15. VLASTNÍ HODNOTY A VLASTNÍ VEKTORY Jan Paseka Masarykova univerzita Brno 9. dubna 2020 Abstrakt Ústřední pojmy této kapitoly jako vlastní hodnota, vlastní vektor a spektrum lineárního operátoru hrají klíčovou úlohu nejen v samotné lineární algebře, ale i v jejích aplikacích. Abstrakt Ústřední pojmy této kapitoly jako vlastní hodnota, vlastní vektor a spektrum lineárního operátoru hrají klíčovou úlohu nejen v samotné lineární algebře, ale i v jejích aplikacích. Budeme pracovat s vektorovým prostorem nad tělesem K. Obsah přednášky I Matice lineárního operátoru a podobnost matic Lineární operátor a jeho matice. Zjednodušení tvaru matice lineárního operátoru. Podobné matice, stopa matice. Invarianty podobnosti. Obsah přednášky I Matice lineárního operátoru a podobnost matic Lineární operátor a jeho matice. Zjednodušení tvaru matice lineárního operátoru. Podobné matice, stopa matice. Invarianty podobnosti. Vlastní hodnoty a vlastní vektory Diagonalizovatelnost lineárního operátoru. Vlastní hodnoty a vlastní vektory lineárního operátoru resp. matice. Podobnost a vlastní hodnoty. Invariantní podprostory. Obsah přednášky I Matice lineárního operátoru a podobnost matic Lineární operátor a jeho matice. Zjednodušení tvaru matice lineárního operátoru. Podobné matice, stopa matice. Invarianty podobnosti. Vlastní hodnoty a vlastní vektory Diagonalizovatelnost lineárního operátoru. Vlastní hodnoty a vlastní vektory lineárního operátoru resp. matice. Podobnost a vlastní hodnoty. Invariantní podprostory. Charakteristický polynom Charakteristická rovnice a vlastní hodnoty lineárního operátoru resp. matice. Příklady. Matice lineárního operátoru a podobnost matic I Připomeňme, že lineárním operátorem na vektorovém prostoru V nebo též lineární transformací prostoru V nazýváme libovolné lineární zobrazení ϕ : V → V . Matice lineárního operátoru a podobnost matic I Připomeňme, že lineárním operátorem na vektorovém prostoru V nebo též lineární transformací prostoru V nazýváme libovolné lineární zobrazení ϕ : V → V . Pokud V je konečně rozměrný, tak lineární operátor ϕ : V → V je injektivní právě tehdy, když je surjektivní, což je ekvivalentní s rovností h(ϕ) = dimV . Matice lineárního operátoru a podobnost matic I Připomeňme, že lineárním operátorem na vektorovém prostoru V nebo též lineární transformací prostoru V nazýváme libovolné lineární zobrazení ϕ : V → V . Pokud V je konečně rozměrný, tak lineární operátor ϕ : V → V je injektivní právě tehdy, když je surjektivní, což je ekvivalentní s rovností h(ϕ) = dimV . Maticí lineární transformace ϕ : V → V vzhledem k bázi α = (u1, . . . , un) nazýváme matici (ϕ)α=(ϕ)α,α = ((ϕ(u1))α, . . . , (ϕ(un))α) ∈ Kn×n , tvořenou souřadnicemi obrazů ϕ(uj ) vektorů uj báze α vzhledem na tu stejnou bázi α. Matice lineárního operátoru a podobnost matic II Jedním ze základních záměrů této kapitoly bude dosáhnout vhodnou volbou báze α co nejjednodušší tvar matice A = (ϕ)α lineárního operátoru ϕ. Matice lineárního operátoru a podobnost matic II Jedním ze základních záměrů této kapitoly bude dosáhnout vhodnou volbou báze α co nejjednodušší tvar matice A = (ϕ)α lineárního operátoru ϕ. Poznamenajme, že pokud bychom netrvali na přirozeném požadavku vyjadřovat souřadnice vzorů i obrazů vektorů x ∈ V vzhledem na tu stejnou bázi prostoru V , šlo by o speciální případ – vždy totiž můžeme zvolit bázi β a bázi α prostoru V tak, že ϕ má vzhledem na bázi β, α matici v blokovém tvaru (ϕ)α,β = Ih 0h,n−h 0n−h,h 0n−h,n−h , kde n = dimV a h = h(ϕ). Matice lineárního operátoru a podobnost matic III Náš požadavek α = β značně zúžuje možnost naší volby, což komplikuje situaci. Analogická úloha byla řešena pro symetrické bilineární