MV011 Statistika I 5. Číselné charakteristiky náhodné veličiny
Jan Koláček (kolacek@math.muni.cz)
Ustav matematiky a statistiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
Motivační příklad
Příklad 1
Uvažujme hru, kde účastník hry roztočí „ kolo štěstí". Každé pole tohoto kola definuje výhru (v Kč), která bude vyplacena hráči v případě, že na toto pole ukazuje šipka po zastavení kola. Za každou hru zaplatí hráč provozovateli 1 Kč. Budeme hrát? Tj. jaká je „očekávaná" výhra?
Y .. . zisk z jedné hry, X ... částka, kterou si vytočíme Zřejmě Y = X — 1.
/ \ 0 /    0 \	2 /\ /  4 \
\   2 /	\   0 / 1 \v
X	0   12 4
p(x)	lili 2     8    4 8
„Očekávaná" výhra
EY = EX
1 = 0---hl---1-2---1-4- -
2       8       4 8
1
8
= - = 0,125 > 0.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
2/38
Střední hodnota
Definice 1
Nechť X je náhodná veličina definovaná na {Cí,A,P) a nechť existuje integrál J X(oj) dP(co) < oo. Potom číslo
EX = J X(co) dP(co)
nazýváme střední hodnotou náhodné veličiny X (Expected Value, Mean)
Značení: C\{Cí,A,P) ... množina všech náhodných veličin definovaných na (n,A,P), které mají konečné střední hodnoty.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
3/38
Střední hodnota
Věta 2 (Výpočet)
Necht X je náhodná veličina na {Cí,A,P). Pak platí
00
X e Ci (O, A,P)      / xdF(x) < oo. V tomto případě je EX = J xdF(x)
00
► Necht X ~ (M,p) Je diskrétního typu, pak platí
X £ £i(n,*A,P) <^>      xp{x) absolutně konverguje. V tomto případě
► Necht X ~ f(x) je absolutně spojitého typu, pak platí
X £ C\{Cí,A,P) ^> xf(x) je integrovatelná vzhledem k Lebesgueově míre.
V tomto případě je EX
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
4/38
Střední hodnota
Věta 3 (Vlastnosti)
Necht X,Xi,X2 jsou náhodné veličiny definované na pravděpodobnostním prostoru {Cí,A,P), a,a\,ai £ R. Potom
EX existuje    <^>    E|X| existuje.
► Jestliže P(X = a) = 1 EX = a.
► Existují-li EX\, EX2    =^>    E(aiXi + #2X2) = aiEXi + a^EX^.
► A/ec/?r existují EXlt EX2 a p/aŕ/'Xi < X2 EXX < EX2. Necht \X\\ < X2 a EX2 existuje    =>    EXi existuje.
► A/ec/?r P(X > 0) = 1 EX > 0.
Věta 4 (Střední hodnota součinu nezávislých náhodných veličin)
Necht X\,..., Xn jsou nezávislé náhodné veličiny definované na (O, A, P) a nechi existují střední hodnoty EX\,..., EXn. Pak platí
n
YlEXi
i=l
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
5/2
Příklad
Příklad 2 (Střední hodnota Alternativního rozdělení)
Mějme náhodnou veličinu X ~ A{Q), 6 £ (0,1) s pravděpodobnostní funkcí
(1-6   x = 0
p(x) = < 6
x = 1
[O jinak.
Vypočtěte střední hodnotu.
EX =     xp(x) = 0 • (1-9) + 1-6= 0.
x=0
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
6/38
Příklad
Příklad 3 (Střední hodnota Binomického rozdělení)
Mějme náhodnou veličinu X ~ Bi(n,9), n G N, 9 G (0,1) s pravděpodobnostní funkcí
((nx)ex(l-9)n-x   xG M= {0,l,...,n} [0 j/na/c. Vypočřéře střední hodnotu.
Nebo
X=£Y;,      Yí~A(0), i = l,...,n
z=l
EX =E^Yi = Y^EYi= n9.
i'=l /'=!
Ex = £>(x)=£>("y(i-0)
n—x
n9.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
7/38
Příklad
Příklad 4
Biatlonista střílí nezávisle na sobě do terče, přičemž pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je 2/3. Jaká je očekávaná hodnota počtu zasažených terčů ze 300 pokusů?
X ... počet zásahů, X ~ Bi(300,2/3)
EX = n6 = 300 • 2/3 = 200 .
