Masarykova univerzita • Přírodovědecká fakulta Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka NEKONEČNÉ ŘADY S PROGRAMEM MAPLE Brno, 2002 Obsah Obsah 2 Seznam obrázků 4 Seznam animací 6 Předmluva 7 1 Nekonečné číselné řady - základní pojmy 10 1.1 Součet řady............................. 11 1.2 Operace s číselnými řadami..................... 20 2 Číselné řady s nezápornými členy 28 2.1 Kriteria konvergence........................ 28 3 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní 44 3.1 Alternující řady........................... 44 3.2 Absolutní konvergence číselných řad................ 47 3.3 Přerovnávání řad.......................... 52 4 Součin řad a numerická sumace řad 59 4.1 Součin řad.............................. 59 4.2 Numerická sumace......................... 64 5 Posloupnosti a řady funkcí 68 5.1 Pojmy posloupnost a řada funkcí.................. 69 5.2 Stejnoměrná konvergence...................... 71 5.3 Kritéria stejnoměrné konvergence ................. 73 5.4 Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad funkcí . 78 2 Obsah_3 6 Mocninné řady 85 6.1 Obor konvergence.......................... 85 6.2 Vlastnosti a součet mocninné řady................. 93 6.3 Taylorova a Maclaurinova řada................... 98 7 Užití mocninných řad 113 7.1 Přibližný výpočet funkčních hodnot................ 113 7.2 Určování funkčních hodnot logaritmů............... 117 7.3 Výpočet limit............................ 118 7.4 Přibližný výpočet integrálů..................... 120 7.5 Řešení diferenciálních rovnic pomocí mocninných řad ...... 123 8 Fourierovy řady 129 8.1 Fourierovy řady vzhledem k systému {(pn(x)}........... 130 8.2 Fourierovy řady vzhledem k systému {cos nx, sin nx}....... 135 8.3 Konvergence Fourierovy řady ................... 139 9 Videoukázky 159 9.1 Klipl: přednáška - nekonečné číselné řady............. 159 9.2 Klip2: cvičení - řešené příklady na konvergenci řad........ 162 9.3 Klip3: přednáška - nekonečné řady funkcí............. 164 Výsledky cvičení 166 Použitá literatura 169 Rejstřík 171 Seznam obrázků 1.1 Posloupnost částečných součtů řady ^ (3»-2)(3»+i)^ 1.2 Sierpiňského koberec pro n = 2 a. n = 3............... 24 2.1 Dolní odhad integrálu f™ —^ dx pomocí součtu řady ...... 40 2.2 Horní odhad integrálu f™ —^ dx pomocí součtu řady ...... 40 3.1 Monotonie posloupnosti {}.................. 46 3.2 Přerovnaná Leibnizova řada se součtem 1,8............ 56 3.3 Částečné součty přerovnané Leibnizovy řady ........... 56 3.4 Přerovnaná Leibnizova řada se součtem 0,7............ 57 3.5 Částečné součty přerovnané Leibnizovy řady ........... 57 3.6 Přerovnaná Leibnizova řada se součtem—0,6........... 58 3.7 Částečné součty přerovnané Leibnizovy řady ........... 58 5.1 Posloupnosti funkcí {xn} a {arctgnx} ............... 70 5.2 Částečné součty řady J2ti pro x e [0, 2jt].......... 76 5.3 Částečný součet řady J2T=i Pro n = 45 ............ 77 6.1 Funkce ln(l + x) a její Maclaurinovy polynomy..........100 6.2 Funkce (1 + x)3 a její Maclaurinovy polynomy ..........104 2 6.3 Funkce e~x a její Maclaurinovy polynomy ............107 8.1 Funkce x2, x e (—n, tí) a její Fourierův polynom pro n = 3 . . . . 144 8.2 Periodické rozšíření funkce x2, x e (—n, tí)............148 8.3 Periodické rozšíření funkce x2 a jeho Fourierův polynom pro n = 0 148 8.4 Periodické rozšíření funkce x2 a jeho Fourierův polynom pro n = 2 149 8.5 Periodické rozšíření funkce x2 a jeho Fourierovy polynomy . . . . 149 8.6 Periodické rozšíření funkce ex, x e (0, 2jt) ............150 8.7 Sudé periodické rozšíření funkce x, x € (0,7t)...........151 4 Seznam obrázků 5 8.8 Periodické rozšíření funkce x, x e (—í, 1).............151 8.9 Funkce sgn(x), x e (—n, tí) a její Fourierův polynom pro n = 3 . 154 8.10 Periodické rozšíření funkce sgn(x) a jeho Four. polynom pro n = 1 155 8.11 Periodické rozšíření funkce sgn(x) a jeho Four. polynom pro n = 5 155 8.12 Periodické rozšíření funkce sgn(x) a jeho Fourierovy polynomy . 156 Seznam animací Taylorovy rozvoje Funkce ex v bodě x0 = — 2 2 Funkce e~x v bodě x0 = 0 Funkce ln(l + x) v bodě x0 = 0 Funkce sin x v bodě x0 = 0 Funkce ^/x v bodě x0 = 1 Funkce - v bodě x0 = 3 Fourierovy rozvoje Funkce x2 na intervalu (—7t, jt) Funkce x2 na intervalu (0, 2jt) Funkce sgnx na intervalu (—7t, jt) Funkce ex na intervalu (0, 2jt) Funkce ex na intervalu (—1, 1) Funkce |x| na intervalu (—1, 1) Funkce x na intervalu (—1, 1) |(jt — x) pro x e [0, jt] Funkce /(x) Funkce f(x) Funkce f(x) — i(jr + x) pro x e [— jt,0] x pro x e [0, jt] 0 pro x e [—7t, 0] cosx pro x e [0, \] — cosx prox e [|, jr] na intervalu (0, jt) na intervalu (—jr, jr) na intervalu (0, jt) 6 Předmluva Když jsme v roce 1999 vydávali první CD-ROM Matematická analýza s programem Maple, uvedli jsme, že v příštích letech plánujeme pokračovat v edici dalšími partiemi matematické analýzy. Jsme rádi, že díky finanční podpoře FRVS můžeme tento záměr realizovat a studentům nabídnout další díl, tentokrát věnovaný tématu Nekonečné řady. Tento CD-ROM je učebním textem nového typu využívající možností současné výpočetní techniky. Ukazuje moderní způsob výuky matematické analýzy, kdy prostřednictvím počítačových technologií se student učí matematickou analýzu a naopak. Používaná symbolika je shodná