Následující text není ničím více, než zápisem přednášky předmětu M4010 Rovnice matematické fyziky. Má
sloužit především k tomu, aby student-ky/i nebyl-y/i během přednášky nucen-y/i si dělat podrobné poznámky,
přepisovat často komplikované formule z tabule do svých papírů (což je natolik intenzivním zdrojem chyb, že
se jim prakticky nelze vyhnout). Poté může posloužit jako rychlá připomínka toho, co člověk již zná. V žádném
případě nemůže být považován za zdroj, z něhož se lze rovnicím matematické fyziky naučit. Sám o sobě bez
komentářů během přednášky je málo srozumitelný až nesrozumitelný (aby byl s komentáři srozumitelný, je mým
přáním a snahou; nakolik se to skutečně zdaří, nechám k posouzení laskavým student-kám/ům).
V textu asi zůstaly nějaké nedůslednosti, formulační nejasnosti nebo dokonce chyby. Budu vděčný každému,
kdo mě na ně upozorní.
Zdeněk Pospíšil
únor 2017
Obsah
Motivační úlohy 1
Vymírání populace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Advekce a difúze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Kmitání struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Metody charakteristik 9
1.1 Parciální diferenciální rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Parciální diferenciální rovnice druhého řádu lineární ve druhých derivacích . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Kanonický tvar rovnice druhého řádu ve dvou nezávisle proměnných lineární v druhých derivacích 17
1.4 Počáteční úloha pro hyperbolickou rovnici ve dvou nezávisle proměnných . . . . . . . . . . . . . . 20
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Metody integrálních transformací 29
2.1 Fourierova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Laplaceova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Metoda separace proměnných (Fourierova) 37
3.1 Hyperbolické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Parabolické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Eliptické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Metody řešení eliptické rovnice 63
4.1 Integrace per partes a Greenovy vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Jednoznačnost řešení Dirichletovy a Neumannovy úlohy pro Poissonovu rovnici . . . . . . . . . . 64
4.3 Laplaceova rovnice a harmonické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Metoda potenciálů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Greenova funkce Laplaceova operátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6 Vlastní čísla a vlastní funkce Laplaceova operátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Schrödingerova rovnice 91
5.1 Řešení za zjednodušujících předpokladů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Dodatky
A Distribuce 99
A.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.2 Konvergence v prostoru distribucí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.3 Derivování distribucí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
i
B Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 111
B.1 Formulace úloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B.2 Vlastní čísla a vlastní funkce homogenní okrajové úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
B.3 Řešení nehomogenní okrajové úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
C Speciální funkce 123
C.1 Legendreovy polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
C.2 Čebyševovy-Laguerreovy polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
C.3 Čebyševovy-Hermiteovy polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.4 Funkce Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
C.5 Besselovy funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
D Laplaceův operátor v křivočarém souřadném systému 151
V češtině existuje několik učebnic parciálních diferenciálních rovnic (rovnic matematické fyziky):
1. A. N. Tichonov, A. A. Samarskij: Rovnice matematické fysiky, ČSAV, Praha 1955, 765 stran.
Důkladná učebnice, v podstatě encyklopedie klasických metod řešení parciálních diferenciálních rovnic
druhého řádu.
2. R. Rychnovský, J. Výborná: Parciální diferenciální rovnice a jejich některá řešení, SNTL, Praha 1963,
167 stran.
Stručný úvod do problematiky parciálních diferenciálních rovnic. Pěkně jsou zpracovány rovnice prvního
řádu.
3. S. Míka, A. Kufner: Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice, Edice Matematika pro VŠT, sešit
XIX, SNTL, Praha 1981, 88 stran.
4. S. Míka, A. Kufner: Parciální diferenciální rovnice I. Stacionární rovnice, Edice Matematika pro VŠT,
sešit XX, SNTL, Praha 1983, 181 stran.
5. J. Barták, L. Herrmann, V. Lovicar, O. Vejvoda: Parciální diferenciální rovnice II. Evoluční rovnice, Edice
Matematika pro VŠT, sešit XXI, SNTL, Praha 1988, 220 stran.
6. J. Franců: Parciální diferenciální rovnice, VUT, PC-DIR Real s.r.o., Brno 2000, 155 stran.
Přehledná a srozumitelná skripta. Jejich rozsah se zhruba shoduje s rozsahem předmětu M4010.
7. P. Čihák a kol.: Matematická analýza pro fyziky (V), Matfyzpress, Praha 2001, 320 stran.
Skripta, podle nichž se učí na spřátelené fakultě.
8. J Kopáček a kol.: Příklady z matematiky pro fyziky [V], Matfyzpress, Praha 2003, 306 stran.
Užitečná sbírka úloh.
Z anglicky psaných učebnic lze uvést:
i. G. Evans, J. Blackledge, P. Yardley: Analytic Methods for Partial Differential Equations, Springer, London
2000, xii+299 stran.
Přístupně psaná učebnici ze série Springer Undergraduate Mathematics.
ii. M. E. Taylor: Partial Differential Equations I. Basic Theory, Springer, New York-Dordrecht-HeidelbergLondon
2010, xxii+654 stran.
První díl důkladné třídílné monografie o parciálních diferenciálních rovnicích. Předpokládá základní znalosti
reálné a komplexní analýzy, difererenciální geometrie a teorie míry.
ii
Motivační úlohy
Vymírání populace
Uvažujme nějakou populaci, například obyvatele nějakého izolovaného ostrova. Předpokládejme, že známe složení
této populace v nějakém čase a zajímá nás, jak se bude vyvíjet velikost této části populace (tj. tvořené
jedinci, kteří byli živi již na počátku, jedince, kteří se v průběhu času narodili, neuvažujeme). K popisu velikosti
populace můžeme používat dvě veličiny. Můžeme ji vyjadřovat jako množství jedinců, kteří mají v čase t
věk v rozmezí od a do a + τ, tj. jedince, kteří mají v čase t věk z intervalu [a, a + τ); tuto veličinu označíme
N(t, a, τ). Velikost populace však můžeme vyjádřit také jako tzv. hustotu populace věku a v čase t, kterou
označíme symbolem u(t, a). Hustota populace u a velikost populace N jsou vázány vztahem
N(t, a, τ) =
a+τ
a
u(t, ξ)dξ.
O hustotě u budeme předpokládat, že je to spojitě diferencovatelná funkce. Změna velikosti vymezené části
populace je dána umíráním. Označme proto symbolem D(t, a, τ) množství jedinců, kteří zemřou během časového
intervalu (t, t + τ] a v čase t mají věk v rozmezí [a, a + τ). Jedinci, kteří během časového intervalu délky τ
nezemřeli, zestárli o τ. Tuto triviální skutečnost (zákon zachování) vyjádříme rovností
N(t + τ, a + τ, τ) = N(t, a, τ) − D(t, a, τ). (1)
Pomocí substituce η = ξ − τ vyjádříme levou stranu této rovnosti,
N(t + τ, a + τ, τ) =
a+2τ
a+τ
u(t + τ, ξ)dξ =
a+τ
a
u(t + τ, η + τ)dη,
takže s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě pro funkce dvou proměnných můžeme psát
N(t + τ, a + τ, τ) − N(t, a, τ) =
a+τ
a
u(t + τ, ξ + τ) − u(t, ξ) dξ =
=
a+τ
a
∂u
∂t
(t + ϑ1τ, ξ + τ)τ +
∂u
∂a
(t, ξ + ϑ2τ)τ dξ = τ
a+τ
a
∂u
∂t
(t + ϑ1τ, ξ + τ) +
∂u
∂a
(t, ξ + ϑ2τ) dξ, (2)
kde ϑ1, ϑ2 jsou nějaká čísla z intervalu [0, 1]. K vyjádření množství umírajících jedinců budeme předpokládat,
že podíl zemřelých jedinců jistého věku za krátký časový interval délky ∆t mezi všemi jedinci téhož věku je
přímo úměrný trvání ∆t procesu umírání,
D(t, a, ∆t)
N(t, a, ∆t)
= µ(a)∆t.
Koeficient úměrnosti µ(a), který závisí na věku a, nazýváme specifická úmrtnost (mortalita) ve věku a. Z uvedeného
předpokladu dostaneme vyjádření množství umírajících jedinců ve tvaru
D(t, a, ∆t) = ∆t

µ(a)
a+∆t
a
u(t, ξ)dξ

 . (3)
1
Položíme τ = ∆t a dosadíme rovnosti (2) a (3) do relace (1). Dostaneme
a+∆t
a
∂u
∂t
(t + ϑ1∆t, ξ + ∆t) +
∂u
∂a
(t, ξ + ϑ2∆t) + µ(a)u(t, ξ) dξ = 0.
Tato rovnost má platit pro libovolná a ≥ 0, t ≥ 0 a ∆t > 0. To je možné jen tak, že pro všechna přípustná
a, t, ∆t platí
∂u
∂t
(t + ϑ1∆t, a + ∆t) +
∂u
∂a
(t, a + ϑ2∆t) + µ(a)u(t, a) = 0
a odtud limitním přechodem ∆t → 0 dostaneme McKendrickovu-von Foersterovu rovnici
∂u
∂t
(t, a) +
∂u
∂a
(t, a) = −µ(a)u(t, a). (4)
Známé složení populace na počátku vyjádříme počáteční podmínkou
u(0, a) = ϕ(a). (5)
Část populace, která od času t = 0 vymírá, je popsána hustotou u(t, a) definovanou na množině
(t, a) ∈ R2
: a ≥ 0, t ≤ a . (6)
Zvolíme libovolné a0 ≥ 0 a pro a ≥ a0 položíme
x(a) = u(a − a0, a).
Pak podle řetězového pravidla pro výpočet derivací složené funkce a podle rovnice (4) platí
x′
(a) =
d
da
u(a − a0, a) =
∂u
∂t
(a − a0, a)
∂(a − a0)
∂a
+
∂u
∂a
(a − a0, a)
∂a
∂a
=
=
∂u
∂t
(a − a0, a) +
∂u
∂a
(a − a0, a) = −µ(a)u(a − a0, a) = −µ(a)x(a).
Z počáteční podmínky (5) dostaneme
x(a0) = u(a0 − a0, a0) = ϕ(a0). (7)
Funkce x je tedy řešením obyčejné lineární homogenní rovnice
x′
(a) = −µ(a)x(a)
s počáteční podmínkou (7). To znamená, že
x(a) = ϕ(a0)e
−
a
a0
µ(ξ)dξ
a poněvadž u(t, a) = u(a − (a − t), a), můžeme psát řešení rovnice (4) s počáteční podmínkou (5) na množině
(6) ve tvaru
u(t, a) = ϕ(a − t)e
−
a
a−t
µ(ξ)dξ
.
Advekce a difúze
Uvažujme tenký dlouhý válec, v němž proudí kapalina. Poloměr válce je vzhledem k jeho výšce (délce) tak malý,
že válec s kapalinou můžeme považovat za jednorozměrný objekt a jeho jediný rozměr (délku) za nekonečný.
Osu válce ztotožníme se souřadnou osou x. Představme si, že v proudící kapalině je nějaká látka, která je
jednak unášena proudem, jednak v kapalině difunduje. Označme u = u(t, x) koncentraci látky v čase t a v místě
2
o souřadnici x. Tímto označením a terminologií se míní skutečnost, že množství látky, které se v časovém
okamžiku t nachází v úseku válce od souřadnice α do souřadnice β je dáno integrálem
β
α
u(t, ξ)dξ.
Chceme najít koncentraci látky v každém bodě válce v každém čase, pokud známe koncentraci na začátku děje,
tj. v čase t = 0.
Označme rychlost proudící kapaliny symbolem v. Tato rychlost může být v každém místě jiná a může se
měnit s časem, tj. v = v(t, x). Pokud kapalina proudí v kladném směru osy x, je v > 0, pokud v záporném
směru, je v < 0.
Zavedeme dále difúzní tok jako veličinu g = g(t, x); tato veličina představuje rychlost částice látky způsobenou
difúzí, znaménko určujeme podle stejné konvence jako v případě rychlosti v. Difúzní tok vyjadřuje,
že množství látky, které se dostane difúzí přes levou hranici úseku válce α do tohoto úseku za krátký časový
interval [t, t + ∆t] je rovno
g(t, α)∆t,
a množství látky, které se dostane přes pravou hranici β z tohoto úseku za stejný časový interval je rovno
g(t, β)∆t;
tato interpretace předpokládá, že g(t, α) > 0, g(t, β) > 0, kdyby tyto nerovnosti nebyly splněny, odpovídajícím
způsobem bychom vyměnili slova „do úseku za „z úseku a naopak.
Množství částic, které je unášeno rychlostí v přes bod o souřadnici α do úseku (α, β), resp. přes bod o
souřadnici β z úseku (α, β), je rovno
u(t, α)v(t, α)∆t, resp. u(t, β)v(t, β)∆t.
Ze zákona zachování hmoty a následnou úpravou s využitím Newtonovy-Leibnizovy formule dostaneme rovnost
β
α
u(t + ∆t, ξ)dξ =
β
α
u(t, ξ)dξ + g(t, α)∆t − g(t, β)∆t + u(t, α)v(t, α)∆t − u(t, β)v(t, β)∆t =
=
β
α
u(t, ξ)dξ −


β
α
∂
∂x
g(t, ξ) + u(t, ξ)v(t, ξ) dξ

 ∆t.
Tuto rovnost upravíme na tvar
β
α
u(t + ∆t, ξ) − u(t, ξ)
∆t
+
∂
∂x
g(t, ξ) +
∂
∂x
v(t, ξ)u(t, ξ) dξ = 0.
Úsek válce od souřadnice α do souřadnice β byl vybrán libovolně, stejně tak i časový okamžik t. To znamená,
že pro všechna x a všechna t musí platit
u(t + ∆t, x) − u(t, x)
∆t
= −
∂
∂x
g(t, x) −
∂
∂x
v(t, x)u(t, x) .
Odtud dostaneme limitním přechodem ∆t → 0 relaci
∂
∂t
u(t, x) = −
∂
∂x
g(t, x) −
∂
∂x
v(t, x)u(t, x) . (8)
Tato relace váže neznámou funkci u (hustotu) a neznámou funkci g (difúzní tok). Potřebujeme tedy ještě
nějak funkci g určit. Předpokládejme tedy, že difúzí se částice přesunuje z místa s větší koncentrací na místo
s koncentrací menší (to je předpoklad celkem přirozený) a že rychlost difundující částice je přímo úměrná rozdílu
(gradientu) koncentrací (tento předpoklad bývá nazýván Fickův zákon). Tedy
g(t, x) = −D
∂
∂x
u(t, x).
3
Kladný koeficient úměrnosti D se nazývá difuzivita; může se měnit s časem i s místem, tedy D = D(t, x).
Dosazením do rovnosti (8) dostaneme rovnici advekce-difúze
∂
∂t
u(t, x) =
∂
∂x
D(t, x)
∂
∂x
u(t, x) −
∂
∂x
v(t, x)u(t, x) . (9)
Tato rovnice má být splněna pro každý čas t > 0 a každý bod x ∈ R. K rovnici přidáme počáteční podmínku
vyjadřující koncentraci difundující látky v počátečním čase t = 0
u(0, x) = ϕ(x), (10)
která má platit pro každé x ∈ R.
Pokud je kapalina homogenní, v čase se nemění, tj. D(t, x) ≡ a2
= const, a proudí konstantní rychlostí
v(t, x) ≡ const, můžeme obecnou rovnici advekce-difúze (9) zjednodušit na tvar
∂
∂t
u(t, x) = a2 ∂2
∂x2
u(t, x) − v
∂
∂x
u(t, x). (11)
V tomto případě můžeme prostorovou souřadnici transformovat — zavést novou souřadnou soustavu, která je
„unášena rychlostí v . Zavedeme tedy novou prostorovou souřadnici ξ vztahem
ξ = x − vt.
Pak podle řetězového pravidla pro výpočet parciálních derivací složených funkcí platí
∂
∂t
u(t, x) =
∂
∂t
u t, ξ(t, x) =
∂
∂t
u t, ξ(t, x)
∂t
∂t
+
∂
∂ξ
u t, ξ(t, x)
∂ξ(t, x)
∂t
=
∂
∂t
u(t, ξ) − v
∂
∂ξ
u(t, ξ)
a analogicky a stručněji (bez psaní nezávisle proměnných)
∂u
∂x
=
∂u
∂t
∂t
∂x
+
∂u
∂ξ
∂ξ
∂x
=
∂u
∂ξ
,
∂2
∂x2
u =
∂
∂x
∂u
∂ξ
=
∂2
∂ξ2
u.
Dosazením do rovnice (9) dostaneme rovnici difúze
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂ξ2
.
Uvažujme jednoduchou situaci: v jednom bodě (který můžeme považovat za počátek souřadnic) do kapaliny
v počátečním okamžiku „umístíme nějaké množství A látky, která se bude v neproudící kapalině šířit difúzí.
Vývoj koncentrace difundující látky bude popsán rovnicí
∂u
∂t
(t, x) = a2 ∂2
u
∂x2
(t, x), t > 0, x ∈ R. (12)
Na počátku je všechna difundující látka koncentrována v jediném bodě. To znamená, že pro její koncentraci
v čase t = 0 musí platit
A =
∞
−∞
u(0, ξ)dξ.
Tato podmínka bude splněna, pokud počáteční podmínku pro rovnici (12) napíšeme ve tvaru
u(0, x) = Aδ(x), x ∈ R, (13)
kde δ je Diracova distribuce, sr. dodatek A. Ze zákona zachování hmoty plyne, že musí být splněna podmínka
∞
−∞
u(t, ξ)dξ = A pro všechna t > 0. (14)
4
Pokusíme se „uhodnout řešení rovnice (12) s počáteční podmínkou (13). Můžeme si představovat, že difúze
probíhá tak, že jednotlivé molekuly látky se náhodně pohybují a že pravděpodobnost pohybu nalevo je stejná
jako pravděpodobnost pohybu napravo. Koncentrace látky po jistém čase by tedy mohla mít tvar normálního
(Gaussova) rozložení pravděpodobnosti se střední hodnotou 0. Rozptyl se však s časem mění — na počátku je
nulový a s postupem času se zvětšuje. Pro rozptyl σ2
= σ(t)2
tedy platí
σ(0) = 0. (15)
Řešení rovnice (12) s počáteční podmínkou (13) tedy budeme hledat ve tvaru
u(t, x) = A
1
√
2π σ(t)
e
− x2
2σ(t)2
.
Z vlastností rozložení pravděpodobností je vidět, že při této volbě v každém čase t platí
∞
−∞
u(t, ξ)dξ = A
∞
−∞
1
√
2π σ(t)
e
− ξ2
2σ(t)2
dξ = A,
takže podmínka (14) je splněna. Má být splněna také rovnice (12). Proto vyjádříme
∂u
∂t
(t, x) =
A
√
2π
−
1
σ(t)2
σ′
(t) +
1
σ(t)
−
x2
2
−2σ(t)−3
σ′
(t) e
− x2
2σ(t)2
=
=
A
√
2π
e
− x2
2σ(t)2
σ′
(t)
x2
σ(t)4
−
1
σ(t)2
=
A
√
2π
e
− x2
2σ(t)2
x2
− σ(t)2 σ′
(t)
σ(t)4
,
∂2
u
∂x2
(t, x) =
∂
∂x
A
√
2π
1
σ(t)
e
− x2
2σ(t)2
−
2x
2σ(t)2
= −
A
√
2π
1
σ(t)3
∂
∂x
xe
− x2
2σ(t)2
=
= −
A
√
2π
1
σ(t)3
1 + x −
2x
2σ(t)2
e
− x2
2σ(t)2
=
A
√
2π
e
− x2
2σ(t)2
1
σ(t)5
x2
− σ(t)2
.
Po dosazení do rovnice (12) a jednoduché úpravě dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici pro neznámou funkci
σ
σ′
(t) =
a2
σ(t)
.
Řešení této rovnice se separovanými proměnnými, které splňuje počáteční podmínku (15) je σ(t) =
√
2a2t.
Dostáváme tedy řešení počáteční úlohy (12), (13) ve tvaru
u(t, x) =
A
2
√
a2πt
e− x2
4a2t .
Kmitání struny
Uvažujme tenkou strunu napjatou podél osy x silou T . Chceme popsat malé kmity této struny, tj. odchylku
každého bodu struny od rovnovážné polohy v každém čase. Aby tento problém byl relativně snadno zvládnutelný,
přijmeme několik zjednodušujících předpokladů:
• Výchylky struny jsou tak malé, že její délku můžeme považovat za konstantní.
• Struna neklade odpor vůči ohýbání, je dokonale pružná.
• Každý bod vykonává pohyb pouze ve směru kolmém na osu x, tj. kmity jsou příčné.
Označme u(t, x) výchylku bodu o souřadnici x v časovém okamžiku t. Uvažujme síly, které působí na úsek
struny mezi body α a β.
Na strunu může působit nějaká vnější síla. Vzhledem ke třetímu předpokladu stačí uvažovat její složku Fe
kolmou na osu x. Tato síla může být v každém bodě struny jiná a také se může měnit s časem. Proto ji vyjádříme
5
pomocí její hustoty g = g(t, x); hustota síly je definována tak, že vnější síla Fe(t) působící na uvažovaný úsek
struny v čase t je rovna
Fe(t) =
β
α
g(t, ξ)dξ.
Tahová síla T působí v bodě α ve směru tečny ke struně v tomto bodě. Její složka Fα kolmá na osu x má velikost
−T sin ϕα, kde ϕα je úhel, který svírá osa x s tečnou ke struně v bodě α. Poněvadž ale kmity považujeme za
malé, je úhel ϕα také malý, takže sin ϕα ≈ tg ϕα. Hodnota tg ϕα je současně směrnicí tečny k funkci u(t, · )
v bodě α. Sílu Fα v čase t tedy můžeme vyjádřit jako
Fα(t) = −T
∂
∂x
u(t, α).
Podobně složku tahové síly působící na strunu v bodě β vyjádříme jako
Fβ(t) = T
∂
∂x
u(t, β).
Celková síla působící na úsek struny mezi body α a β je tedy dána součtem Fe + Fβ + Fα, který upravíme
s využitím Newtonovy-Leibnizovy formule:
F(t) = Fe(t) + Fβ(t) + Fα(t) =
β
α
g(t, ξ)dξ + T
∂
∂x
u(t, β) −
∂
∂x
u(t, α) =
=
β
α
g(t, ξ)dξ + T
β
α
∂2
∂x2
u(t, ξ)dξ =
β
α
T
∂2
∂x2
u(t, ξ) + g(t, ξ) dξ. (16)
Sílu působící na uvažovaný úsek struny však můžeme také vyjádřit pomocí zákona síly. K tomu označíme
̺ = ̺(x) lineární hustotu struny v bodě x. Lineární hustota je definována tak, že hmotnost úseku struny mezi
body α a β je dána integrálem
β
α
̺(ξ)dξ.
Hmotnost krátkého úseku struny mezi body x a x+∆x je tedy podle věty o střední hodnotě integrálního počtu
rovna
∆m =
x+∆x
x
̺(ξ)dξ = ̺(x + ϑ∆x)∆x,
kde ϑ ∈ [0, 1] je nějaké číslo. Zrychlení bodu struny o souřadnici x + ϑ∆x je rovno
∂2
∂t2
u(t, x + ϑ∆x).
Sílu působící na uvažovaný krátký úsek struny tedy můžeme vyjádřit jako součin tohoto zrychlení a hmotnosti
∆m,
̺(x + ϑ∆x)
∂2
∂t2
u(t, x + ϑ∆x)∆x
a celkovou sílu působící na úsek struny mezi body α a β jako součet
̺(x + ϑ∆x)
∂2
∂t2
u(t, x + ϑ∆x)∆x,
kde sčítáme přes všechny úseky struny mezi body α, β. Tento součet je integrálním součtem funkce ̺(·)
∂2
∂t2
u(t, ·),
takže pro ∆x → 0 dostaneme sílu F(t), působící v čase t na úsek struny mezi body α a β, vyjádřenu Riemannovým
integrálem
F(t) =
β
α
̺(ξ)
∂2
∂t2
u(t, ξ)dξ. (17)
6
Porovnáním (16) a (17) dostaneme
β
α
̺(ξ)
∂2
∂t2
u(t, ξ) − T
∂2
∂ξ2
u(t, ξ) − g(t, ξ) dξ = 0.
Tato rovnost může být pro libovolné hodnoty α a β splněna jen tak, že integrovaná funkce je nulová, tedy
̺(x)
∂2
∂t2
u(t, x) = T
∂2
∂x2
u(t, x) + g(t, x).
Nyní položíme
a = a(x) =
T
̺(x)
, f = f(t, x) =
g(t, x)
̺(x)
a dostaneme rovnici kmitání struny
∂2
∂t2
u(t, x) = a(x)2 ∂2
∂x2
u(t, x) + f(t, x).
Uvažujme nejjednodušší případ — struna je homogenní, tj. ̺(x) ≡ const a nepůsobí na ni žádná vnější síla,
tj. g(t, x) ≡ 0. Je tedy také a(x) = a = const a f(t, x) ≡ 0. Rovnice kmitání struny nyní nabývá tvaru
∂2
∂t2
u(t, x) = a2 ∂2
∂x2
u(t, x). (18)
Označme délku struny ℓ a uvažujme, že struna je v krajních bodech 0 a ℓ upevněna, nevykonává v těchto bodech
žádný pohyb. K rovnici (18) tak dostáváme okrajové podmínky
u(t, 0) = u(t, ℓ) = 0 (19)
pro každý čas t ≥ 0. Strunu rozkmitáme tak, že ji v počátečním okamžiku t = 0 vychýlíme z její rovnovážné
polohy a vypustíme. Struna má tedy v čase t = 0 nějaký tvar a nulovou rychlost, tj. funkce u splňuje počáteční
podmínky
u(0, x) = ϕ(x),
∂
∂t
u(0, x) = 0 (20)
pro každý bod x ∈ [0, l]. Počáteční funkce ϕ samozřejmě musí splňovat podmínku ϕ(0) = ϕ(ℓ) = 0.
Řešení rovnice (18) s podmínkami (19), (20) „slyšíme : zní základní tón a tóny alikvotní. Struna tedy
vykonává harmonický pohyb o nějaké základní frekvenci ω a také harmonické pohyby s frekvencemi, které jsou
násobky základní. Můžeme proto hádat, že řešení by mělo být tvaru
u(t, x) =
∞
n=1
αn(x) sin(nωt + cn) =
∞
n=1
αn(x) sin cn cos nωt + cos cn sin nωt =
=
∞
n=1
an(x) cos nωt + bn(x) sin nωt ;
Označili jsme an(x) = αn(x) sin cn, bn(x) = αn(x) cos cn; sčítáme pro n až do nekonečna, abychom nějak uměle
neomezovali počet alikvotních tónů. Pokud budeme předpokládat, že
an(0) = an(ℓ) = bn(0) = bn(ℓ) = 0, (21)
budou splněny okrajové podmínky (19). Funkce u musí splňovat rovnici (18), tedy
−
∞
n=1
an(x)n2
ω2
cos nωt + bn(x)n2
ω2
sin nωt = a2
∞
n=1
a′′
n(x) cos nωt + b′′
n(x) sin nωt
neboli
0 =
∞
n=1
a2
a′′
n(x) + n2
ω2
an(x) cos nωt + a2
b′′
n(x) + n2
ω2
bn(x) sin nωt .
7
Poněvadž funkce cos nωt a sin nωt jsou lineárně nezávislé, musí platit
a2
a′′
n + n2
ω2
an = 0, a2
b′′
n + n2
ω2
bn = 0
pro všechna n = 1, 2, 3, . . .. První z těchto obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu upravíme na tvar
a′′
n +
nω
a
2
an = 0.
Tato lineární homogenní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty má řešení
an(x) = C1 cos
nω
a
x + C2 sin
nω
a
x.
Chceme, aby byla splněna první z podmínek (21), tedy
0 = an(0) = C1.
Odtud dále dostaneme
0 = an(ℓ) = C2 sin
nω
a
ℓ.
Tato rovnost je splněna pro ω =
πa
ℓ
a libovolnou konstantu C2. Označíme C2 = An a funkci an zapíšeme ve
tvaru
an(x) = An sin
nπa
aℓ
x = An sin
nπ
ℓ
x.
Podobně dostaneme
bn(x) = Bn sin
nπ
ℓ
x.
Tyto funkce dosadíme do vyjádření funkce u a dostaneme
u(t, x) =
∞
n=0
An cos
nπa
ℓ
t + Bn sin
nπa
ℓ
t sin
nπ
ℓ
x.
Tato funkce formálně splňuje rovnici (18) a okrajové podmínky (19). Ještě určíme konstanty An a Bn tak, aby
byly splněny počáteční podmínky (20). Má platit
ϕ(x) = u(0, x) =
∞
n=0
An sin
nπ
ℓ
x.
Tuto rovnost můžeme chápat jako vyjádření funkce ϕ ve tvaru sinové řady. Je tedy
An =
2
ℓ
ℓ
0
ϕ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ
pro každé n = 1, 2, 3, . . .. Dále platí
0 =
∂
∂t
u(0, x) =
∞
n=0
nπa
ℓ
Bn sin
nπ
ℓ
x.
Odtud a z věty o jednoznačnosti Fourierových řad dostaneme, že Bn = 0 pro všechna n = 1, 2, 3, . . ..
Řešení rovnice (18) s podmínkami (19) a (20) tímto způsobem dostáváme ve tvaru
u(t, x) =
∞
n=1

2
ℓ
ℓ
0
ϕ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 cos
nπa
ℓ
t sin
nπ
ℓ
x =
ℓ
0
ϕ(ξ)
2
ℓ
∞
n=1
sin
nπ
ℓ
ξ sin
nπ
ℓ
x cos
nπa
ℓ
t dξ.
Ještě poznamenejme, že základní frekvence kmitající struny nám vyšla jako
ω =
πa
ℓ
=
π
ℓ
T
̺
.
8
Kapitola 1
Metody charakteristik
1.1 Parciální diferenciální rovnice prvního řádu
1.1.1 Lineární homogenní parciální diferenciální rovnice ve dvou nezávisle pro-
měnných
a(x, y)
∂u
∂x
+ b(x, y)
∂u
∂y
= 0 (1.1)
Řešením je funkce u = u(x, y).
Hledáme vrstevnice funkce u. Nechť mají parametrické vyjádření x = x(s), y = y(s). Pak u x(s), y(s) =
const a tedy
d
ds
u x(s), y(s) =
∂u
∂x
∂x
∂s
+
∂u
∂y
∂y
∂s
= 0.
Porovnáním s (1.1) vidíme, že pokud funkce x = x(s), y = y(s) jsou řešeními systému autonomních obyčejných
diferenciálních rovnic
x′
= a(x, y),
y′
= b(x, y),
(1.2)
kde ′
označuje obyčejnou derivaci podle nezávisle proměnné s, pak jsou parametrickými rovnicemi vrstevnic
řešení rovnice (1.1). Systém (1.2) se nazývá charakteristická soustava rovnic rovnice (1.1), jeho trajektorie se
nazývají charakteristiky rovnice (1.1).
Nechť rovnice ϕ(x, y) = c je implicitním popisem charakteristik rovnice (1.1), tj. vrstevnic řešení této rovnice,
a Φ je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. Pak u = u(x, y) = Φ ϕ(x, y) je řešením rovnice (1.1).
D.: Podle „řetězového pravidla pro parciální derivaci složené funkce je
∂u
∂x
= Φ′ ∂ϕ
∂x
,
∂u
∂y
= Φ′ ∂ϕ
∂y
, na charakteristikách
x = x(s), y = y(s) platí ϕ x(s), y(s) = c a tedy
a(x, y)
∂u(x, y)
∂x
+ b(x, y)
∂u(x, y)
∂y
= Φ′
ϕ(x, y) a
∂ϕ(x, y)
∂x
+ b
∂ϕ(x, y)
∂y
=
= Φ′
ϕ(x, y)
dx
ds
∂ϕ
∂x
+
dy
ds
∂ϕ
∂y
= Φ′
ϕ(x, y)
∂ϕ
∂x
dx
ds
+
∂ϕ
∂y
dy
ds
= Φ′
ϕ(x, y)
d
ds
ϕ x(s), y(s) = 0.
1.1.2 Okrajová úloha pro lineární homogenní parciální diferenciální rovnice ve
dvou nezávisle proměnných
Nechť x = ϕ(σ), y = ψ(σ) je parametrický popis rovinné křivky, která protíná každou z charakteristik rovnice
(1.1) právě jednou, a nechť f je funkce se stejným definičním oborem jako ϕ a ψ. Podmínka
u ϕ(σ), ψ(σ) = f(σ) (1.3)
9
se nazývá okrajová podmínka pro rovnici (1.1).
Heuristická úvaha: Podmínku (1.3) si lze představit jako prostorovou křivku. Dále si lze představit, že
máme vrstevnice řešení, tj. charakteristiky, vytvořené např z drátu. Tyto vrstevnice umisťujeme na křivku
vyjadřující okrajovou podmínku.
Nechť charakteristiky rovnice (1.1), tj. trajektorie systému (1.2), mají obecné parametrické vyjádření
x = x(s, c1, c2),
y = y(s, c1, c2),
(1.4)
kde c1, c2 jsou integrační konstanty. Dále nechť okrajová podmínka je parametricky vyjádřena rovnicemi
x = ϕ(σ),
y = ψ(σ),
u = f(σ).
(1.5)
Pro jednu hodnotu parametru s, řekněme pro s = 0, vrstevnice protíná křivku, na níž je zadána okrajoví
podmínka, tedy
x(0, c1, c2) = ϕ(σ),
y(0, c1, c2) = ψ(σ).
Z těchto rovnic vypočítáme konstanty c1, c2 v závislosti na parametru σ, tedy c1 = c1(σ), c2 = c2(σ). Toto
vyjádření dosadíme do (1.4) a dostaneme soustavu dvou rovic pro dvě neznámé s a σ:
x = x s, c1(σ), c2(σ) ,
y = y s, c1(σ), c2(σ) .
Tuto soustavu vyřešíme; zejména vyjádříme σ pomocí x a y, tj. σ = σ(x, y) a dosadíme do poslední z rovnic
(1.5). Tím dostaneme řešení úlohy (1.1), (1.3) ve tvaru u(x, y) = f σ(x, y) .
1.1.3 Quasilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu ve dvou nezávisle
proměnných
a(x, y, u)
∂u
∂x
+ b(x, y, u)
∂u
∂y
= c(x, y, u). (1.6)
Řešením je opět funkce u = u(x, y). Předpokládejme, že toto řešení je implicitně dáno rovnicí F(x, y, u) = 0,
tedy
F x, y, u(x, y) = 0.
Odtud dostaneme
d
dx
F x, y, u(x, y) =
∂F
∂x
+
∂F
∂u
∂u
∂x
= 0,
d
dy
F x, y, u(x, y) =
∂F
∂y
+
∂F
∂u
∂u
∂y
= 0.
První z těchto rovnic vynásobíme funkcí a, druhou z nich funkcí b, sečteme je a upravíme s využitím (1.6):
0 = a
∂F
∂x
+ b
∂F
∂y
+
∂F
∂u
a
∂u
∂x
+ b
∂u
∂y
= a
∂F
∂x
+ b
∂F
∂y
+ c
∂F
∂u
.
Pokud funkce x = x(s), y = y(s) a u = u(s) jsou řešením následující charakteristické soustavy rovnic rovnice
(1.6)
x′
= a(x, y, u),
y′
= b(x, y, u),
u′
= c(x, y, u),
(1.7)
pak podle předchozí rovnosti platí
d
ds
F x(s), y(s), u(s) =
∂F
∂x
dx
ds
+
∂F
∂y
dy
ds
+
∂F
∂u
du
ds
=
∂F
∂x
a +
∂F
∂y
b +
∂F
∂u
c = 0.
10
Trajektorie systému autonomních obyčejných diferenciálních rovnic (1.7) — prostorové křivky — se nazývají
charakteristiky rovnice (1.6). Z provedeného výpočtu plyne, že podél charakteristik je funkce F konstantní.
Nechť rovnice ϕ1(x, y, u) = c1 a ϕ2(x, y, u) = c2 jsou implicitním popisem charakteristik rovnice (1.6)
(jednorozměrné variety v třírozměrném prostoru) a Φ je libovolná diferencovatelná funkce dvou proměnných.
Pak funkce u = u(x, y) implicitně zadaná rovnicí
Φ ϕ1(x, y, u), ϕ2(x, y, u) = 0 (1.8)
je řešením rovnice (1.6).
D.: Rovnici (1.8), v níž u považujeme za funkci proměnných x a y, derivujme parciálně podle proměnné x:
0 =
∂Φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂x
+
∂ϕ1
∂u
∂u
∂x
+
∂Φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂x
+
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
=
=
∂Φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂x
+
∂Φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂x
+
∂Φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
+
∂Φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
∂u
∂x
.
Označíme-li A =
∂Φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
+
∂Φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
, dostaneme z předchozí rovnosti
∂u
∂x
= −
1
A
∂Φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂x
+
∂Φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂x
.
Analogickým postupem bychom dostali
∂u
∂y
= −
1
A
∂Φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂y
+
∂Φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂y
.
Poněvadž na charakteristikách platí
d
ds
ϕ1 x(s), y(s), u(s) = 0,
d
ds
ϕ2 x(s), y(s), u(s) = 0
dostaneme vzhledem k (1.7):
a
∂u
∂x
+ b
∂u
∂y
= −
1
A
∂Φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂x
a +
∂ϕ1
∂y
b +
∂Φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂x
a +
∂ϕ2
∂y
b =
= −
1
A
∂Φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂x
dx
ds
+
∂ϕ1
∂y
dy
ds
+
∂Φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂x
dx
ds
+
∂ϕ2
∂y
dy
ds
=
= −
1
A
∂Φ
∂ϕ1
d
ds
ϕ1 x(s), y(s), u(s) −
∂ϕ1
∂u
du
ds
+
∂Φ
∂ϕ2
d
ds
ϕ2 x(s), y(s), u(s) −
∂ϕ2
∂u
du
ds
=
=
1
A
∂Φ
∂ϕ1
∂ϕ1
∂u
+
∂Φ
∂ϕ2
∂ϕ2
∂u
du
ds
= c.
Nechť x = ϕ(σ), y = ψ(σ) je parametrický popis nějaké rovinné křivky, a nechť f je reálná funkce se stejným
definičním oborem jako funkce ϕ, ψ. Podmínka
u ϕ(σ), ψ(σ) = f(σ) (1.9)
se nazývá okrajová podmínka pro rovnici (1.6). Okrajovou úlohu řešíme analogicky jako okrajovou úlohu (1.1),
(1.3):
Nechť charakteristiky rovnice (1.6) mají parametrické vyjádření
x = x(s, c1, c2, c3),
y = y(s, c1, c2, c3),
u = u(s, c1, c2, c3),
(1.10)
11
kde c1, c2, c3 jsou nějaké konstanty. Má-li soustava rovnic
x(0, c1, c2, c3) = ϕ(σ),
y(0, c1, c2, c3) = ψ(σ),
u(0, c1, c2, c3) = f(σ)
(1.11)
pro neznámé c1, c2, c3 řešení c1 = c1(σ), c2 = c2(σ), c3 = c3(σ), dosadíme je do prvních dvou rovnic soustavy
(1.10):
x = x s, c1(σ), c2(σ), c3(σ) ,
y = y s, c1(σ), c2(σ), c3(σ) .
Má-li tato soustava rovnic řešení σ = σ(x, y), s = s(x, y), dosadíme je do třetí z rovnic (1.10). Tím dostaneme
řešení úlohy (1.6), (1.9) ve tvaru
u = u s(x, y), c1 σ(x, y) , c2 σ(x, y) , c3 σ(x, y) .
1.1.4 Obecná parciální diferenciální rovnice prvního řádu ve dvou nezávisle pro-
měnných
Jedná se o rovnici
F x, y, u,
∂u
∂x
,
∂u
∂y
= 0, (1.12)
kde F je reálná funkce pěti proměnných, u je (hledaná) funkce dvou proměnných, x, y jsou nezávisle proměnné.
Označme
p = ux =
∂u
∂x
, q = uy =
∂u
∂y
.
Pak rovnici (1.12) můžeme zapsat ve tvaru
F(x, y, u, p, q) = 0.
Autonomní soustavu obyčejných diferenciálních rovnic
d
ds
x = Fp(x, y, u, p, q),
d
ds
y = Fq(x, y, u, p, q),
d
ds
u = pFp(x, y, u, p, q) + qFq(x, y, u, p, q), (1.13)
d
ds
p = −Fx(x, y, u, p, q) − pFu(x, y, u, p, q),
d
ds
q = −Fy(x, y, u, p, q) − qFu(x, y, u, p, q),
nazýváme charakteristická soustava rovnice (1.12), trajektorie jejího řešení (křivky v prostoru R5
) nazýváme
charakteristický pruh rovnice (1.12).
Nechť funkce x = x(s), y = y(s), u = u(s), p = p(s), q = q(s) jsou řešením charakteristické soustavy (1.13).
Pak platí
d
ds
F =
d
ds
F x(s), y(s), u(s), p(s), q(s) = Fx
dx
ds
+ Fy
dy
ds
+ Fu
du
ds
+ Fp
dp
ds
+ Fq
dq
ds
=
= FxFp + FyFq + Fu(pFp + qFq) − Fp(Fx + pFu) − Fq(Fy + qFu) = 0.
To znamená, že na charakteristickém pruhu je funkce F konstantní. Pokud tedy počáteční hodnoty řešení
charakteristické soustavy (1.13) splňují podmínku
F x(0), y(0), u(0), p(0), q(0) = 0,
12
pak křivka x(s), y(s), u(s) leží na grafu řešení rovnice (1.12).
Nechť x = ϕ(σ), y = ψ(σ) je parametrický popis nějaké rovinné křivky a f je reálná funkce se stejným
definičním oborem, jako funkce ϕ, ψ. Rovnost
u ϕ(σ), ψ(σ) = f(σ) (1.14)
se nazývá okrajová podmínka pro rovnici (1.12). Derivováním okrajové podmínky dostaneme rovnost, kterou
na ní musí splňovat funkce p a q,
df(σ)
dσ
=
d
dσ
u ϕ(σ), ψ(σ) = p ϕ(σ), ψ(σ)
dϕ(σ)
dσ
+ q ϕ(σ), ψ(σ)
dψ(σ)
dσ
.
Nechť nyní p0 = p0(σ), q0 = q0(σ) je řešením soustavy dvou rovnic pro dvě neznámé
F ϕ(σ), ψ(σ), f(σ), p0, q0) = 0,
p0
dϕ(σ)
dσ
+ q0
dψ(σ)
dσ
=
df(σ)
dσ
.
Řešení charakteristické soustavy (1.13), které splňuje počáteční podmínky
x(0) = ϕ(σ), y(0) = ψ(σ), u(0) = f(σ), p(0) = p0, q(0) = q0
označíme
x(s; σ), y(s; σ), u(s; σ), p(s; σ), q(s; σ) .
Je-li s = s(x, y), σ(x, y) řešením soustavy rovnic
x = x(s; σ),
y = y(s; σ),
tj. parametry s, σ vyjádříme pomocí souřadnic x, y, pak funkce u definovaná vztahem
u(x, y) = u s(x, y); σ(x, y)
je řešením rovnice (1.12) s okrajovou podmínkou (1.14).
1.1.5 Quasilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu
Rovnici
a1(x1, . . . , xn, u)
∂u(x1, . . . , xn)
∂x1
+ · · · + an(x1, . . . , xn, u)
∂u(x1, . . . , xn)
∂xn
= f(x1, . . . , xn, u) , (1.15)
kde a1, . . . , an, f jsou funkce n + 1 proměnných a u je (hledaná) funkce n proměnných, nazýváme quasilineární
parciální diferenciální rovnice prvního řádu; v případě f ≡ 0 homogenní, v opačném nehomogenní. Pokud
funkce a1, . . . , an nezávisí na poslední proměnné a funkce f závisí na poslední proměnné lineárně, nazýváme
tuto rovnici lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu.
Soustavu obyčejných diferenciálních rovnic
d
ds
x1(s) = a1 x1(s), . . . , xn(s), u(s) ,
...
d
ds
xn(s) = an x1(s), . . . , xn(s), u(s) ,
d
ds
u(s) = f x1(s), . . . , xn(s), u(s) ,
nazýváme (rozšířená) charakteristická soustava rovnice (1.15). Trajektorie x1(s), . . . , xn(s), u(s) řešení charakteristické
soustavy (křivky v prostoru Rn+1
) nazýváme charakteristiky rovnice (1.15).
13
Buď D ⊆ Rn−1
otevřená množina a
Γ = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn
: x1 = ϕ1(σ1, . . . , σn−1), . . . , xn = ϕn(σ1, . . . , σn−1), (σ1, . . . , σn−1) ∈ D}
regulární (n − 1)-rozměrná nadplocha v n-rozměrném prostoru Rn
. Dále buď u0 = u0(σ1, . . . , σn−1) spojitá
funkce definovaná na D. Podmínka
u(ϕ1(σ1, . . . , σn−1), . . . , ϕn(σ1, . . . , σn−1)) = u0(σ1, . . . , σn−1) , (σ1, . . . , σn−1) ∈ D (1.16)
se nazývá okrajová podmínka pro rovnici (1.15).
Jsou-li funkce a1, . . . , an, f diferencovatelné, pak charakteristická soustava s Cauchyovými podmínkami
x1(0) = ϕ1(σ1, . . . , σn−1) ,
...
xn(0) = ϕn(σ1, . . . , σn−1) ,
u(0) = u0(σ1, . . . , σn−1) ,
má pro každé (σ1, . . . , σn−1) ∈ D jediné řešení (podle Picardovy-Lindelöfovy věty, viz např. Kalas J., Ráb M.:
Obyčejné diferenciální rovnice, MU 2001, str. 64). Označme toto řešení
ψ1(s, σ1, . . . , σn−1), . . . , ψn(s, σ1, . . . , σn−1), ψn+1(s, σ1, . . . , σn−1) .
Platí
ψ1(0, σ1, . . . , σn−1) = ϕ1(σ1, . . . , σn−1), . . . , ψn(0, σ1, . . . , σn−1) = ϕn(σ1, . . . , σn−1) ,
ψn+1(0, σ1, . . . , σn−1) = u0(σ1, . . . , σn−1)
tedy
∂ψi
∂σj
(0, σ1, . . . , σn−1) =
∂ϕi
∂σj
(σ1, . . . , σn−1) , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . .n − 1, pro každé (σ1, . . . , σn−1) ∈ D
a dále
∂ψi
∂s
(0, σ1, . . . , σn−1) = ai ϕ1(σ1, . . . , σn−1), . . . , ϕn(σ1, . . . , σn−1), u0(σ1, . . . , σn−1) .
Funkcemi ψ1, . . . , ψn je určeno zobrazení Ψ : R × D → Rn
. Jacobián J = J(σ1, . . . , σn−1) zobrazení Ψ v bodě
(0, σ1, . . . , σn−1) je
a1(ϕ1(σ1, . . . , σn−1), . . . , ϕn(σ1, . . . , σn−1) . . . an(ϕ1(σ1, . . . , σn−1), . . . , ϕn(σ1, . . . , σn−1)
∂ϕ1
∂σ1
(σ1, . . . , σn−1) . . .
∂ϕn
∂σ1
(σ1, . . . , σn−1)
...
...
...
∂ϕ1
∂σn−1
(σ1, . . . , σn−1) . . .
∂ϕn
∂σn−1
(σ1, . . . , σn−1)
.
Je-li J(σ1, . . . , σn−1) = 0 pro každé (σ1, . . . , σn−1) ∈ D, existuje inversní zobrazení Ψ−1
: Rn
→ R × D (podle
věty o existenci inversního zobrazení, viz např. Došlá Z., Došlý O.: Diferenciální počet funkcí více proměnných,
MU 1999, str. 84).
Položme u(x1, . . . , xn) = ψn+1 Ψ−1
(x1, . . . , xn) . Pak u je řešení úlohy (1.15), (1.16):
n
k=1
ak
∂u
∂xk
=
n
k=1
dxk
ds

