9. seminář z matematiky, jaro 2020
Ukážeme si řešení 8. domácí úlohy. V úloze 3 dokážeme základní tvrzení diferenciálního počtu jedné proměnné. V úloze 4 se podíváme na charakteristiku kolmých projekcí.
1. (8. DU) Nechť a < b jsou dvě reálná čísla. Uvažujme množinu M C [a, b] s těmito vlastnostmi:
(1) a E M.
(2) Je-li {xn}^ rostoucí posloupnost prvků z M, pak x = lim^^ xn e M.
(3) Pro každé y € M, pak existuje 8 > 0 tak, že
(ž/-í,l/ + í)n[af&] CM.
Dokažte, že M = [a, b].
Toto tvrzení se někdy nazývá plíživé lemma.
ía^^tl, 4*,<4>P'P
v.
(T) , 5 e P.    £ ^
° y «
1 - -p
[o,, 5) = Ca.,/**J — ^ .
1. (8. DU) Nechť a < b jsou dvě reálná čísla. Uvažujme množinu M C [a, b] s těmito vlastnostmi:
(1) a e M.
(2) Je-li {xn}™=1 rostoucí posloupnost prvků z M, pak x = lim^^ xn e M.
(3) Pro každé y e M, pak existuje ô > 0 tak, že
(y - 6, y + ô) n [a, 6] C M.
Dokažte, že M = [a, 6].
Toto tvrzení se někdy nazývá plíživé lemma.
^WW^-  (*>) # S <s M .
S < b ^c'^é^^
í 's-ď, ~ ^
2. (8. DU) Nechť U je vektorový prostor nad R nebo C a <p : U —y U je lineární zobrazení 3 vlastností <p o (p = <p, tj. ^(^(a)) = v>(a) pro všechny vektory u e U. Dokažte, že pak je prostor U direktním součtem vlastních podprostorů k vlastním číslům 1 a 0, tj.
U = ker(^? - id) ® ker(^). Najděte nějaký geometrický příklad takového zobrazení v R3.
m A^u'ec' fa) Of/*'4Mý>**a>   £f>. Í)^mí£^u^
(f(<c)     =■ ><
Cf(cf(,)) -   Cft«)  4' ^f-^)(^)-0
®
2. (8. DU) Nechť U je vektorový prostor nad R nebo C a ip : U -> [/ je lineární zobrazení s vlastností <p o <p =     tj. y>(p(tt)) = pro všechny vektory u E U.
Dokažte, že pak je prostor U direktním součtem vlastních podprostorů k vlastním číslům 1 a 0, tj.
U = kev((p - id) © ker (v?). Najděte nějaký geometrický příklad takového zobrazení v M3.
/PUL    ^M^^    V  Sir M
5
3. Dokažte následující důležitou větu, které se říká Rolleova: Nechť a < b jsou reálná čísla a / : [o, b] -+ R je spojitá funkce, která má derivaci ve všech bodech otevřeného intervalu (a, 6) a f (a) = /(&). Pak existuje bod c 6 (a, 6) takový, že f(c) = 0.
----- ŕ ' /
©
4
3. Dokažte následující důležitou větu, které se říká Rolleova: Nechť a < b jsou reálná čísla a / : [a, b] —v R je spojitá funkce, která má derivaci ve všech bodech otevřeného intervalu (a, b) a /(a) = /(&). Pak existuje bod c e (a, 6) takový, že /(c) = 0.
s
£Cf)~-f {c) > O, f 6) > f/c)
©
(M)      ^        'ýuZSUsj /Us     (T)   ästet' (jľj yU£^Myy<^^^
®
4. Nechť U je vektorový prostor nad M se skalárním součinem a,(p : U —>• ř7 je lineární operátor. Dokažte, že následující dvě tvrzení jsou ekvivalentní.
(A) Operátor <p je kolmá projekce na nějaký vektorový podprostor.
(B) Operátor (p je samoadjungovaný a ip(cp(u)) = ip(u) pro každé u € U.
Druhou vlastnost v tvrzení (B) můžeme zapsat také jako: (p2 = <p. Druhou mocninou se zde míní složení (po (p.
v
l^htfcpi- ^-t^rfO? =<ffMf*)>ŤÔ
©
5
4. Nechť U je vektorový prostor nad R se skalárním součinem a ip : U -> Č7 je lineární operátor. Dokažte, že následující dvě tvrzení jsou ekvivalentní.
(A) Operátor <p je kolmá projekce na nějaký vektorový podprostor.
(B) Operátor ip je samoadjungovaný a <p(<p(u)) = ip(u) pro každé u e U.
Druhou vlastnost v tvrzení (B) můžeme zapsat také jako: </?2 = ip. Druhou mocninou se zde míní složení cp o <p.
fofiCC Ar  £ V *      ĹCf-& 6r iq-Cti) .
/