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
8/38
Příklad
Příklad 5 (Střední hodnota Poissonova rozdělení)
Mějme náhodnou veličinu X ~ Po(A), A > 0 s pravděpodobnostní funkcí
A A
X
p(x)
XI
o
x GM = {0,1,...} jinak.
Vypočtěte střední hodnotu.
00
00
EX =
xp(x)
x=0
= YLxe
x=0
A
Ax
00
A
A
00
sw&sř. y = x — 1
00
y=0
—7 = A.
A
x—1
i(x-l)!
f
N/"
1= E
yeM
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
9/
Příklad
Příklad 6 (Střední hodnota Rovnoměrného rozdělení)
Mějme náhodnou veličinu X ~ Rs(a,b), a < b, a,b £ R s hustotou
/(*)
bh xe(afb) 0 jinak.
Vypočtěte střední hodnotu.
00
EX = / xf(x)dx = / x—^-—dx = -r^-J J   b — a       b —
a
00
a
T
J a
b2 — ď
b — a
1   (b-a)(b + a)     a + b
b — a
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
10 / 38
Příklad
Příklad 7 (Střední hodnota Normálního rozdělení)
Mějme náhodnou veličinu s normálním rozdělením X ~ N(/i,(72) s hustotou
/(*) =
v/2
71(7
exp
\ (x — ]i 2
cr
•00
xf(x)dx
■xč 2 V cr ; dx.
00
00
Položíme-li y
(7
, tj. x = oy + ^ a dx = crdy, pak
2
EX =
•00
-00
1 I X—}1
1        ~2 l ~1T~ -Xč v
»00
dx =
V2n
1 2
(cry + ]í)e~^ dy
»00
0"
V2n
ye zy2dy+}i
00 .7 —00
'00
-00
1,,2
2^ dy     ^.
O (lichá funkce)        =1 (hustota Y~N(0,1))
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
11/38
Motivační příklad
Příklad 8
Chceme koupit do naší továrny novou linku, která bude balit mouku do 1 kg sáčků. Navštívili jsme dva výrobce těchto linek. U každého jsme si nechali vyrobit 5 balíčků a ty pak zvážili, abychom zjistili přesnost balení.
linka A   975   960   1030   990 1045
linka B   965   965   1020   995 1055
Pro kterého výrobce se rozhodneme?
E (A) = (975 + 960 + 1030 + 990 + 1045) /5 = 1000 E(B) = (965 + 965 + 1020 + 995 + 1055)/5 = 1000
E{A) = E(B) =>?
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
12 / 38
Motivační příklad
S\ = l (975 - 1000)2 + (960 - 1000)2 + (1030 - 1000)2 + (990 - 1000)2
+ (1045 - 1000)2} /5 = 1050 S| = {(965 - 1000)2 + (965 - 1000)2 + (1020 - 1000)2 + (995 - 1000)2
+ (1055 - 1000)2} /5 = 1180
S2A<Sl^ volíme A
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
Rozptyl
n. v. X
Definice 5
Nechť X je náhodná veličina definovaná na {Cí,A,P). Potom čísla }ifk    EXk obecným jik = E (X — EX)k    nazýváme   fc-tým    centrálním momentem fa    E\X\k absolutním
za předpokladu, že uvedené střední hodnoty pro k = 1,2,... existují. Poznámka Je-1i fc-tý moment konečný, tj. EXk < oo, píšeme X G C^{Cí, A,P)
Definice 6
Druhý centrálni moment nazýváme rozptyl (Variance, Dispersion) a značíme DX = E(X — EX)2. Číslo Cx = a/DX nazýváme směrodatnou odchylkou náhodné veličiny X (Standard Deviation).
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
14 / 38
Rozptyl
Věta 7 (Vlastnosti rozptylu)
Necht X,Xi,X2 jsou náhodné veličiny definované na (C1,A,P) s konečnými druhými momenty, a,a\,ci2 G IR- Pak
► DX > 0
DX = EX2 - (EX)2
► Jestliže P(X = a) = 1, pa/c DX = 0
► D(a1 + a2X) = ^DX
Necht Xi,X2 jsol/ nezávislé náhodné veličiny, pak D(Xi + X2) = DXi + DX2
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
15 / 38
Příklad
Příklad 9
Vypočtěte rozptyl pro náhodný pokus točení kola štěstí z Příkladu 1
X	0   12 4
p(x)	lili 2     8    4 8
EX = §, dy = d{x-1) = dx
1)   DX = E(X-EX)2
9\2 1
9\2 1
DX='°-8    2 +  »"8 8+
119 ~64~
= 1,8594
2)   DX = EX2 - (EX)
EX2 = 02^ + 12^ +
2 o
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
16 / 38
Příklad
Příklad 10 (Rozptyl Alternativního rozdělení)
Mějme náhodnou veličinu X ~ A{9), 9 £ (0,1) s pravděpodobnostní funkcí
p(x) = <
1-9 x = 0 9 x = l 0 jinak.
