3. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 2. 3. 2020
Řešení odevzdejte v příštím semináři 9. 3. 2020
1. (1 bod) Nechť UaV jsou podprostory vektorého prostoru W. Nechť Wi,W2,... ,u>k je báze UC\V, nechť wi,..., Wk, ui,..., un je báze U a wi,..., Wk, v±,... ,vi je báze V. Dokažte, že pak wi,..., Wk, ui, U2, ■ ■ ■, Uk, v±, V2, ■ ■ ■, vi je báze U + V. Použijte pouze definici báze a definici součtu vektorových podprostorů.
Pomocí předchozího dokažte formuli pro dimenze:
dim(f/ + V) = dim U + dim V - dim(f/ fl V).
2. (1 bod) Napište definici infima a definici limity posloupnosti rovné — oo. Uvažujte posloupnost {an}^=1, která je nerostoucí. Dokažte:
(1) Je-li {an} omezená zdola, pak má limitu v reálných číslech.
(2) Není-li {an} omezená zdola, pak limn^oo = —oo.
l