∂u
∂s
∂s
∂xk
+
n−1
j=1
∂u
∂σj
∂σj
∂xk

 =
∂u
∂s
n
k=1
∂s
∂xk
dxk
ds
+
n−1
j=1
∂u
∂σj
n
k=1
∂σj
∂xk
dxk
ds
=
=
∂u
∂s
∂s
∂s
+
n−1
j=1
∂u
∂σj
∂σj
∂s
=
du
ds
= f .
Toto řešení je jediné.
14
1.1.6 Kanonický tvar parciální diferenciální rovnice prvního řádu ve dvou nezávisle
proměnných lineární v prvních derivacích
a(x, y)
∂u
∂x
+ b(x, y)
∂u
∂y
= f(x, y, u), (1.17)
funkce a, b jsou definovány na množině G ⊆ R2
, funkce f je definována na množině G × R, pro funkce a, b platí
a(x, y) = 0 = b(x, y) pro (x, y) ∈ G. Parciální rovnici (1.17) přiřadíme její obyčejnou charakteristickou rovnici
y′
=
b(x, y)
a(x, y)
, (1.18)
kde ′
označuje obyčejnou derivaci podle x. Předpokládejme, že charakteristická rovnice (1.18) má řešení, které
lze implicitně zapsat ve tvaru
ϕ(x, y) = C, (1.19)
kde C je integrační konstanta. Pak je ϕx(x, y) + y′
ϕy(x, y) = 0, tj.
aϕx + bϕy = 0. (1.20)
Poznamenejme, že charakteristická rovnice lineární homogenní rovnice ve dvou nezávisle proměnných (1.1)
je podílem jednotlivých rovnic charakteristické soustavy (1.2) této rovnice a tedy rovnost (1.19) vyjadřuje
charakteristiky rovnice (1.1) také ve smyslu oddílu 1.1.1.
Položme
ξ = ϕ(x, y), η = y.
Pak ξxηy −ξyηx = ϕx(x, y), tedy na množině H = (x, y) ∈ R2
: ϕx(x, y) = 0 ⊆ G je zobrazení (ξ, η) : H → R2
prosté. Toto zobrazení na množině H transformuje rovnici (1.17) na rovnici
auξϕx + b(uξϕy + uη) = f.
Tuto rovnici lze upravit na tvar
(aϕx + bϕy) uξ + buη = f,
takže vzhledem k (1.20) a předpokládané nenulovosti funkce b platí
uη(ξ, η) = F(ξ, η, u),
kde F = f/b. Tato rovnice je kanonickým tvarem rovnice (1.17). Poněvadž se v ní vyskytuje pouze jedna
parciální derivace, lze ji považovat za rovnici obyčejnou takovou, že hledaná funkce u je funkcí jedné nezávisle
proměnné η a závisí na parametru ξ.
1.2 Parciální diferenciální rovnice druhého řádu lineární ve druhých
derivacích
Jedná se o rovnici
n
i,j=1
aij(x)
∂2
u(x)
∂xi∂xj
= F x, u(x),
∂u(x)
∂x1
, . . . ,
∂u(x)
∂xn
, (1.21)
kde x = (x1, x2, . . . , xn) je n-tice nezávisle proměnných, u je (hledaná) funkce n proměnných, aij, i, j =
1, 2, . . . , n jsou funkce n proměnných takové, že jejich definiční obory mají neprázdný průnik D ⊆ Rn
a platí
aij(x) = aji(x) pro všechna x ∈ D a všechny dvojice indexů i, j. Přitom předpokládáme, že pro alespoň jednu
dvojici indexů i, j platí aij ≡ 0. Funkce F na pravé straně rovnice je nějaká funkce 2n + 1 proměnných.
Buď x0 ∈ D libovolný bod. Pak A = (aij(x0)) je symetrická matice typu n×n. Takovou maticí je definována
kvadratická forma Ψ : Rn
→ R,
Ψ(y1, y2, . . . , yn) = (y1, y2, . . . , yn) A (y1, y2, . . . , yn)T
=
n
i,j=1
aij(x0)yiyj .
15
Platí Sylvesterův [1814 – 1897] zákon setrvačnosti kvadratických forem: Existuje regulární matice B typu n × n
a jednoznačně určená přirozená čísla k, m, 0 ≤ k ≤ m ≤ n taková, že po transformaci
(y1, y2, . . . , yn)T
= (η1, η2, . . . , ηn)B
má kvadratická forma Ψ kanonický tvar
k
i=1
η2
i −
m
i=k+1
η2
i . (Přitom klademe
q
i=p
αi = 0 pro p = q + 1.)
Rovnice (1.21) se nazývá
eliptická m = n a k ∈ {0, n},
hyperbolická m = n a k ∈ {1, n − 1},
ultrahyperbolická v bodě x0 ∈ D, jestliže m = n a 2 ≤ k ≤ n − 2,
parabolická m < n,
parabolická v užším smyslu m = n − 1 a k = 0, nebo k = m = n − 1.
Rovnice (1.24) se nazývá eliptická, hyperbolická, ... v otevřené množině G ⊆ D, je-li eliptická, hyperbolická, ...
v každém bodě x ∈ G.
Označme βij prvky matice B. Transformaci převádějící kvadratickou formu Ψ na kanonický tvar tedy můžeme
zapsat jako
yi =
n
p=1
ηpβpi, i = 1, 2, . . ., n
a transformaci kvadratické formy Ψ přepsat ve tvaru
n
i,j=1
aij(x0)yiyj =
n
i,j=1
aij(x0)
n
p=1
ηpβpi
n
q=1
ηqβqj =
n
i,j,p,q=1
aij(x0)βpiβqjηpηq =
k
i=1
η2
i −
m
i=k+1
η2
i . (1.22)
Nyní budeme v rovnici (1.21) transformovat nezávisle proměnné. Nové nezávisle proměnné ξ1, ξ2, . . . , ξn definujeme
vztahy
ξi =
n
p=1
βipxp, i = 1, 2, . . . , n. (1.23)
Pak je
∂ξi
∂xj
= βij a s využitím řetězového pravidla pro pro derivaci složené funkce postupně dostaneme
∂u
∂xi
=
n
p=1
∂ξp
∂xi
∂u
∂ξp
=
n
p=1
βpi
∂u
∂ξp
,
∂2
u
∂xi∂xj
=
n
p=1
βpi
∂
∂xj
∂u
∂ξp
=
n
p=1
βpi
n
q=1
∂ξq
∂xj
∂2
u
∂ξp∂ξq
=
n
p=1
βpi
n
q=1
βqj
∂2
u
∂ξp∂ξq
=
n
p,q=1
βpiβqj
∂2
u
∂ξp∂ξq
.
Levá strana rovnice (1.21) se tedy v bodě x = x0 transformuje na tvar
n
i,j=1
aij(x0)
∂2
u(x)
∂xi∂xj
=
n
i,j=1
aij(x0)
n
p,q=1
βpiβqj
∂2
u
∂ξp∂ξq
=
n
i,j,p,q=1
aij(x0)βpiβqj
∂2
u
∂ξp∂ξq
.
Porovnáním s rovností (1.22) vidíme, že transformace (1.23) nezávisle proměnných převádí levou stranu parciální
diferenciální rovnice (1.21) v bodě x = x0 na tvar
k
i=1
∂2
u
∂ξ2
i
−
m
i=k+1
∂2
u
∂ξ2
i
;
tento tvar rovnice se nazývá kanonický v bodě x0.
Pokud je funkce F na pravé straně rovnice (1.21) tvaru
F x, u(x),
∂u(x)
∂x1
, . . . ,
∂u(x)
∂xn
= f(x) − c(x)u(x) −
n
i=1
bi(x)
∂u(x)
∂xi
,
16
kde bi, c, f, i = 1.2, . . ., n jsou funkce n proměnných takové, že definiční obor každé z nich má neprázdný průnik
se společnou částí D definičních oborů funkcí aij, pak můžeme rovnici (1.21) přepsat na tvar
n
i,j=1
aij(x)
∂2
u(x)
∂xi∂xj
+
n
i=1
bi(x)
∂u(x)
∂xi
+ c(x)u(x) = f(x) . (1.24)
Tuto rovnici nazýváme lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu; v případě f ≡ 0 homogenní,
v opačném nehomogenní.
Pro homogenní lineární rovnici platí princip superpozice: Je-li α libovolná konstanta a u1, u2 jsou řešení
rovnice
n
i,j=1
aij(x)
∂2
u(x)
∂xi∂xj
+
n
i=1
bi(x)
∂u(x)
∂xi
+ c(x)u(x) = 0 ,
pak také αu1 a u1 + u2 jsou řešením této rovnice. (Platnost tohoto tvrzení lze ověřit přímým dosazením.)
Funkce u ≡ 0 je zřejmě také řešením této rovnice. Odtud plyne, že množina všech řešení homogenní rovnice
tvoří vektorový prostor.
1.3 Kanonický tvar parciální diferenciální rovnice druhého řádu ve
dvou nezávisle proměnných lineární ve druhých derivacích
A(x, y)uxx + 2B(x, y)uxy + C(x, y)uyy = F(x, y, u, ux, uy) , (1.25)
pro funkce A, B, C platí |A(x, y)| + |B(x, y)| + |C(x, y)| > 0 pro všechna (x, y) z průniku definičních oborů
funkcí A, B a C. Uvažujme kvadratickou formu Ψ(r, s) = Ar2
+ 2Brs + Cs2
.
Pokud A = 0, platí
Ar2
+ 2Brs + Cs2
= A r +
B
A
s
2
−
B2
A
s2
+ Cs2
= A r +
B
A
s
2
−
1
A
(B2
− AC)s2
,
pokud C = 0, platí
Ar2
+ 2Brs + Cs2
= C s +
B
C
r
2
−
B2
C
r2
+ Ar2
= C s +
B
C
r
2
−
1
C
(B2
− AC)r2
,
pokud A = C = 0, pak B = 0 a platí
Ar2
+ 2Brs + Cs2
= 2Brs =
B
2
(r + s)2
−
B
2
(r − s)2
.
Odtud plyne: Je-li pro každé (x, y) z otevřené množiny G ⊆ D
(B(x, y))2
− A(x, y)C(x, y) > 0 hyperbolická
(B(x, y))2
− A(x, y)C(x, y) = 0 pak rovnice (1.25) je parabolická v G
(B(x, y))2
− A(x, y)C(x, y) < 0 eliptická
1.3.1 Transformace rovnice (1.25)
Buďte ϕ, ψ : G → R takové funkce, že ϕx(x, y)ψy(x, y) − ϕy(x, y)ψx(x, y) = 0 pro všechna (x, y) ∈ G. Pak
transformace
ξ = ϕ(x, y) , η = ψ(x, y) (1.26)
bijektivně zobrazí množinu G na otevřenou množinu a rovnici (1.25) transformuje na tvar (využíváme formule
pro druhé parciální derivace složené funkce)
a(ξ, η)uξξ + 2b(ξ, η)uξη + c(ξ, η)uηη = ˜F(ξ, η, u, uξ, uη) , (1.27)
17
kde
a = Aϕ2
x + 2Bϕxϕy + Cϕ2
y = ϕ2
y A −
ϕx
ϕy
2
− 2B −
ϕx
ϕy
+ C ,
b = Aϕxψx + B(ϕxψy + ϕyψx) + Cϕyψy ,
c = Aψ2
x + 2Bψxψy + Cψ2
y = ψ2
y A −
ψx
ψy
2
− 2B −
ψx
ψy
+ C ;
(1.28)
naznačenou úpravu výrazu pro funkce a nebo c lze samozřejmě provést pouze v případě, že ϕy = 0 nebo ψy = 0.
Při hledání inversní transformace k transformaci (1.26) řešíme soustavu rovnic (1.26) pro neznámé x, y.
Přitom první z rovnic je implicitně dána funkce y1 = y1(x), pro jejíž derivaci platí y′
1 = −
ϕx
ϕy
, a druhou z rovnic
je implicitně dána funkce y2 = y2(x), pro jejíž derivaci platí y′
2 = −
ψx
ψy
(podle vzorce pro derivaci implicitně
zadané funkce, viz např. Došlá Z., Došlý O.: Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU 1999, str. 96).
1.3.2 Charakteristiky rovnice (1.25)
Obyčejná diferenciální rovnice v implicitním tvaru (nerozřešená vzhledem k derivaci)
A(x, y)y′2
− 2B(x, y)y′
+ C(x, y) = 0 (1.29)
se nazývá charakteristická rovnice parciální diferenciální rovnice (1.25). Její řešení se nazývají charakteristiky.
Z předchozích úvah je vidět, že platí: Je-li rovnice (1.25) hyperbolická, má dvě jednoparametrické množiny
charakteristik, které jsou řešeními obyčejných diferenciálních rovnic
y′
=
B(x, y) + (B(x, y))2 − A(x, y)C(x, y)
A(x, y)
a y′
=
B(x, y) − (B(x, y))2 − A(x, y)C(x, y)
A(x, y)
. (1.30)
Je-li rovnice (1.25) parabolická, má jednu jednoparametrickou množinu charakteristik, která je řešením obyčejné
diferenciální rovnice
y′
=
B(x, y)
A(x, y)
. (1.31)
Je-li rovnice (1.25) eliptická, nemá reálné charakteristiky.
1.3.3 Kanonický tvar hyperbolické rovnice
Jsou-li ϕ(x, y) = C1 a ψ(x, y) = C2 implicitní popisy řešení rovnic (1.30) (tedy charakteristiky rovnice (1.25),
pak −
ϕx
ϕy
a −
ψx
ψy
jsou kořeny charakteristické rovnice (1.29), takže v (1.28) dostaneme a = c = 0. Kanonický
tvar hyperbolické rovnice (1.25) je
uξη = F1(ξ, η, u, uξ, uη) .
1.3.4 Kanonický tvar parabolické rovnice
V tomto případě je B2
= AC. Je-li ψ(x, y) = C implicitní popis řešení rovnice (1.31) a ϕ(x, y) je libovolná
funkce nezávislá na funkci ψ, pak −
ψx
ψy
=
B
A
, tj. ψx = −
B
A
ψy, a −
ψx
ψy
je kořenem charakteristické rovnice (1.29).
V rovnostech (1.28) tedy dostaneme c = 0 a
b = −Bϕxψy + B ϕxψy −
B
A
ϕyψy + Cϕyψy = C −
B2
A
ϕyψy =
AC − B2
A
ϕyψy = 0 .
Kanonický tvar parabolické rovnice (1.25) je
uξξ = F2(ξ, η, u, uξ, uη) .
18
1.3.5 Kanonický tvar eliptické rovnice
Eliptická rovnice (1.25) nemá reálné charakteristiky. Pro její transformaci zavedeme nejprve označení
µ(x, y) =
B(x, y)
A(x, y)
, ν(x, y) =
A(x, y)C(x, y) − B(x, y)
2
A(x, y)
.
Dále nechť Φ(x, y) = C1, resp. Ψ(x, y) = C2, je implicitní popis řešení rovnice
y′
= µ(x, y) + iν(x, y), resp. y′
= µ(x, y) − iν(x, y).
To znamená, že
−
Φx
Φy
= µ + iν, −
Ψx
Ψy
= µ − iν.
Položíme
ξ = ϕ =
1
2
(Φ + Ψ), η = ψ =
1
2i
(Φ − Ψ).
Pak platí
ϕx =
1
2
(Φx + Ψx) =
1
2
(−µΦy − iνΦy − µΨy + iνΨy) =
1
2i
ν(Φy − Ψy) −
1
2
µ(Φy + Ψy) = νψy − µϕy,
ψx =
1
2i
(Φx − Ψx) =
1
2i
(−µΦy − iνΦy + µΨy − iνΨy) = −
1
2i
µ(Φy − Ψy) −
1
2
ν(Φy + Ψy) = −µψy − νϕy.
Dosazením těchto vyjádření do rovností (1.28) dostaneme
a = Aϕ2
x + 2Bϕxϕy + Cϕ2
y = A ν2
ψ2
y − 2νµϕyψy + µ2
ϕ2
y + 2B νϕyψy − µϕ2
y + Cϕ2
y =
= (Aµ2
− 2Bµ + C)ϕ2
y + Aν2
ψ2
y + 2ν(B − Aµ)ϕyψy =
=
B2
A
− 2
B2
A
+ C ϕ2
y +
AC − B2
A
ψ2
y + 2ν(B − B)ϕyψy =
AC − B2
A
ϕ2
y + ψ2
y ,
b = Aϕxψx + B(ϕxψy + ϕyψx) + Cϕyψy =
= −A νµψ2
y − µ2
ϕyψy + ν2
ψyϕy − µνϕ2
y + B νψ2
y − µϕyψy − µϕyψy − νϕ2
y + Cϕyψy =
= (Aµ − B)νϕ2
y + (B − Aµ)νψ2
y + Aµ2
− Aν2
− 2Bµ + C ϕyψy =
= (B − B) νϕ2
y − νψ2
y +
B2
A
−
AC − B2
A
−
2B2
A
+
AC
A
ϕyψy = 0,
c = Aψ2
x + 2Bψxψy + Cψ2
y = A µ2
ψ2
y + 2µνψyϕy + ν2
ϕ2
y − 2B µψ2
y + νϕyψy + Cψ2
y =
= Aν2
ϕ2
y + Aµ2
− 2Bµ + C ψ2
y + 2ν(Aµ − B)ϕyψy =
=
AC − B2
A
ϕ2
y +
B2
A
− 2
B2
A
+ C ψ2
y + 2ν(B − B)ϕyψy =
AC − B2
A
ϕ2
y + ψ2
y ,
tedy a = c, b = 0. Kanonický tvar eliptické rovnice (1.25) je
uξξ + uηη = F3(ξ, η, u, uξ, uη) .
1.3.6 Kanonický tvar lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu ve dvou
nezávisle proměnných s konstantními koeficienty
auxx + 2buxy + cuyy = dux + euy + fu + g(x, y) , (1.32)
19
kde a, b, c, d, e, f ∈ R a g : R2
→ R. Výše popsané transformace převedou tuto rovnici na některý z tvarů
uξη = d1uξ + e1uη + f1u + g1(ξ, η) , pokud b2
− ac > 0 ,
uξξ = d2uξ + e2uη + f2u + g2(ξ, η) , pokud b2
− ac = 0 ,
uξξ + uηη = d3uξ + e3uη + f3u + g3(ξ, η) , pokud b2
− ac < 0 .
(1.33)
Zavedeme novou neznámou funkci v vztahem
u = v eλξ+µη
,
kde λ, µ jsou zatím neurčené konstanty. Pak je
uξ = eλξ+µη
(λv + vξ) , uξξ = eλξ+µη
(λ2
v + 2λvξ + vξξ) ,
uη = eλξ+µη
(µv + vη) , uξη = eλξ+µη
(λµv + µvξ + λvη + vξη) ,
uηη = eλξ+µη
(µ2
v + 2µvη + vηη) .
Dosadíme do rovnic (1.33) a vykrátíme výrazem eλξ+µη
= 0:
vξη = (d1 − µ)vξ + (e1 − λ)vη + (d1λ + e1µ − λµ + f1)v + ˜g1(ξ, η) pro hyperbolickou rovnici,
vξξ = (d2 − 2λ)vξ + e2vη + (d2λ + e2µ − λ2
+ f2)v + ˜g2(ξ, η) pro parabolickou rovnici,
vξξ + vηη = (d3 − 2λ)vξ + (e3 − 2µ)vη + (d3λ + e3µ − λ2
− µ2
+ f3)v + ˜g3(ξ, η) pro eliptickou rovnici.
Konstanty λ, µ zvolíme tak, aby pravé strany byly co nejjednodušší. Konkrétně:
• Pro hyperbolickou rovnici µ = d1, λ = e1. Dostaneme
vξη = (e1d1 + f1)v + ˜g1(ξ, η) .
• Pro parabolickou rovnici λ =
d2
2
, µ = −
4f2 + d2
2
4e2
. Dostaneme
vξξ = e2vη + ˜g2(ξ, η) .
• Pro eliptickou rovnici λ =
d3
2
, µ =
e3
2
. Dostaneme
vξξ + vηη =
d2
3 + e2
3 + 4f3
4
v + ˜g3(ξ, η) .
1.4 Počáteční úloha pro hyperbolickou rovnici ve dvou nezávisle
proměnných
1.4.1 Řešení počáteční úlohy pro homogenní hyperbolickou rovnici ve dvou nezávisle
proměnných (kmity nekonečné struny)
utt(t, x) = a2
uxx(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (−∞, ∞) , (1.34)
u(0, x) = ϕ(x) , ut(0, x) = ψ(x) , x ∈ (−∞, ∞) , (1.35)
kde a > 0, funkce ϕ je dvakrát diferencovatelná a funkce ψ je diferencovatelná.
Charakteristická rovnice parciální rovnice (1.34) je x′2
− a2
= 0, tedy x′
= ±a, z čehož x(t) = ±at + const.
Transformací
ξ = x − at , η = x + at
přejde rovnice (1.34) na tvar
uξη(ξ, η) = 0 .
20
Odtud plyne, že uξ nezávisí na η, tedy
uξ(ξ, η) = f(ξ) .
Tuto rovnici zintegrujeme podle ξ a dostaneme
u(ξ, η) = F(ξ) + G(η) ,
kde F je funkce primitivní k f a G je libovolná funkce. Zpětnou transformací tedy dostaneme řešení rovnice
(1.34) ve tvaru
u(t, x) = F(x − at) + G(x + at) , (1.36)
kde F, G jsou libovolné dvakrát diferencovatelné funkce. Určíme je tak, aby byly splněny počáteční podmínky
(1.35), tedy
F(x) + G(x) = ϕ(x) , −aF′
(x) + aG′
(x) = ψ(x) .
Druhou z těchto rovností přepíšeme na tvar F(x) − G(x)
′
= −
ψ(x)
a
a integrujeme. Dostaneme
F(x) − G(x) − F(x0) − G(x0) = −
1
a
x
x0
ψ(ξ)dξ ,
kde x0 je nějaké číslo. Řešíme tedy soustavu rovnic
F(x) + G(x) = ϕ(x) ,
F(x) − G(x) = F(x0) − G(x0) −
1
a
x
x0
ψ(ξ)dξ
a dostaneme
F(x) =
1
2
ϕ(x) −
1
2a
x
x0
ψ(ξ)dξ +
F(x0)
2
−
G(x0)
2
, G(x) =
1
2
ϕ(x) +
1
2a
x
x0
ψ(ξ)dξ −
F(x0)
2
+
G(x0)
2
.
Dosazením do (1.36) nyní dostaneme řešení úlohy (1.34), (1.35) ve tvaru
u(t, x) =
ϕ(x − at) + ϕ(x + at)
2
+
1
2a
x+at
x−at
ψ(ξ)dξ .
Poslední formule se nazývá d’Alembertův vzorec.
1.4.2 Řešení počáteční úlohy pro homogenní hyperbolickou rovnici ve dvou nezávisle
proměnných s obecným počátkem
utt(t, x) = a2
uxx(t, x) , (t, x) ∈ (σ, ∞) × (−∞, ∞) , (1.37)
u(σ, x) = ϕ(x) , ut(σ, x) = ψ(x) , x ∈ (−∞, ∞) , (1.38)
kde a > 0, σ ∈ R, funkce ϕ je dvakrát diferencovatelná a funkce ψ je diferencovatelná.
Transformací τ = t − σ tato úloha přejde na
uττ (τ, x) = a2
uxx(τ, x) , (τ, x) ∈ (0, ∞) × (−∞, ∞) ,
u(0, x) = ϕ(x) , uτ (0, x) = ψ(x) , x ∈ (−∞, ∞) .
Podle 1.4.1 má tato úloha řešení
u(τ, x) =
1
2
(ϕ(x − aτ) + ϕ(x + aτ)) +
1
2a
x+aτ
x−aτ
ψ(ξ)dξ ,
takže řešení úlohy (1.37), (1.38) je
u(t, x) =
ϕ(x − a(t − σ)) + ϕ(x + a(t − σ))
2
+
1
2a
x+a(t−σ)
x−a(t−σ)
ψ(ξ)dξ .
21
1.4.3 Řešení počáteční úlohy pro nehomogenní hyperbolickou rovnici ve dvou
proměnných s homogenní počáteční podmínkou (buzené kmity nekonečné
struny)
utt(t, x) = a2
uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (−∞, ∞) , (1.39)
u(0, x) = 0 , ut(0, x) = 0 , x ∈ (−∞, ∞) , (1.40)
kde a > 0 a funkce f je spojitá.
Tato úloha popisuje kmity struny, která je na počátku v klidu a v rovnovážné poloze. Kmity jsou buzené
působením vnější síly f. Můžeme si tak představit, že od počátku se v průběhu postupně „nasčítají
nebo„naintegrují vlivy síly f. Tedy, že řešení je tvaru
u(t, x) =
t
0
w(t, x, σ)dσ.
Tato myšlenka se nazývá Duhamelův princip. Platí
u(0, x) = 0 , a ut(t, x) = w(t, x, t) +
t
0
wt(t, x, σ)dσ .
Ke splnění podmínky ut(0, x) = 0 stačí, aby pro všechna σ > 0 funkce w = w(t, x, σ) splňovala
w(σ, x, σ) = 0 . (1.41)
Dále platí
∂2
∂t2
u(t, x) =
∂
∂t

w(t, x, t) +
t
0
w|1(t, x, σ)dσ

 =
∂
∂t

0 +
t
0
w|1(t, x, σ)dσ

 =
= w|1(t, x, t) +
t
0
w|1,1(t, x, σ)dσ ,
∂2
∂x2
u(t, x) =
t
0
w|2,2(t, x, σ)dσ .
Má platit utt(t, x) − a2
uxx(t, x) = f(t, x), tedy f(t, x) = w|1(t, x, t) +
t
0
w|1,1(t, x, σ) − a2
w|2,2(t, x, σ) dσ .
Poslední rovnice bude splněna například pro funkci w = w(t, x, σ), která splňuje pro každé σ > 0
wtt(t, x, σ) = a2
wxx(t, x, σ) , (t, x) ∈ (σ, ∞) × (−∞, ∞) , (1.42)
wt(σ, x, σ) = f(σ, x) , x ∈ (−∞, ∞) . (1.43)
Podle 1.4.2 je řešení úlohy (1.42), (1.41), (1.43) dáno formulí
w(t, x, σ) =
1
2a
x+a(t−σ)
x−a(t−σ)
f(σ, ξ)dξ ,
takže řešení úlohy (1.39), (1.40) je
u(t, x) =
1
2a
t
0



x+a(t−σ)
x−a(t−σ)
f(σ, ξ)dξ


 dσ .
22
Dvojnásobný integrál na pravé straně rovnosti je někdy užitečné vyjádřit jako integrál dvojný, tj.
t
0



x+a(t−σ)
x−a(t−σ)
f(σ, ξ)dξ


 dσ =
Ω
f(σ, ξ)dσdξ,
kde
Ω = (σ, ξ) ∈ R2
: 0 < σ < t, x − (a(t − σ) < ξ < x + a(t − σ) =
= (σ, ξ) ∈ R2
: x − t < ξ < x + t, 0 < σ < t − |ξ − x| .
1.4.4 Řešení obecné počáteční úlohy pro hyperbolickou rovnici ve dvou nezávisle
proměnných
utt(t, x) = a2
uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (−∞, ∞) , (1.44)
u(0, x) = ϕ(x) , ut(0, x) = ψ(x) , x ∈ (−∞, ∞) , (1.45)
kde a > 0, funkce ϕ je dvakrát diferencovatelná, funkce ψ je diferencovatelná a funkce f je spojitá.
Přímým výpočtem ověříme, že je-li v = v(t, x) řešením úlohy (1.34), (1.35) a w = w(t, x) je řešením úlohy
(1.39), (1.40), pak u = u(t, x) = v(t, x) + w(t, x) je řešením úlohy (1.44), (1.45). Podle 1.4.1 a 1.4.3 je řešení
dané úlohy
u(t, x) =
ϕ(x − at) + ϕ(x + at)
2
+
1
2a
x+at
x−at
ψ(ξ)dξ +
1
2a
t
0



x+a(t−σ)
x−a(t−σ)
f(σ, ξ)dξ


 dσ .
Zavedeme-li funkci
G = G(x, ξ, t) =



1
2a
, x − at < ξ < x + at,
0, jinak,
můžeme řešení úlohy (1.44), (1.45) zapsat v kompaktnějším tvaru
u(t, x) = 1
2 ϕ(x − at) + ϕ(x + at) +
∞
−∞
ψ(ξ)G(x, ξ, t)dξ +
t
0
∞
−∞
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξ dσ.
Funkce G má derivaci podle času ve smyslu distribucí, sr. Dodatek A.3. Řešení úlohy (1.44), (1.45) proto můžeme
také vyjádřit jako
u(t, x) =
∞
−∞

ϕ(ξ)
∂
∂t
G(x, ξ, t) + ψ(ξ)G(x, ξ, t) +
t
0
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dσ

 dξ.
Jednoznačnost řešení úlohy (1.44), (1.45)
Jsou-li u1 = u1(t, x) a u2 = u2(t, x) řešení úlohy (1.44), (1.45), pak u0 = u0(t, x) = u1(t, x) − u2(t, x) je řešením
homogenní rovnice (1.34) s nulovými počátečními podmínkami (1.40). Analogicky jako v 1.4.1 ukážeme, že
u0(t, x) = F(x − at) + G(x + at)
a pro funkce F, G platí
F(x) + G(x) = 0 , neboli G(x) = −F(x) ,
F′
(x) − G′
(x) = 0 , neboli G(x) = F(x) + const
pro všechna x ∈ R. Odtud jednak plyne, že F(x) ≡ const a dále
u0(t, x) = F(x − at) + G(x + at) = F(x − at) − F(x + at) ≡ const − const = 0 .
Tedy u1 ≡ u2.
23
1.4.5 Řešení hyperbolické rovnice ve dvou nezávisle proměnných s obecnými počátečními
podmínkami a s jednou okrajovou podmínkou
Podmínka Dirichletova typu (kmity nekonečné struny upevněné na jednom konci, odraz vlny na
pevném konci)
utt(t, x) = a2
uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ∞) , (1.46)
u(0, x) = ϕ(x) , ut(0, x) = ψ(x) , x ∈ (0, ∞) , (1.47)
u(t, 0) = 0 , t ∈ (0, ∞) , (1.48)
kde a > 0, funkce ϕ je dvakrát diferencovatelná, funkce ψ je diferencovatelná a platí
lim
x→0+
ϕ(x) = 0, lim
x→0+
ψ(x) = 0.
Definujme liché rozšíření funkcí ϕ, ψ, f(t, ·):
˜ϕ(x) =
ϕ(x), x ≥ 0
−ϕ(−x), x < 0
, ˜ψ(x) =
ψ(x), x > 0
−ψ(−x), x < 0
, ˜f(t, x) =
f(t, x), x > 0
−f(t, −x), x < 0
,
tj. ˜ϕ(x) = ϕ(|x|) sgn x, ˜ψ(x) = ψ(|x|) sgn x, ˜f(t, x) = f(t, |x|) sgn x.
Řešení úlohy (1.46), (1.47), (1.48) je
u(t, x) =
˜ϕ(x − at) + ˜ϕ(x + at)
2
+
1
2a
x+at
x−at
˜ψ(ξ)dξ +
1
2a
t
0



x+a(t−σ)
x−a(t−σ)
˜f(σ, ξ)dξ


 dσ =
=
ϕ(|x − at|) sgn(x − at) + ϕ(x + at)
2
+
1
2a
x+at
x−at
ψ(|ξ|) sgn(ξ)dξ +
1
2a
t
0



x+a(t−σ)
x−a(t−σ)
f(σ, |ξ|) sgn(ξ)dξ


 dσ =
=
ϕ(|x − at|) sgn(x − at) + ϕ(x + at)
2
+
1
2a
x+at
|x−at|
ψ(ξ)dξ +
1
2a
t
0



x+a(t−σ)
|x−a(t−σ)|
f(σ, ξ)dξ


 dσ .
V tomto případě můžeme na množině [0, ∞)3
definovat funkci G předpisem
G(x, ξ, t) =



1
2a
, |x − at| < ξ < x + at,
0, jinak
a řešení úlohy (1.46), (1.47), (1.48) zapsat ve tvaru
u(t, x) =
ϕ(|x − at|) sgn(x − at) + ϕ(x + at)
2
+
∞
0
ψ(ξ)G(x, ξ, t)dξ +
t
0
∞
0
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξdσ.
Řešení úlohy (1.46), (1.47) s nenulovou okrajovou podmínkou
u(t, 0) = α(t) , t ∈ (0, ∞) , (1.49)
kde α je dvakrát diferencovatelná funkce splňující podmínku lim
t→0+
α(t) = lim
x→0+
ϕ(x), je tvaru
u(t, x) = v(t, x) + α(t),
kde funkce v je řešením úlohy
vtt(t, x) = a2
vxx(t, x) + f(t, x) − α′′
(t) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ∞) ,
v(0, x) = ϕ(x) − α(0+) , vt(0, x) = ψ(x) − α′
(0+) , x ∈ (0, ∞) ,
v(t, 0) = 0 , t ∈ (0, ∞) ;
přitom α(0+) = lim
t→0+
α(t), α′
(0+) = lim
t→0+
α′
(t).
24
Podmínka Neumannova typu (odraz vlny na volném konci)
utt(t, x) = a2
uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ∞) , (1.50)
u(0, x) = ϕ(x) , ut(0, x) = ψ(x) , x ∈ (0, ∞) , (1.51)
ux(t, 0) = 0 , t ∈ (0, ∞) , (1.52)
kde a > 0, funkce ϕ je dvakrát diferencovatelná, funkce ψ je diferencovatelná a pro jejich derivace platí
lim
x→0+
ϕ′
(x) = 0 , lim
x→0+
ψ′
(x) = 0 .
Nyní zavedeme sudé rozšíření funkcí ϕ, ψ, f(t, ·)
˜ϕ(x) = ϕ(|x|) , ˜ψ(x) = ψ(|x|) , ˜f(t, x) = f(t, |x|) ,
a dostaneme řešení úlohy (1.50), (1.51), (1.52) ve tvaru
u(t, x) =
ϕ(|x − at|) + ϕ(x + at)
2
+
1
2a
x+at
x−at
ψ(|ξ|)dξ +
1
2a
t
0



x+a(t−σ)
x−a(t−σ)
f(σ, |ξ|)dξ


 dσ .
V tomto případě můžeme definovat na množině [0, ∞)3
funkci G předpisem
G(x, ξ, t) =



1
2a
, |x − at| < ξ < x + at,
1
a
, x − at < 0 < ξ < at − x,
0, jinak
a řešení úlohy (1.50), (1.51), (1.52) zapsat ve tvaru
u(t, x) =
ϕ(|x − at|) + ϕ(x + at)
2
+
∞
0
ψ(ξ)G(x, ξ, t)dξ +
t
0
∞
0
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξdσ.
Řešení úlohy (1.50), (1.51) s nenulovou okrajovou podmínkou
ux(t, 0) = β(t) , t ∈ (0, ∞) , (1.53)
kde β je dvakrát diferencovatelná funkce splňující podmínku lim
t→0+
β(t) = lim
x→0+
ϕ′
(x), lim
t→0+
β′
(t) = lim
x→0+
ψ′
(x),
je tvaru
u(t, x) = v(t, x) + xβ(t),
kde funkce v je řešením úlohy
vtt(t, x) = a2
vxx(t, x) + f(t, x) − xβ′′
(t) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ∞) ,
v(0, x) = ϕ(x) − xβ(0) , vt(0, x) = ψ(x) − xβ′
(0) , x ∈ (0, ∞) ,
vx(t, 0) = 0 , t ∈ (0, ∞) ;
pokud by některá z funkcí β, β′
, nebyla pro t = 0 definovaná, vezmeme místo funkčních hodnot příslušnou
limitu zprava.
25
1.4.6 Řešení hyperbolické rovnice ve dvou nezávisle proměnných s obecnými počátečními
podmínkami a s okrajovými podmínkami Dirichletova typu (kmity
konečné struny upevněné na obou koncích)
utt(t, x) = a2
uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) , (1.54)
u(0, x) = ϕ(x) , ut(0, x) = ψ(x) , x ∈ (0, ℓ) , (1.55)
u(t, 0) = u(t, ℓ) = 0 , t ∈ (0, ∞) , (1.56)
kde a > 0, funkce ϕ je dvakrát diferencovatelná, funkce ψ je diferencovatelná a platí
ϕ(0) = ϕ(ℓ) = ψ(0) = ψ(ℓ) = 0 .
Definujme spojité 2ℓ-periodické liché rozšíření funkcí ϕ, ψ, f(t, ·). Toto rozšíření je dáno sinovými řadami
˜ϕ(x) =
2
ℓ
∞
n=1


ℓ
0
ϕ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
x ,
˜ψ(x) =
2
ℓ
∞
n=1


ℓ
0
ψ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
x ,
˜f(t, x) =
2
ℓ
∞
n=1


ℓ
0
f(t, ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
x ,
S využitím součtových vzorců sin(α − β) + sin(α + β) = 2 sin α cos β a cos(α − β) − cos(α + β) = 2 sin α cos β
dostaneme
1
2
( ˜ϕ(x − at) + ˜ϕ(x + at)) =
1
ℓ
∞
n=1


ℓ
0
ϕ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
(x − at) + sin
nπ
ℓ
(x + at) =
=
2
ℓ
∞
n=1


ℓ
0
ϕ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
x cos
nπa
ℓ
t ,
1
2a
x+at
x−at
˜ψ(ξ)dξ =
1
aℓ
∞
n=1


ℓ
0
ψ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ




x+at
x−at
sin
nπ
ℓ
ξdξ

 =
=
1
aℓ
∞
n=1


ℓ
0
ψ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 ℓ
nπ
cos
nπ
ℓ
ξ
x−at
ξ=x+at
=
=
1
aπ
∞
n=1
1
n


ℓ
0
ψ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 cos
nπ
ℓ
(x − at) − cos
nπ
ℓ
(x + at) =
=
2
aπ
∞
n=1
1
n


ℓ
0
ψ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
x sin
nπa
ℓ
t ,
1
2a
t
0



x−a(t+σ)
x−a(t−σ)
˜f(σ, ξ)dξ


 dσ =
1
aℓ
∞
n=1
t
0


ℓ
0
f(σ, ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ





x+a(t−σ)
x−a(t−σ)
sin
nπ
ℓ
ξdξ


 dσ =
26
=
1
aℓ
∞
n=1
t
0


ℓ
0
f(σ, ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 ℓ
nπ
cos
nπ
ℓ
ξ
x−a(t−σ)
ξ=x+a(t−σ)
dσ =
=
1
aπ
∞
n=1
1
n
t
0


ℓ
0
f(σ, ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 cos
nπ
ℓ
(x − a(t − σ)) − cos
nπ
ℓ
(x + a(t − σ)) dσ =
=
2
aπ
∞
n=1
1
n
t
0


ℓ
0
f(σ, ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
x sin
nπa
ℓ
(t − σ)dσ =
=
2
aπ
∞
n=1
1
n
sin
nπ
ℓ
x
t
0
sin
nπa
ℓ
(t − σ)


ℓ
0
f(σ, ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 dσ .
Označíme-li tedy
ω =
aπ
ℓ
, An =
2
ℓ
ℓ
0
ϕ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ , Bn =
2
nπa
ℓ
0
ψ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ ,
G(x, ξ, t − σ) =
2
aπ
∞
n=1
1
n
sin
nπ
ℓ
x sin
nπ
ℓ
ξ sin
nπa
ℓ
(t − σ) ,
lze řešení úlohy (1.54), (1.55), (1.56) zapsat ve tvaru
u(t, x) =
∞
n=1
(An cos nωt + Bn sin nωt) sin
nπ
ℓ
x +
t
0
ℓ
0
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξdσ .
Označíme-li dále αn = A2
n + B2
n a ϕn = arctg
Bn
An
, platí
An cos nωt + Bn sin nωt = αn cos(nωt − ϕn)
a řešení úlohy (1.54), (1.55), (1.56) lze zapsat ve tvaru
u(t, x) =
∞
n=1
αn cos(nωt − ϕn) sin
nπ
ℓ
x +
t
0
ℓ
0
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξdσ .
Řešení úlohy (1.54), (1.55) s nehomogenní okrajovou podmínkou
u(t, 0) = µ0(t) , u(t, ℓ) = µ1(t) , t ∈ (0, ∞) , (1.57)
kde α, β jsou dvakrát diferencovatelné funkce, je tvaru u(t, x) = v(t, x)+U(t, x), kde funkce U = U(t, x) splňuje
podmínky (1.57) a funkce v = v(t, x) je řešením úlohy
vtt(t, x) = a2
vxx(t, x) + f(t, x) − Utt(t, x) + a2
Uxx(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) , (1.58)
v(0, x) = ϕ(x) − U(0, x) , vt(0, x) = ψ(x) − Ut(0, x) , x ∈ (0, ℓ) , (1.59)
v(t, 0) = v(t, ℓ) = 0 , t ∈ (0, ∞) , (1.60)
Za funkci U stačí vzít
U(t, x) = µ0(t) +
x
ℓ
(µ1(t) − µ0(t)) .
Při této volbě je Uxx ≡ 0.
27
Cvičení
Najděte obecné řešení rovnice
1) ux = 6x2
uy 3) ux + 2uy = 3
2) (z + y − x)ux + (z + x − y)uy + zuz = 0 4) ux + xuy = u
Najděte řešení rovnice, které splňuje danou podmínku
5) ux + yuy = 0, u(0, y) =
1
y
9) xuux + yuuy + xy = 0, u x,
1
x
= 1
6) ut + aux = 0, u(x, 0) = sin x 10) 2xux + yuy = 4u + 1, u(x, 1) = x2
7) ut + aux = x2
t + 1, u(x, 0) = x + 2 11) u = uxuy, u(0, y) = y2
8) yux − xuy = y2
− x2
, u(x, a) = x2
− a2
12) 4u = u2
x − u2
y, u(cosσ, sin σ) = cos 2σ
Určete typ lineární rovnice druhého řádu
13) uxx + yuyy = 0 14) x2
uxx − 2x sin y uxy + sin2
y uyy = 0
Danou rovnici převeďte na kanonický tvar
15) e2x
uxx + 2ex+y
uxy + e2y
uyy = 0 17) y2
uxx + x2
uyy = 0
16) xyuxx − (x2
+ y2
)uxy + xyuyy + yux + xuy = 0, x = y 18) uxx + uxy + uyy + ux = 0
Najděte obecné řešení rovnice
19) x2
uxx − 2xyuxy + y2
uyy + xux + yuy = 0 20) x2
uxx − y2
uyy = 0
Řešte počáteční úlohy
21) utt = uxx + sin x; u(0, x) = x, ut(0, x) =
1
x
.
22) utt − uxx = δ(x) sin t; u(0, x) = 0, ut(0, x) = 0.
δ(x) označuje Diracovu distribuci soustředěnou v bodě 0.
23) Řešte rovnici s nulovými počátečními podmínkami a jednou okrajovou podmínkou
utt = a2
uxx; u(0, x) = 0 = ut(0, x), u(t, 0) = A sin ωt.
Výsledky: 1) u(x, y) = Φ(2x3
+ y) 2) u(x, y, z) = Φ x + y − 2z, z2
(x − y) 3) u(x, y) = 3
2 y + Φ(2x − y)
4) u(x, y) = ex
Φ(x2
−2y) 5) u(x, y) = ex
y 6) u(x, t) = sin(x−at) 7) u(x, t) = a2
12 t4
− ax
3 t3
+ x2
2 t2
−(a−1)t+x+2
8) u(x, y) = x2
+ y2
+ xy − 2a2
− a x2 + y2 − a2 9) u(x, y) =
√
2 − xy 10) u(x, y) = x2
+ 1
4 (y4
− 1)
11) u(x, y) = 1
16 (4y +x)2
12) u(x, y) = x2
− y2
13) hyperbolická pro y < 0, eliptická pro y > 0 14) parabolická
15) uηη = ( 1
η−ξη2 − 1)uξ − uη 16) uξη = ξ
η2−ξ2 uη 17) uξξ + uηη + 1
2ξ uξ + 1
2η uη = 0
18) vξξ + vηη = 4
9 , v = e
1
3 ξ+ 1√
3
η
, ξ = 1
2 x − y, η =
√
3
2 x 19) u(x, y) = Φ(xy) ln y + Ψ(xy)
20) u(x, y) = Φ(y
x )
√
xy + Ψ(xy) 21) u(t, x) = x + ln x+t
x−t + sin x − sin x cos t
22) u(t, x) =
1
2 1 − cos(t − |x|) , |x| < t,
0, |x| > t
23) u(t, x) =
A sin ωt − ω
a x , x < at,
0, x ≥ at.
28
Kapitola 2
Metody integrálních transformací
2.1 Fourierova transformace
Fourierova transformace F převádí reálnou funkci f jedné reálné proměnné na komplexní funkci F(f) = ˆf jedné
reálné proměnné definovanou vztahem
ˆf(ξ) =
∞
−∞
f(x)e−ixξ
dx.
O funkci f předpokládáme, že je definovaná na R a konverguje dostatečně rychle k nule pro |x| → ∞ tak,
aby nevlastní integrál na pravé straně konvergoval. Z linearity integrálu plyne, že Fourierova transformace je
lineární, tj.
F(c1f1 + c2f2)(ξ) = c1
ˆf1(ξ) + c2
ˆf2(ξ).
Pro Fourierův obraz derivace funkce f dostaneme integrací per partes a s využitím vlastnosti lim
|x|→∞
f(x) = 0
vztah
F(f′
)(ξ) =
∞
−∞
f′
(x)e−ixξ
dx = f(x)e−ixξ ∞
x=−∞
−
∞
−∞
f(x)(−iξ)e−ixξ
dx = iξ
∞
−∞
f(x)e−ixξ
dx = iξF(f)(ξ),
tj.
f′(ξ) = iξ ˆf(ξ). (2.1)
Inversní Fourierova transformace F−1
převádí funkci ˆf zpět na funkci f na celém R; funkce f je přitom dána
vztahem
f(x) =
1
2π
∞
−∞
ˆf(ξ)eixξ
dξ.
Konvoluce funkcí f, g definovaných na R je funkce f ∗ g daná vztahem
f ∗ g(x) =
∞
−∞
f(y)g(x − y)dy.
(O nevlastním integrálu opět předpokládme, že konverguje.) Fourierův obraz konvoluce funkcí f, g je
F(f ∗ g)(ξ) =
∞
−∞
f ∗ g(x)e−ixξ
dx =
∞
−∞


∞
−∞
f(y)g(x − y)e−ixξ
dy

 dx =
R2
f(y)g(x − y)e−ixξ
dxdy.
V tomto dvojném integrálu budeme transformovat proměnné tak, že položíme x = z +y, y = y. Jacobián tohoto
zobrazení je
1 1
0 1
= 1.
29
Dále e−ixξ
= e−iyξ
e−izξ
, tedy
F(f ∗ g)(ξ) =
R2
f(y)g(z)e−iyξ
e−izξ
dzdy =


∞
−∞
f(y)e−iyξ
dy




∞
−∞
g(z)e−izξ
dz

 = ˆf(ξ)ˆg(ξ).
To znamená, že
f ∗ g = ˆfˆg. (2.2)
2.1.1 Řešení počáteční úlohy pro homogenní parabolickou rovnici ve dvou nezávisle
proměnných (vedení tepla v tenké homogenní nekonečné tyči)
ut(t, x) = a2
uxx(t, x), (t, x) ∈ (0, ∞) × (−∞, ∞), (2.3)
u(0, x) = ϕ(x), x ∈ (−∞, ∞). (2.4)
O všech funkcích i jejich derivacích opět předpokládáme, že „jdou dostatečně rychle k nule pro |x| → ∞ . Na
rovnici (2.3) aplikujeme Fourierovu transformaci (funkci u považujeme za funkci proměnné x; t považujeme za
parametr):
F(ut)(ξ) =
∞
−∞
ut(t, x)e−ixξ
dx = ˆut(t, ξ),
a podle rovnosti (2.1)
F(uxx)(t, ξ) = iξF(ux)(t, ξ) = (iξ)2
F(u)(t, ξ) = −ξ2
F(u)(t, ξ) = −ξ2
ˆu(t, ξ).
Rovnice (2.3) se tedy transformuje na rovnici
ˆut(t, ξ) = −a2
ξ2
ˆu(t, ξ), (2.5)
což je obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu (ξ hraje roli parametru). Její řešení je
ˆu(t, ξ) = Ce−a2
ξ2
t
,
kde C je integrační konstanta; nezávisí na t, ale může záviset na ξ. Určíme ji z transformované počáteční
podmínky (2.4), tj. z podmínky
ˆu(0, ξ) = ˆϕ(ξ). (2.6)
Je tedy
C = ˆu(0, ξ) = ˆϕ(ξ) =
∞
−∞
ϕ(x)e−ixξ
dx.
Označme g(t, x) vzor funkce ˆg(t, ξ) = e−a2
ξ2
t
při Fourierově transformaci, tedy
g(t, x) =
1
2π
∞
−∞
e−a2
ξ2
t
eixξ
dξ =
1
2π
∞
−∞
e−a2
ξ2
t
(cos xξ + i sin ξx)dξ =
=
1
2π
∞
−∞
e−a2
ξ2
t
cos xξdξ +
i
2π
∞
−∞
e−a2
ξ2
t
sin xξdξ =
1
π
∞
0
e−a2
ξ2
t
cos xξdξ,
neboť funkce e−a2
ξ2
t
cos xξ (jako funkce proměnné ξ) je sudá a funkce e−a2
ξ2
t
sin xξ je lichá. Substitucí η = ξ
√
a2t
a při označení q =
x
√
a2t
nyní dostáváme
g(t, x) =
1
π
√
a2t
∞
0
e−η2
cos qηdη.
30
Označme dále I(q) =
∞
0
e−η2
cos qηdη. Pak podle (C.21) je I(0) =
∞
0
e−η2
dη =
√
π
2
. Derivováním integrálu I(q)
podle parametru q a následnou integrací per partes dostaneme
d
dq
I(q) = −
∞
0
ηe−η2
sin qηdη =
1
2
e−η2
sin qη
∞
η=0
−
q
2
∞
0
e−η2
cos qηdη = −
q
2
I(q).
Integrál I(q) je tedy řešením počáteční úlohy pro obyčejnou diferenciální rovnici
d
dq
I(q) = −
q
2
I(q), I(0) =
√
π
2
,
takže
I(q) =
√
π
2
e− q2
4 .
Návratem k původní proměnné x dostáváme
g(t, x) =
1
π
√
a2t
√
π
2
e− x2
4a2t =
1
2
√
πa2t
e− x2
4a2t .
Řešení úlohy (2.5), (2.6) lze zapsat ve tvaru ˆu(t, ξ) = ˆϕ(ξ)ˆg(t, ξ). Inversní Fourierovou transformací s využitím
(2.2) dostaneme řešení úlohy (2.3), (2.4) jako konvoluci funkcí ϕ a g(t, ·)
u(t, x) = ϕ(·) ∗ g(t, ·)(x) =
∞
−∞
ϕ(y)g(t, x − y)dy ,
tedy
u(t, x) =
1
2
√
πa2t
∞
−∞
ϕ(y) exp −
(x − y)2
4a2t
dy.
Při označení
G(x, ξ, t) =
1
2
√
πa2t
exp −
(x − ξ)2
4a2t
lze řešení úlohy (2.3), (2.4) zapsat jako
u(t, x) =
∞
−∞
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ.
Na závěr ještě poznamenejme, že řešení počáteční úlohy s posunutým počátkem
ut(t, x) = a2
uxx(t, x), (t, x) ∈ (σ, ∞) × (−∞, ∞),
u(σ, x) = ϕ(x), x ∈ (−∞, ∞),
kde σ ∈ R, je
u(t, x) =
1
2 πa2(t − σ)
∞
−∞
ϕ(y) exp −
(x − y)2
4a2(t − σ)
dy =
∞
−∞
ϕ(ξ)G(x, ξ, t − σ)dξ.
2.1.2 Řešení počáteční úlohy pro nehomogenní parabolickou rovnici ve dvou nezávisle
proměnných
Nejprve uvažujme úlohu s homogenní počáteční podmínkou:
ut(t, x) = a2
uxx(t, x) + f(t, x), (t, x) ∈ (0, ∞) × (−∞, ∞), (2.7)
u(0, x) = 0, x ∈ (−∞, ∞). (2.8)
31
Řešení budeme podle Duhamelova principu hledat ve tvaru u(t, x) =
t
0
w(t, x, σ)dσ. Pak je počáteční podmínka
(2.8) splněna. Dále platí
ut(t, x) = w(t, x, t) +
t
0
wt(t, x, σ)dσ, uxx(t, x) =
t
0
wxx(t, x, σ)dσ.
Aby byla splněna rovnice (2.7), musí platit
0 = ut(t, x) − a2
uxx(t, x) − f(t, x) = w(t, x, t) +
t
0
wt(t, x, σ) − a2
wxx(t, x, σ) dσ − f(t, x)
pro všechna (t, x) ∈ (0, ∞) × (−∞, ∞). Tato rovnost bude splněna zejména tehdy, když pro každé σ ∈ (0, ∞)
bude funkce w řešením úlohy
wt(t, x, σ) = a2
wxx(t, x, σ), (t, x) ∈ (σ, ∞) × (−∞, ∞),
w(σ, x, σ) = f(σ, x), x ∈ (−∞, ∞).
Avšak řešení této úlohy je podle 2.1.1 dáno vzorcem
w(t, x, σ) =
∞
−∞
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξ.
To znamená, že řešení úlohy (2.7), (2.8) je
u(t, x) =
t
0
∞
−∞
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξdσ.
Řešení obecné počáteční úlohy pro parabolickou rovnici ve dvou nezávisle proměnných (2.7), (2.4) je součtem
řešení úloh (2.3), (2.4) a (2.7), (2.8), tj.
u(t, x) =
∞
−∞
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ +
t
0
∞
−∞
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξdσ. (2.9)
2.1.3 Počáteční úloha pro obecnou parabolickou lineární rovnici s konstantními
koeficienty (rovnice reakce-advekce-difúze)
ut(t, x) = a2
uxx(t, x) + bux(t, x) + cu(t, x) + f(t, x), (t, x) ∈ (0, ∞) × (−∞, ∞), (2.10)
u(0, x) = ϕ(x), x ∈ (−∞, ∞), (2.11)
Analogicky jako v 1.3.6 zavedeme novou neznámou funkci v = v(t, x) vztahem
u(t, x) = eλt+µx
v(t, x), (2.12)
kde λ a µ jsou zatím neurčené konstanty. Pak
ut = (λv + vt)eλt+µx
,
ux = (µv + vx)eλt+µx
,
uxx = (µ2
v + 2µvx + vxx)eλt+µx
.
Tyto výrazy dosadíme do rovnice (2.10) a výslednou rovnost vynásobíme výrazem e−λt−µx
. Dostaneme
λv + vt = a2
µ2
v + 2a2
µvx + a2
vxx + bµv + bvx + cv + f(t, x)e−λt−µx
,
32
tj.
vt = a2
vxx + (2a2
µ + b)vx + (a2
µ2
+ bµ + c − λ)v + f(t, x)e−λt−µx
.
Nyní položíme
µ = −
b
2a2
, λ = c −
b2
4a2
a dosazením do předchozí rovnosti dostaneme rovnici
vt(t, x) = a2
vxx(t, x) + f(t, x) exp
b2
− 4a2
c
4a2
t +
b
2a2
x
pro neznámou funkci v. Ta podle (2.11) a (2.12) má splňovat počáteční podmínku
v(0, x) = ϕ(x) exp
b
2a2
x .
Funkce v je tedy podle (2.9) dána formulí
v(t, x) =
∞
−∞
ϕ(ξ) exp
b
2a2
ξ G(x, ξ, t)dξ +
t
0
∞
−∞
f(σ, ξ) exp
b2
− 4a2
c
4a2
σ +
b
2a2
ξ G(x, ξ, t − σ)dξdσ.
Podle transformačního vztahu (2.12) je řešení úlohy (2.10), (2.11) exp
4a2
c − b2
4a2
t −
b
2a2
x -násobkem funkce
v. Označíme-li tedy
˜G(x, ξ, t; a, b, c) =
1
2
√
πa2t
exp −
(x − ξ)2
4a2t
−
b
2a2
(x − ξ) +
4a2
c − b2
4a2
t ,
můžeme řešení úlohy (2.10), (2.11) zapsat ve tvaru
u(t, x) =
∞
−∞
ϕ(ξ) ˜G(x, ξ, t; a, b, c)dξ +
t
0
∞
−∞
f(σ, ξ) ˜G(x, ξ, t − σ; a, b, c)dξdσ.
2.1.4 Řešení počáteční úlohy pro nehomogenní parabolickou rovnici ve dvou nezávisle
proměnných s jednou okrajovou podmínkou
Nejprve uvažujme úlohu s homogenní okrajovou podmínkou
ut(t, x) = a2
uxx(t, x) + f(t, x), (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ∞), (2.13)
u(0, x) = ϕ(x), x ∈ (0, ∞), (2.14)
u(t, 0) = 0, t ∈ (0, ∞). (2.15)
Nechť funkce ˜f(t, ·) a ˜ϕ jsou lichým rozšířením funkcí f(t, ·) a ϕ, tj.
˜f(t, x) = f(t, |x|) sgn(x) =