formy – volbou vhodné báze lze vždy dosáhnout diagonální tvar matice příslušné formy. Matice lineárního operátoru a podobnost matic III Náš požadavek α = β značně zúžuje možnost naší volby, což komplikuje situaci. Analogická úloha byla řešena pro symetrické bilineární formy – volbou vhodné báze lze vždy dosáhnout diagonální tvar matice příslušné formy. Pro lineární operátory sa nám nic podobné nepodaří. Matice lineárního operátoru a podobnost matic III Náš požadavek α = β značně zúžuje možnost naší volby, což komplikuje situaci. Analogická úloha byla řešena pro symetrické bilineární formy – volbou vhodné báze lze vždy dosáhnout diagonální tvar matice příslušné formy. Pro lineární operátory sa nám nic podobné nepodaří. Prozkoumáme ale strukturu lineárních operátorů na konečně rozměrných vektorových prostorech do té míry, že dokážeme charakterizovat operátory diagonalizovatelné ve vhodné bázi a identifikovat překážky diagonalizovatelnosti u těch ostatních. Matice lineárního operátoru a podobnost matic IV Na začátek si uvědomme vztah mezi maticemi lineárního operátoru vzhledem na různé báze. Platí: Věta Nechť ϕ : V → V je lineární transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V a α, β jsou jeho dvě báze. Potom (ϕ)β = Pβ,α · (ϕ)α · Pα,β. Matice lineárního operátoru a podobnost matic IV Na začátek si uvědomme vztah mezi maticemi lineárního operátoru vzhledem na různé báze. Platí: Věta Nechť ϕ : V → V je lineární transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V a α, β jsou jeho dvě báze. Potom (ϕ)β = Pβ,α · (ϕ)α · Pα,β. Čtvercové matice A, B ∈ Kn×n se nazývají podobné, píšeme A ≈ B, pokud existuje regulární matice P ∈ Kn×n tak, že platí B = P−1 · A · P. Matice lineárního operátoru a podobnost matic IV Na začátek si uvědomme vztah mezi maticemi lineárního operátoru vzhledem na různé báze. Platí: Věta Nechť ϕ : V → V je lineární transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V a α, β jsou jeho dvě báze. Potom (ϕ)β = Pβ,α · (ϕ)α · Pα,β. Čtvercové matice A, B ∈ Kn×n se nazývají podobné, píšeme A ≈ B, pokud existuje regulární matice P ∈ Kn×n tak, že platí B = P−1 · A · P. Zřejmě podobné matice mají stejnou hodnost a pro libovolné matice A, B, C ∈ Kn×n platí A ≈ A, A ≈ B ⇒ B ≈ A, A ≈ B & B ≈ C ⇒ A ≈ C. Matice lineárního operátoru a podobnost matic V To znamená, že vztah podobnosti je reflexivní, symetrická a tranzitivní relace, t.j. je to ekvivalence na množině Kn×n . Máme pak Věta Nechť V je n-rozměrný vektorový prostor nad číselným tělesem K. Potom pro libovolné matice A, B ∈ Kn×n jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) A, B jsou matice téže lineární transformace ϕ : V → V vzhledem na nějaké dvě báze prostoru V ; (ii) A ≈ B. Stopu matice A ∈ Kn×n , píšeme trA (z anglického trace), definujeme jako součet jejích diagonálních prvků, t. j. trA = a11 + . . . + ann = n i=1 aii . Matice lineárního operátoru a podobnost matic VI Tvrzení Nechť A ∈ Km×n , B ∈ Kn×m . Potom tr(A · B) = tr(B · A). Důsledek Podobné matice mají stejný determinant i stopu. Determinant a stopa jsou invarianty podobnosti matic. Matice lineárního operátoru a podobnost matic VI Tvrzení Nechť A ∈ Km×n , B ∈ Kn×m . Potom tr(A · B) = tr(B · A). Důsledek Podobné matice mají stejný determinant i stopu. Determinant a stopa jsou invarianty podobnosti matic. Pokud tedy matice A, B ∈ Kn×n mají různé determinanty nebo různé stopy, tak nemohou být podobné. Na druhé straně však ani rovnost determinantu a stopy ještě nezaručují jejich podobnost. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice I Lineární operátor ϕ : V → V na konečně rozměrném vektorovém prostoru V se nazývá diagonalizovatelný, pokud existuje nějaká báze prostoru V , vzhledem ke které má ϕ diagonální matici. