1 Rovnice ve dvou nezávisle proměnných
Jedná se o rovnice tvaru
F x, y, u,
∂u
∂x
,
∂u
∂y
= 0, (1)
kde F je spojitá funkce pěti proměnných definovaná na nějaké množině G ⊆ R5
s neprázdným
vnitřkem G◦
.
Klasické (silné) řešení rovnice (1) je funkce u definovaná na množině Ω ⊆ R2
takové, že
¯Ω = Ω◦, která je na vnitřku množiny Ω diferencovatelná, na uzávěru množiny Ω je spojitá, a která
splňuje vztahy
x, y, u(x, y),
∂u(x, y)
∂x
,
∂u(x, y)
∂y
∈ G a F x, y, u(x, y),
∂u(x, y)
∂x
,
∂u(x, y)
∂y
= 0
pro všechny body (x, y) z vnitřku množiny Ω.
1.1 Lineární rovnice
Lineární rovnice je tvaru
a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = g(x, y), (2)
kde a, b, c, g jsou spojité funkce dvou proměnných definované na nějaké podmnožině prostoru R2
,
která má neprázdný vnitřek. O funkcích a, b budeme navíc předpokládat, že jsou na vnitřku svého
definičního oboru nenulové.
Kdyby totiž na nějaké otevřené podmnožině A společného definičního oboru funkcí a, b, c, g
byla například funkce a nulová, rovnice by na A nabyla tvaru
b(x, y)uy + c(x, y)u = g(x, y)
a mohli bychom ji považovat za rovnici obyčejnou – proměnnou y bychom chápali jako nezávisle
proměnnou, proměnnou x bychom považovali za parametr.
Pokud je funkce g na pravé straně rovnice (2) nulová, tj. pokud rovnice je tvaru
a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = 0, (3)
řekneme, že tato rovnice je homogenní. Množina řešení rovnice (3) splňuje princip superpozice:
Lineární kombinace řešení rovnice (3) je opět řešením této rovnice. Podrobněji:
• Je-li funkce u řešením rovnice (3) a α je libovolné reálné číslo, pak také funkce αu je řešením
této rovnice.
Důkaz: Poněvadž
∂(αu)
∂x
= α
∂u
∂x
a
∂(αu)
∂y
= α
∂u
∂y
,
platí
a
∂(αu)
∂x
+ b
∂(αu)
∂y
+ c(αu) = α a
∂u
∂x
+ b
∂u
∂y
+ cu = 0.
• Jsou-li funkce u1, u2 řešením rovnice (3) se stejným definičním oborem, pak také funkce u1 + u2
je řešením této rovnice.
Důkaz: Poněvadž
∂(u1 + u2)
∂x
=
∂u1
∂x
+
∂u2
∂x
a
∂(u1 + u2)
∂y
=
∂u1
∂y
+
∂u2
∂y
,
1
platí
a
∂(u1 + u2)
∂x
+ b
∂(u1 + u2)
∂y
+ c(u1 + u2) =
= a
∂u1
∂x
+ b
∂u1
∂y
+ cu1 + a
∂u2
∂x
+ b
∂u2
∂y
+ cu2 = 0 + 0 = 0.
Protože funkce u ≡ 0 je zřejmě řešením rovnice (3), plyne z principu superpozice, že množina
všech řešení rovnice (3) definovaných na jedné množině Ω tvoří reálný vektorový prostor.
Nyní se podívejme na strukturu množiny řešení nehomogenní rovnice (2). Pro ni platí:
• Jsou-li funkce u1 a u2 řešením nehomogenní rovnice (2), pak jejich rozdíl je řešením homogenní
rovnice (3).
Důkaz:
a
∂(u1 − u2)
∂x
+ b
∂(u1 − u2)
∂y
+ c(u1 − u2) =
= a
∂u1
∂x
+ b
∂u1
∂y
+ cu1 − a
∂u2
∂x
+ b
∂u2
∂y
+ cu2 = g − g = 0.
• Je-li funkce uN řešením nehomogenní rovnice (2), pak pro každé řešení uH homogenní rovnice
(3) je součet funkcí uN + uH také řešením nehomogenní rovnice (2).
Důkaz:
a
∂(uN + uH)
∂x
+ b
∂(uN + uH)
∂y
+ c(uN + uH) =
= a
∂uN
∂x
+ b
∂uN
∂y
+ cuN + a
∂uH
∂x
+ b
∂uH
∂y
+ cuH = g + 0 = g.
Množinu řešení nehomogenní lineární rovnice (2) tedy můžeme chápat jako afinní prostor. Přesněji,
řešení nehomogenní rovnice (2) jsou body afinního prostoru, jehož zaměřením je vektorový
prostor všech řešení lineární homogenní rovnice (3).
1.2 Řešení rovnice a(x, y)ux + b(x, y)uy = 0
Tato rovnice je speciálním případem lineární homogenní rovnice. Představme si, že její řešení
známe. Nechť tedy funkce u = u(x, y) je řešením rovnice
a(x, y)ux + b(x, y)uy = 0. (4)
Tuto funkci dvou proměnných můžeme znázornit pomocí vrstevnic. Nechť vrstevnice funkce u mají
parametrické vyjádření tvaru
x = x(s),
y = y(s),
(5)
kde parametr s probíhá nějaký reálný interval I. Poněvadž funkce u je diferencovatelná, jsou její
vrstevnice hladké křivky, tj. funkce x = x(s), y = y(s) jsou diferencovatelné. (Poznamenejme,
že pokud má funkce u ostré lokální extrémy, pak v bodech těchto extrémů vrstevnice degeneruje
v jediný bod; tato skutečnost však další úvahy neovlivňuje.) Na vrstevnicích platí
u x(s), y(s) = const
2
(pro libovolnou hodnotu parametru s ∈ I). Derivováním této rovnosti podle parametru dostaneme
rovnost
0 =
d
ds
u x(s), y(s) =
∂u x(s), y(s)
∂x
dx(s)
ds
+
∂u x(s), y(s)
∂y
dy(s)
ds
;
použili jsme řetězové pravidlo pro derivování složené funkce. Porovnáním s rovnicí (4) vidíme, že
poslední rovnost bude splněna, pokud
x′
(s) =
dx(s)
ds
= a x(s), y(s) , y′
(s) =
dy(s)
ds
= b x(s), y(s) .
Toto pozorování vede k rozhodnutí, že k parciální diferenciální rovnici (4) přiřadíme dvourozměrný
autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic
x′
= a(x, y),
y′
= b(x, y).
(6)
Tento systém se nazývá charakteristický systém příslušný k rovnici (4), jeho trajektorie se nazývají
charakteristiky rovnice (4). Charakteristiky jsou vrstevnicemi řešení u rovnice (4).
Dělením rovnic charakteristického systému (6) dostaneme charakteristickou rovnici příslušnou
k rovnici (4); charakteristická rovnice má tvar
dy
dx
=
b(x, y)
a(x, y)
(7)
a je to obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu. Budeme předpokládat, že tato rovnice má
řešení. Poněvadž se jedná o rovnici prvního řádu, závisí její obecné řešení na jedné konstantě.
Tuto konstantu osamostatníme na pravé straně rovnosti vyjadřující řešení charakteristické rovnice
(7) a dostaneme
v(x, y) = const; (8)
přitom v je diferencovatelná funkce definovaná na množině Ω. Tuto skutečnost můžeme vyjádřit
také jinak: charakteristickou rovnici (7) přepíšeme ve tvaru
b(x, y)dx − a(x, y)dy = 0; (9)
funkce v je tedy kmenovou funkcí diferenciálu na levé straně. Funkce v se nazývá první integrál
rovnice (4).
První integrál rovnice (4) lze také najít eliminací parametru s v řešení charakteristického
systému (6), jinak řečeno převedením parametrické rovnice křivky na rovnici obecnou. Vrstevnice
řešení u parciální diferenciální rovnice (4) mají tedy implicitní vyjádření (8), konstanta na pravé
straně představuje hodnotu funkce u na příslušné vrstevnici. Označme tuto hodnotu symbolem
Φ v(x, y) .
Provedenými úvahami jsme vlastně našli algoritmus hledání řešení parciální diferenciální
rovnice (4): K rovnici přiřadíme charakteristický systém (6) nebo charakteristickou rovnici (7),
který (nebo kterou) vyřešíme a najdeme první integrál rovnice (4) ve tvaru (7). Pak vezmeme
libovolnou diferencovatelnou funkci Φ jedné proměnné a položíme
u(x, y) = Φ v(x, y) . (10)
Ještě je potřeba udělat zkoušku, že takto nalezená funkce u je skutečně řešením parciální rovnice
(4). Jinak řečeno, dokázat následující:
Tvrzení 1. Nechť v : Ω → R je diferencovatelná funkce taková, že rovnost (8) je implicitním
zápisem trajektorií charakteristického systému (6) (nebo ekvivalentně: implicitním zápisem řešení
charakteristické rovnice (7)). Je-li Φ libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné taková, že
její definiční obor obsahuje obor hodnot funkce v, pak funkce u definovaná vztahem (10) je řešením
rovnice (4).
3
Důkaz: Pro řešení x = x(s), y = y(s) charakteristického systému platí
v x(s), y(s) = const.
Derivováním této rovnosti podle parametru s dostaneme
0 =
d
ds
v x(s), y(s) =
∂v x(s), y(s)
∂x
dx(s)
ds
+
∂v x(s), y(s)
∂y
dy(s)
ds
=
=
∂v x(s), y(s)
∂x
a x(s), y(s) +
∂v x(s), y(s)
∂y
b x(s), y(s) ,
stručně
a(x, y)vx(x, y) + b(x, y)vy(x, y) = 0.