Vypočtěte rozptyl.
EX2 =     X2V(X) = O2 - (1 — 9) + l2 - 9 = 9.      EX = 9
x=0
viz Příklad 2.
DX = EX2 - E2X = 9-9A = 9(1-9).
Nebo
DX =E(X-EX)2 = J^(x-9)2p(x) = (0-9)2(l-9) + (l-9)29 = 9(1-9).
Jan Koláček (PřF MU) MV011 Statistika I 17/38
Příklad
Příklad 11 (Rozptyl Binomického rozdělení)
Mějme náhodnou veličinu X ~ Bz(n,0), n £ N, 9 G (0,1) s pravděpodobnostní funkcí
(Cx)ex(l-9)n-x   XGM= {0,l,...,n} [0 J/na/c.
Vypočtete rozptyl.
n
i=l
n
n
dx = Dj2yi = EDyi = ne(i-e).
i=l
i=l
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
18 / 38
Příklad
Příklad 12 (Rozptyl Poissonova rozdělení)
Mějme náhodnou veličinu X ~ Po(A) s pravděpodobnostní funkcí
A A
X
p(x) =
0
x GM = {0,1,...,} jinak.
Vypočtěte rozptyl.
DX = EX2 - (EX)2, EX = A (viz příklad 5)
00 00 a x 00 A x
-2 _       „2„ŕ„\ _ X-1 „2„-AA__-A »—1 '  ' ' A
EX2 = £ x2p(x) = X] *VA^- =      E tx(x ~l)+A
x=0
x=0
x=0
Y"
00
A
e    ^ x(x
x=0
i)
a
X
00
l)(x-2)!
A
^ Ax
) *~7
x=0 x*
:EX=A
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
19 / 38
Příklad
00 II OO II- 2
2__—a V-1      A        ,   i _ „-a 12 ^ A
Ex2 = e-Ar7 .
*=2(*-2)!
00
a2E
y=0
a ^
(y)J
=1= E
j/GM
a + a,
takže
DX = A2 + A - A2 = A .
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
20
Příklad
Příklad 13 (Rozptyl Rovnoměrného rozdělení)
Mějme náhodnou veličinu X ~ Rs(a,b), a < b, a,b £ R s hustotou
f(x)
0 jinak.
Vypočtěte rozptyl.
00
EX =
x f(x)dx = / r
a
b — a
1   (b-a)(b2 +ab + a2)
dx =
b — a
x-
J a
b3 — cr
b — a
b2 + ab + a2
b — a
o     o      b2 + ab + a2    f a + b DX = EX - E2X = ^--1
{b-a)
12
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
21 / 38
Příklad
Příklad 14 (Rozptyl normálního (Gaussova) rozdělení)
Mějme náhodnou veličinu s normálním rozdělením X ~ N(}i,cr2) s hustotou
V2
na
exp
1 f x — ]i
2
cr
oo oo 1/X_^x2
DX = E(X-EX)2 = J (x-EX)2f(x)dx = J ^=^(x - ^2e~2K — J dx
00
00
Položíme-li y tj. x — ]i = cry a dx = crdy, potom
»00
DX=.L^ix->,)e
1 ( X—fl
2~ l[~> dx
sudá funkce
•00
2 / ^Ly2e-h2dy.
1/271'
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
22 / 38
Příklad
Položme \y2 = t, tj. y = V2ř a ydy = dt. Pak
X = cr
00 />00
2  / 2
3
Vlte^dt = cr2^=      n~xe~lát    a1,
v71 Jo
ř0    ^2/1 v'«- jo
protože
»oo 3
i ^-Vř = r(l)=r(i + i) = ir(i) = i^.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
23
Cebyševova nerovnost
Věta 8 (Cebyševova nerovnost, (Chebyshev's inequality))
Necht X je náhodná veličina s konečným druhým momentem. Potom pro libovolné e > 0 platí
P(\X-EX\ >e)<
DX
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
24 / 38
Příklad
Příklad 15
Biatlonista střílí nezávisle na sobě do terče, přičemž pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je 2/3. Odhadněte pravděpodobnost, že ze 300 pokusů bude mít 185 až 215 zásahů.