se symbolikou užívanou v [13, 14]; zejména symbol N označuje množinu všech přirozených čísel, symbol Z označuje množinu všech celých čísel, symbol R množinu všech reálných čísel a R* značí rozšířenou množinu reálných čísel, tj. R* = R U {—oo, oo}. Stejně jako Diferenciální počet funkcí více proměnných jsou i Nekonečné řady tématem vhodným pro počítačově podporovanou výuku. Zejména rozvoje funkcí do mocninných a Fourierových řad se programem Maple velmi pěkně graficky ilustrují. Při výkladu probírané problematiky pomocí Maplu jsme se snažili o dodržování následujícího postupu: Nejdříve je problém řešen „krok za krokem" tak, jak bychom postupovali při řešení pomocí „tužky a papíru", Maple je používán pouze k dílčím výpočtům. Pokud je to dále možné, následuje zobecnění a automatizace řešení problému pomocí Mapleovského programovacího jazyka. Tyto části jsou v textu označeny pomocí další příklady je pak možno nalézt v odpovídajících zápisnících v adresáři Maple. Při tvorbě nových procedur byl důraz kladen především na jejich jednoduchost - tak, aby je byli studenti schopni psát v rámci cvičení z Maplu. Často je tedy potlačováno testování koreknosti zadávání vstupních parametrů, důraz je především kladen na vlastní algoritmus výpočtu. Komentáře v zápisnících jsou psány bez diakritiky, protože Maple zatím není lokalizován 7 8 Předmluva v českém jazyce. Mapleovské zápisníky jsou určeny pro verzi Maple 7, většinou jsou však použitelné i ve verzi Maple V 5.1. Ve srovnání s prvním CD-ROMem přinášíme dvě novinky v počítačovém zpracování. První novinkou j sou animace, pomocí nichž lze pohyblivě znázorňovat rozvoje funkcí do nekonečných řad. Věříme, že tyto animace pomohou studentům pochopit význam mocninných a Fourierových řad a rozdíl mezi nimi. Druhou novinkou je videozáznam přednášky, sloužící k repetitoriu daného tématu. Obsahuje tři sekvence, přehled základní teorie o nekonečných číselných řadách, ukázku řešení několika typických příkladů a přehled základní teorie o řadách funkcí. Základem pro vznik CD-ROMu se stal učební text Došlá Z., Novák V: Nekonečné řady, MU 1999 a 2002 a Mapleovské zápisníky s ukázkami řešení příkladů a novými procedurami. Pro čtenáře, kteří licenci Maplu nevlastní přinášíme i rozšířené HTML verze některých zápisníků, které je možno číst libovolným z webových prohlížečů. Pomocí těchto prohlížečů je možno přehrávat i všechny uvedené animace. Vlastní text je opět uložen ve formátu PDF (Portable Document Formát), který je standardem pro elektronickou publikační činnost a je nezávislý na platformě. Kromě jiného umožňuje prostřednictvím křížových odkazů rychle vyhledávat souvislosti napříč celým textem. Text se nachází na CD ve dvou variantách; design první je optimalizován pro čtení na obrazovce obvyklého barevného monitoru, design druhé verze (kterou čtete) je vhodný pro tisk na formát A4. Nově přidáváme odkazy na videosekvence (jsou na CD-ROM v adresáři video) a na PDF soubory s animacemi (vyžadují však Acrobat Reader verze alespoň 5). Videonahrávka byla pořízena s pomocí laboratoře LEMMA Fakulty informatiky MU v Brně. I když jde o simulovanou přednášku, byla natáčena naostro bez opakování záběrů. Nese proto prvky autentičnosti, včetně několika nepřesností odborných a jazykových. Uvádíme toto video s přesvědčením, že učební text oživí a posune vývoj podobných učebních textů opět o krůček dopředu. Pro lepší čitelnost textu napsaného během přednášky na tabuli jsou tyto texty uvedeny v kapitole 9 na straně 159. CD-ROM je určen pro posluchače bakalářského studia matematiky, fyziky, informatiky, a dále všem zájemcům o výuku matematické analýzy s využitím počítače a uživatelům CAS systému Maple. Spojení textu, grafiky, počítačových vstupů, výstupů, animací a videonahrávky se shrnutím základních pojmů probíraného tématu by mělo vytvořit prostředí sloužící k maximálně efektivnímu zvládnutí probírané problematiky. Předmluva 9 CD-ROM dále obsahuje inovovanou verzi textu Diferenciální počet více proměnných, a to zase ve dvou verzích: verzi optimalizovanou pro čtení na obrazovce a verzi optimalizovanou pro tisk Některé materiály z CD-ROMu jsou uloženy také na webové stránce projektu http: // www. math. muni. cz/~plch/nkpm/. Závěrem bychom rádi poděkovali studentům Přírodovědecké fakulty R Křížovi a K. Šrotovi za Mapleovské zápisníky k mocninným a Fourierovým řadám, studentům Fakulty informatiky R Kynčlové za animace k části Diferenciální počet funkcí více proměnných, M. Liškovi, V. Holerovi, R Hromkovi a kolegovi R. Haklovi za pomoc při natáčení a M. Rollerovi a T. Závodnému za pomoc při střihu a zpracování videa. Dále děkujeme kolegyni L. Langerové za účinkování při natáčení přednášky a panu A. Kalinovi za vytvoření instalačního programu a grafickou úpravu instalační brožurky CD-ROMu. Tento CD-ROM vznikl za podpory Fondu rozvoje VŠ v rámci řešení projektu č. 801/2002. Brno, prosinec 2002 Autoři Kapitola 1 Nekonečné číselné řady -základní pojmy Teorie nekonečných číselných řad vznikla ve druhé polovině 17. století spolu s utvářením infinitezimálního počtu. Mnohé myšlenky zrály řadu století, než se přiblížily dnešní podobě. V průběhu vývoje se někteří matematikové dopustili při počítání s řadami omylů, zejména v době, kdy nebyl pojem konvergence řady