10. seminář z matematiky, jaro 2020
Ukážeme si řešení 9. domácí úlohy. V úloze 3 dokážeme další zobecnění věty o střední hodnotě a v úloze 4 se podíváme na "odmocninu" z lineárního operátoru.
1. (9. DU) Pomocí Rolleovy věty (úloha 3 v 9. semináři) dokažte Lagrangeovu větu o střední hodnotě. Nechť a < b jsou reálná čísla a / : [a, b] -> R je spojitá funkce, která má derivaci ve všech bodech otevřeného intervalu (a, b). Pak existuje bod c e (a, b) takový, že
o — a
Napište její geometrickou i fyzikální interpretaci.
ýmJíco   a,č*) = W s**
A (i>) - f (A)
b -Os
í
Q, b F (y) . m  - í^fa -
1. (9. DU) Pomocí Rolleovy věty (úloha 3 v 9. semináři) dokažte Lagrangeovu větu o střední hodnotě. Nechť a < b jsou reálná čísla a / : [a, b] -> R je spojitá funkce, která ma derivaci ve všech bodech otevřeného intervalu (a, b). Pak existuje bod c e (a,b) takový, že '
f'(c) = f(b) ~ /(a)
b — a
Napište její geometrickou i fyzikální interpretaci
F'fc) = O
4
ťCc) = mz£&.
^ ^ **** A*°i
'3
1. (9. DU) Pomocí Rolleovy věty (úloha 3 v 9. semináři) dokažte Lagrangeovu větu o střední hodnotě. Nechť a < b jsou reálná čísla a / : [a, b] R je spojitá funkce, která má derivaci ve všech bodech otevřeného intervalu (a, b). Pak existuje bod c E (a,b) takový, že
/'(c) =
6 — a
Napište její geometrickou i fyzikální interpretaci
T^fuM'čtu.' .-ť-^of^-^ ■
2. (9. DU) Pomocí věty o střední hodnotě dokažte:
(1) Má-li reálná funkce / na otevřeném intervalu / ve všech bodech kladnou derivaci, je rostoucí.
(2) Má-li reálná funkce / na otevřeném intervalu / ve všech bodech nulovou derivaci, je konstantní.
O 4" y &I> ****
£M - fM = fVc) >ú.
5
/
\        p    # /unitu
(3
3
2. (9. DU) Pomocí věty o střední hodnotě dokažte:
(1) Má-li reálná funkce / na otevřeném intervalu / ve všech bodech kladnou derivaci, je rostoucí.
(2) Má-li reálná funkce / na otevřeném intervalu / ve všech bodech nulovou derivaci, je konstantní.
60a^ fa)
^    ň   ^   I ■

3. Další zobecnění Lagrangeovy věty o střední hodnotě. Budeme definovat křivku v rovině, její derivaci a tečný vektor v bodě. Dokážeme větu, jejíž geometrický význam je, že pro dané dva různé body křivky existuje jiný její bod, v němž bude tečna rovnoběžná s přímkou spojující dané dva body: (jytyntátous;
Nechť (f$= (f(x),g(x)) : [a, b] -> R2 je spojitá křivka, kterámá^erivaci ve všech bodech intervalu (a, b) a <p(á) ^ <p(b). Pak existuje c £ (a,b) takové, že
f/(c)(g(b)-g(a)) = g'(c)(f(b)-f(a)).
/xjji'sCet     iPeu^etc^  .ÄU/v&^- ^
X   M^^c,   fM'^ Mu^j* é^'-W^
a's) ť  diu V«c&- % fCi) .   'ž>*tó' a U<--uls
fík)
^        »^JTf'
3. Další zobecnění Lagrangeovy věty o střední hodnotě. Budeme definovat křivku v rovině, její derivaci a tečný vektor v bodě. Dokážeme větu, jejíž geometrický význam je, že pro dané dva různé body křivky existuje jiný její bod, v němž bude tečna rovnoběžná s přímkou spojující dané dva body: ^^wnuMn^uy Nechť ifty (f(x),g(x)) : [a, b] -> R2 je spojitá křivka, která ma^áerivaci ve všech bodech intervalu (a, 6) a <p(a) ^ <p(b). Pak existuje c e (a, b) takové, že
f'(c)(g(b)-g(a)) = g'(c)(f(b)-f(a)).
FC,) -wtfcy) -i a)) - i   Q íb) - m]
<<-   f '(c) ŕO.   T>^   j^UpC   a lb) + fC<z$
————— g
Co
(h) -ffe)
C/yiA£s
I
(D
5
4. Nechť U je reálný vektorový prostor se skalárním součinem a ip : t/ -» ř/ je samoadjungovaný lineární operátor s vlastností (<p(u), u) > 0. (Říkáme, že je pozitivně semidefinitní.) Dokažte, že pak existuje lineární samoadjungovaný operátor ip : U U takový, že Tp2 = ip o ip = (p.
/
4. Nechť U je reálný vektorový prostor se skalárním součinem a <p : U —> U je samoadjungovaný lineární operátor s vlastností ((p(u),u) > 0. (Říkáme, že je pozitivně semidefinitní.) Dokažte, že pak existuje lineární samoadjungovaný operátor ip : U —y U takový, že ý2 = ip o ip = <p.
/
sU   & U ýJí^ĹÚ
o=t '   1 = 1
4 í=í
C ^4