M4502 Matematická analýza 4
Okruhy k ústní zkoušce
Metrické prostory
1. Definice a příklady metrických prostorů. Konvergence v metrickém prostoru, kompaktní mno-
žiny.
2. Banachova věta a její důkaz, příklad použití.
Diferenciální počet funkcí více proměnných
3. Pojem funkce dvou proměnných, limita funkce, spojitost funkce v bodě, Weierstrassova věta.
4. Parciální derivace funkce a jejich geometrický význam, derivace vyšších řádů, Schwarzova věta,
diferenciál funkce.
5. Lokální a absolutní extrémy funkce dvou proměnných (postačující podmínka pro existenci lokálního
extrému a její důkaz).
Obyčejné diferenciální rovnice
6. Diferenciální rovnice 1.řádu – počáteční úloha, řešení základních typů rovnic (separace proměnných,
lineární rovnice, homogenní rovnice, Bernoulliova rovnice, exaktní rovnice).
7. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro diferenciální rovnice prvního řádu.
8. Lineární diferenciální rovnice 2.řádu – počáteční úloha, vlastnosti homogenní rovnice a fundamentální
systém řešení. Odvození charakteristické rovnice a fundamentální systém řešení pro
rovnici s konstantními koeficienty.
9. Nalezení řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice 2.řádu – metoda neurčitých koeficientů
a variace konstanty.
Nekonečné číselné řady
10. Pojem nekonečná číselná řada a její součet, konvergence/divergence řady, geometrická řada a
její součet, operace s číselnými řadami (zákon asociativní a distributivní pro nekonečné řady).
11. Kritéria konvergence pro řady s nezápornými členy a příklady (harmonická řada).
12. Řady alternující a řady s libovolnými členy. Absolutní a neabsolutní konvergence, přerovnávání
řad.
Nekonečné řady funkcí
13. Posloupnosti funkcí. Stejnoměrná konvergence a ilustrace na příkladech. Weierstrassovo kritérium.
Vlastnosti stejnoměrně konvergentních řad.
14. Mocninné řady. Poloměr konvergence, obor konvergence, integrace a derivace mocninných řad.
15. Rozvoj funkcí do mocninných řad (Taylorova řada, rozvoj elem. funkcí, binomická řada).
Integrální počet funkcí více proměnných
16. Zavedení dvojného integrálu – dvojný integrál na obdélníku, měřitelná množina (definice, typický
zápis měřitelné množiny), dvojný integrál na měřitelné množině.
17. Výpočet dvojného integrálu – Fubiniova věta, transformace dvojného integrálu do polárních
souřadnic a obecná transformace.
18. Trojný integrál – výpočet trojného integrálu na kvádru a na měřitelné množině pomocí Fubiniovy
věty. Transformace trojného integrálu do válcových souřadnic.
19. Aplikace dvojného a trojného integrálu.