konstituován, a také v době, kdy panovala jakási hrůza z nekonečna. Tímto problémem se od počátku zabývali nejenom matematikové, ale i filozofové. Například Zenon z Eleje (490-430 př.n.l.) považoval za nemožné, že by nekonečný součet kladných čísel mohl být konečné číslo; připomeňme jeho aporii1 Achilles a želva: „Rýchlonohý Achilles nikdy nedožene želvu, jestliže se želva nachází v nějaké vzdálenosti před ním." Se součty nekonečných geometrických řad již pracoval (aniž používal dnešní symboliku) Archimedes (287-212 př. n. 1.), když určoval kvadraturu paraboly; první nekonečnou řadu, která nebyla geometrická, sečetl na základě fyzikálních úvah až ve středověku (kolem roku 1350) R. Swineshead. V celé historii matematiky byla snaha zodpovědět dvě základní otázky pro počítání s nekonečnými číselnými řadami: Jak sečíst nekonečnou (přesněji spočetnou) množinu čísel? Platí pro nekonečné součty podobné zákony jako pro konečné součty, zejména zákon distributivní, asociativní a komutativní? aporie - slepá ulička rozumu 10 Součet řady 11 Odpověď na obě otázky ukážeme v průběhu prvních čtyř kapitol, které jsou věnovány nekonečným číselným řadám. Cílem první kapitoly je zavést pojem součet řady a ukázat některé základní operace s číselnými řadami. 1.1. Součet řady Ze střední školy je dobře známa nekonečná geometrická řada. Postup použitý při určení jejího součtu, tj. utvoření tzv. částečných součtů a provedení limitního přechodu, je návodem pro obecnou definici. Definice 1.1. Nechť {an}™=l je posloupnost reálných čísel. Symbol oo an nebo a\ + a2 + a3 + ■ ■ ■ + an + • • • (1.1) n=l nazýváme nekonečnou číselnou řadou. Posloupnost {s^}^, kde si = ai, S2 = a\ + ci2, ■ ■ ■, sn = cti + ci2 + ■ ■ ■ + an,... , nazýváme posloupnost částečných součtů této řady. Existuje-li vlastní limita lim sn = s, řekneme, že řada Y)™, an konverguje a má součet s. Neexistuje-li vlastní limita Y\msn, řekneme, že řada YlT=i an diverguje. Nekonečná řada je tedy symbol YlT=i an nebo a\ + a2 + ■ ■ ■ + an + • • • , kde {an} je daná posloupnost. K tomuto symbolu je přiřazena posloupnost částečných součtů {sn}. Prvky posloupnosti {an} nazýváme členy řady YlT=i ar>> ^e a" Je n'lý člen. Číslo sn nazýváme n-tým částečným součtem této řady. V případě, kdy řada diverguje, rozlišujeme tři případy: > Je-li lim £„ = 00, říkáme, že řada určitě diverguje k +oo; > Je-li lim^ = —oo, říkáme, že řada určitě diverguje k —oo; > Jestliže lim^ neexistuje, říkáme, že řada osciluje. Má-li konvergentní řada ^] an součet s, píšeme YlT=i an = s. Je-li řada divergentní k ±oo, píšeme J2T=i an = 00> případně J2T=i an = —°°- Příklad 1.1. Vyšetřete, kdy konverguje nekonečná geometrická řada oo a + aq + • • • + aqn~l + • • • = ^ aqn~l, kde a ý O, q ý O, n=l 12 Nekonečné číselné řady - základní pojmy a určete její součet. Řešení Postupujeme podle Definice 1.1: určíme sn a provedeme limitní přechod. a) Nechť q = 1. Pak sn = na a platí lim^ = lim na = ±oo, tj. řada J2T=i a Je divergentní. b) Nechť q = — 1. Řada má tvar a + (—a) + • • • + (— \)n~la + ■ ■ ■, takže částečný součet je 0 pro sudé n, a pro liché n. Posloupnost {0, a, 0, a,...} nemá limitu, proto je tato řada oscilující. c) Nechť \q\ ý l. Platí sn = a + aq + • • • + aqn~l. Užitím vztahu (1 - q)(í + q + q2 + • • • + tf""1) = 1 - q" dostaneme 1 — q" sn = a(l + q +q2 + ■ ■ ■ + qn~l) = a-. l-q Uvažujme následující případy: pro \q\ < 1 je \imqn = 0, proto lim^ = j2^; pro q > 1 je limqn = oo, proto lim^ = ±oo; pro q < — 1 limita limqn neexistuje. Proto je geometrická řada pro \q\ > 1 divergentní a pro \q\ < 1 konvergentní. V tomto případě je její součet Příklad 1.2. Určete součet řady: oo íii ~ i b) -+-+-+ • • • = V- 1-4 4-7 7-10 ^ (3n - 2)(3n + 1) oo rí=i oo d) y^(Vn+2 - +1 + yň) rí=i i i i e) arcts - + arcts - + •••+ arcts —- + • • • 5 2 5 8 B2n2 Součet řady 13 Řešení Ve všech případech postupujeme podle Definice 1.1: určíme n-tý částečný součet sn dané řady a provedením limitního přechodu určíme její součet. a) Výraz pro člen an rozložíme v součet parciálních zlomků n(l+í) = \ — ■ Pak 111 1 111 s„ = 1--+---+ ••• +---+---= 1 22 3 n — 1 n n n +1 n +1 a proto s = lim s„ = lim ( 1--| = l. b) Postupujeme obdobně: provedeme rozklad členu an v součet parciálních zlomků, tj. 1 A B + (3n - 2)(3n + 1) 3n - 2 3n + 1 Z rovnice 1 = (3n - 2)5 + (3n + 1)A plyne 5 = -|, A = |, tj. 1 1/1 1 \ Pak (3n-2)(3n + l) 3 \3n - 2 3n + 1 1/111 1 1 1 1 -1-- +---+ ••• +---+ 4 4 7 3n - 5 3n-2 3n-2 3n + \ i, 1 3 V 3n + 1 a proto 1/ 1 \ 1 5 = lim s„ = lim - I--= -. 