lřKBl-NC.AtNl NSRoVNom sl ,.mkco splfiujici Llpschltzovu podmínku, funkce f (t T) i 6 » « ncklisajlri v X. Nedlí počáteinl 3 Buď «M -p0Ji'A ?Ti = J mijidhrf uptaé řešeni p. Ukažte, že ptc, každou spojito r(t)< po+ * pliti x(t) Ž ¥(')• , a -^m každého z následujících počátečních problémů existuje 4 Dokaltc ie up)ne resera i"" pro viechna I > - o c) !/' = xy + «~ y(xo) = »0, l/(xo) = l/o- 5 Nechť v' = /(*.») Je skalární diferenciální rovnice taková, že funkce / a S//3, jsou spojité v 3= a že zde platí l^(x,y)| <*(*), \dy I kde k je spojitá funkce v K. Dokažte, že úplné řešení počátečního problému y' = /{x,yl, Sr(xo) - !/o je definováno pro všechna x > xo- 6. Bud /(l,x) spojitá n-vektorová funkce taková, že v oblasti \y\, > b platí »•/(*,»)< t(x) |»||, kde I ■ (j značí Euklidovu normu, ■ značí skalární součin a k funkci spojitou na R. Dokažte, že úplné řešení rovnice y' = f(x,y) s libovolnou počáteční podmínkou s(zo) = yo existuje pro všechna z > x0. Doporučená literatura Lakshmikantham V. - Leela S. [1]. VI. AUTONOMNÍ SYSTÉMY 1. Geometrická interpretace Vektorová diferenciální rovnice (1.1) kde vektorová funkce / je definováni na nějaké obUltí n v pr«.t^. je v(í) definovane' na iutervaAl {ti - c, t^ — c). >.'-'.• ' Důkaz. Platí = ^(t+c) = /[*(<+e)J = {[til)} pro každé 1 C ft(—!.!,-«, takže ^ je řešením rovnice (1.1) a v''(fo - e) = v'Ca) ■ *o- O Poznámka. Bez újmy na obecnosti můžeme tedy každou trajektorii rr/vráce 11.1) určit počáteční podmínkou v óisc ío — 0. 1.2 Příklad. 1. Autonomní systém ý . . xj = • *j, . : ' ..." j ' \ ' ■:■[: zi = -xj : • : má fundamentální maticí j sin í cos í cosi 1 -siní! Vektorová funkce o složkách X| — siní, xj - cosi je te\ly jedním z řešení daného systému pro í € (-00,00). Vektorová funkce o složkách xi = sin(l + e). xi .«'. cos(l + c) je rovnéž řeSením pio t € {-30,00). Trajektorií každého z těduo drou, Skenováno pomocí CamScann .„^SOMStSVírťMV e středem ,.nfh0systému kružniceso středem v poťatku o rfed*! u*J«»w ,WM, r' _ c. = o, kdy trajektorii je Jediný bod "-V?' ^ÄsnfcoX na obcích Cl a 6.2. Šipky poloměru . '">d (|wčiitek Šipky na trajek- Obr. 0.2 2. Uvažujme nyni autonomní systém «1 = L x'i = 0. Integraci Jednotlivých rovnic tohoto systému dostáváme obecné řešení x\ = C\ + í, x? ~ C'2- Trajektorie jsou tedy přímky rovnobežné s osou X\. 1.3Včta. BuJte-r, 0 řešení rovriice,l.lj. PaJrJejicfi trajektorie buďto splývají, nebo neztaji ani jeden boj společný. Ottu. Nechť napr. y(l,) ^ v'(lj). Označme í(t) := yj(í + c), kde c = É1 - i2. Podle předcházející vety je i řešením (1.1) a x(l3) = vj(r3 + í, - (2) = plti) = V(íl). Vzhledem k předpokladu jednoznačnosti řešení počátečního problému platí '(') E ť(t). Trajektorie řešení z a ŕ tedv splývají. Ponévadž řešení j) a i maji tulez trajektorii, trajektoiie ieíení paý splývají. □ 1.4 Definice. Bod ig se nazývá róijtJdmt lad (fa-tticlaj Jod, ítaciondrnt 6od, J rovnice (1.1) se „azyva C|tí«, jestliže je uzavřenou křivkou. ■ST Hod zr, je zřejmé slnKulínilm bariem pravé tehdy, když (1.1) mí fcijnsuntní řešeni : sa, t € (-00,00) V přikladu 1.2 v kom* trajMctotU :»,v.j n»sv>ĽrnňVi bodtl •> cyklu vyskytly také trajektorie. kt<-ré !y> duraJnartaovat la>, j> jamy «4« nikde neprotínají. Nádcďijírí veta uka/uy:, >e kri/r:.'. tMu