X ... počet zásahů, X ~ Bi(300,2/3)
EX = 300 • 2/3 = 200, DX = 300 • 2/3 • 1/3 = 66,66
Odhad
P(185 < X < 215)
P(185 - 200 < X - 200 < 215 - 200) P(-15 < X - EX < 15) = P(|X - EX\ < 15)
1 -P(\X-EX\ > 16) > 1 —
66,66 ~Í62~
= 0,7396
Přesně
P(185 < X < 215)
300' 185
+
2
3
'300 215
185
1
3
115
I
\ 225
+ 1
3
300' 186
75
186
1
3
114
+ ...
= 0,9694
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
25 / 38
Kovariance a korelační koeficient
Definice 9
Kovariancí (Covariance) dvou náhodných veličin x a y nazýváme číslo
c(x, y) = e(x — ex) (y - ey)
číslo
r(x,y)
c(x,y)
Vdxdy
nazýváme korelační koeficient (Correlation coefficient)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
26 / 38
Kovariance a korelační koeficient
Věta 10
Necht náhodné veličiny X a Y mají sdruženou distribuční funkci F(x,y). Pak
OO 00
C(X,Y)= í  í (x-EX)(y-EY)dF(x,y)
00 —00
Necht náhodné veličiny jsou diskrétního typu, tj. (X, Y)7 ~ (M,p(x,y)), pak platí
C(X,Y) =   £ (x-EX)(y-EY)p(x/y)
(jc,y)eM
Necht náhodné veličiny jsou absolutně spojitého typu, tj. (X, Y)7 ~ /(*/]/)/ pak platí
00 00
C(X, Y) = /  / (x - EX) (y - EY)/(x, y)dxdy
00 —00
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
27 / 38
Kovariance a korelační koeficient
Věta 11 (Vlastnosti kovariance a korelace)
Necht X a Y jsou náhodné veličiny, d\,a2,b\,b2 £ Potom
► C(X,X) = DX a        R(X,X) = 1.
► C(X, Y) = C(Y,X)       a       ]?(X, Y) = R(Y,X).
C(X, Y) = E(XY) - (EX)(EY) .
Jsou-li náhodné veličiny X a Y nezávislé, pak C(X, Y) = i?(X, Y) = 0.
► |C(X,Y)| < VDXDY        a        |K(X,Y)| < 1-
► C(ai + a2X, fci + fc2 Y) = a2b2C{Xf Y)
+ a2X, &! + b2Y) = R(X, Y)sign(a2b2),       je-li a2 ^ 0 a b2 ^ 0.
► D(X +Y) = DX + DY + 2C(X,Y).
► R(X, Y) = 1 <^> existují konstanty a a b > 0 ŕa/cové, že P(Y = a + &X) = 1 R(X, Y) = -1     existují konstanty a a b < 0 ŕa/cové, že P(Y = a + &X) = 1
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
28 / 38
Příklad
Příklad 16
Náhodný vektor (X, Y) má rovnoměrné diskrétní rozdělení na množině G = {[0,0]; [1,0]; [0,1]}. Vypočtěte C(X, Y) a R(X, Y).
n,V) ~ ^ 0 jinak
"X. Y X	0	1	Px(x)
0 1	1/3 1/3	1/3 0	2/3 1/3
Pr(y)	2/3	1/3	1
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
29 / 38
Příklad
EX = 0-1 + 1-1 = 1 = EY i i
E(XY) = E L x-y-p(x,y) = 0- 0- ±+ 0- l- ± + l- 0- ± + l- l- 0 = 0
x=Oy=0
C(X, Y) = E(XY) - (EX)(EY) = O - ±± = -i
E(X2)=02.| + l2.I = i = ^2)
DX = E(X2) - (EX)2 = I- i = | = DY
R«y) = J§? = f ■
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
30
Příklad
Náhodný vektor (X, Y) má rovnoměrné spojité rozdělení na množině G = {(x,y) G (0;1) x (0;l>;x + y < 1}. Vypočtěte C(X,Y) a R(X,Y)
c = 2
f (x, y)
^(y)
2 pro (x, y) G G 0 jinak
l—x
fx{x)= J 2dy = 2{l-x)
o
i-y
/ 2áx = 2(l-y)
o
EX = Jx-2(l-x)dx = 2 J(x-x2)dx = 2
o
o
n 1
J 0
= - = EY 3
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
31 / 38
Příklad
E(XY) =
1   pl—x rl
xy-2dydx = / x[yz]
ro Jo
o
rl rl
/ x(l—x)2dx = / (x3 — 2x2 + x)dx Jo Jo
2il-x j
q ha-
x-
2x3 x2
n 1
Jo
12
c(x, y) = e(xy) - (ex)(ey) = ^ - j j =
e (x2) = y x2 • 2 (1 - x) dx = 2 J(x2-x3)dx = 2
o
DX = e(x2) - (ex)2
C(X,Y)
o
n 1
Jo
= 7 = e (y2
6
r(x,y)
Vdxdy i
36 18
-l_I-X-ny
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
32
Příklad
Příklad 18
Mějme dvourozměrný diskrétní náhodný vektor (X, Y) ~ (M,p), kde M = MxxMY = {0,1} x {-1,0,1}
P(x,y) = ji (x,y)e{(o,o),(i,-i),(i,i)},
0 jinak.