3 V 3n + 1 ) 3 Ukážeme si nyní řešení s využitím programu Maple. > rada:=Sum(l/((3*n-2)*(3*n+l)), n=l..infinity); rada := ^ (3n -2)(3n + l) Rozklad členu a„ v součet parciálních zlomků provedeme pomocí příkazu convert: > convert(op(1,rada),'parfrac',n); 11 11 33n-2 3 3/í + l 14 Nekonečné číselné řady - základní pojmy Pro zjednodušení určování n-tého částečného součtu zadané řady vytvoříme proceduru poslcass (expr, down, k) ,kde expr je výraz odpovídající^, down je dolní mez řady a k je přirozené číslo, udávající kolik členů posloupnosti částečných součtů si přejeme vypsat. Procedura vypíše prvních k členů posloupnosti částečných součtů, její n-tý člen a pokud je to možné vrátí součet zadané řady. > poslcass := proč (a, b, d) local i, j, s, e; > s := 0; j := 0; > for i from b to d+b-1 do > j := j+1; s := s+eval(subs(n = i, a)); > lprint(evaln(s[j]) = s) > od; > e := sum(a,n = b .. n) ; > lprint(evaln(s[n]) = e) ; > Sum(a,n = b .. infinity) = > limit(e,n = infinity) > end: Použití této procedury při řešení uvedeného příkladu dává tento výstup: > poslcass(op(1,rada),1,5); s[l] = 1/4 s[2] = 2/7 s[3] = 3/10 s[4] = 4/13 s[5] = 5/16 s[n] = 1/3-1/3/ (3*n+l) ^ (3n -2)(3n + l) 3 n=\ Pro vykreslení grafu posloupnosti částečných součtů můžeme použít proceduru sumplots (Sum (rada, n=a. .b) ), viz Obr. 1.1. n=l Pro kontrolu výpočtu můžeme použít i příkaz sum. > Sum(l/((3*n-2)*(3*n+l)), n=l..infinity)= > sum(l/((3*n-2)*(3*n+l)), n=l..infinity); Součet řady 15 sumplots := proc (rada) local term, n, a, b, psum, m, points, i, c, sn, pi, p2; if nargs = 2 then c := args[2] else c := 0 fi; if typematch(rada,('Sum')(term::algebraic, n::name = a::integer .. b::integer)) then psum :=,@'(evalf, unapply(Sum(term,n = a .. a+m-1),m)); points := [seq([[i, psum(i)+c], [i+1, psum(i)+c]], i = 1 .. b-a+1)]; points := map(op,points); pi := PLOT(CURVES(points),AXESLABELS(n,"s[n]")); sn := evalf(c+sum(term,n = a .. infinity)) else ERROR("expecting a Sum structure as input") fi; if sn < infinity then p2 := plot(sn,n = a .. b,linestyle = 4); display ({p2, pi}) else pi fi end: sumplots(Sum(op(1,rada),n=l..20)); c) Platí 12 3 n sn = - + — + — + ■■■ + — 2 22 23 2n odkud po vydělení dvěma plyne sn 1 2 3 n — = — + — + — + ••• + 2 22 23 24 2n+1 Odečtením druhé rovnice od první dostaneme 111 1 n + — + — + ••• + ti- Jelikož 2 2 22 23 2n 2"+1' /lil In 2 I - + — + — + ••• + — 2 22 23 2" 2n+1 /lil 1 \ 1 n liml - + — + — + ••• + — => — = 1, lim —- = 0, V 2 22 23 2n ) ^ 2n 2n+l v 7 n=l 16 Nekonečné číselné řady - základní pojmy 0.32-0.3- s[n] 0.28-0.26- 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n Obr. 1.1: Posloupnost částečných součtů řady ^ je součet řady oo En — = \imsn = 2. n=l Jiný způsob určení součtu této řady ukážeme v Příkladu 6.3 pomocí součtu mocninné řady. Z historického hlediska je tato řada první negeometrickou řadou, u které byl určen její součet. Určil ho středověký matematik Richard Swineshead v knize Liber calculationum napsané kolem roku 1350, když řešil tuto fyzikální úlohu: Jaká je průmérná rychlost v hmotného bodu s počáteční rychlostí Vq v časovém intervalu t e [0, 1], který se pohybuje takto: béhem první poloviny časového intervalu konstantní rychlostí, béhem další čtvrtiny intervalu rychlostí, která je dvojnásobkem počáteční rychlosti, béhem následující osminy intervalu se pohybuje rychlostí, která je trojnásobkem počáteční rychlosti atd. až do nekonečna. Součet řady 17 Využijeme-li výše odvozený součet řady, dostaneme s 11 (\ 2 n \ v = -=Sí+s2 + --- = v0.-+2v0.- + ■■■ = v0[- + — + ■■■ + —+ ■■■ )=2v0, t 2 4 V2 2 2 / tj. průměrná rychlost během celého časového intervalu se bude rovnat dvojnásobku počáteční rychlosti. d) Platí ax = VŠ-2V2+Í a2 = sfl - 2 VŠ + \Í2 a3 = VŠ - 2 \ÍA + VŠ an-2 = \[ň — 2*Jn — 1 + ■s/n — 2 an-i = ■s/n + 1 — 2^/Ťž + ■s/n — 1 a„ = ■s/n + 2 — 2 V n + 1 + Z uvedeného schématu je zřejmé, že = 1 — ■s/2 — ■s/n + 1 + + 2, a proto 5 = lim = 1 — V2 + lim (\/ŤT+~2 — ■s/n + 1) 1 - V2+ lim 1 -= 1 - V2. Vrc + 2 + + 1 e) Pro \x\ < \,\y\ < 1 platí vztah x + y arctg x + arctg _y = arctg 1 - xy Užitím tohoto vztahu postupně dostáváme 1 1 \+\ 2 s2 = a\ + a2 = arctg - + arctg - = arctg-r = arctg - &2 &s \ - j-6 3 2 1 - + — 3 s3 = s2 + a3 = arctg - + arctg — = arctg -lj- = arctg - 3 18 l~—8 4 18 Nekonečné číselné řady - základní pojmy H ~ 1 1 ~n~ + 2^ sn = sn-i + an = arcts-+ arcts —- = arcts-r- = B n &2n2 B 1 _ n_i n(2n2 -2n + l) n(2n2 - 2n + 1) n arct§ —-;— = arct§ TT~i-~-7T7-7T = arct§ 2n3-n + l (2n2 - 2n + l)(n + 1) n + l Součet řady je s = lim sn = lim arcts n n ŕj^oo ŕí^oo n + l 4 Příklad 1.3. Vyjádřete ve tvaru zlomku v základním tvaru číslo 0,215. Řešení. Platí _ 2 / 15 15 \ 2 15 / 1 \ 0,215 = —+— + — + •••= —+ — (l + —+ •••) 10 V10 10 / 10 10 3 V 10 / 2 15 1 _ 1 15 _ 1 1 _ 71 10 103 1 - 5 10-99 5 66 330' Následující věta udává nutnou podmínku konvergence řady. Věta 1.1. Jestliže řada YlT=i an konverguje, pak platí lim an = 0. Důkaz. Nechť YlT=i a" konverguje a YlT=i an = s - Tedy lim^ = i e 1, a protože ttn = $n — sn-i, plyne odtud lima„ = lim(sn — sn-i) = s — s = 0. □ Je třeba si uvědomit, že opak této věty neplatí. Je-li totiž pro řadu splněna podmínka lim an = 0, pak z ní konvergence řady ještě neplyne. Tuto skutečnost ilustruje následující příklad. Příklad 1.4. Řada YlT=i \ se nazÝva harmonická. V této řadě je každý člen harmonickým průměrem dvou sousedních členů, tj. platí 1 ^ + ^ an 2 Součet řady 19 V 1 Rada splňuje nutnou podmínku konvergence, neboť lim - = 0. Ukažme, že je tato řada divergentní. K tomuto účelu provedeme následující odhady: Sl = 1 1 s2 = 1 + - 2 11 11 1 s4 = s2 + - + - > s2 + - + - = 1 + 2.