©
7. seminář z matematiky, jaro 2020
Ukážeme si řešení 6. domácí úlohy a pak probereme další vlastnosti reálných čísel a spojitých funkcí, které závisejí na existenci suprema nebo infima.
1. (6. DU) Jednou ze základních vlastností spojitých reálných funkcí definovaných na intervalu [a, b] C K je "nabývání mezihodnost": jesliže je / : [a,b] —> R spojitá a f (a) < c < f (b), pak existuje y G (a, b) takové, že f (y) = c. Dokončete důkaz této věty, který začíná takto: Uvažujme množinu
M = {x G [a, b]; f (x) < c}.
Množina M je neprázdná (a e M) a shora omezená (6 je její horní závora). Proto existuje její supremum y = sup M.
-f) ďteôlt"   -f ry) +e
ž.) ^au," f^)>c. Pat % >ai
f (a) < c.   že, t~
jju'^Cu^ d~>o        >0j     , <*Z
rj=. //,
je   (PĹa-^U; /oA&ce&svu*
3
2. (6. DU) Ukažte, že v oboru racionálních čísel výše uvedená věta neplatí. Najděte spojitou funkci / : Q -+ Q takovou, že pro nějaké a < b je f (a) < 0 < /(&), ale f(x) ý 0 pro všechna x E [a, b].
f fa) ~£(0) = -1 <0
tib) =m = 2 >0
3. (Omezenost spojitých funkcí na uzavřených intervalech.) Každá spojitá funkce / : [o, 6] -> R je shora omezená.
&   /7^Cf^?rU^     /U-frfe-   SPIA. tfO^čU^is ^H^U^Uy{
AWL   /Kcfl&i&/H<<L/   ^sU^OVčU^    L^čL+áj -fMUsy
(>^W £=-4^ a^k^u ^ýt:^^-)
M
(V) s = sutý. M e M (~)        s =•        // =• £>
/yýl^'/urytu   ^U4iAQľ  jL   /y sfa?^  s ^u^pn^
6 r x e (Oj
s = /x^ M - b ,     kfüfUj/   s < io / úu x é %fä4d$U&r (s-<rt s «r)
Al' ^ //    /w^"   S ^ ^s^juw' štetec.
í
7
4. (Nabývání maxima spojitou funkcí na uzavřených intervalech). Každá spojitá funkce / : [a, b] -> R nabývá svého maxima, tj. existuje y e [a, b] takové, že pro všechna x e [a, 6] je
/(*) < /(v).
/
jste     /^Ät        ><  ^   £T^ fí,
/\ - _í—
/yfotči   ^w^e^W   /n£fO^>H^ J^cí^'^ty
^ /MAS
/
n < ——-—- ^
A,
'Tmy n ^    <1 _