8. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 8. 4. 2020
Řešení odevzdejte prostřednictvím odevzdávárny v ISu do 15. 4. 2020, 16 hodin
1. (1 bod) Nechť a < b jsou dvě reálná čísla. Uvažujme množinu M C [a, b] s těmito vlastnostmi:
(1) a e M.
(2) Je-li {xn}^=l rostoucí posloupnost prvků z M, pak x = limn^oo xn G M.
(3) Pro každé y G M, pak existuje ô > 0 tak, že
(y-5,y + 5)n[a,b]CM.
Dokažte, že M = [a, b].
Návod: Přečtěte si důkaz tvrzení, že spojitá funkce na intervalu [a, b] je shora omezená ze 7. semináře.
Toto tvrzení se někdy nazývá plíživé lemma.
2. (1 bod) Nechť U je vektorový prostor nad IR nebo C a ^ : U —> U ]e lineární zobrazení s vlastností ip o tp = tp, tj. <p(<p(uj) = f(u) pro všechny vektory u G U. Dokažte, že pak je prostor U direktním součtem vlastních podprostorů k vlastním číslům 1 a 0, tj.
U = ker (tp — id) © ker ((p).
Najděte nějaký geometrický příklad takového zobrazení v IR3. Návod: Přečtěte si řešení 4. úlohy v 8. semináři.
l