Dále
∂u(x, y)
∂x
=
∂Φ v(x, y)
∂x
= Φ′
v(x, y) vx(x, y),
∂u(x, y)
∂y
= Φ′
v(x, y) vy(x, y),
takže
a(x, y)
∂u(x, y)
∂x
+ b(x, y)
∂u(x, y)
∂y
= a(x, y)vx(x, y) + b(x, y)vy(x, y) Φ′
v(x, y) = 0.
Dostali jsme množinu řešení rovnice (4) ve tvaru (10). Prvky této množiny závisí na diferencovatelných
funkcích, nikoliv na konstantách, jak tomu je v případě obyčejných diferenciálních
rovnic. Odtud plyne, že (vektorový) prostor řešení lineární homogenní parciální diferenciální rovnice
nemůže mít konečnou dimensi. Navíc zatím nevíme, zda rovnice (4) nemá nějaké další řešení,
které není uvedeného tvaru.
1.2.1 Příklad.
ux − 6x2
uy = 0.
Charakteristická rovnice je
dy
dx
= −6x2
a její řešení je bezprostředně dáno integrací pravé strany,
y = −2x3
+ const. První integrál dané rovnice tedy můžeme zapsat ve tvaru
2x3
+ y = const
a její řešení je dáno rovností
u(x, y) = Φ(2x3
+ y),
kde Φ je libovolná diferencovatelná funkce.
Zkouška:
∂u(x, y)
∂x
=
∂
∂x
Φ(2x3
+ y) = Φ′
(2x3
+ y) · 6x2
,
∂u(x, y)
∂y
=
∂
∂y
Φ(2x3
+ y) = Φ′
(2x3
+ y)
takže
∂u(x, y)
∂x
− 6x2 ∂u(x, y)
∂y
= 6x2
Φ′
(2x3
+ y) − 6x2
Φ′
(2x3
+ y) = 0.
4
1.3 Kanonický tvar a řešení rovnice a(x, y)ux + b(x, y)uy = f(x, y, u)
Uvažujme parciální diferenciální rovnici prvního řádu ve tvaru
a(x, y)ux + b(x, y)uy = f(x, y, u). (11)
Budeme hledat nějakou transformaci nezávisle proměnných, která tuto rovnici nějak zjednoduší.
Současně budeme chtít, aby tato transformace nebyla příliš komplikovaná. Ponecháme tedy první
souřadnici (nezávisle proměnnou x) beze změny a transformujeme pouze souřadnici druhou (nezávisle
proměnnou y). Jinými slovy, původní souřadnice x, y transformujeme na nové souřadnice
ξ, η tak, že
ξ = x, η = ϕ(x, y), (12)
Přitom ϕ je diferencovatelná funkce dvou proměnných. Aby se jednalo skutečně o transformaci
prostoru R2
do R2
, musí být zobrazení φ : R2
→ R2
, definované vztahem
φ(x, y) =
ξ
η
=
x
ϕ(x, y)
,
regulární (invertovatelné). Existuje tedy inversní zobrazení φ−1
: R2
→ R2
; jeho druhou složku
označíme χ, je to diferencovatelná funkce dvou proměnných. Přitom funkce ϕ a χ splňují rovnosti
χ(ξ, η) = y, ϕ(x, y) = η, podrobněji
χ x, ϕ(x, y) = y, ϕ ξ, χ(ξ, η) = η. (13)
Poznamenejme, že k tomu, aby zobrazení φ bylo regulární, stačí, aby funkce ϕ měla nenulovou
parciální derivaci podle druhé proměnné, tj. ϕy = 0.
Nyní budeme rovnici (11) transformovat do nových nezávisle proměnných pomocí transformace
(12). Parciální derivace hledané funkce u podle původních proměnných vyjádříme v nových
proměnných pomocí „řetězového pravidla pro derivování složených funkcí:
ux =
∂u
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂u
∂η
∂η
∂x
= uξ + uηϕx, uy =
∂u
∂ξ
∂ξ
∂y
+
∂u
∂η
∂η
∂y
= uηϕy.
Po dosazení do levé strany řešené rovnice (11) tedy dostaneme
aux + buy = auξ + (aϕx + bϕy)uη.
Pokud funkce ϕ bude taková, že výraz v závorce vymizí, daná rovnice se transformuje na rovnici,
v níž vystupuje pouze jedna parciální derivace. Požadujeme tedy aϕx + bϕy = 0, tj.
b
a
= −
ϕx
ϕy
.
Výraz −
ϕx
ϕy
ovšem vyjadřuje obyčejnou derivaci funkce y = y(x) zadané implicitně rovnicí
ϕ(x, y) = const.
Funkce y = y(x) zadaná touto rovnicí tedy má derivaci tvaru
dy
dx
=
b(x, y)
a(x, y)
.
Porovnáním s (7) vidíme, že transformační funkce ϕ současně implicitně vyjadřuje charakteristiky
rovnice (4).
Transformovaná rovnice má tvar auξ = f. Funkce a je podle předpokladu nenulová, proto
můžeme rovnici dále upravit, vyjádřit parciální derivaci uξ:
uξ =
f
a
u.
5
Dostáváme tak první závěr: Transformace nezávisle proměnných (12), kde funkce ϕ představuje
implicitní zápis (8) charakteristik rovnice (4), převádí rovnici (11) na rovnici
uξ = F(ξ, η, u); (14)
přitom
F(ξ, η, u) =
f ξ, χ(ξ, η), u
a ξ, χ(ξ, η)
,
kde funkce χ je definována rovnostmi (13). Rovnice (14) se nazývá kanonický tvar rovnice (11).
V rovnici (14) není derivace hledané funkce u podle proměnné η. Hledanou funkci tedy můžeme
chápat jako funkci jedné nezávisle proměnné ξ a její parciální derivaci uξ chápat jako derivaci
obyčejnou. V tomto pojetí bude nezávisle proměnná η mít roli parametru. Hledáme tedy řešení
obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu s parametrem η
du
dξ
= F(ξ, η, u).
Pokud se nám podaří tuto rovnici vyřešit, tj. najít funkci u = u(ξ, η), která ji splňuje, dostaneme
zpětnou substitucí nezávisle proměnných řešení původní rovnice (11). Přitom je potřeba mít na
paměti, že integrační konstanta objevující se při řešení obyčejné rovnice, bude záviset na parametru
η. Ve vyjádření řešení rovnice (11) se tedy bude vyskytovat nějaká neurčená funkce proměnné η,
tj. v původních nezávisle proměnných nějaká funkce argumentu ϕ(x, y). To je v souladu s výsledky
uvedenými v 1.2.
1.3.1 Příklad
Hledejme řešení rovnice yux + xuy = u2
+ 1 v kladném kvadrantu.
Příslušná charakteristická rovnice je
dy
dx
=
x
y
a její řešení je implicitně dáno rovností x2
− y2
= const. Transformace
ξ = x, η = x2
− y2
převede danou rovnici na kanonický tvar
ξ2 − η uξ = u2
+ 1.
Tuto rovnici budeme považovat za obyčejnou. Upravíme ji na tvar explicitní obyčejné diferenciální
rovnice s parametrem η
du
dξ
=
u2
+ 1
ξ2 − η
a vidíme, že se jedná o rovnici se separovanými proměnnými. Její řešení je implicitně dáno rovností
du
u2 + 1
=
dξ
ξ2 − η
.
Integrací dostaneme implicitní tvar řešení rovnice
arctg u = ln ξ + ξ2 − η + C(η),
kde C je integrační konstanta, která závisí na parametru η. V tomto případě můžeme funkci u
vyjádřit explicitně,
u(ξ, η) = tg C(η) + ln ξ + ξ2 − η .
6
Návratem k původním proměnným x, y dostaneme řešení dané rovnice ve tvaru
u(x, y) = tg C(x2
− y2
) + ln(x + y) ,
kde C je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné.
Zkouškou se můžeme přesvědčit, že se skutečně jedná o řešení dané rovnice. Parciální derivace
nalezené funkce u jsou1
ux(x, y) =
1
cos2 (C(x2 − y2) + ln(x + y))
2xC′
(x2
− y2
) +
1
x + y
,
uy(x, y) =
1
cos2 (C(x2 − y2) + ln(x + y))
−2yC′
(x2
− y2
) +
1
x + y
,
takže platí
yux(x, y) + xuy(x, y) =
1
cos2 (C(x2 − y2) + ln(x + y))
=
=
sin2
C(x2
− y2
) + ln(x + y) + cos2
C(x2
− y2
) + ln(x + y)
cos2 (C(x2 − y2) + ln(x + y))
=
= tg2
C(x2
− y2
) + ln(x + y) + 1 = u2
+ 1
a rovnice je splněna.
Řešení u = u(ξ, η) rovnice (14) v kanonickém tvaru obecně nelze explicitně vyjádřit. V některých
případech, např. jedná-li se o rovnici se separovatelnými proměnnými nebo o rovnici exaktní,
můžeme její řešení vyjádřit alespoň implicitně. Takové řešení závisí na integrační konstantě Φ,
která ovšem sama závisí na parametru η. Řešení rovnice (14) tak zapíšeme ve tvaru
ψ(ξ, η, u) = Φ(η);
přitom ψ je diferencovatelná funkce tří proměnných, Φ je diferencovatelná funkce jedné proměnné.
Návratem k původním nezávisle proměnným x, y dostaneme implicitní tvar řešení rovnice (11)
ψ x, ϕ(x, y), u = Φ ϕ(x, y) .
Nejjednodušší je situace v případě lineární rovnice. Kanonický tvar rovnice (2) je
uξ = P(ξ, η)u + Q(ξ, η); (15)
přitom
P(ξ, η) = −
c ξ, χ(ξ, η)
a ξ, χ(ξ, η)
, Q(ξ, η) =
g ξ, χ(ξ, η)
a ξ, χ(ξ, η)
,
kde funkce χ je definována rovnostmi (13). Hledáme tedy řešení obyčejné lineární diferenciální
rovnice prvního řádu
du
dξ
= P(ξ, η)u + Q(ξ, η).
Její řešení je tvaru
u(ξ, η) = const · exp



