4. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 9. 3. 2020
Řešení odevzdejte v příštím semináři 16. 3. 2020
1. (1 bod) Lineární obal budeme definovat dvěma různými způsoby a ukážeme, že obě definice určují stejnou množinu.
Nechť U je vektorový prostor. Nechť ui,U2,... ,Uk jsou vektory v U. Definujme [iti,u2, ■■■ ,uk] =def {ai^i + a2u2 H-----h akuk G U\ au a2, ■ ■ ■, ak G R}
a
(ltl,1t2, • • • ,Uk) =def Q V.
y podprostor v l/obsahující vektory ui,U2,...,Ufc
Druhá definice znamená, že děláme průnik všech podprostorů obsahujících dané vektory.
Dokažte rovnost obou množin, tj.
[ui,u2, ...,Uk] = (lti,1t2, • • -,uk).
2. (1 bod) Řekneme, že posloupnost {an}^=l je cauchyovská, jestliže platí:
(Ve > 0)(3no G N)(Vn > n0)(VA; > n0)(\an - ak\ < e).
Z definice limity dokažte: jetliže existuje limn^oo an G IR, pak je posloupnost {an} cauchyovská.
Pro reálnou funkci / definovanou na okolí bodu a G IR zformulujte analogickou definici cauchyovské funkce v bodě a tak, aby opět platilo: jestliže existuje lim^a /(rr) G IR, pak je / v bodě a cauchyovská. Tuto větu nedokazujte, ale využijte ji k tomu, abyste ukázali, že funkce definovaná předpisem f(x) = 0 pro x racionální a f(x) = 1 pro x iracionální nemá limitu v bodě 2.
l