f(t, x), x > 0
0, x = 0
−f(t, −x), x < 0,
˜ϕ(x) = ϕ(|x|) sgn(x) =



ϕ(x), x > 0
0, x = 0
−ϕ(−x), x < 0
a funkce v je řešením úlohy
vt(t, x) = a2
vxx(t, x) + ˜f(t, x), (t, x) ∈ (0, ∞) × (−∞, ∞),
v(0, x) = ˜ϕ(x), x ∈ (−∞, ∞);
sr. 2.1.2. Funkce v je dána formulí (2.9), v níž místo obecných funkcí ϕ, f(t, ·) jsou liché funkce ˜ϕ, ˜f(t, ·); funkce
G(0, · , t) je sudá. To znamená, že funkce v(t, ·) je lichá takže v(t, 0) = 0. Funkce v tedy splňuje homogenní
33
okrajovou podmínku (2.15). Navíc samozřejmě splňuje rovnici (2.13) a podmínku (2.14). Je tedy řešením úlohy
(2.13), (2.14), (2.15). Pro libovolnou funkci ψ definovanou na intervalu [0, ∞) platí
∞
−∞
ψ(|ξ|) sgn(ξ)G(x, ξ, τ)dξ = −
0
−∞
ψ(−ξ)G(x, ξ, τ)dξ +
∞
0
ψ(ξ)G(x, ξ, τ)dξ =
=
0
∞
ψ(η)G(x, −η, τ)dη +
∞
0
ψ(ξ)G(x, ξ, τ)dξ =
∞
0
ψ(ξ) G(x, ξ, τ) − G(x, −ξ, τ) dξ.
Dále je
G(x, ξ, τ) − G(x, −ξ, τ) =
1
2
√
πa2t
exp −
(x − ξ)2
4a2t
− exp −
(x + ξ)2
4a2t
=
=
1
2
√
πa2t
exp −
x2
+ ξ2
4a2t
exp
xξ
2a2t
− exp
−xξ
2a2t
=
1
√
πa2t
exp −
x2
+ ξ2
4a2t
sinh
xξ
2a2t
,
kde sinh označuje hyperbolický sinus. Nyní označíme
GD(x, ξ, t) =
1
√
πa2t
exp −
x2
+ ξ2
4a2t
sinh
xξ
2a2t
a řešení úlohy (2.13), (2.14), (2.15) zapíšeme ve tvaru
u(t, x) =
∞
0
ϕ(ξ)GD(x, ξ, t)dξ +
t
0
∞
0
f(σ, ξ)GD(x, ξ, t − σ)dξdσ.
Homogenní okrajovou podmínku (2.15) dále nahradíme podmínkou nehomogenní
u(t, 0) = µ(t), t ∈ (0, ∞) (2.16)
a o funkci µ budeme předpokládat, že je diferencovatelná. Řešení úlohy (2.13), (2.14), (2.16) budeme hledat ve
tvaru
u(t, x) = U(t, x) + v(t, x),
kde funkce U splňuje okrajovou podmínku (2.16); k tomu stačí volit U(t, x) = µ(t). Pak platí
µ′
(t) + vt(t, x) = a2
vxx(t, x) + f(t, x),
µ(0) + v(0, x) = ϕ(x),
µ(t) + v(t, 0) = µ(t)
a to znamená, že funkce v je řešením úlohy
vt(t, x) = a2
vxx(t, x) + f(t, x) − µ′
(t), (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ∞),
v(0, x) = ϕ(x) − µ(0), x ∈ (0, ∞),
v(t, 0) = 0, t ∈ (0, ∞),
což je úloha stejného typu jako (2.13), (2.14), (2.15).
2.2 Laplaceova transformace
Buď M množina reálných funkcí definovaných na intervalu (0, ∞) takových, že integrál
∞
0
f(t)e−pt
dt konverguje
a lim
t→∞
f(t)e−pt
= 0 pro všechna p > 0. Laplaceova transformace L převádí reálnou funkci f ∈ M na reálnou
funkci Lf definovanou na intervalu (0, ∞) vztahem
Lf(p) =
∞
0
f(t)e−pt
dt.
34
f(t) Lf(p) =
∞
0
f(t)e−pt
dt f(t) Lf(p) =
∞
0
f(t)e−pt
dt
1
1
p
t sin ωt
2ωp
(p2 + ω2)2
t
1
p2
t cos ωt
p2
− ω2
(p2 + ω2)2
tn
, n = 1, 2, . . .
n!
pn+1
eat
sin ωt
ω
(p − a)2 + ω2
ta
, a > −1
Γ(a + 1)
pa+1
eat
cos ωt
p − a
(p − a)2 + ω2
eat 1
p − a
sin2
ωt
2ω2
p(p2 + 4ω2)
teat 1
(p − a)2
cos2
ωt
p2
+ 2ω2
p(p2 + 4ω2)
tn
eat
, n = 1, 2, . . .
n!
(p − a)n+1
sinh at
a
p2 − a2
tν
eat
, ν > −1
Γ(ν + 1)
(p − a)ν+1
cosh at
p
p2 − a2
sin ωt
ω
p2 + ω2
t sinh at
2ap
(p2 − a2)2
cos ωt
p
p2 + ω2
t cosh at
p2
+ a2
(p2 − a2)2
e−a/t
√
t3
, a > 0
π
a
e−2
√
ap
Jν (at), ν > −1
p2 + a2 − pν
ν
aν p2 + a2
Tabulka 2.1: „Operátorový slovník pro Laplaceovu transformaci
Z uvedeného definičního vztahu plyne, že Laplaceův obraz funkce f ∈ M je funkcí ohraničenou a že Laplaceova
transformace je lineární, tj.
L(c1f1 + c2f2)(p) = c1Lf1(p) + c2Lf2(p).
Obrazy některých funkcí v Laplaceově transformaci jsou uvedeny v tabulce 2.1.
Vypočítáme Laplaceův obraz derivace funkce:
L (f′
) (p) =
∞
0
f′
(t)e−pt
dt = f(t)e−pt ∞
t=0
+ p
∞
0
f(t)e−pt
dt = − lim
t→0+
f(t) + pLf(p).
Při označení f(0+) = lim
t→0+
f(t) tedy platí
L (f′
) (p) = pLf(p) − f(0+). (2.17)
2.2.1 Řešení úlohy pro homogenní parabolickou rovnici ve dvou nezávisle proměnných
s homogenní počáteční a jednou okrajovou podmínkou
ut(t, x) = a2
uxx(t, x), (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ∞), (2.18)
u(0, x) = 0, x ∈ (0, ∞), (2.19)
u(t, 0) = µ(t), t ∈ (0, ∞). (2.20)
Na rovnici (2.18) aplikujeme Laplaceovu transformaci (funkci u považujeme za funkci nezávisle proměnné t a x
považujeme za parametr). S využitím (2.17) a (2.19) dostaneme
pLu(p, x) = a2
Luxx(p, x),
35
což je obyčejná lineární rovnice druhého řádu pro neznámou funkci Lu; nyní roli parametru hraje p. Fundamentální
systém řešení této rovnice je tvořen funkcemi
e−
√ p
a2 x
, e
√ p
a2 x
.
Pouze první z nich je ohraničená. Obecné řešení transformované rovnice tedy je
Lu(p, x) = C(p)e−
√ p
a2 x
.
Aby byla splněna podmínka (2.20), musí být C(p) = Lµ(p). Laplaceův obraz řešení úlohy (2.18) (2.19) (2.20)
tedy je
Lu(p, x) = e−
√ p
a2 x
Lµ(p).
Cvičení
Řešte úlohu
1) ut = a2
uxx, t > 0, x > 0
u(0, x) = T, x > 0; u(t, 0) = 0, t > 0
2) ut = a2
uxx, t > 0, x > 0
u(0, x) = 0, x > 0; u(t, 0) = K, t > 0
3) ut = a2
uxx, t > 0, x > 0
u(0, x) = 0, x > 0; u(t, 0) = Aδ(t), t > 0
Výsledky: 1) T Φ
x
2
√
a2t
2) K 1 − Φ
x
2
√
a2t
, přitom Φ(z) =
2
√
π
z
0
e−ξ2
dξ je integrál chyb
3) A
x
2
√
πa2t3
e−x2
/(4a2
t)
36
Kapitola 3
Metoda separace proměnných
(Fourierova)
3.1 Hyperbolické rovnice
3.1.1 Homogenní hyperbolická rovnice ve dvou proměnných s obecnými počátečními
a homogenními okrajovými podmínkami
utt(t, x) = a2
uxx(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) , (3.1)
u(0, x) = ϕ(x) , ut(0, x) = ψ(x) , x ∈ (0, ℓ) , (3.2)
α0u(t, 0) + β0ux(t, 0) = 0 = α1u(t, ℓ) + β1ux(t, ℓ) , t ∈ (0, ∞) , (3.3)
kde a > 0, ϕ, ψ jsou spojité funkce splňující okrajové podmínky
α0ϕ(0) + β0ϕx(0) = 0 = α1ϕ(ℓ) + β1ϕx(ℓ) , α0ψ(0) + β0ψx(0) = 0 = α1ψ(ℓ) + β1ψx(ℓ) .
Řešení úlohy budeme hledat ve tvaru součinu, ve kterém jeden činitel závisí pouze na t a druhý pouze na x,
tedy
u(t, x) = T (t)X(x) .
Pak je utt = T ′′
X, uxx = T X′′
a tedy T ′′
X = a2
T X′′
, po úpravě
1
a2
T ′′
(t)
T (t)
=
X′′
(x)
X(x)
.
Levá strana poslední rovnosti závisí pouze na t, pravá pouze na x. To znamený, že tyto výrazy na nezávisle
proměnných nezávisí, tedy
1
a2
T ′′
(t)
T (t)
=
X′′
(x)
X(x)
= −λ .
Odtud dostaneme
T ′′
(t) + λa2
T (t) = 0 , (3.4)
− X′′
(x) = λX(x) . (3.5)
K tomu, aby funkce u = T X splňovala okrajové podmínky (3.3) stačí, aby tyto podmínky splňovala funkce X,
tedy
α0X(0) + β0X′
(0) = 0 = α1X(ℓ) + β1X′
(ℓ) . (3.6)
Rovnice (3.5) s okrajovou podmínkou (3.6) je Sturmova-Liouvilleova úloha (sr. B.2.2). Existuje tedy posloupnost
vlastních čísel {λn}∞
n=1 a posloupnost vlastních funkcí {vn}∞
n=1, že
0 ≤ λ1 < λ2 < · · · , lim
n→∞
λn = ∞
37
α0 β0 α1 β1 λn vn(x) ||vn||
2
1 0 1 0
nπ
ℓ
2
sin
nπ
ℓ
x
ℓ
2
1 0 0 1
(2n + 1)π
2ℓ
2
sin
(2n + 1)π
2ℓ
x
ℓ
2
0 1 1 0
(2n + 1)π
2ℓ
2
cos
(2n + 1)π
2ℓ
x
ℓ
2
0 1 0 1 0,
nπ
ℓ
2
1, cos
nπ
ℓ
x ℓ,
ℓ
2
1 0 h 1
kladné kořeny rovnice
√
λ = −h tg
√
λ ℓ
sin
√
λn x
ℓ
2
+
h
2(h2 + λn)
0 1 h 1
kladné kořeny rovnice
h =
√
λ tg
√
λ ℓ
cos
√
λn x
ℓ
2
+
h
2(h2 + λn)
−h 1 h 1
kladné kořeny rovnice√
λ
h
−
h
√
λ
= 2 cotg
√
λ ℓ
cos
√
λn x +
h
√
λn
sin
√
λn x
ℓ
2
+
h2
ℓ + 2h
2λn
Tabulka 3.1: Vlastní hodnoty a vlastní funkce úlohy (3.5), (3.6) pro speciální tvary okrajových
podmínek
a Fourierova řada každé funkce splňující podmínky (3.6) stejnoměrně k této funkci konverguje. Některá vlastní
čísla a vlastní funkce úlohy (3.5), (3.6) jsou uvedeny v tabulce 3.1.
Nejprve předpokládejme, že λ1 > 0. Řešení rovnice (3.4), ve které klademe λ = λn je
Tn(t) = An cos λn at + Bn sin λn at .
Odtud plyne, že každá z funkcí
un(t, x) = An cos λn at + Bn sin λn at vn(x)
je řešením rovnice (3.1) s okrajovými podmínkami (3.3). Tedy také jejich lineární kombinace, tj. funkce
u(t, x) =
∞
n=1
An cos λn at + Bn sin λn at vn(x) (3.7)
je řešením rovnice (3.1) s okrajovými podmínkami (3.3). Aby byly splněny počáteční podmínky (3.2), musí
platit
u(0, x) =
∞
n=1
Anvn(x) = ϕ(x) , ut(0, x) =
∞
n=1
Bn λn avn(x) = ψ(x) ,
38
což znamená, že An a Bnλn jsou Fourierovy koeficienty funkcí ϕ a ψ vzhledem k ortogonálnímu systému {vn}∞
n=1,
tedy
An =
1
||vn||
2
ℓ
0
ϕ(ξ)vn(ξ)dξ , Bn =
1
a
√
λn ||vn||
2
ℓ
0
ψ(ξ)vn(ξ)dξ , kde ||vn||
2
=
ℓ
0
(vn(ξ))2
dξ . (3.8)
Řešení úlohy (3.1), (3.2), (3.3) je tedy dáno řadou (3.7), jejíž koeficienty jsou určeny formulemi (3.8), tj.
u(t, x) =
∞
n=1
ℓ
0
ϕ(ξ) cos λn at +
1
a
√
λn
ψ(ξ) sin λn at vn(ξ)dξ
vn(x)
||vn||2 =
=
ℓ
0
∞
n=1
ϕ(ξ)
1
a
d
dt
sin
√
λn at
a
√
λn
+ ψ(ξ)
sin
√
λn at
a
√
λn
vn(ξ)vn(x)
||vn||
2 dξ.
Při označení
G(x, ξ, τ) =
1
a
∞
n=1
sin a
√
λn τ
√
λn
vn(x)vn(ξ)
||vn||
2 (3.9)
lze řešení úlohy (3.1), (3.2), (3.3) zapsat ve tvaru
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)
∂
∂t
G(x, ξ, t) dξ +
ℓ
0
ψ(ξ)G(x, ξ, t)dξ. (3.10)
Pokud λ1 = 0 (to je případ ve čtvrtém řádku tabulky 3.1), pak řešení rovnice (3.4) s λ = λ1 = 0 je
T1(t) = A1 + B1t.
V tomto případě dostaneme řešení rovnice (3.1) s okrajovými podmínkami (3.3) ve tvaru
u(t, x) = (A1 + Bt)v1(x) +
∞
n=2
An cos λn at + Bn sin λn at vn(x). (3.11)
Aby byly splněny počáteční podmínky (3.2), musí platit
u(0, x) = A1v1(x) +
∞
n=2
Anvn(x) , ut(0, x) = B1v1(x) +
∞
n=2
Bn λn avn(x) .
Odtud dostaneme
A1 =
1
||v1||2
ℓ
0
ϕ(ξ)v1(ξ)dξ , B1 =
1
||v1||2
ℓ
0
ψ(ξ)v1(ξ)dξ , (3.12)
koeficienty An, Bn pro n = 2, 3, 4, . . . jsou opět dány vztahy (3.8).
Řešení úlohy (3.1), (3.2), (3.3) je nyní dáno řadou (3.11), jejíž koeficienty jsou pro n = 1 určeny formulemi
(3.12) a pro n = 2, 3, 4, . . . formulemi (3.8). Po snadné úpravě je vyjádříme ve tvaru
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)
v1(x)v1(ξ)
||v1||
2 +
∞
n=2
cos a λnt
vn(x)vn(ξ)
||vn||
2 dξ+
+
ℓ
0
ψ(ξ) t
v1(x)v1(ξ)
||v1||
2 +
1
a
∞
n=2
sin a
√
λnt
√
λn
vn(x)vn(ξ)
||vn||
2 dξ.
Pokud nyní označíme
G(x, ξ, τ) = τ
v1(x)v1(ξ)
||v1||
2 +
1
a
∞
n=2
sin a
√
λnτ
√
λn
vn(x)vn(ξ)
||vn||
2 , (3.13)
dostaneme řešení úlohy (3.1), (3.2), (3.3) opět ve tvaru (3.10). Ještě si můžeme všimnout, že na pravé straně
rovnost (3.13) je limita pravé strany rovnosti (3.9) pro λ1 → 0.
39
3.1.2 Nehomogenní hyperbolická rovnice ve dvou nezávisle proměnných s homogenními
počátečními i okrajovými podmínkami
utt(t, x) = a2
uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) , (3.14)
u(0, x) = 0 , ut(0, x) = 0 , x ∈ (0, ℓ) , (3.15)
α0u(t, 0) + β0ux(t, 0) = 0 = α1u(t, ℓ) + β1ux(t, ℓ) , t ∈ (0, ∞) , (3.16)
kde f je po částech spojitá funkce.
Nechť λ1, λ2, . . . jsou vlastní čísla a v1 = v1(x), v2 = v2(x), . . . jsou vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy
úlohy (3.5), (3.6). Funkci f(t, ·) vyjádříme jako Fourierovu řadu vzhledem k systému funkcí v1, v2, . . . :
f(t, x) =
∞
n=1
Fn(t)vn(x) , kde Fn(t) =
1
||vn||
2
ℓ
0
f(t, ξ)vn(ξ)dξ .
Analogicky jako v metodě variace konstant pro obyčejné lineární rovnice (viz např. Ráb M.: Metody řešení
obyčejných diferenciálních rovnic, MU 1998, str. 67) budeme řešení úlohy (3.14), (3.15), (3.16) hledat ve tvaru
u(t, x) =
∞
n=1
Cn(t)vn(x) .
Tato funkce splňuje okrajovou podmínku (3.16). Dále
utt(t, x) =
∞
n=1
C′′
n(t)vn(x) , uxx(t, x) =
∞
n=1
Cn(t)v′′
n(x) = −
∞
n=1
Cn(t)λnvn(x) ,
neboť vn splňuje (3.5). Aby byly splněny také (3.14) a (3.15), musí platit
∞
n=1
C′′
n(t) + a2
λnCn(t) vn(x) =
∞
n=1
Fn(t)vn(x) ,
∞
n=1
Cn(0)vn(x) = 0 ,
∞
n=1
C′
n(0)vn(x) = 0 .
To znamená, že funkce Cn = Cn(t) jsou řešením Cauchyovy úlohy pro obyčejnou diferenciální rovnici
C′′
n(t) + a2
λnCn(t) = Fn(t) ,
Cn(0) = C′
n(0) = 0 .
Tuto úlohu lze vyřešit např. metodou variace konstant. Její řešení je
Cn(t) =
1
a
√
λn
t
0
Fn(σ) sin a λn (t − σ)dσ ,
po dosazení za Fn
Cn(t) =
1
a
√
λn ||vn||
2
t
0
ℓ
0
f(σ, ξ)vn(ξ) sin a λn (t − σ)dξdσ .
Řešení úlohy (3.14), (3.15), (3.16) tedy je
u(t, x) =
1
a
∞
n=1
1
√
λn ||vn||
2


t
0
ℓ
0
f(σ, ξ)vn(ξ) sin a λn (t − σ)dξdσ

 vn(x) ,
což lze při označení (3.9) zapsat ve tvaru
u(t, x) =
t
0
ℓ
0
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξdσ .
40
3.1.3 Nehomogenní hyperbolická rovnice ve dvou proměnných s obecnými počátečními
a homogenními okrajovými podmínkami
utt(t, x) = a2
uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) , (3.17)
u(0, x) = ϕ(x) , ut(0, x) = ψ(x) , x ∈ (0, ℓ) , (3.18)
α0u(t, 0) + β0ux(t, 0) = 0 = α1u(t, ℓ) + β1ux(t, ℓ) , t ∈ (0, ∞) , (3.19)
Řešení je tvaru u(t, x) = v(t, x)+w(t, x) kde v(t, x) je řešením úlohy (3.1), (3.2), (3.3) a w(t, x) je řešením úlohy
(3.14), (3.15), (3.16).
Kmity strun hudebních nástrojů
Kmity homogenní struny délky ℓ upevněné na obou koncích jsou obecně popsány řešením úlohy
utt(t, x) =
T
̺
uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) ,
u(0, x) = ϕ(x) , ut(0, x) = ψ(x) , x ∈ (0, ℓ) ,
u(t, 0) = 0 = u(t, ℓ) , t ∈ (0, ∞) .
Přitom T . . . tahová síla,
̺ . . . lineární hustota struny, tj. hmotnost struny je m = ̺ℓ,
f . . . vnější síla.
Pro tuto úlohu je
G(x, ξ, t) =
∞
n=1
2
nπ
̺
T
sin
nπ
ℓ
T
̺
t sin
nπ
ℓ
ξ sin
nπ
ℓ
x.
Pro zjednodušení zápisu označíme
ωn =
nπ
ℓ
T
̺
a dostaneme
G(x, ξ, t) =
2
ℓ
∞
n=1
1
ωn
sin ωnt sin
nπ
ℓ
ξ sin
nπ
ℓ
x.
U drnkacích nástrojů (loutna, harfa, cembalo, kytara) je struna rozechvívána tak, že je vychýlena z rovnovážné
polohy a v počátečním okamžiku t = 0 je puštěna. Vnější síly působící na strunu jsou zanedbatelné.
Kmitání struny je tedy modelováno úlohou
utt(t, x) =
T
̺
uxx(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) ,
u(0, x) = ϕ(x) , ut(0, x) = 0 , x ∈ (0, ℓ) ,
u(t, 0) = 0 = u(t, ℓ) , t ∈ (0, ∞) .
Řešení této úlohy je
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)
2
ℓ
∞
n=1
cos ωnt sin
nπ
ℓ
ξ sin
nπ
ℓ
xdξ =
∞
n=1

2
ℓ
ℓ
0
ϕ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 cos ωnt sin
nπ
ℓ
x,
neboli
u(t, x) =
∞
n=1
An cos ωnt sin
nπ
ℓ
x, kde An =
2
ℓ
ℓ
0
ϕ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ.
41
U klavíru je struna rozechvěna úderem kladívka, tj. struně v rovnovážné poloze je udělena nějaká počáteční
rychlost. Na strunu nepůsobí vnější síla. Kmitání struny je tedy modelováno úlohou
utt(t, x) =
T
̺
uxx(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) ,
u(0, x) = 0 , ut(0, x) = ψ(x) , x ∈ (0, ℓ) ,
u(t, 0) = 0 = u(t, ℓ) , t ∈ (0, ∞) ,
jejíž řešení je
u(t, x) =
ℓ
0
ψ(ξ)
2
ℓ
∞
n=1
1
ωn
sin ωnt sin
nπ
ℓ
ξ sin
nπ
ℓ
xdξ =
∞
n=1

 2
ℓωn
ℓ
0
ϕ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin ωnt sin
nπ
ℓ
x,
neboli
u(t, x) =
∞
n=1
Bn sin ωnt sin
nπ
ℓ
x, kde Bn =
2
ℓωn
ℓ
0
ψ(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ.
U smyčcových nástrojů je struna rozechvívána plynulým tahem smyčce, tj. stacionární (v čase neproměnnou)
silou. Na počátku je struna v klidu a v rovnovážné poloze. Kmitání struny je tedy modelováno úlohou
utt(t, x) =
T
̺
uxx(t, x) + f(x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) ,
u(0, x) = 0 , ut(0, x) = 0 , x ∈ (0, ℓ) ,
u(t, 0) = 0 = u(t, ℓ) , t ∈ (0, ∞) ,
jejíž řešení je
u(t, x) =
t
0


ℓ
0
f(ξ)
2
ℓ
∞
n=1
1
ωn
sin ωn(t − σ) sin
nπ
ℓ
ξ sin
nπ
ℓ
xdξ

 dσ =
=
2
ℓ
∞
n=1
1
ωn


t
0
sin ωn(t − σ)dσ




ℓ
0
f(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
x =
=
2
ℓ
∞
n=1
1
ω2
n
(1 − cos ωnt)


ℓ
0
f(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
x,
neboli
u(t, x) =
2
ℓ
∞
n=1
1
ω2
n


ℓ
0
f(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
x −
2
ℓ
∞
n=1
1
ω2
n
cos ωnt


ℓ
0
f(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
x.
Z tohoto výsledku vidíme, že řešení úlohy je součtem dvou funkcí. První z nich je funkcí pouze prostorové
proměnné x, druhá je funkcí času t i prostorové proměnné x. Řešení úlohy tedy můžeme zapsat ve tvaru
u(t, x) = U(x) + w(t, x),
kde funkce U vyjadřuje stacionární stav struny (statické prohnutí). Pro funkci U platí U(0) = 0 = U(ℓ) a
U′′
(x) =
d2
dx2
∞
n=1

 2̺ℓ2
ℓT (nπ)2
ℓ
0
f(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
x =
= −
̺
T
∞
n=1

2
ℓ
ℓ
0
f(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ

 sin
nπ
ℓ
x = −
̺
T
f(x),
42
tj.
U′′
(x) = −
̺
T
f(x).
Odtud integrací v mezích od 0 do x dostaneme
U′
(x) = c −
̺
T
x
0
f(ξ)dξ,
kde c = U′
(0). Další integrací (s využitím vztahu U(0) = 0) dostaneme
U(x) = cx −
̺
T
x
0


η
0
f(ξ)dξ

 dη = cx −
̺
T
0 < η < x
0 < ξ < η
f(ξ)dηdξ =
= cx −
̺
T
0 < ξ < x
ξ < η < x
f(ξ)dξdη = cx −
̺
T
x
0



x
ξ
f(ξ)dη


 dξ = cx −
̺
T
x
0
(x − ξ)f(ξ)dξ.
Z podmínky U(ℓ) = 0 nyní dostaneme
c =
̺
T ℓ
ℓ
0
(ℓ − ξ)f(ξ)dξ.
Celkem je řešení úlohy popisující strunu smyčcového nástroje dáno výrazem
u(t, x) =
̺
T

x
ℓ
ℓ
0
(ℓ − ξ)f(ξ)dξ −
x
0
(x − ξ)f(ξ)dξ

 −
∞
n=1
Cn cos ωnt sin
nπ
ℓ
x,
kde
Cn =
2
ℓω2
n
ℓ
0
f(ξ) sin
nπ
ℓ
ξdξ.
Kmitání struny je popsáno poslední sumou.
Ve všech uvažovaných případech hudebních nástrojů jsou kmity struny popsány výrazem
∞
n=1
αnhn(t) sin
π
ℓ
x,
kde αn jsou nějaké konstanty a hk je funkce harmonického pohybu,
hn(t) = sin(ωnt + φ), kde φ =
0, drnkací nebo smyčcový nástroj,
1
2 π, klavír.
Pohyb každého bodu x0 struny je tedy superpozicí (součtem) stojatých vln, tj. harmonických kmitů s ampli-
tudami
αn sin
nπ
ℓ
x0
a frekvencemi ωn. Frekvence
ω1 =
π
ℓ
T
̺
je frekvencí základního tónu struny, frekvence svrchních (alikvotních) tónů ωn, n = 2, 3, 4, . . . jsou násobky
základní frekvence.
43
Označme
un(t, x) = αn sin(ωnt + φ) sin
nπ
ℓ
x
n-tou stojatou vlnu. Její celková energie (součet kinetické a potenciální energie) je dána výrazem
En =
1
2
ℓ
0
̺
∂un
∂t
(t, x)
2
+ T
∂un
∂x
(t, x)
2
dx.
Platí
∂un
∂t
(t, x)
2
= αnωn cos(ωnt + φ) sin
nπ
ℓ
x
2
,
∂un
∂x
(t, x)
2
= αn
nπ
ℓ
sin(ωnt + φ) cos
nπ
ℓ
x
2
,
ℓ
0
cos
nπ
ℓ
x
2
dx =
ℓ
0
sin
nπ
ℓ
x
2
dx =
ℓ
2
,
takže
En =
ℓ
4
̺ αnωn cos(ωnt + φ)
2
+ T αn
nπ
ℓ
sin(ωnt + φ)
2
=
=
ℓ
4
α2
n ̺ ωn cos(ωnt + φ)
2
+ T
̺
T
ωn sin(ωnt + φ)
2
=
ℓ
4
α2
n̺ω2
n =
α2
n
4
ω2
nm,
kde m je hmotnost struny.
3.1.4 Obecná úloha pro nehomogenní hyperbolickou rovnici ve dvou proměnných
utt(t, x) = a2
uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) , (3.20)
u(0, x) = ϕ(x) , ut(0, x) = ψ(x) , x ∈ (0, ℓ) , (3.21)
α0u(t, 0) + β0ux(t, 0) = µ0(t) , α1u(t, ℓ) + β1ux(t, ℓ) = µ1(t) , t ∈ (0, ∞) , (3.22)
Řešení je tvaru u(t, x) = v(t, x) + U(t, x), kde funkce U = U(t, x) splňuje okrajové podmínky (3.22) a funkce
v = v(t, x) je řešením úlohy (1.58), (1.59), (1.60). Za funkci U = U(t, x) lze vzít funkci danou předpisem
U(t, x) =
=



α1µ0(t) − α0µ1(t)
β0α1 − β1α0 − α0α1ℓ
x +
β0µ1(t) − β1µ0(t) − ℓα1µ0(t)
β0α1 − β1α0 − α0α1ℓ
, β0α1 − β1α0 = α0α1ℓ,
β0µ1(t) − β1µ0(t) − α1ℓµ0
β0ℓ(α1ℓ + 2β1)
x2
+
µ0(t)
β0
x, β0α1 − β1α0 = α0α1ℓ, β0ℓ(α1ℓ + 2β1) = 0,
α1µ0(t) − α0µ1(t)
2α0α1
exp
α0
β0
x +
µ1(t)
α1
, β0 = 0 = β0α1 + β1α0,
α1µ0(t) − α0µ1(t)
α0α1
exp
x
ℓ
+
µ1(t)
α1
, β0 = 0 = β1 + α1ℓ.
(3.23)
Zejména pro α0 = α1 = 1, β0 = β1 = 0 (Dirichletova úloha) lze položit
U(t, x) =
µ1(t) − µ0(t)
ℓ
x + µ0(t),
pro
2
ℓ
= α0 = −α1, β0 = β1 = 1 lze položit
U(t, x) =
µ1(t) + µ0(t)
2 − α0ℓ
x −
µ1(t) − µ0(t) + α0ℓµ0(t)
α0(2 − α0ℓ)
44
a pro α0 = α1 = 0, β0 = β1 = 1 (Neumannova úloha) lze položit
U(t, x) =
µ1(t) − µ0(t)
2ℓ
x2
+ µ0(t)x.
Pokud je možné funkci U volit jako lineární ve druhé proměnné x (tj. pokud β0α1 − β1α0 = α0α1ℓ), pak je
Uxx ≡ 0.
3.1.5 Hyperbolické rovnice s nehomogenitou tvaru αut (tlumené kmity konečné
struny)
utt(t, x) = a2
uxx(t, x) − αut(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) , (3.24)
u(0, x) = ϕ(x) , ut(0, x) = ψ(x) , x ∈ (0, ℓ) , (3.25)
α0u(t, 0) + β0ux(t, 0) = 0 = α1u(t, ℓ) + β1ux(t, ℓ) , t ∈ (0, ∞) , (3.26)
Zavedeme novou neznámou funkci w = w(t, x) vztahem
u(t, x) = e−(α/2)t
w(t, x)
(sr. 1.3.6). Pak je
ut(t, x) = e−(α/2)t
wt(t, x) −
α
2
w(t, x) ,
utt(t, x) = e−(α/2)t
wtt(t, x) − αwt(t, x) +
α2
4
w(t, x) , uxx(t, x) = e−(α/2)t
wxx(t, x) .
Dosadíme do rovnice (3.24), do podmínky (3.26) a upravíme:
wtt(t, x) = a2
wxx(t, x) +
α2
4
w(t, x) , (3.27)
α0w(t, 0) + β0wx(t, 0) = 0 = α1w(t, ℓ) + β1wx(t, ℓ) , t ∈ (0, ∞) , (3.28)
Řešení okrajové úlohy (3.27), (3.28) budeme opět hledat ve tvaru w(t, x) = T (t)X(x). Po dosazení do rovnice
(3.27) a úpravě dostaneme
T ′′
(t) −
α2
4
T (t)
a2T (t)
=
X′′
(x)
X(x)
.
Pravá strana poslední rovnice závisí pouze na x, levá strana závisí pouze na t a to znamená, že výrazy na obou
stranách jsou konstantní. Opět je položíme rovny −λ. Funkce X je opět řešením Sturmovy-Liouvilleovy úlohy
(3.5), (3.6) a funkce T je řešením rovnice
T ′′
(t) + λa2
−
α2
4
T (t) = 0 .
Předpokládejme, že α < 4a2
λn (tlumení je malé). Pak řešení poslední rovnice pro λ = λn je
Tn(t) = An cos
√
4λna2 − α2
2
t + Bn sin
√
4λna2 − α2
2
t .
Řešení úlohy (3.27), (3.28) tedy je
w(t, x) =
∞
n=1
An cos
√
4λna2 − α2
2
t + Bn sin
√
4λna2 − α2
2
t vn(x) ,
kde λ1, λ2, . . . jsou vlastní čísla a v1, v2, . . . jsou vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (3.5), (3.6).
Řešení rovnice (3.24) s okrajovou podmínkou (3.26) je
u(t, x) = e−(α/2)t
∞
n=1
An cos
√
4λna2 − α2
2
t + Bn sin
√
4λna2 − α2
2
t vn(x) . (3.29)
45
Platí
u(0, x) =
∞
n=1
Anvn(x) .
takže ke splnění první z podmínek (3.25) stačí, aby
An =
1
||vn||2
ℓ
0
ϕ(ξ)vn(ξ)dξ . (3.30)
Dále
ut(t, x) = −
α
2
e−(α/2)t
∞
n=1
An cos
√
4λna2 − α2
2
t + Bn sin
√
4λna2 − α2
2
t vn(x) +
+e−(α/2)t
∞
n=1
−An
√
4λna2 − α2
2
sin
√
4λna2 − α2
2
t + Bn
√
4λna2 − α2
2
cos
√
4λna2 − α2
2
t vn(x) ,
takže
ut(0, x) =
∞
n=1
Bn
√
4λna2 − α2
2
−
α
2
An vn(x) .
Aby byla splněna druhá z podmínek (3.25) stačí, aby
Bn
√
4λna2 − α2
2
−
α
2
An =
1
||vn||2
ℓ
0
ψ(ξ)vn(ξ)dξ ,
neboli
Bn =
2
√
4λna2 − α2 ||vn||
2
ℓ
0
ψ(ξ) +
α
2
ϕ(x) vn(ξ)dξ . (3.31)
Řešení úlohy (3.24), (3.25), (3.26) je tedy dáno řadou (3.29), kde λ1, λ2, . . . jsou vlastní čísla a v1, v2, . . .
jsou vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (3.5), (3.6) a koeficienty An, Bn jsou dány formulemi (3.30) a
(3.31).
3.2 Parabolické rovnice
3.2.1 Parabolická rovnice ve dvou proměnných (vedení tepla v tenké tyči)
Budeme řešit parabolickou rovnici homogenní
ut(t, x) = a2
uxx(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) , (3.32)
nebo nehomogenní
ut(t, x) = a2
uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ) , (3.33)
s počáteční podmínkou nehomogenní
u(0, x) = ϕ(x) , x ∈ (0, ℓ) , (3.34)
nebo homogenní
u(0, x) = 0 , x ∈ (0, ℓ) , (3.35)
a okrajovými podmínkami homogenními
α0u(t, 0) + β0ux(t, 0) = 0 = α1u(t, ℓ) + β1ux(t, ℓ) , t ∈ (0, ∞) , (3.36)
46
nebo nehomogenními
α0u(t, 0) + β0ux(t, 0) = µ0(t) , α1u(t, ℓ) + β1ux(t, ℓ) = µ1(t) , t ∈ (0, ∞) . (3.37)
Přitom předpokládáme, že a > 0, funkce ϕ a f jsou po částech spojité a funkce µ0, µ1 jsou diferencovatelné.
Nejdříve budeme řešit úlohu (3.32), (3.34), (3.36). Řešení budeme opět předpokládat ve tvaru
u(t, x) = T (t)X(x) .
Dosazením do (3.32) a (3.36) ukážeme, že funkce X = X(x) je řešením Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (3.5), (3.6)
a funkce T = T (t) splňuje rovnici
T ′
(t) + a2
λT (t) = 0 ,
tedy
T (t) = Ce−a2
λt
.
Jsou-li λ1, λ2, . . . vlastní hodnoty a v1, v2, . . . vlastní funkce úlohy (3.5), (3.6), pak řešení rovnice (3.32)
splňující podmínku (3.36) je
u(t, x) =
∞
n=1
Cne−a2
λnt
vn(x) . (3.38)
Aby byla splněna podmínka (3.34), musí platit
∞
n=1
Cnvn(x) = ϕ(x) ,
což znamená, že
Cn =
1
||vn||2
ℓ
0
ϕ(ξ)vn(ξ)dξ , kde ||vn||2
=
ℓ
0
(vn(ξ))2
dξ . (3.39)
Řešení úlohy (3.32), (3.34), (3.36) je tedy dáno řadou (3.38), jejíž koeficienty jsou dány formulemi (3.39), tedy
u(t, x) =
∞
n=1
1
||vn||2


ℓ
0
ϕ(ξ)vn(ξ)dξ

 e−a2
λnt
vn(x) .
Při označení
G(x, ξ, t) =
∞
n=1
1
||vn||
2 vn(x)vn(ξ)e−a2
λnt
(3.40)
lze řešení zapsat ve tvaru
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ .
Analogicky jako při metodě variace konstant u obyčejných diferenciálních lineárních nehomogenních rovnic
budeme řešení úlohy (3.33), (3.35), (3.36) hledat ve tvaru
u(t, x) =
∞
n=1
Cn(t)vn(x) ,
kde v1, v2, . . . jsou vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (3.5), (3.6). Pak je
ut(t, x) =
∞
n=1
C′
n(t)vn(x) , uxx(t, x) =
∞
n=1
Cn(t)v′′
n(x) = −
∞
n=1
λnCn(t)vn(x) ,
47
neboť funkce vn je řešením rovnice (3.5) s λ = λn. Funkci f(t, ·) vyjádříme jako součet Fourierovy řady vzhledem
k ortogonálnímu systému funkcí v1, v2, . . . :
f(t, x) =
∞
n=1
Fn(t)vn(x) , kde Fn(t) =
1
||vn||
2
ℓ
0
f(t, ξ)vn(ξ)dξ ,
Dosazením do rovnice (3.33) a podmínky (3.35) dostaneme
∞
n=1
C′
n(t) + a2
λnCn(t) vn(x) =
∞
n=1
Fn(t)vn(x) ,
∞
n=1
Cn(0)vn(x) = 0 .
Přitom λn je vlastní hodnota úlohy (3.5), (3.6), jíž přísluší vlastní funkce vn, n = 1, 2, . . .. Funkce Cn jsou tedy
řešením Cauchyovy úlohy pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici prvního řádu
C′
n(t) + a2
λnCn(t) = Fn(t) , Cn(0) = 0 .
Řešení této úlohy je
Cn(t) = e−a2
λnt
t
0
Fn(σ)ea2
λnσ
dσ ,
po dosazení za Fn dostaneme
Cn(t) =
1
||vn||
2
t
0
ℓ
0
f(σ, ξ)vn(ξ)e−a2
λn(t−σ)
dξdσ .
Řešení úlohy (3.33), (3.35), (3.36) je tedy
u(t, x) =
∞
n=1

 1
||vn||2
t
0
ℓ
0
f(σ, ξ)vn(ξ)e−a2
λn(t−σ)
dξdσ

 vn(x) .
Při označení (3.40) lze řešení zapsat ve tvaru
u(t, x) =
t
0
ℓ
0
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξdσ .
Řešení úlohy (3.33), (3.34), (3.36) je tvaru
u(t, x) = v(t, x) + w(t, x) ,
kde v = v(t, x) je řešením úlohy (3.32), (3.34), (3.36) a w = w(t, x) je řešením úlohy (3.33), (3.35), (3.36). Řešení
úlohy (3.33), (3.34), (3.36) je tedy
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ +
t
0
ℓ
0
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξdσ .
Řešení úlohy (3.33), (3.34), (3.37) je tvaru
u(t, x) = v(t, x) + U(t, x) ,
kde funkce U = U(t, x) splňuje okrajové podmínky (3.37) a v = v(t, x) je řešením rovnice
ut(t, x) = a2
uxx(t, x) + f(t, x) − (Ut(t, x) − a2
Uxx(t, x)) , (t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ)
48
s počáteční podmínkou
u(0, x) = ϕ(x) − U(0, x) , x ∈ (0, ℓ)
a homogenními okrajovými podmínkami (3.36). Za funkci U = U(t, x) opět stačí vzít (3.23).
Interpretace funkce G: Uvažujme úlohu
ut(t, x) = a2
uxx(t, x),
u(0, x) = ϕ(x),
u(t, 0) = u(t, ℓ) = 0,
(t, x) ∈ (0, ∞) × (0, ℓ),
x ∈ (0, ℓ),
t ∈ (0, ∞).
(Vedení tepla v homogenní tyči, která byla zahřáta na teplotu ϕ(x) a jejíž konce udržujeme na nulové teplotě.)
Množství tepla, kterým se teplota tělesa o hmotnosti m změní o ∆u, je
Q = cm∆u,
kde c je specifické teplo. Má-li těleso na počátku děje nulovou teplotu a je zahřáto na teplotu u, pak ∆u = u.
Je-li tedy tyč v bodě vzdáleném ξ od jejího začátku zahřáta z nulové teploty na teplotu ϕ(ξ), je množství tepla
dodaného části tyče o malé délce ∆ξ ve vzdálenosti ξ od jejího začátku rovno
∆Q = c (ρ∆ξ) ϕ(ξ),
kde ρ je lineární hustota tyče. Limitním přechodem ∆ξ → 0 dostaneme dQ = cρϕ(ξ)dξ, takže celkové množství
tepla dodaného tyči je
Q = cρ
ℓ
0
ϕ(ξ)dξ.
Představme si nyní, že tyč měla nulovou teplotu a v čase t = 0 vznikl v bodě ξ∗
∈ (0, ℓ) bodový teplotní impuls,
který „zahřál bod ξ∗
na teplotu u0, zbytek tyče ponechal na teplotě 0, tj.
ϕ(x) = u0δ(x − ξ∗
)
(δ je Diracova distribuce). Velikost tohoto impulsu byla
Q = cρ
ℓ
0
ϕ(ξ)dξ = cρu0
ℓ
0
δ(ξ − ξ∗
)dξ = cρu0.
Pak
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ = u0
ℓ
0
δ(x − ξ∗
)G(x, ξ, t)dξ = u0G(x, ξ∗
, t) =
Q
cρ
G(x, ξ∗
, t).
Odtud plyne, že G(x, ξ, t) vyjadřuje teplotní účinek okamžitého bodového zdroje tepla mohutnosti Q = cρ
umístěného v bodě ξ intervalu [0, ℓ].
3.3 Eliptické rovnice
3.3.1 Laplaceova rovnice ve dvou proměnných s okrajovými podmínkami na ob-
délníku
Budeme řešit rovnici
∆u(x, y) = 0 , (x, y) ∈ (0, a) × (0, b) (3.41)
s jednou homogenní okrajovou podmínkou
α0u(0, y) + β0ux(0, y) = 0 = α1u(a, y) + β1ux(a, y) , y ∈ (0, b) , (3.42)
49
a jednou nehomogenní okrajovou podmínkou
γ0u(x, 0) + δ0uy(x, 0) = ν0(x) , γ1u(x, b) + δ1uy(x, b) = ν1(x) , x ∈ (0, a) . (3.43)
Řešení této úlohy budeme hledat ve tvaru součinu výrazů, z nichž jeden závisí pouze na x a druhý pouze na
y, tedy
u(x, y) = X(x)Y (y) .
Pak je uxx = X′′
Y , uyy = XY ′′
. Po dosazení do rovnice (3.41) a úpravě dostaneme
X′′
(x)
X(x)
= −
Y ′′
(y)
Y (y)
.
Výraz na levé straně nezávisí na y, výraz na pravé straně nezávisí na x a to znamená, že oba výrazy jsou rovny
nějaké konstantě, řekněme −λ:
X′′
(x)
X(x)
= −
Y ′′
(y)
Y (y)
= −λ .
Opět vidíme, že funkce X = X(x) je řešením Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (3.5), (3.6). Funkce Y = Y (y) je
řešením rovnice
Y ′′
(y) − λY (y) = 0 .
Jsou-li λ1, λ2, . . . vlastní hodnoty a v1, v2, . . . odpovídající vlastní funkce úlohy (3.5), (3.6), přičemž λ1 > 0,
je řešení poslední rovnice s λ = λn tvaru
Y (y) = Ane
√
λn y
+ Bne−
√
λn y
,
a tedy řešení rovnice (3.41) s podmínkou (3.42) je tvaru
u(x, y) =
∞
n=1
Ane
√
λn y
+ Bne−
√
λn y
vn(x) . (3.44)
Aby byla splněna podmínka (3.43), musí platit
ν0(x) =
∞
n=1
γ0(An + Bn) + δ0 λn (An − Bn) vn(x) ,
ν1(x) =
∞
n=1
γ1 Ane
√
λn b
+ Bne−
√
λn b
+ δ1 λn Ane
√
λn b
− Bne−
√
λn b
vn(x) ,
což znamená, že koeficienty An, Bn jsou řešením soustavy lineárních rovnic
(γ0 + δ0 λn )An + (γ0 − δ0 λn )Bn =
1
||vn||
2
a
0
ν0(η)vn(η)dη ,
(3.45)
(γ1 + δ1 λn )e
√
λn b
An + (γ1 − δ1 λn )e−
√
λn b
Bn =
1
||vn||
2
a
0
ν1(η)vn(η)dη .
Řešení úlohy (3.41), (3.42), (3.43) je dáno řadou (3.44), kde λ1, λ2, . . . jsou vlastní hodnoty a v1, v2, . . .
odpovídající vlastní funkce úlohy (3.5), (3.6), přičemž λ1 > 0. Koeficienty An, Bn řady (3.44) jsou řešením
soustavy algebraických rovnic (3.45). Tato soustava může být řešitelná jednoznačně. Pak dostáváme jediné
řešení uvedeného tvaru. Pokud má soustava (3.45) nekonečně mnoho řešení, pak také úloha (3.41), (3.42),
(3.43) má nekonečně mnoho řešení. Pokud soustava (3.45) řešení nemá, pak také úloha (3.41), (3.42), (3.43)
nemá řešení uvedeného tvaru. (Obecným podmínkám řešitelnosti eliptických rovnic se budeme věnovat v 4.2.)
Řešení rovnice (3.41) s okrajovými podmínkami
α0u(0, y) + β0ux(0, y) = µ0(y) , α1u(a, y) + β1ux(a, y) = µ1(y) , y ∈ (0, b) , (3.46)
50
γ0u(x, 0) + δ0uy(x, 0) = 0 = γ1u(x, b) + δ1uy(x, b) , x ∈ (0, a) , (3.47)
lze hledat analogicky.
Řešení úlohy (3.41), (3.46), (3.43) je tvaru
u(x, y) = v(x, y) + w(x, y) ,
kde v = v(x, y) je řešení úlohy (3.41), (3.42), (3.43) a w = w(x, y) je řešení úlohy (3.41), (3.46), (3.47).
3.3.2 Laplaceova rovnice ve dvou proměnných s Dirichletovými okrajovými podmínkami
na kruhu
∆u(x, y) = 0 , x2
+ y2
< R2
, (3.48)
u(x, y) = g(x, y) , x2
+ y2
= R2
. (3.49)
Předpokládáme, že R > 0 a funkce g je spojitá.
Provedeme transformaci do polárních souřadnic
x = r cos ϕ , y = r sin ϕ .
Rovnice (3.48) se transformuje na tvar
urr(r, ϕ) +
1
r
ur(r, ϕ) +
1
r2
uϕϕ(r, ϕ) = 0 . (3.50)
Označme f(ϕ) = g(R cos ϕ, R sin ϕ). Z podmínky (3.49) dostaneme
u(R, ϕ) = f(ϕ) , ϕ ∈ [0, 2π] . (3.51)
Funkce u = u(r, ϕ) musí být 2π-periodická, tedy
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π) , r ∈ (0, R] , ϕ ∈ R . (3.52)
Hodnota funkce u = u(r, ϕ) nemůže pro r = 0 záviset na úhlu ϕ a samozřejmě musí být konečná, tedy
u(0, ϕ) = const ∈ R , ϕ ∈ R . (3.53)
Řešení rovnice (3.50) budeme hledat ve tvaru součinu funkcí, z nichž jedna závisí pouze na r a druhá pouze na
ϕ, tedy
u(r, ϕ) = X(r)Φ(ϕ) .
Po dosazení do rovnice (3.50) dostaneme
X′′
(r)Φ(ϕ) +
1
r
X′
(r)Φ(ϕ) +
1
r2
X(r)Φ′′
(ϕ) = 0 ,
po vynásobení výrazem
r2
X(r)Φ(ϕ)
a jednoduché úpravě
r2 X′′
(r)
X(r)
+ r
X′
(r)
X(r)
= −
Φ′′
(ϕ)
Φ(ϕ)
.
Výraz na levé straně závisí pouze na proměnné r, výraz na pravé straně pouze na proměnné ϕ a to znamená,
že oba výrazy jsou rovny nějaké konstantě, řekněme λ. Funkce Φ = Φ(ϕ) je tedy řešením rovnice
Φ′′
(ϕ) + λΦ(ϕ) = 0 (3.54)
a funkce X = X(r) je řešením rovnice
r2
X′′
(r) + rX′
(r) − λX(r) = 0 . (3.55)
51
Z podmínky (3.52) dostaneme
Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π) , (3.56)
tedy funkce Φ je 2π-periodická. Podle příkladu 2) v B.2 má úloha (3.54), (3.56) netriviální řešení pouze pro
hodnoty λ = λn = n2
, n ∈ N ∪ {0}. Toto řešení je
Φn(ϕ) = an cos nϕ + bn sin nϕ , n = 0, 1, 2, . . . .
Nyní budeme řešit rovnici (3.55) s λ = n2
. Hledanou funkci označíme Xn a řešíme tedy rovnici
r2
X′′
n(r) + rX′
n(r) − n2
Xn(r) = 0 .
Jedná se o Eulerovu rovnici. Zavedeme substituci s = ln r, tedy
d
dr
Xn =
d
ds
Xn
ds
dr
=
1
r
d
ds
Xn ,
d2
dr2
Xn =
d
dr
1
r
d
ds
Xn = −
1
r2
d
ds
Xn +
1
r2
d2
ds2
Xn ,
po dosazení
d2
ds2
Xn −
d
ds
Xn +
d
ds
Xn − n2
X = 0
a po úpravě
d2
ds2
Xn − n2
Xn = 0 .
Řešení této rovnice je
Xn(s) =