ξ
ξ0
P(s, η)ds


 +
ξ
ξ0
Q(s, η) exp


ξ
s
P(σ, η)dσ

 ds.
1Poznamenejme, že zápis sin2 α označuje druhou mocninu funkční hodnoty goniometrické funkce sinus v bodě
α, nikoliv dvakrát iterovanou funkci sinus; podobně pro funkce cosinus a tangens.
7
Integrační konstanta samozřejmě může záviset na parametru η, proto ji zapíšeme jako Φ(η). Řešení
lineární parciální diferenciální rovnice v kanonickém tvaru (15) je tedy dáno formulí
u(ξ, η) = Φ(η) exp



ξ
ξ0
P(s, η)ds


 +
ξ
ξ0
Q(s, η) exp


ξ
s
P(σ, η)dσ

 ds, (16)
kde Φ je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné, ξ0 je nějaké reálné číslo; ve většině
případů lze položit ξ0 = 0.
Řešení lineární rovnice (2) dostaneme z formule (16) návratem k původním nezávisle proměnným
x, y. Pro funkci P najdeme s využitím druhé rovnosti (12) vyjádření
P(s, η) = −
c s, χ(s, η)
a s, χ(s, η)
= −
c s, χ(s, ϕ(x, y))
a s, χ(s, ϕ(x, y))
,
analogicky vyjádříme funkci Q. Výsledek nyní můžeme zformulovat ve tvaru věty:
Věta 1. Nechť ϕ : Ω → R je diferencovatelná funkce taková, že rovnost (8) je implicitním zápisem
trajektorií charakteristického systému (6) (nebo ekvivalentně: implicitním zápisem řešení
charakteristické rovnice (7)) a χ : Ω → R je funkce taková, že jsou splněny podmínky (13)2
.
Označme
p(x, y, s) = −
c s, χ(s, ϕ(x, y))
a s, χ(s, ϕ(x, y))
, q(x, y, s) =
g s, χ(s, ϕ(x, y) )
a s, χ(s, ϕ(x, y) )
.
Je-li Φ diferencovatelná funkce jedné proměnné, jejíž definiční obor obsahuje obor hodnot funkce
ϕ, pak funkce u definovaná rovností
u(x, y) = Φ ϕ(x, y) exp