řešení rovnice (l.lj definované na / « fa, l). Předpokládejme, že trajektorie řešení ^ není typu 3. Pak t-xismjí ř,. ra s /. f, < f, tak, že pťtf) V?{ř2). b'kážcme nejprve, že v tomto případe ŕGeeol ^ '-icíjttije pro vfodma [ 6 /. Oznářlme-li tHO := V(< -Mi je ii řešeni rovoire íl.li de.Wrar.i- Ba intervalu (o-<2 + 'i>*-'» + (t)- - V(£i) = r(ti). obéřetetil nrusi splýval, takiV ý(t) S 'ŕt')' lešení v3, V" musí mít. stejný definiční ola>r (pou»>vadi jsou upitá), a to je možné jen tak, že a = -cc, 6 - oc. Platí t*dy ľ - X. Číslo T — řj — ti je periodou řešeni ^. Také každé éí-do iT je periodou pro k € N. Množina P všech period funkce ^ má tyto vlastností: T <~ P => —T € F. r,, r2€P=>r, +r2s p, F je uzavřená. Vskutku, je-li t4 -> r, rt e P, pak r e P, neboť ze vztahu ŕÍA + ') = a zc spojitosti ip plyne y(r + t) = ^(í). Je tedy P uzavřená a mohou nastat dva případy: 1, P obsahuje nejmenší kladné číslo. 2. P obsahuje libovolně malú kladná čísla. V prvním případe označme tuto nejmenší kladnou periodu r. Vkáieme, Je Pn(0,oo) = {Ér;*eN}. Vskutku, buďu e Pn (O.cc). Pak existuje k£ľiu {0} tak, že tr < < {k ■<- l)r. Ale tj - fcr je periodou a 0 < ^ - kr < t. Pouévadž r je uťjrneri5i kladná perioda, je aj - fcr = 0, to jest u = kr a P n (0, oc) C (lh- : k€ N). Opačná inkluze je zřejmá. V druhém případe existuje posloupnost (rit) taková, že rj € P, T\ > t-j > ••• > T» > lim Ti - 0. Ukážeme, že libovolné kladné číslo r je prvkem P. Vskutku, ke každému t4 existuje ji € Nu {0| ták, že jYrk < r.< (ji i- l)r>, tedy |t -;'trt| < Tt- Ale jun. e P, lim jtri, = r, tedy r € P. V prvním případe je trajektorie odpovídající taseni ^ cyklem, přičemž řešeni v~ je periodické s nejmenší periodou r. Druhy phpad může nastat, jen když áfi jedná o degenerovanou trajektorii. □ Skenováno pomocí CamScann 2. Typy sin«" ,, _-tínl dvou rovni' w Bu* dán autonomní »>««™ AUTONOMNÍ JYÍTÍMY „gul.lr.iicl. bodů v rovině vektorovém tvaru (21) ,.. uvlnoznacooat í<*iii kaídáho poíátečního problému. ,!,'„/ kdy* exisuije ryzí okolí y hodu i„ takové, Se každým bodom a e (/ produU jediná U-ajaktorie, kteráJt uzavřená ■ ob.sal.uju vo svém vnitřku bod loj ohnUko, kdyi existuje ryzí okolí V bodu takové, žc bod 1(1) trajektorie x vyrháwjW z libovolného bodu o 6 f má tu vlastnost, že konvergujo pro í -» M nebo i -t -oo k jo, » U> lak, že velikost orientovaného úhlu vektoru ŤTíjtl nj nejakého perniho vektoru T„j-f ina nevlál tni limitu; u;cA když existuje ryzí okolí U bodu ia takové, že pro bod trajektorie z vycházející i libovolného bodu u Q U platí lim x(í) " /» nebo ^ Mm x(í) = Zo, přífemí velikost orientovaného úhlu vektoru x0 *(') ™l nijakého pevného vektoru TuJ* má konečnou