c0 + d0s , pro n = 0
cnens
+ dne−ns
, pro n > 0
, tj. Xn(r) =



c0 + d0 ln r , pro n = 0
cnrn
+ dnr−n
, pro n > 0
.
Kdyby pro nějaké n ∈ {0, 1, 2, . . .} bylo dn = 0, pak by lim
r→0+
|Xn(r)| = ∞ a nemohla by být splněna podmínka
(3.53). Je tedy dn = 0, n = 0, 1, 2, . . . a
Xn(r) = cnrn
, n = 0, 1, 2, . . . .
Řešení úlohy (3.50), (3.52), (3.53) je lineární kombinací součinů funkcí Φn = Φn(ϕ) a Xn = Xn(r), tj.
u(r, ϕ) = a0c0 +
∞
n=1
cnrn
(an cos nϕ + bn sin nϕ) ,
při označení A0 = 2a0c0, An = ancn, Bn = bncn dostaneme
u(r, ϕ) =
A0
2
+
∞
n=1
rn
(An cos nϕ + Bn sin nϕ)
Dosadíme do podmínky (3.51):
u(R, ϕ) =
A0
2
+
∞
n=1
Rn
(An cos nϕ + Bn sin nϕ) = f(ϕ)
takže
An =
1
πRn
2π
0
f(σ) cos nσdσ , n = 0, 1, 2, . . . , Bn =
1
πRn
2π
0
f(σ) sin nσdσ , n = 0, 1, 2, . . . .
Celkem je
u(r, ϕ) =
1
π
2π
0
f(σ)
1
2
+
∞
n=1
r
R
n
(cos nσ cos nϕ + sin nσ sin nϕ) dσ =
=
1
π
2π
0
f(σ)
1
2
+
∞
n=1
r
R
n
cos n(σ − ϕ) dσ .
52
Výraz cos n(σ − ϕ) je reálnou částí komplexního čísla ein(σ−ϕ)
, tedy
∞
n=1
r
R
n
cos n(σ − ϕ)
je reálnou částí výrazu
∞
n=1
r
R
n
ein(σ−ϕ)
=
∞
n=1
rei(σ−ϕ)
R
n
=
rei(σ−ϕ)
R
1
1 −
rei(σ−ϕ)
R
=
rei(σ−ϕ)
R − rei(σ−ϕ)
=
=
r(cos(σ − ϕ) + i sin(σ − ϕ))
R − r cos(σ − ϕ) − ir sin(σ − ϕ)
=
=
r(cos(σ − ϕ) + i sin(σ − ϕ))(R − r cos(σ − ϕ) + ir sin(σ − ϕ))
(R − r cos(σ − ϕ))2 + r2 sin2
(σ − ϕ)
.
Odtud dostáváme
1
2
+
∞
n=1
r
R
n
cos n(σ − ϕ) =
1
2
+
Rr cos(σ − ϕ) − r2
cos2
(σ − ϕ) − r2
sin2
(σ − ϕ)
R2 − 2Rr cos(σ − ϕ) + r2 cos2(σ − ϕ) + r2 sin2
(σ − ϕ)
=
=
1
2
+
Rr cos(σ − ϕ) − r2
R2 − 2Rr cos(σ − ϕ) + r2
=
=
R2
− 2Rr cos(σ − ϕ) + r2
+ 2Rr cos(σ − ϕ) − 2r2
2(R2 − 2Rr cos(σ − ϕ) + r2)
=
=
R2
− r2
2(R2 − 2Rr cos(σ − ϕ) + r2)
.
Řešení úlohy (3.50), (3.51), (3.52), (3.53) tedy dostáváme ve tvaru
u(r, ϕ) =
1
2π
2π
0
f(σ)
R2
− r2
R2 − 2Rr cos(σ − ϕ) + r2
dσ , pro r < R , u(r, ϕ) = f(ϕ) , pro r = R .
Výraz
1
2π
2π
0
f(σ)
R2
− r2
R2 − 2Rr cos(σ − ϕ) + r2
dσ (3.57)
se nazývá Poissonův integrál, výraz
K(r, ϕ, R, σ) =
R2
− r2
R2 − 2Rr cos(σ − ϕ) + r2
se nazývá Poissonovo jádro.
Vrátíme se k původním proměnným, tj. provedeme zpětnou transformaci
r = x2 + y2 , cos ϕ =
x
x2 + y2
, sin ϕ =
y
x2 + y2
.
Pak je
R2
− 2Rr cos(σ − ϕ) + r2
= R2
− 2Rr(cos σ cos ϕ + sin σ sin ϕ) + r2
=
= x2
+ y2
− 2R(x cos σ + y sin σ) + R2
(cos2
σ + sin2
σ) = (x − R cos σ)2
+ (y − R sin σ)2
.
53
Řešení úlohy (3.48), (3.49) je tedy
u(x, y) =
R2
− x2
− y2
2πR
2π
0
g(R cos σ, R sin σ)
R
(x − R cos σ)2 + (y − R sin σ)2
dσ .
Označíme-li x = (x, y), SR
(0,0) kružnici se středem v počátku a poloměrem R, S bod na této kružnici, lze řešení
zapsat pomocí křivkového integrálu
u(x) =
R2
− ||x||
2
2πR
SR
(0,0)
g(S)
dS
||x − S||2 . (3.58)
Tato formule se nazývá Poissonův vzorec.
3.3.3 Poissonova rovnice ve dvou proměnných s homogenními Dirichletovými
okrajovými podmínkami na kruhu
∆u(x, y) = G(x, y) , x2
+ y2
< R2
, (3.59)
u(x, y) = 0 , x2
+ y2
= R2
. (3.60)
Předpokládáme, že R > 0 a funkce G je spojitá. Rovnici transformujeme do polárních souřadnic
x = r cos ϕ , y = r sin ϕ .
Při označení F(r, ϕ) = G(r cos ϕ, r sin ϕ) se rovnice (3.59) transformuje na tvar
urr(r, ϕ) +
1
r
ur(r, ϕ) +
1
r2
uϕϕ = F(r, ϕ) . (3.61)
Analogicky jako u Laplaceovy rovnice musí funkce u = u(r, ϕ) splňovat podmínky
u(R, ϕ) = 0 , ϕ ∈ [0, 2π] , (3.62)
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π) , r ∈ (0, R] , ϕ ∈ R , (3.63)
u(0, ϕ) = const ∈ R , ϕ ∈ R . (3.64)
Poněvadž podle (3.63) je funkce u(r, ·) 2π-periodická pro každé r ∈ (0, R], lze ji hledat ve tvaru
u(r, ϕ) =
a0(r)
2
+
∞
n=1
(an(r) cos nϕ + bn(r) sin nϕ) .
Pravá strana rovnice (3.61) bude
a′′
0 (r)
2
+
a′
0(r)
2r
+
∞
n=1
a′′
n(r) +
a′
n(r)
r
−
n2
an(r)
r2
cos nϕ + b′′
n(r) +
b′
n(r)
r
−
n2
bn(r)
r2
sin nϕ .
Funkce F(r, ·) je také 2π-periodická, proto ji můžeme také vyjádřit ve tvaru Fourierovy řady
F(r, ϕ) =
c0(r)
2
+
∞
n=1
(cn(r) cos nϕ + dn(r) sin nϕ) .
kde
cn(r) =
1
π
2π
0
F(r, α) cos nαdα , n = 0, 1, 2, . . . , dn(r) =
1
π
2π
0
F(r, α) sin nαdα , n = 0, 1, 2, . . . .
54
Porovnáním koeficientů vidíme, že funkce an = an(r) a bn = bn(r) jsou řešením Eulerových obyčejných diferenciálních
rovnic
r2
a′′
n(r) + ra′
n(r) − n2
an(r) =
r2
π
2π
0
F(r, α) cos nαdα , n = 0, 1, 2, . . . ,
r2
b′′
n(r) + rb′
n(r) − n2
bn(r) =
r2
π
2π
0
F(r, α) sin nαdα , n = 1, 2, . . .
s okrajovými podmínkami
an(R) = 0 , an(r) je omezená pro r → 0+ ,
bn(R) = 0 , bn(r) je omezená pro r → 0 + .
Vyšetříme speciální případ, kdy pravá strana rovnice (3.59) je konstantní, G ≡ c. Pak také F ≡ c a tedy
2π
0
cdα = 2πc ,
2π
0
c cosnαdα =
2π
0
c sin nαdα = 0 pro n = 1, 2, . . . .
Funkce a0 = a0(r) je řešením rovnice
r2
a′′
0 (r) + ra′
0(r) = 2cr2
,
tedy a0(r) =
c
2
r2
+ A ln r + B. Poněvadž a0(r) je omezená pro r → 0+, musí být A = 0; poněvadž a0(R) = 0,
musí být B = −
c
2
R2
. Celkem
a0(r) =
c
2
(r2
− R2
) .
Funkce an = an(r) pro n = 1, 2, . . . jsou řešením rovnice
r2
a′′
n(r) + ra′
n(r) − n2
an(r) = 0 ,
tedy an(r) = Arn
+ Br−n
. Poněvadž a0(r) je omezená pro r → 0+, musí být B = 0; poněvadž an(R) = 0, musí
být A = 0. Analogické úvahy provedeme pro funkce bn = bn(r), n = 1, 2, . . . . Celkem dostaneme
an(r) = bn(r) = 0 , n = 1, 2, . . . .
Dosazením do řady vyjadřující funkci u = u(r, ϕ) dostaneme
u(r, ϕ) =
c
4
(r2
− R2
)
a návratem k původním proměnným dostaneme řešení úlohy (3.59), (3.60) s G ≡ c ve tvaru
u(x, y) =
c
4
(x2
+ y2
− R2
) .
3.3.4 Rotačně (azimutálně) symetrické řešení Laplaceovy rovnice na kouli
∆u(x, y, z) = 0, x2
+ y2
+ z2
< R2
, (3.65)
u(x, y, z) = f(z), x2
+ y2
+ z2
= R2
. (3.66)
Provedeme transformaci do sférických souřadnic
x = r cos ϕ cos ϑ, y = r sin ϕ cos ϑ, z = r sin ϑ.
Hodnoty funkce u nezávisí na úhlu ϕ, tedy u = u(r, ϑ) a
∂u
∂ϑ
= 0. To znamená že rovnice (3.65) se transformuje
na následující rovnici (sr. Dodatek D)
1
r2
∂
∂r
r2 ∂u
∂r
+
1
r2 cos ϑ
∂
∂ϑ
cos ϑ
∂u
∂ϑ
= 0 (3.67)
55
a okrajová podmínka (3.66) na podmínku u(R, ϑ) = f(R sin ϑ), nebo při označení g(ξ) = f(Rξ) na
u(R, ϑ) = g(sin ϑ), −
π
2
< ϑ <
π
2
. (3.68)
Budeme hledat ohraničené řešení rovnice (3.65) a proto budeme dále požadovat
lim sup
r→0+
|u(r, ϑ)| < ∞, −
π
2
< ϑ <
π
2
. (3.69)
Z rotační symetrie řešení u rovnice (3.65) plyne
∂u
∂x
(0, 0, z) = 0 =
∂u
∂y
(0, 0, z)
pro každé z, −R ≤ z ≤ R. Po transformaci tedy dostaneme podmínku
∂u
∂ϑ
r, −
π
2
= 0 =
∂u
∂ϑ
r,
π
2
, 0 < r < R. (3.70)
Řešení rovnice (3.67) hledáme ve tvaru součinu výrazů, z nichž jeden závisí pouze na r a druhý pouze na ϑ,
tj.
u(r, ϑ) = X(r)Θ(ϑ). (3.71)
Dosazením do rovnice (3.67) dostaneme po snadné úpravě
r2
X′ ′
X
= −
Θ′
cos ϑ
′
Θ cos ϑ
.
Symbol ′
označuje obyčejnou derivaci podle příslušné proměnné; na levé strane podle r, na pravé podle ϑ. Výraz
na levé straně závisí pouze na r, výraz na pravé straně závisí pouze na ϑ. To znamená, že obě strany předchozí
rovnosti jsou rovny nějaké konstantě, řekněme λ. Tedy
r2
X′ ′
X
= −
Θ′
cos ϑ
′
Θ cosϑ
= λ. (3.72)
Nejprve budeme řešit rovnici
1
cos ϑ
Θ′
cos ϑ
′
+ λΘ = 0 (3.73)
s okrajovou podmínkou
Θ′
−
π
2
= 0 = Θ′ π
2
, (3.74)
která plyne z podmínky (3.70). Zavedeme novou nezávisle proměnnou ξ = sin ϑ. Pak je
Θ′
=
dΘ
dϑ
=
dΘ
dξ
dξ
dθ
= cos ϑ
dΘ
dξ
a podmínka (3.74) je splněna. Dále
(Θ′
cos ϑ)
′
=
d
dϑ
dΘ
dϑ
cos ϑ =
d
dϑ
dΘ
dξ
dξ
dϑ
cos ϑ =
d
dξ
(1 − ξ2
)
dΘ
dξ
dξ
dϑ
= (1 − ξ2
)
d2
Θ
dξ2
− 2ξ
dΘ
dξ
cos ϑ.
Rovnice (3.73) se tedy transformuje na rovnici
(1 − ξ2
)
d2
Θ
dξ2
− 2ξ
dΘ
dξ
+ λΘ = 0,
což je Legendreova rovnice (sr. C.1), která má netriviální řešení pro λn = n(n + 1), n = 0, 1, 2, . . .. Těmito
řešeními jsou Legendreovy polynomy Pn. Úloha (3.73), (3.74) má tedy řešení
Θn(ϑ) = Pn(sin ϑ), n = 0, 1, 2, . . .. (3.75)
56
Nalezené vlastní hodnoty λ = λn = n(n + 1) dosadíme do rovnice (3.72). Dostaneme Eulerovu obyčejnou
diferenciální rovnici
r2
X′
n
′
− n(n + 1)Xn = 0,
která má obecné řešení
Xn(r) = Anrn
+ Bnr−(n+1)
.
Z podmímky (3.69) plyne, že lim sup
r→0+
|Xn(r)| < ∞ a tedy Bn = 0 pro všechna n = 0, 1, 2, . . ., tj
Xn(r) = Anrn
. (3.76)
Z vyjádření (3.71), nalezených řešení (3.75), (3.76) a faktu, že lineární rovnice (3.72) je homogenní, dostaneme
řešení rovnice (3.67) je tvaru
u(r, θ) =
∞
n=0
Anrn
Pn(sin ϑ).
Toto řešení splňuje podmínky (3.69) a (3.70). Podmínku (3.70) můžeme přepsat na
g(sin ϑ) =
∞
n=0
AnRn
Pn(sin ϑ)
neboli
g(ξ) =
∞
n=0
AnRn
Pn(ξ).
Odtud plyne, že AnRn
jsou Fourierovými koeficienty funkce g vzhledem k orthogonální soustavě Legendreových
polynomů. Tedy podle věty C.1.4 platí
An =
2n + 1
2Rn
1
−1
g(ξ)Pn(ξ)dξ =
2n + 1
2Rn
1
−1
f(Rξ)Pn(ξ)dξ.
Řešení úlohy (3.67), (3.68), (3.69), (3.70) je
u(r, ϑ) =
1
−1
f(Rξ)
∞
n=0
2n + 1
2
r
R
n
Pn(sin θ)Pn(ξ)dξ
a řešení úlohy (3.65), (3.66) je
u(x, y, z) =
1
−1
f(Rξ)
∞
n=0
2n + 1
2
x2 + y2 + z2
R
n
Pn
z
x2 + y2 + z2
Pn(ξ)dξ.
3.3.5 Řešení Laplaceovy rovnice na válci
∆u(x, y, z) = 0, x2
+ y2
< R2
, 0 < z < h, (3.77)
u(x, y, 0) = 0, u(x, y, h) = f(x, y), x2
+ y2
< R2
, (3.78)
u(x, y, z) = 0, x2
+ y2
= R2
, 0 < z < h. (3.79)
Rovnici i okrajové podmínky transformujeme do cylindrických souřadnic
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z.
Podle D dostaneme rovnici
1
r
∂
∂r
r
∂u
∂r
+
1
r2
∂2
u
∂ϕ2
+
∂2
u
∂z2
= 0, 0 < r < R, ϕ ∈ R, 0 < z < h. (3.80)
57
Okrajové podmínky se transformují na tvar
u(r, ϕ, 0) = 0, u(r, ϕ, h) = f(r cos ϕ, r sin ϕ), 0 < r < R, ϕ ∈ R, (3.81)
u(R, ϕ, z) = 0, lim sup
r→0+
|u(r, ϕ, z)| < ∞, ϕ ∈ R, 0 < z < h, (3.82)
u(r, ϕ, z) = u(r, ϕ + 2π, z), 0 < r < R, ϕ ∈ R, 0 < z < h. (3.83)
Řešení transformované úlohy budeme hledat ve tvaru součinu tří funkcí, z nichž každá závisí právě na jedné
z proměnných, tj.
u(r, ϕ, z) = X(r)Φ(ϕ)Z(z). (3.84)
Po dosazení do rovnice (3.80) a jednoduché úpravě dostaneme
(rX′
)′
rX
+
Φ′′
r2Φ
= −
Z′′
Z
.
Symbol ′
označuje obyčejnou derivaci funkce podle její jediné proměnné. Na levé straně rovnosti je výraz, který
závisí pouze na proměnných r a ϕ, výraz na pravé straně závisí pouze na ϕ. To je možné jedině tak, že výrazy
na obou stranách rovnosti jsou rovny nějaké konstantě. Označíme ji −λ a dostaneme
Z′′
Z
= λ = −
(rX′
)′
rX
−
Φ′′
r2Φ
. (3.85)
Druhá z těchto rovností dává
−
Φ′′
Φ
= r
(rX′
)′
X
+ λr2
.
Výraz na levé straně nezávisí na proměnné r, výraz na pravé straně nezávisí na proměnné ϕ. Musí se tedy oba
rovnat nějaké konstantě, řekněme µ. Tedy
−
Φ′′
Φ
= µ = r
(rX′
)′
X
+ λr2
. (3.86)
Z první rovnosti (3.85), z rovností (3.86) a z podmínek v (3.81), (3.82), (3.83) dostaneme tři obyčejné rovnice
druhého řádu s okrajovými podmínkami:
Φ′′
+ µΦ = 0, Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π), (3.87)
r (rX′
)
′
+ λr2
− µ X = 0, lim sup
r→0+
|X(r)| < ∞, X(R) = 0, (3.88)
Z′′
− λZ = 0, Z(0) = 0. (3.89)
Úloha (3.87) je shodná s úlohou (3.54), (3.56). Má tedy netriviální řešení pouze pro µ = m2
, kde m ∈ N∪{0}
a toto řešení je
Φm(ϕ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ, m = 0, 1, 2 . . .. (3.90)
Předpokládejme, že λ > 0. Položíme λ = l2
a v úloze (3.88) s µ = m2
zavedeme novou nezávisle proměnnou
̺ vztahem ̺ = lr; jedná se o změnu měřítka průvodiče. Pak
X′
= l
dX
d̺
, (rX′
)
′
= l
d
d̺
̺
l
l
dX
d̺
= l ̺
d2
X
d̺2
+
dX
d̺
a rovnice v (3.88) se transformuje na Besselovu rovnici celočíselného řádu m,
̺2 d2
X
d̺
+ ̺
dX
d̺
+ (̺2
− m2
)X = 0,
sr. C.5. Obecné řešení této rovnice je podle C.5.11 rovno
X = Xml(̺) = CmlJm(̺) + DmlYm(̺),
58
kde Cml, Dml jsou nějaké konstanty, Jm, resp. Ym, je Besselova funkce prvního, resp. druhého, druhu. Avšak
podle C.5.8 je lim
̺→0+
Ym = ∞. Aby byla splněna podmínka ohraničenosti v (3.88), musí být Dml = 0. Řešení
úlohy (3.88) jsou tedy tvaru
X = Xml(r) = CmlJm(lr).
Z druhé okrajové podmínky (3.88) plyne CmlJm(lR) = 0. Aby řešení bylo nenulové a současně bylo l > 0, musí
být
l = lmk =
xmk
R
, k = 1, 2, . . .,
kde xmk je k-tý jednoduchý kořen Besselovy funkce Jm, sr. C.5.6. Řešení úlohy (3.88) tedy jsou
Xmk(r) = cmkJm
xmk
R
r , m = 0, 1, 2, . . ., k = 1, 2, 3, . . ., (3.91)
kde cmk = Cml pro l = xmk
R .
Za předpokladu λ > 0 tedy je λ = l2
mk =
xmk
R
2
. Řešení rovnice (3.89) v takovém případě bude
Zmk(z) = Dmkelmkz
+ Emke−lmkz
,
kde Dmk, Emk jsou nějaké konstanty. Z okrajové podmínky v (3.89) dostaneme 0 = Zmk(0) = Dmk + Emk.
Odtud plyne Emk = −Dmk a tedy
Zmk(z) = Dmk sinh (lmkz) = Dmk sinh
xmk
R
z , m = 0, 1, 2, . . ., k = 1, 2, 3, . . .. (3.92)
Označme amk = AmcmkDmk, bmk = BmcmkDmk. Z vyjádření (3.84), nalezených řešení (3.90), (3.91) a
(3.92) a ze skutečnosti, že rovnice (3.80) je homogenní, dostaneme její řešení ve tvaru
u(r, ϕ, z) =
∞
m=0
∞
k=1
sinh
xmk
R
z Jm
xmk
R
r (amk cos mϕ + bmk sin mϕ) . (3.93)
Toto řešení splňuje okrajové podmínky (3.82), (3.83) a první z podmínek (3.81). Konstanty amk, bmk určíme
tak, aby byla splněna druhá z podmínek (3.81), tedy aby platilo
g(r, ϕ) =
∞
m=0
∞
k=1
sinh
xmk
R
h Jm
xmk
R
r (amk cos mϕ + bmk sin mϕ) ,
kde g(r, ϕ) = f(r cos ϕ, r cos ϕ). Výraz
∞
k=1
sinh xmk
R h Jm
xmk
R r amk je tedy Fourierovým koeficientem funkce
g(r, · ) vzhledem k bázové funkci cos(m · ), takže
∞
k=1
sinh
xmk
R
h Jm
xmk
R
r amk =
1
π
2π
0
g(r, σ) cos mσdσ
pro m > 0 a
∞
k=1
sinh
x0k
R
h J0
x0k
R
r a0k =
1
2π
2π
0
g(r, σ)dσ.
Podle C.5.7 funkce Jm
xmk
R · tvoří orthogonální systém funkcí na intervalu (0, R); skalární součin funkcí F, G
definovaných na (0, R) je přitom definován jako (F, G) =
R
0
ξF(ξ)G(ξ)dξ. Z předchozí rovnosti tedy plyne, že
výraz amk sinh xmk
R h , resp. a0k sinh x0k
R h , je Fourierovým koeficientem funkce
1
π
2π
0
g( · , σ) cos mσdσ, resp.
1
2π
2π
0
g( · , σ)dσ,
59
příslušným k bázové funkci Jm
xmk
R · , resp. J0
x0k
R · . Vzhledem k C.5.7 to znamená, že
amk sinh
xmk
R
h =
2
πR2 Jm+1(xmk)
2
R
0
2π
0
̺g(̺, σ)Jm
xmk
R
̺ cos mσdσd̺
pro m = 1, 2, 3. . . ., tedy
amk =
2
πR2 sinh xmk
R h Jm+1(xmk)
2
R
0
2π
0
̺f(̺ cosσ, ̺ sin σ)Jm
xmk
R
̺ cos mσdσd̺,
m = 1, 2, 3, . . ., k = 1, 2, 3, . . .. (3.94)
Analogicky dostaneme
a0k =
1
πR2 sinh x0k
R h J1(x0k)
2
R
0
2π
0
̺f(̺ cos σ, ̺ sin σ)J0
x0k
R
̺ dσd̺, k = 1, 2, 3, . . ., (3.95)
bmk =
2
πR2 sinh xmk
R h Jm+1(xmk)
2
R
0
2π
0
̺f(̺ cos σ, ̺ sin σ)Jm
xmk
R
̺ sin mσdσd̺,
m = 1, 2, 3, . . ., k = 1, 2, 3, . . ., (3.96)
b0,k = 0, k = 1, 2, 3, . . .. (3.97)
Řešení úlohy (3.80)–(3.83), což je řešení původní úlohy (3.77)–(3.79) v cylindrických souřadnicích, je dáno
formulí (3.93), přičemž koeficienty amk, bmk jsou vyjádřeny rovnostmi (3.94)–(3.97).
Poznamenejme, že toto řešení jsme našli za předpokladu λ > 0. Naskýtá se otázka, zda volba λ ≤ 0 nedá
nějaké jiné řešení. Ovšem dále (v odstavci 4.2) bude ukázáno, že úloha (3.77)–(3.79) má jediné řešení.
Cvičení
1) Řešte úlohu o chvění struny délky l, je-li
a) struna upevněna na obou koncích, na počátku je ve vzdálenosti c od jednoho konce vychýlena na vzdálenost
h od rovnovážné polohy a nepohybuje se.
b) struna upevněna na obou koncích a je rozechvěna úderem plochého tvrdého kladívka o šířce 2δ, jehož
střed se struny dotkne ve vzdálenosti c od jednoho konce a jež se pohybuje rychlostí v.
c) struna je upevněna na obou koncích a působí na ni konstatntní síla f; na počátku je struna v rovnovážné
poloze a nepohybuje se.
d) struna je upevněna na jednom konci, druhý konec vykonává harmonický pohyb s amplitudou A a frekvencí
ω =
aπ
l
. (Na počátku je druhý konec vychýlen na vzdálenost A a struna je v klidu.)
2) Řešte úlohu o chladnutí homogenní tyče délky l která byla stejnoměrně zahřáta na teplotu u0, na jejímž
bočním povrchu nedochází k výměně tepla a
a) jeden její konec udržujeme na teplotě 0, druhý je tepelně izolován.
b) jeden její konec udržujeme na teplotě u1, druhý na teplotě u2.
c) na koncích nastává výměna tepla s prostředím nulové teploty.
3) Homogenní koule o poloměru R byla zahřáta tak, že její počáteční teplota v libovolném bodě závisí pouze
na vzdálenosti r tohoto bodu od středu koule, tj. u(0, x, y, z) = f x2 + y2 + z2 . Povrch koule udržujeme na
nulové teplotě. Určete teplotu koule v libovolném bodě a libovolném čase.
Řešte úlohu
4) uxx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b
60
u(0, y) = Ay(b − y), u(a, y) = 0, 0 ≤ y ≤ b; u(x, 0) = B sin πx
a , u(x, b) = 0, 0 ≤ x ≤ a
5) uxx + uyy = −2, 0 < x < a, − b
2 < y < b
2
u(0, y) = u(a, y) = 0, − b
2 ≤ y ≤ b
2 ; u(x, − b
2 ) = u(x, b
2 ) = 0, 0 ≤ x ≤ a
Výsledky:
1a)utt = a2
uxx
u(0, x) =
h
c x, x ∈ [0, c)
h
c−l (x − l), x ∈ [c, l],
, ut(0, x) = 0
u(t, 0) = u(t, l) = 0
u(t, x) = 2l2
h
c(l−c)π2
∞
n=1
1
n2 sin(πn
l c) sin(πn
l x) cos(aπn
l t)
1b)utt = a2
uxx
u(0, x) = 0, ut(0, x) =
v, x ∈ [c − δ, c + δ]
0, jinak
u(t, 0) = u(t, l) = 0
u(t, x) = 4lv
aπ2
∞
n=1
1
n2 sin(πn
l c) sin(πn
l δ) sin(πn
l x) sin(aπn
l t)
1c)utt = a2
uxx + f
u(0, x) = ut(0, x) = 0, u(t, 0) = u(t, l) = 0
u(t, x) = 4l2
f
a2π3
∞
n=0
1
(2n+1)3 1 − cos aπ(2n+1)
l t sin π(2n+1)
l x
1d)utt = a2
uxx
u(0, x) =
A
l
x, ut(0, x) = 0, u(t, 0) = 0, u(t, l) = A cos ωt
u(t, x) = A
l x cos(aπ
l t) − at sin(aπ
l t) + 4A
π
∞
n=2
(−1)n
n3−n sin aπ(n+1)
l t sin πn
l x
2a)ut = a2
uxx
u(0, x) = u0; u(t, 0) = 0, ux(t, l) = 0
u(t, x) = 4u0
π
∞
n=0
sin(2n+1
2l πx)
(2n + 1) exp (2n+1)aπ
2l
2
t
, stacionární stav u ≡ 0
2b)ut = a2
uxx
u(0, x) = u0; u(t, 0) = u1, u(t, l) = u2
u(t, x) = u2−u1
l x + u1 + 2
π
∞
n=1
u0 − u1 + (−1)n+1
(u0 − u2)) sin(πn
l x
n exp aπn
l
2
t
, stacionární stav u(x) = u1 + u2−u1
l x
2c)ut = a2
uxx
u(0, x) = u0; ux(t, 0) = hu(t, 0), ux(t, l) = −hu(t, l)
u(x, t) = 2u0
∞
n=1
exp(−a2
λnt)
λnl + h2l + 2h
sin(
√
λn l) − h√
λn
cos(
√
λn l) − 1
√
λn cos(
√
λn x) + h sin(
√
λn x) ,
kde λ1, λ2 . . . jsou kladné kořeny rovnice
√
λ
h − h√
λ
= 2 cotg(
√
λl)
3)ut = a2
∆u
u(0, x, y, z) = f x2 + y2 + z2 , u(t, x, y, z) = 0 pro x2
+ y2
+ z2
= R2
u(t, x, y, z) = 2
R
√
x2+y2+z2
∞
n=1
exp − nπa
R
2
t sin
nπ
√
x2+y2+z2
R
R
0
ρf(ρ) sin(nπρ
R )dρ
4) u(x, y) =
B sinh π(b−y)
a sin πx
a
sinh πb
a
+ 8Ab2
π3
∞
n=0
sinh (2n+1)π(a−x)
b sin (2n+1)πy
b
(2n + 1)3 sinh (2n+1)πa
b
5) u(x, y) = x(a − x) − 8a2
π3
∞
n=0
cosh 2n+1
a πy sin 2n+1
a πx
(2n + 1)3 cosh 2n+1
2a πb
61
62
Kapitola 4
Metody řešení eliptické rovnice
4.1 Integrace per partes a Greenovy vzorce
Buď Ω ⊆ R2
oblast s dostatečně hladkou hranicí ∂Ω, ν = (ν1, ν2) = ν1(x, y), ν2(x, y) jednotkový vektor vnější
normály k ∂Ω, f : Ω → R diferencovatelná funkce. Integrací podle jedné proměnné ověříme, že platí
Ω
∂f
∂x
dxdy =
∂Ω
fν1 dS ,
Ω
∂f
∂y
dxdy =
∂Ω
fν2 dS .
Položíme-li f = uv, kde u, v jsou diferencovatelné funkce na Ω, dostaneme vzorce pro integraci per partes
u dvojných integrálů:
Ω
u
∂v
∂x
dxdy =
∂Ω
uvν1 dS −
Ω
v
∂u
∂x
dxdy ,
Ω
u
∂v
∂y
dxdy =
∂Ω
uvν2 dS −
Ω
v
∂u
∂y
dxdy .
Odtud plyne
Ω
u
∂2
v
∂x2
dxdy =
∂Ω
u
∂v
∂x
ν1dS −
Ω
∂u
∂x
∂v
∂x
dxdy ,
Ω
u
∂2
v
∂y2
dxdy =
∂Ω
u
∂v
∂y
ν2dS −
Ω
∂u
∂y
∂v
∂y
dxdy .
Sečtením těchto rovnic dostaneme
Ω
u∆v dxdy =
∂Ω
u
∂v
∂x
ν1 +
∂v
∂y
ν2 dS −
Ω
∂u
∂x
∂v
∂x
+
∂u
∂y
∂v
∂y
dxdy .
Výraz
∂v
∂x
ν1 +
∂v
∂y
ν2 je derivace funkce v ve směru jednotkového vektoru vnější normály. Označíme ho
∂v
∂ν
a
dostaneme první Greenův vzorec
Ω
u∆v dxdy =
∂Ω
u
∂v
∂ν
dS −
Ω
∂u
∂x
∂v
∂x
+
∂u
∂y
∂v
∂y
dxdy .
Analogicky odvodíme
Ω
v∆u dxdy =
∂Ω
v
∂u
∂ν
dS −
Ω
∂u
∂x
∂v
∂x
+
∂u
∂y
∂v
∂y
dxdy .
Odečtením prvních Greenových vzorců dostaneme druhý Greenův vzorec
Ω
(u∆v − v∆u) dxdy =
∂Ω
u
∂v
∂ν
− v
∂u
∂ν
dS .
Analogické vzorce platí i pro funkce více proměnných: Nechť Ω ⊆ Rn
je oblast s dostatečně hladkou hranicí ∂Ω,
u, v diferencovatelné funkce na Ω a ν = (ν1, ν2, . . . , νn) jednotkový vektor vnější normály k ∂Ω. Pak platí
63
• Integrace per partes
Ω
u
∂v
∂xi
dV =
∂Ω
uv νi dS −
Ω
v
∂u
∂xi
dV , i = 1, 2, . . . , n .
• První Greenův vzorec
Ω
u∆v dV =
∂Ω
u
∂v
∂ν
dS −
Ω
n
i=1
∂u
∂xi
∂v
∂xi
dV =
∂Ω
u
∂v
∂ν
dS −
Ω
∇u · ∇v dV .
• Druhý Greenův vzorec
Ω
(u∆v − v∆u) dV =
∂Ω
u
∂v
∂ν
− v
∂u
∂ν
dS .
4.2 Jednoznačnost řešení Dirichletovy a Neumannovy úlohy pro Poissonovu
rovnici
Buď Ω ⊆ Rn
oblast s dostatečně hladkou hranicí ∂Ω. Uvažujme Poissonovu rovnici
∆u(x) = f(x), x ∈ Ω (4.1)
s Dirichletovou
u(x) = g0(x), x ∈ ∂Ω (4.2)
nebo Neumannovou
∂u(x)
∂ν
= g1(x), x ∈ ∂Ω (4.3)
okrajovou podmínkou. Nechť funkce u1, u2 současně splňují rovnici (4.1) s některou z podmínek (4.2) nebo
(4.3). Položme u = u1 − u2. Pro x ∈ Ω platí
∆u(x) = ∆u1(x) − ∆u2(x) = f(x) − f(x) = 0,
tedy funkce u splňuje na Ω Laplaceovu rovnici. Pro x ∈ ∂Ω platí
u(x) = u1(x) − u2(x) = g0(x) − g0(x) = 0, nebo
∂u(x)
∂ν
=
∂u1(x)
∂ν
−
∂u2(x)
∂ν
= g1(x) − g1(x) = 0,
zejména tedy u(x)
∂u(x)
∂ν
= 0 na ∂Ω. S využitím prvního Greenova vzorce dostaneme
0 =
∂Ω
u
∂u
∂ν
dS =
Ω
u∆udV +
Ω
∇u · ∇udV = 0 +
Ω
|∇u|
2
dV.
Odtud plyne, že ∇u(x) = 0 pro x ∈ Ω a tedy, že u(x) = const. To dále znamená, že u1(x) − u2(x) = const pro
x ∈ ¯Ω, neboť řešení každé z úloh (4.1), (4.2) a (4.1), (4.3) je spojité na ¯Ω. V případě Dirichletovy podmínky je
const = 0, neboť u1(x) − u2(x) = 0 pro x ∈ Ω.
Platí tedy: Všechna řešení úlohy (4.1), (4.2) jsou shodná, tj. úloha (4.1), (4.2) má nejvýše jedno řešení;
všechna řešení úlohy (4.1), (4.3) se liší o aditivní konstantu.
4.3 Laplaceova rovnice a harmonické funkce
Buď Ω ⊆ Rn
oblast (otevřená souvislá množina). Řekneme, že funkce u definovaná na Ω je harmonická, má-li
spojité parciální derivace druhého řádu, na Ω splňuje Laplaceovu rovnici
∆u = 0
∆ =
∂2
∂x2
1
+
∂2
∂x2
2
+ · · · +
∂2
∂x2
n
a je-li Ω neohraničená, platí navíc
lim sup
x∈Ω,|x|→∞
|x|n−2
u(x) < ∞ .
(|x| = x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n je euklidovská vzdálenost bodu x = (x1, x2, . . . , xn) od počátku (0, 0, . . . , 0).)
64
4.3.1 Jednoduché harmonické funkce v rovině
Rovnice
uxx + uyy = 0
má v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ tvar
urr +
1
r2
uϕϕ +
1
r
ur = 0 .
Snadno ověříme, že funkce
u(r, ϕ) = rk
cos kϕ a v(r, ϕ) = rk
sin kϕ , k = 0, 1, 2, . . .
jsou řešením poslední rovnice. Vyjádříme tyto funkce v kartézských souřadnicích
u(r, ϕ) 1 r cos ϕ r sin ϕ r2
cos 2ϕ r2
sin 2ϕ r3
cos 3ϕ r3
sin 3ϕ . . .
u(x, y) 1 x y x2
− y2
2xy x3
− 3xy2
3x2
y − y3
. . .
Získáme polynomy stupně k, které nazýváme jednoduché harmonické funkce stupně k. Nechť Ω je ohraničená
oblast, jejíž hranice ∂Ω je jednoduchá uzavřená křivka implicitně daná rovnicí P(x, y) = 0, kde P je polynom
stupně nejvýše k. Řešení rovnice
uxx(x, y) + uyy(x, y) = 0 , (x, y) ∈ Ω
s některou z okrajových podmínek
u(x, y) = g1(x, y) , (x, y) ∈ ∂Ω ,
∂u
∂ν
(x, y) = g2(x, y) , (x, y) ∈ ∂Ω ,
∂u
∂ν
(x, y) = h(g3(x, y) − u(x, y)) , (x, y) ∈ ∂Ω ,
g1 je polynom stupně nejvýše k; g2, g3 jsou polynomy stupně nejvýše k − 1 a
∂
∂ν
značí derivaci ve směru vnější
normály, lze v tomto případě hledat ve tvaru lineární kombinace jednoduchých harmonických funkcí stupně
nejvýše k.
4.3.2 Kruhová a kulová inverse
Kruhová inverse vzhledem ke kružnici x2
+ y2
= a2
, v polárních souřadnicích r = a, je zobrazení Φ : R2
→ R2
dané předpisem
(x, y) →
xa2
x2 + y2
,
ya2
x2 + y2
=
a2
|(x, y)|2
(x, y) ,
v polárních souřadnicích
(r, ϕ) →
a2
r
, ϕ .
Kruhová inverse je prosté a vzájemně jednoznačné zobrazení množiny {(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
≥ a2
} na množinu
{(x, y) ∈ R2
: 0 < x2
+ y2
≤ a2
}, body kružnice jsou pevné (samodružné) body tohoto zobrazení.
Funkce u = u(r, ϕ) je harmonická na množině {(r, ϕ) : r < a} právě tehdy, když funkce
v = v(r′
, ϕ) = u
a2
r′
, ϕ = u(r, ϕ)
je harmonická na množině {(r′
, ϕ) : r′
> a}.
65
D.: r =
a2
r′
,
∂r
∂r′
= −
a2
r′2
= −
r2
a2
, tedy
vr′ (r′
, ϕ) = vr(r′
, ϕ)
∂r
∂r′
= −
r2
a2
ur(r, ϕ) ,
vr′r′ (r′
, ϕ) =
∂
∂r
vr′ (r′
, ϕ)
∂r
∂r′
=
∂
∂r
−
r2
a2
ur(r, ϕ) −
r2
a2
=
=
r2
a4
2rur(r, ϕ) + r2
urr (r, ϕ) =
2r3
a4
ur(r, ϕ) +
r4
a4
urr(r, ϕ) ,
∆r′,ϕ v(r′
, ϕ) = vr′r′ (r′
, ϕ) +
1
r′2
vϕϕ(r′
, ϕ) +
1
r′
vr′ (r′
, ϕ) =
=
2r3
a4
ur(r, ϕ) +
r4
a4
urr(r, ϕ) +
r2
a4
uϕϕ(r, ϕ) −
r3
a4
ur(r, ϕ) =
=
r4
a4
urr(r, ϕ) +
1
r
ur(r, ϕ) + uϕϕ(r, ϕ) =
r4
a4
∆r,ϕ u(r, ϕ) .
Tato vlastnost umožňuje převádět řešení úlohy
∆u(x, y) = 0 , x2
+ y2
< a2
na řešení úlohy
∆u(x, y) = 0 , x2
+ y2
> a2
.
Kruhová inverse jednoduchých harmonických funkcí:
1,
1
r
cos ϕ,
1
r
sin ϕ,
1
r2
cos 2ϕ,
1
r2
sin 2ϕ, . . . .
Kulová inverse vzhledem ke sféře x2
+ y2
+ z2
= a2
, ve sférických souřadnicích r = a, je zobrazení dané
předpisem
(x, y, z) →
a2
|(x, y, z)|2
(x, y, z) ,
ve sférických souřadnicích
(r, ϕ, ϑ) →
a2
r
, ϕ, ϑ .
Kulová inverse je prosté a vzájemně jednoznačné zobrazení množiny {(x, y, z) ∈ R3
: x2
+ y2
+ z2
≥ a2
} na
množinu {(x, y, z) ∈ R3
: 0 < x2
+ y2
+ z2
≤ a2
}, body sféry jsou pevné body tohoto zobrazení.
Funkce u = u(r, ϕ, ϑ) je harmonická právě tehdy, když funkce
v = v(r′
, ϕ, ϑ) =
a2
r′
u
a2
r′
, ϕ, ϑ = ru(r, ϕ, ϑ)
je harmonická.
D.: r =
a2
r′
,
∂r
∂r′
= −
r2
a2
. Tedy
1
r′2
∂
∂r′
r′2 ∂v
∂r′
=
r2
a4
∂
∂r
a4
r2
∂ru
∂r
∂r
∂r′
∂r
∂r′
=
r2
a4
∂
∂r
−a2
u + r
∂u
∂r
−
r2
a2
=
=
r4
a4
∂u
∂r
+
∂u
∂r
+ r
∂2
u
∂r2
=
r3
a4
2r
∂u
∂r
+ r2 ∂2
u
∂r2
=
=
r3
a4
∂
∂r
r2 ∂u
∂r
=
r5
a4
1
r2
∂
∂r
r2 ∂u
∂r
,
1
r′2 cos2 ϑ
∂2
v
∂ϕ2
=
r2
a4
1
cos2 ϑ
∂2
ru
∂ϕ2
=
r3
a4
1
cos2 ϑ
∂2
u
∂ϕ2
=
r5
a4
1
r2 cos2 ϑ
∂2
u
∂ϕ2
,
1
r′2 cos ϑ
∂
∂ϑ
cos ϑ
∂v
∂ϑ
=
r2
a4
1
cos ϑ
∂
∂ϑ
cos ϑ
∂ru
∂ϑ
=
r5
a4
1
r2 cos ϑ
∂
∂ϑ
cos ϑ
∂u
∂ϑ
,
66
odtud
∆r′,ϕ,ϑ v =
r5
a4
∆r,ϕ,ϑ u .
Transformace
v(r′
, ϕ, ϑ) = ru(r, ϕ, ϑ) , kde r =
1
r′
se nazývá Kelvinova.
4.3.3 Fundamentální harmonické funkce
Hledáme symetrické řešení rovnice
∆u(x) = 0 , x ∈ Rn
\ {0} .
Provedeme transformaci do sférických souřadnic
x1 = r cos ϕ1 . . . cos ϕn−3 cos ϕn−2 cos ϕn−1
x2 = r cos ϕ1 . . . cos ϕn−3 cos ϕn−2 sin ϕn−1
x3 = r cos ϕ1 . . . cos ϕn−3 sin ϕn−2
...
xn−1 = r cos ϕ1 sin ϕ2
xn = r sin ϕ1 .
Poněvadž funkce u má být symetrická, t.j. její hodnota závisí pouze na vzdálenosti argumentu od počátku, je
u = u(r) a
∂u
∂ϕi
= 0, i = 1, 2, . . ., n − 1. Tedy
∆u =
n
i=1
∂2
u
∂x2
i
=
n
i=1
∂
∂xi

∂u
∂r
∂r
∂xi
+
n−1
j=1
∂u
∂ϕj
∂ϕj
∂xi

 =
n
i=1
∂
∂xi
∂u
∂r
∂r
∂xi
=
n
i=1
∂
∂r
∂u
∂r
∂r
∂xi
∂r
∂xi
=
=
n
i=1
∂2
u
∂r2
∂r
∂xi
2
+
∂u
∂r
∂2
r
∂x2
i
=
∂2
u
∂r2
n
i=1
∂r
∂xi
2
+
∂u
∂r
n
i=1
∂2
r
∂x2
i
.
Poněvadž r = x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n, platí
∂r
∂xi
=
xi
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n
=
xi
r
, tedy
∂r
∂xi
2
=
x2
i
r2
,
∂2
r
∂x2
i
=
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n −
x2
i
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n
=
r2
− x2
i
r3
.
Tedy
n
i=1
∂r
∂xi
2
=
n
i=1
x2
i
r2
=
r2
r2
= 1 ,
n
i=1
∂2
r
∂x2
i
=
n
i=1
1
r
−
x2
i
r3
=
n
r
−
r2
r3
=
n − 1
r
.
Celkem máme
∆u = urr +
n − 1
r
ur = 0 .
Řešení této rovnice je
u(r) =



C1 ln r + C2, n = 2
C1
rn−2
+ C2, n ≥ 3
.
67
Aby lim
r→∞
rn−2
u(r) < ∞, musí být C1 < 0 v případě n = 2. Volíme C2 = 0 a C1 =
−1, n = 2
1, n ≥ 3
.
Definice: Funkci v(x0, ·) definovanou na Rn
\ {x0} vztahem
v(x0, x) =



ln
1
|x0 − x|
, n = 2
1
|x0 − x|n−2
, n ≥ 3
nazýváme fundamentální (elementární) harmonickou funkcí se singularitou v bodě x0.
Speciální případy:
v(x0, y0, x, y) = ln
1
(x0 − x)2 + (y0 − y)2
,
v(x0, y0, z0, x, y, z) =
1
(x0 − x)2 + (y0 − y)2 + (z0 − z)2
.
Z úvahy provedené před definicí plyne, že fundamentální harmonická funkce se singularitou v bodě x0 je
harmonickou funkcí na oblasti Rn
\ {x0}. Dále je zřejmé, že
v(x0, x) = v(x, x0) (4.4)
a pro každé x = (x1, x2, . . . , xn) = x0 = (x01, x02, . . . , x0n) platí
∆x1,x2,...,xn v(x0, x) = ∆x01,x02,...,x0n v(x0, x) . (4.5)
Interpretace fundamentální harmonické funkce v(x0, · ) a její derivace.
Pro n = 3 při označení x0 = (x0, y0, z0) platí
∂v(x0, x)
∂x
=
∂
∂x
1
(x0 − x)2 + (y0 − y)2 + (z0 − z)2
=
= −
1
2
−2(x0 − x)
(x0 − x)2 + (y0 − y)2 + (z0 − z)2 3/2
= −
x − x0
|x − x0|3
,
a podobně
∂v(x0, x)
∂y
= −
y − y0
|x − x0|3
,
∂v(x0, x)
∂z
= −
z − z0
|x − x0|3
,
takže
∇v(x0, x) = −
x − x0
|x − x0|3
.
Nechť v bodě o souřadnicích x0 se nachází bodový náboj velikosti Q. Na kladný jednotkový bodový náboj
umístěný v bodě x = (x, y, z) působí podle Coulombova zákona elektrostatická síla o velikosti
1
4πε
|Q|
|x − x0|2
,
která je orientovaná ve směru vektoru sgn Q(x− x0); přitom ε označuje permitivitu prostředí. V bodě x je tedy
intenzita elektrostatického pole vytvářeného nábojem Q v bodě x0 rovna
E(x) =
1
4πε
Q
|x − x0|2
x − x0
|x − x0|
=
Q
4πε
x − x0
|x − x0|3
=
Q
4πε
− ∇v(x0, x) .
Při označení
ϕ(x) =
Q
4π
v(x0, x) (4.6)
68
tedy intenzitu E(x) můžeme zapsat ve tvaru
E(x) =
1
ε
− ∇ϕ(x) .
To znamená, že funkce v(x0, · ) vyjadřuje (až na multiplikativní konstantu charakterizující permitivitu prostředí)
potenciál elektrostatického pole vytvářeného bodovým nábojem umístěným v bodě x0.
Uvažujme nyní elektrický dipól, tj. dva bodové náboje opačného znaménka stejné velikosti |Q| v malé
vzdálenosti h od sebe. Nechť náboj Q se nachází v bodě x+ a náboj −Q v bodě x−. Označme dále x = x+ −x−,
x0 = 1
2 (x+ + x−). Vektor p = Qd se nazývá dipólový moment, jeho velikost je N = Q|d| = Qh a směr d0 =
d
h
;
bod x0 lze považovat za umístění dipólu.
Potenciál elektrostatického pole vytvářeného uvažovaným dipólem v pevně zvoleném bodě x bude podle
(4.6) roven
ϕIII(x) =
Q
4π
v(x+, x) −
Q
4π
v(x−, x) =
Q
4π
v(x+, x) − v(x−, x)
(až na multiplikativní konstantu vyjadřující permitivitu). Podle věty o střední hodnotě je
v(x+, x) − v(x−, x) =
∂v(x− + ϑd, x)
∂d
= h
∂v(x− + ϑd, x)
∂d0
,
kde ϑ ∈ [0, 1] a
∂
∂d
označuje směrovou derivaci podle vektoru d. Potenciál ϕIII tedy můžeme vyjádřit vztahem
ϕIII (x) =
1
4π
N
∂v(x− + ϑd, x)
∂d0
.
Pokud vzdálenost nábojů h je malá ve srovnání se vzdáleností |x0 − x| bodu x od dipólu, je
∂v(x− + ϑd, x)
∂d0
≈
∂v(x0, x)
∂d0
a potenciál dipólu s momentem velikosti N a směru d0 lze vyjádřit formulí
ϕIII (x) =
1
4π
N
∂v(x0, x)
∂d0
. (4.7)
4.3.4 Integrální representace dvakrát diferencovatelné funkce
Buď Ω ⊆ Rn
ohraničená oblast s dostatečně hladkou hranicí ∂Ω, u funkce definovaná na Ω, která má na Ω
spojité parciální derivace druhého řádu. Pak pro každé x ∈ Ω platí
u(x) =
1
cn
∂Ω
v(x, ·)
∂u
∂ν
− u
∂v(x, ·)
∂ν
dS −
1
cn
Ω
v(x, ·)∆u dV ,
kde v(x, ·) je fundamentální harmonická funkce se singularitou v x,
∂
∂ν
je derivace ve směru jednotkového
vektoru vnější normály ν = (ν1, ν2, . . . , νn), tj.
∂
∂ν
= ∇ · ν a
cn =
2π, n = 2
(n − 2)σn, n ≥ 3
,
kde σn je (n− 1)-rozměrná míra jednotkové sféry v Rn
, σ2k+1 =
2k+1
πk
(2k − 1)!!
, σ2k =
2πk
(k − 1)!
. (Zejména c3 = 4π.)
Nevlastní integrál na pravé straně rovnosti definujeme vztahem
Ω
v(x, ·)∆u dV = lim
ε→0+
Ω\Kε
x
v(x, ·)∆u dV ,
kde Kε
x je koule se středem x a poloměrem ε.
69
D.: Důkaz provedeme pro n ≥ 3, x = (x1, x2, . . . , xn).
Označme Ka
x, resp. Sa
x kouli, resp. sféru se středem x a poloměrem a. Buďte x ∈ Ω a ε > 0 takové, že
Kε
x ⊆ Ω. Podle druhého Greenova vzorce platí
Ω\Kε
x
(u∆v(x, ·) − v(x, ·)∆u) dV =
=
∂Ω
u
∂v(x, ·)
∂ν
− v(x, ·)
∂u
∂ν
dS −
Sε
x
u
∂v(x, ·)
∂ν
− v(x, ·)
∂u
∂ν
dS ,
Poněvadž funkce v(x, ·) je na Ω \ Kε
x harmonická, je
−
Ω\Kε
x
v(x, ·)∆u dV =
∂Ω
u
∂v(x, ·)
∂ν
− v(x, ·)
∂u
∂ν
dS +
Sε
x
v(x, ·)
∂u
∂ν
− u
∂v(x, ·)
∂ν
dS .
Normálový vektor k Sε
x v bodě y má složky νi =
1
ε
(yi − xi), i = 1, 2, . . ., n. Pro y ∈ Sε
x je
∂v(x, y)
∂yi
=
n − 2
εn
(xi − yi) ,
takže pro y ∈ Sε
x je
∂v(x, y)
∂ν
= −
n − 2
εn+1
n
i=1
(xi − yi)2
= −
n − 2
εn−1
.
Dále podle věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje ξ ∈ Sε
x, že
Sε
x
u
∂v(x, ·)
∂ν
dS = u(ξ)
Sε
x
∂v(x, ·)
∂ν
dS = −u(ξ)
Sε
x
n − 2
εn−1
dS = −u(ξ)
n − 2
εn−1
σnεn−1
=
= −(n − 2)σnu(ξ) ,
takže
lim
ε→0
Sε
x
u
∂v(x, ·)
∂ν
dS = −(n − 2)σnu(x) .
Poněvadž
∂u
∂ν
je spojitá na Sε
x, existuje podle 1. Weierstrassovy věty K ∈ R takové, že
∂u
∂ν
≤ K pro
každý bod na Sε
x. Tedy
Sε
x
v(x, ·)
∂u
∂ν
dS ≤ K
Sε
x
1
|x − y|n−2
dSy =
K
εn−2
σnεn−1
= Kσnε ,
takže
lim
ε→0
Sε
x
v(x, ·)
∂u
∂ν
dS = 0 .
Důsledky:
1. Je-li funkce u navíc harmonická na Ω, platí pro každé x ∈ Ω
u(x) =
1
cn
∂Ω
v(x, ·)
∂u
∂ν
− u
∂v(x, ·)
∂ν
dS . (4.8)
70
2. Pro každou nekonečněkrát diferencovatelnou funkci ψ s kompaktním nosičem (sr. A.1) platí
Rn
ψ∆v(x, ·)dV = −cnψ(x) ,
neboli
∆yv(x, y) = −cnδ(y − x) , (4.9)
kde δ je Diracova distribuce.
D.: ∆yv(x, y) je distribuce, která splňuje
∆yv(x, y) ψ(y) = v(x, y) ∆ψ(y)
pro každou nekonečněkrát diferencovatelnou funkci ψ s kompaktním nosičem (sr. A.3). Buď Ω ⊆ Rn
taková oblast s hladkou hranicí, že Supp ψ ⊆ Ω.
Pak pro y ∈ ∂Ω je ψ(y) = 0 =
∂ψ(y)
∂ν
a tedy s využitím předchozí věty dostaneme
∆yv(x, y) ψ(y) = v(x, y) ∆ψ(y) =
Rn
v(x, ·)∆ψdV =
Ω
v(x, ·)∆ψdV =
= −cn

