5. seminář z matematiky, jaro 2020
V tomto semináři dokončíme řešení úloh ze vstupních písemek.
Příklad. 1. Dokažte: Lineárního zobrazení ip : U -> V je prosté, právě když jeho jádro ker <p obsahuje pouze nulový vektor.
/
^t&^Hy     /W-r*-   4- => f ^
/
(D
Příklad. 2. Pomocí kvantifikátorů napište negaci definice
lim f{x) L.
Dokažte z definice limity (resp. z předchozí úlohy), že limita v bodě 2 funkce / takové, že f(x) = 0 pro x iracionální a f(x) = 1 pro x racionální, není rovna 0.
Mm f&A =L-
L
	
1 ( .-i—1	J _ — -" ! -1-•--
6^
(3) y £70   3ď?0    freKfW lfC*)-L}<e
i    í '
(Q Ýä>0   3%é=K 0<M<ď A IftoHl^č
. (D
4l$a^^/wj>.'{      juizJas (2).
Příklad. 3. Z definice limity dokažte:
lim(/(x) + g{x)) = lim f(x) + lim g[x).
x—ta x—>a x—>a
pokud limity vpravo existují. f
;*) |/£>í) 3^0
l/v)
z:
^---- Ql^£, (*)
(jr ^ /h*A.rsu~
>Ct) - B
A
^ £
Príklad. 4. Napište definici spojitosti reálné funkce v bodě a e M. Dokažte z definice spojitosti: Jestliže jsou dvě funkce f a g spojité v bodě a e M, pak je v tomto bodě spojitý i jejich součin.
/PUL,   /Uč404£!***s             ' ^    (      ^ v
%Z/uvs™& sic' yt>ů>-
j/£>^ j/>c9   K^í? lwlcj=> (£čf)^te)\^
yo^Čt^o /rfjfi^&l; fantu' /^Ufiy^L
fb)%fr) - f tyty] = - t^qfy
£ (a) q Cl) ~   f = (f C*)-£fc)
-ŕ
f.b)-f.k)l IfláO
Pohrál /p^<^
ÚL,
ty(*)lk)\
a 60
<D
t
1
to)
K^/    >ö ><2 /X-HÄ/^c,
1
1
1
c ± ef ( lfái))-t<f) - |/^^)/
@T    /hu/u. L   j G?Zŕ A) ^ ^nt^<^ X
Jyt(/i^c jt ofLßfi'^^   /oouu'^^o ~fCf)^(y)