonální maticí A, tj. ϕ(x) = A · x. Nechť λ = a + ib je vlastní číslo matice A nad C s vlastním vektorem u = u1 + iu2 ∈ Cn, kde u1, u2 ∈ Rn a λ = ±1, tj. u je vlastním vektorem unitárního operátoru ϕC, ϕC(x) = A · x pro x ∈ Cn. Potom platí 1. ||u1|| = ||u2|| a u1 ⊥ u2. 2. Dvourozměrný podprostor V = [u1, u2] ⊆ Rn je invariantní vůči ϕ a ϕ je na tomto podprostoru otočením o úhel α od vektoru u2 k vektoru u1. Vlastní čísla a vlastní vektory ortogonálních a unitárních operátorů XIII Věta Nechť ϕ: U → U je ortogonální operátor. Potom U je direktním součtem navzájem kolmých invariantních podprostorů dimenze 1 a 2. V podprostorech dimenze 1 působí ϕ jako identita nebo -identita, v podprostorech dimenze 2 působí ϕ jako otáčení.