limitu; jerf/o, když existuje jen koiiorný počet trajektorií x = x{t) takových, le Um i(I) = m nebo l.oo lim x(t) — x0. Pemámkň, Je-li j-» ŕ u singulární bod rovnice (2.1), lze posunutím y = x — x0 transformovat (2.1) na rovnici y' - /(y + Ju), která má singulární bod v počátku (átovéha prostoro KJ. Touto transformaci so nemění typ singulárního bodu. Provodeme nyní klasifikaci singulárních bodň a popíSeiuc prúbčh trajektorií Lineárních autonomních systémů ve fázovom prostoru H2. 3. Lineární autonomní systŕmy v rovině Buď dán autonomní Kyitém (3.1) kde *' = Az, t<« n> ftlnovidaiírt i ,WOm Jí " ľ ' r e " wSenim léto rovnice. Trajektorie •Vuk„. lbn™ ,JSOU, í** Stt'jnolchtó se «r«km stejnolehlosti v Po- ^ *V, kdyi O nen. kořenem charakteristické rovnice matice A V-(uu+a„)A + (1]1Ii3J_„I202i=u t 3. LINEÁRNÍ AUTONOMNÍ SYSTtMV V IUOVINĚ W . Jestliže dct/4 O, pak oxivtuje singulární bod v ý (I rovince (3.J). Rovnice (3J) má v tomto případe nekoneční mnoho singulárních bodů. Jo li uavlc A / O, jsou singulárními právě víechny hody přímky i - rt>, r 6 SI Jc-li 4 O, Je kaidý bori fázového prostoru a3 singulární. Z algebry je známo, že existuje vhodná reálná lineární transformace % Pw převádějíc! rovnici (3.1) na tvar (3.3) Podle povahy kořenů /j, ľ charakteristické rovnice matice A múíe být U tvaru ľ 0] ľ/i Oj 'I ľ "O' «(«) J ' ľrviu tvar odpovídá dvěma reálným různým kořenům ii, v, druhý a třetí tvar dvojnásobnému kořenu ;j. Jr>-li [rit3| + |a3i| - O, nastane případ druhý, Je-li |íj12| + |fj3i| ■£ O, n;iiitane přfpad třetí. Poslední tvar odpovídá případu nerifáJn.vch komplexne sdruí:t;nýrh kořenů fi, v. Určínie-li trajektorie rovnice (3.3), jsou traje.kinríe rovnice (3,1) dány rovnici x — Pw, to jest, obdržíme je z nich line.irní trausfortnarí, která geometricky predstavuje otočení, symetrii vzhledem k přímce a dilataci. h tudíž neméuí typ singulárního bodu. Můžeme tedy vyšetřování průběhu trajektorii rovnice {3.1 J nahradit vyšetřováním průběhu trajektorií rovnice (3.3) v okolí počátku. Označme zu. tím účelem u a v složky vektoru w. Předpokládejme nejprve, že det/1 = O, A ý- O, 1. Má-U charakteristická rovnice (3.2) kořeny (x o Qt y jí O, pak kde v jí 0. ílešenim autonomní rovnice (3.3) je vektorová funkce o složkách u - uoi i' = foexp(W), kde uq,V(í e H jsou libovolné konstanty. Singulárními body jsou zřejmč vSedmy body ležící v přímce u — 0. Odpovídají volbč Vq = 0. Je-li vo 0, jsou trajektoriemi otevřené polopřímky vycházející z bodu (tto,0| a ležící v přímce u = uq {viz obr. 6.3 pro případ u < 0, a obr. (i.4 pro případ v > 0). Je-li ^ / 0 a u = 0, je [o oj Situace je stejná až na otočení o úhel sr/2- Singulárními body jsou vSeclmy body přímky u = 0 a ostatní trajektorie rovnice (3.3) jsou otevřené polopřímky rovnoběžné s přímkou v = 0. J ■ \ ' '* Skenováno pomocí CamSca ' g autonomní systémy "f _, . , Obr. 6.4 Obr. 6.3 2. Má-li charakteristická rovnice (3.2) dvojnásobný kořen 0, je B Trajektorii! rovnice (3.3) jsou určeny