1	2	3	4	5	Celkem
					
Vstupní písemka ze semináře z matematiky II    2. část, únor 2020
Max. počet bodů 20
la. Napište definici suprema množiny M C R. (ž 6oáy)
lb. Se všemi potřebnými předpoklady zformulujte základní větu, která o supremu platí.    (2 body)
2a. Napište definici limity posloupnosti reálných čísel. (1 bod)
2b. Pomocí věty o supremu z předchozí úlohy dokažte: Každá rostoucí posloupnost záporných reálných čísel má limitu. (3 body)
3a. Napište definici limity reálné funkce / v bodě ael. (1 bod)
3b. Z definice limity dokažte:
lim(/(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x),
x—>a x—>a x—>a
pokud limity vpravo existují. (5 body)
4a. Pomocí kvantifikátorů napište negaci definice
lim f(x) = L.
x—>a
(i bod)
4b. Dokažte z definice limity (resp. z předchozí úlohy), že limita v bodě 2 funkce / : R —>• R takové, že f(x) = 0 pro x iracionální a f(x) = 1 pro x racionální, není rovna 0. (3 body)
5a. Napište definici spojitosti reálné funkce v bodě aeR. (1 bod)
5b. Dokažte z definice spojitosti: Jestliže jsou dvě funkce / a g spojité v bodě ael, pak je v tomto bodě spojitý i jejich součin. (3 bod)
i