Matematická analýza 4
Ukázková zkoušková písemka
První část Každý příklad je za jeden bod.
příklad 1: Určete obecné řešení rovnice
y\x2 + l) + 2xy=
x2 + 1
příklad 2: Najděte homogenní lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficenty, která má řešení y = sin3x.
příklad 3: Mnoho živočichů roste tak, že mohou dorůstat jisté maximální délky a rychlost jejich růstu je úměrná délce, která jim do této maximální délky chybí (tj. kolik ještě musí do této maximální délky dorůst). Sestavte diferenciální rovnici popisující takovýto růst.
příklad 4: Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce
v/(3;2+ž/2_1)(4_a.2_ž/2)
j(x,y) =-—----.
arctg (x2 + 1)
příklad 5: Ukažte, že neexistuje limita
x2-y2 lim -——-.
(x,y)^(0,0) x2 + y2
příklad 6: Vypočtěte parciální derivace 2. řádu pro funkci
f(x,y) = ln yjx2 + y2.
příklad 7: Trojný integrál jjjv f(x, y) dx dy dz, kde
V = {[x,y,z]: x2 + y2 < 1, 0 < x2 + y2 < z} převeďte na trojnásobný integrál ve válcových souřadnicích. příklad 8: Vypočtěte dvojný integrál
/ /  ^dx dy,
J J m y
kde množina M je ohraničena křivkammi y = x, xy = 1 a x = 2. příklad 9: Rozhodněte o konvergenci řady
oo „
En
n=l
příklad 10: Určete poloměr a obor konvergence mocninné řady
n=l
Druhá část Každý příklad je za dva a půl bodu.
příklad 1: Najděte řešení diferenciální rovnice
y" + 3y' = xe~3x
vyhovující počátečním podmínkám
y(0) = 0, y'(0) = 1.
příklad 2: Určete absolutní extrémy funkce
f(x,y) = x2 + y2 - xy - 2
na množme
M = {[x,y] G M2 | \x\-l<y <l}
příklad 3: Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah roviného obrazce, který je ohraničen křivkami
x2 + y2 = 2x      a      x2 + y2 = Ax. příklad 4: Pomocí transformace do sférických souřadnic vypočtěte
\/x2 + y2 + z2 dx dy dz,
v
kde pro množinu V platí
V = \ [x, y, z]: 1 < x2 + y2 + z2 < 4, z > \/x2 + »<2