x
x0
p(x, y, s)ds

 +
x
x0
q(x, y, s) exp


x
s
p(x, y, σ)dσ

 ds
je řešením rovnice (2); číslo x0 je libovolné takové, že integrály na pravé straně jsou konečné pro
všechny dvojice (x, y) ∈ Ω.
Důkaz provedeme přímým výpočtem. Je to pěkné cvičení na derivování vícenásobně složených
funkcí více proměnných.
Výpočty provedené před Větou 1 ukazují, če pokud má charakteristická rovnice (7) řešení, pak
má řešení i lineární parciální rovnice (2) a toto řešení má tvar uvedený ve Větě 1. Existence řešení
lineární parciální rovnice v tomto tvaru je tedy důsledkem existence řešení příslušné charakteristické
rovnice, tj. obyčejné diferenciální rovnice.
Při řešení konkrétní lineární homogenní parciální diferenciální rovnice prvního řádu ve dvou
nezávisle proměnných bývá přehlednější rovnici transformovat na kanonický tvar, rovnici v kanonickém
tvaru vyřešit a zpětně transformovat nezávisle proměnné, než používat vzorec z Věty 1.
1.3.2 Příklad.
yux − xuy = x2
+ y2
Rovnici budeme uvažovat na množině G = (x, y) ∈ R2
: x ≥ 0, y ≥ 0 , na jejímž vnitřku jsou
oba koeficienty a(x, y) = y, b(x, y) = −x nenulové. Příslušná charakteristická rovnice je
dy
dx
= −
x
y
.
2Všimněte si, že na levých stranách rovností (13) nejsou funkce dvou proměnných, ale funkce tří proměnných,
přičemž hodnoty první a druhé proměnné jsou shodné.
8
Je to obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými a její řešení je implicitně dáno
rovností x2
+ y2
= const. Zavedeme tedy transformaci
ξ = x, η = x2
+ y2
.
Pak na množině G je
y = η − ξ2, ξx = 1, ξy = 0, ηx = 2x = 2ξ, ηy = 2y = 2 η − ξ2,
takže
ux = uξξx + uηηx = uξ + 2ξuη, uy = uξξy + uηηy = 2 η − ξ2 uη.
Po dosazení do řešené rovnice dostaneme
η − ξ2 uξ + 2ξuη − 2ξ η − ξ2 uη = ξ2
+ η − ξ2
a odtud snadnou úpravou získáme kanonický tvar
uξ =
η
η − ξ2
.
Tuto jednoduchou obyčejnou rovnici řešíme integrací podle proměnné ξ,
u =
η
η − ξ2
dξ = η arcsin
ξ
√
η
+ const.
Integrační konstanta závisí na parametru η, řešení rovnice v kanonickém tvaru je
u(ξ, η) = η arcsin
ξ
√
η
+ Φ(η),
kde η je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. Návratem k původním proměnným
dostaneme řešení dané rovnice ve tvaru
u(x, y) = (x2
+ y2
) arcsin
x
x2 + y2
+ Φ(x2
+ y2
).
Ještě můžeme využít skutečnosti, že pro x > 0, y > 0 je
arcsin
x
x2 + y2
= arctg
x
y
,
a výsledek zapsat v trochu kratším tvaru
u(x, y) = (x2
+ y2
) arctg
x
y
+ Φ(x2
+ y2
).
Ukážeme ještě řešení dané rovnice přímým dosazováním do formulí ve Větě 1. Máme
a(x, y) = y, b(x, y) = −x, c(x, y) = 0, g(x, y) = x2
+ y2
.
Implicitní zápis řešení charakteristické rovnice je x2
+ y2
= const a tedy
ϕ(x, y) = x2
+ y2
.
Tvar funkce χ dostaneme ze druhé rovnosti (13). Má platit
η = ϕ ξ, χ(ξ, η) = ξ2
+ χ(ξ, η)2
,
takže χ(ξ, η) = η − ξ2. Dále p(x, y, s) = 0 a
q(x, y, s) =
g s, χ(s, ϕ(x, y))
a s, χ(s, ϕ(x, y))
=
s2
+ χ s, ϕ(x, y)
2
χ s, ϕ(x, y)
=
s2
+ ϕ(x, y) − s2
ϕ(x, y) − s2
=
x2
+ y2
x2 + y2 − s2
.
9
Zvolíme x0 = 0 a řešení dané rovnice rovnice dostaneme podle Věty 1 ve tvaru
u(x, y) = Φ(x2
+ y2
) +
x
0
x2
+ y2
x2 + y2 − s2
ds = Φ(x2
+ y2
) + (x2
+ y2
) arcsin
x
x2 + y2
,
tedy až na pořadí sčítanců ve stejném, jako při předchozím způsobu řešení rovnice.
Rovnici (11) jsme transformovali do nových nezávisle proměnných tak, že jsme ponechali první
souřadnici nezměněnu a za druhou jsme vzali funkci vyjadřující charakteristiku rovnice. To není
jediná možnost, jak parciální rovnici (11) transformovat na kanonický tvar, tj. na obyčejnou rovnici
s parametrem. Stejně dobře můžeme ponechat druhou souřadnici a první nahradit charakteristikou.
1.3.3 Příklad.
2ux + 3uy − xu = 0
Charakteristická rovnice je
dy
dx
= 3
2 ,
její řešení y = 3
2 x + const můžeme přepsat ve tvaru
3x − 2y = const;
to je zápis charakteristiky. Zavedeme transformaci
ξ = 3x − 2y, η = y.
Pak ux = 3uξ, uy = −2uξ + uη, x = 1
3 (ξ + 2η). Levá strana dané rovnice se tedy transformuje na
tvar
2ux + 3uy − xu = 6uξ − 6uξ + 3uη − 1
3 (ξ + 2η)u = 3 uη − 1
9 (ξ + 2η)u .
Kanonický tvar dané rovnice je
∂u
∂η
= 1
9 (ξ + 2η)u.
Tato rovnice má řešení
du
u
= 1
9 (ξ + 2η)dη, tj. ln u = 1
9 (ξη + η2
) + const, neboli u = const · e
1
9 (ξη+η2
)
.
Řešení rovnice v kanonickém tvaru je tedy u = Φ(ξ)e
1
9 η(ξ+η)
a návratem k původním proměnným
dostaneme řešení dané rovnice
u(x, y) = Φ(3x − 2y)e
1
9 y(3x−2y+y)
= Φ(3x − 2y)
9
ey(3x−y).
1.4 Okrajová úloha pro rovnici a(x, y)ux + b(x, y)uy = f(x, y, u)
Uvažujme parciální diferenciální rovnici (11) lineární v prvních derivacích a jednu konkrétní charakteristiku
rovnice (4) s nulovou pravou stranou; tato charakteristika má parametrické vyjádření
(5) a je řešením autonomního systému obyčejných diferenciálních rovnic (6) s počátečními pod-
mínkami
x(0) = x0, y(0) = y0.
Nechť funkce u je řešením rovnice (11). Pak na uvažované charakteristice platí
d
ds
u x(s), y(s) = ux x(s), y(s)
dx(s)
ds
+ uy x(s), y(s)
dy(s)
ds
=
= a x(s), y(s) ux x(s), y(s) + b x(s), y(s) uy x(s), y(s) = f x(s), y(s), u x(s), y(s) .
10
Odtud vidíme, že prostorová křivka, jejíž parametrické vyjádření je řešením autonomního systému
dx
ds
= a(x, y),
dy
ds
= b(x, y),
du
ds
= f(x, y, u)
(17)
s počátečními podmínkami
x(0) = x0, y(0) = y0, u(0) = u0 = u(x0, y0), (18)
je incidentní s grafem řešení rovnice (11), tj. leží na grafu funkce u.
Zadáme-li tedy hodnotu u0 řešení u rovnice (11) v nějakém bodě (x0, y0) charakteristiky,
máme hodnoty řešení u rovnice (11) ve všech bodech této charakteristiky jako řešení autonomního
systému obyčejných diferenciálních rovnic (17) s počátečními podmínkami (18). Systém (17) charakterizuje
řešení rovnice (2), proto se nazývá charakteristický systém příslušný k rovnici (2), jeho
trajektorie můžeme nazvat charakteristické křivky rovnice (11).
Jedno konkrétní řešení (partikulární řešení) rovnice (11) získáme tak, že na každé charakteristice
zadáme právě jednu funkční hodnotu. Jinak řečeno, zadáme hodnoty řešení na nějaké rovinné
křivce, která protíná každou charakteristiku právě jednou. Takové křivce říkáme okraj pro rovnici
(11).
Okraj může být zadán parametricky rovnicemi
x = X(σ),
y = Y (σ),
kde parametr σ probíhá nějaký interval J. Pro každou hodnotu parametru σ ∈ J zadáme hodnotu
řešení u = g(σ). Rovnosti
x = X(σ), y = Y (σ), u = g(σ), σ ∈ J (19)
lze interpretovat jako parametrické vyjádření prostorové křivky, která má ležet na grafu řešení u
rovnice (11). Tyto rovnosti nazýváme okrajová podmínka pro rovnici (11).
Okrajová úloha pro rovnici (11) je úloha najít řešení u = u(x, y) rovnice (11), které splňuje
okrajovou podmínku (19), tj. řešení, pro které platí
u X(σ), Y (σ) = g(σ)
pro každou hodnotu parametru σ ∈ J.
Okrajovou úlohu můžeme řešit tak, že metodami popsanými v 1.3 najdeme řešení rovnice