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice I Lineární operátor ϕ : V → V na konečně rozměrném vektorovém prostoru V se nazývá diagonalizovatelný, pokud existuje nějaká báze prostoru V , vzhledem ke které má ϕ diagonální matici. Nechť tedy ϕ : V → V je diagonalizovatelný lineární operátor a β = (v1, . . . , vn) je taková báze prostoru V , že matice B = (ϕ)β je diagonální se skaláry λ1, . . . , λn ∈ K na diagonále. Potom pro bázické vektory vi platí ϕ(vi ) = λi vi . Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice I Lineární operátor ϕ : V → V na konečně rozměrném vektorovém prostoru V se nazývá diagonalizovatelný, pokud existuje nějaká báze prostoru V , vzhledem ke které má ϕ diagonální matici. Nechť tedy ϕ : V → V je diagonalizovatelný lineární operátor a β = (v1, . . . , vn) je taková báze prostoru V , že matice B = (ϕ)β je diagonální se skaláry λ1, . . . , λn ∈ K na diagonále. Potom pro bázické vektory vi platí ϕ(vi ) = λi vi . Říkáme, že skalár λ ∈ K je vlastní nebo též charakteristická hodnota (číslo) lineárního operátoru ϕ : V → V , pokud existuje vektor 0 = v ∈ V , pro který platí ϕ(v) = λv. Tento vektor nazýváme vlastní nebo též charakteristický vektor lineárního operátoru ϕ : V → V . Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice II Říkáme také, že v je vlastní vektor příslušející k vlastní hodnotě λ, resp. že λ je vlastní hodnota příslušející k vlastnímu vektoru v. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice II Říkáme také, že v je vlastní vektor příslušející k vlastní hodnotě λ, resp. že λ je vlastní hodnota příslušející k vlastnímu vektoru v. Vlastní hodnota příslušející k danému vlastnímu vektoru je určená jednoznačně; na druhé straně, k dané vlastní hodnotě může příslušet víc, dokonce lineárně nezávislých vektorů. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice II Říkáme také, že v je vlastní vektor příslušející k vlastní hodnotě λ, resp. že λ je vlastní hodnota příslušející k vlastnímu vektoru v. Vlastní hodnota příslušející k danému vlastnímu vektoru je určená jednoznačně; na druhé straně, k dané vlastní hodnotě může příslušet víc, dokonce lineárně nezávislých vektorů. Vlastní (charakteristickou) hodnotou (vlastním číslem), resp. vlastním (charakteristickým) vektorem čtvercové matice A ∈ Kn×n nazýváme vlastní hodnotu, resp. vlastní vektor lineárního operátoru Kn → Kn daného předpisem x → A · x. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice II Říkáme také, že v je vlastní vektor příslušející k vlastní hodnotě λ, resp. že λ je vlastní hodnota příslušející k vlastnímu vektoru v. Vlastní hodnota příslušející k danému vlastnímu vektoru je určená jednoznačně; na druhé straně, k dané vlastní hodnotě může příslušet víc, dokonce lineárně nezávislých vektorů. Vlastní (charakteristickou) hodnotou (vlastním číslem), resp. vlastním (charakteristickým) vektorem čtvercové matice A ∈ Kn×n nazýváme vlastní hodnotu, resp. vlastní vektor lineárního operátoru Kn → Kn daného předpisem x → A · x. Vlastní hodnota λ ∈ K a k ní příslušející vlastní vektor 0 = v ∈ Kn matice A jsou tak spojeny vztahem A · v = λv. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice III Vlastní hodnoty podobných matic jsou vlastními hodnotami téhož lineárního operátoru. Tvrzení Podobné matice mají stejné vlastní hodnoty. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice III Vlastní hodnoty podobných matic jsou vlastními hodnotami téhož lineárního operátoru. Tvrzení Podobné matice mají stejné vlastní hodnoty. Říkáme, že lineární podprostor S vektorového prostoru V je invariantní podprostor lineárního operátoru ϕ: V → V , pokud platí ϕ(S) ⊆ S , t. j. ϕ(x) ∈ S pro každé x ∈ S. Jednorozměrný podprostor [v] generovaný vlastním vektorem v lineárního operátoru je speciálním případem invariantního podprostoru. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice III Vlastní hodnoty podobných matic jsou vlastními hodnotami téhož lineárního operátoru. Tvrzení Podobné matice mají stejné vlastní hodnoty. Říkáme, že lineární podprostor S vektorového prostoru V je invariantní podprostor lineárního operátoru ϕ: V → V , pokud platí ϕ(S) ⊆ S , t. j. ϕ(x) ∈ S pro každé x ∈ S. Jednorozměrný podprostor [v] generovaný vlastním vektorem v lineárního operátoru je speciálním případem invariantního podprostoru. Triviální podprostor {0} a nevlastní podprostor V jsou vždy invariantní. Jednorozměrný podprostor [v] je invariantní právě tehdy, když v je vlastní vektor příslušného operátoru. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice IV Jednorozměrné podprostory generované vlastními vektory lineárního operátoru jsou tedy příklady netriviálních, a pokud navíc dimV > 1, tak i vlastních invariantních podprostorů. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice IV Jednorozměrné podprostory generované vlastními vektory lineárního operátoru jsou tedy příklady netriviálních, a pokud navíc dimV > 1, tak i vlastních invariantních podprostorů. Pokud S je invariantní podprostor lineární transformace ϕ: V → V , tak zúžení lineárního operátoru ϕ na podprostor S je opět lineární operátor ϕ S : S → S na vektorovém prostoru S. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice IV Jednorozměrné podprostory generované vlastními vektory lineárního operátoru jsou tedy příklady netriviálních, a pokud navíc dimV > 1, tak i vlastních invariantních podprostorů. Pokud S je invariantní podprostor lineární transformace ϕ: V → V , tak zúžení lineárního operátoru ϕ na podprostor S je opět lineární operátor ϕ S : S → S na vektorovém prostoru S. Pokud α = (u1, . . . , uk, uk+1, . . . , un) je báze prostoru V taková, že jejích prvních k vektorů tvoří bázi invariantního podprostoru S, tak matice ϕ v této bázi má blokový tvar A = (ϕ)α = A1 M 0n−k,k A2 , kde A1 ∈ Kk×k je matice lineární transformace ϕ S : S → S v bázi (u1, . . . , uk) a M ∈ Kk×(n−k) , A2 ∈ K(n−k)×(n−k) . Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice V Pokud V = S ⊕ T je dokonce přímým součtem invariantních podprostorů S, T, tak V má bázi α = (u1, . . . , uk, uk+1, . . . , un), jejichž prvních k vektorů tvoří bázi S a zbývajících n − k vektorů tvoří bázi T. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice V Pokud V = S ⊕ T je dokonce přímým součtem invariantních podprostorů S, T, tak V má bázi α = (u1, . . . , uk, uk+1, . . . , un), jejichž prvních k vektorů tvoří bázi S a zbývajících n − k vektorů tvoří bázi T. Vzhledem k takovéto bázi má matice operátoru ϕ blokově diagonální tvar A = (ϕ)α = A1 0k,n−k 0n−k,k A2 = diag(A1, A2), kde A1 ∈ Kk×k je matice lineární transformace ϕ S : S → S v bázi (u1, . . . , uk) a A2 ∈ K(n−k)×(n−k) je matice lineární transformace ϕ T : T → T v bázi (uk+1, . . . , un). Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice VI Toto pozorovaní můžeme zřejmým způsobem zevšeobecnit na přímý součet libovolného konečného počtu invariantních podprostorů. Věta Nechť ϕ je lineární operátor na konečně rozměrném vektorovém prostoru V . Potom následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) ϕ je diagonalizovatelný; (ii) existuje báze prostoru V sestávající z vlastních vektorů operátoru ϕ; (iii) V je přímým součtem jednorozměrných invariantních podprostorů lineárního operátoru ϕ. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice VI Toto pozorovaní můžeme zřejmým způsobem zevšeobecnit na přímý součet libovolného konečného počtu invariantních podprostorů. Věta Nechť ϕ je lineární operátor na konečně rozměrném vektorovém prostoru V . Potom následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) ϕ je diagonalizovatelný; (ii) existuje báze prostoru V sestávající z vlastních vektorů operátoru ϕ; (iii) V je přímým součtem jednorozměrných invariantních podprostorů lineárního operátoru ϕ. V tomto případě má matice operátora ϕ v bázi vlastních vektorů β = (v1, . . . , vn) tvar (ϕ)β = diag(λ1, . . . , λn), kde λi je vlastní hodnota příslušející k vlastnímu vektoru vi . Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice VII [3, 2] [−2, −3] A = 0 −1 −1 0 Překlopení podle přímky y = −x x y v1 = (1, 1), λ1 = −1 v2 = (−1, 1), λ1 = 1 Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice VIII [0, 3.5] [3.5, 0] Žádná reálná vlastní čísla A = 0 −1 1 0 Rotace o úhel 90◦ x y Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice VIII Tvrzení Nechť λ1, . . . , λk jsou navzájem různé vlastní hodnoty lineárního operátoru ϕ: V → V . Potom k nim příslušející vlastní vektory v1, . . . , vk jsou lineárně nezávislé. Vlastní hodnoty a vlastní vektory matice VIII Tvrzení Nechť λ1, . . . , λk jsou navzájem různé vlastní hodnoty lineárního operátoru ϕ: V → V . Potom k nim příslušející vlastní vektory v1, . . . , vk jsou lineárně nezávislé. Tvrzení Nechť ϕ je lineární operátor na n-rozměrném vektorovém prostoru V . Pokud ϕ má n navzájem různých vlastních hodnot λ1, . . . , λn, tak je ϕ je diagonalizovatelný v bázi jim příslušejícím vlastních vektorů. Navíc každý vlastní vektor vi příslušející k vlastní hodnotě λi je určený jednoznačně až na skalární násobek. Charakteristický polynom I Nyní si ukážeme, jak k dané čtvercové matici A ∈ Kn×n můžeme najít její vlastní hodnoty a k nim příslušné vlastní vektory. Reprezentace lineárního operátoru na konečně rozměrném vektorovém prostoru pomocí jeho matice v nějaké bázi nám potom umožní vyřešit analogickou úlohu i pro něj. Charakteristický polynom I Nyní si ukážeme, jak k dané čtvercové matici A ∈ Kn×n můžeme najít její vlastní hodnoty a k nim příslušné vlastní vektory. Reprezentace lineárního operátoru na konečně rozměrném vektorovém prostoru pomocí jeho matice v nějaké bázi nám potom umožní vyřešit analogickou úlohu i pro něj. Charakteristickým polynomem matice A ∈ Kn×n nazýváme polynom chA(x) = det(A − xIn) = a11 − x a12 . . . a1n a21 a22 − x . . . a2n ... ... ... ... an1 an2 . . . ann − x v proměnné x s koeficienty z tělesa K, t. j. chA(x) ∈ K[x]. Charakteristický polynom II Charakteristický polynom je zřejmě polynom stupně n s koeficientem (−1)n při nejvyšší mocnině xn . Charakteristickou rovnicí matice A nazýváme rovnici chA(x) = 0, t. j. det(A − xIn) = 0. Charakteristický polynom II Charakteristický polynom je zřejmě polynom stupně n s koeficientem (−1)n při nejvyšší mocnině xn . Charakteristickou rovnicí matice A nazýváme rovnici chA(x) = 0, t. j. det(A − xIn) = 0. Věta Nechť A ∈ Kn×n . Potom skalár λ ∈ K je vlastní hodnotou matice A právě tehdy, když det(A − λIn) = 0, tj. právě tehdy, když λ vyhovuje charakteristické rovnici matice A. Charakteristický polynom III Zejména tedy vlastní vektory čtvercové matice A příslušející k její vlastní hodnotě λ jsou právě všechna nenulová řešení homogenní soustavy s maticí A − λI; přitom právě singularita uvedené matice zaručuje jejich existenci. Charakteristický polynom III Zejména tedy vlastní vektory čtvercové matice A příslušející k její vlastní hodnotě λ jsou právě všechna nenulová řešení homogenní soustavy s maticí A − λI; přitom právě singularita uvedené matice zaručuje jejich existenci. Věta Nechť