6. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 24. 3. 2020
Řešení odevzdejte prostřednictvím odevzdávárny v ISu do 30. 3. 2020, 16 hodin
1. (1 bod) Jednou ze základních vlastností spojitých reálných funkcí definovaných na intervalu [a, b] C IR je "nabývání mezihodnost": jesliže je / : [a, b] —> IR spojitá a f {a) < c < f (b), pak existuje y G (a, b) takové, že f (y) = c.
Dokončete důkaz této věty, který začíná takto: Uvažujme množinu
M = {x G [a, b]; f (x) < c}.
Množina M je neprázdná (a G M) a shora omezená (6 je její horní závora). Proto existuje její supremum y = sup M.
2. (1 bod) Ukažte, že v oboru racionálních čísel výše uvedená věta neplatí. Najděte spojitou funkci / : Q —y Q takovou, že pro nějaké a < b je f (a) < 0 < f (b), ale f (x) ý 0 pro všechna x G [a, b].
l