závisející na obecné funkci Φ a dosadíme do něho okrajovou podmínku. Dostaneme tak funkcionální
rovnici pro neznámou funkci Φ; tuto funkci lze v některých případech z příslušné rovnice uhodnout.
1.4.1 Příklad
Hledejme řešení rovnice
2ux + 3uy = xu,
které splňuje podmínku
u(x, 0) = x2
pro každé x ∈ R. Zadáváme tedy hodnoty řešení na ose x. Okrajovou podmínku můžeme parametricky
zapsat jako
x = σ, y = 0, u = σ2
, σ ∈ R.
11
Řešení dané rovnice jsme našli v příkladu na str. 10 ve tvaru
u(x, y) = Φ(3x − 2y)
9
√
e3xy−y2
.
Aby toto řešení splnilo okrajovou podmínku, musí platit
x2
= u(x, 0) = Φ(3x)
9
√
e0 = Φ(3x).
Funkce Φ je tedy řešením jednoduché funkcionální rovnice Φ(3x) = x2
a snadno uhodneme, že
funkci Φ můžeme zadat předpisem Φ(ξ) = 1
3 ξ
2
. Pro řešení dané okrajové úlohy tak dostáváme
formulku
u(x, y) = (x − 2
3 y)2 9
√
e3xy−y2
.
Řešení funkcionální rovnice však obecně není snadná úloha. Proto může být výhodné při řešení
okrajové úlohy (11), (19) postupovat jinak.
Najdeme konkrétní charakteristiku, která protíná okraj v bodě daném konkrétní hodnotou
parametru σ. To znamená, že rovnosti v (19) chápeme jako počáteční podmínky pro autonomní
systém obyčejných diferenciálních rovnic (17), tj. najdeme řešení systému rovnic
dx
ds
= a(x, y),
dy
ds
= b(x, y),
du
ds
= f(x, y, u)
s počátečními podmínkami
x(0) = X(σ), y(0) = Y (σ), u(0) = g(σ).
Takové řešení počáteční úlohy pro autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic tedy závisí
na nezávisle proměnné s a na parametru σ, je obecně tvaru
x = x(s, σ), y = y(s, σ), u = u(s, σ).
Pro řešení okrajové úlohy představuje parametr σ i nezávisle proměnná s pouze pomocné parametry,
které je potřeba eliminovat. Proto budeme první dvě rovnosti chápat jako dvě rovnice pro
dvě neznámé s a σ; tyto neznámé vyjádříme pomocí proměnných x, y, tj. najdeme s = s(x, y),
σ = σ(x, y), a dosadíme je do třetí rovnosti. Dostaneme tak řešení okrajové úlohy ve tvaru
u(x, y) = u s(x, y), σ(x, y) .
1.4.2 Příklad
Hledejme řešení rovnice
yux − xuy = x2
+ y2
,
(což je lineární rovnice řešená v příkladu na str. 8) s okrajovou podmínkou
u(x, 0) = x2
, x ≥ 0.
Zadáváme tedy hodnoty řešení na kladné poloose x. Všechny funkce, které se objevují v dané
rovnici, jsou definovány na celém prostoru R2
. Budeme hledat řešení, které je definované na co
největší podmnožině R2
, nikoliv pouze v prvním kvadrantu jako v zmíněném příkladu.
Parametrické vyjádření okrajové podmínky je
x = σ, y = 0, u = σ2
, σ ≥ 0.
12
Řešíme charakteristický systém
dx
ds
= y,
dy
ds
= −x,
du
ds
= x2
+ y2
s počátečními podmínkami
x(0) = σ, y(0) = 0, u(0) = σ2
.
První dvě rovnice představují lineární systém obyčejných diferenciálních rovnic pro neznýmé funkce
x a y. Tento systém vyřešíme a řešení dosadíme do třetí rovnice, kterou pak vyřešíme prostou
integrací. Dostaneme tak řešení charakteristického systému ve tvaru
x = σ sin s +
π
2
, y = σ cos s +
π
2
, u = (s + 1)σ2
. (20)
První dvě rovnosti nejprve umocníme na druhou a sečteme, dostaneme
σ2
= x2
+ y2
,
poté je vydělíme a dostaneme
x
y
=
sin s + π
2
cos s + π
2
= tg s +
π
2
.
Tato jednoduchá goniometrická rovnice pro neznámou s + π
2 má řešení
s +
π
2
= arctg
x
y
+ kπ, kde k ∈ Z,
tedy s = arctg
x
y
+ (2k − 1)π
2 . Dosazením do pravé strany třetí rovnosti v (20) dostaneme
x2
+ y2
1 + (2k − 1)
π
2
+ arctg
x
y
.
V tomto vyjádření však zůstává neurčený parametr k a navíc tato formule je pro y = 0 nedefinovaná,
dokonce ani nemá limitu pro y → 0. Pro x > 0 totiž platí
lim
y→0+
arctg
x
y
=
π
2
a lim
y→0−
arctg
x
y
= −
π
2
.
Aby byla splněna okrajová podmínka, mělo by pro x > 0 platit
x2
= lim
y→0+
x2
+ y2
1 + (2k − 1)
π
2
+ arctg
x
y
= x2
1 + (2k − 1)
π
2
+
π
2
= x2
(1 + kπ),
tedy k = 0, a současně
x2
= lim
y→0−
x2
+ y2
1 + (2k − 1)
π
2
+ arctg
x
y
= x2
1 + (k − 1)π ,
tedy k = 1. Jinak řečeno, na množině (x, y) ∈ R2
: x > 0, y > 0 je řešení dané okrajové úlohy
tvaru
u(x, y) = x2
+ y2
1 −
π
2
+ arctg
x
y
13
Obrázek 1: Řešení rovnice yux −xuy = x2
+y2
s okrajovou podmínkou u(x, 0) = x2
, x ≥ 0. Řešení
je dáno parametricky rovnostmi (20), hodnoty parametrů na obrázku jsou s ∈ [−6, 6], σ ∈ [0, 3
2 ].
a na množině (x, y) ∈ R2
: x > 0, y < 0 tvaru
u(x, y) = x2
+ y2
1 +
π
2
+ arctg
x
y
.
Tato vyjádření lze jednotně zapsat formulí
u(x, y) = x2
+ y2
1 + arctg
x
y
−
π
2
sgn y .
Takto definovaná funkce je řešením dané okrajové úlohy na množině R2
{(x, 0) : x < 0}.
Podívejme se ještě jednou na parametrické vyjádření řešení dané úlohy. Rovnosti (20) jsou
parametrickým vyjádřením plochy v prostoru, která může připomínat šroubovou plochu s osou
šroubování u (při fixované hodnotě σ se jedná o šroubovici, tj. prostorovou křivku, která „obíhá
osu u, celou ji oběhne při nárůstu parametru s o hodnotu 2π a po jedné „otočce vystoupá
o hodnotu σ2
). Plocha je znázorněna na Obrázku 1
Řešení charakteristického systému s počátečními podmínkami tedy vyjadřuje diferencovatelnou
varietu, která je lokálně grafem řešení rovnice, křivka vyjadřující okrajovou podmínku přitom na
této varietě leží.
1.5 Okrajová úloha pro obecnou rovnici
Budeme hledat řešení rovnice (1) s okrajovou podmínkou (19). Abychom zjednodušili zápis, zavedeme
označení
p =
∂u
∂x
, q =
∂u
∂y
(21)
a rovnici zapíšeme jako
F(x, y, u, p, q) = 0. (22)
Pro řešení rovnic lineárních v prvních derivacích se ukázal jako užitečný pojem charakteristiky.
Je to rovinná křivka s parametrickým vyjádřením
x = x(s), y = y(s), s ∈ I,
která je řešením charakteristického systému, tj. autonomního systému obyčejných diferenciálních
rovnic
dx
ds
= a(x, y),
dy
ds
= b(x, y).
14
V případě rovnice (4) je na charakteristice řešení konstantní. V případě rovnice (11) s nenulovou
pravou stranou jsme zavedli charakteristickou křivku v prostoru. Je to křivka, která leží na grafu
řešení rovnice (11) a její průmět do roviny souřadnic x, y je charakteristikou. Jinak řečeno, charakteristická
křivka určuje v každém bodě x(s), y(s) charakteristiky funkční hodnotu u x(s), y(s)
řešení rovnice (11). Charakteristická křivka je trajektorií autonomního systému
dx
ds
= a(x, y),
dy
ds
= b(x, y),
du
ds
= f(x, y, u).
Rovnici (11) lineární v derivacích přepíšeme s použitím označení (21) ve tvaru
a(x, y)p + b(x, y)q − f(x, y, u) = 0.
V případě této rovnice je tedy F(x, y, u, p, q) = a(x, y)p + b(x, y)q − f(x, y, u) a platí
a(x, y) =
∂F
∂p
(x, y, u, p, q), b(x, y) =
∂F
∂q
(x, y, u, p, q),
z čehož dále plyne
f(x, y, u) = p
∂F
∂p
(x, y, u, p, q) + q
∂F
∂q
(x, y, u, p, q),
neboť je splněna rovnice (11). Charakteristický systém příslušný k rovnici (11) tedy můžeme
stručně zapsat
dx
ds
= Fp,
dy
ds
= Fq,
du
ds
= pFp + qFq. (23)