Vypočtěte korelační koeficient a marginální pravděpodobnostní funkce.
\ y x \	-10 1	Px(*)
0	0    i 0	1 3
i	i     0 i 3       u 3	2 3
py(y)	111 3       3 3	1
EX = 0 • £ + 1 • f =
EY = (—1) • i + O
2
" 3
1 + 1
3 ^ -1
4 = 0
E(XY) = O • O • - + 1 • (
3
i i „
= -3 + 3=°
1) ■ - +
1 3
Tj. C(X, Y) = E(XY) - (EX)(EY) = 0- 0= 0     X, Y jsou nekorelované.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
33 / 38
Příklad
Avšak nejsou nezávislé, neboť např.
p(0,0) = i  ^ px(0).pY(0) = \-\ = \-
Pokud bychom si ihned všimli, že platí vztah
X = Y2,
lze ihned počítat
C(X, Y) = E(XY) - (EX) (EY) = EY:
=o
E y3 My)
yGMy
("1)3-Í + 0S-Í + l3-5
= 0
Je třeba si uvědomit, že
• korelace je mírou lineárního vztahu;
• nulová korelace neimplikuje nezávislost, ale značí pouze, že mezi náhodnými veličinami neexistuje lineární vztah, což nevylučuje možnost jiného funkčního vztahu.
Jan Koláček (PřF MU) MV011 Statistika I 34/38
Kvantily a další číselné charakteristiky
Definice 12
Nechť Fje distribuční funkcí a oc G (0,1). Potom funkce
F_1(tt) = Q(a) = inf{x G R : F(x) > oc] se nazývá kvantilová funkce (Quantile function) a číslo
OL
Q(«)
se nazývá #-kvantilem (ft-quantile) rozdělení s distribuční funkcí F(x)
Poznámka 13
Pokud je distribuční funkce F spojitá a rostoucí, pak kvantilová funkce F_1 je inverzní funkcí k distribuční funkci F'. Za těchto předpokladů také platí vztah
P(Xoc/2 < X < X1_oc/1) = 1-CÍ.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
35 / 38
Kvantily a další číselné charakteristiky
Mezi často používané kvantily patří
xo,25    =    Q(0,25)    se nazývá   dolní kvartil (1st Quartile)
Xo,5    =    Q(0,5) medián (Median)
Xo,75    =    Q(0,75) horní kvartil (3rd Quartile)
V souvislosti s kvantily se také často uvádí interkvartilové rozpětí (Interquartile Range) IQR = Xq/75 — ^0,25 jako charakteristika variability náhodné veličiny X. Nejznámějším kvantilem je medián x = Xo,5» který udává polohu poloviny rozdělení. Další charakteristikou míry polohy je modus x (Mode).
Definice 14
► Nechť X r>u (M,p) je diskrétního typu, pak x značí libovolné Xj G M, pro které platíP(X = x) >P(X = Xi), i = 1,2,...
► Nechť X r>u f(x) je absolutně spojitého typu, pak x značí libovolné x G R, pro které platí/(£) >f(x), x G R.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
36 / 38
Kvantily a další číselné charakteristiky
Definice 15
Koeficient šikmosti (Skewness) je definován jako
7i =
1*3
(DX)
3/2
E(X-EX):
3/2
modus
median
modus
Jan Koláček (PřF MU)
37 / 38
Kvantily a další číselné charakteristiky
Definice 16
Koeficient špičatosti (Kurtosis) je definován jako
72
H E(X-EX)4 _
(DX)
(DX)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
38 / 38