(D 8. seminář z matematiky, jaro 2020 Ukážeme si řešení 7. domácí úlohy. V úloze 3 si ukážeme jiný důkaz omezenosti spojité funkce na uzavřeném intervalu a v úloze 4 se podíváme na lineární algebru, konkrétně na vlastní podprostory jistého lineárního operátoru. 1. (7. DU) Mějme neprázdne uzavřené intervaly [o„,6n] pro všechna n e N takové, že [an+1,bn+i] C [an,6„] pro všechna n. Dokažte, že jejich průnik oc n=l Návod. Dokažte, že sup{a„ n € N} leží v průniku. Je-li navíc lim„_).00 (67j - an) = 0, pak je průnik jednobodový. Rovněž dokažte. Ukažte příklad posloupnosti do sebe vnořených otevřených intervalů, pro které je průnik prázdný. / 1. (7. DU) Mějme neprázdné uzavřené intervaly [an,bn] pro všechna n G N takové, že [an+i, bn+i] C [an, bn] pro všechna n. Dokažte, že jejich průnik oc n=l Návod. Dokažte, že sup{a„ n e N} leží v průniku. Je-li navíc limra_>00(6ra — an) = 0, pak je průnik jednobodový. Rovněž dokažte. Ukažte příklad posloupnosti do sebe vnořených otevřených intervalů, pro které je průnik prázdný. fíu.i&ti>0 p^jWJyči ^me^j'eC ^eUc^t^A^o, f) [ču, = 0. .4a~ - ./ysyi'^ /TVKÁce, a& /MjAA/, /PUSU ^ttyo&tá**, A^Ú^i^ —r 2. r b \ —~~i 2- £ti) - y /m- Ca, >). ® 3 Pomocí tvrzení v příkladu 1 dokažte, že každá spojitá reálná funkce na uzavřeném intervalu [a, b] je shora omezená. istCtfy ř **** ÓL^J^O. Ta/Ku flt 4^S»^L4<^ó ^l^^&čZ^t 1 / yU—?^ /- © 3. Pomocí tvrzení v příkladu 1 dokažte, že každá spojitá reálná funkce na uzavřeném intervalu [a, b] je shora omezená. © 5 4. Nechť U je vektorový prostor narfR nebo C a ip : U U je lineární zobrazení s vlastností tp o ^ = id, tj. p(p(u)) = u pro všechny vektory u e U. Dokažte, že pak je prostor U direktním součtem vlastních podprostorů k vlastním číslům 1 a -1, tj. U = kev((p - id) © ker((ý3 + id). 2. / 2- SAeUt. 7- 4. Nechť U je vektorový prostor n^/M nebo Ca^: U -» t/ je lineární zobrazení s vlastností ^ o