ψ(x) −
1
cn
∂Ω
v(x, ·)
∂ψ
∂ν
− ψ
∂v(x, ·)
∂ν
dS

 = −cnψ(x) .
4.3.5 Vlastnosti harmonických funkcí
Buď Ω ⊆ Rn
ohraničená oblast s dostatečně hladkou hranicí ∂Ω, u harmonická funkce se spojitými druhými
parciálními derivacemi na Ω. Pak platí
1.
∂Ω
∂u
∂ν
dS = 0 .
D.: Ve druhém Greenově vzorci stačí položit v ≡ 1.
2. Věta o střední hodnotě
Buď x ∈ Ω, Sa
x sféra se středem x a poloměrem a taková, že Sa
x ⊆ Ω. Pak
u(x) =
1
2πa
Sa
x
u dS , pro n = 2 ,
u(x) =
1
4πa2
Sa
x
u dS , pro n = 3 ,
u(x) =
1
σnan−1
Sa
x
u dS , pro n > 3 ,
kde σn je číslo zavedené v 4.3.4.
D.: Důkaz provedeme pro n ≥ 3, x = (x1, x2, . . . , xn).
Je νi =
1
a
(yi − xi). Pro y ∈ Sa
x platí v(x, y) =
1
|x − y|n−2
=
1
an−2
, takže podle 1. je
Sa
x
v(x, ·)
∂u
∂ν
dS =
1
an−1
Sa
x
∂u
∂ν
dS = 0 .
71
Dále pro y ∈ Sa
x je
∂v(x, y)
∂ν
=
n
i=1
∂v(x, y)
∂yi
νi =
1
a
n
i=1
(2 − n)(yi − xi)
|x − y|n
(yi − xi) =
2 − n
a|x − y|n−2
=
2 − n
an−1
,
takže
Sa
x
u
∂v(x, y)
∂ν
dS =
2 − n
an−1
Sa
x
u dS .
Podle (4.8) je
u(x) =
1
cn
Sa
x
v(x, ·)
∂u
∂ν
− u
∂v(x, ·)
∂ν
dS =
n − 2
cnan−1
Sa
x
u dS =
1
σnan−1
Sa
x
u dS .
3. Princip maxima
Je-li harmonická funkce u nekonstantní na oblasti Ω, pak nabývá své největší a nejmenší hodnoty na
hranici ∂Ω, tj. pro každé x ∈ Ω platí
min{u(y) : y ∈ ∂Ω} < u(x) < max{u(y) : y ∈ ∂Ω} .
D.: Plyne z předchozího tvrzení.
4.4 Metoda potenciálů
V celém oddílu bude v(x, ·) označovat fundamentální harmonickou funkci se singularitou v x, Ω ⊆ Rn
oblast
s hladkou hranicí ∂Ω,
∂
∂ν
derivaci ve směru jednotkového vektoru vnější normály k ∂Ω, cn číslo zavedené v 4.3.4.
Nejprve provedeme heuristickou úvahu. Představme si, že v omezené oblasti Ω ⊆ R3
je rozložen elektrický
náboj, jeho hustotu v bodě y ∈ Ω označíme ̺(y). Náboj objemového elementu dVy v okolí bodu y tedy je
̺(y)dVy a potenciál tohoto elementu v bodě x ∈ ¯Ω je podle (4.6) a (4.4) roven
dϕ(x) =
̺(y)dVy
4π
v(y, x) =
1
c3
̺(y)v(x, y)dVy
(až na multiplikativní konstantu vyjadřující permitivitu prostředí). Celkový potenciál náboje rozloženého v oblasti
Ω tedy je
ϕ(x) =
1
c3
Ω
̺v(x, · )dV.
Pokud by byl elektrický náboj rozložen pouze na hranici oblasti Ω (na povrchu tělesa) a v bodě y ∈ ∂Ω by měl
plošnou hustotu µ = µ(y) (tj. náboj plošného elementu dSy v okolí bodu y by byl µ(y)dSy), jeho potenciál
v bodě x ∈ ∂Ω by se rovnal
ϕII(x) =
1
c3
∂Ω
µv(x, · )dS.
Uvažujme dále dipóly rozmístěné na hranici oblasti Ω s hustotou λ a orientované ve směru vnější normály,
tj. dipólový moment plošného elementu dSy v okolí bodu y ∈ ∂Ω má velikost Ny = λ(y)dSy a orientaci ν = νy.
Potenciál plošného elementu dSy v bodě x ∈ ∂Ω je podle (4.7) a (4.4) roven
dϕIII(x) =
1
4π
λ(y)dSy
∂v(y, x)
∂νy
=
1
c3
λ(y)
∂v(x, y)
∂νy
dSy.
V bodě x je tedy celkový potenciál hranice oblasti roven plošnému integrálu
ϕIII (x) =
1
c3
∂Ω
λ
∂v(x, · )
∂ν
dS.
Tento výraz lze interpretovat jako elektrostatický potenciál tenké nevodivé plochy (povrchu tělesa), na jejíž
vnější straně je rozmístěn elektrický náboj a na vnitřní straně je stejně rozmístěn stejně velký náboj opačného
znaménka.
72
4.4.1 Objemový potenciál
Nechť Ω ⊆ Rn
je ohraničená a ̺ : Ω → R je funkce.
Funkce ϕI : Rn
→ R definovaná pro každé x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
vztahem
ϕI (x) =
1
cn
Ω
̺v(x, ·) dV
se nazývá objemový potenciál.
• Je-li funkce ̺ spojitá na Ω, pak ϕI je harmonickou funkcí na Rn
\ Ω pro n ≥ 3. Je-li n = 2 a funkce ̺ je
navíc nezáporná, je ϕI harmonickou funkcí na R2
\ ¯Ω.
D.: Z toho, že funkce f je spojitá na kompaktní množině ¯Ω plyne, že následující výpočet je korektní.
∆ϕI(x) =
1
cn
Ω
∆x (̺v(x, ·)) dV =
1
cn
Ω
̺∆xv(x, ·)dV =
1
cn
Ω
̺(y)∆yv(x, y)dVy = 0.
Předposlední rovnost plyne z (4.5), poslední z toho, že pro x ∈ ¯Ω je v(x, y) harmonická v každém
y ∈ Ω.
Dále pro n ≥ 3 platí
lim
|x|→∞
|x|n−2
ϕI (x) =
1
cn
Ω
̺ lim
|x|→∞
|x|n−2
v(x, ·)dV =
1
cn
Ω
̺dV < ∞.
Je-li n = 2 a ̺ ≥ 0 na Ω, pak
lim
|x|→∞
ϕI(x) =
1
2π
Ω
̺ lim
|x|→∞
v(x, ·)dV = −∞ < ∞.
• Má-li funkce ̺ spojité parciální derivace prvního řádu na Ω a je spojitá na Ω, pak ϕI má spojité parciální
derivace druhého řádu na Ω a platí
∆ϕI = −̺ .
D.: Pro x ∈ Ω dostaneme s využitím (4.5) a (4.9)
∆ϕI (x) =
1
cn
Ω
∆x ̺v(x, ·) dV =
1
cn
Ω
̺∆xv(x, ·)dV =
1
cn
Ω
̺∆xv(·, x)dV =
=
1
cn
Ω
̺(y)∆xv(y, x)dVy = −
1
cn
Ω
̺(y)cnδ(y − x)dVy = −̺(x).
4.4.2 Řešení Dirichletovy úlohy pro Poissonovu rovnici
∆u(x) = f(x) , x ∈ Ω ,
u(x) = g(x) , x ∈ ∂Ω ,
kde Ω je ohraničená oblast s dostatečně hladkou hranicí.
Řešení hledáme ve tvaru u(x) = w(x) − ϕ(x), kde
ϕ(x) = ϕ(x1, . . . , xn) =
1
cn
Ω
f(ξ1, . . . , ξn)v(x1, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn) dξ1 · · · dξn
a w je řešením Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici
∆w(x) = 0 , x ∈ Ω ,
w(x) = g(x) + ϕ(x) , x ∈ ∂Ω .
73
4.4.3 Plošné potenciály
Buďte µ, λ : ∂Ω → R funkce takové, že v případě neohraničenosti ∂Ω platí
lim
x∈∂Ω,|x|→∞
|x|n−2
µ(x) = 0 , lim
x∈∂Ω,|x|→∞
|x|n−2
λ(x) = 0 .
Funkce ϕII : Rn
→ R definovaná pro každé x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
vztahem
ϕII (x) =
1
cn
∂Ω
µv(x, ·) dS
se nazývá potenciál jednoduché vrstvy.
Funkce ϕIII : Rn
→ R definovaná pro každé x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
vztahem
ϕIII(x) =
1
cn
∂Ω
λ
∂v(x, ·)
∂ν
dS
se nazývá potenciál dvojvrstvy.
• Jsou-li funkce µ, λ spojité na ∂Ω, pak funkce ϕII a ϕIII jsou harmonické na Rn
\ ∂Ω.
D.: Důkaz je analogií důkazu analogického tvrzení pro objemový potenciál.
Každý z integrálů ϕII, ϕIII určuje vlastně dvě funkce. Jednu funkci harmonickou na Ω a druhou harmonickou
na Rn
\ Ω.
• Buď x0 ∈ ∂Ω a ψ funkce definovaná v okolí bodu x0. Označme
[ψ(x0)]I = lim
Ω∋x→x0
ψ(x) , [ψ(x0)]E = lim
Rn\Ω∋x→x0
ψ(x) ,
za předpokladu, že tyto limity existují.
Pro každý bod x ∈ ∂Ω platí
∂ϕII(x)
∂ν I
=
∂ϕII(x)
∂ν
+
1
2
µ(x) ,
∂ϕII(x)
∂ν E
=
∂ϕII(x)
∂ν
−
1
2
µ(x) , (4.10)
[ϕIII(x)]I = ϕIII(x) −
1
2
λ(x) , [ϕIII(x)]E = ϕIII(x) +
1
2
λ(x) . (4.11)
D.: A. N. Tichonov, A. A. Samarskij: Rovnice matematické fysiky, Praha 1955, str. 395–402.
Derivace potenciálu jednoduché vrstvy ve směru vnější normály má tedy na ∂Ω nespojitost prvního druhu
se skokem velikosti
∂ϕII(x)
∂ν E
−
∂ϕII(x)
∂ν I
= −µ(x) ,
potenciál dvojvrstvy má na ∂Ω nespojitost prvního druhu se skokem velikosti
[ϕIII(x)]E − [ϕIII(x)]I = λ(x) .
Podle 4.3.4 lze každou dvakrát spojitě diferencovatelnou funkci u vyjádřit jako součet potenciálu objemového,
jednoduché vrstvy a dvojvrstvy, přičemž
̺ = −∆u , µ =
∂u
∂ν
, λ = −u .
Proto se 4.3.4 někdy nazývá věta o třech potenciálech.
74
4.4.4 Řešení okrajových úloh pro Laplaceovu rovnici
Budeme řešit některou z rovnic
∆u(x) = 0 , x ∈ Ω , (4.12)
∆u(x) = 0 , x ∈ Rn
\ Ω , (4.13)
s některou z okrajových podmínek
u(x) = f(x) , x ∈ ∂Ω , (4.14)
∂u(x)
∂ν
= f(x) , x ∈ ∂Ω . (4.15)
Úloha
(4.12), (4.14)
(4.13), (4.14)
(4.12), (4.15)
(4.13), (4.15)
se nazývá
vnitřní Dirichletova úloha,
vnější Dirichletova úloha,
vnitřní Neumannova úloha,
vnější Neumannova úloha.
Řešení Dirichletovy úlohy hledáme ve tvaru potenciálu dvojvrstvy
u(x) =
1
cn
∂Ω
λ
∂v(x, ·)
∂ν
dS ,
kde λ je zatím neurčená funkce. Pro každé x ∈ ∂Ω je podle (4.11)
[u(x)]I +
1
2
λ(x) = u(x) = [u(x)]E −
1
2
λ(x) .
Označme
K(x, s) =
∂v(x, s)
∂ν(s)
=
n
i=1
∂v(x, s)
∂si
νi(s) .
Pak
u(x) =
1
cn
∂Ω
λK(x, ·) dS .
Při řešení vnitřní úlohy musí být [u(x)]I = f(x), tedy funkce λ musí splňovat integrální rovnici
−
1
2
λ(x) +
1
cn
∂Ω
λK(x, ·) dS = f(x) ,
při řešení vnější úlohy musí být [u(x)]E = f(x), tedy funkce λ musí splňovat integrální rovnici
1
2
λ(x) +
1
cn
∂Ω
λK(x, ·) dS = f(x) .
Řešení Neumannovy úlohy hledáme ve tvaru potenciálu jednoduché vrstvy
u(x) =
1
cn
∂Ω
µv(x, ·) dS ,
kde µ je zatím neurčená funkce. Pro každé x ∈ ∂Ω je podle (4.10)
∂u(x)
∂ν I
−
1
2
µ(x) =
∂u(x)
∂ν
=
∂u(x)
∂ν E
+
1
2
µ(x) .
Platí
∂u(x)
∂ν
=
∂u(x)
∂ν(x)
=
1
cn
∂Ω
µ
∂v(x, ·)
∂ν(x)
dS .
75
Označme
L(x, s) =
∂v(x, s)
∂ν(x)
=
n
i=1
∂v(x, s)
∂xi
νi(x) .
Pak
∂u(x)
∂ν
=
1
cn
∂Ω
µL(x, ·) dS .
Při řešení vnitřní úlohy musí být
∂u(x)
∂ν I
= f(x), tedy funkce µ musí splňovat integrální rovnici
1
2
µ(x) +
1
cn
∂Ω
µL(x, ·) dS = f(x) ,
při řešení vnější úlohy musí být
∂u(x)
∂ν E
= f(x), tedy funkce µ musí splňovat integrální rovnici
−
1
2
µ(x) +
1
cn
∂Ω
µL(x, ·) dS = f(x) .
Výrazy K(·, ·) a L(·, ·) nazýváme jádro příslušné integrální rovnice.
Příklady:
• Dirichletova úloha na polorovině
∆u(x, y) = 0 , x ∈ R, y > 0 , (4.16)
u(x, 0) = f(x) , x ∈ R . (4.17)
V tomto případě je
v(x, y, ξ, η) = −
1
2
ln( x − ξ)2
+ (y − η)2
,
∂v(x, y, ξ, η)
∂ξ
=
x − ξ
(x − ξ)2 + (y − η)2
,
∂v(x, y, ξ, η)
∂η
=
y − η
(x − ξ)2 + (y − η)2
,
ν(ξ, η) = (0, −1) , pro η = 0 , K(x, y, ξ, η) =
η − y
(x − ξ)2 + (y − η)2
.
Jádro integrání rovnice je K(x, 0, ξ, 0) = 0, takže funkce λ = λ(x) musí splňovat rovnici
−
1
2
λ(x) = f(x) ,
tedy λ(x) = −2f(x) a řešení dané úlohy je
u(x, y) =
1
π
∞
−∞
f(ξ)
y
(x − ξ)2 + y2
dξ . (4.18)
• Neumannova úloha na polorovině
∆u(x, y) = 0 , x ∈ R, y > 0 ,
−uy(x, 0) = f(x) , x ∈ R .
V tomto případě je
v(x, y, ξ, η) = −
1
2
ln (x − ξ)2
+ (y − η)2
, ν(x, y) = (0, −1) , pro y = 0,
takže
L(x, y, ξ, η) =
∂v(x, y, ξ, η)
∂ν(x, y)
=
y − η
(x − ξ)2 + (y − η)2
, L(x, 0, ξ, 0) = 0.
76
Funkce µ tedy splňuje rovnici
1
2
µ(x) = f(x),
tj. µ(x) = 2f(x) a řešení dané úlohy je
u(x, y) =
1
2π
∞
−∞
2f(ξ) −
1
2
ln (x − ξ)2
− (y − 0)2
dξ = −
1
2π
∞
−∞
f(ξ) ln (x − ξ)2
+ y2
dξ.
• Dirichletova úloha na kruhu
∆u(x, y) = 0 , x2
+ y2
< R2
,
u(x, y) = f(x, y) , x2
+ y2
= R2
.
V tomto případě je
v(x, y, ξ, η) = −
1
2
ln( x − ξ)2
+ (y − η)2
,
∂v(x, y, ξ, η)
∂ξ
=
x − ξ
(x − ξ)2 + (y − η)2
,
∂v(x, y, ξ, η)
∂η
=
y − η
(x − ξ)2 + (y − η)2
,
Ω = KR
(0,0) = (ξ, η) ∈ R2
: ξ2
+ η2
< R2
, ∂Ω = SR
(0,0) = (ξ, η) ∈ R2
: ξ2
+ η2
= R2
,
ν(ξ, η) =
1
ξ2 + η2
(ξ, η) =
1
R
(ξ, η),
∂v(x, y, ξ, η)
∂ν
=
xξ + yη − ξ2
− η2
R ((x − ξ)2 + (y − η)2)
.
Řešení úlohy hledáme ve tvaru potenciálu dvojvrstvy
u(x, y) =
1
4π
∂Ω
λ(ξ, η)
xξ + yη − ξ2
− η2
R ((x − ξ)2 + (y − η)2)
dS(ξ,η) =
1
4π
2π
0
λ(σ)
xR cos σ + yR sin σ − R2
x2 + y2 + R2 − 2R(x cos σ + y sin σ)
dσ.
Funkci u lze vyjádřit také v polárních souřadnicích
u(r, ϕ) =
R
2π
2π
0
λ(σ)
r cos ϕ cos σ + r sin ϕ sin σ − R
r2 + R2 − 2Rr(cos ϕ cos σ + sin ϕ sin σ)
dσ =
R
2π
2π
0
λ(σ)
r cos(ϕ − σ) − R
r2 + R2 − 2Rr cos(ϕ − σ)
dσ.
Podle (4.11) musí funkce λ splňovat integrální rovnici
u(R, ϕ) +
1
2
λ(ϕ) =
R
2π
2π
0
λ(σ)
R cos(ϕ − σ) − R
R2 + R2 − 2Rr cos(ϕ − σ)
dσ.
Při označení g(ϕ) = f(R cos ϕ, R sin ϕ) dostaneme
g(ϕ) +
1
2
λ(ϕ) = −
1
4π
2π
0
λ(σ)dσ. (4.19)
Výraz na pravé straně nezávisí na ϕ, takže derivováním podle ϕ dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
g′
(ϕ) +
1
2
λ′
(ϕ) = 0,
jejíž řešení je λ(ϕ) = C − 2g(ϕ). Hodnotu integrační konstanty C zjistíme dosazením do původní integrální
rovnice (4.19):
g(ϕ) +
C
2
− g(ϕ) = −
1
4π
2π
0
C − 2g(σ) dσ,
77
tedy C = 1
2π
2π
0
g(s)ds a řešení dané úlohy je
u(r, ϕ) =
R
2π
2π
0

 1
2π
2π
0
g(s)ds − 2g(σ)

 r cos(ϕ − σ) − R
R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ − σ)
dσ =
=
R
4π2
2π
0
g(s)ds
2π
0
r cos(ϕ − σ) − R
R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ − σ)
dσ −
R
π
2π
0
g(σ)
r cos(ϕ − σ) − R
R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ − σ)
dσ.
Druhý integrál v prvním členu pravé strany upravíme:
R
2π
0
r cos(ϕ − σ) − R
R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ − σ)
dσ =
1
R
2π
0
Rr cos ϕ cos σ + Rr sin ϕ sin σ − R2
R2 + r2 − 2Rr cos ϕ cos σ − 2Rr sin ϕ sin σ
Rdσ =
=
1
R
2π
0
r cosϕR cos σ + r sin ϕR sin σ − R2
(r cos ϕ − R cos σ)2 + (r sin ϕ − R sin σ)2
Rdσ =
=
1
R
∂Ω
xξ + yη − R2
(x − ξ)2 + (y − η)2
dS(ξ,η) =
∂Ω
∂v(x, y, ξ, η)
∂ν
dS(ξ,η).
V prvním Greenově vzorci položíme u ≡ 1 a využijeme vlastnost (4.9); tak dostaneme hodnotu posledního
inegrálu
∂Ω
∂v(x, y, ξ, η)
∂ν
dS(ξ,η) =
Ω
∆v(x, y, ξ, η)dV(ξ,η) = −2π.
Řešení dané úlohy tedy můžeme vyjádřit ve tvaru
u(r, ϕ) =
1
4π2
(−2π)
2π
0
g(s)ds −
1
π
2π
0
g(σ)
Rr cos(ϕ − σ) − R2
R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ − σ)
dσ =
= −
1
π
2π
0
g(σ)
1
2
+
Rr cos(ϕ − σ) − R2
R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ − σ)
dσ =
1
2π
2π
0
g(σ)
R2
− r2
R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ − σ)
dσ,
což je Poissonův integrál (3.57).
4.5 Greenova funkce Laplaceova operátoru
Buď Ω ⊆ Rn
oblast s hladkou hranicí ∂Ω,
∂
∂ν
=
∂
∂ν(y)
derivace ve směru vnější normály k ∂Ω v bodě y.
Greenova funkce Laplaceova operátoru s okrajovou podmínkou typu (α, β) je funkce G = G(x, y) definovaná
na Ω × Ω, pro niž platí:
(i) Pro každé x ∈ Ω a všechna y ∈ Ω platí
∆yG(x, y) = δ(y − x),
(ii) pro každé x ∈ Ω a všechna y ∈ ∂Ω platí
α
∂G(x, y)
∂ν(y)
+ βG(x, y) = 0 .
Podmínku (i) lze rozepsat podrobněji:
78
(i1) G(x, ·) je harmonická na Ω \ {x};
(i2) pro každou nekonečněkrát diferencovatelnou funkci ψ s kompaktním nosičem Supp ψ ⊆ ¯Ω (sr. A.1) platí
Rn
ψ∆G(x, ·) dV =
Ω
ψ∆G(x, ·) dV = ψ(x) .
Lemma: Nechť Gk(x, ·) je pro každé k ∈ N řešením úlohy
∆yGk(x, y) = dk(x, y) , y ∈ Ω ,
α
∂Gk(x, y)
∂ν(y)
+ βGk(x, y) = 0 , y ∈ ∂Ω ,
kde
dk(x, y) =



0, y ∈ K
1/k
x
ωk, y ∈ K
1/k
x
,
přičemž K
1/k
x = y ∈ Rn
: |x − y| ≤
1
k
je koule se středem x a poloměrem
1
k
, ωk je převrácená hodnota
n-rozměrné míry této koule, tedy
K
1/k
x
ωk dV = 1.
Pak Greenova funkce Laplaceova operátoru s počáteční podmínkou typu (α, β) je
G(x, ·) = lim
k→∞
Gk(x, ·) .
D.: Důkaz pouze naznačíme. Nebudeme dokazovat, že všechny použité záměny limitních operací jsou korektní.
(i1) Existuje k0 ∈ N, že pro každé k ≥ k0 je funkce Gk(x, ·) harmonická na oblasti
Ω \ y ∈ Rn
: |x − y| ≤
1
k
.
(i1) Platí
∆G(x, ·) = lim
k→∞
∆Gk(x, ·) ,
Rn
ψ∆G(x, ·) dV = lim
k→∞
Rn
ψ∆Gk(x, ·) dV = lim
k→∞
Rn
ψdk(x, ·) dV =
= lim
k→∞
ψ(xk)
K
1/k
x
ωk dV = lim
k→∞
ψ(xk) ,
kde xk ∈ K
1/k
x je číslo z věty o střední hodnotě integrálního počtu. Ze spojitosti funkce ψ plyne
lim
k→∞
ψ(xk) = ψ(x) .
Odtud již plyne platnost podmínky.
(ii) Je zřejmé.
4.5.1 Řešení okrajové úlohy pro Poissonovu rovnici
∆u(x) = f(x) , x ∈ Ω , (4.20)
α
∂u(x)
∂ν
+ βu(x) = g(x) , x ∈ ∂Ω . (4.21)
79
Nechť Gk jsou funkce z předchozího lemma. Podle druhého Greenova vzorce je
Ω
(u∆Gk(x, ·) − Gk(x, ·)∆u) dV =
∂Ω
u
∂Gk(x, ·)
∂ν
− Gk(x, ·)
∂u
∂ν
dS .
Dále platí
lim
k→∞
Ω
u∆Gk(x, ·) dV =
Ω
u∆G(x, ·) dV = u(x) ,
lim
k→∞
Ω
Gk(x, ·)∆u dV =
Ω
G(x, ·)f dV ,
lim
k→∞
∂Ω
u
∂Gk(x, ·)
∂ν
− Gk(x, ·)
∂u
∂ν
dS =
∂Ω
u
∂G(x, ·)
∂ν
− G(x, ·)
∂u
∂ν
dS .
Pro každé x ∈ Ω tedy řešení úlohy (4.20), (4.21) splňuje rovnici
u(x) =
Ω
G(x, ·)f dV +
∂Ω
u
∂G(x, ·)
∂ν
− G(x, ·)
∂u
∂ν
dS .
Speciální případy podmínek (4.21):
• α = 0, β = 1 (Dirichletova úloha)
Pro y ∈ ∂Ω je G(x, y) = 0 podle podmínky (iii) v definici Greenovy funkce a u(y) = g(y) podle (4.21).
Tedy pro x ∈ Ω je
u(x) =
Ω
fG(x, ·) dV +
∂Ω
g
∂G(x, ·)
∂ν
dS .
• α = 1, β = 0 (Neumannova úloha)
Pro y ∈ ∂Ω je
∂G(x, y)
∂ν(y)
= 0 podle podmínky (iii) v definici Greenovy funkce a
∂u(y)
∂ν(y)
= g(x) podle
(4.21). Tedy pro x ∈ Ω je
u(x) =
Ω
fG(x, ·) dV −
∂Ω
gG(x, ·) dS .
• α = 0 = β (Newtonova úloha)
Pro y ∈ ∂Ω je
∂G(x, y)
∂ν(y)
= −
β
α
G(x, y) podle podmínky (iii) v definici Greenovy funkce a
∂u(y)
∂ν(y)
=
1
α
(g(y) − βu(y)) podle (4.21), tedy
∂Ω
u
∂G(x, ·)
∂ν
− G(x, ·)
∂u
∂ν
dS =
∂Ω
−
β
α
uG(x, ·) −
1
α
(g − βu)G(x, ·) dS =
= −
1
α
∂Ω
gG(x, ·) dS .
Pro x ∈ Ω je tedy
u(x) =
Ω
fG(x, ·) dV −
1
α
∂Ω
gG(x, ·) dS .
Příklad: Greenova funkce Laplaceova operátoru na polorovině s okrajovou podmínkou typu (1, 0)
80
Uvažujme polorovinu Ω = (x, y) ∈ R2
: y > 0 . Pak ∂Ω = {(x, 0) : x ∈ R}, tj. hranice oblasti je osa x.
V libovolném bodě hranice (ξ, 0) je vektor vnější normály ν(ξ, 0) = (0, −1), tj.
∂
∂ν(ξ, 0)
= −
∂
∂η
.
Okrajová podmínka typu (1, 0) je tedy podmínka Neumannova.
Položme
G(x, y, ξ, η) = −
1
2π
v(x, y, ξ, η) + v(x, y, ξ, −η) =
1
4π
ln (x − ξ)2
+ (y − η)2
+ ln (x − ξ)2
+ (y + η)2
.
Druhý sčítanec, funkce ln (x − ξ)2
+ (y + η)2
je definovaná, dvakrát spojitě diferencovatelná na Ω × Ω =
(x, y, ξ, η) ∈ R4
: y > 0, η > 0 a na této oblasti platí
∂2
∂ξ2
ln (x − ξ)2
+ (y + η)2
=
∂
∂ξ
−2(x − ξ)
(x − ξ)2 + (y + η)2
= −2
−(x − ξ)2
− (y + η)2
+ 2(x − ξ)2
(x − ξ)2 + (y + η)2 2 =
= −2
(x − ξ)2
− (y + η)2
(x − ξ)2 + (y + η)2 2 ,
∂2
∂η2
ln (x − ξ)2
+ (y + η)2
= 2
(x − ξ)2
− (y + η)2
(x − ξ)2 + (y + η)2 2 ,
tedy
∆(ξ,η) ln (x − ξ)2
+ (y + η)2
= 0.
Proto, s využitím (4.9), platí
∆(ξ,η)G(x, y, ξη) = −
1
2π
∆(ξ,η)v(x, y, ξ, η) + 0 = −
1
2π
(−2π)δ(ξ − x, η − y) = δ(ξ − x, η − y)
a podmínka (i) z definice Greenovy funkce je splněna1
. Dále platí
∂G
∂η
(x, y, ξ, η) =
1
4π
−2(y − η)
(x − ξ)2 + (y − η)2
+
2(y + η)
(x − ξ)2 + (y + η)2
,
takže
∂G
∂ν(ξ, η)
(x, y, ξ, η)
(ξ,η)∈∂Ω
= −
∂G
∂η
(x, y, ξ, η)
η=0
=
1
4π
−2y
(x − ξ)2 + y2
+
2y
(x − ξ)2 + y2
= 0
a také podmínka (ii) je splněna.
Řešení Neumannovy úlohy pro Poissonovu rovnici na polorovině
∆u(x, y) = f(x, y) , x ∈ R, y > 0 ,
−uy(x, 0) = g(x) , x ∈ R .
tedy je
u(x, y) =
1
4π
∞
0


∞
−∞
f(ξ, η) ln (x − ξ)2
+ (y − η)2
+ ln (x − ξ)2
+ (y + η)2
dξ

 dη−
−
1
2π
∞
−∞
g(ξ) ln (x − ξ)2
+ y2
dξ.
Tento výsledek souhlasí s řešením Neumannovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na polorovině nalezeným na str. 77
pomocí potenciálů. (Toto řešení bylo inspirací pro „uhodnutí tvaru Greenovy funkce.)
1Podrobný výpočet nebylo nutné provádět. Stačilo si všimnout že v( · , · , ξ, −η) je pro (ξ, η) ∈ Ω fundamentální harmonická
funkce, která nemá singularitu v Ω × Ω.
81
4.5.2 Vyjádření Greenovy funkce
Greenovu funkci můžeme hledat ve tvaru
G(x, y) = −
1
cn
v(x, y) + h(y),
kde v(x, ·) je fundamentální harmonická funkce se singularitou v x ∈ Ω a cn je číslo z 4.3.4.
Pak podle (4.9) platí
∆yG(x, y) = −
1
cn
∆yv(x, y) + ∆yh(y) = −
1
cn
− cnδ(y − x) + ∆yh(y) = δ(y − x) + ∆yh(y),
a pro y ∈ ∂Ω je
α
∂G(x, y)
∂ν(y)
+ βG(x, y) = −
α
cn
∂v(x, y)
∂ν(y)
+ α
∂h(y)
∂ν(y)
−
β
cn
v(x, y) + βh(y).
K tomu, aby funkce G splnila podmínky (i) a (ii) z definice, je nutné a stačí, aby funkce h = h(y) byla řešením
úlohy
∆h(y) = 0 , y ∈ Ω , (4.22)
α
∂h(y)
∂ν(y)
+ βh(y) =
α
cn
∂v(x, y)
∂ν(y)
+
β
cn
v(x, y) , y ∈ ∂Ω . (4.23)
Greenova funkce pro Dirichletovu úlohu
Úlohu (4.22), (4.23) můžeme vyřešit ve speciálním případě, kdy α = 0, β = 1 (tedy v případě Dirichletovy
okrajové podmínky), pokud oblast Ω a její komplement jsou „nějak symetrické . Přesněji, nechť oblast Ω má
vlastnost: Ke každému x ∈ Ω existuje x′
∈ Rn
\ Ω takové, že pro všechna y ∈ ∂Ω podíl vzdáleností
|x − y|
|x′ − y|
= γ(x)
nezávisí na y. V takovém případě je funkce
h(y) =



1
cn
1
γ(x)|x′ − y|
n−2
, n ≥ 3,
1
2π
ln
1
γ(x)|x′ − y|
, n = 2
(4.24)
řešením úlohy (4.22), (4.23) pro libovolné x ∈ Ω.
D.: Pro y ∈ ∂Ω platí
h(y) =



1
cn
1
|x − y|n−2
, n ≥ 3,
1
2π
ln
1
|x − y|
, n = 2
=
1
cn
v(x, y) ,
takže Dirichletova okrajová podmínka je splněna.
Pro n ≥ 3 je
h(y) =
1
cn
1
γ(x)n−2
1
|x′ − y|n−2
=
1
cn
1
γ(x)n−2
v(x′
, y) ;
poněvadž x′
∈ Ω, platí pro y ∈ Ω
∆yh(y) =
1
cn
1
γ(x)n−2
∆yv(x′
, y) = 0.
82
Pro n = 2 je
h(y) =
1
2π
ln
1
|x′ − y|
−
1
2π
ln γ(x) =
1
2π
v(x′
, y) −
1
2π
ln γ(x)
a tedy pro y ∈ Ω platí
∆yh(y) =
1
2π
∆yv(x′
, y) −
1
2π
∆y ln γ(x) = 0.
4.5.3 Dirichletova úloha pro Poissonovu rovnici na poloprostoru
Nechť Ω = {(x1, . . . , xn−1, xn) ∈ Rn
: xn > 0} je poloprostor.
Pro x = (x1, . . . , xn−1, xn) ∈ Ω položme x′
= (x1, . . . , xn−1, −xn) – symetrie podle nadroviny xn = 0.
Pak x′
∈ Rn
\ Ω. Buď y = (y1, . . . , yn−1, 0) ∈ ∂Ω. Platí
|x − y|
|x′ − y|
=
(x1 − y1)2 + · · · + (xn−1 − yn−1)2 + x2
n
(x1 − y1)2 + · · · + (xn−1 − yn−1)2 + (−xn)2
= 1.
Tedy γ ≡ 1 a pro funkci h definovanou rovností (4.24) platí h(y) =
1
cn
v(x′
, y). Greenova funkce Laplaceova
operátoru s okrajovou podmínkou
u(x1, . . . , xn−1, 0) = 0
tedy je
G(x, y) =
1
cn
v(x′
, y) − v(x, y) .
Jednotkový vektor vnější normály k ∂Ω je ν = (0, . . . , 0, −1), takže
∂G(x, y)
∂ν
= −
∂G(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)
∂yn
.
• Řešení úlohy
∆u(x, y) = f(x, y) , x ∈ R, y > 0 ,
u(x, 0) = g(x) , x ∈ R .
Máme
(x, y)′
= (x, −y) ,
cn = 2π ,
v(x, y, ξ, η) = −
1
2
ln((x − ξ)2
+ (y − η)2
) ,
G(x, y, ξ, η) =
1
2π
−
1
2
ln((x − ξ)2
+ (−y − η)2
) +
1
2
ln((x − ξ)2
+ (y − η)2
) =
=
1
4π
ln
(x − ξ)2
+ (y − η)2
(x − ξ)2 + (y + η)2
,
∂G(x, y, ξ, η)
∂η
=
1
4π
(x − ξ)2
+ (y + η)2
(x − ξ)2 + (y − η)2
−2(y − η)((x − ξ)2
+ (y + η)2
) − 2(y + η)((x − ξ)2
+ (y − η)2
)
((x − ξ)2 + (y + η)2)2
=
= −
1
2π
2y(x − ξ)2
+ 2y(y2
− η2
)
((x − ξ)2 + (y − η)2)((x − ξ)2 + (y + η)2)
=
= −
y
π
(x − ξ)2
+ (y2
− η2
)
((x − ξ)2 + (y − η)2)((x − ξ)2 + (y + η)2)
,
∂G(x, y, ξ, 0)
∂η
= −
y
π
(x − ξ)2
+ y2
((x − ξ)2 + y2)2
= −
y
π
1
(x − ξ)2 + y2
,
83
takže řešení dané úlohy je
u(x, y) =
1
4π
ξ∈R, η>0
f(ξ, η) ln
(x − ξ)2
+ (y − η)2
(x − ξ)2 + (y + η)2
dξdη +
y
π
∞
−∞
g(ξ)
dξ
(x − ξ)2 + y2
;
zvláštním případem je řešení (4.18) úlohy (4.16), (4.17).
• Řešení úlohy
∆u(x, y, z) = f(x, y, z) , x ∈ R, y ∈ R, z > 0 ,
u(x, y, 0) = g(x, y) , x ∈ R, y ∈ R .
Máme
(x, y, z) = (x, y, −z) ,
cn = 4π ,
v(x, y, z, ξ, η, ζ) =
1
(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2
,
G(x, y, z, ξ, η, ζ) =
1
4π
1
(x − ξ)2 + (y − η)2 + (−z − ζ)2
−
1
(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2
,
∂G(x, y, z, ξ, η, ζ)
∂ζ
=
1
8π
−2(z − ζ)
((x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2)3/2
−
2(z + ζ)
((x − ξ)2 + (y − η)2 + (z + ζ)2)3/2
=
= −
1
4π
z − ζ
((x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2)3/2
+
z + ζ
((x − ξ)2 + (y − η)2 + (z + ζ)2)3/2
,
∂G(x, y, z, ξ, η, 0)
∂ζ
= −
1
2π
z
((x − ξ)2 + (y − η)2 + z2)3/2
,
takže řešení dané úlohy je
u(x, y, z) =
=
1
4π
ξ∈R, η∈R, ζ>0
f(ξ, η, ζ)
1
((x − ξ)2 + (y − η)2 + (z + ζ)2)1/2
−
1
((x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2)1/2
dξdηdζ +
+
z
2π
R2
g(ξ, η)
dξdη
((x − ξ)2 + (y − η)2 + z2)3/2
.
4.5.4 Dirichletova úloha pro Poissonovu rovnici na kouli
Nechť Ω = KR
0 = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
: x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n < R} je otevřená koule.
Pro x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ KR
0 položme x′
=
R2
|x|2
x — kulová inverse.
Buď y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ SR
0 = ∂KR
0 , tedy
n
i=1
y2
i = R2
. Pak je
R
|x|
x −
|x|
R
y
2
=
n
i=1
R
|x|
xi −
|x|
R
yi
2
=
R
|x|
2 n
i=1
x2
i − 2
n
i=1
xiyi +
|x|
R
2 n
i=1
y2
i =
= R2
− 2
n
i=1
xiyi + |x|2
=
n
i=1
y2
i − 2
n
i=1
xiyi +
n
i=1
x2
i =
n
i=1
(yi − xi)2
= |y − x|2
,
tedy
R
|x|
x −
|x|
R
y = |x − y| (4.25)
84
a
|x − y|
|x′ − y|
=
|x − y|
R2
|x|2
x − y
=
|x − y|
R
|x|
R
|x|
x −
|x|
R
y
=
|x|
R
.
Dostáváme tak γ(x) =
|x|
R
a můžeme vyjádřit funkci h z rovnosti (4.24).
Pro n ≥ 3 je
h(y) =
1
cn
R
|x| |x′ − y|
n−2
=
1
cn




R
|x|
R2
|x|2
x − y




n−2
=
1
cn
R|x|
|R2x − |x|2y|
n−2
,
a pro n = 2 je
h(y) =
1
2π
ln
R
|x| |x′ − y|
=
1
2π
ln
R|x|
|R2x − |x|2y|
.
Celkem dostáváme, že funkce definovaná vztahem
G(x, y) =



1
cn
R|x|
|R2x − |x|2y|
n−2
−
1
|x − y|n−2
, n ≥ 3,
1
2π
ln
R|x| |x − y|
|R2x − |x|2y|
, n = 2
(4.26)
je Greenovou funkcí Laplaceova operátoru s okrajovou podmínkou
u x1, x2, . . . , xn−1, ± R2 − x2
1 − x2
2 − · · · − x2
n−1 = 0 .
Jednotkový vektor vnější normály k SR
0 v bodě y = (y1, y2, . . . , yn) je
1
R
(y1, y2, . . . , yn). Dále pro libovolné
kladné konstanty A, B platí
∂
∂yi
1
|Ax − By|
=
∂
∂yi
1
n
j=1
(Axj − Bxj)2
= −
1
2
−2B(Axi − Byi)
n
j=1
(Axj − Bxj)2
3
2
= B
Axi − Byi
|Ax − By|3
.
Proto
∂
∂yi
1
cn
R|x|
|R2x − |x|2y|
n−2
−
1
|x − y|n−2
=
1
cn
∂
∂yi








1
R
|x|
x −
|x|
R
x




n−2
−
1
|x − y|
n−2



 =
=
n − 2
cn









1
R
|x|
x −
|x|
R
x




n−3
|x|
R
R
|x|
xi −
|x|
R
yi
R
|x|
x −
|x|
R
x
3 −
1
|x − y|
n−3
xi − yi
|x − y|3





=
=
n − 2
cn




1
R
|x|
x −
|x|
R
y
n xi −
|x|2
R2
yi −
xi − yi
|x − y|n



 ,
85
∂
∂yi
1
2π
ln
R|x| |x − y|
|R2x − |x|2y|
=
1
2π
∂
∂yi



ln
1
R
|x|
x −
|x|
R
y
− ln
1
|x − y|



 =
=
1
2π





|x|
R
R
|x|
xi −
|x|
R
yi
R
|x|
x −
|x|
R
y
2 −
xi − yi
|x − y|2





=
1
2π





xi −
|x|2
R2
yi
R
|x|
x −
|x|
R
y
2 −
xi − yi
|x − y|2





.
Připomeňme, že cn = (n − 2)σn, kde σn je (n − 1)-rozměrná míra jednotkové sféry v Rn
; zejména σ2 = 2π,
σ3 = 4π. Vzhledem k rovnosti (4.25) tak dostáváme, že pro Greenovu funkci (4.26) a y ∈ ∂Ω platí
∂G(x, y)
∂yi
=
1
σn
yi −
|x|2
R2
yi
|x − y|n
=
1
σn
R2
− |x|2
R2|x − y|n
yi .
Pro y ∈ ∂Ω tak dostáváme
∂G(x, y)
∂ν(y)
=
1
σn
R2
− |x|2
R2|x − y|n
n
i=1
y2
i
R
=
1
σnR
R2
− |x|2
|x − y|n
.
Ještě označíme |SR
| míru sféry o poloměru R, tj. |SR
| = σnRn−1
. Pak můžeme psát
∂G(x, y)
∂ν(y)
=
Rn−2
|SR|
R2
− |x|2
|x − y|n
.
Řešení úlohy
∆u(x1, x2, . . . , xn) = f(x1, x2, . . . , xn) , x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n < R2
,
u(x1, x2, . . . , xn) = g(x1, x2, . . . , xn) , x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n = R2
lze tedy zapsat ve tvaru
u(x) =
KR
0
fG(x, ·) dV + Rn−2 R2
− |x|2
|SR|
SR
0
g(y)
dSy
|x − y|n
,
kde funkce G je dána vztahem (4.26). Pro f ≡ 0 dostaneme Poissonův vzorec
u(x) = Rn−2 R2
− |x|2
|SR|
SR
0
g(y)
dSy
|x − y|n
.
Zejména pro n = 3 je
u(x) =
R2
− |x|2
4πR
SR
(0,0,0)
g(y)
dSy
|x − y|3
a pro n = 2
u(x, y) =
R2
− x2
− y2
2πR
SR
(0,0)
g(ξ, η)
dSξ,η
|(x, y) − (ξ, η)|2
=
R2
− x2
− y2
2πR
2π
0
g(R cos σ, R sin σ)
(x − R cos σ)2 + (y − R sin σ)2
Rdσ ,
což je Poissonův vzorec (3.58).
86
4.6 Vlastní čísla a vlastní funkce Laplaceova operátoru
Buď Ω ⊆ Rn
oblast s dostatečně hladkou hranicí ∂Ω. Číslo λ ∈ R nazveme vlastním číslem a funkci v definovanou
na Ω nazveme vlastní funkcí Dirichletovy úlohy pro Laplaceův operátor, je-li v ≡ 0 a platí
−∆v(x) = λv(x) ,
v(x) = 0 ,
x ∈ Ω ,
x ∈ ∂Ω .
(4.27)
Platí:
• Všechna vlastní čísla Laplaceova operátoru jsou kladná a všechny vlastní funkce jsou nekonstantní.
D.: Úloha
∆v(x) = 0 , x ∈ Ω ,
v(x) = 0 , x ∈ ∂Ω
má podle 4.2 jediné řešení a toto řešení je v ≡ 0. Proto 0 není vlastním číslem Laplaceova operátoru.
Proto také pro libovolné vlastní číslo λ a libovolnou vlastní funkci v můžeme s využitím prvního
Greenova vzorce psát
0 >
Ω
v2
dV =
1
λ
Ω
vλv dV = −
1
λ
Ω
v∆v dV =
= −
1
λ


∂Ω
v
∂v
ν
dS −
Ω
∇v · ∇v dV

 =
1
λ
Ω
∇v · ∇v dV =
1
λ
||∇v||
2
Poněvadž ||∇v||2
nemůže být záporné, dostaneme odtud, že λ > 0 a ||∇v|| > 0. Vlastní číslo je kladné
a gradient vlastní funkce je nenulový, takže vlastní funkce nemůže být konstantní.
• Jsou-li λ1 = λ2 vlastní čísla a v1, v2 příslušné vlastní funkce Laplaceova operátoru, pak jsou funkce v1, v2
ortogonální na Ω, tj. platí
Ω
v1v2dV = 0 .
D.: Poněvadž pro x ∈ ∂Ω je v1(x) = 0 = v2(x), dostaneme s využitím druhého Greenova vzorce
Ω
v1v2dV =
1
λ1 − λ2
Ω
(λ1 − λ2)v1v2dV =
1
λ1 − λ2
Ω
(λ1v1v2 − v1λ2v2)dV =
=
1
λ1 − λ2
Ω
(−v2∆v1 + v1∆v2)dV =
1
λ1 − λ2
∂Ω
v1
∂v2
∂ν
− v2
∂v1
∂ν
dS = 0 .
• Dirichletova úloha pro Laplaceův operátor má spočetnou množinu vlastních čísel. Množina příslušných
vlastních funkcí tvoří úplnou ortogonální množinu v prostoru funkcí spojitých na Ω.
Řešení úlohy
∆u(x) = f(x),
u(x) = 0,
x ∈ Ω,
x ∈ ∂Ω
(4.28)
hledáme ve tvaru
u(x) =
∞
n=1
Cnvn(x),
kde vn jsou vlastní funkce Dirichletovy úlohy pro Laplaceův operátor a Cn jsou reálné konstanty, n = 1, 2, . . . .
Je-li funkce f integrovatelná ve druhé mocnině (f ∈ L2
(Ω)), pak
f(x) =
∞
n=1
Fnvn(x), kde Fn =
1
||vn||
2
Ω
fvndV a ||vn||
2
=
Ω
v2
ndV.
87
Buďte λ1, λ2, . . . vlastní čísla příslušná k vlastním funkcím v1, v2, . . . . Pak je
∆
∞
n=1
Cnvn(x) =
∞
n=1
Fnvn(x),
∞
n=1
Cn∆vn(x) =
∞
n=1
Fnvn(x),
−
∞
n=1
Cnλnvn(x) =
∞
n=1
Fnvn(x).
Odtud
Cn = −
Fn
λn
= −
1
λn ||vn||2
Ω
fvndV.
Řešení úlohy (4.28) tedy je
u(x) =
∞
n=1

