11. seminář z matematiky, jaro 2020
Ukážeme si řešení 10. domácí úlohy. V úloze 3 si řekneme, co je Darbouxova vlastnost reálných funkcí a ve čtvrté úloze si ukážeme, jak dosazovat symetrické matice do reálných funkcí.
1. (10. DU) Využijte větu dokázanou v úloze 3 v textu 10. semináře k tomu, abyste dokázali tuto verzi 1'Hospitalova pravidla:
Nechť c e (a, b), nechť f,g : (a,b) -> R jsou dvě spojité funkce, které mají derivaci v intervalech (a,c) a (c,b), /(c) = g{c) = 0, ale g{x) ^ 0 pro x ■£ c. Jestliže existuje limita
, /'(*) x->c g'{x)
pak existuje rovněž limita podílu obou funkcí a platí
limm=íimm
x->c g[x)      x-*c g'[X)
jAŕh'JAfJ My'/H&>!    /(Ms   Aiítisůsťtvtf ■ff/tí /^*L/
^ ->£^
^-yc § Li) f fy*) f fe)
©
2
2. (10. DU) Nechť A je reálná symetrická matice tvaru n x n s vlastností xTAx > 0 pro každý sloupcový vektor x e Rn. Dokažte, že pak existuje symetrická matice B taková, že B2 = A. Může být takových matic více než dvě (B a ~B)7
p   = TTDT
Y&r-i   ******* ^
2
2. (10. DU) Nechť A je reálná symetrická matice tvaru n x n s vlastností xTAx > 0 pro každý sloupcový vektor x E Rn. Dokážte, že pak existuje symetrická matice B taková, že B2 = A. Může být takových matic více než dvě (B a -B)l
= ?rD'V~P = ttov - a .
O t
yr B X — C.
■J
3. Darbouxova vlastnost derivace. Řekneme, že reálná funkce / definovaná na intervalu / má Darbouxovu vlastnost, jestliže pro každá tři čísla čísla a. b e I a y e 1 taková, že /(a) < y < f (b), existnje c e {min(a,6),max(a,6)) takové, že f(c) = y. (Nakreslete si obrázek.) Říkáme také, že / nabývá všech mezihodnot.
Již víme, že každá spojitá funkce na intervalu má Darbouxovu vlastnost.
Existují diferencovatelné funkce, které nemají spojitou derivaci - viz domácí úloha. Nicméně každá reálná funkce, která je derivací nějaké jiné funkce na intervalu I má Darbouxovu vlastnost. To si dokážeme.
'keoU^    f '■  I —> IR ' ' ..-Ae- /Kt'&l,
a, > & r ,   & * >;   fa) * fh>)
© 41*00"   fa) * fa).
Q'(a) < O  <- ■ ř^' , >
f "V" '777^
(D
3. Darbouxova vlastnost derivace. Řekneme, že reálná funkce / definovaná na intervalu / má Darbouxovu vlastnost, jestliže pro každá tři čísla čísla a,b e I a y eR taková, že /(a) < y < f (b), existuje c G (min(a, b), max(a, b)) takové, že /(c) = y. (Nakreslete si obrázek.) Říkáme také, že / nabývá všech mezihodnot.
Již víme, že každá spojitá funkce na intervalu má Darbouxovu vlastnost.
Existují diferencovatelné funkce, které nemají spojitou derivaci - viz domácí úloha. Nicméně každá reálná funkce, která je derivaci nějaké jiné funkce na intervalu I má Darbouxovu vlastnost. To si dokážeme.
swvr^u,   La) * (*), ^^'^&^^).
4. Dosazování symetrických matic do reálných funkcí. Ukážeme si, že pro každou symetrickou matici A tvaru n x n a každou reálnou funkci / takovou, že v jejím definičním oboru leží spektrum matice A, můžeme definovat symetrickou matici f (A) tvaru n x n tak, že platí:
(a) Je-li / = 1, pak f (A) = E je jednotková matice.
(b) Je-li f(x) = x, je f (A) = A.
(c) Součet funkcí se převádí na součet matic: (/ + g) (A) = f (A) + g (A).
(d) Součin funkcí se převádí na součin matic: (/ ■ g){A) = f (A) ■ g (A).
(e) Pro skládání funkcí platí: (/ o g)(A) = f(g(A)).
A - 7" 1
ľ
I
T
f ca) = t1     m.0
o ~\
\
ľ
'S
4. Dosazování symetrických matic do reálnych funkcí. Ukážeme si, že pro každou symetrickou matici A tvaru n x n a každou reálnou funkci / takovou, že v jejím definičním oboru leží spektrum matice A, můžeme definovat symetrickou matici f (A) tvaru n x n tak, že platí:
(a) Je-li / = 1, pak f (A) = E je jednotková matice.
(b) Je-li f (x) = x, je f (A) = A. '
(c) Součet funkcí se převádí na součet matic: (/ + g)(A) = f (A) + g (A).
(d) Součin funkcí se převádí na součin matic: (/ ■ g){A) = f (A) ■ g (A).
(e) Pro skládání funkcí platí: (/ o g)(A) = f(g(A)).
(a) í (A) = T
tm
1
?
T
7' = 4
\
(c) ^)^) = T
r
\
— TT
\
-7
\
/
0 jNf&j