12. seminář z matematiky, jaro 2020
Ukážeme si řešení 11. domácí úlohy.
1. (11. DU) Ukažte, že funkce / : M ->• R definovaná předpisem
f(x)-Sx2sinl tfs^o,
/W "jo, if* = 0.
má derivaci ve všech bodech, která je však nespojitá v bodě 0.
4
4 fo>    ~£ 0.
2. (11. DU) Nechť U je reálný nebo komplexní vektorový prostor a <p : U -> U je samoadjungovaný operátor. Dokažte, že pro každou reálnou funkci /, jejíž definiční obor obsahuje spektrum operátoru (p můžeme definovat samoadjungovaný operátor f((fi) :U -*U tak, že platí:
(a) Je-li / = 1, pak /(</>) = id.
(b) Je-li f(x) = x, je f{ip) = <p.
(c) Součet funkcí se převádí na součet operátorů: (/ + g)(<p) = f(<p) + g(<p).
(d) Součin funkcí se převádí na skládání operátorů: (/ • g)(f) = f(<p) og{ip).
(e) Pro skládání funkcí platí: (/ o g)(tp) = f(g((p)).
sn^a-et,  a-  ^t^^ ■ £ (a) a,
^'I&sUu' s^^vt .A^'^'<^ lem m úl     l*LtUrti' A'/pu&'^' y^^^
f    Xitci^ '  ^^^^^ tPfarJ
(D
2. (11. DU) Nechť U je reálný nebo komplexní vektorový prostor a y? : U -¥ U je samoadjungovaný operátor. Dokážte, že pro každou reálnou funkci /, jejíž definiční obor obsahuje spektrum operátoru můžeme definovat samoadjungovaný operátor /(v?) : U ->• U tak, že platí:
(a) Je-li / = 1, pak f(<p) = id.
(b) Je-li f (x) = x, je f(<p) = <p.
(c) Součet funkcí se převádí na součet operátorů: (/ + g)(tp) = f(ip) + g(tp).
(d) Součin funkcí se převádí na skládání operátorů: (/ • g)(<p) = f(<p) o g(ip).
(e) Pro skládání funkcí platí: (/ o g)(<p) = f(g((p)).
0
i,' v £7 f ^v) ^ *i> = 2ľ x-f:-
(f $yz) c«>-)= (f 1)N  - tMity*,\