−
1
λn ||vn||
2
Ω
fvndV

 vn(x) =
Ω
f
∞
n=1
−
vn(x)vn
λn ||vn||
2 dV.
To znamená, že Greenova funkce Laplaceova operátoru s okrajovou podmínkou
u(x) = 0, x ∈ ∂Ω
je
G(x, y) = −
∞
n=1
vn(x)vn(y)
λn ||vn||
2 ,
kde λ1, λ2, . . . jsou vlastní čísla a v1, v2, . . . jsou vlastní funkce úlohy (4.27).
4.6.1 Vlastní čísla a vlastní funkce Laplaceova operátoru pro Dirichletovu úlohu
na obdélníku
Úlohu
−∆v(x, y) = λv(x, y) ,
v(x, 0) = 0 = v(x, b) ,
v(0, y) = 0 = v(a, y),
0 < x < a, 0 < y < b ,
0 < x < a ,
0 < y < b
(4.29)
budeme řešit separací proměnných. Funkci v = v(x, y) hledáme ve tvaru v(x, y) = X(x)Y (y).
Po dosazení do rovnice a jednoduché úpravě dostaneme
−
Y ′′
Y
= λ +
X′′
X
.
Levá strana této rovnosti závisí pouze na proměnné y, pravá pouze na proměnné x; nemohou tedy záviset na
žádné z nezávisle proměnných a jsou rovny nějaké konstantě, řekněme κ.
Z levé strany tak dostaneme okrajovou úlohu
Y ′′
+ κY = 0, 0 < y < b,
Y (0) = 0 = Y (b),
která má nenulové řešení pouze pro
κ = κm =
mπ
b
2
, m = 1, 2, . . . ,
které je dáno předpisem Y = Ym(y) = sin
mπ
b
y.
88
Toto vypočítané κm dosadíme do druhé části rovnosti, tj. do rovnosti λ +
X′′
X
= κ a dostaneme okrajovou
úlohu
X′′
+ (λ − κm) X = 0, 0 < x < a,
X(0) = 0 = X(a),
která má nenulové řešení pouze pro λ = λnm takové, že λnm − κm =
nπ
a
2
, tj. pro
λnm =
n
a
2
+
m
b
2
π2
, n = 1, 2, . . ..
Toto řešení je dáno předpisem Xnm(x) = sin
nπ
a
x.
Celkem tak dostáváme vlastní čísla úlohy (4.29) ve tvaru
λnm =
n
a
2
+
m
b
2
π2
, n = 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . ..
Příslušné vlastní funkce jsou
vnm(x, y) = sin
nπ
a
x sin
mπ
b
y.
Norma vlastních funkcí je
||vnm||
2
=
[0,a]×[0,b]
sin
nπ
a
ξ sin
mπ
b
η
2
dξdη =
a
0
sin2 nπ
a
ξ dξ
b
0
sin2 mπ
b
η dη =
a
2
b
2
=
ab
2
.
Ještě vypočítáme
λnm ||vnm||
2
=
n
a
2
+
m
b
2
π2 ab
4
=
π2
4
(ma)2
+ (nb)2
ab
a dostaneme Greenovu funkci Laplaceova operátoru pro Dirichletovu úlohu na obdélníku
G(x, y, ξ, η) = −
4ab
π2
∞
n,m=1
sin
nπ
a
x sin
nπ
a
ξ sin
mπ
b
y sin
mπ
b
η
m2a2 + n2b2
.
Cvičení
Řešte úlohu
1) uxx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b
u(0, y) = Ay(b − y), u(a, y) = 0, 0 ≤ y ≤ b; u(x, 0) = B sin πx
a , u(x, b) = 0, 0 ≤ x ≤ a
2) uxx + uyy = 0, x2
+ y2
> a
u(a cosϕ, a sin ϕ) = 2 sin2
ϕ + 3 cos2
ϕ, u je ohraničená
3) uxx + uyy = c, x2
α2 + y2
β2 < 1; u(x, y) = 0, x2
α2 + y2
β2 = 1
4) uxx + uyy = 0, x ∈ R, y > 0
u(x, 0) =
1, a < x < b,
0, jinak,
x ∈ R
Výsledky: 1) u(x, y) =
B sinh π(b−y)
a sin πx
a
sinh πb
a
+ 8Ab2
π3
∞
n=0
sinh (2n+1)π(a−x)
b sin (2n+1)πy
b
(2n + 1)3 sinh (2n+1)πa
b
2) u(x, y) = 5
2 + a2
(x2
−y2
)
2(x2+y2)2 3) u(x, y) = c
2
α2
β2
α2+β2
x2
α2 + y2
β2 − 1
4) u(x, y) = 1
π ω(x, y), kde ω(x, y) je zorný úhel, pod kterým je z bodu (x, y) vidět interval (a, b).
89
90
Kapitola 5
Schrödingerova rovnice
Stav částice je popsán rovnicí
−
2
2µ
∆Ψ + V Ψ = −i
∂Ψ
∂t
, (5.1)
kde Ψ = Ψ(t) . . . vlnová funkce,
V = V (x) . . . potenciální energie částice,
=
h
2π
. . . Planckova konstanta,
µ . . . hmotnost částice.
Vlnová funkce je interpretována jako pravděpodobnost výskytu částice v bodě x v čase t tak, že funkce |Ψ(t, x)|2
je hustotou rozložení pravděpodobnosti výskytu částice v čase t. To znamená, že
R3
|Ψ(t, x)|2
dx = 1 (5.2)
pro t ≥ 0. Zejména tedy platí, že funkce Ψ je ohraničená.
Budeme separovat proměnné, tj. řešení rovnice (5.1) budeme hledat ve tvaru Ψ(t, x) = T (t)ψ(x), sr. kap. 3.
V takovém případě platí
−
2
2µ
T ∆ψ + V T ψ = −i T ′
ψ.
Tuto rovnost vydělíme součinem T ψ a dostaneme
−
2
2µ
∆ψ
ψ
+ V = −i
T ′
T
.
Výraz na levé straně závisí pouze na prostorové proměnné x, výraz na pravé straně pouze na čase t. Musí
tedy být oba výrazy rovny nějaké konstantě. Poněvadž výraz na levé straně má rozměr energie, označíme tuto
konstantu E. Dostaneme tak rovnici pro vývoj vlnové funkce v závislosti na energii částice
T ′
=
iE
T (5.3)
a stacionární Schrödingerovu rovnici
∆ψ +
2µ
2
(E − V )ψ = 0, (5.4)
kterou lze přepsat do tvaru úlohy na vlastní hodnoty a vlastní funkce
∆ −
2µ
2
V ψ = −
2µ
2
E ψ.
Základní postulát kvantové mechaniky požaduje, aby naměřené hodnoty energie E byly takové, že hodnota
2µ
2
E je vlastní hodnotou operátoru − ∆ −
2µ
2
V .
91
Nechť En je taková naměřená hodnota energie a ψn odpovídající vlastní funkce. Příslušné řešení obyčejné
lineární rovnice (5.3) je tvaru Tn(t) = const · e
iEn t
. Za integrační konstantu volíme hodnotu 1 a řešení rovnice
(5.3) „odpovídající kvantovému číslu n vyjádříme jako
Tn(t) = cos
En
t + i sin
En
t.
Pro tuto funkci platí |Tn(t)| = 1 pro všechna t > 0. V okamžiku pozorování energie En celé řešení rovnice (5.1)
„zkolabuje do funkce Ψ = ψnTn. Z normovací podmínky (5.2) tedy dostaneme podmínku pro řešení stacionární
Schrödingerovy rovnice v okamžiku pozorování hodnoty energie En
R3
|ψn(x)|2
dx = 1. (5.5)
5.1 Řešení za zjednodušujících předpokladů
5.1.1 Kvantová částice v krabičce
Představme si částici o hmotnosti µ, která se jistě nachází uvnitř oblasti prostoru tvaru hranolu o hranách a,
b, c a na kterou nepůsobí žádná síla (částice se nachází v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě).
V takovém případě je potenciál identicky nulový a stacionární Schrödingerova rovnice (5.4) je tvaru
∆ψ +
2µE
2
ψ = 0. (5.6)
Vlnová funkce má být nulová vně uvažovaného hranolu a z její spojitosti plyne, že také na jeho hranici. Souřadnou
soustavu zvolíme tak, aby osy hranolu byly rovnoběžné se souřadnými osami a jeden jeho vrchol byl
v počátku. Pak jsou splněny okrajové podmínky
ψ(0, y, z) = ψ(a, y, z) = ψ(x, 0, z) = ψ(x, b, z) = ψ(x, y, 0) = ψ(x, y, c) = 0 (5.7)
pro všechna (x, y, z) ∈ (0, a) × (0, b) × (0, c).
V rovnici (5.6) budeme separovat proměnné, tj. řešení hledáme ve tvaru ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). Funkce
X, Y , Z musí splňovat rovnost
X′′
Y Z + XY ′′
Z + XY Z′′
+
2µE
2
XY Z = 0,
kde ′
označuje obyčejnou derivaci podle jediné nezávisle proměnné příslušné funkce. Odtud plyne
X′′
X
+
2µE
2
= −
Y ′′
Y
−
Z′′
Z
.
Výraz na levé straně závisí pouze na x, výraz na pravé straně na x nezávisí. Obě strany rovnosti se tedy musí
rovnat nějaké konstantě λ,
X′′
X
+
2µE
2
= −
Y ′′
Y
−
Z′′
Z
= λ.
Odtud podobnou úvahou dostaneme
Y ′′
Y
+ λ = −
Z′′
Z
= σ,
takže funkce X, Y a Z jsou vzhledem k podmínkám (5.7) řešením okrajových úloh
Z′′
+ σZ = 0, Z(0) = 0 = Z(c),
Y ′′
+ (λ − σ)Y = 0, Y (0) = 0 = Y (b),
X′′
+
2µE
2
− λ X = 0, X(0) = 0 = X(a).
92
Z první úlohy dostaneme vlastní hodnoty a vlastní funkce
σk =
kπ
c
2
, Zk = sin
kπ
c
z, k = 1, 2, 3, . . ..
Získané vlastní hodnoty σk dosadíme do druhé úlohy,
Y ′′
+ (λ − σk)Y = 0, Y (0) = 0 = Y (b)
a odtud dostaneme vlastní hodnoty a příslušné vlastní funkce
λmk − σk =
mπ
b
2
, Ymk(y) = sin
mπ
b
y, m = 1, 2, 3, . . .,
tedy
λmk =
mπ
b
2
+
kπ
c
2
.
Hodnoty λmk dosadíme do třetí úlohy
X′′
+
2µE
2
− λmk X = 0, X(0) = 0 = X(a)
a dostaneme vlastní hodnoty a vlastní funkce
2µ
2
Enmk − λmk =
nπ
a
2
, Xnmk(x) = sin
nπ
a
x, n = 1, 2, 3, . . .,
tedy
2µ
2
Enmk =
nπ
a
2
= λmk =
n
a
2
+
m
b
2
+
k
c
2
π2
.
Možné pozorované hodnoty energie uvažované částice tedy jsou
Enmk =
2
π2
2µ
n
a
2
+
m
b
2
+
k
c
2
.
Každá trojice kladných celých čísel (n, m, k) tedy reprezentuje kvantový stav částice.
Nechť nyní je krabička krychlová, tj. a = b = c = L. Pak možné energetické stavy jsou
Enmk =
2
π2
2µL2
n2
+ m2
+ l2
. (5.8)
Základní stav je
E111 =
3 2
π2
2µL2
;
je to jediná nedegenerovaná energetická hladina, tj. energie, jíž odpovídá jediný kvantový stav. Ostatní energetické
hladiny jsou degenerované, jedné energii odpovídá více stavů. Např. energie
3 2
π2
µL2
je stejná pro stavy (2, 1, 1), (1, 2, 1) a (1, 1, 2), jedná se o hladinu s degenerací stupně 3. Stupeň degenerace roste
s rostoucími hodnotami n, m, k.
Označme Ef = Enmk možné energetické hladiny částice v uvažované krabičce a položme
R2
= n2
+ m2
+ k2
.
Pak je
Ef =
2
π2
2µL2
R2
, tj. R2
=
2µL2
2π2
Ef .
93
Počet kvantových vztahů, jejichž energie nepřevýší hodnotu Ef , je počtem trojic přirozených čísel (n, m, k), pro
něž platí n2
+m2
+k2
≤ R2
. Tyto stavy tedy můžeme považovat za body s celočíselnými kladnými souřadnicemi
v prvním oktantu koule o poloměru R. Počet stavů N je proto úměrný objemu tohoto oktantu,
N ∼
1
8
·
4
3
πR3
=
π
6
2µL2
2π2
Ef
3/2
=
1
6π2
√
2µ
3
L3
E
3/2
f .
Hodnota L2
vyjadřuje objem uvažované krychlové krabičky, takže pro hustotu stavů ν (počet stavů na jednotku
objemu) a pro energii Ef platí
ν =
N
L3
≈
1
6π2
√
2µ
3
E
3/2
f , Ef = αν2/3
,
kde α je nějaká konstanta; hodnota Ef je (až na malou modifikaci vynucenou spinem částice) Fermiho energie.
5.1.2 Rotátor s volnou osou
Uvažujme částici o hmotnosti µ, která se pohybuje stále v téže vzdálenosti r od pevného středu, takže její
potenciální energii můžeme považovat za nulovou. Budeme hledat charakteristické hodnoty její celkové energie.
Stacionární Schrödingerova rovnice pro rotátor je
∆ψ +
2µ
2
Eψ = 0.
Tuto rovnici transformujeme do sférických souřadnic a využijeme toho, že
∂ψ
∂r
= 0. Dostaneme (sr. D)
1
r2 cos2 ϑ
∂2
ψ
∂ϕ2
+
1
r2 cos ϑ
∂
∂ϑ
cos ϑ
∂ψ
∂ϑ
+
2µ
2
Eψ = 0. (5.9)
Řešení této rovnice má být vzhledem k normovací podmínce (5.5) ohraničené a v proměnné ϕ má být 2πperiodické.
Dostáváme tedy okrajové podmínky
ψ(ϕ + 2π, ϑ) = ψ(ϕ, ϑ), ϕ ∈ R, ϑ ∈ −
π
2
,
π
2
, (5.10)
lim sup
ϑ→− π
2 +
|ψ(ϕ, ϑ)| < ∞, lim sup
ϑ→ π
2 −
|ψ(ϕ, ϑ)| < ∞, ϕ ∈ R. (5.11)
Poznamenejme, že nenulová řešení úlohy (5.9), (5.10), (5.11) se nazývají sférické funkce. Tato řešení budeme
hledat separací proměnných, tj. ve tvaru ψ(ϕ, ϑ) = Φ(ϕ)Θ(ϑ). Dosazením do rovnice (5.9) dostaneme
1
r2 cos2 ϑ
Φ′′
Θ +
1
r2 cos ϑ
(Θ′
cos ϑ)
′
Φ +
2µ
2
EΦΘ = 0
a po úpravě
−
Φ′′
Φ
=
cos ϑ
Θ
(Θ′
cos ϑ)
′
+
2µEr2
cos2
ϑ
2
. (5.12)
Levá strana závisí pouze na proměnné ϕ, pravá pouze na proměnné ϑ, proto se musí obě strany rovnat nějaké
konstantě σ. Funkce Φ je tedy řešením okrajové úlohy
Φ′′
+ σΦ = 0, Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ).
Tato úloha má nenulové řešení pouze pro σ = m2
, m = 0, 1, 2, . . . (sr. řešení úlohy (3.54), (3.56)). Tuto hodnotu
dosadíme do rovnice (5.12). Dostaneme
cos ϑ
Θ
(Θ′
cos ϑ)
′
+
2µEr2
cos2
ϑ
2
= m2
. (5.13)
94
Zavedeme novou nezávisle proměnnou s vztahem s = sin ϑ. Pak
ds
dϑ
= cos ϑ =
√
1 − s2 a tedy
(Θ′
cos ϑ)
′
=
d
ds
cos ϑ
dΘ
dθ
=
d
ds
1 − s2
dΘ
ds
ds
dϑ
ds
dϑ
= 1 − s2
d
ds
(1 − s2
)
dΘ
ds
=
= 1 − s2 (1 − s2
)
d2
Θ
ds2
− 2s
dΘ
ds
.
To znamená, že rovnice (5.13) se transformuje na tvar
1 − s2
Θ
(1 − s)2 d2
Θ
ds2
− 2s
dΘ
ds
+
2µEr2
(1 − s2
)
2
= m2
.
Označíme
λ =
2µEr2
2
(5.14)
a předchozí rovnici upravíme na tvar
(1 − s2
)
d2
Θ
ds2
− 2s
dΘ
ds
+ λ −
m2
1 − s2
Θ = 0.
To je rovnice pro přidružené funkce k Legendreovým polynomům, sr. C.1.6. Tato rovnice má ohraničené řešení
pouze pro λ = l(l + 1), kde l = 0, 1, 2, . . .. Vlastní funkce jakožto m-té derivace Legendreových polynomů
stupně l jsou nenulové pouze pro m ≤ l. Charakteristické hodnoty energie tedy podle (5.14) jsou
Eml = l(l + 1)
2
2µr2
= l(l + 1)
2
2I
, l = 0, 1, 2, . . ., m = 0, 1, 2, . . ., l;
přitom I = µr2
je moment setrvačnosti uvažované částice.
5.1.3 Kvantový oscilátor
Uvažujme částici, která se může vyskytovat pouze na přímce. Její potenciální energie má klasický tvar energie
harmonického oscilátoru
V = V (x) =
1
2
µω2
x2
,
kde µ označuje hmotnost částice a ω její frekvenci. Rovnice (5.4) v tomto případě nabývá tvar
∂2
∂x2
ψ +
2µ
2
E −
1
2
µω2
x2
ψ = 0. (5.15)
V této rovnici nejprve změníme délkové měřítko, tj. zavedeme novou nezávisle proměnnou ξ vztahem
x =
µω
ξ.
Pak
∂2
∂x2
ψ =
∂
∂x
∂ψ
∂x
=
∂
∂ξ
∂ψ
∂ξ
∂ξ
∂x
∂ξ
∂x
=
∂
∂ξ
µω ∂ψ
∂ξ
µω
=
µω ∂2
ψ
∂ξ2
,
a rovnice (5.15) přejde na tvar
µω ∂2
ψ
∂ξ2
+
2µE
2
ψ −
µ2
ω2
2 µω
ξ2
ψ = 0,
který lze upravit na
∂2
ψ
∂ξ2
− ξ2
ψ = −
2E
ω
ψ. (5.16)
95
Integrál
∞
−∞
|ψ(ξ)|
2
dξ má podle (5.5) konvergovat. Proto budeme řešení rovnice (5.16) hledat ve tvaru
ψ(ξ) = H(ξ)e− ξ2
2 ,
kde H je polynom. Pak
∂2
ψ
∂ξ2
=
∂
∂ξ
∂ψ
∂ξ
He− ξ2
2 =
∂
∂ξ
(H′
− ξH)e− ξ2
2 = H′′
− H − ξH′
− ξ (H′
− ξH) e− ξ2
2 =
= H′′
− 2ξH′
+ (ξ2
− 1)H e− ξ2
2
a po dosazení do rovnice (5.16) dostaneme
H′′
− 2ξH′
+ (ξ2
− 1)H e− ξ2
2 − ξ2
He− ξ2
2 +
2E
ω
He− ξ2
2 = 0,
po úpravě
H′′
− 2ξH′
+
2E
ω
− 1 H = 0.
Při označení λ =
2E
ω
− 1 dostaneme rovnici
H′′
− 2ξH′
+ λH = 0. (5.17)
To je diferenciální rovnice pro Čebyševovy-Hermiteovy polynomy, sr. C.3.3. Ta má řešení v oboru polynomů
pouze pro λ = λn = 2n, n = 0, 1, 2 . . .. Odtud dostaneme, že
2En
ω
− 1 = 2n, neboli že možné hodnoty energie
tvoří diskrétní množinu
En =
2n + 1
2
ω, n = 0, 1, 2, . . .. (5.18)
Získaný výsledek odůvodňuje Planckův výklad interakce záření s látkou za předpokladu, že látku můžeme
považovat za soubor oscilátorů, z nichž každý vysílá nebo pohlcuje záření o frekvenci jemu vlastní. Výměna
energie je omezena vlastními hodnotami pro dané oscilátory tak, že může probíhat pouze v jednotkách ω.
Pro λ = 0, tedy pro základní stav odpovídají energii E0 = 1
2 ω, je řešením rovnice polynom nultého stupně,
tj. konstanta. Vlnová funkce ψ0 odpovídající základnímu energetickému stavu je tedy dána vztahem
ψ0(ξ) = ce− ξ2
2 . (5.19)
Vrátíme-li se k původní délkové jednotce, dostaneme vlnovou funkci částice v základním stavu
ψ0(x) = ce− µω
2 x2
.
Hodnotu konstanty c určíme z podmínky (5.5) kladené na vlnovou funkci, tedy z podmínky
1 =
∞
−∞
|ψ0(x)|2
dx = c2
∞
−∞
e− µω
2 x2 2
dx = c2
∞
−∞
e− µω
x2
dx = c2
µω
∞
−∞
e−s2
ds = c2 π
µω
;
využili jsme rovnost (C.21). Odtud dostaneme c2
=
µω
π
. To znamená, že hustota rozložení pravděpodobnosti
výskytu částice v základním stavu je
|ψ0(x)|2
=
µω
π
e− µω
x2
.
Jedná se o hustotu normálního (Gaussova) rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou 0 a rozptylem
2µω
.
Hodnoty energie En dosadíme z vyjádření (5.18) do rovnice (5.16) a tu upravíme na operátorový tvar
∂2
∂ξ2
− ξ2
ψn = −(2n + 1)ψn, (5.20)
96
kde ψn označuje vlastní funkci příslušnou k n-té vlastní hodnotě. S využitím rovnosti (5.20) dostaneme
∂
∂ξ
+ ξ
∂
∂ξ
− ξ ψn =
∂
∂ξ
+ ξ
∂ψn
∂ξ
− ξψn =
∂2
ψn
∂ξ
+ ξ
∂ψn
∂ξ
− ψn − ξ
∂ψn
∂ξ
− ξ2
ψn =
=
∂2
∂ξ2
− ξ2
ψn − ψn = −(2n + 1)ψn − ψn = −2(n + 1)ψn, (5.21)
jinak řečeno, funkce ψn je vlastní funkcí operátoru −
∂
∂ξ
+ ξ
∂
∂ξ
− ξ příslušná k vlastní hodnotě 2(n + 1).
Podobně dostaneme
∂
∂ξ
− ξ
∂
∂ξ
+ ξ ψn = −2nψn, (5.22)
takže funkce ψn je vlastní funkcí operátoru −
∂
∂ξ
− ξ
∂
∂ξ
+ ξ příslušná k vlastní hodnotě 2n.
Na obě strany rovnosti (5.21) aplikujeme lineární operátor
∂
∂ξ
− ξ . Dostaneme
∂
∂ξ
− ξ
∂
∂ξ
+ ξ
∂
∂ξ
− ξ ψn = −2(n + 1)
∂
∂ξ
− ξ ψn,
neboli
∂
∂ξ
− ξ
∂
∂ξ
+ ξ
∂
∂ξ
− ξ ψn = −2(n + 1)
∂
∂ξ
− ξ ψn,
což znamená, že funkce
∂
∂ξ
− ξ ψn je vlastní funkcí operátoru −
∂
∂ξ
− ξ
∂
∂ξ
+ ξ příslušnou k vlastní
hodnotě 2(n + 1), takže vzhledem k (5.22) je
∂
∂ξ
− ξ ψn = ψn+1. (5.23)
Analogicky odvodíme vztah
∂
∂ξ
+ ξ ψn = ψn−1. (5.24)
Vzorec (5.23) lze využít jako rekurentní formuli pro výpočet vlastních funkcí ψn, n = 1, 2, . . . příslušných
k jednotlivým energetickým hladinám En z vlnové funkce (5.19) pro základní stav.
Relace (5.23) a (5.24) lze také interpretovat jako popis přechodu částice z jedné energetické hladiny na
sousední. Poněvadž energie se v procesu musí buď objevit (oscilátor v látce přijme energii) nebo zničit (oscilátor
v látce vyzáří energii), nazývají se operátory na levé straně rovností (5.23) a (5.24) operátory kreace a anihilace.
97
98
Dodatek A
Distribuce
A.1 Základní pojmy
Nechť ϕ : Rn
→ R je funkce n proměnných definovaná na celém prostoru Rn
. Nosič funkce ϕ definujeme jako
uzávěr množiny {x ∈ Rn
: ϕ(x) = 0} a značíme ho Supp ϕ.
Testovací funkce
Symbolem D(Rn
) označíme množinu funkcí definovaných na Rn
, které jsou třídy C∞
(mají spojité všechny
parciální derivace libovolného řádu) a jejichž nosič je množina A kompaktní v prostoru Rn
. Množina funkcí
D(Rn
) s obvykle definovaným sčítáním funkcí a násobením číslem, tj. (ϕ+ψ)(x) = ϕ(x)+ψ(x) a (cϕ)(x) = cϕ(x),
je vektorovým prostorem. Pokud nebude hrozit nedorozumění, budeme prostor D(Rn
) značit stručně D.
Na množině D definujeme metriku ρ vztahem
ρ(ϕ, ψ) = sup
∂i1+i2+···+in
∂xi1
1 ∂xi2
2 · · · ∂xin
n
(ϕ(x) − ψ(x)) : x ∈ Rn
, (i1, i2, . . . , in) ∈ (N ∪ {0})
n
.
Množinu D s touto metrikou nazýváme prostor testovacích funkcí, jeho prvky nazýváme testovací funkce.
Příklady testovacích funkcí.
Položme
λ(x) =
e−1/x2
, x > 0,
0, x ≤ 0.
Funkce λ má spojité derivace všech řádů, neboť
dk
dxk
e−1/x2
=
polynom v x
polynom v x
e−1/x2
a z toho plyne lim
x→0+
dk
dxk
e−1/x2
= 0.
Funkce ϕ definovaná vztahem ϕ(x) = λ(x)λ(1 − x) má kompaktní nosič [0, 1] a má derivace všech řádů.
Pro libovolné reálné c > 0 položme
κc(x) =
λ(x)
λ(x) + λ(c − x)
. (A.1)
Pak κc je neklesající nezáporná funkce, která má derivace všech řádů a platí pro ni
κc(x) =
0, x ≤ 0,
1, x > c.
Funkce κc tedy na intervalu délky c vyhlazuje skok funkčních hodnot.
Funkce ψ definovaná vztahem
ψ(x) = 1 − κc |x| − 1
2
99
je nezáporná funkce, která má derivace všech řádů a
ψ(x) =
0, |x| ≥ 1
2 + c,
1, |x| ≤ 1
2
a tedy má kompaktní nosič [−1
2 − c, 1
2 + c].
Funkce ϕ, ψ jsou typické testovací funkce z prostoru D(R). Testovací funkce z prostoru D(Rn
) můžeme získat
jako součin funkcí „jednorozměrných , např.
ϕn(x1, x2, . . . , xn) = ϕ(x1)ϕ(x2) · · · ϕ(xn), ψn(x1, x2, . . . , xn) = ψ(x1)ψ(x2) · · · ψ(xn).
Operace v prostoru testovacích funkcí
Kromě standardních operací součtu a součinu funkcí a násobení funkce číslem zavádíme operace:
• Posunutí (translace) testovací funkce o vektor y je definována vztahem ϕy(x) = ϕ(x + y).
• Změna měřítka (přeškálování) nezávisle proměnné faktorem α > 0 je definováno vztahem ϕα(x) = ϕ(αx).
Pomocí těchto operací můžeme snadno vytvářet další testovací funkce ze známých.
Lineární funkcionál
Zobrazení T : D → R, pro které platí
T (ϕ + ψ) = T (ϕ) + T (ψ), T (cϕ) = cT (ϕ), c ∈ R
nazýváme lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí. Obraz funkce ϕ při zobrazení T , tj. číslo T (ϕ),
budeme stručně značit T ϕ.
Množinu všech lineárních funkcionálů D → R, která je zase vektorovým prostorem, nazýváme (algebraický)
duální prostor k D a značíme ji D′
.
Definice distribuce
Spojitý lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí se nazývá distribuce.
Podrobněji: Zobrazení T : D → R nazveme distribuce, jestliže
(∀ϕ, ψ ∈ D) T (ϕ + ψ) = T ϕ + T ψ ,
(∀ϕ ∈ D) (∀c ∈ R) T (cϕ) = cT ϕ ,
(∀{ϕn} ⊆ D) (∀ϕ ∈ D) ϕn → ϕ v prostoru (D, ρ) ⇒ T ϕn → T ϕ v R s přirozenou metrikou.
Množinu všech lineárních funkcionálů D → R nazýváme topologický duální prostor k D a značíme ji D∗
.
Příklady distribucí
1. Nechť f : Rn
→ R je funkce taková, že pro každou kompaktní množinu K ⊆ Rn
existuje konečný integrál
K
f(x)dx (tzv. lokálně integrabilní funkce na Rn
). Definujme distribuci Tf ∈ D∗
vztahem
Tf ϕ =
Rn
f(x)ϕ(x)dx . (A.2)
Distribuce T ∈ D∗
taková, že existuje lokálně integrabilní funkce f pro niž T ϕ = f ϕ pro všechny
ϕ ∈ D, se nazývá regulární distribuce. Distribuce, která není regulární, se někdy nazývá singulární.
Každá lokálně integrabilní funkce určuje distribuci, můžeme tedy lokálně integrabilní funkce považovat za
distribuce1
. Z tohoto důvodu se distribuce někdy nazývají zobecněné funkce.
1Povšimněme si, že dvě různé funkce mohou určovat tutéž distribuci; konkrétně jde o funkce, které se od sebe liší na množině
nulové míry. Funkce f a g takové, že
K
f(x)dx =
K
g(x)dx pro každou kompaktní K ⊆ Rn jsou pro určení regulární distribuce
ekvivalentní. Přesněji bychom tedy měli říkat, že ztotožňujeme distribuce a třídy ekvivalentních funkcí.
100
2. Funkce f(x) =
1
x
je lokálně integrabilní na otevřeném intervalu (0, ∞), ale není lokálně integrabilní na
celém R. Avšak pro všechna a, b, a < 0 < b je
lim
ε→0+


−ε
a
dx
x
+
b
ε
dx
x

 = lim
ε→0+
ln
ε
|a|
+ ln
b
ε
= lim
ε→0+
ln
b
|a|
= ln
b
|a|
.
Tuto limitu označíme vp
b
a
dx
x
a nazveme integrál ve smyslu Cauchyovy hlavní hodnoty.
Tuto úvahu zobecníme. Nechť funkce f je lokálně integrabilní na Rn
\ {x0}. Položme
Br
x0
= {x : |x − x0| < r}
(otevřená koule se středem x0 a poloměrem r). Integrál z funkce f ve smyslu hlavní hodnoty definujeme
jako
vp
K
f(x)dx = lim
ε→0+
K\Bε
x
f(x)dx,
pokud limita na pravé straně existuje.
Má-li funkce f pro každou kompaktní množinu K ⊆ Rn
integrál ve smyslu hlavní hodnoty, pak zobrazení
Tf : D → R definované vztahem
Tf ϕ = vp
Rn
f(x)ϕ(x)dx (A.3)
je distribucí.
3. Diracova distribuce δ přiřadí každé testovací funkci ϕ ∈ D hodnotu ϕ(0).
Diracova distribuce není regulární.
Výrazy na pravých stranách rovností (A.2) a (A.3) formálně připomínají skalární součin. Proto hodnoty
těchto distribucí zapisujeme ve tvaru
f(x) ϕ(x) , nebo stručně f ϕ
Přestože Diracova distribuce není regulární ani není definována pomocí nějaké (klasické) funkce, používáme pro
ni zápis
δ ϕ = δ(x) ϕ(x) =
Rn
δ(x)ϕ(x)dx = ϕ(0) .
Podobným způsobem budeme zapisovat jakékoliv distribuce. V Diracově terminologii je tedy distribuce bravektorem
a testovací funkce ketvektorem. Diracovu distribuci δ budeme jednoduše psát jako δ, případně δ(x) pro
zdůraznění nezávisle proměnné testovacích funkcí.
Symbolem L1
loc(Rn
) označme množinu lokálně integrovatelných funkcí na Rn
(přesněji, množinu tříd ekvivalentních
lokálně integrabilních funkcí). Testovací funkce jakožto spojité funkce jsou lokálně integrabilní. Určují
tedy regulární distribuce. Platí tedy
D(Rn
) ⊂ L1
loc(Rn
) ⊂ D∗
(Rn
).
Nosič distribuce
Řekneme, že distribuce T ∈ D∗
je na množině A ⊆ Rn
nulová, jestliže T ϕ = 0 pro každou testovací funkci
ϕ ∈ D∗
takovou, že Supp ϕ ⊆ A.
Nosič distribuce T je nejmenší (vzhledem k množinové inklusi) uzavřená množina taková, že na jejím komplementu
je T nulová. Nosič distribuce T označíme Supp T .
Nosič Diracovy distribuce je jednoprvková množina {0}.
101
Základní operace v prostoru distribucí
• Součet distribucí T, S ∈ D∗
:
T + S ∈ D∗
je distribuce, která splňuje rovnost
(T + S)ϕ = T ϕ + Sϕ
pro každou testovací funkci ϕ ∈ D.
• Násobení distribuce T ∈ D∗
funkcí a : Rn
→ R třídy C∞
:
Je-li ϕ ∈ D testovací funkce, pak ϕ má kompaktní nosič. To znamená, že také funkce aϕ má kompaktní
nosič, tedy aϕ ∈ D.
aT ∈ D′
je distribuce, která splňuje rovnost
(aT )ϕ = T (aϕ)
pro každou testovací funkci ϕ ∈ D.
• Posunutí (translace) distribuce T ∈ D o vektor y ∈ Rn
:
y
T ∈ D∗
je distribuce, která splňuje rovnost
y
T ϕ = T ϕy
pro každou testovací funkci ϕ ∈ D.
Pro regulární distribuci určenou funkcí f platí
(y
Tf ) ϕ =
Rn
f(x)ϕ(x + y)dx =
Rn
f(z − y)ϕ(z)dz;
v integrálu jsme použili substituci z = x + y.
S pomocí Diracovy symboliky můžeme definice operací s distribucemi zapsat ve tvaru:
• Součet: f + g ϕ = f ϕ = f ϕ + g ϕ
• Násobek funkcí: af ϕ = f aϕ
• Translace: f(x − y) ϕ(x) = f(x) ϕ(x + y)
Zejména pro Diracovu distribuci platí
δ(x − y) ϕ(x) = δ(x) ϕ(x + y) = ϕ(y),
Rn
δ(x − y)ϕ(x)dx = ϕ(y);
δ(y − x) ϕ(x) =
Rn
δ(y − x)ϕ(x)dx =
Rn
δ(z)ϕ(y − z)dz = ϕ(y).
Translace Diracovy distribuce o vektor y, tedy distribuce zapisovaná jako δ(x−y) se nazývá Diracova distribuce
soustředěná v bodě y. Přitom platí
δ(x − y) = δ(y − x). (A.4)
A.2 Konvergence v prostoru distribucí
Řekneme, že posloupnost distribucí {Tk}∞
k=1 ⊆ D∗
konverguje pro k → ∞ k distribuci T ∈ D∗
a píšeme
lim
k→∞
Tk = T ,
jestliže pro každou testovací funkci ϕ ∈ D∗
je lim
k→∞
Tkϕ = T ϕ (v tomto případě jde o konvergenci číselných
posloupností).
102
Definici lze zapsat také v Diracově symbolice: Řekneme, že posloupnost distribucí { fk}
∞
k=1 konverguje pro
k → ∞ k distribuci f a píšeme lim
k→∞
fk = f, jestliže pro každou testovací funkci ϕ ∈ D∗
je lim
k→∞
fk ϕ =
f ϕ .
Pro konvergenci v prostoru distribucí platí následující věty:
Věta 1: Nechť {Tk}
∞
k=1 ⊆ D∗
je posloupnost distribucí taková, že pro každou testovací funkci ϕ ∈ D existuje
limita posloupnosti čísel {Tkϕ}
∞
k=1. Definujme zobrazení T : D → R předpisem
T (ϕ) = lim
k→∞
Tkϕ .
Pak T je distribuce, T ∈ D∗
.
Linearita plyne z linearity každé z distribucí Tk a z linearity operátoru limity posloupností), spojitost je
dokázána např. v knize: Laurent Schwartz. Théorie des distributions, Paris 1973.
Věta 2: Ke každé distribuci T ∈ D∗
existuje posloupnost testovacích funkcí {ϕk}∞
k=1 ⊆ D, že
lim
k→∞
ϕk = T, neboli ∀ε ∈ D lim
k→∞
ϕk ϕ = T ϕ.
tj. že tato posloupnost testovacích funkcí konverguje k T ve smyslu distribucí.
Každou distribuci lze aproximovat pomocí posloupnosti testovacích funkcí.
A.2.1 δ-vytvořující posloupnosti
Nechť {fk}
∞
k=1 je posloupnost lokálně integrabilních funkcí na Rn
takových, že posloupnost regulárních distribucí
{Tfk
}∞
k=1 konverguje k Diracově distribuci, tj.
lim
k→∞
fk ϕ = ϕ(0)
pro každou testovací funkci ϕ ∈ D. Pak posloupnost {fk}
∞
k=1 se nazývá δ-vytvořující posloupnost, funkce fk se
nazývají impulsní funkce.
Příklady δ-vytvořujících posloupností:
Následující posloupnosti funkcí konvergují k Diracově distribuci na prostoru D∗
(R).
fk(x) =



k, |x| ≤
1
2k
0, |x| >
1
2k
, fk(x) =



k − k2
|x|, |x| ≤
1
k
0, |x| >
1
k
,
fk(x) =
k
2π
e−kx2
/2
, fk(x) =
sin kx
πx
,
fk(x) =
1
π
αk
x2 + α2
k
, kde {αk}
∞
k=1 je libovolná posloupnost kladných čísel taková, že lim
k→∞
αk = 0 ,
fk(x) =



1
ℓ
+
2
ℓ
k
m=1
cos
2πm
ℓ
x, |x| ≤ 1
2 ℓ
0, |x| > 1
2 ℓ
.
Na obrázcích A.1 je znázorněno několik prvních členů některých δ-vytvořujících posloupností.
103
fk
x
fk
x
fk(x) =
k, |x| ≤ 1/(2k)
0, jinak
fk(x) =
k − k2
|x|, |x| ≤ 1/k
0, jinak
fk
x
fk
x
fk(x) =
k
2π
e− 1
2 kx2
fk(x) =
sin kx
πx
fk
x
fk
x
fk(x) =
1
π
k2
k4x2 + 1
fk(x) =



1
2 +
k
n=1
cos nπx, |x| ≤ 1
0, jinak
Obrázek A.1: Příklady δ-vytvořujících posloupností na prostoru D∗
(R). S rostoucím k se zmenšuje síla čáry.
104
A.3 Derivování distribucí
Nechť f : Rn
→ R je diferencovatelná (a tedy lokálně integrabilní) funkce, ϕ ∈ D je testovací funkce. Pak platí
Rn
∂f
∂x1
(x)ϕ(x)dx =
∞
−∞
∞
−∞
· · ·
∞
−∞


∞
−∞
∂f
∂x1
(x)ϕ(x)dx1

 dx2 . . . dxn−1dxn =
=
∞
−∞
∞
−∞
· · ·
∞
−∞

[f(x)ϕ(x)]∞
x1=−∞ −
∞
−∞
f(x)
∂ϕ
∂x1
(x)dx1

 dx2 . . . dxn−1dxn =
= −
∞
−∞
∞
−∞
· · ·
∞
−∞
f(x)
∂ϕ
∂x1
(x)dx1dx2 . . . dxn−1dxn = −
Rn
f(x)
∂ϕ
∂x1
(x)dx ,
poněvadž Supp fϕ je kompaktní.
Provedený výpočet motivuje následující definici.
Definice derivace distribuce
Parciální derivace distribuce T ∈ D∗
podle první proměnné je distribuce
∂
∂x1
T , pro niž platí
∂
∂x1
T ϕ = −T
∂ϕ
∂x1
pro každou testovací funkci ϕ ∈ D.
Obecně definujeme parciální derivace distribuce podle libovolných proměnných libovolného řádu rovností
∂i1+i2+···in
∂xi1
1 ∂xi2
2 · · · ∂xin
n
T ϕ = (−1)i1+i2+···in
T
∂i1+i2+···in
∂xi1
1 ∂xi2
2 · · · ∂xin
n
ϕ
pro každou testovací funkci ϕ a každý multiindex (i1, ij, . . . , in) ∈ (N ∪ {0})n
.
Každá distribuce má derivace libovolného řádu.
Každá lokálně integrabilní funkce f určuje regulární distribuci. Tato distribuce má derivaci libovolného řádu
definovanou rovností
∂i1+i2+···in
f
∂xi1
1 ∂xi2
2 · · · ∂xin
n
ϕ = (−1)i1+i2+···in
f
∂i1+i2+···in
∂xi1
1 ∂xi2
2 · · · ∂xin
n
ϕ
V tomto smyslu lze říci, že každá lokálně integrabilní funkce f má derivaci libovolného řádu. Tato distribuce
však obecně není funkcí ale distribucí. Nazýváme ji distributivní derivací funkce f.
Příklady distributivních derivací funkcí
• Derivace absolutní hodnoty:
Pro každou testovací funkci ϕ ∈ D platí
∂
∂x
|x| ϕ(x) = − |x| ϕ′
(x) = −
∞
−∞
|x|ϕ′
(x)dx =
=
0
−∞
xϕ′
(x)dx −
∞
0
ϕ′
(x)dx = xϕ(x)
0
−∞
−
0
−∞
ϕ(x)dx − xϕ(x)
∞
0
+
∞
0
ϕ(x)dx =
= −
0
−∞
ϕ(x)dx +
∞
0
ϕ(x)dx =
∞
−∞
(sgn x)ϕ(x)dx,
tedy
∂
∂x
|x| = sgn x ve smyslu distribucí.
105
• Heavisidova skoková funkce (distribuce):
Funkce H : R → R definovaná vztahem
H(x) =
1, x ≥ 0
0, x < 0
je lokálně integrabilní. Určuje tedy regulární distribuci, pro niž platí
H ϕ =
∞
−∞
H(x)ϕ(x)dx =
∞
0
ϕ(x)dx .
Povšimněme si, že Heavisidova funkce je limitou funkcí κ1/k definovaných vztahem (A.1); tuto limitu
můžeme chápat tak, že lim
k→∞
κ1/k(x) = H(x) pro každé x = 0, nebo že lim
k→∞
κ1/k = H ve smyslu
distribucí. Dále platí
H′
ϕ = − H ϕ′
= −
∞
0
ϕ′
(x)dx = − [ϕ(x)]
∞
0 = ϕ(0) = δ ϕ ,
tedy distributivní derivací Heavisidovy funkce H je Diracova distribuce (soustředěná v bodě 0).
Obecně: Funkce H : Rn
→ R definovaná vztahem
H(x1, x2, . . . , xn) =
1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . xn ≥ 0
0, jinak
určuje regulární distribuci:
H ϕ =
∞
−∞
∞
−∞
· · ·
∞
−∞
H(x1, x2, . . . , xn)ϕ(x1, x2, . . . , xn)dx1dx2 · · · dxn =
=
∞
0
∞
0
· · ·
∞
0
ϕ(x1, x2, . . . , xn)dx1dx2 · · · dxn .
Z výpočtu
∂n
∂x1∂x2 · · · ∂xn
H ϕ =
= (−1)n
H
∂n
∂x1∂x2 · · · ∂xn
ϕ =
= (−1)n
∞
0
∞
0
· · ·
∞
0
∂n
∂x1∂x2 · · · ∂xn
ϕ(x1, x2, . . . , xn)dx1dx2 · · · dxn =
= (−1)n
∞
0
∞
0
· · ·
∞
0
∂n−1
∂x2∂x3 · · · ∂xn
ϕ(x1, x2, . . . , xn)
∞
x1=0
dx2dx3 · · · dxn =
= −(−1)n
∞
0
∞
0
· · ·
∞
0
∂n−1
∂x2∂x3 · · · ∂xn
ϕ(0, x2, x3, . . . , xn)dx2dx3 · · · dxn = · · · =
= (−1)2n
ϕ(0, 0, . . . , 0) = ϕ(0, 0, . . . , 0) ,
nyní plyne, že distributivní derivace
∂n
∂x1∂x2 · · · ∂xn
H určuje Diracovu distribuci na prostoru Rn
.
106
Distributivní derivace funkcí jedné proměnné
Nechť funkce f je spojitá na každém z intervalů (−∞, 0), (0∞) a existuje
σ0 = lim
x→0+
f(x) − lim
x→0−
f(x).
Pak je tato funkce lokálně integrabilní na R, určuje tedy regulární distribuci Tf . Pro každou testovací funkci
ϕ ∈ D platí
T ′
f ϕ = − f(x) ϕ′
(x) = −
∞
−∞
f(x)ϕ′
(x)dx = −
0
−∞
f(x)ϕ′
(x)dx −
∞
0
f(x)ϕ′
(x)dx =
= − [f(x)ϕ(x)]0
−∞ +
0
−∞
f′
(x)ϕ(x)dx − [f(x)ϕ(x)]∞
0 +
∞
0
f′
(x)ϕ(x)dx =
= lim
x→0+
f(x)ϕ(x) − lim
x→0−
f(x)ϕ(x) +
∞
−∞
f′
(x)ϕ(x)dx =
= ϕ(0) lim
x→0+
f(x) − lim
x→0−
f(x) +
∞
−∞
f′
(x)ϕ(x)dx =
= σ0ϕ(0) +
∞
−∞
f′
(x)ϕ(x)dx = σ0 δ ϕ + f′ ϕ = σ0 δ ϕ + Tf′ ϕ ,
tj.
(∀ϕ ∈ D)
∂
∂x
f ϕ = σ0 δ ϕ + f′
ϕ , symbolicky T ′
f = σ0δ + Tf′ .
Obecně: Nechť funkce f : R → R je třídy C∞
na každém z intervalů (−∞, 0), (0, ∞) a nechť každá její
derivace je lokálně integrabilní. Tato funkce určuje regulární distribuci Tf .
Označme
σm = lim
x→0+
f(m)
(x) − lim
x→0−
f(m)
(x) a T ′
f =
∂
∂x
T, T ′′
f =
∂2
∂x2
T . . . , T
(k)
f =
∂k
∂xk
T.
Pak pro každou testovací funkci ϕ ∈ D platí
∂k
∂xk
f ϕ =
k−1
m=0
(−1)k−m−1
σm δ ϕ(k−m−1) + f(k)
ϕ ,
tj.
T
(k)
f ϕ =
k−1
m=0
(−1)k−m−1
σmϕ(k−m−1)
(0) +
∞
−∞
f(k)
(x)ϕ(x)dx .
Symbolicky
T
(k)
f =
k−1
m=0
σmδ(k−m−1)
+ Tf(k) .
Greenova funkce hyperbolické rovnice v jedné prostorové proměnné
Nechť a > 0. Pro všechna (t, x) ∈ R2
a libovolný reálný parametr ξ definujme
G(x, ξ, t) =



1
2a
, x − at < ξ < x + at,
0, jinak;
107
povšimněme si také, že pro t ≤ 0 je G(xξ, t) = 0. Vypočítáme distributivní derivaci
∂
∂t
G(x, ξ, t).
Pro každou testovací funkci ϕ ∈ D(R2
) platí
∂
∂t
G(x, ξ, t) ϕ(t, x) = − G(x, ξ, t)
∂
∂t
ϕ(t, x) =
= −
R2
G(x, ξ, t)
∂
∂t
ϕ(t, x)dtdx = −
1
2a
A
∂
∂t
ϕ(t, x)dtdx.
Množina A ⊆ R2
je taková, že na ní je funkce G( · , ξ, · ) nenulová, tj.
A = (t, x) ∈ R2
: 0 < t, ξ − at < x < ξ + at =
= (t, x) ∈ R2
: x < ξ,
ξ − x
a
< t ∪ (t, x) ∈ R2
: ξ ≤ x,
x − ξ
a
< t .
Podle Fubiniovy věty tedy můžeme poslední integrál rozepsat ve tvaru
−
1
2a



ξ
−∞



∞
ξ−x
a
∂
∂t
ϕ(t, x)dt


 dx +
∞
ξ



∞
x−ξ
a
∂
∂t
ϕ(t, x)dt


 dx


 =
= −
1
2a


−
ξ
−∞
ϕ
ξ − x
a
, x dx −
∞
ξ
ϕ
x − ξ
a
, x dx


 .
V prvním z integrálů zavedeme substituci s =
ξ − x
a
a upravíme ho
1
2a
ξ
−∞
ϕ
ξ − x
a
, x dx = −
1
2
0
∞
ϕ(s, ξ − as)ds =
1
2
∞
0
ϕ(s, ξ − as)ds =
=
1
2
∞
0


∞
−∞
δ x − (ξ − as) ϕ(s, x)dx

 ds =
1
2
R2
H(t)δ x − (ξ − at) ϕ(t, x)dtdx =
= 1
2 H(t)δ x − (ξ − at) ϕ(t, x) .
Ve druhém z integrálů zavedeme substituci s =
x − ξ
a
a upravíme ho analogickým způsobem
1
2a
∞
ξ
ϕ
x − ξ
a
, x dx = 1
2 H(t)δ x − (ξ + at) ϕ(t, x) .
Celkem tak dostáváme
∂
∂t
G(x, ξ, t) ϕ(t, x) = 1
2 H(t)δ x − (ξ − at) ϕ(t, x) + 1
2 H(t)δ x − (ξ + at) ϕ(t, x) =
= 1
2 δ x − (ξ − at) + δ x − (ξ + at) H(t) ϕ(t, x) ,
a tedy s využitím vztahu (A.4) můžeme psát, že
∂
∂t
G(x, ξ, t) = 1
2 δ(x + at − ξ) + δ(x − at − ξ) H(t) = 1
2 δ ξ − (x + at) + δ ξ − (x − at) H(t)
ve smyslu distribucí.
108
Cvičení
1) Vypočítejte druhou distributivní derivaci funkce f(x) = |x|.
2) Nechť H je Heavisidova funkce a položme x+ = xH(x), x− = −xH(−x). Vypočítejte distributivní derivace
těchto funkcí.
3) Určete distribuci xn
δ(n)
(x)
4) Funkce G proměnných t a x s parametrem ξ je dána výrazem
G(x, ξ, t) =



1
2a
, |x − at| < ξ < x + at,
0, jinak;
jedná se o Greenovu funkci pro hyperbolickou rovnici na polopřímce s Dirichletovou okrajovou podmínkou.
Vypočítejte distributivní derivaci
∂
∂t
G(x, ξ, t).
Výsledky: 1) 2δ(x) 2) x′
+ = H(x), x′
− = −H(−x) 3) (−1)n
n!δ(x)
4) 1
2 δ(x + at − ξ) + δ(x − at − ξ) − δ(−x + at − ξ) − δ(−x − at − ξ) H(x)H(t)
109
110
Dodatek B
Okrajové úlohy pro obyčejné
diferenciální rovnice
B.1 Formulace úloh
Nechť pro čísla x0, x1 platí −∞ ≤ x0 < x1 ≤ ∞. Symbolem Ck
(x0, x1) označme množinu funkcí k-krát spojitě
diferencovatelných na intervalu (x0, x1); zejména C0
(x0, x1) označme množinu funkcí spojitých na intervalu
(x0, x1).
B.1.1 Diferenciální operátor a diferenciální rovnice
Buďte a, b, c ∈ C0
(x0, x1) a nechť a(x) = 0 pro x ∈ (x0, x1). Lineární diferenciální operátor druhého řádu
L = L(a, b, c) : C2
(x0, x1) → C0
(x0, x1) definujeme předpisem
Ly(x) = a(x)y′′
(x) + b(x)y′
(x) + c(x)y(x)
pro každé x ∈ (x0, x1). Rovnice
Ly = g ∈ C0
(x0, x1)
je obyčejná lineární diferenciální rovnice druhého řádu; v případě g ≡ 0 homogenní, v opačném nehomogenní.
Buďte p ∈ C1
(x0, x1), q ∈ C0
(x0, x1). Pak operátor L(−p, −p′
, q) daný vztahem
L(−p, −p′
, q)y(x) = −p(x)y′′
(x) − p′
(x)y′
(x) + q(x)y(x) = − p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x)
nazveme samoadjungovaný. Každý lineární diferenciální operátor druhého řádu L(a, b, c), pro jehož koeficienty
a, b platí a ∈ C1
(x0, x1) a b(x) = a′
(x) pro x ∈ (x0, x1) je samoadjungovaný. Rovnice tvaru
− p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = f(x) , x ∈ (x0, x1)
se nazývá samoadjungovaná na intervalu (x0, x1) nebo Sturmova-Liouvilleova rovnice.
Platí: Každou lineární diferenciální rovnici s koeficientem a ∈ C1
(x0, x1) lze vyjádřit v samoadjungovaném
tvaru.
D.: Buď
h(x) =
b(x) − a′
(x)
a(x)
dx , ρ(x) = eh(x)
.
Pak
(ρ(x)a(x))′
= eh(x)
a(x)
′
= eh(x)
h′
(x)a(x) + eh(x)
a′
(x) =
= ρ(x)
b(x) − a′
(x)
a(x)
a(x) + ρ(x)a′
(x) = ρ(x)b(x) ,
tedy
ρ(x)a(x)y′′
(x) + ρ(x)b(x)y′
(x) + ρ(x)c(x)y(x) = ρ(x)g(x)
je samoadjungovaná rovnice (p = −ρa, q = ρc, f = ρg).
111
B.1.2 Okrajové podmínky
Budeme hledat řešení rovnice
Ly(x) = g(x) ,
na intervalu (x0, x1), které v krajních bodech splňuje některé z následujících podmínek.
Dirichletova podmínka v levém krajním bodě:
y(x0) = y0, nebo lim
x→x0+
y(x) = y0;
splnění první rovnosti požadujeme v případě, že x0 > −∞ a řešení má být v bodě x0 spojité zprava.
Neumannova podmínka v levém krajním bodě:
y′
(x0) = y0, nebo lim
x→x0+
y′
(x) = y0.
Robinova podmínka v levém krajním bodě:
y′
(x0) = γ0y(x0) nebo lim
x→x0+
y′
(x) = γ0 lim
x→x0+
y(x).
Newtonova podmínka v levém krajním bodě:
α0y(x0) + β0y′
(x0) = y0, nebo lim
x→x0+
α0y(x) + β0y′
(x) = y0,
přičemž α2
0 + β2
0 = 0.
Povšimněme si, že Newtonova podmínka v sobě zahrnuje Dirichletovu (pro β0 = 0, α0 = 1), Neumannovu
(pro α0 = 0, β0 = 1) i Robinovu (pro α0 = 0 = β0, y0 = 0, γ0 = −
α0
β0
) podmínku.
Analogicky zavádíme Dirichletovu, resp. Neumannovu, resp. Robinovu, resp. Newtonovu podmínku v pravém
krajním bodě rovnostmi
y(x1) = y1, resp. y′
(x1) = y1, resp. y′
(x1) = γ1y(x1), resp. α1y(x1) + β1y′
(x1) = y1
(pokud x1 < ∞ a v bodě x1 požadujeme spojitost zleva), nebo obecněji
lim
x→x1−
y(x) = y1, resp. lim
x→x1−
y′
(x) = y1, resp. lim
x→x1−
y′
(x) = γ1 lim
x→x1−
y(x),
resp. lim
x→x1−
α1y(x) + β1y′
(x) = y1.
Podmínka omezenosti v levém, resp. pravém krajním bodě:
lim sup
x→x0+
|y(x)| < ∞, resp. lim sup
x→x1−
|y(x)| < ∞.
Podmínky různého typu lze kombinovat; můžeme například požadovat splnění Neumanovy podmínky v levém
krajním bodě a podmínky omezenosti v pravém krajním bodě.
Podmínky periodičnosti:
y(x0) = y(x1), y′
(x0) = y′
(x1).
Jakékoliv okrajové podmínky nazveme homogenní, jestliže s libovolnými dvěma funkcemi u, v, které této
podmínce vyhovují, vyhovuje téže podmínce i jejich libovolná lineární kombinace k1u + k2v.
Newtonovy podmínky s y0 = y1 = 0, podmínky omezenosti i podmínky periodičnosti jsou homogenní.
Okrajová úloha, v níž rovnice i okrajové podmínky jsou homogenní se nazývá homogenní okrajová úloha,
v opačném případě nehomogenní okrajová úloha. Množina řešení homogenní úlohy tvoří vektorový prostor; tento
vektorový prostor je samozřejmě podprostorem prostoru všech funkcí, splňujících dané homogenní okrajové
podmínky.
112
B.1.3 Symetrický diferenciální operátor
Řekneme, že operátor L je symetrický na množině M ⊆ C2
(x0, x1), jestliže pro všechny u, v ∈ M platí
x1
x0
Lu(x)v(x)dx =
x1
x0
u(x)Lv(x)dx .
Buď L = L(−p, −p′
, q) samoadjungovaný operátor. Pak platí (s využitím integrace „per partes )
x1
x0
Lu(x)v(x)dx −
x1
x0
u(x)Lv(x)dx =
=
x1
x0
− p(x)u′
(x)
′
+ q(x)u(x) v(x) − u(x) − p(x)v′
(x)
′
+ q(x)v(x) dx =
=
x1
x0
p(x)v′
(x)
′
u(x) − p(x)u′
(x)
′
v(x) dx =
= [p(x)v′
(x)u(x)]
x1
x0
−
x1
x0
p(x)v′
(x)u′
(x)dx − [p(x)u′
(x)v(x)]
x1
x0
+
x1
x0
p(x)u′
(x)v′
(x)dx =
= p(x1)v′
(x1)u(x1) − p(x0)v′
(x0)u(x0) − p(x1)u′
(x1)v(x1) + p(x0)u′
(x0)v(x0) .
Tento výpočet umoňuje dokázat následující tvrzení:
• Samoadjungovaný operátor L = L(−p, −p′
, q) je symetrický na množině funkcí, které splňují homogenní
Newtonovy podmínky v obou krajních bodech.
D.: V tomto případě je
x1
x0
Lu(x)v(x)dx −
x1
x0
u(x)Lv(x)dx =
= p(x1) v′
(x1)u(x1) − u′
(x1)v(x1) − p(x0) v′
(x0)u(x0) − u′
(x0)v(x0) .
Je-li β0 = 0, pak u′
(x0) = −
α0
β0
u(x0), v′
(x0) = −
α0
β0
v(x0), takže v′
(x0)u(x0) − u′
(x0)v(x0) = 0.
Je-li α0 = 0, pak u(x0) = −
β0
α0
u′
(x0), v(x0) = −
β0
α0
v′
(x0), takže opět v′
(x0)u(x0) − u′
(x0)v(x0) = 0.
Analogicky ověříme, že v′
(x1)u(x1) − u′
(x1)v(x1) = 0.
• Pokud je interval (x0, x1) konečný a funkce p splňuje podmínku p(x0) = p(x1), pak samoadjungovaný
operátor L = L(−p, −p′
, q) je symetrický na množině funkcí splňujících podmínky periodičnosti.
D.: V tomto případě je
x1
x0
Lu(x)v(x)dx −
x1
x0
u(x)Lv(x)dx =
= p(x0)v′
(x0)u(x0) − p(x0)v′
(x0)u(x0) − p(x0)u′
(x0)v(x0) + p(x0)u′
(x0)v(x0) = 0 .
113
B.2 Vlastní čísla a vlastní funkce homogenní okrajové úlohy
Nechť λ ∈ R. Uvažujme homogenní okrajovou úlohu pro rovnici
Lv(x) = λv(x) .
Tato úloha má vždy triviální řešení v ≡ 0. Pokud existuje netriviální řešení v = v(x), nazveme ho vlastní funkcí
okrajové úlohy a parametr λ nazveme vlastním číslem operátoru L na prostoru funkcí splňujících okrajové
podmínky.
Je-li λ vlastní číslo operátoru L a v = v(x) je příslušná vlastní funkce uvažované okrajové úlohy, pak také
funkce cv je pro libovolnou konstantu c ∈ R vlastní funkcí.
Jestliže vlastnímu číslu λ odpovídá k lineárně nezávislých vlastních funkcí, řekneme, že λ je k-násobné vlastní
číslo; jestliže mu odpovídá jediná (až na multiplikativní konstantu) vlastní funkce, mluvíme o jednoduchém
vlastním čísle.
Označme ML množinu funkcí splňujících příslušné homogenní okrajové podmínky. Je-li operátor L symetrický
na množině ML a λ1, λ2 jsou jeho dvě různá vlastní čísla, pak odpovídající vlastní funkce jsou ortogonální
v prostoru L2
(x0, x1).1
D.: Poněvadž λ1 = λ2, je alespoň jedno z čísel λ1, λ2. Nechť pro určitost λ1 = 0. Pak platí
x1
x0
v1(x)v2(x)dx =
1
λ1
x1
x0
λ1v1(x)v2(x)dx =
1
λ1
x1
x0
Lv1(x)v2(x)dx =
=
1
λ1
x1
x0
v1(x)Lv2(x)dx =
λ2
λ1
x1
x0
v1(x)v2(x)dx ,
tedy 1 −
λ2
λ1
x1
x0
v1(x)v2(x)dx = 0. Poněvadž λ1 = λ2, je
x1
x0
v1(x)v2(x)dx = 0.
B.2.1 Příklady:
Uvažujme samoadjungovaný operátor L = L(−1, 0, 0). Rovnici
− y′′
(x) = λy(x) (B.1)
můžeme přepsat na tvar
y′′
(x) + λy(x) = 0.
Řešení této homogenní lineární rovnice druhého řádu závisí na znaménku parametru λ. Obecné řešení rovnice
je dáno vztahem
y(x) =



