7. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 1. 4. 2020
Řešení odevzdejte prostřednictvím odevzdávárny v ISu do 7. 4. 2020, 16 hodin
1. (1 bod) Mějme neprázdné uzavřené intervaly [an,6n] pro všechna neN takové, že [an+i, 6n+i] C [an,6n] pro všechna n. Dokažte, že jejich průnik
oo
n k, bn] ± 0.
n=l
Návod. Dokažte, že sup{an n G N} leží v průniku.
Je-li navíc limn^oo(6n — an) = 0, pak je průnik jednobodový. Rovněž dokažte.
Ukažte příklad posloupnosti do sebe vnořených otevřených intervalů, pro které je průnik prázdný.
2. (1 bod) Najděte příklad spojité funkce na otevřeném intervalu (a,b), která není na (a, b) omezená shora ani zdola.
Najděte příklad spojité funkce na otevřeném intervalu (a, b), která je omezená shora i zdola, ale na (a, b) nenabývá svého maxima ani minima.
l