Tyto výsledky zobecníme pro rovnici (1).
Řešení obecné rovnice vyjádříme tak, že každému bodu charakteristiky přiřadíme hodnotu řešení
u a hodnoty obou parciálních derivací p a q. Dostaneme tak křivku v pětirozměrném prostoru,
která má parametrické vyjádření
x = x(s), y = y(s), u = u(s), p = p(s), q = q(s), s ∈ I; (24)
nazýváme ji charakteristický pruh rovnice (1). Ten samozřejmě splňuje rovnici (22), tj.
F x(s), y(s), u(s), p(s), q(s) = 0, (25)
a budeme požadovat, aby funkce x = x(s), y = y(s), u = u(s) také splňovaly systém obyčejných
diferenciálních rovnic (23). Derivováním rovnosti (25) podle parametru s dostaneme
0 =
d
ds
F x(s), y(s), u(s), p(s), q(s) = Fx
dx
ds
+ Fy
dy
ds
+ Fu
du
ds
+ Fp
dp
ds
+ Fq
dq
ds
=
= FxFp + FyFq + Fu(pFp + qFq) + Fp
dp
ds
+ Fq
dq
ds
=
= Fx + pFu +
dp
ds
Fp + Fy + qFu +
dq
ds
Fq.
Tato rovnost bude splněna zejména tehdy, když
dp
ds
= − (Fx + pFu) ,
dq
ds
= − (Fy + qFu) . (26)
Provedené úvahy naznačují, že za charakteristický systém příslušný k rovnici (22) můžeme považovat
systém obyčejných diferenciálních rovnic (23), (26).
Ještě určíme počáteční podmínky tak, aby řešení charakteristického systému vyjadřovalo řešení
počáteční úlohy (1), (19). Stejně, jako v případě rovnice lineární v derivacích položíme
x(0) = x0 = X(σ), y(0) = y0 = Y (σ), u(0) = u0 = g(σ).
15
Počáteční hodnota charakteristického pruhu musí splňovat rovnici (22), tj.
F(x0, y0, u0, p0, q0) = 0. (27)
Dále pro počáteční hodnoty souřadnic p a q charakteristického pruhu platí
p0 = ux(x0, y0) = ux X(σ), Y (σ) , q0 = uy(x0, y0) = uy X(σ), Y (σ) .
Nyní přepíšeme třetí rovnost z okrajové podmínky (19) ve tvaru g(σ) = u X(σ), Y (σ) a zderivujeme
podle parametru σ. Dostaneme
g′
(σ) = p0X′
(σ) + q0Y ′
(σ). (28)
Dosažené výsledky můžeme shrnout jako algoritmus pro hledání řešení okrajové úlohy (1),
(19): Rovnici přepíšeme do tvaru (22) a přiřadíme jí charakteristický systém obyčejných autonomních
rovnic (23), (26) s počátečními podmínkami
x(0) = x0 = X(σ), y(0) = y0 = Y (σ), u(0) = u0 = g(σ), p(0) = p0, q(0) = q0,
kde hodnoty p0 a q0 jsou řešením soustavy rovnic (27), (28). První tři složky
x = x(s, σ), y = y(s, σ), u = u(s, σ) (29)
řešení počáteční úlohy pro charakteristický systém vyjadřují parametrické vyjádření (grafu) řešení
u dané okrajové úlohy. Pokud lze z prvních dvou rovností (29) vyjádřit parametry s, σ pomocí
souřadnic x, y, tj. vyjádřit s = s(x, y), σ = σ(x, y), dosadíme tyto výrazy do třetí rovnosti (29) a
dostaneme tak explicitní vyjádření řešení dané okrajové úlohy.
1.5.1 Příklad
Budeme hledat řešení rovnice
u2
x − u2
y = 4u,
které splňuje okrajovou podmínku
u(cos σ, sin σ) = cos 2σ
V tomto případě je
F(x, y, u, p, q) = p2
− q2
− 4u,
takže
Fx = Fy = 0, Fu = −4, Fp = 2p, Fq = −2q,
pFp + qFq = 2p2
− 2q2
, Fx + pFu = −4p, Fy + qFu = −4q.
To znamená, že charakteristický systém je
dx
ds
= 2p,
dy
ds
= −2q,
du
ds
= 2(p2
− q2
),
dp
ds
= 4p,
dq
ds
= 4q.
Dvě poslední rovnice jsou obyčejné lineární homogenní rovnice s konstantním koeficientem. Jejich
řešení s obecnými počátečními podmínkami tedy je
p = p(s) = p0e4s
, q = q(s) = q0e4s
.
Tyto výrazy dosadíme do prvních tří rovnic charakteristického systému. Dostaneme
dx
ds
= 2p0e4s
,
dy
ds
= −2q0e4s
,
du
ds
= 2(p2
0 − q2
0)e8s
16
a po integraci
x = x0 + 1
2 p0 e4s
− 1 , y = y0 − 1
2 q0 e4s
− 1 , u = u0 + 1
4 (p2
0 − q2
0) e8s
− 1 . (30)
Parametrické vyjádření počátečních podmínek je X(σ) = cos σ, Y (σ) = sin σ, g(σ) = cos 2σ, takže
počáteční hodnoty x0, y0 a u0 jsou dány rovnostmi
x0 = cos σ, y0 = sin σ, u0 = cos 2σ (31)
a počáteční hodnoty p0 a q0 splňují rovnice (27), (28), konkrétně
4 cos2σ = p2
0 − q2
0, 2 sin 2σ = p0 sin σ − q0 cos σ. (32)
Bezprostředním dosazením ze třetí rovnosti (31) a první rovnosti (32) do třetí rovnosti (30) do-
staneme
u = e8s
cos 2σ. (33)
Soustava rovnic (32) je tvořena jednou lineární a jednou kvadratickou rovnicí pro dvě neznámé p0
a q0. Má tedy dvě řešení.
První řešení soustavy (32) je p0 = 2 cos σ, q0 = −2 sinσ. Dosazením do prvních dvou rovností
(30) dostaneme
x = e4s
cos σ, y = e4s
sin σ.
Umocněním těchto rovností na druhou a jejich odečtením dostaneme
x2
− y2
= e8s
cos 2σ.
Porovnáním se vztahem (33) vidíme, že jedno řešení dané okrajové úlohy je dáno výrazem
u(x, y) = x2
− y2
.
Druhé řešení soustavy algebraicko-goniometrických rovnic (32) je
p0 = −
2 cosσ(1 + 2 sin2
σ)
cos 2σ
, q0 = −
2 sinσ(1 + 2 cos2
σ)
cos 2σ
.
Po dosazení těchto výrazů a výrazů (31) do rovností (30) dostaneme
x = cos σ 1 −
1 + 2 sin2
σ
cos 2σ
e4s
− 1 =
cos σ
cos 2σ
2 − (1 + 2 sin2
σ)e4s
,
y = sin σ 1 +
1 + 2 cos2
σ
cos 2σ
e4s
− 1 =
sin σ
cos 2σ
−2 + (1 + 2 cos2
σ)e4s
.
Spolu s rovností (33) tak máme vyjádřeno druhé řešení dané úlohy v parametrickém tvaru. Vzhledem
k tomu, že ve jmenovateli zlomků je výraz cos 2σ, omezíme se na hodnoty parametru σ z
intervalu −1
4 π, 1
4 π .
Obě řešení dané úlohy jsou znázorněny na Obrázku 2. Tento příklad také ukazuje, že okrajová
úloha nemusí být jednoznačně řešitelná.
Významným speciálním případem obecné rovnice (1) je rovnice tvaru
a(x, y, u)
∂u
∂x
+ b(x, y, u)
∂u
∂y
= f(x, y, u), (34)
kde a, b jsou spojité funkce tří proměnných. Koeficienty a, b u prvních parciálních derivací hledané
funkce na této funkci závisí. Proto výraz na pravé straně rovnice (34) nevyjadřuje lineární operátor
na množině diferencovatelných funkcí dvou proměnných, ale je pouze „lineárnímu podobný nebo
„jakoby lineární . Proto se rovnice (34) nazývá quasilineární.
17
Obrázek 2: Řešení rovnice u2
x − u2
y = 4u s okrajovou podmínkou u(cos σ, sin σ) = cos 2σ. Okrajová
podmínka je vyznačena černou křivkou na „sedle , tj. na grafu řešení daného rovností u = x2
−y2
.
V případě quasilineární rovnice (34) je
F(x, y, u, p, q) = a(x, y, u)p + b(x, y, u)q − f(x, y, u),
takže Fp = a(x, y, u), Fq = b(x, y, u), pFp + qFq = f(x, y, u). První tři rovnice charakteristického
systému (23) příslušného k rovnici (34) jsou proto tvaru
dx
ds
= a(x, y, u),
dy
ds
= b(x, y, u),
du
ds
= f(x, y, u). (35)
Tyto rovnice nezávisí na (pomocných) souřadnicích p, q charakteristického pruhu. Pro řešení quasilineární
rovnice (34) tedy nepotřebujeme rovnice (26). Řešení rovnice (34) s okrajovou podmínkou
(19) v parametrickém tvaru tedy dostaneme jako řešení systému obyčejných diferenciálních rovnic
(35) s počátečními podmínkami
x(0) = X(σ), y(0) = Y (σ), u(0) = g(σ).
1.5.2 Příklad
Budeme hledat řešení rovnice
(y + u)
∂u
∂x
+ (u + x)
∂u
∂y
= x + y,
které splňuje okrajovou podmínku
u(x, −x) = 2x.
Charakteristický systém řešené rovnice je tvaru
dx
ds
= y+u,
dy
ds
= x + u,
du
ds
= x+y.
18
Jedná se tedy o systém lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantní maticí
A =


