Príklady na precvičovanie – komplexná čísla,
postupnosti a funkcie
Neriešené príklady
1. Vypočítajte. Úlohu g) vyriešte bez použitia Moivreovho vzorca.
a)
(1 − i)3
(2 + i)(1 + 2i)
, b)
(
1 + 2i
3 − i
)2
, c) i133
, d)
1 − i
√
3
2eiπ/4
,
e) i + i3
+ i15
+ i29
, f)
(
−
1
2
+
i
2
√
3
)9
, g)
√
60 − 11i.
2. Nájdite všetky hodnoty daných odmocnín a zapíšte ich v algebraickom,
goniometrickom i exponenciálnom tvare.
a)
4
√
i, b)
5
√
1, c) 5
√
1 − i, d)
5
√
32, e)
8
√
1.
Návod: Pri riešení úlohy b) využite identity
sin
2π
5
=
√
5 +
√
5
8
, cos
2π
5
=
−1 +
√
5
4
,
sin
4π
5
=
√
5 −
√
5
8
, cos
4π
5
=
−1 −
√
5
4
.
3. Riešte v C rovnice.
a) z2
− 3z + 3 + i = 0, b) z2
− 3iz − 3 + i = 0.
4. Rovnostranný rovinný trojuholník má ťažisko v bode [0, 0] a jeden vrchol
v bode [1, 0]. Nájdite jeho zvyšné dva vrcholy.
5. Vypočítajte dĺžku strany pravidelného n-uholníka, ktorého vrcholy sú
riešeniami rovnice zn
= 1, n ∈ N \ {1, 2}.
6. Pre k ∈ N nájdite hodnotu výrazu zk
+ 1
zk , ak viete, že z + 1
z
= 2 cos α,
kde α ∈ R.
1
7. Stanovte súčet
sin x − sin 2x + sin 3x − · · · + (−1)n−1
sin nx, x ∈ R.
8. Pre x ∈ R vyjadrite sin5
x a cos5
x ako lineárnu kombináciu sínusov a
kosínusov vhodných násobkov argumentu x.
9. Zapíšte dané množiny a načrtnite ich v komplexnej rovine.
a) 0 < Rez ≤ Imz, b) 2 < |z − 1 + 2i| < 4,
c) Re
(
1
z
)
=
1
2
, d) 1 ≤ Rez ≤ 5 e)
π
3
≤ argz ≤
5π
6
.
10. Vypočítajte limity postupností.
a) lim
n→∞
(
1
n
+ in
)
, b) lim
n→∞
2n − i
in + 3
c) lim
n→∞
(
1 + i
2
)n
,
d) lim
n→∞
einφ
, φ ∈ R, e) lim
n→∞
(
1
√
n
+ i
) (
in − 3
n
√
n + 1
)
.
11. Rozhodnite o (absolútnej/neabsolútnej) konvergencii/divergencii daných
nekonečných radov.
a)
∞∑
n=0
(
e−n
+ i
)
, b)
∞∑
n=0
i2n+1
(1 + in)n
, c)
∞∑
n=0
1 + i
n2 + i
.
12. Určte nekonečný súčet
∞∑
n=1
(
1
n2
+
i2n−1
2n − 1
)
.
13. Vypočítajte dané limity funkcií.
a) lim
z→0
(Rez2
)2
z2
, b) lim
z→∞
iz2
+ 3z
5z2 − 9i
.
2
14. Nájdite body nespojitosti funkcie
f(z) =
z + i
z2 − i
,
chápanej ako priradenie na C, a rozhodnite, či sa jedná o odstrániteľné
nespojitosti.
Výsledky
1. a) −2
5
(1 − i), b) −12
25
+ 7
50
i, c) i, d) e−i 7
12
π
, e) 0, f) − 1
81
√
3
i, g) ±11∓ i√
2
.
2. a)
z0 = eiπ/8
= cos
π
8
+ i sin
π
8
=
√√
2 + 1
4
√
8
+ i
√√
2 − 1
4
√
8
,
z1 = ei5π/8
= cos
5π
8
+ i sin
5π
8
= −
√√
2 − 1
4
√
8
+ i
√√
2 + 1
4
√
8
,
z2 = ei9π/8
= cos
9π
8
+ i sin
9π
8
= −
√√
2 + 1
4
√
8
− i
√√
2 − 1
4
√
8
,
z3 = ei13π/8
= cos
13π
8
+ i sin
13π
8
=
√√
2 − 1
4
√
8
− i
√√
2 + 1
4
√
8
.
b)
z0 = 1,
z1 = ei2π/5
= cos
2π
5
+ i sin
2π
5
=
√
5 − 1
4
+ i
√
5 +
√
5
8
,
z2 = ei4π/5
= cos
4π
5
+ i sin
4π
5
= −
√
5 + 1
4
+ i
√
5 −
√
5
8
,
z3 = ei6π/5
= cos
6π
5
+ i sin
6π
5
= −
√
5 + 1
4
− i
√
5 −
√
5
8
,
z4 = ei8π/5
= cos
8π
5
+ i sin
8π
5
=
√
5 − 1
4
− i
√
5 +
√
5
8
.
3
c) Jedna hodnota je napríklad 10
√
2ei3π/4
= (−1 + i)/ 5
√
4. Ostatné
hodnoty majú tvar
(−1 + i)
5
√
4
· ε, ε ∈
5
√
1.
d) 2 · ε, ε ∈ 5
√
1.
e) ±1, ±i, ±1+i√
2
, ±1−i√
2
.
3. a) 2 − i, 1 + i, b) 1 + i, −1 + 2i.
4. −1
2
± i
√
3
2
.
5. s = 2 sin π
n
.
6. 2 cos kα (z = e±iα
ako dva korene kvadratickej rovnice).
7. 


−
sin n(x+π)
2
· sin (n+1)(x+π)
2
cos x
2
, x ̸= (2l − 1)π,
0, x = (2l − 1)π,
l ∈ Z.
8. cos5
x = cos 5x+5 cos 3x+10 cos x
16
, sin5
x = sin 5x−5 sin 3x+10 sin x
16
.
9. a) 0 < x ≤ y, b) medzikružie so stredom [1, −2] a s polomermi
√
2 a
2, c) kružnica so stredom v bode [1, 0] a s polomerom 1, okrem bodu
[0, 0], d) 1 ≤ x ≤ 5, e) štvrťrovina y ≥
√
3x a y ≥ − 1√
3
x.
10. a) ∞, b) −2i, c) 0, d) pre φ ̸= 0 neexistuje, pre φ = 0 hodnota 1, e) 0.
11. a) diverguje, b) absolútne konverguje, c) absolútne konverguje.
12. π2
6
+ i π
4
.
13. a) 0, b) i
5
.
14. neodstrániteľné nespojitosti v bodoch ±1+i√
2
.
4