A exp |λ| x + B exp − |λ| x , λ < 0,
Ax + B, λ = 0,
A cos
√
λ x + B sin
√
λ x, λ > 0,
kde A, B jsou integrační konstanty.
1Prostor L2(x0, x1): Množina funkcí definovaných na intervalu (x0, x1) takových, že
x1
x0
f(x)
2
dx < ∞, tvoří vektorový prostor.
Skalární součin funkcí f, g v tomto prostoru zavádíme jako
x1
x0
f(x)g(x)dx. Funkce f a g v tomto prostoru považujeme za ekvivalentní,
pokud
x1
x0
f(x) − g(x)
2
dx = 0. Pokud ekvivalentní funkce ztotožníme, dostaneme prostor L2(x0, x1).
114
1) Dirichletovy podmínky
Hledáme řešení rovnice (B.1) na intervalu (0, ℓ), které splňuje Dirichletovy homogenní okrajové podmínky
y(0) = 0 = y(ℓ).
Je-li λ = 0, pak v krajních bodech intervalu (0, ℓ) má platit
y(0) = 0 = B, y(ℓ) = 0 = Aℓ + B,
takže B = 0, v důsledku toho také A = 0 a rovnice má pouze triviální řešení.
Je-li λ < 0, pak v levém krajním bodě má platit y(0) = 0 = A + B, tj. B = −A. Proto v pravém krajním
bodě požadujeme
y(ℓ) = 0 = Ae
√
−λ ℓ
− Ae−
√
−λ ℓ
= 2A sinh
√
−λ ℓ;
pro −λ > 0 je však sinh
√
−λ ℓ > 0 a z toho plyne, že A = 0. Rovnice (B.1) má opět pouze triviální řešení.
Je-li λ > 0, pak má platit
y(0) = 0 = A, takže y(ℓ) = 0 = B sin
√
λ ℓ.
Odtud plyne, že
√
λ ℓ = kπ pro k ∈ Z, k = 0, tedy λ =
kπa
ℓ
2
pro k = 1, 2, 3, . . ., neboť λ > 0.
Vlastní čísla operátoru L(−1, 0, 0) s homogenními Dirichletovými podmínkami na intervalu (0, ℓ) a příslušné
vlastní funkce jsou
λk =
kπ
ℓ
2
, vk(x) = sin
kπ
ℓ
x, k = 1, 2, 3, . . ..
2) podmínky periodičnosti
Nyní hledáme řešení rovnice (B.1) na intervalu (0, ℓ), které splňuje podmínky periodičnosti
y(0) = y(ℓ), y′
(0) = y′
(ℓ).
Je-li λ < 0, pak je
y(x) = Ae
√
|λ|x
+ Be
√
|λ|x
, y′
(x) = |λ| Ae
√
|λ|x
− Be−
√
|λ|x
.
Má tedy platit
A + B = y(0) = y(l) = Ae
√
|λ|ℓ
+ Be
√
|λ|ℓ
, |λ|(A − B) = y′
(0) = y′
(ℓ) = |λ| Ae
√
|λ|ℓ
− Be−
√
|λ|ℓ
,
neboli
e
√
|λ|ℓ
− 1 A + e−
√
|λ|ℓ
− 1 B = 0,
e
√
|λ|ℓ
− 1 A − e−
√
|λ|ℓ
− 1 B = 0.
Tato homogenní soustava algebraických rovnic má jediné řešení A = B = 0. Úloha má v tomto případě pouze
triviální řešení.
Pro λ = 0 má rovnice řešení y(x) = Ax + B, takže platí y′
(x) = A. V tomto případě tedy y′
(0) = y′
(ℓ),
takže stačí požadovat B = y(0) = y(ℓ) = Aℓ + B. Z toho plyne A = 0. Dostáváme tak, že první vlastní číslo je
λ0 = 0 a příslušná vlastní funkce v0 je nenulová konstanta.
Pro λ > 0 je
y(x) = A cos
√
λx + B sin
√
λx, y′
(x) =
√
λ −A sin
√
λx + B cos
√
λx .
Má tedy platit
A = y(0) = y(ℓ) = A cos
√
λℓ + B sin
√
λℓ,
√
λB = y′
(0) = y′
(ℓ) =
√
λ B cos
√
λℓ − A sin
√
λℓ ,
115
neboli
cos
√
λℓ − 1 A + sin
√
λℓ B = 0,
− sin
√
λℓ A + cos
√
λℓ − 1 B = 0.
Tato homogenní soustava lineárních (algebraických) rovnic má nenulové řešení pouze v případě, že její matice
je singulární, tj.
0 =
cos
√
λℓ − 1 sin
√
λℓ
− sin
√
λℓ cos
√
λℓ − 1
= cos
√
λℓ
2
− 2 cos
√
λℓ + 1 + sin
√
λℓ
2
= 2 1 − cos
√
λℓ .
Odtud plyne, že cos
√
λℓ = 1, tedy
λ =
2kπ
ℓ
2
, k = 1, 2, 3, . . ..
Podmínkám úlohy v takovém případě vyhovují konstanty A = 1, B = 0 nebo A = 0, B = 1. Kladným vlastním
číslům λk =
2kπ
ℓ
2
tedy odpovídají dvě vlastní funkce
vk(x) = cos
2kπ
ℓ
x, ˜vk(x) = sin
2kπ
ℓ
x, k = 1, 2, 3, . . ..
Kladná vlastní čísla jsou tedy dvojnásobná.
3) podmínky omezenosti
Nakonec najdeme řešení rovnice (B.1) na (0, ∞), které splňuje podmínky omezenosti
y(x) je omezená pro x → 0 + a pro x → ∞ .
Je-li λ < 0, pak
lim
x→∞
|y(x)| =
∞, A = 0,
0, A = 0.
V tomto případě tedy všechna záporná čísla λ− jsou vlastními čísly a příslušné vlastní funkce jsou
v−(x) = e−
√
|λ−| x
.
Podobně pro λ = 0 je
lim
x→∞
|y(x)| =
∞, A = 0,
B, A = 0.
Číslo λ0 = 0 je vlastním číslem a příslušná vlastní funkce je
v0(x) = const = 0.
Pro λ > 0 jsou všechna řešení omezená, takže jakékoliv kladné číslo λ+ je vlastním číslem a příslušné vlastní
funkce jsou
v+(x) = cos λ+ x, ˜v+(x) = sin λ+ x.
B.2.2 Sturmova-Liouvilleova úloha
− p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = λy(x) , x ∈ (0, ℓ) ,
α0y(0) + β0y′
(0) = 0 = α1y(ℓ) + β1y′
(ℓ) .
• Sturmova-Liouvilleova úloha má nekonečně mnoho vlastních čísel λ1, λ2, . . . , pro která platí
min{q(x) : x ∈ [0, l]} ≤ λ1 < λ2 < · · · ; lim
n→∞
λn = ∞ .
116
• Každému vlastnímu číslu Sturmovy-Liouvilleovy úlohy přísluší právě jedna normovaná vlastní funkce.
• Vlastní funkce vn = vn(x) odpovídající vlastnímu číslu λn má v intervalu (0, ℓ) právě n − 1 nulových
bodů. Mezi každými dvěma sousedními nulovými body vlastní funkce vn leží právě jeden nulový bod
vlastní funkce vn+1. Zejména vlastní funkce v1 nemění znaménko na intervalu (0, ℓ).
• Posloupnost {vn}∞
n=1 normovaných vlastních funkcí Sturmovy-Liouvilleovy úlohy tvoří úplnou ortonormální
posloupnost na [0, ℓ]. Tj. je-li funkce f ∈ L2
(0, ℓ), pak Fourierova řada funkce f vzhledem k ortonormální
posloupnosti {vn}∞
n=1 konverguje k funkci f podle středu (konvergence v prostoru L2
(0, ℓ)). Je-li
funkce f navíc spojitá a splňuje homogenní okrajové podmínky, je tato konvergence stejnoměrná.
D.: J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice, MU Brno 1995, str. 158–163.
Důkaz je v těchto skriptech proveden pro případ p ≡ 1.
Tvrzení jsou ilustrována příkladem B.2.1.1.
V případě periodických okrajových podmínek v příkladu B.2.1.2 mají vlastní čísla a příslušné vlastní funkce
všechny vlastnosti s výjimkou jednoduchosti vlastních čísel.
B.3 Řešení nehomogenní okrajové úlohy
B.3.1 Nehomogenní rovnice s homogenními Newtonovými podmínkami —
Fourierova metoda
Ly(x) ≡ − p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = f(x) , x ∈ (0, ℓ) ,
α0y(0) + β0y′
(0) = 0 = α1y(ℓ) + β1y′
(ℓ) .
• Najdeme posloupnost vlastních čísel {λn}∞
n=1 a ortogonální posloupnost příslušných vlastních funkcí
{vn}∞
n=1 Sturmovy-Liouvilleovy úlohy, tj. rostoucí posloupnost čísel {λn}∞
n=1 a posloupnost funkcí {vn}∞
n=1,
které splňují:
Lvn(x) = λnvn(x) ,
α0vn(0) + β0v′
n(0) = 0 = α1vn(ℓ) + β1v′
n(ℓ) .
• Funkci f vyjádříme ve tvaru
f(x) =
∞
n=1
dnvn(x) , kde dn =
1
||vn||
2
l
0
f(ξ)vn(ξ)dξ .
• Řešení úlohy hledáme ve tvaru
y(x) =
∞
n=1
cnvn(x) .
Musí tedy platit
Ly(x) = L
∞
n=1
cnvn(x) =
∞
n=1
cnLvn(x) =
∞
n=1
cnλnvn(x) ,
takže
∞
n=1
cnλnvn(x) =
∞
n=1
dnvn(x) ,
z čehož plyne
cn =
dn
λn
, n = 1, 2, . . . ,
117
pokud všechna vlastní čísla jsou nenulová.
Hledané řešení tedy je
y(x) =
∞
n=1
vn(x)
λn ||vn||
2
ℓ
0
f(ξ)vn(ξ)dξ =
ℓ
0
f(ξ)
∞
n=1
vn(ξ)vn(x)
λn ||vn||
2 dξ .
Označíme-li
G(x, ξ) =
∞
n=1
vn(ξ)vn(x)
λn ||vn||
2 ,
lze řešení zapsat
y(x) =
ℓ
0
f(ξ)G(x, ξ)dξ .
B.3.2 Nehomogenní rovnice s homogenními Newtonovými podmínkami —
metoda variace konstant
Ly(x) ≡ − p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = f(x) , x ∈ (0, ℓ) ,
α0y(0) + β0y′
(0) = 0 = α1y(ℓ) + β1y′
(ℓ) .
• Najdeme řešení u, v dvou pomocných homogenních úloh
Lu = − (pu′
)
′
+ qu = 0 , α0u(0) + β0u′
(0) = 0 ,
Lv = − (pv′
)
′
+ qv = 0 , α1v(ℓ) + β1v′
(ℓ) = 0 .
Funkce u, v nejsou určeny jednoznačně. Vezmeme ty, které jsou lineárně nezávislé.
• Pro Wronskián W(x) = u(x)v′
(x) − u′
(x)v(x) funkcí u, v platí p(x)W(x) ≡ K, kde K je nenulová
konstanta, neboť
(pW)′
= p(uv′
− u′
v)
′
= p′
uv′
+ pu′
v′
+ puv′′
− p′
u′
v − pu′′
v − pu′
v′
=
= (pv′′
+ p′
v′
)u − (pu′′
+ p′
u′
)v = (pv′
)
′
u − (pu′
)
′
v = qvu − quv = 0 ,
kdyby K = 0, pak by W ≡ 0, což by byl spor s lineární nezávislostí.
• Řešení nehomogenní úlohy hledáme metodou variace konstant, tedy ve tvaru
y(x) = c1(x)u(x) + c2(x)v(x) .
Funkce y má být řešením dané nehomogenní rovnice, takže musí platit
f = L(c1u + c2v) = − p(c1u)′ ′
+ qc1u − p(c2v)′ ′
+ qc2v =
= −p (c′′
1 u + 2c′
1u′
+ c1u′′
) − p′
(c′
1u + c1u′
) + qc1u −
−p (c′′
2 v + 2c′
2v′
+ c2v′′
) − p′
(c′
2v + c2v′
) + qc2v =
= c1 (−pu′′
− p′
u′
+ qu) − pc′
1u′
− p (c′′
1 u + c′
1u′
) − p′
c′
1u +
c2 (−pv′′
− p′
v′
+ qv) − pc′
2v′
− p (c′′
2 v + c′
2v′
) − p′
c′
2v =
= c1Lu − pc′
1u′
− p(c′
1u)
′
+ c2Lv − pc′
2v′
− p(c′
2v)
′
=
= −p(c′
1u′
+ c′
2v′
) − p(c′
1u + c′
2v)
′
.
Tato rovnost bude splněna zejména tehdy, když funkce c1, c2 splňují soustavu rovnic
c′
1(x)u(x) + c′
2(x)v(x) = 0 , (B.2)
c′
1(x)u′
(x) + c′
2(x)v′
(x) = −
f(x)
p(x)
.
118
Platí tedy
c′
1(x) =
1
W(x)
0 v(x)
−f(x)
p(x) v′
(x)
=
f(x)v(x)
K
, c′
2(x) =
1
W(x)
u(x) 0
u′
(x) −f(x)
p(x)
= −
f(x)u(x)
K
.
(B.3)
• Funkce y(x) má splňovat okrajové podmínky, tj.
α0 [c1(0)u(0) + c2(0)v(0)] + β0 [c′
1(0)u(0) + c1(0)u′
(0) + c′
2(0)v(0) + c2(0)v′
(0)] = 0 ,
α1 [c1(ℓ)u(ℓ) + c2(ℓ)v(ℓ)] + β1 [c′
1(ℓ)u(ℓ) + c1(ℓ)u′
(ℓ) + c′
2(ℓ)v(ℓ) + c2(ℓ)v′
(ℓ)] = 0 ,
po úpravě s využitím (B.2)
c1(0) α0u(0) + β0u′
(0) + c2(0) α0v(0) + β0v′
(0) = 0 ,
c1(ℓ) α1u(ℓ) + β1u′
(ℓ) + c2(ℓ) α1v(ℓ) + β1v′
(ℓ) = 0 ;
každá z funkcí splňuje jednu okrajovou podmínku, tedy
c2(0) α0v(0) + β0v′
(0) = 0 ,
c1(ℓ) α1u(ℓ) + β1u′
(ℓ) = 0 ,
takže
c1(ℓ) = 0 , c2(0) = 0 . (B.4)
• Funkce c1, c2 jsou řešením rovnic (B.3) s počátečními podmínkami (B.4) a jsou tedy dány výrazy
c1(x) =
1
K
x
ℓ
f(ξ)v(ξ)dξ , c2(x) = −
1
K
x
0
f(ξ)u(ξ)dξ .
• Řešení úlohy je
y(x) = −
u(x)
K
ℓ
x
f(ξ)v(ξ)dξ −
v(x)
K
x
0
f(ξ)u(ξ)dξ .
Označíme-li
G(x, ξ) =



−
u(x)v(ξ)
K
, 0 ≤ x < ξ ≤ ℓ
−
v(x)u(ξ)
K
, 0 ≤ ξ < x ≤ ℓ
,
lze řešení zapsat
y(x) =
ℓ
0
f(ξ)G(x, ξ)dξ .
B.3.3 Greenova funkce
Funkci G : [0, ℓ] × [0, ℓ] → R nazveme Greenovou funkcí homogenní okrajové úlohy
Ly(x) ≡ − p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = 0 , x ∈ (0, ℓ) ,
α0y(0) + β0y′
(0) = 0 = α1y(ℓ) + β1y′
(ℓ) .
kde p(x) > 0 pro x ∈ [0, l], jestliže
(i) G je spojitá pro x ∈ [0, ℓ] × [0, ℓ],
(ii) G je symetrická, tj. G(x, ξ) = G(ξ, x),
119
(iii) pro každé ξ ∈ [0, ℓ] má funkce G(·, ξ) spojité derivace druhého řádu,
(iv) pro každé ξ ∈ [0, ℓ] je funkce G(·, ξ) řešením uvažované okrajové úlohy,
(v) lim
x→ξ+
Gx(x, ξ) − lim
x→ξ−
Gx(x, ξ) = −
1
p(ξ)
pro ξ ∈ (0, ℓ).
Platí: Má-li uvažovaná homogenní okrajová úloha jen triviální řešení y ≡ 0 a jsou-li p ∈ C1
(0, ℓ), q ∈ C2
(0, ℓ),
existuje právě jedna její Greenova funkce. Nehomogenní okrajová úloha
Ly(x) ≡ − p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = f(x) , x ∈ (0, ℓ) ,
α0y(0) + β0y′
(0) = 0 = α1y(ℓ) + β1y′
(ℓ) .
má pak jediné řešení tvaru
y(x) =
ℓ
0
f(ξ)G(x, ξ)dξ .
D.: I. Kiguradze: Okrajové úlohy pro systémy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic, MU Brno 1997,
str. 82. Důkaz je proveden pro mnohem obecnější situaci.
B.3.4 Úloha s nehomogenními okrajovými podmínkami
Ly(x) ≡ − p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = f(x) , x ∈ (0, ℓ) ,
α0y(0) + β0y′
(0) = y0 , α1y(ℓ) + β1y′
(ℓ) = y1 .
Jestliže funkce w = w(x) splňuje okrajové podmínky
α0w(0) + β0w′
(0) = y0 , α1w(ℓ) + β1w′
(ℓ) = y1
a funkce u = u(x) je řešením úlohy
Lu(x) = f(x) − Lw(x)
s homogenními okrajovými podmínkami
α0u(0) + β0u′
(0) = 0 = α1u(ℓ) + β1u′
(ℓ) ,
pak funkce
y(x) = u(x) + w(x)
je řešením uvažované úlohy.
Funkci w je vhodné volit v co nejjednodušším tvaru, například polynom.
Cvičení
Řešte okrajové úlohy
1) −y′′
−
2
x
y′
= 0, x ∈ (0, 1); y(1) = y0, y je omezená pro x → 0+.
2) − x2
y′ ′
= 0, x ∈ (1, ∞); y(1) = y0, lim
x→∞
y(x) = 0.
3) − (xy′
)
′
= 0, x ∈ (1, ∞); y(1) = y0, y je omezená pro x → ∞.
4) −xy′′
− y′
= 0, x ∈ (1, 2); y(1) = y1, y(2) = 0.
5) −x2
y′′
− xy′
+ k2
y = 0, x ∈ (0, ℓ); y(ℓ) = 1, y je omezená pro x → 0+; k je parametr.
6) −xy′′
− y′
= −x, x ∈ (0, ℓ); y(0) = y(ℓ) = 0.
7) −y′′
= sin x, x ∈ (0, 2π); y′
(0) = y′
(2π) = 0.
Najděte vlastní funkce okrajových úloh a vlastní čísla příslušných operátorů
8) −v′′
= λv, x ∈ (0, ℓ); v′
(0) = v′
(ℓ) = 0.
9) −v′′
= λv, x ∈ R; v(x) = v(x + 2π).
10) −v′′
+ qv = λv, x ∈ (0, ℓ); v′
(0) = 0, v(ℓ) = 0; q je parametr.
120
Řešte okrajové úlohy
11) −y′′
− ω2
y = f(x), x ∈ (0, ℓ); y(0) = y(ℓ) = 0; ω je parametr.
12) −y′′
− 3y =
π − x
2
, x ∈ (0, π); y(0) = y(π) = 0.
13) Najděte Greenovu funkci úlohy −y′′
+ y = 0, y(0) = y(1) = 0.
Výsledky: 1) y(x) = y0 2) y(x) = y0
x 3) y(x) = y0 4) y(x) = y1
ln 2−ln x
ln 2 5) y(x) = x
ℓ
|k|
6) nemá řešení
7) y(x) = sin x − x + C, C je libovolná konstanta 8) λn = nπ
ℓ
2
, vn(x) = cos nπ
ℓ x, n = 0, 1, 2, . . . 9) λn = n2
,
vn(x) = Cn cos nx+Dn sin nx, Cn, Dn jsou libovolné konstanty, C0 = 0, n = 0, 1, 2, . . . 10) λn = q+ (2n+1)π
2ℓ
2
,
vn(x) = cos (2n+1)π
2ℓ x. 11) y(x) = B sin kπ
ℓ x + 1
ω
x
0
f(ξ) sin kπ
l (ξ − x)dξ pro ωℓ
π = k ∈ N a
ℓ
0
f(ξ) sin kπ
ℓ ξdξ = 0,
B je libovolná konstanta;
y(x) = 1
ω
x
0
f(ξ) sin ω(ξ − x)dξ − sin ωx
ω sin ωℓ
ℓ
0
f(ξ) sin ω(ξ − x)dξ = 2ℓ
x
0
f(ξ)
∞
k=1
sin kπ
ℓ ξ sin kπ
ℓ x
k2π2−ω2ℓ2 dξ pro ωℓ
π ∈ N
12) y(x) =
∞
k=1
sin kx
k(k2−3) = π
6 cos
√
3x − cotg
√
3π sin
√
3x +1
6 (x−π) 13) G(x, ξ) =
sinh(1−x) sinh ξ
sinh 1 , 0 ≤ ξ ≤ x ≤ 1
sinh x sinh(1−ξ)
sinh 1 , 0 ≤ x < ξ ≤ 1
121
122
Dodatek C
Speciální funkce
C.1 Legendreovy polynomy
C.1.1 Definice
Legendreův polynom stupně n ∈ N ∪ {0} je pro každé x ∈ R definován vztahem
Pn(x) =
1
2nn!
dn
dxn
(x2
− 1)n
.
Zejména
P0(x) = 1 P2(x) = 1
2 (3x2
− 1) P4(x) = 1
8 (35x4
− 30x2
+ 3)
P1(x) = x P3(x) = 1
2 (5x3
− 3x) P5(x) = 1
8 (63x5
− 70x3
+ 15x)
Poněvadž
(x2
− 1)n
=
n
k=0
n
k
(−1)k
x2(n−k)
=
n
k=0
(−1)k
n!
k!(n − k)!
x2n−2k
= n!
n
k=0
(−1)k
k!(n − k)!
x2n−2k
,
platí
Pn(x) =
1
2n
dn
dxn
n
k=0
(−1)k
k!(n − k)!
x2n−2k
.
Tedy pro m ∈ N je
P2m =
d2m
dx2m
2m
k=0
(−1)k
22mk!(2m − k)!
x4m−2k
=
d2m−1
dx2m−1
2m
k=0
(−1)k
(4m − 2k)
22mk!(2m − k)!
x4m−2k−1
=
=
d2m−1
dx2m−1
2m−1
k=0
(−1)k
(4m − 2k)
22mk!(2m − k)!
x4m−2k−1
=
=
d2m−2
dx2m−2
2m−1
k=0
(−1)k
(4m − 2k)(4m − 2k − 1)
22mk!(2m − k)!
x4m−2k−2
=
=
d2m−2
dx2m−2
2m−1
k=0
(−1)k
(4m − 2k)!
22mk!(2m − k)!(4m − 2k − 2)!
x4m−2k−2
= · · · =
=
m
k=0
(−1)k
(4m − 2k)!
22mk!(2m − k)!(2m − 2k)!
x2(m−k)
,
analogicky
P2m−1 =
m−1
k=0
(−1)k
(4m − 2k − 2)!
22m−1k!(2m − k − 1)!(2m − 2k − 1)!
x2(m−k)−1
,
123
souhrnně
Pn =
[n
2 ]
k=0
(−1)k
(2n − 2k)!
2nk!(n − k)!(n − 2k)!
xn−2k
. (C.1)
C.1.2 Rekurentní vztahy pro Legendreovy polynomy
Pomocí (C.1) lze odvodit:
Pn+1(x) =
2n + 1
n + 1
xPn(x) −
n
n + 1
Pn−1(x) , n = 1, 2, . . . (C.2)
P′
n(x) =
n
1 − x2
Pn−1(x) − xPn(x) , n = 1, 2, . . . . (C.3)
C.1.3 Věta
Legendreův polynom Pn je pro každé n ∈ N ∪ {0} řešením diferenciální rovnice
(1 − x2
)y′′
(x) − 2xy′
(x) + n(n + 1)y(x) = 0 (C.4)
s podmínkou y(1) = 1.
D.: Pro n = 0 je tvrzení zřejmé. Nechť tedy n > 0.
Položme η(x) =
1
2nn!
(x2
− 1)n
. Pak η′
(x) =
2xn(x2
− 1)n−1
2nn!
, takže (x2
− 1)η′
(x) = 2xnη(x). Derivujme
tuto rovnost (n + 1)-krát (s využitím Leibnizovy formule):
(x2
− 1)η(n+2)
(x) + (n + 1)2xη(n+1)
(x) +
n(n + 1)
2
2η(n)
(x) = 2n xη(n+1)
(x) + (n + 1)η(n)
(x) ,
(x2
− 1)η(n+2)
(x) + 2xη(n+1)
(x) − n(n + 1)η(n)
(x) = 0 ,
a poněvadž η(n)
(x) = Pn(x), vidíme, že Pn(x) je řešením uvedené rovnice.
Přímým výpočtem ověříme, že P0(1) = P1(1) = 1. Odtud a z rekurentní formule (C.2) úplnou indukcí
plyne, že Pn(1) = 1 pro každé n ∈ N ∪ {0}.
Rovnici z tvrzení věty lze také zapsat ve tvaru
(1 − x2
)y′
(x)
′
+ n(n + 1)y(x) = 0 . (C.5)
C.1.4 Věta (Orthogonalita Legendreových polynomů)
Pro Legendreovy polynomy platí
1
−1
Pn(x)Pm(x)dx =



0, m = n,
2
2n + 1
, m = n.
D.: Buďte n, m ∈ N ∪ {0}. Rovnici (C.5) jednou napíšeme pro y(x) = Pm(x) a vynásobíme Pn(x), podruhé ji
napíšeme pro y(x) = Pn(x) a vynásobíme Pm(x):
(1 − x2
)P′
m(x)
′
Pn(x) + m(m + 1)Pm(x)Pn(x) = 0 ,
(1 − x2
)P′
n(x)
′
Pm(x) + n(n + 1)Pn(x)Pm(x) = 0 .
Tyto rovnice odečteme, upravíme a zintegrujeme v mezích od −1 do 1. Dostaneme
(1 − x2
)P′
m(x)
′
Pn(x) − (1 − x2
)P′
n(x)
′
Pm(x) + m(m + 1) − n(n + 1) Pn(x)Pm(x) = 0 ,
(1 − x2
) P′
m(x)Pn(x) − Pm(x)P′
n(x)
′
+ (m − n)(m + n + 1)Pn(x)Pm(x) = 0 ,
(1 − x2
) P′
m(x)Pn(x) − Pm(x)P′
n(x)
1
−1
+ (m − n)(m + n + 1)
1
−1
Pn(x)Pm(x)dx = 0 ,
124
a poněvadž první sčítanec se rovná nule, platí pro m = n
1
−1
Pn(x)Pm(x)dx = 0 .
Pro výpočet ||Pn||
2
=
1
−1
(Pn(x))2
dx použijeme n-krát metodu per partes. Pro zjednodušení zápisu označíme
Q(x) = (x2
− 1)n
a uvědomíme si, že 1 a −1 jsou 2n-násobné kořeny polynomu Q.
1
−1
(Pn(x))2
dx =
1
2nn!
2
1
−1
Q(n)
(x)Q(n)
(x)dx =
=
1
2nn!
2

 Q(n−1)
(x)Q(n)
(x)
1
−1
−
1
−1
Q(n+1)
(x)Q(n−1)
(x)dx

 =
= −
1
2nn!
2
1
−1
Q(n+1)
(x)Q(n−1)
(x)dx = · · · = (−1)n 1
2nn!
2
1
−1
Q(2n)
(x)Q(x)dx =
= (−1)n 1
2nn!
2
1
−1
(2n)!(x2
− 1)n
dx = (−1)n (2n)!
22n(n!)2
1
−1
(x + 1)n
(x − 1)n
dx .
Pro výpočet integrálu
1
−1
(x + 1)n
(x − 1)n
dx opět použijeme n-krát metodu per partes:
1
−1
(x + 1)n
(x − 1)n
dx = (x + 1)n (x − 1)n+1
n + 1
1
−1
−
1
−1
n(x + 1)n−1 (x − 1)n+1
n + 1
dx =
= −
n
n + 1
1
−1
(x + 1)n−1
(x − 1)n+1
dx =
= −
n
n + 1

 (x + 1)n−1 (x − 1)n+2
n + 2
1
−1
−
n − 1
n + 2
1
−1
(x + 1)n−2
(x − 1)n+2
dx

 =
=
n(n − 1)
(n + 1)(n + 2)
1
−1
(x + 1)n−2
(x − 1)n+2
dx = · · · =
n(n − 1) · · · 1
(n + 1)(n + 2) · · · (2n)
(−1)n
1
−1
(x − 1)2n
dx =
=
(n!)2
(2n)!
(−1)n (x − 1)2n+1
2n + 1
1
−1
= −
(n!)2
(2n)!
(−1)n (−2)2n+1
2n + 1
= (−1)n (n!)2
22n+1
(2n)!(2n + 1)
Celkem tedy
1
−1
Pn(x)
2
dx = (−1)n (2n)!
22n(n!)2
(−1)n (n!)2
22n+1
(2n)!(2n + 1)
=
2
2n + 1
.
C.1.5 Věta
Legendreovy polynomy Pn jsou vlastními funkcemi homogenní okrajové úlohy
− (1 − x2
)y′
(x)
′
= λy(x), y(x) je omezená pro x → 1 − a pro x → −1+ (C.6)
příslušné k vlastním číslům λ = n(n + 1), n = 0, 1, 2, . . .. Jiná vlastní čísla tato úloha nemá.
125
D.: Řešení rovnice budeme hledat Frobeniovou metodou (tj. budeme řešení předpokládat ve tvaru mocninné
řady). Máme
y(x) =
∞
n=0
anxn
,
y′
(x) =
∞
n=1
nanxn−1
=
∞
n=0
(n + 1)an+1xn
,
(1 − x2
)y′
(x) =
∞
n=0
(n + 1)an+1xn
−
∞
n=0
(n + 1)an+1xn+2
=
=
∞
n=0
(n + 1)an+1xn
−
∞
n=2
(n − 1)an−1xn
= a1 + 2a2x +
∞
n=2
(n + 1)an+1 − (n − 1)an−1 xn
,
− (1 − x2
)y′
(x)
′
= −2a2 −
∞
n=2
n (n + 1)an+1 − (n − 1)an−1 xn−1
=
= −2a2 −
∞
n=1
(n + 1) nan − (n + 2)an+2 xn
=
∞
n=0
(n + 1) nan − (n + 2)an+2 xn
.
Tedy
∞
n=0
(n + 1) nan − (n + 2)an+2 xn
=
∞
n=0
λanxn
.
Odtud plyne λan = (n + 1)nan − (n + 1)(n + 2)an+2, takže
an+2 =
n(n + 1) − λ
(n + 1)(n + 2)
an. (C.7)
Fundamentální systém řešení rovnice (C.6) bude dán mocninnou řadou s a0 = 1 a a1 = 0 a řadou s a0 = 0
a a1 = 1, tedy
y1(x) =
∞
k=0
bkx2k+1
, kde b0 = 1, bk+1 =
(2k + 1)(2k + 2) − λ
(2k + 2)(2k + 3)
bk,
y2(x) =
∞
k=0
ckx2k
, kde c0 = 1, ck+1 =
2k(2k + 1) − λ
(2k + 1)(2k + 2)
ck.
Pokud λ = n(n+1) pro nějaké n ∈ N∪{0}, je právě jedna z funkcí y1, y2 polynomem, druhá je vyjádřena
nekonečnou řadou. Pokud λ = n(n+1) pro všechna n ∈ N∪{0}, jsou obě funkce y1, y2 dány nekonečnými
řadami. Vyšetříme konvergenci těchto řad. Poněvadž
lim
k→∞
bk+1x2k+3
bkx2k+1
= x2
lim
k→∞
(2k + 1)(2k + 2) − λ
(2k + 2)(2k + 3)
= x2
,
lim
k→∞
ck+1x2k+2
ckx2k
= x2
lim
k→∞
2k(2k + 1) − λ
(2k + 1)(2k + 2)
= x2
,
řady konvergují absolutně a stejnoměrně pro |x| < 1 podle limitního podílového kriteria a divergují pro
|x| > 1.
Dále platí
lim
x→1+
y1(x) =
∞
k=0
bk, lim
x→−1−
y1(x) = −
∞
k=0
bk, lim
x→1+
y2(x) = lim
x→−1−
y1(x) =
∞
k=0
ck.
126
Poněvadž členy posloupností {bk} a {ck} od jistého indexu nemění znaménko, lze k vyšetřování konvergence
řad
∞
k=0
bk,
∞
k=0
ck použít Gaussovo kriterium1
. Jest
bk
bk+1
=
(2k + 2)(2k + 3)
(2k + 1)(2k + 2) − λ
= 1 +
1
k
+
1
k2
(λ − 2)(k + 1)
(2k + 1)(2k + 2) − λ
,
ck
ck+1
=
(2k + 1)(2k + 2)
2k(2k + 1) − λ
= 1 +
1
k
+
1
k2
λk(k + 1)
2k(2k + 1) − λ
,
takže obě řady divergují. Libovolná lineární kombinace αy1 + βy2 funkcí y1, y2 s koeficienty takovými, že
|α| + |β| > 0 je tedy v příslušném jednostranném okolí alespoň jednoho z bodů 1, −1 neohraničená.
Jediná vlastní čísla uvažované úlohy tedy jsou λ = n(n + 1) pro n ∈ N ∪ {0} a příslušné vlastní funkce
jsou polynomy.
C.1.6 Přidružené funkce k Legendreovým polynomům
Přidružené funkce P
[m]
n jsou definovány jako řešeni rovnice
(1 − x2
)z′′
− 2xz′
+ n(n + 1) −
m2
1 − x2
z = 0, (C.8)
neboli
d
dx
(1 − x2
)
dz
dx
+ n(n + 1) −
m2
1 − x2
z = 0,
která jsou ohraničená na intervalu (−1, 1).
V této rovnici zavedeme novou neznámou funkci Y vztahem
z = (1 − x2
)
m
2 Y (x).
Pak
z′
= −
m
2
(1 − x2
)
m
2 −1
2xY + (1 − x2
)
m
2 Y ′
= (1 − x2
)
m
2 −1
(1 − x2
)Y ′
− mxY ,
(1 − x2
)z′ ′
= (1 − x2
)
m
2 (1 − x2
)Y ′
− mxY
′
=
= −mx(1 − x2
)
m
2 −1
(1 − x2
)Y ′
− mxY + (1 − x2
)
m
2 (1 − x2
)Y ′′
− 2xY ′
− mxY ′
− mY =
= (1 − x2
)
m
2 −1
(1 − x2
)2
Y ′′
− 2(m + 1)x(1 − x2
)Y ′
+ m2
x2
− m(1 − x2
) Y .
Tyto výrazy dosadíme do rovnice (C.8) a postupně upravujeme,
(1 + x2
)
m
2 −1
(1 − x2
)2
Y ′′
− 2(m + 1)x(1 − x2
)Y ′
+ m2
x2
− m(1 − x2
) Y + n(n + 1)(1 + x2
)Y − m2
Y = 0
(1 − x2
)2
Y ′′
− 2(m + 1)x(1 − x2
)Y ′
+ m2
x2
− m(1 − x2
) + n(n + 1)(1 − x2
) − m2
Y = 0.
Rovnice (C.8) se tedy transformuje na rovnici
(1 − x2
)Y ′′
− 2(m + 1)xY ′
+ n(n + 1) − m(m + 1) Y = 0. (C.9)
1Gaussovo kriterium konvergence řady
∞
n=0
an s nezápornými členy:
Nechť existuje ε > 0 a ohraničená posloupnost {Θn}∞
n=1 takové že
an
an+1
= λ +
µ
n
+
1
n1+ε
Θn.
Je-li λ > 1, pak řada
∞
n=1
an konverguje.
Je-li λ < 1, pak řada
∞
n=1
an diverguje.
Je-li λ = 1 a µ > 1, pak řada
∞
n=1
an konverguje.
Je-li λ = 1 a µ ≤ 1, pak řada
∞
n=1
an diverguje.
127
Nyní budeme postupně derivovat levou stranu Legendreovy rovnice (C.4):
d
dx
(1 − x2
)y′′
− 2xy′
+ n(n + 1)y = (1 − x2
)y′′′
− 2xy′′
− 2xy′′
− 2y′
+ n(n + 1)y′
=
= (1 − x2
)y′′′
− 4xy′′
+ n(n + 1) − 2 y′
,
d
dx
(1 − x2
)y′′′
− 4xy′′
+ n(n + 1) − 2 y′
= (1 − x2
)y′′′′
− 2 · 3xy′′′
+ n(n + 1) − 2 · 3 y′′
atd. Obecně pro přirozené číslo k dostaneme
dk
dxk
(1 − x2
)y′′
− 2xy′
+ n(n + 1)y = (1 − x2
)y(k+2)
− 2(k + 1)xy(k+1)
+ n(n + 1) − k(k + 1) y(k)
;
tento výsledek lze ověřit úplnou indukcí. Derivujeme-li tedy m-krát Legendreovu rovnici (C.4), dostaneme
(1 − x2
)y(m+2)
− 2(m + 1)xy(m+1)
+ n(n + 1) − m(m + 1) y(m)
= 0.
Porovnáním s rovnicí (C.9) vidíme, že řešení Y rovnice (C.9) je m-krát zderivované řešení Legendreovy rovnice
(C.4), tj.
Y (x) =
dm
dxn
Pn(x),
kde Pn(x) je Legendreův polynom stupně n. Přidružené funkce jsou tedy dány výrazem
P[m]
n (x) = (1 − x2
)
m
2
dm
dxm
Pn(x).
Platí věta analogická k větě C.1.5: Rovnice
(1 − x2
)z′′
− 2xz′
+ λ −
m2
1 − x2
z = 0
má řešení ohraničené v intervalu (−1, 1) právě tehdy, když λ = n(n + 1) pro nějaké n = 0, 1, 2, . . .. Tato řešení
jsou přidružené funkce P
[m]
n .
C.2 Čebyševovy-Laguerreovy polynomy
C.2.1 Definice
Čebyševův-Laguerreův polynom stupně n ∈ N ∪ {0} je pro každé x > 0 definován vztahem
Ln(x) =
ex
n!
dn
dxn
e−x
xn
.
Zejména
L0(x) = 1 L2(x) = 1
2 x2
− 2x + 1 L4(x) = 1
24 x4
− 2
3 x3
+ 3x2
− 4x + 1
L1(x) = −x + 1 L3(x) = −1
6 x3
+ 3
2 x2
− 3x + 1 L5(x) = − 1
120 x5
+ 5
24 x4
− 5
3 x3
+ 5x2
− 5x + 1
C.2.2 Explicitní vyjádření Čebyševova-Laguerreova polynomu
Nechť Ln(x) =
n
k=0
ankxk
. S využitím Leibnizovy formule dostaneme
Ln(x) =
ex
n!
n
k=0
n
k
dk
dxk
e−x dn−k
dxn−k
xn
=
ex
n!
n
k=0
n
k
(−1)k
e−x n!
k!
xk
=
n
k=0
(−1)k n
k
xk
k!
, (C.10)
takže
ank =
(−1)k
k!
n
k
.
128
Odtud dostaneme
an(k+1)
ank
= −
k!
(k + 1)!
n
k + 1
n
k
= −
k!n!k!(n − k)!
(k + 1)!n!(k + 1)!(n − k − 1)!
=
k − n
(k + 1)2
,
tedy
an(k+1) =
k − n
(k + 1)2
ank , k = 0, 1, 2, . . ., n − 1, an0 =
n
0
= 1 .
C.2.3 Rekurentní vztahy pro Čebyševovy-Laguerreovy polynomy
S využitím (C.10) dostaneme
nLn(x) =
n
k=1
(−1)k n
k
n
k!
xk
+ n ,
xL′
n(x) = x
n
k=0
(−1)k n
k
k
k!
xk−1
=
n
k=1
(−1)k n
k
1
(k − 1)!
xk
,
tedy
nLn(x) − xL′
n(x) = n +
n
k=1
(−1)k n
k
1
(k − 1)!
n
k
− 1 xk
= n +
n−1
k=1
(−1)k n
k
n − k
k!
xk
=
=
n−1
k=0
(−1)k n
k
n − k
k!
xk
=
n−1
k=0
(−1)k n!
k!(n − k)!
n − k
k!
xk
=
= n
n−1
k=0
(−1)k (n − 1)!
k!(n − k − 1)!
xk
k!
= nLn−1(x) .
Odtud dostaneme vyjádření derivace Čebyševova-Laguerreova polynomu pomocí tohoto polynomu a polynomu
nižšího stupně:
L′
n(x) =
n
x
Ln(x) − Ln−1(x) . (C.11)
S využitím (C.10) také dostaneme
L′
n(x) − L′
n−1(x) =
n−1
k=1
(−1)k n
k
−
n − 1
k
xk−1
(k − 1)!
+ (−1)n xn−1
(n − 1)!
=
=
n−1
k=1
(−1)k (n − 1)!
k!(n − k − 1)!
n
n − k
− 1
xk−1
(k − 1)!
+ (−1)n xn−1
(n − 1)!
=
=
n−1
k=1
(−1)k (n − 1)!
(k − 1)!(n − k)!
xk−1
(k − 1)!
+ (−1)n xn−1
(n − 1)!
=
=
n−1
k=0
(−1)k+1 (n − 1)!
k!(n − k − 1)!
xk
k!
= −
n−1
k=0
(−1)k n − 1
k
xk
k!
= −Ln−1(x) .
Máme tedy další rekurentní formuli
L′
n(x) − L′
n−1(x) + Ln−1(x) = 0 . (C.12)
Z formulí (C.11) a (C.12) dostaneme
n
x
Ln(x) − Ln−1(x) = L′
n−1(x) − Ln−1(x) ,
129
tedy
Ln(x) = 1 −
x
n
Ln−1(x) +
x
n
L′
n−1(x) , (C.13)
což je formule pro výpočet Čebyševova-Laguerreova polynomu pomocí Čebyševova-Laguerreova polynomu stupně
nižšího a jeho derivace. Napíšeme-li tuto formuli pro n+1 místo pro n a za L′
n dosadíme z (C.11), dostaneme
Ln+1(x) = 1 −
x
n + 1
Ln(x) +
x
n + 1
n
x
Ln(x) − Ln−1(x) .
Tuto rovnici upravíme na tvar
(n + 1)Ln+1(x) = (2n + 1 − x)Ln(x) − nLn−1(x) .
Tento vzorec lze použít k postupnému výpočtu Čebyševových-Laguerreových polynomů z prvních dvou
L0(x) = 1, L1(x) = 1 − x.
C.2.4 Diferenciální rovnice pro Čebyševovy-Laguerreovy polynomy
Derivováním rovnice (C.11) dostaneme
L′′
n(x) = −
n
x2
Ln(x) − Ln−1(x) +
n
x
L′
n(x) − L′
n−1(x) .
Do této rovnice dosadíme z (C.12) za výraz L′
n(x) − L′
n−1(x) a upravíme:
xL′′
n(x) = −
n
x
Ln(x) − Ln−1(x) − nLn−1(x) ,
xL′′
n(x) = −
n
x
Ln(x) +
n
x
− n Ln−1(x) .
Za výraz Ln−1(x) v poslední rovnici dosadíme z (C.11) a dostaneme
xL′′
n(x) = −
n
x
Ln(x) +
n(1 − x)
x
−
x
n
L′
n(x) + Ln(x) ,
po úpravě
xL′′
n(x) = (x − 1)L′
n(x) − nLn(x) .
To znamená, že Čebyševovy-Laguerreovy polynomy Ln jsou řešením diferenciální rovnice
xy′′
(x) + (1 − x)y′
(x) + ny(x) = 0,
nebo v samoadjungovaném tvaru
xe−x
y′ ′
+ ne−x
y = 0.
Čebyševovy-Laguerreovy polynomy jsou řešením této rovnice s okrajovými podmínkami
y(0) = 1, lim
x→∞
e−x
y(x) = 0.
C.2.5 Věta (Orthonormalita Čebyševových-Laguerrových polynomů)
Pro Čebyševovy-Laguerreovy polynomy platí
∞
0
Lm(x)Ln(x)e−x
dx =
1, m = n
0, m = n
.
130
D.: Pro každé 0 < l < n platí
dn−l
dxn−l
e−x
xn
=
dn−l
dxn−l
∞
k=0
(−1)k
k!
xk+n
=
∞
k=0
(−1)k
k!
(k + n)(k + n − 1) · · · (k + l + 1)xk+l
=
=
∞
k=0
(−1)k
k!
(k + n)!
(k + l)!
xk+l
,
takže
lim
x→0+
dn−l
dxn−l
e−x
xn
= 0 ; (C.14)
také platí
dn−l
dxn−l
(e−x
xn
) = P(x)e−x
, kde P(x) je nějaký polynom, takže
lim
x→∞
Lm(x)
dn−l
dxn−l
e−x
xn
= 0 (C.15)
pro každé m ∈ N.
Nechť pro určitost je m ≤ n. Uvažujme integrál
J =
∞
0
Lm(x)Ln(x)e−x
dx =
1
n!
∞
0
Lm(x)
dn
dxn
e−x
xn
dx .
K jeho výpočtu použijeme m krát metodu per partes a vztahy (C.14), (C.15):
J =
1
n!