rovnicemi U = Uo + Vůt, V = Vo- Singulárními body jsou opět body přímky v = 0. Odpovídají volbě va = 0. Je-li fo jí 0, jsou trajektoriemi přímky procházející bodem [uo, v0] rovnoběžné s přímkou v = 0 (viz obr. 6.5). Obr. 6.5 Ve zbývajíc! části tohoto odstavce budeme předpokládat det A jí 0, takže k vnkeľ^ľ'y b0d V í,oí'llku tt^vého prostoru H? a jsou-li /i a i/ rovnice (3.2), pak je /i = [u(z), v(t)] k počátku a platí oc. ležHi íufj. tt] v 1. teba 3. kvadraxriíi. —oo, íezí-lí [uí-.-v] v Z nebe-S. kvaii-inv,:. lim -44 = lim Počátek je tedy uzel (obr. 6.6). ... , f 1.2. Je-li 0 < /i < v, řešení jsou opět tvaru (3-4), je ovisat v/p > i; Počisek j opět uzel (obr. 6.7). Obr. 6.6 Obr. 6.7 1.3. Nechť „■ < 0, v < 0, A * - Transformace< jeden z předcházejících. Průběh trajektorií je stejny^ohyb bodu u;lt| po ttajett je však opačný. Jedná se opět o uzel (obr. 6.8 a 6,9>. . . ■ Skenováno pomocí CamScann LTONOMNI SYSTÉMY Obr. 6.8 Obr. 6.9 , r „ a v ooačnvch znamének, je exponent v\y. v (3.4) záporný. V počata je^Ä tp» J« —— " °br- 6-10 (pHpad " > ° > "> * obe 0.11 (piipad ľ > 0 >/i)- Obr. 6.10 Obr. 6.11 2. Má-U charakteristická rovnice (3.2) dvojnásobný kořen ji ?í 0 a |nn|+|a2il = 0, -[! II- V tomto případě jsou zdegenerovanými trajektoriemi rovnice (3.3) polopřímky vycházející z počátku n^oe", v = n>e<", u„, «„ 6 R. (pr^Íd^or1' SÍtMCe 5C Zná20rněna na 0bt- 612 (P^P*1 K < °) * "a obr" 6'13 3. LlNKAílNÍ AUTOKOMNj SYSTÉMY v ROVINĚ Je Obr. 6.12 Obr. 6.13 3. Máli charakteristická rovnice (3.2) dvojnásobný kr,ŕen p ^ 0 a!a.?;-r>ai,i i 0, -is :i Trajektorie rovnice (3.1) jsou určeny rovnicemi ti = ť' (uo + lot), • = ťje*1. Je-li vq — 0, loži trajektorie v ose u. Je-1: ?t 0, je 1 . v t= -loji r0 a rovnici trajektorií lze psát ve tvanj Průběh trajektorií v okoli počátku, což je oprt uzel, je znizoraen na obr. 6.14 (;i > 0) a na obr. 6.15 ((j < 0). Obr. 6.14 Obr. 6,15 Skenováno pomocí CamScann (.1 i) n.-n-.vliv kořeny c,J« 4 UM****"**'™"'' Ä - [ -00«) NV>ic«*»WMvra tratoriemi j*™ -obr.M«(iJ>0)»obr. 6.1T (d < 0) = ar, •'' = —0", t... rovnice tiajoktorií jsou tedy kružnice iiJ +i'2 = cj a počátek je střed Obr. 6.16 Obr. 6.17 4.2. Je-li o / 0, jedná se o systém ií' = cm + pff, v' = -{3u + av. Zavedením polinách souřadnic u = r cos 0) a na obr. „ j, (a > • ' 1 I.IÍÍKAII.Nl AUTONOMNÍ SYrrtMY V ROVIMfš 1 Obr. 6.18 Obr. 6.19 Obr. 6.20 Obr. 8.21 Poznámka. Výsledky tohoto odstavce lze shrnout taktů. Označme ■ . A := det .4 - Quo^a - ůncrsi, D := (on + oa2)2 - 4(au»a - oti"2t) = ("n _ "t:}1 .+ -tcuacon • takže D je diskriminant charakteristické rovnice matice A. Jednotlivé typy singulárního bodu JO,Oj rovnice 13.1) jsou cbarakterisovany takío1: Ohnisko: A > 0. D < 0, a„ + a«/0. Střed: A > 0, D < 0. i>uTaa=0. Ustel: A>0. D>U- Sedlo: A< 0. .' •; 1V případe A ■ 0, A Tt O vyplňuji sloju!*™ body n»nkx (3.1) přímku pwhAiřjicl pofálkiřin M navíc «„ + au ^ 0. jwu nstatni trajektorie tmn« ot«vtené„ viaierau* r«K^oWa»< polopřlmky vycházející i bodu l