A, B ∈ Kn×n . Pokud A ≈ B, tak chA = chB; jinak řečeno, podobné matice mají stejný charakteristický polynom. Charakteristický polynom je tedy invariantem podobnosti matic. Příklad: osová souměrnost I Příklad Souměrnost roviny podle osy procházející počátkem a svírající s osou x úhel α je lineární operátor Sα : R2 → R2 , který má vzhledem na kanonickou bázi ε = (e1, e2) matici Sα = cos 2α sin 2α sin 2α − cos 2α . Charakteristický polynom det(Sα − xI2)= cos 2α − x sin 2α sin 2α − cos 2α − x =x2 − cos2 2α − sin2 2α = x2 − 1 má dva kořeny x1,2 = ±1. Příklad: osová souměrnost II K nim příslušné vlastní vektory najdeme řešením homogenních soustav s maticemi Sα − I = cos 2α − 1 sin 2α sin 2α − cos 2α − 1 ∼ sin α − cos α 0 0 , resp. Sα + I = cos 2α + 1 sin 2α sin 2α − cos 2α + 1 ∼ cos α sin α 0 0 . Oba podprostory řešení jsou jednorozměrné, generované vektory (cos α, sin α)T respektive (− sin α, cos α)T . Příklad: osová souměrnost III To znamená, že operátor Sα má vzhledem k bázi tvořené sloupci matice cos α − sin α sin α cos α diagonální matici diag(1, −1) = 1 0 0 −1 . (cos α, sin α)T je směrový vektor naší osy souměrnosti a (− sin α, cos α)T je směrový vektor kolmice na ni v počátku, což se přesně shoduje s geometrickým názorem. Příklad: osová souměrnost IV [3, 2] [−2, −3] 135◦ S135◦ = cos 270◦ sin 270◦ sin 270◦ − cos 270◦ S135◦ = 0 −1 −1 0 v1 = (− sin 135◦, cos 135◦) Překlopení podle přímky y = −x x y v1 = (1, 1), λ1 = −1 v2 = (cos 135◦, sin 135◦), v2 = (−1, 1), λ1 = 1 Příklad: Otočení roviny okolo počátku I Příklad Otočení roviny okolo počátku o úhel α je lineární operátor Rα : R2 → R2 , který má v kanonické bázi ε = (e1, e2) matici Rα = cos α − sin α sin α cos α . Charakteristický polynom det(Rα − xI2)= cos α − x − sin α sin α cos α − x =x2 − 2x cos α + cos2 α + sin2 α =x2 − 2x cos α + 1 má diskriminant D = 4 cos2 α − 4 = −4 sin2 α. Příklad: Otočení roviny okolo počátku II Mimo triviální případ, když sin α = 0, t. j. Rα = I2, kterým se dále nebudeme zabývat, je D < 0, tedy charakteristický polynóm nemá reálné kořeny. Preto Rα nemá reálné vlastní hodnoty a není podobná se žádnou diagonální maticí nad R. V číselném tělese C její charakteristický polynom už má dva kořeny x1,2 = cos α ± i sin α = e±iα , kterým odpovídající vlastní vektory dostaneme řešením homogenních soustav s maticemi Rα − eiα I = −i sin α − sin α sin α −i sin α ∼ 1 −i 0 0 , resp. Rα − e−iα I = i sin α − sin α sin α i sin α ∼ 1 i 0 0 . Příklad: Otočení roviny okolo počátku III Oba podprostory řešení jsou jednorozměrné, generované vektory (1, −i)T resp. (1, i)T . To znamená, že operátor C2 → C2 daný předpisem x → Rα · x má vzhledem k bázi tvořené sloupci matice 1 1 −i i diagonální matici diag(eiα , e−iα ). Totiž Rα · 1 −i = eiα −ieiα = eiα 1 −i . Podobně Rα · 1 i = e−iα ie−iα = e−iα 1 i . Příklad: Otočení roviny okolo počátku IV [0, 3.5] [3.5, 0] Žádná reálná vlastní čísla A = 0 −1 1 0 = cos 90◦ − sin 90◦ sin 90◦ cos 90◦ Rotace o úhel 90◦ x y 90◦ Příklad: Stejnolehlost I Příklad Stejnolehlost v rovině se středem v počátku a koeficientem podobnosti c ∈ R je lineární operátor R2 → R2 , který má v kanonické bázi ε = (e1, e2) diagonální matici cI2. Její charakteristický polynom det(cI2 − xI2) = (c − x)2 má jeden dvojnásobný reálný kořen x1,2 = c. Podprostor řešení homogenní soustavy s maticí cI2 − cI2 = 02,2 je samozřejmě celé R2 . To znamená, že naše stejnolehlost má v libovolné bázi prostoru R2 diagonální matici cI2. Většinou si, pokud z nějakých důvodů nedáme přednost jiné volbě, vybíráme kanonickou bázi ε. Příklad: Stejnolehlost II [0, 1.5] [1.5, 0] [0, 3] [3, 0] x1,2 = 2 A = 2 0 0 2 Stejnolehlost v rovině se středem v počátku a koeficientem podobnosti 2 x y