0 1 1
1 0 1
1 1 0

 .
Její vlastní čísla a příslušné vlastní vektory jsou
λ1,2 = −1, λ3 = 2, v1 =


1
0
−1

 , v2 =


0
1
−1

 , v3 =


1
1
1

 .
To znamená, že obecné řešení charakteristického systému je
x(s) = Ae2s
+ Be−s
,
y(s) = Ae2s
+ Ce−s
,
u(s) = Ae2s
− (B + C)e−s
.
Okrajovou podmínku přepíšeme do tvaru x = σ, y = −σ, u = 2σ, ze kterého dostaneme počáteční
podmínky pro charakteristický systém
x(0) = σ, y(0) = −σ, u(0) = 2σ.
Řešení charakteristického systému s těmito počátečními podmínkami je
x(s) = 2
3 σe2s
+ 1
3 σe−s
= 1
3 σe−s
2e3s
+ 1 ,
y(s) = 2
3 σe2s
− 5
3 σe−s
= 1
3 σe−s
2e3s
− 5 ,
u(s) = 2
3 σe2s
+ 4
3 σe−s
= 1
3 σe−s
2e3s
+ 4 .
Z prvních dvou rovností postupně vyjádříme
2e3s
=
5x + y
x − y
, 1
3 σe−s
=
x − y
6
a dosadíme do rovnosti třetí. Po úpravě pak dostaneme řešení dané úlohy
u(x, y) =
3x − y
2
.
2 Rovnice v n nezávisle proměnných
Budeme se zabývat rovnicí
F x1, x2, . . . , xn, u,
∂u
∂x1
,
∂u
∂x2
, . . . ,
∂u
∂xn
= 0, (36)
kde F je spojitá funkce 2n + 1 proměnných definovaná na nějaké množině G ⊆ R2n+1
, která má
neprázdný vnitřek. Při označení vektoru nezávisle proměnných x = (x1, x2, . . . , xn)T
a gradientu
∇u =
∂u
∂x1
,
∂u
∂x2
, . . . ,
∂u
∂xn
T
můžeme rovnici (36) zapsat úsporněji
F (x, u, ∇u) = 0.
Klasické (silné) řešení rovnice (36) je spojitě diferencovatelná funkce u definovaná na otevřené
množině Ω ⊆ Rn
, taková, že pro každé x ∈ Ω platí
x, u(x), ∇u(x) ∈ G a F x, u(x), ∇u(x) = 0.
19
2.1 Rovnice lineární v derivacích s nulovou pravou stranou
Rovnice
a1(x1, x2, . . . , xn)
∂u
∂x1
+ a2(x1, x2, . . . , xn)
∂u
∂x2
+ · · · + an(x1, x2, . . . , xn)
∂u
∂xn
= 0,
stručněji
n
i=1
ai(x)
∂u
∂xi
= 0 (37)
nebo ve vektorovém zápisu
a(x)T
∇u = 0
je nejjednodušším speciálním případem obecné rovnice (36). Jedná se o bezprostřední zobecnění
rovnice (4) do vícerozměrného prostoru. Proto budeme její řešení hledat způsobem, který je analogií
metody charakteristik popsané v 1.2. Rovnici (37) přiřadíme autonomní systém n obyčejných
diferenciálních rovnic tvaru
dxi
ds
= ai(x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2, . . . , n. (38)
Tento systém se nazývá charakteristický systém příslušný k rovnici (37) a jeho trajektorie se
nazývají charakteristiky rovnice (37). Charakteristika je hladká křivka v n-rozměrném prostoru,
lze ji zapsat parametrickými rovnicemi
xi = xi(s), s ∈ I, i = 1, 2, . . ., n, (39)
kde I je nějaký reálný interval. Nechť funkce u = u(x1, x2, . . . , xn) je řešením rovnice (38). Pro
derivaci funkce u na charakteristice (39) podle parametru s platí
d
ds
u x1(s), x2(s), . . . , xn(s) =
n
i=1
∂u x1(s), x2(s), . . . , xn(s)
∂xi
dxi
ds
=
=
n
i=1
∂u x(s)
∂xi
ai x(s) = 0.
To znamená, že na charakteristikách je řešení rovnice (37) konstantní. Odtud plyne, že řešení
rovnice (37) můžeme získat tak, že na každé charakteristice zadáme hodnotu funkce u.
Charakteristika rovnice (37) je hladkou křivkou v n-rozměrném prostoru. Takovou křivku můžeme
zapsat buď parametricky rovnostmi (39) nebo obecně jako průnik n−1 nadploch (tj. (n−1)rozměrných
diferencovatelných variet) v n-rozměrném prostoru, tedy rovnostmi
ϕi(x1, x2, . . . , xn) = ci, i = 1, 2, . . ., n − 1, (40)
kde ϕi jsou diferencovatelné funkce n proměnných. Rovnosti (40) někdy můžeme získat z parametrického
vyjádření (39) charakteristik eliminací parametru s.
Jiná možnost, jak získat obecné vyjádření (40) charakteristik rovnice (37) spočívá ve vydělení
rovnic charakteristického systému (38); dostaneme tak n − 1 obyčejných diferenciálních rovnic,
např.
dxi+1
dxi
=
ai+1(x1, x2, . . . , xn)
ai(x1, x2, . . . , xn)
, n = 1, 2, . . . , n − 1,
nebo
dxi
dx1
=
ai(x1, x2, . . . , xn)
a1(x1, x2, . . . , xn)
, n = 2, 3, . . . , n.
20
Obecné řešení těchto systémů rovnic, které závisí na n − 1 konstantách, zapíšeme v implicitním
tvaru (40). Předchozí obyčejné diferenciální rovnice můžeme také jednotně zapsat ve tvaru rovností
diferenciálů
dx1
a1(x1, x2, . . . , xn)
=
dx2
a2(x1, x2, . . . , xn)
= · · · =
dxn
an(x1, x2, . . . , xn)
. (41)
Hodnotu funkce u, která je řešením lineární rovnice (37), vyjádříme na charakteristikách pomocí
diferencovatelné funkce Φ, která je funkcí n − 1 proměnných. Řešení rovnice (37) tedy píšeme ve
tvaru
u(x) = Φ ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕn−1(x) . (42)
Provedené úvahy ukazují, že pro rovnici (37) lze zformulovat výsledek, který je bezprostředním
zobecněním Tvrzení 1 platného pro rovnice ve dvou nezávisle proměnných.
Tvrzení 2. Nechť funkce ϕi : Ω → R, i = 1, 2, . . . , n − 1, jsou diferencovatelné funkce takové,
že rovnosti (40) jsou implicitním zápisem trajektorií charakteristického systému (38) příslušného
k rovnici (37) (nebo ekvivalentně: implicitním zápisem řešení sytému obyčejných diferenciálních
rovnic (41)). Je-li Φ libovolná diferencovatelná funkce n − 1 proměnných taková, že její definiční
obor obsahuje kartézský součin oborů hodnot funkcí ϕi, pak funkce u definovaná rovností (42) je
řešením rovnice (37).
Důkaz: Na řešení (39) charakteristického systému (38) jsou splněny rovnosti (40). Tedy pro
každý index j platí
0 =
d
ds
ϕj x1(s), x2(s), . . . , xn(s) =
n
i=1
∂ϕj x1(s), x2(s), . . . , xn(s)
∂xi
dxi(s)
ds
=
=
n
i=1
∂ϕj x1(s), x2(s), . . . , xn(s)
∂xi
ai x1(s), x2(s), . . . , xn(s) ,
stručně
n
i=1
∂ϕj(x)
∂xi
ai(x) = 0.
Dále
∂u(x)
∂xi
=
∂
∂xi
Φ ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕn−1(x) =
n−1
j=1
∂Φ ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕn−1(x)
∂ϕj
∂ϕj(x)
∂xi
,
takže
n
i=1
ai(x)
∂u(x)
∂xi
=
n
i=1
ai(x)
n−1
j=1
∂Φ ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕn−1(x)
∂ϕj
∂ϕj(x)
∂xi
=
=
n−1
j=1
∂Φ ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕn−1(x)
∂ϕj
n
i=1
ai(x)
∂ϕj(x)
∂xi
= 0.
Povšimněme si, že na levé straně rovnice (37) je skalární součin vektoru a s gradientem hledané
funkce u. Gradient je lineární zobrazení, skalární součin také. Složení lineárních zobrazení je
lineární. Odtud plyne, že rovnice (37) také splňuje princip superpozice: Jsou-li u1, u2, . . . , uk řešení
rovnice (37), pak také jejich libovolná lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak řečeno,
množina všech řešení rovnice (37) tvoří reálný vektorový prostor.
21
2.1.1 Příklad
(y − 2x − 2z)
∂u
∂x
+ (x − 2y + 2z)
∂u
∂y
+ (x − y + y)
∂u
∂z
= 0
Příslušný charakteristický systém
dx
ds
= −2x+ y − 2z,
dy
ds
= x − 2y + 2z,
dz
ds
= x− y+ z
je lineární homogenní systém obyčejných diferenciálních rovnic s konstantní maticí. Můžeme tedy
explicitně napsat jeho řešení
x = (2As + 2B)e−s
,
y = (−2As + 2C)e−s
,
z = (−2As + C − B − A)e−s
;
přitom A, B, C jsou integrační konstanty. Druhou rovnost vydělíme rovností první a dostaneme
y
x
=
−As + C
As + B
, tj.
x + y
x
=
B + C
As + B
,
třetí rovnost vydělíme první a dostaneme
z
x
=
−2As + C − B − A
As + B
, tj.
x + z
x
=
C + B − A
2(As + B)
,
tyto rovnosti navzájem vydělíme a dostaneme
x + y
x + z
= const.
Analogicky (první a třetí rovnost tentokrát dělíme druhou) dostaneme
x + y
z − y
= const.
Řešení je tedy tvaru u(x, y) = Φ x+y
x+z , x+y
z−y , kde Φ je libovolná diferencovatelná funkce dvou
proměnných.
Na charakteristikách je řešení rovnice (37) konstantní. Proto konkrétní řešení (partikulární
řešení) této rovnice můžeme získat tak, že na „začátku každé charakteristiky určíme funkční