 Lm(x)
dn−1
dxn−1
e−x
xn
∞
0
−
∞
0
L′
m(x)
dn−1
dxn−1
e−x
xn
dx

 =
= −
1
n!
∞
0
L′
m(x)
dn−1
dxn−1
e−x
xn
dx = · · · =
(−1)m
n!
∞
0
dm
dxm
Lm(x)
dn−m
dxn−m
e−x
xn
dx .
S využitím C.2.2 dostaneme
J =
(−1)m
n!
∞
0
(−1)m
m!
m
m
m!
dn−m
dxn−m
e−x
xn
dx =
1
n!
∞
0
dn−m
dxn−m
e−x
xn
dx .
Je-li m = n, pak podle C.4.2 je
J =
1
n!
∞
0
e−x
xn
dx =
1
n!
Γ(n + 1) =
1
n!
n! = 1 ,
Jeli m < n, pak podle (C.14) a (C.14) je
J =
1
n!
dn−m−1
dxn−m−1
e−x
xn
∞
0
= 0 .
Z věty plyne, že funkce
ψn(x) = e−x/2
Ln(x), n = 0, 1, 2, . . .
tvoří ortonormální posloupnost v prostoru L2
(0, ∞).
131
C.2.6 Zobecněné Čebyševovy-Laguerreovy polynomy
Zobecněný Čebyševův-Laguerreův polynom stupně n ∈ N ∪ {0} je pro všechna reálná x > 0 a s > −1 definován
vztahem
Qs
n(x) =
ex
n!
x−s dn
dxn
e−x
xn+s
.
Tyto polynomy jsou řešením diferenciální rovnice
xy′′
(x) + (s + 1 − x)y′
(x) + ny(x) = 0,
nebo v samoadjungovaném tvaru
xs+1
e−x
y′ ′
+ ne−x
xs
y = 0.
Zobecněné Čebyševovy-Laguerreovy polynomy splňují rekurentní formule
(n + 1)Qs
n+1(x) = (2n + s + 1 − x)Qs
n(x) − (n + s)Qs
n−1(x)
d
dx
Qs
n(x) =
1
x
nQs
n(x) − (n + s)Qs
n−1(x) ,
Qs+1
n (x) − Qs+1
n−1(x) = Qs
n(x) ,
d
dx
Qs
n(x) = −Qs+1
n−1(x)
a rovnici
∞
0
Qs
m(x)Qs
n(x)e−x
xs
dx =



Γ(n + s + 1)
n!
, m = n
0, m = n
;
přitom Γ(n + s + 1) =
∞
0
e−t
tn+s
dt, sr. C.4. Z poslední rovnice plyne, že funkce
Φs
n(x) = xs/2
e−x/2 n!
Γ(n + s + 1)
Qs
n(x), n = 0, 1, 2, . . .
tvoří ortonormální posloupnost v prostoru L2
(0, ∞).
Řešení rovnice xy′′
(x) + (s + 1 − x)y′
(x) + λy(x) = 0 v oboru polynomů
Řešení hledáme ve tvaru polynomu
y(x) = Q(x) =
∞
k=0
qkxk
, qk = 0 pro k > n
zatím neurčeného stupně n. Pak je
Q′
(x) =
∞
k=1
kqkxk−1
=
∞
k=0
(k + 1)qk+1xk
, xQ′
(x) =
∞
k=1
kqkxk
,
Q′′
(x) =
∞
k=2
k(k − 1)qkxk−2
, xQ′′
(x) =
∞
k=2
k(k − 1)qkxk−1
=
∞
k=1
k(k + 1)qk+1xk
.
Po dosazení do rovnice dostaneme
∞
k=1
k(k + 1)qk+1 + (s + 1)(k + 1)qk+1 − kqk + λqk xk
+ (s + 1)q1 + λq0 = 0
a odtud
q1 =
−λ
s + 1
q0, qk+1 =
k − λ
(k + 1)(k + s + 1)
qk, k = 1, 2, . . .
Rovnice má tedy řešení v oboru polynomů pouze pro λ = n ∈ {0, 1, 2, . . .}. Tento polynom je stupně n a je
určen jednoznačně až na aditivní konstantu q0.
132
C.3 Čebyševovy-Hermiteovy polynomy
C.3.1 Definice
Čebyševův-Hermiteův polynom stupně n ∈ N ∪ {0} je pro každé x ∈ R definován vztahem
Hn(x) = (−1)n
ex2 dn
dxn
e−x2
.
Zejména
H0(x) = 1 H2(x) = 4x2
− 2 H4(x) = 16x4
− 48x2
+ 12
H1(x) = 2x H3(x) = 8x3
− 12x H5(x) = 32x5
− 160x3
+ 120x
C.3.2 Rekurentní vztahy pro Čebyševovy-Hermiteovy polynomy
S využitím Leibnizovy formule pro výpočet vyšší derivace součinu funkcí dostaneme pro každé n ≥ 1
Hn+1(x) = (−1)n+1
ex2 dn+1
dxn+1
e−x2
= (−1)n+1
ex2 dn
dxn
−2xe−x2
= 2(−1)n
ex2 dn
dxn
xe−x2
=
= 2(−1)n
ex2
n
k=0
n
k
dk
dxk
x
dn−k
dxn−k
e−x2
= 2(−1)n
ex2 n
0
x
dn
dxn
e−x2
+
n
1
dn−1
dxn−1
e−x2
=
= 2x(−1)n
ex2 dn
dxn
e−x2
− 2n(−1)n−1
ex2 dn−1
dxn−1
e−x2
= 2xHn(x) − 2nHn−1(x) ,
tedy
Hn+1(x) − 2xHn(x) + 2nHn−1(x) = 0 . (C.16)
Této rovnice lze využít k postupnému výpočtu Čebyševových-Hermiteových polynomů pomocí prvních dvou.
Dále platí
H′
n(x) =
d
dx
(−1)n
ex2 dn
dxn
e−x2
= 2x(−1)n
ex2 dn
dxn
e−x2
− (−1)n+1
ex2 dn+1
dxn+1
e−x2
=
= 2xHn(x) − Hn+1(x).
Odtud s využitím (C.16) dostaneme
H′
n(x) = 2nHn−1(x) , (C.17)
tj. vyjádření derivace polynomu Hn pomocí polynomu nižšího stupně.
C.3.3 Diferenciální rovnice pro Čebyševovy-Hermiteovy polynomy
S využitím vztahů (C.17) a (C.16) dostaneme
H′′
n(x) = 2nHn−1(x)
′
= 2xHn(x) − Hn+1(x)
′
= 2Hn(x) + 2xH′
n(x) − H′
n+1(x) =
= 2Hn(x) + 2xH′
n(x) − 2(n + 1)Hn(x) = 2xH′
n(x) − 2nHn(x) .
Pro každé n ∈ N ∪ {0} je tedy Čebyševův-Hermiteův polynom Hn(x) řešením diferenciální rovnice
y′′
(x) − 2xy′
(x) + 2ny(x) = 0 , (C.18)
nebo v samoadjungovaném tvaru
e−x2
y′
′
+ 2ne−x2
y = 0 .
Poznamenejme ještě, že Čebyševův-Hermiteův polynom je řešením rovnice (C.18) s okrajovými podmínkami
lim
x→−∞
e−x2
y(x) = lim
x→∞
e−x2
y(x) = 0 .
133
C.3.4 Věta (Orthogonalita Čebyševových-Hermiteových polynomů)
Pro Čebyševovy-Hermiteovy polynomy platí
∞
−∞
Hm(x)Hn(x)e−x2
dx =
2n
n!
√
π, n = m
0, n = m
.
D.: Pro určitost budeme předpokládat, že m ≤ n. Označme
J =
∞
−∞
Hm(x)Hn(x)e−x2
dx = (−1)n
∞
−∞
Hm(x)
dn
dxn
e−x2
dx .
Pro výpočet tohoto integrálu použijeme m krát metodu per partes; přitom využijeme (C.17) a skutečnost,
že pro libovolný polynom P platí
lim
x→−∞
e−x2
P(x) = lim
x→∞
e−x2
P(x) = 0 .
J = (−1)n

 Hm(x)e−x2 ∞
−∞
−
∞
−∞
H′
m(x)
dn−1
dxn−1
e−x2
dx

 =
= (−1)n−1
2m
∞
−∞
Hm−1(x)
dn−1
dxn−1
e−x2
dx = (−1)n−2
2m2(m − 1)
∞
−∞
Hm−2(x)
dn−2
dxn−2
e−x2
dx =
= · · · = (−1)n−m
2m
m!
∞
−∞
dn−m
dxn−m
e−x2
dx .
Je-li m < n, pak
J = (−1)n−m
2m
m!
dn−m−1
dxn−m−1
e−x2
∞
−∞
= 0 ;
je-li m = n, pak podle (C.21) je
J = 2n
n!
∞
−∞
e−x2
dx = 2n
n!
√
π .
Z věty plyne, že funkce
ψn =
e−x2
/2
2nn!
√
π
Hn(x) , n = 0, 1, 2, . . .
tvoří ortonormální posloupnost v prostoru L2
(−∞, ∞).
C.3.5 Rekurentní vztahy pro koeficienty Čebyševových-Hermiteových polynomů
Hledáme řešení rovnice (C.18) ve tvaru mocninné řady y(x) =
∞
k=0
ankxk
.
Platí
2ny(x) =
∞
k=0
2nankxk
,
2xy′
(x) = 2x
∞
k=0
kankxk−1
=
∞
k=0
2kankxk
,
y′′
(x) =
∞
k=0
k(k − 1)ankxk−2
=
∞
k=2
k(k − 1)ankxk−2
=
∞
k=0
(k + 2)(k + 1)an(k+2)xk
.
134
Po dosazení do rovnice (C.18) dostaneme
∞
k=0
(k + 2)(k + 1)an(k+2) − 2kank + 2nank xk
= 0 ,
a tedy
an(k+2) =
2(n − k)
(k + 2)(k + 1)
ank , n = 0, 1, 2, . . ., n − 2.
C.4 Funkce Γ
C.4.1 Poznámky
1. Nevlastní integrál
∞
0
e−t
tx−1
dt absolutně konverguje pro každé x > 0.
D.: Je-li x ≥ 1, integrál
1
0
e−t
tx−1
dt není nevlastní.
Je-li x < 1, vezmeme δ ∈ (0, x). Pak lim
t→0+
t1−δ
e−t
tx−1
= lim
t→0+
e−t
tx−δ
= 0 a podle limitního
srovnávacího kriteria pro nevlastní integrály druhého druhu a vzhledem k tomu, že nevlastní integrál
1
0
t−k
dt konverguje pro k < 1, také nevlastní integrál
1
0
e−t
tx−1
dt konverguje.
Dále je
lim
t→∞
(x + 1) ln t − t = lim
τ→0+
(x + 1) ln
1
τ
−
1
τ
= − lim
τ→0+
τ(x + 1) ln τ + 1
τ
= −∞,
neboť podle de l’Hospitalova pravidla platí
lim
τ→0+
τ ln τ = lim
τ→0+
ln τ
1
τ
= lim
τ→0+
1
τ
− 1
τ2
= − lim
τ→0+
τ = 0,
takže podle věty o limitě složené funkce dostaneme
lim
t→∞
t2
e−t
tx−1
= lim
t→∞
e−t
tx+1
= lim
t→∞
e(x+1) ln t−t
= 0 < ∞ .
Podle limitního srovnávacího kriteria pro nevlastní integrály prvního druhu a z toho, že
∞
1
dt
t2
konverguje,
nyní dostáváme, že také integrál
∞
1
e−t
tx−1
dt konverguje.
2. Pro x > 0 položme
Γ(x) =
∞
0
e−t
tx−1
dt . (C.19)
Pro každé x > 0 a každé n ∈ N ∪ {0} pak platí
Γ(x) =
Γ(x + n + 1)
x(x + 1) · · · (x + n)
. (C.20)
D.: Úplnou indukcí:
Integrací „per partes dostaneme Γ(x+1) =
∞
0
e−t
tx
dt = − [e−t
tx
]
∞
t=0 +x
∞
0
e−t
tx−1
dt = xΓ(x), takže
(C.20) platí pro n = 0.
Podobně Γ(x + n + 2) =
∞
0
e−t
tx+n+1
dt = − e−t
tx+n+1 ∞
t=0
+ (x + n + 1)
∞
0
e−t
tx+n
dt =
= (x + n + 1)Γ(x + n + 1), což je indukční krok.
135
Podle (C.19) je
Γ(1) =
∞
0
e−t
dt = − e−t ∞
0
= 1 .
Z (C.20) nyní pro každé n ∈ N ∪ {0} plyne
1 = Γ(1) =
Γ(n + 2)
1 · 2 · · · (n + 1)
=
Γ(n + 2)
(n + 1)!
, tj. Γ(n + 2) = (n + 1)!,
tedy pro každé n ∈ N je Γ(n) = (n − 1)! .
C.4.2 Definice
Funkce Γ je pro každé x > 0 definována vztahem (C.19), pro x < 0, x ∈ Z je funkce Γ definována vztahem
(C.20), kde za n vezmeme [−x] = −[x] − 1, t.j.
Γ(x) =
Γ(x − [x])
x(x + 1) · · · (x − [x] − 1)
.
Dom Γ = R \ {0, −1, −2, . . .}.
C.4.3 Věta
1. Pro každé x ∈ Dom Γ platí
Γ(x + 1) = xΓ(x) neboli Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1)
a pro každé n ∈ N platí
Γ(x) = (x − 1)(x − 2) · · · (x − n)Γ(x − n) .
2. Pro každé x ∈ R \ Z platí
Γ(x)Γ(1 − x) =
π
sin πx
.
D.:
1. Pro x > 0 byl první vztah dokázán v C.4.1.2, pro x ∈ (−1, 0) je podle definice Γ(x) =
Γ(x + 1)
x
, což
je první vztah a pro x < −1 je
xΓ(x) = x
Γ(x − [x])
x(x + 1) · · · (x − [x] − 1)
=
Γ(x + 1 − [x + 1])
(x + 1)(x + 2) · · · (x + 1 − [x + 1] − 1)
= Γ(x + 1) ,
což je opět první vztah. Ten druhý z něho plyne indukcí.
2. Nechť x ∈ (0, 1). Pak
Γ(x)Γ(1 − x) =
∞
0
e−t
tx−1
dt
∞
0
e−s
s−x
ds =
[0,∞)×[0,∞)
e−(t+s)
s−x
tx−1
dsdt .
Položíme u = s+t, v =
t
s
, neboli s =
u
v + 1
, t =
uv
v + 1
. Podle věty o transformaci dvojného integrálu
dostaneme
Γ(x)Γ(1 − x) =
∞
0


∞
0
e−u v + 1
u
x
uv
v + 1
x
v + 1
uv
u
(v + 1)2
du

 ds =
=
∞
0
e−u
du
∞
0
vx−1
v + 1
dv =
∞
0
vx−1
v + 1
dv .
136
Podle známého vzorce z teorie integrálu [Jarník, I2, str. 277–281] je
∞
0
vx−1
v + 1
dv =
π
sin πx
.
Nechť x > 1. Pak podle 1. je Γ(x) = (x − 1)(x − 2) · · · (x − [x])Γ(x − [x]). 1 − x < 0, takže podle
definice
Γ(1 − x) =
Γ(1 − x + [x])
(1 − x)(2 − x) · · · ([x] − x)
=
(−1)[x]
Γ(1 − x + [x])
(x − 1)(x − 2) · · · (x − [x])
,
x − [x] ∈ (0, 1), takže podle již dokázaného je
Γ(x)Γ(1 − x) = (−1)[x]
Γ(x − [x])Γ(1 − x + [x]) = (−1)[x] π
sin π(x − [x])
=
= (−1)[x] π
sin πx cos π[x] − cos πx sin π[x]
= (−1)[x] π
(−1)[x] sin πx
=
π
sin πx
.
Nechť x < 0. Pak podle definice je Γ(x) =
Γ(x − [x])
x(x + 1) · · · (x − [x] − 1)
a podle 1. je
Γ(1 − x) = −x(−x − 1) · · · (−x + 1 + [x])Γ(1 − x + [x]) = (−1)[x]
x(x + 1) · · · (x − [x] − 1)Γ(1 − x + [x]).
Opět x − [x] ∈ (0, 1) a podle již dokázaného
Γ(x)Γ(1 − x) = (−1)[x]
Γ(x − [x])Γ(1 − x + [x]) = (−1)[x] π
sin π(x − [x])
=
π
sin πx
.
Známe-li Γ(x) pro x ∈ [1
2 , 1], lze podle C.4.3 vypočítat Γ(x) pro jakékoliv x ∈ Dom Γ. Již víme, že Γ(1) = 1.
Položíme-li v C.4.3.2 x = 1
2 , dostaneme
Γ
1
2
2
=
π
sin π
2
= π neboli Γ
1
2
=
√
π .
Odtud také plyne
∞
0
e−x2
dx =
1
2
∞
0
e−t
t− 1
2 dt =
1
2
∞
0
e−t
t
1
2 −1
dt =
1
2
Γ
1
2
=
√
π
2
. (C.21)
Podle vět z teorie integrálů závislých na parametrech platí
lim
x→0+
Γ(x) = lim
x→0+
∞
0
e−t
tx−1
dt =
∞
0
e−t
t
dt = ∞, neboť lim
t→0+
e−t
t
1
t
= lim
t→0+
e−t
= 1 > 0,
a
lim
x→0−
Γ(x) = lim
x→0−
Γ(x + 1)
x
= Γ(1) lim
x→0−
1
x
= −∞ .
C.4.4 Logaritmická derivace funkce Γ
ψ(x) =
d
dx
ln Γ(x) =
Γ′
(x)
Γ(x)
Omezíme se na Dom ψ = (0, ∞).
Podle C.4.3 platí
ψ(x + 1) =
1
x
+ ψ(x)
ψ(x) = ψ(x − n) +
n
k=1
1
x − k
pro n ∈ N, n < x
ψ(x + n) = ψ(x) +
n−1
k=0
1
x + k
pro n ∈ N (C.22)
ψ(1 − x) − ψ(x) = π cotg πx
137
Tyto vztahy lze využít pro výpočet hodnot funkce ψ, známe-li ψ(x) pro x ∈ 1
2 , 1 .
Podle vět z teorie integrálů závislých na parametrech platí pro x > 0
Γ′
(x) =
d
dx
∞
0
e−t
tx−1
dt =
∞
0
e−t
tx−1
ln tdt . (C.23)
Položíme γ = −Γ′
(1) = −
∞
0
e−t
ln tdt = 0.5772157 · · · (Eulerova konstanta). Dosadíme-li v (C.22) 1 za x,
dostaneme
ψ(n + 1) = −γ +
n
k=1
1
k
.
Platí (tzv. Frullaniho integrál)
ln t =
∞
0
e−ξ
− e−ξt
ξ
dξ . (C.24)
Dosadíme do (C.23) a dostaneme
Γ′
(x) =
∞
0
e−t
tx−1


∞
0
e−ξ
− e−ξt
ξ
dξ

 dt =
∞
0
1
ξ

e−ξ
∞
0
e−t
tx−1
dt −
∞
0
e−t(ξ+1)
tx−1
dt

 dξ =
=
∞
0
1
ξ

e−ξ
Γ(x) −
∞
0
e−t(ξ+1)
tx−1
dt

 dξ .
Ve vnitřním integrálu zavedeme substituci u = t(ξ + 1) a dostaneme
∞
0
e−t(ξ+1)
tx−1
dt =
∞
0
e−u u
ξ + 1
x−1
du
ξ + 1
=
1
(ξ + 1)x
∞
0
e−u
ux−1
du =
1
(ξ + 1)x
Γ(x) ,
takže
Γ′
(x) = Γ(x)
∞
0
1
ξ
e−ξ
− (ξ + 1)−x
dξ = Γ(x)


∞
0
e−ξ
ξ
dξ −
∞
0
dξ
ξ(ξ + 1)x

 ,
což znamená, že
ψ(x) =
∞
0
e−ξ
ξ
dξ −
∞
0
dξ
ξ(ξ + 1)x
.
Ve druhém integrálu zavedeme substituci ξ + 1 = et
:
∞
0
dξ
ξ(ξ + 1)x
=
∞
0
et
dt
(et − 1)etx
=
∞
0
e−tx
1 − e−t
dt
a v prvním přeznačíme integrační proměnnou. Dostaneme
ψ(x) =
∞
0
e−t
t
−
e−tx
1 − e−t
dt . (C.25)
Zejména pro x = 1 dostaneme
−γ =
∞
0
e−t
t
−
e−t
1 − e−t
dt .
138
Odečteme-li poslední dvě rovnice, dostaneme
ψ(x) = −γ +
∞
0
e−t
− e−tx
1 − e−t
dt .
Zavedeme substituci η = e−t
:
ψ(x) = −γ +
1
0
1 − ηx−1
1 − η
dη . (C.26)
Buď s ∈ (0, 1) libovolné číslo. Funkce η → η − ηx
je na intervalu [0, s] spojitá, takže podle první Weierstrassovy
věty je na tomto intervalu ohraničená. Existuje tedy konstanta c ≥ 0 taková, že
ηn
− ηn+x−1
= |ηn
| |η − ηx
| ≤ sn
c
pro každé n ≥ 1 a každé η ∈ [0, s]. Geometrická řada
∞
n=+
csn
konverguje. Podle Weierstrassova kriteria tedy
řada ∞
n=0
ηn
− ηn+x−1
= 1 − ηx−1
+
∞
n=1
ηn
− ηn+x−1
konverguje absolutně a stejnoměrně na intervalu [0, s]. Odtud plyne, že následující výpočet je korektní.
s
0
1 − ηx−1
1 − η
dη =
s
0
1 − ηx−1
∞
n=0
ηn
dη =
s
0
∞
n=0
ηn
− ηn+x−1
dη =
=
∞
n=0
s
0
ηn
− ηn+x−1
dη =
∞
n=0
sn+1
n + 1
−
sn+x
n + x
. (C.27)
Přitom poslední řada konverguje stejnoměrně na intervalu [0, s]; vzhledem k tomu, že s bylo libovolné číslo
z intervalu (0, 1), tato řada konverguje lokálně stejnoměrně na intervalu [0, 1). Řada
∞
n=0
1
n + 1
−
1
n + x
=
∞
n=0
x − 1
(n + 1)(n + x)
konverguje podle Cauchyova-Maclaurinova Kriteria. Z C.27 nyní plyne
1
0
1 − ηx−1
1 − η
dη = lim
s→1−
∞
n=0
sn+1
n + 1
−
sn+x
n + x
=
∞
n=0
lim
s→1−
sn+1
n + 1
−
sn+x
n + x
=
∞
n=0
1
n + 1
−
1
n + x
.
Odtud a z C.26 dostáváme vyjádření logaritmické derivace funkce Γ ve tvaru
ψ(x) = −γ +
∞
n=0
1
n + 1
−
1
n + x
. (C.28)
C.4.5 Rozvoj funkce Γ ve Weierstrassův nekonečný součin
Podle (C.28) je
d
dt
ln Γ(t) = −γ +
∞
n=0
1
n + 1
−
1
n + t
.
Integrujeme-li tuto rovnost podle t v mezích od 1 do x + 1, dostaneme
ln Γ(x + 1) = −γx +
∞
n=1
x
n
− ln 1 +
x
n
.
Odtud dostaneme
Γ(x + 1) = e−γx
∞
n=1
e
x
n
1
1 + x
n
,
1
Γ(x + 1)
= eγx
∞
n=1
e− x
n 1 +
x
n
.
139
C.4.6 Asymptotické vyjádření funkce Γ
Z (C.25) s využitím (C.24) dostaneme
Γ′
(ξ + 1)
Γ(ξ + 1)
=
∞
0
e−t
t
−
e−tξ
e−t
1 − e−t
dt =
∞
0
e−t
t
−
e−tξ
et − 1
dt =
=
∞
0
e−t
− e−tξ
t
dt +
1
2
∞
0
e−tξ
dt −
∞
0
1
2
−
1
t
+
1
et − 1
e−tξ
dt =
= ln ξ +
1
2ξ
−
∞
0
1
2
−
1
t
+
1
et − 1
e−tξ
dt .
Zintegrujeme tuto rovnost podle ξ v mezích od 1 do x:
ln Γ(x + 1) − ln Γ(2) = x ln x − x + 1 +
1
2
ln x −
∞
0
1
2
−
1
t
+
1
et − 1
e−t
− e−tx
t
dt .
Při označení f(t) =
1
2
−
1
t
+
1
et − 1
1
t
a s využitím Γ(x + 1) = xΓ(x), Γ(2) = 1 máme
ln Γ(x) = x −
1
2
ln x − x + 1 −
∞
0
f(t)e−t
dt +
∞
0
f(t)e−tx
dt . (C.29)
Označme
I =
∞
0
f(t)e−t
dt, J =
∞
0
f(t)e−t/2
dt, ω(x) =
∞
0
f(t)e−tx
dt .
Platí:
J − I =
∞
0
f(t)e−t/2
dt −
∞
0
f(t)e−t
dt =
∞
0
f(t)e−t/2
dt −
1
2
∞
0
f
t
2
e−t/2
dt =
=
∞
0
1
2
−
1
t
+
1
et − 1
1
t
−
1
2
1
2
−
2
t
+
1
et/2 − 1
2
t
e−t/2
dt =
=
∞
0
1
t
+
1 − (et/2
+ 1)
et − 1
e−t/2
t
dt =
∞
0
e−t/2
t
−
1
et − 1
dt
t
,
takže (při výpočtu využijeme (C.24))
J =
∞
0
1
2
−
1
t
+
1
et − 1
e−t
+
e−t/2
t
−
1
et − 1
dt
t
=
=
∞
0
e−t
2
−
e−t
− e−t/2
t
+
e−t
− 1
et − 1
dt
t
=
∞
0
e−t/2
− e−t
t
+
e−t
2
+
e−t
(1 − et
)
et − 1
dt
t
=
=
∞
0
e−t/2
− e−t
t
−
e−t
2
dt
t
=
140
=
∞
0
e−t/2
− e−t
t
−
e−t
2
−
e−t
2
+
e−t/2
2
1
t
+
1
2
e−t
− e−t/2
t
dt =
=
∞
0
2 e−t/2
− e−t
− t 2e−t
− e−t/2
2t2
dt +
1
2
∞
0
e−t
− e−t/2
t
dt =
=
∞
0
−e−t
+ 1
2 e−t/2
t − e−t
− e−t/2
t2
dt +
1
2
ln
1
2
=
=
∞
0
d
dt
e−t
− e−t/2
t
dt −
1
2
ln 2 =
e−t
− e−t/2
t
∞
0
−
1
2
ln 2 =
= − lim
t→0
e−t
− e−t/2
t
−
1
2
ln 2 = lim
t→0
−
1
2
e−t/2
+ e−t
−
1
2
ln 2 =
1
2
−
1
2
ln 2 .
Položíme-li v (C.29) x = 1
2 , dostaneme
ln
√
π =
1
2
− I + J ,
což spolu s předchozím výsledkem dá
I =
1
2
−
1
2
ln π +
1
2
−
1
2
ln 2 = 1 −
1
2
ln 2π .
Dosadíme do (C.29) a dostaneme
ln Γ(x) = x −
1
2
ln x − x +
1
2
ln 2π + ω(x) .
Funkce f je na intervalu (0, ∞) klesající, lim
t→∞
f(t) = 0 a
lim
t→0+
f(t) = lim
t→0+
tet
− t − 2et
+ 2 + 2t
2t2 (et − 1)
= lim
t→0+
et
+ tet
− 2et
+ 1
4t (et − 1) + 2t2et
=
= lim
t→0+
−et
+ et
+ tet
(4 + 4t)et + (4t + 2t2) et − 4
= lim
t→0+
et
+ tet
(8 + 4t + 4 + 8t + 2t2) et
=
1
12
,
což znamená, že
|ω(x)| =
∞
0
f(t)e−tx
dt ≤
∞
0
|f(t)|e−tx
dt ≤
1
12
∞
0
e−tx
dt = −
1
12x
e−tx ∞
0
=
1
12x
,
z čehož plyne, že lim
x→∞
ω(x) = 0, takže pro velká x lze psát
ln Γ(x) ≈ x −
1
2
ln x − x +
1
2
ln 2π , neboli Γ(x) ≈
√
2π xx− 1
2 e−x
. (C.30)
Odtud dostaneme
n! = Γ(n + 1) ≈
√
2π (n + 1)n+ 1
2 e−n−1
a poněvadž
lim
n→∞
(n + 1)n+ 1
2 e−n−1
nn+ 1
2 e−n
=
1
e
lim
n→∞
1 +
1
n
n
1 +
1
n
=
1
e
e 1 = 1 ,
lze psát
n! ≈
√
2πn
n
e
n
pro velká n (Stirlingova formule).
141
C.5 Besselovy funkce
C.5.1 Definice
Obyčejná lineární homogenní rovnice druhého řádu
x2
y′′
(x) + xy′
(x) + (x2
− ν2
)y(x) = 0 , (C.31)
kde ν ∈ R, x ∈ (0, ∞) se nazývá Besselova rovnice řádu ν.
Rovnici (C.31) lze ekvivalentně zapsat
x xy′
(x)
′
+ (x2
− ν2
)y(x) = 0 .
C.5.2 Řešení rovnice (C.31) Frobeniovou metodou
Hledáme nějaké řešení rovnice (C.31). Budeme předpokládat, že je tvaru
y(x) = a0xσ
+ a1xσ+1
+ a2xσ+2
+ · · · =
∞
k=0
akxσ+k
, (C.32)
kde σ ∈ R je tzv. charakteristický součinitel, jehož hodnotu určíme později. Pak je
x2
y′′
= a0σ(σ − 1)xσ
+ a1(σ + 1)σxσ+1
+
∞
k=2
ak(σ + k)(σ + k − 1)xσ+k
,
xy′
(x) = a0σxσ
+ a1(σ + 1)xσ+1
+
∞
k=2
ak(σ + k)xσ+k
,
x2
y(x) =
∞
k=2
ak−2xσ+k
,
−ν2
y(x) = −ν2
a0xσ
− ν2
a1xσ+1
+
∞
k=2
(−ν2
ak)xσ+k
.
Tedy
a0(σ2
− ν2
)xσ
+ a1(σ2
+ 2σ + 1 − ν2
)xσ+1
+
∞
k=2
ak(σ2
+ 2σk + k2
− ν2
) + ak−2 xσ+k
= 0 ,
takže (C.32) je formálním řešením Besselovy rovnice (C.31) pokud platí rovnosti
a0(σ2
− ν2
) = 0
a1(σ2
+ 2σ + 1 − ν2
) = 0
ak(σ2
+ 2σk + k2
− ν2
) + ak−2 = 0 , k = 2, 3, . . .
První z těchto rovností je splněna, pokud σ a ν vyhovují tzv. charakteristické rovnici
σ2
− ν2
= 0 , tj. σ = ±ν . (C.33)
Položíme σ = ν a dosadíme do zbývajících rovností. Dostaneme
a1(2ν + 1) = 0 (C.34)
ak(2ν + k)k = ak−2 , k = 2, 3, . . . . (C.35)
Rovnost (C.34) a rovnosti (C.35) s lichými indexy k, tj. k = 2m + 1 pro vhodné m ∈ N, jsou zřejmě splněny,
pokud a2m+1 = 0, m = 0, 1, 2, . . ..
142
Najdeme podmínky, za jakých jsou splněny rovnosti (C.35) se sudými indexy k. Pokud 2ν + k = 0 pro
k = 2, 4, 6, . . ., 2m, pak
a2m = −
a2(m−1)
22m(m + ν)
= −
−
a2(m−2)
22(m − 1)(m − 1 + ν)
22m(m + ν)
=
a2(m−2)
24m(m − 1)(m + ν)(m − 1 + ν)
= · · · =
=
(−1)m
a0
22mm(m − 1) · · · 1 · (m + ν)(m − 1 + ν) · · · (1 + ν)
=
(−1)m
a0Γ(1 + ν)
22mm!(m + ν)(m − 1 + ν) · · · (1 + ν)Γ(1 + ν)
=
=
(−1)m
a0Γ(1 + ν)
22mΓ(m + 1)Γ(m + ν + 1)
.
Tento výpočet naznačuje, že lze volit
a0 =
1
2νΓ(ν + 1)
, a2m =
(−1)m
22m+νΓ(m + 1)Γ(m + ν + 1)
.
Pokud 2ν + k = 0 pro nějaké k = 2m1, pak 2ν + k je celé záporné číslo pro všechna k = 2, 4, 6, . . ., 2(m1 − 1) a
2ν + k > 0 pro všechna k = 2(m1 + 1), 2(m1 + 2), . . . . Tedy 1 + ν, 2 + ν, . . . , m1 + ν nejsou v definičním oboru
funkce Γ a m1 + ν + 1, m1 + ν + 2, . . . v něm jsou. V takovém případě lze volit
a0 = a2 = · · · = a2(m1−1) = 0, a2m =
(−1)m
22m+νΓ(m + 1)Γ(m + ν + 1)
pro m ≥ m1.
Snadno ověříme, že při uvedené volbě budou rovnosti (C.35) splněny pro každý sudý index k.
Formální řešení rovnice (C.31) je tedy tvaru
y(x) =
∞
k=k0
(−1)k 1
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
x
2
2k+ν
, (C.36)
kde
k0 =
0, ν ∈ (−∞, 0] ∩ Z,
−ν, ν ∈ (−∞, 0] ∩ Z.
Abychom ověřili, že se jedná o řešení, je potřeba ukázat, že tato řada konverguje pro každé x > 0. Pro poloměr
konvergence r mocninné řady
S(x) =
∞
k=0
(−1)k 1
22kΓ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
x2k
podle Cauchyovy-Hadamardovy věty a s využitím (C.30) platí
1
r
= lim sup
k→∞
2k
1
22kΓ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
=
=
1
2
lim
k→∞
2k
1
2π(k + 1)k+1/2(k + ν + 1)k+ν+1/2e−2k+ν−1
= 0 ,
takže tato řada konverguje absolutně a stejnoměrně pro každé x ∈ R. Řada (C.36) tedy konverguje absolutně a
stejnoměrně pro každé x > 0. (Pro x = 0 nemusí být y(x) = xν
S(x) vůbec definována.)
C.5.3 Definice
Funkce
Jν(x) =
∞
k=0
(−1)k 1
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
x
2
2k+ν
se nazývá Besselova funkce prvního druhu řádu ν. Je-li pro nějaké k ∈ N ∪ {0} číslo k + ν + 1 celé nekladné (tj.
k + ν + 1 ∈ Dom Γ), klademe k-tý člen uvažované řady roven 0.
143
Označme
uν(x) =
∞
k=0
(−1)k 1
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
x
2
2k
Pak je Jν(x) =
x
2
ν
uν(x).
C.5.4 Poznámka
uν(0) =
1
Γ(ν + 1)
, u′
ν(0) = 0 .
D.: První vzorec plyne z toho, že Γ(1) = 1.
u′
ν(x) =
∞
k=0
(−1)k 2k
2Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
x
2
2k−1
=
∞
k=1
(−1)k k
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
x
2
2k−1
=
=
∞
k=1
(−1)k 1
Γ(k)Γ(k + ν + 1)
x
2
2k−1
.
(Poslední rovnost plyne z faktu, že Γ(k + 1) = kΓ(k).)
C.5.5 Vlastnosti Besselovy funkce prvního druhu
1. Funkce Jν(x) je spojitá na (0, ∞).
D.: Plyne z toho, že uν(x) jakožto součet mocninné řady je funkce spojitá.
2. lim
x→0+
Jν (x) =



1 , ν = 0
0 , ν > 0 nebo ν ∈ Z \ {0}
∞(−1)[ν]
, ν ∈ (−∞, 0) \ Z
.
D.: Plyne bezprostředně z C.5.4.
3. Pro n ∈ N platí J−n(x) = (−1)n
Jn(x) pro všechna x ∈ (0, ∞).
D.: J−n(x) =
∞
k=n
(−1)k
Γ(k + 1)Γ(k − n + 1)
x
2
2k−n
=
∞
k=0
(−1)k+n
Γ(k + n + 1)Γ(k + 1)
x
2
2k+n
= (−1)n
Jn(x).
4. x−ν
Jν (x)
′
= −x−ν
Jν+1(x) , xν
Jν(x)
′
= xν
Jν−1(x) .
144
D.: Platí:
x−ν
Jν(x)
′
= 2−ν
∞
k=0
(−1)k 1
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
x
2
2k
′
=
= 2−ν
∞
k=0
(−1)k 2k
2Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
x
2
2k−1
=
= 2−ν
∞
k=1
(−1)k k
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
x
2
2k−1
=
= 2−ν x
2
∞
k=1
(−1)k 1
Γ(k)Γ(k + ν + 1)
x
2
2(k−1)
=
= 2−ν x
2
∞
k=0
(−1)k+1 1
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 2)
x
2
2k
=
= −2−ν
∞
k=0
(−1)k 1
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 2)
x
2
2k+1
=
= −x−ν x
2
ν ∞
k=0
(−1)k 1
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 2)
x
2
2k+1
=
= −x−ν
∞
k=0
(−1)k 1
Γ(k + 1)Γ(k + (ν + 1) + 1)
x
2
2k+ν+1
Druhý vztah lze dokázat analogicky.
5. Jν+1(x) =
2ν
x
Jν(x) − Jν−1(x) , J′
ν (x) =
1
2
Jν−1(x) − Jν+1(x) .
První formule (rekurentní vzorec) umožňuje vypočítat Jν+1(x) ze znalosti Jν(x) a Jν−1(x); druhá formule
je vzorec pro derivaci Besselovy funkce prvního druhu.
D.: První formuli z 4. vynásobíme xν
, druhou x−ν
a rozepíšeme derivaci součinu. Tím dostaneme
J′
ν(x) −
ν
x
Jν(x) = −Jν+1(x) , J′
ν (x) +
ν
x
Jν (x) = Jν−1(x) .
Odečtením těchto rovnic dostaneme první formuli, sečtením druhou.
6. Platí
J0(x) =
∞
k=0
(−1)k
Γ(k + 1)Γ(k + 1)
x
2
2k
=
∞
k=0
(−1)k
(k!)2
x
2
2k
,
J1(x) =
∞
k=0
(−1)k
Γ(k + 1)Γ(k + 2)
x
2
2k+1
=
x
2
∞
k=0
(−1)k
(k + 1)(k!)2
x
2
2k
.
7. J−1/2(x) =
2
πx
cos x , J1/2(x) =
2
πx
sin x .
D.: Poněvadž podle C.4.3 je pro každé k ∈ N ∪ {0}
Γ k +
1
2
= k −
1
2
k −
3
2
· · · k −
2k − 1
2
Γ
1
2
=
(2k − 1)(2k − 3) · · · 1
2k
√
π =
=
(2k)!
(2k)!!2k
√
π =
(2k)!
k!22k
√
π ,
145
kde (2k)!! = 2k(2k − 2)(2k − 4) · · · 2, tak platí Γ(k + 1)Γ k + 1
2 = k!
(2k)!
k!22k
√
π =
(2k)!
22k
√
π a tedy
J−1/2 =
∞
k=0
(−1)k 1
Γ(k + 1)Γ k + 1
2
x
2
2k−1/2
=
2
πx
∞
k=0
(−1)k 22k
(2k)!
x
2
2k
=
=
2
πx
∞
k=0
(−1)k x2k
(2k)!
=
2
πx
cos x .
Druhý vztah se dokáže analogicky.
Rekurentní formule uvedené v 5 spolu s vyjádřením funkcí J0, J1, J−n, J−1/2, J1/2 uvedenými v 6, 3 a 7
umožňují vypočítat Besselovy funkce 1. druhu libovolného celočíselného a poločíselného řádu.
C.5.6 Věta (Nulové body Besselových funkcí celočíselného řádu)
Funkce Jn, n = 0, 1, 2, . . . má jednoduché nulové body xn1, xn2, xn3, . . . takové, že
0 < xn1 < xn2 < xn3 < · · · , lim
k→∞
xnk = ∞
a posloupnost {xnk}
∞
k=1 nemá hromadné body. Funkce Jn, n = 1, 2, . . . má navíc n-násobný nulový bod xn0 = 0.
D.: Viz např. G.N.Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922,
kap. XV.
C.5.7 Věta (Orthogonalita Besselových funkcí celočíselného řádu)
Besselovy funkce Jn, n = 0, 1, 2, . . . splňují pro každé a > 0 a všechna k, l ∈ N rovnost
a
0
ξJn
xnk
a
ξ Jn
xnl
a
ξ dξ =



0, k = l
1
2 a2
Jn+1(xnk)
2
, k = l
kde xnk (resp. xnl) je k-tý (resp. l-tý) jednoduchý nulový bod funkce Jn.
D.: Položme f(ξ) = Jn
xnk
a
ξ , g(ξ) = Jn
xnl
a
ξ . Pak
df(ξ)
dξ
=
xnk
a
J′
n
xnk
a
ξ ,
d2
f(ξ)
dξ2
=
xnk
a
2
J′′
n
xnk
a
ξ .
Poněvadž Jn je řešením Besselovy rovnice (C.31), platí
d2
f(ξ)
dξ2
=
xnk
a
2 xnk
a
ξ
−2
−
xnk
a
ξJ′
n
xnk
a
ξ −
xnk
a
ξ
2
− n2
Jn
xnk
a
ξ =
= −
1
ξ2
ξ
df(ξ)
dξ
+
xnk
a
ξ
2
− n2
f(ξ) ,
tedy
d2
f(ξ)
dξ2
+
1
ξ
df(ξ)
dξ
+
xnk
a
2
−
n2
ξ2
f(ξ) = 0.
Analogicky dostaneme
d2
g(ξ)
dξ2
+
1
ξ
dg(ξ)
dξ
+
xnl
a
2
−
n2
ξ2
f(ξ) = 0.
První rovnost vynásobíme ξg, druhou vynásobíme ξf a odečteme je:
ξ (gf′′
− fg′′
) + (gf′
− fg′
) + ξfg
xnk
a
2
−
xnl
a
2
= 0.
146
Po úpravě
ξ (gf′′
+ g′
f′
− g′
f′
− fg′′
) + (gf′
− fg′
) + ξfg
x2
nk − x2
nl
a2
= 0,
d
dξ
ξ (gf′
− fg′
) =
x2
nl − x2
nk
a2
ξfg.
Integrací poslední rovnosti v mezích od 0 do a dostaneme
a g(a)f′
(a) − f(a)g′
(a) =
x2
nl − x2
nk
a2
a
0
ξf(ξ)g(ξ)dξ .
Poněvadž f(a) = Jn
xnk
a
a = 0 a g(a) = Jn
xnl
a
a = 0, platí
0 =
x2
nl − x2
nk
a2
a
0
ξJn
xnk
a
ξ Jn
xnl
a
ξ dξ ,
takže pro k = l je dokazovaná rovnost splněna.
Poněvadž Jn splňuje Besselovu rovnici (C.31), platí pro každé x > 0 rovnost
x2
Jn(x) = n2
Jn(x) − xJ′
n(x) − x2
J′′
n (x).
Integrací per partes s využitím této rovnosti dostaneme
x Jn(x)
2
dx =
1
2
x2
Jn(x)
2
− x2
Jn(x)J′
n(x)dx =
=
1
2
x2
Jn(x)
2
− n2
Jn(x)J′
n(x) − x J′
n(x)
2
− x2
J′′
n (x)J′
n(x) dx =
=
1
2
x2
Jn(x)
2
−
n2
2
Jn(x)
2 ′
−
x2
2
J′
n(x)
2
′
dx =
=
1
2
x2
Jn(x)
2
−
n2
2
Jn(x)
2
+
x2
2
J′
n(x)
2
=
x2
2
Jn(x)
2
+ J′
n(x)
2
−
n2
2
Jn(x)
2
.
Podle C.5.5.5 je Jn(x)
2
+ J′
n(x)
2
= Jn(x)
2
+ Jn−1(x) − Jn+1(x)
2
a tento výraz je podle C.5.5.2
pro x z pravého okolí nuly ohraničený. To znamená, že
lim
x→0+
x2
2
Jn(x)
2
+ J′
n(x)
2
= 0.
Dále podle C.5.5.2 je také
lim
x→0+
1
2
nJn(x)
2
= 0.
Platí tedy
a
0
ξ Jn
xnk
a
ξ
2
dξ =
a2
x2
nk
xnk
0
x [Jn(x)]
2
dx =
=
a2
x2
nk
x2
nk
2
Jn(xnk)
2
+ J′
n(xnk)
2
−
n2
2
Jn(xnk)
2
=
a2
2
J′
n(xnk)
2
.
Podle C.5.5.4 je
−x−n
Jn+1(x) = x−n
Jn(x)
′
= −
n
xn+1
Jn(x) + x−n
J′
n(x),
takže J′
n(xnk) = −Jn+1(xnk). Celkem tedy
a
0
ξ Jn
xnk
a
ξ
2
dξ =
a2
2
Jn+1(xnk)
2
,
což je dokazovaná rovnost pro k = l.
147
C.5.8 Věta
Nechť ν ∈ Z a v je řešením Besselovy rovnice (C.31) lineárně nezávislé na Jν . Pak lim
x→0+
v(x) = ∞.
D.: Označme
W = W(x) = W(x; Jν , v) =
Jν(x) v(x)
J′
ν(x) v′
(x)
= Jν (x)v′
(x) − J′
ν(x)v(x)
wronskián funkcí Jν , v. S využitím faktu, že Jν a v jsou řešením rovnice (C.31) dostaneme
d
dx
W =
d
dx
(Jν v′
− J′
νv) = J′
ν v′
+ Jνv′′
− J′′
ν v − J′
ν v′
= Jνv′′
− J′′
ν v =
= Jν
(ν2
− x2
)v − xv′
x2
− v
(ν2
− x2
)Jν − xJ′
ν
x2
=
1
x
(J′
νv − Jνv′
) = −
1
x
W.
Wronskián W tedy splňuje diferenciální rovnici W′
= −
W
x
, což znamená, že
W(x) =
C
x
,
kde C je nějaká nenulová konstanta (neboť funkce Jν , v jsou nezávislé). Dále platí
d
dx
v
Jν
=
v′
Jν − vJ′
ν
J2
ν
=
W
J2
ν
=
C
xJ2
ν
.
Buď α > 0 libovolná konstanta. Integrací poslední rovnosti v mezích od x do α dostaneme
v(x)
Jν (x)
= D − C
α
x
dξ
ξ Jν(ξ)
2 ,
kde D =
v(α)
Jν(α)
je konstanta. Odtud plyne, že pro každé x ∈ (0, α) platí
v(x) = Jν (x)

D − C
α
x
dξ
ξ (Jν(ξ))
2


a tedy
lim
x→0+
v(x) = D lim
x→0+
Jν(x) − C lim
x→0+
Jν (x)
α
x
dξ
ξ Jν(ξ)
2 . (C.37)
Buď ε > 0 libovolné. Položme η =
(1 + ε)2
, ν = 0
ε2
, ν ∈ Z \ {0}
. Pak η > 0 a podle C.5.5.2 k němu existuje
δ > 0 takové, že pro všechna ξ ∈ (0, δ) je Jν (ξ)
2
< η. Odtud plyne, že pro x ∈ (0, δ) platí
α
x
dξ
ξ Jν (ξ)
2 =
δ
x
dξ
ξ Jν (ξ)
2 +
α
δ
dξ
ξ Jν (ξ)
2 >
1
η
δ
x
dξ
ξ
+
α
δ
dξ
ξ Jν(ξ)
2 =
1
η
ln
δ
x
+
α
δ
dξ
ξ Jν(ξ)
2 ,
tedy
lim
x→0+
α
x
dξ
ξ Jν(ξ)
2 ≥
α
δ
dξ
ξ Jν(ξ)
2 +
1
η
lim
x→0+
ln
δ
x
= ∞.
Odtud vzhledem k C.5.5.2 a (C.37) dále plyne, že pro ν = 0 je
lim
x→0+
v(x) = (− sgn C) ∞
148
a pro ν ∈ Z \ {0} podle de l’Hospitalova pravidla a podle C.5.5.5 je
lim
x→0+
v(x) = −C lim
x→0+
Jν(x)
α
x
dξ
ξ Jν(ξ)
2 = −C lim
x→0+
α
x
dξ
ξ Jν (ξ)
2
1
Jν(x)
= −C lim
x→0+
−
1
x Jν(x)
2
−
J′
ν(x)
Jν(x)
2
=
= −C lim
x→0+
1
xJ′
ν
= −C lim
x→0+
2
x Jν−1(x) − Jν+1(x)
.
Podle C.5.5.2 je funkce x → Jν−1(x) − Jν+1 v pravém okolí nuly ohraničená a tedy lim
x→0+
v(x) = ∞.
C.5.9 Věta
Je-li ν ∈ Z, jsou Besselovy funkce prvního druhu Jν a J−ν řešením rovnice (C.31) a jsou lineárně nezávislé.
D.: Funkce Jν, J−ν byly v C.5.2 nalezeny jako řešení rovnice (C.31). Stačí tedy ověřit tvrzení o nezávislosti.
Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že ν > 0.
Wronskián funkcí Jν, J−ν je
W(x, Jν, J−ν ) =
Jν(x) J−ν(x)
J′
ν(x) J′
−ν(x)
= Jν(x)J′
−ν (x) − J−ν(x)J′
ν (x) =
=
x
2
ν
uν(x)
x
2
−ν
u−ν(x)
′
−
x
2
−ν
u−ν(x)
x
2
ν
uν(x)
′
=
=
x
2
ν
uν(x) −
ν
2
x
2
−ν−1
u−ν(x) +
x
2
−ν
u′
−ν(x) −
−
x
2
−ν
u−ν(x)
ν
2
x
2
ν−1
uν(x) +
x
2
ν
u′
ν(x) =
= uν(x)u′
−ν (x) − u−ν(x)u′
ν (x) −
2ν
x
uν(x)u−ν (x) .
Podle C.5.4 pro ν ∈ Z platí lim
x→0+
W(x, Jν , J−ν) = ∞, což znamená, že pro nějaké x > 0 je
W(x, Jν, J−ν ) = 0 a tedy podle známé věty z teorie lineárních homogenních obyčejných diferenciálních
rovnic funkce Jν , J−ν tvoří fundamentální systém řešení rovnice (C.31).
Pro ν ∈ Z tedy Besselovy funkce prvního druhu Jν a J−nu tvoří fundamentální systém řešení rovnice (C.31).
V případě ν ∈ Z máme pouze jedno bázové řešení (sr. C.5.5.3).
C.5.10 Definice
Funkce Yν definovaná pro každé ν ∈ R a každé x ∈ (0, ∞) vztahem
Yν(x) = lim
ξ→ν
Jξ(x) cos πν − J−ξ(x)
sin πξ
se nazývá Besselova funkce druhého druhu řádu ν. (Někdy také Neumannova funkce.)
Pokud ν ∈ Z, je jmenovatel zlomku za limitou nenulový a tedy pro ν ∈ Z lze psát
Yν(x) =
Jν (x) cos πν − J−ν(x)
sin πν
.
Je-li ν = n ∈ Z, jsou čitatel i jmenovatel zlomku za limitou nulové a limitu lze tedy vypočítat podle de l’Hospitalova
pravidla:
Yn(x) =
1
π
∂
∂ν
Jν (x)
ν=n
− (−1)n ∂
∂ν
J−ν(x)
ν=n
.
149
C.5.11 Věta
Funkce Yν je řešením rovnice (C.31) pro libovolné ν ∈ R. Pro wronskián funkcí Jν a Yν platí W(x, Jν , Yν) =
2
πx
.
(Funkce Jν a Yν tedy tvoří fundamentální systém řešení rovnice (C.31).)
D.: Viz např. G.N.Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922,
str. 58–76.
C.5.12 Poznámka
Besselovy funkce druhého druhu splňují stejné vztahy, jako funkce prvního druhu:
x−ν
Yν(x)
′
= −x−ν
Yν+1(x) ,
xν
Yν(x)
′
= xν
Yν−1(x) ,
Yν+1(x) =
2ν
x
Yν (x) − Yν−1(x) ,
Y ′
ν (x) =
1
2
Yν−1(x) − Yν+1(x)
150
Dodatek D
Laplaceův operátor v křivočarém
souřadném systému
∆u =
n
i=1
∂2
u
∂x2
i
,
podrobněji
∆u(x1, x2, . . . , xn) = ∆x1,x2,...,xn u(x1, x2, . . . , xn) =
n
i=1
∂2
u(x1, x2, . . . , xn)
∂x2
i
.
Souřadnice x1, x2, . . . , xn transformujeme na souřadnice q1, q2, . . . , qn. Pak je
xi = xi(q1, q2, . . . , qn) , qi = qi(x1, x2, . . . , xn) ,
∂u
∂xi
=
n
j=1
∂u
∂qj
∂qj
∂xi
,
∂2
u
∂x2
i
=
n
j=1
∂
∂xi
∂u
∂qj
∂qj
∂xi
=
n
j=1
∂qj
∂xi
n
k=1
∂2
u
∂qj∂qk
∂qk
∂xi
+
∂u
∂qj
∂2
qj
∂x2
i
=
=
n
j=1
n
k=1
∂2
u
∂qj∂qk
∂qj
∂xi
∂qk
∂xi
+
n
j=1
∂u
∂qj
∂2
qj
∂x2
i
pro i = 1, 2, . . . , n. Tedy
∆q1,q2,...,qn u =
n
i=1


n
j,k=1
∂2
u
∂qj∂qk
∂qj
∂xi
∂qk
∂xi
+
n
j=1
∂u
∂qj
∂2
qj
∂x2
i

 =
=
n
j,k=1
∂2
u
∂qj∂qk
n
i=1
∂qj
∂xi
∂qk
∂xi
+
n
j=1
∂u
∂qj
n
i=1
∂2
qj
∂x2
i
.
Speciální případy:
Polární souřadnice v rovině
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r = x2 + y2, ϕ = arctg
y
x
+
π
2
(1 − sgn x) + 2kπ
V tomto případě je
∂r
∂x
=
x
x2 + y2
,
∂r
∂y
=
y
x2 + y2
,
∂ϕ
∂x
=
−y
x2 + y2
,
∂ϕ
∂y
=
x
x2 + y2
,
151
∂2
r
∂x2
=
x2 + y2 − x
x
x2 + y2
x2 + y2
=
y2
(x2 + y2)3/2
,
∂2
r
∂y2
=
x2
(x2 + y2)3/2
,
∂2
ϕ
∂x2
= y
2x
x2 + y2
,
∂2
ϕ
∂y2
= −x
2y
x2 + y2
,
a dále
∂r
∂x
2
+
∂r
∂y
2
=
x2
+ y2
x2 + y2
= 1,
∂ϕ
∂x
2
+
∂ϕ
∂y
2
=
x2
+ y2
(x2 + y2)2 =
1
r2
,
∂r
∂x
∂ϕ
∂x
+
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
= 0,
∂2
r
∂x2
+
∂2
r
∂y2
=
y2
+ x2
(x2 + y2)3/2
=
1
r
,
∂2
ϕ
∂x2
+
∂2
ϕ
∂y2
= 0.
Laplaceův operátor transformovaný do polárních souřadnic tedy je
∆r,ϕu =
∂2
u
∂r2
∂r
∂x
2
+
∂r
∂y
2
+
∂2
u
∂r∂ϕ
∂r
∂x
∂ϕ
∂x
+
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
+
∂2
u
∂ϕ2
∂ϕ
∂x
2
+
∂ϕ
∂y
2
+
+
∂u
∂r
∂2
r
∂x2
+
∂2
r
∂y2
+
∂u
∂ϕ
∂2
ϕ
∂x2
+
∂2
ϕ
∂y2
=
∂2
u
∂r2
+
1
r2
∂2
ϕ
∂ϕ2
+
1
r
∂u
∂r
.
Tento výsledek můžeme zapsat ve tvaru
∆r,ϕ u =
1
r
∂
∂r
r
∂u
∂r
+
1
r2
∂2
u
∂ϕ2
Cylindrické souřadnice v trojrozměrném prostoru
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r = x2 + y2, ϕ = arctg
y
x
+
π
2
(1 − sgn x) + 2kπ, z = z
∆r,ϕ,z u =
1
r
∂
∂r
r
∂u
∂r
+
1
r2
∂2
u
∂ϕ2
+
∂2
u
∂z2
Sférické souřadnice v trojrozměrném prostoru
x = r cos ϕ cos ϑ, y = r sin ϕ cos ϑ, z = r sin ϑ,
r = x2 + y2 + z2, ϕ = arctg
y
x
+
π
2
(1 − sgn x) + 2kπ, ϑ = arcsin
z
x2 + y2 + z2
∆r,ϕ,ϑ u =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂u
∂r
+
1
r2 cos2 ϑ
∂2
u
∂ϕ2
+
1
r2 cos ϑ
∂
∂ϑ
cos ϑ
∂u
∂ϑ
152