&
6. seminář z matematiky, jaro 2020
Ukážeme si řešení 4. a 5. domácí úlohy.
1. (4. DU) Lineární obal budeme definovat dvěma různými způsoby a ukážeme, že obě definice určují stejnou množinu.
Nechť U je vektorový prostor. Nechť u\, u2, ■. ■ , uk jsou vektory v U. Definujme [ui,u2, ...,uk] =def {aiui + a2u2 H-----h akuk G U\ a1,a2, ...,akEM}
a
(u1,u2,...,uk) =dei p| V.
V podprostor v i/obsahující vektory u\,it2,...,Ufc
Druhá definice znamená, že děláme průnik všech podprostorů obsahujících dané vektory.
Dokažte rovnost obou množin, tj.
[uuu2, ...,uk] = (ui,u2,.. .,uk)„
,fVH-^u^ £.4(1,-4t,.--y      /*   — L-<<f, <ív v >é J .
/'V ,ů:^í^W  .m^-^o <*ž»*^rV
2. (4. DU) Řekneme, že posloupnost {an}^=l je cauchyovská, jestliže platí:
(Ve > 0)(3no G N)(Vn > n0)(Vfc > n0)(\an - ak\ < e).
Z dennice limity dokažte: jetliže existuje lim^^ an e R, pak je posloupnost {an} cauchyovská.
Pro reálnou funkci / definovanou na okolí bodu a e M zformulujte analogickou definici cauchyovské funkce v bodě a tak, aby opět platilo: jestliže existuje limx^af(x) e M, pak je / v bodě a cauchyovská. Tuto větu nedokazujte, ale využijte ji k tomu, abyste ukázali, že funkce definovaná předpisem f (x) = 0 pro x racionální a f (x) = 1 pro x iracionálni nemá limitu v bodě 2.
f
SHo     ,W ^
t í.
/
(D
fCi)~^)j - 10-1] -4 > £-
1
(T I
i- < ô
ár
5-
3. (5. DU) Z definice spojitosti dokažte. Je-li funkce / spojitá v bodě a e M a f(a) ^ 0, pak je funkce
1
/(*)
omezená na nějakém okolí bodu a. Pro důkaz můžete předpokládat, že /(a) > 0.
Ol -ň
0
4
í!Š. >0 A>°< ^
2-
4. (5. DU) Pomocí výsledku předchozí úlohy dokažte z definice spojitosti: Je-li funkce / spojitá v bodě a 6 R a f(a) ^ 0, pak je funkce
1
W)
spojitá v bodě a.
ftůUo
>0  3 A >0  V* fr fa-A/0**)
^1
f        f^í ^/
st