hodnotu řešení. „Začátky charakteristik lze určit tak, že v prostoru zavedeme nějakou nadplochu
((n−1)-rozměrnou varietu), která protíná každou charakteristiku právě jednou; průsečík této nadplochy
s charakteristikou budeme považovat za „začátek charakteristiky . Nadplocha s uvedenou
vlastností se nazývá okraj pro rovnici (37).
Okraj může být zadán parametrickými rovnicemi; poněvadž se jedná o (n − 1)-rozměrnou
nadplochu, závisí na n − 1 parametrech. Parametrické rovnice okraje tedy jsou
xi = Xi(σ1, σ2, . . . , σn−1), i = 1, 2, . . . , n,
kde parametry σ1, σ2, . . . , σn−1 jsou z nějaké podmnožiny prostoru Rn−1
, která má neprázdný
vnitřek. Průsečík konkrétní charakteristiky s okrajem je určen konkrétní sadou parametrů. Hodnoty
řešení u rovnice (37) tedy zadáváme pro tuto sadu parametrů. Jinak řečeno, zadáváme okrajovou
podmínku ve tvaru
u X1(σ1, σ2, . . . , σn−1), X2(σ1, σ2, . . . , σn−1), . . . , Xn(σ1, σ2, . . . , σn−1) = g(σ1, σ2, . . . , σn−1).
(43)
22
Okrajovou úlohu, tj. rovnici (37) s podmínkou (43), řešíme tak, že k charakteristickému systému
přidáme počáteční podmínky
xi(0) = Xi(σ1, σ2, . . . , σn−1), i = 1, 2, . . . , n. (44)
Jednotlivé složky řešení Cauchyovy úlohy (38) závisí na nezávisle proměnné s a na parametrech
σ1, σ2, . . . , σn−1, tj.
xi = xi(s, σ1, σ2, . . . , σn−1). (45)
Rovnosti (45) a rovnost (43) přepsaná do tvaru u = g(σ1, σ2, . . . , σn) představují parametrické
vyjádření (grafu) řešení okrajové úlohy (37), (43).
Na rovnosti (45) se také můžeme dívat jako na systém n rovnic pro n neznámých, kterými
jsou parametry s, σ1, σ2, . . . , σn−1. Pokud se z něho podaří explicitně vyjádřit parametry okraje
σ1, σ2, . . . , σn−1 v závislosti na souřadnicích x1, x2, . . . , xn, tj.
σj = σj(x1, x2, . . . , xn), j = 1, 2, . . ., n − 1,
pak je lze dosadit do okrajové podmínky (43). Takovým způsobem dostaneme řešení okrajové
úlohy (37), (43) ve tvaru
u(x1, x2, . . . , xn) = g σ1(x1, . . . , xn), . . . , σn−1(x1, . . . , xn) .
2.1.2 Příklad
Budeme hledat řešení rovnice
(z + y − x)
∂u
∂x
+ (z + x − y)
∂u
∂y
+ z
∂u
∂z
= 0
s okrajovou podmínkou
u(x, y, a) = 4a4
xy,
kde a je nějaká reálná konstanta.
Charakteristický systém (38) je v tomto případě tvaru
dx
ds
= −x+y+z,
dy
ds
= x−y+z,
dz
ds
= z.
Jedná se o lineární homogenní systém obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty,
jeho obecné řešení je tvaru
x = Aes
+ Be−2s
+ C,
y = Aes
− Be−2s
+ C,
z = Aes
.
Počáteční podmínky (44) odpovídající dané okrajové podmínce jsou
x(0) = σ1, y(0) = σ2, z(0) = a.
Pro integrační konstanty A, B, C tak dostáváme soustavu lineárních rovnic
A+B+C = σ1,
A−B+C = σ2,
A = a,
23
která má řešení A = a, B = 1
2 (σ1 − σ2), C = 1
2 (σ1 + σ2) − a. Řešení (45) Cauchyovy úlohy pro
charakteristický systém je
x = aes
+ 1
2 (σ1 − σ2) e−2s
+ 1
2 (σ1 + σ2) − a,
y = aes
− 1
2 (σ1 − σ2) e−2s
+ 1
2 (σ1 + σ2) − a,
z = aes
.
Bezprostředně vidíme aes
= z a tedy e−2s
= a2
/z2
. Po dosazení do prvních dvou rovností dostaneme
systém rovnic pro parametry σ1, σ2 ve tvaru
x = z +
a2
(σ1 − σ2)
2z2
+
σ1 + σ2
2
− a,
y = z −
a2
(σ1 − σ2)
2z2
+
σ1 + σ2
2
− a,
nebo po úpravě
(z2
+ a2
)σ1 + (z2
− a2
)σ2 = 2z2
(x − z + a),
(z2
− a2
)σ1 + (z2
+ a2
)σ2 = 2z2
(y − z + a).
Determinant této soustavy lineárních rovnic je roven 4a2
z2
, takže pro a = 0 dostaneme
σ1 =
1
2a2
(x + y − 2z + 2a)a2
+ (x − y)z2
, σ2 =
1
2a2
(x + y − 2z + 2a)a2
− (x − y)z2
.
Parametrické vyjádření okrajové podmínky (43) je
u(σ1, σ2, a) = 4a4
σ1σ2.
Do této rovnosti dosadíme vypočítané hodnoty parametrů σ1, σ2 a dostaneme řešení dané úlohy
ve tvaru
u(x, y, z) = a4
(x + y − 2z + 2a)2
− (x − y)2
z4
.
Tato funkce je řešením úlohy pro nenulovou hodnotu parametru a. V případě a = 0 je řešením
nulová funkce, u ≡ 0.
2.2 Quasilineární rovnice
Řešení rovnice
a1(x1, . . . , xn, u)
∂u
∂x1
+ a2(x1, . . . , xn, u)
∂u
∂x2
+ · · · + an(x1, . . . , xn, u)
∂u
∂xn
= f(x1, . . . , xn, u),
neboli
n
i=1
ai(x, u)
∂u
∂xi
= f(x, u) (46)
případně ve vektorovém zápisu
a(x, u)T
∇u = f(x, u),
budeme hledat v implicitním tvaru
V (x, u) = 0, (47)
kde V je nějaká diferencovatelná funkce n + 1 proměnných.
Budeme si představovat, že řešení známe. Nechť tedy u = u(x) je řešení rovnice (46), které je
implicitně popsáno rovností (47). Pak platí
V x, u(x) = 0.
24
Tuto rovnost parciálně zderivujeme podle každé z proměnných xi. Dostaneme
∂V x, u(x)
∂xi
+
∂V x, u(x)
∂u
∂u(x)
∂xi
= 0, i = 1, 2, . . . , n.
Dále vynásobíme i-tou rovnost výrazem ai x, u(x) a výsledné rovnosti sečteme. Výsledkem je
rovnost
n
i=1
ai x, u(x)
∂V x, u(x)
∂xi
+
n
i=1
ai x, u(x)
∂u(x)
∂xi
∂V x, u(x)
∂u
= 0
a poněvadž funkce u je řešením rovnice (46), můžeme tuto rovnost upravit na tvar
n
i=1
ai x, u(x)
∂V x, u(x)
∂xi
+ f x, u(x)
∂V x, u(x)
∂u
= 0.
Vidíme, že funkce V je řešením rovnice v n+1 nezávisle proměnných, která je lineární v derivacích
a má nulovou pravou stranu. Stručně: funkce V , která rovností (47) implicitně popisuje řešení
quasilineární rovnice (46), je řešením parciální diferenciální rovnice
n
i=1
ai(x, u)
∂V
∂xi
+ f(x, u)
∂V
∂u
= 0.
To je rovnice, kterou jsme se zabývali v předchozí části. Máme tedy následující algoritmus pro
hledání řešení quasilineární rovnice (46).
K rovnici (46) přiřadíme charakteristický systém obyčejných autonomních diferenciálních rovnic
dxi
ds
= ai(x1, . . . , xn, u), i = 1, 2, . . . , n,
du
ds
= f(x1, . . . , xn, u).
(48)
Jeho trajektorie vyjádříme v obecném tvaru jako průnik n nadploch
ϕj(x1, x2, . . . , xn, u) = cj, j = 1, 2, . . . , n.
Řešení rovnice (46) je pak implicitně dáno rovností
Φ ϕ1(x1, . . . , xn, u), ϕ2(x1, . . . , xn, u), . . . , ϕn(x1, . . . , xn, u) = 0,
kde Φ je libovolná diferencovatelná funkce n proměnných.
Rovnici (46) s okrajovou podmínkou (43) řešíme tak, že najdeme řešení charakteristického
systému (48) s počátečními podmínkami (44) doplněnými o podmínku
u(0) = g(σ1, σ2, . . . , σn−1).
Toto řešení závisí na nezávisle proměnné s a parametrech σ1, σ2, . . . , σn−1, tj.
xi = xi(s, σ1, σ2, . . . , σn), i = 1, 2, . . . , n
u = u(s, σ1, σ2, . . . , σn).
Těmito rovnostmi je parametricky zadáno řešení okrajové úlohy (46), (43). V některých jednoduchých
případech lze parametry s, σ1, σ2, . . . , σn−1 eliminovat a řešení úlohy vyjádřit explicitně.
Povšimněme si, že algoritmus řešení okrajové úlohy (46), (43) je bezprostředním zobecněním
postupu při řešení úlohy (34), (19) pro funkci ve dvou nezávisle proměnných.
25
Cvičení
V úlohách 1–6 najděte obecné řešení rovnice.
1. x2
ux + y2
uy = 0
2. (1 + x2
)ux + xyuy = 0
3. (z − x + y)ux + (z + x − y)uy + zuz = 0
4. x1
∂u
∂x1
+ x2
∂u
∂x2
+ · · · + xn
∂u
∂xn
= 0
5. yux − xuy = y2
− x2
6. xuux + yuuy + xy = 0
V úlohách 7–12 najděte řešení okrajové úlohy.
7. 2ux + 3uy = 0, u(0, y) = 4y
8. (z − y)ux + (x − z)uy + (y − x)uz = 0, u(0, y, z) = yz
9. u(x + u)ux − y(y + u)uy = 0, u(1, y) =
√
y
10. (x + u)ux + yuy = u + y2
, u(x, 1) = x
11. u2
x − u2
y = u, u(1, y) = 1
12. ut = −(ux)2
, u(0, x) = ax
Výsledky:
1. u(x, y) = Φ
x − y
xy
2. u(x, y) = Φ
y2
1 + x2
3. u(x, y, z) = Φ x + y − 2z, z2
(x − y)
4. u(x1, x2, . . . , xn) = Φ
x2
x1
,
x3
x2
, . . . ,
xn
xn−1
5. u(x, y) = xy + Φ(x2
+ y2
)
6. Φ
x
y
, xy + u2
= 0 (implicitní popis)
7. u(x, y) = 4y − 6x
8. u(x, y, z) = xy + yz + zx
9. u(x, y) =
√
xy
10. u(x, y) =
x + y2
ln y
1 + ln y
11. 4u − (x − 3)2
4u − (x − 1)2
= 0 (implicitní popis)
12. u(t, x) = ax − a2
t
26