-3 4 4 4 2 1111 2 1111 3 s8 = 5-4H---1---1---1--> lH---1---1---1---1--= lH-- 5 6 7 8 28888 2 11111111 3 1 Sl6 = S8 + - + - + - + - + - + - + - + - > 1 + - + - + 9 10 11 12 13 14 15 16 2 16 1111111 4 +— + — + — + — + — + — + — = 1 + -16 16 16 16 16 16 16 2 n s2» > 1 + — 2 Posloupnost {sn} je rostoucí, proto má buď vlastní limitu nebo nevlastní limitu oo. Tutéž limitu má i vybraná posloupnost {s2n}; avšak z nalezeného odhadu plyne s2n -> oo, a proto také lim £„ = 00. Proto harmonická řada YlT=i ~ Ufčitě diverguje. Jak ukážeme později, divergenci této řady lze dokázat velmi jednoduše pomocí integrálního kritéria. Harmonická řada byla první řadou, u níž byla poprvé ukázána divergence řady. Učinil to právě uvedeným způsobem francouzský matematik Nicole Oresme (1323-1382). Bezprostředně z Definice 1.1 plyne tato věta: Věta 1.2. Nechť p e N. Rady YlT=i an> YlT=P+i an současně buď konvergují nebo divergují. Jestliže konvergují, pak platí 00 00 an = a\ + • • • + ap + an. n=l n=p+l Poznámka 1.1. Z předcházející věty plyne, že na konvergenci, resp. divergenci řady nemá vliv chování konečného počtu jejích členů. Proto budeme užívat tuto úmluvu: > pokud nějaký předpoklad nemusí platit pro konečný počet členů, budeme říkat, že platí pro skoro všechna n, tj. platí až od jistého indexu počínaje; 20 Nekonečné číselné řady - základní pojmy > pokud budeme vyšetřovat konvergenci (divergenci) řady, budeme místo YlT=i an psát jen ^2an. Nutnou a postačující podmínkou konvergence řady je následující věta, kterou budeme používat v dalších důkazech; k praktickým výpočtům není příliš vhodná. Lemma 1.1 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium konvergence). Rada YlT=i an Je konvergentní pravé tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů je cauchyovská, tj. pro libovolné e > 0 existuje n0 e N takové, že pro n e N, n > n0 a libovolné m e N platí \Sn+m $n I — + @n+2 + ' ' ' + an+m | < S. Důkaz. Plyne z Definice 1.1 a z úplnosti prostom R, což znamená, že každá posloupnost v R je konvergentní právě tehdy, když je cauchyovská (viz např. [3]). □ 1.2. Operace s číselnými řadami Zdrojem omylů mnoha matematiků byla skutečnost, že s nekonečnými součty nelze zacházet jako s konečnými součty. Uveďme příklad z historie: italský matematik Guido Grandi (1671-1742) uvažoval řadu oo i + (-i) + i + (-i) + ... = J](-ir ; n=0 dnes se tato řada nazývá Grandiho řada. Tato řada diverguje, protože s\ = \, $2 = 0, s3 = 1, ..., tj. limita sn neexistuje. Danou řadu lze uzávorkovat dvojím způsobem a dostaneme tyto řady: > řada 1 + [(—1) +1] + [(—1) +1] + • • • konverguje, neboťsn = 1 pro všechna n e N a s = lim sn = 1; > řada [1 + (—1)] + [1 + (—1)] + • • • konverguje, neboť sn = 0 pro všechna n e N a s = lim sn = 0. Jedná se o tři různé řady, kde první diverguje a druhé dvě konvergují, neboli uzávorkováním se porušila divergence řady. Grandiho výpočet byl následující: 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + • • • = (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + • • • = = 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)----= 1-0-0-0----= = 1, Operace s číselnými řadami 21 což si Grandi vyložil jako symbol stvoření světa bohem z ničeho. To vyvolalo bouřlivou polemiku, které se kromě Grandiho zúčastnil Leibniz, Nicolaus Bernoulli a jiní. V těchto diskusích se upřesňovaly pojmy součet nekonečné číselné řady, konvergence a divergence těchto řad. Grandi se dopustil dvou omylů: zkoumaná řada je divergentní, proto nemá konečný součet a kromě toho při svém výpočtu použil asociativní zákon, který obecně pro nekonečné řady neplatí. Základní operací s nekonečnými řadami je součet dvou konvergentních řad: Věta 1.3. Buďte ^an,^bn konvergentní řady a nechť' YJ an = s,^bn = t. Pak je konvergentní i řada YJ(a„ + bn) a platí ^{an + bn) = s + t. Důkaz. Označme {sn} posloupnost částečných součtů řady YJ an, {tn} posloupnost částečných součtů řady ^bn,{wn} posloupnost částečných součtů řady YJ(a„ + + bn). Pak je ]imsn = s, limř„ = t a wn = (ai + bi) + (a2 + b2) + ■ ■ ■ + (an+bn) = (ai + +a2 + - • ■+an) + (bi+b2 + - ■ ■+bn) = sn+tn. Odtud plyne lim wn = lim(sn+tn) = s+t, tj.J2(an+bn) = s + t. □ Poznámka 1.2. Nechť an = s,^bn = t j sou konvergentní řady a nechť an < bn pro všechna n. Pak s < t. Vskutku, pro posloupnosti částečných součtů {sn} a {tn} těchto řad platí sn < tn pro všechna n, a proto i limita s < t. Následující větu můžeme chápat jako analogii distributivního zákona pro konečné součty. Věta 1.4. Jestliže řada YlT=i an konverguje, pak pro libovolné ^sl konverguje též řada YlT=i k ■ an a platí Naopak, konverguje-li řada YlT=i kan, kde lei, k ý 0, konverguje i řada Eoo n=l an- Důkaz. Nechť yja„ konverguje, yja„ = s. Označíme-li {sn} posloupnost částečných součtů řady yja„, {tn} posloupnost částečných součtů řady ^kan, je lim sn = s a. pro libovolné n e N platí tn = ka\ + ka2 + • • • + kan = k(a\ + a2 + • • • + + an) = ksn. Odtud plyne lim tn = ks, tj. kan = ks. Nechť naopak konverguje kan a k ý 0. Podle již dokázané první části věty pak konverguje řada YJ j (kan) = YJ an. □ oo oo n=l n=l 22 Nekonečné číselné řady - základní pojmy Poznámka 1.3. Tvrzení Vety 1.3 lze zřejmě úplnou indukcí rozšířit na libovolný konečný počet sčítanců. Navíc lze podle Věty 1.4 nahradit součet uvažovaných řad jejich libovolnými lineárními kombinacemi. Z konvergence řady ^ian +bn) však naopak neplyne konvergence řad ^ an, J2bn, jak ukazuje příklad řad ^](—l)"-1, ^(—1)". Příklad 1.5. Dokažte konvergenci a najděte součet řady V-• (1.2) Řešení Obě řady |r = XXf)"' 2ľ = konvergují a jejich součet je Podle Věty 1.3 a 1.4 je konvergentní i řada (1.2) a její součet je roven 5=5-3 — -3-2 = 9. Z příkladu Grandiho řady je zřejmé, že mezi členy nekonečné číselné řady nelze libovolně rozmístit závorky. Pouze v případě konvergentní řady můžeme sdružovat její členy, aniž se změní její součet. Tato skutečnost je zformulována v následující větě, která bývá nazývána asociativním zákonem pro konvergentní řady. Věta 1.5. Necht'Y^Li anje konvergentní řada a nechť {n^} je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Položme n0 = 0 a pro k e N označme bk = íí«jt_i+i + ci-nic-i+i + • • • + ank. Pak řada Ylh=i bk konverguje a platí oo oo k=l n=l Důkaz. Označíme-li {sn} posloupnost částečných součtů řady ^ an, {tk} posloupnost částečných součtů řady ^2 bk, pak platí tk = s„k, takže posloupnost {tk} je vybrána z posloupnosti {sn}. Podle věty o vybraných posloupnostech (viz např. [13]) posloupnost {tk} konverguje a platí lim t k = lim sn, tj. bk = an • ^ Operace s číselnými řadami 23 Poznámka 1.4. Asociativní zákon znamená zákon o sdružení - v řadě můžeme jednotlivé členy sdružovat (uzávorkovat), aniž se změní její součet. Tedy Větu 1.5 lze vyslovit takto: Konverguje-li řada a\ + a2 + • • • + an + • • •, pak konverguje i řada {ax + a2 + ■ ■ ■ + ani) + (ani+l + ani+2 + ■■■+ ani) + ■■■ + (ank_l+l + ank_l+2 + ■■■ + + a„k) + • • • a má týž součet. Obrácené tvrzení však neplatí. Z konvergence řady (ai + a2 + • • • + a„j) + (a„1+i + ani+2 + • • • + a„2) + • • • obecně neplyne konvergence řady a\ + a2 + • • • , jak ukazuje úvodní příklad o Grandiho řadě. Analogie třetího, komutativního zákona o záměně, resp. o přerovnávání členů řady, obecně pro konvergentní řady neplatí. Jak ukážeme v Kapitole 3, k jeho platnosti je třeba silnější vlastnost řady, tzv. absolutní konvergence. Cvičení 1.1. Určete součet těchto řad: oo oo a) E e) —^r n=l n=l oo oo b) V —— f) V —1 ŕí=l n=l oo oo C) E (2«-l)(2«+5) S) E (2™"!" + 3^") ŕí=l rí=l 00 00 d) E 4ŕj2_1 h) E(42n-l+42n) ŕí=l ŕí=l 1.2. Vyjádřete ve tvaru zlomku v základním tvaru: a) - 0,12 b) 0,539 1.3. Rozhodněte, zda konvergují tyto řady: 00 00 00 a) £lnn b) V-r- c) £ tit n=l n=l n=l 24 Nekonečné číselné řady - základní pojmy 1.4. S využitím nekonečné geometrické řady řešte rovnice v R: a) log x + log *Jx + log šfx + log šfx + • • • = 2 1.5. Do čtverce o délce strany 2 je vepsán čtverec, jehož strany jsou spojnicemi středů stran daného čtverce. Do vepsaného čtverce je stejným způsobem vepsán další čtverec atd. Vypočítejte součet obvodů a součet obsahů všech takovýchto čtverců. 1.6. Vypočtěte obsah obrazce utvořeného z nekonečně mnoha obdélníků, jestliže se délky jejich vodorovných stran zmenšují v poměru 4:1a délky jejich svislých stran se zvětšují v poměru 1 : 2., přičemž obsah výchozího obdélníka je 48 cm2. (Tuto úlohu řešil N. Oresme ve svém traktátu O konfiguraci kvalit, kde naznačil konstrukce útvarů, které mají nekonečné rozměry, ale konečný obsah). 1.7. Určete obsah následujícího obrazce (tzv. Sierpiňského koberec): Jednotkový čtverec rozdělíme na devět shodných čtverců a odstraníme vnitřek prostředního čtverce. Každý ze zbývajících čtverců rozdělíme znovu na devět shodných čtverečků a znovu odstraníme v každém z nich jeho střední čtvereček. Po třetím kroku takové operace dostaneme útvar zobrazený na Obrázku 1.2. Když tuto operaci prodloužíme do nekonečna, dostaneme útvar, který se nazývá Sierpiňského koberec. □ □□□□□□□□ □ □□□□□□□□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □□□□□□□□ □ □□□□□□□□ Obr. 1.2: Sierpiňského koberec pro n = 2 a n = 3 Operace s číselnými řadami 25 Sierpiňského koberec lze v Maplu vykreslit pomocí procedury sierpkob (n), kde parametr n udává úroveň iterace. > sierpkob:=proc(n) > local x,y,d,i,j; > globál s,kr,sez,poms,kre,sq; > s:=[x,y],[x+d,y],[x+2*d,y],[x,y+d],[x+2*d,y+d], > [x,y+2*d],[x+d,y+2*d],[x+2*d,y+2*d]; > kr:=POLYGONS([s[5],s[8],s[7],[x+d,y+d]]); > x:=0;y:=0;d:=l/3; > kre:=kr;sez:=s;poms:=sez; > sq:=POLYGONS([[0,0], [1,0], [1,1], [0,1]], > COLOR(RGB,0,1,0)); > for i to n-1 do > d:=d/3; > for j to nops([sez]) do > x:=sez[j,1];y:=sez [ j,2]; > poms:=poms,s; kre:=kre,kr; > od; sez:=poms; od; > PLOT(kre, sq,AXESSTYLE(NONE), > SCALING(CONSTRAINED)); > end; > o:=array(1..2) : > o[l]:=sierpkob(2): > o[2]:=sierpkob(3): > display(o); Obsah jednotkového čtverce je roven jedné a od tohoto obsahu budeme odečítat obsah odstraněných čtverců. Označme an obsah odstraněných čtverců v n-té iteraci a P hledaný obsah Sierpiňského koberce. V n-té iteraci odstraňujeme čtverce o straně (|)" a jejich počet v n-té iteraci je 8"_1. Pak tedy Celkový obsah Sierpiňského koberce je pak oo oo 8' ■ n-1 n-1 = 1 n=l n=l Ukažme nyní výpočet v Maplu: nejdrříve přímým výpočtem s využitím příkazu sum a poté pomocí nových procedur pro určování součtu geometrické řady. > a[n]:=8~(n-1)/9~n; 26 Nekonečné číselné řady - základní pojmy g(n-l) a" := ~g~n~ =1-Sum(a[n], n=l..infinity); 1 > value(P); 0 Nyní vytvořme vlastní procedury pro určování součtu geometrické řady -kvocgeom a geom: > kvocgeom := proč (rada) > local i; global operát, kvoc, b, a; > b := expand(rada); > if type (b, then operát := nops(b); > for i to operát do > kvoc[i] := simplify(subs(n = n+1, > op(i,b))/op (i,b)); > a[i] := simplify(op(i,b)/(kvoc[i]"(n-1))); > lprint(evaln(kvoc[i]) = kvoc[i]); > lprint (evaln(a[i]) = a[i]) od > else > operát := 1; > kvoc := simplify(subs(n = n+l,b)/b); > a := simplify(b/(kvoc~(n-1))); > lprint(('kvoc') = kvoc); lprint(('a') = a) fi > end: Použití těchto procedur na vyšetřovanou řadu dává následující výstup: > kvocgeom(a[n]); kvoc = 8/9 a = 1/9 > geom := proč (k, fclen) local s, i; s := 0; if 1 < operát then for i to operát do s := s+fclen [i]/(1-k[i]) od else s := fclen/(1-k) fi end: > geom(kvoc,a); 1 Dostali jsme tedy Yl^Li ^F" = 1- Obsah Sierpiňského koberce je proto P = 1 -1=0. Operace s číselnými řadami 27 1.8. Dokažte: Jestliže Y an konverguje, Y bn určitě diverguje k +00, pak Y(an + + bn) určitě diverguje k +00. Jestliže Y a-n konverguje, Y bn osciluje, pak Y(an + + bn) osciluje. Kapitola 2 Číselné řady s nezápornými členy Stanovení součtu řad bývá v jednotlivých případech obtížný úkol. Proto se při vyšetřování řad často orientujeme na zjištění, zda řada konverguje či diverguje, aniž bychom určovali její součet. Předmětem této kapitoly jsou právě tyto úlohy pro řady s nezápornými členy. Odvodíme tzv. kritéria konvergence, udávající postačující podmínky pro konvergenci, resp. divergenci řady. 2.1. Kriteria konvergence Řada J2T=i an se nazývá řada s nezápornými (kladnými) členy, je-li an > 0 (an > > 0) pro všechna n e N. Tyto řady mají některé specifické vlastnosti: posloupnost jejich částečných součtů {sn} je neklesající, neboťsn+i = an+i + sn > sn. Je-li navíc tato posloupnost shora ohraničená, pak existuje vlastní lim^, tj. řada Yan Je konvergentní. Proto řady s nezápornými členy jsou buď konvergentní nebo určitě divergentní k oo. Veta 2.1 (Srovnávací kritérium). Buďte Y an, Y bn řady s nezápornými členy a nechťan < bn pro skoro všechna n e N. Potom platí: konverguje-li řada Y bn, konverguje i řada Y diverguje-li řada Y cín, diverguje i řada Y bn. Důkaz. Důkaz provedeme pro případ, kdy platí an < bn pro všechna n e N. Platí-li an < bn až od jistého indexu počínaje, je důkaz analogický. Buď {sn} posloupnost částečných součtů řady Yan> tin) posloupnost částečných součtů řady bn \ zřejmě platí sn < tn pro všechna n e N. Konverguje-li Je ^n} konvergentní, a proto shora ohraničená, tj. existuje ^eM tak, žetn 0, a £ (1,2). Z—✓ ^2 Z—✓ ^fl n=l n=l Řešení a) Danou řadu porovnáme s řadou Y n^+\) ■ 1 1 — < - pro n > 2. n2 in — l)n Řada y^!°9 , * = ,1ie, iak isme ukázali v Příkladu 1.2-a), konver- gentní, a proto je podle Věty 2.1 konvergentní i řada Y \. b) Nechť a > 2. Platí 1 1 — < — pro n e N, nu n2 a proto je v tomto případě řada Y konvergentní. Je-li a = 1, jde o harmonickou řadu Y -, která je, jak jsme ukázali v Příkladu 1.4, divergentní. Je-li a e (0, 1), platí 1 1 — > — pro n e N, na n a proto je podle Věty 2.1 divergentní i řada Y . Celkem dostáváme, že řada Y \ je konvergentní pro a > 2 a divergentní pro a e (0, 1]. Jiný způsob řešení, kdy vyřešíme i zbývající případ a e (1,2), uvedeme později (viz Příklad 2.6). Věta 2.2 (Limitní srovnávací kritérium). Buďte ^2an,^2bn řady s nezápornými členy a nechť existuje lim — = L. Je-li L < oo a konverguje-li řada Y bn, P®k konverguje i řada Y &n-Je-li L > 0 a diverguje-li řada Y bn, pak diverguje i řada Y &n- 30 Číselné řady s nezápornými členy Důkaz. Nechť L < oo a Y bn konverguje. K číslu e > 0 existuje n0 e N tak, že pro n e N, n > n0 platí L — e < — < L + e, K odkud an < (L + e)bn. Protože + e)bn konverguje, konverguje podle srovnávacího kritéria (Věta 2.1) i řada an ■ Nechť L > 0 a diverguje. Je-li 0 < L < oo, pak existuje e > 0 a n0 e N tak, žeO n0. Odtud (L — e)bn < an a podle srovnávacího kritéria (Věta 2.1) je řada Y a„ divergentní. V případě L = oo existuje ř > 0 a n0 € N tak, že j- > K pro všechna n > n0. Podobně pak ze vztahu an > Kbn plyne divergence řady Y an. □ Poznámka 2.1. Jsou-li E a»' E ^» ra^ s nezápornými členy a platí-li an < bn pro skoro všechna neN, nazývá se ^ majorantní řadou k řadě Y a„ a řada ^ a„ minorantní řadou k řadě Y . Příklad 2.2. Rozhodněte o konvergenci řady: a) Eľ^inf b) E„0°=iln(l + 4r). Řešení a) Danou řadu porovnáme s harmonickou řadou Y -, která je divergentní (Příklad 1.4). Podle 1'Hospitalova pravidla určíme limitu sin - n cos - (-)' n L = lim —r-^ = lim -" = lim n ■ cos — = n. n \n) Protože L > 0 a řada ^ ^ diverguje, je podle Věty 2.2 divergentní i řada Esm f • b) Danou řadu porovnáme s řadou Y \-> která je, jak jsme ukázali v Příkladu 2.1, konvergentní. Platí ln(l + é) lim -=-2— = lim —2--f— = 1. n2 \n2) Podle Věty 2.2 konverguje také řada Y ln(l + -\). Kriteria konvergence 31 K výpočtu limit v limitním srovnávacím kritériu lze s výhodou využít Maplu. Řešení příkladu 2.2a) pak vypadá takto: > rada:=Sum(sin(Pi/n), n=l..infinity); oo siní—) n n=l > Limit(op(1,rada)/(1/n), n=infinity):%=value(%); % lim sin(—) n = % a tedy vyšetřovaná řada £ sin ^ diverguje. Poměrně jednoduchým cvičením je také naprogramování (napsání procedury) limitního srovnávacího kritéria v Maplu. Jedno z možných řešení vypadá např. takto: > limsrovk := proc (a) local b, L; > if nargs = 1 then b := l/n"2; > L := limit(a/b, n = infinity); > if evalf(L) < infinity > then print(Sum(a,n = 1 ..infinity)); > print(konverguje) else b := 1/n; > L := limit(a/b,n = infinity); > if 0 < evalf(L) then > print(Sum(a,n =1 .. infinity)); > print(diverguje) else > print ( * tímto kriteriem nelze rozhodnout'1) f i > fi > elif nargs <> 3 then > ERROR("chybný počet parametru") > elif args[3] = ('k') then b := args[2]; > L :=limit(a/b,n = infinity); > if evalf(L) < infinity then > print(Sum(a,n =1 .. infinity)); > print(konverguje) else > print ( ^ tímto kriteriem nelze rozhodnout'1) f i > elifargs[3] = ('ď) then b := args[2]; > L := limit(a/b,n = infinity); if 0 < evalf(L) > then print(Sum(a,n =1 .. infinity)); > print(diverguje) else > print ( 11 tímto kriteriem nelze rozhodnout'1) f i > else > ERROR("treti parametr musi byt 'k' nebo 'd'") > fi end: Syntaxe přikazuje limsrovk (rada, por, konv), parametr por je nepovinný a udává, s jakou řadou budeme porovnávat řadu rada. Použijeme-li 32 Číselné řady s nezápornými členy parametr por, musíme také použít parametr konv, kterým určujeme, zda parametr por reprezentuje konvergentní či divergentní řadu. Za parametr konv dosazujeme d pro divergentní řadu, resp. k pro řadu konvergentní. Při volání procedury bez volitelných parametrů porovnáváme s implicitně nastavenou divergentní řadou ^ ^ a konvergentní řadou ^] ^ • > limsrovk(op(1,rada)); oo !>(-) z—' n n=l diverguje Tuto novou proceduru nyní využijeme při řešení příkladu 2.2b): > limsrovk(ln(l+l/n~2), l/n~2,'k'); oo £ ln(l + 1) z—' n1 n=l konverguje K určování konvergence, resp. divergence číselných řad je možno použít i proceduru c sum Roberta Israela z Maple Advisor Database. Procedura je určena pro Maple 6 a vyšší a najdete ji i na CD-ROMU v adresáři maple. Ověřme nyní předcházející výsledky pomocí této procedury: > read ,csum4.txt'1: > csum(op(1,rada),n); falše > csum(ln(1+1/n"2),n); true Procedura vrací hodnotu true - řada konverguje, nebo falše - řada diverguje. Věta 2.3 (Odmocninové kritérium - Cauchyovo). Nechť J2an je řada s nezápornými členy. (i) Platí-li pro všechna n e N nerovnost ^fä^ < q < 1, pak řada konverguje. Platí-li pro nekonečné mnoho n e N nerovnost ^fa~^ > 1, řada diverguje. (ii) Existuje-li lim n/ä~ = q, kdegeJR*, (2.1) pak v případe q < 1 řada ^2 an konverguje a v případe q > 1 řada ^2 an diverguje. Poznámka 2.2. Tvrzení (ii) se nazývá limitní odmocninové kritérium. Poznamenejme, že je-li v (2.1) q = 1, nelze o konvergenci řady tímto kritériem rozhodnout. Kriteria konvergence 33 Důkaz. Důkaz provedeme pro tvrzení (ii); důkaz tvrzení (i) probíhá analogicky. Je-li q < 1, zvolme e > 0 tak, aby platilo q + s < 1. Pak existuje n0 e N tak, že pro n e N, n > n0 je ^fa~^ < g + e < 1, odkud an < (q + e)". Řada ^2(q + e)n je konvergentní geometrická řada, proto podle srovnávacího kritéria (Věta 2.1) také an konverguje. Je-li q > 1, pak existuje n0 e N tak, že pro n e N, n > n0 je ^/ô^ > 1, tj. a„ > la není splněna nutná podmínka konvergence (Věta 1.1). Proto ^an diverguje. □ Příklad 2.3. Vyšetřete konvergenci, resp. divergenci následujících řad: . ^ n ~/2 IV2 ^ T a) > -— b) > I — arccos — c) > -. *-f(3+±)n ^Kit n J *-f [5+(-l)nr n=l v n' n=l x 7 fi—\ Řešení a) Užijeme limitní odmocninové kritérium (Věta 2.3 (ii)). Platí n Jfň 1 lim A"/a^ = lim «/-:— = lim -r = - < 1. (3 +i)" b-»oo3 + I 3 neboť podle 1'Hospitalova pravidla je lim y n = 1. Proto daná řada konverguje. Maplu opět nejdříve využijeme k výpočtu lim j/čh, poté napíšeme proceduru, která celý výpočet automatizuje. > a[n]:=n/(3+l/n)~n:Sum(a[n],n=l..infinity); oo En T~ n=l (3 + n > Limit((a[n])"(1/n),n=infinity):%=value(%); lim ŕí^OO n V (3+-)»/ \ n / > odmock := proc (a) local q; > q := evalf(limit(convert(surd(a,n),power), > n = infinity)); > if q < 1 then print(Sum(a,n =1 .. infinity)); > print(konverguje) > elif 1 < q then > print(Sum(a,n =1 .. infinity)); > print(diverguje) else > print ( * tímto kriteriem nelze rozhodnout'1) > fi end: 34 Číselné řady s nezápornými členy odmock(a[n]); En r~ n=l (3 + n konverguje b) K vyšetření opět použijeme limitní odmocninové kritérium (Věta 2.3 (ii)). Platí ^_ „[p, iy1 /2 iy lim tyan = lim J I — arccos — J = lim I — arccos — J . Jedná se o neurčitý výraz typu 1°°, proto ho upravíme tak, abychom mohli použít ľHospitalovo pravidlo. Platí ( 2 1 \ Um n ln( — arccos -) hm I — arccos — J = en^°° ŕí^ooyjr n J a pro limitu v exponentu již můžeme použít ľHospitalovo pravidlo ln (1 arccos ±) - Y arccos i)"11 (l - \Yy2 (I)' 2 \Jt «/ i;„ VJt «/ Jt V ŕí2/ Vŕí/ lim VIt t-^ = lim (í)' 71 Hledaná limita je e * < 1, tj. daná řada konverguje, c) Zde máme | pro liché n, 5+ (-1)" i pro sudé n. Limitní odmocninové kritérium není použitelné. Protože však ýa^ < | pro všechna n e N, z Věty 2.3 (i) plyne konvergence této řady. Věta 2.4 (Podílové kritérium - ďAlembertovo). Buď an řada s kladnými členy. (i) Platí-li pro všechna n € N nerovnost < q < 1, pak řada an konverguje. Platí-li pro všechna n € N nerovnost — > 1, pak řada V an (Xn diverguje. (ii) Existuje-li lim — = , kde a e R*, (2.2) an pak v případě q < 1 rada ^] an konverguje a v případě q > 1 rada ^] an diverguje. Kriteria konvergence 35 Poznámka 2.3. Tvrzení (ii) se nazývá limitní podílové kritérium. Poznamenejme, že je-li v (2.2) q = 1, nelze o konvergenci řady tímto kritériem rozhodnout. Důkaz. Opět provedeme důkaz tvrzení (ii); důkaz tvrzení (i) probíhá analogicky. Je-li q < 1, zvolme s > 0 tak, aby platilo q + s < 1. Pak existuje n0 e N tak, že pro n e N, n > n0 je q — e < < q + e, tj. (g — e)a„ < a„+i < (q + e)an. an Odtud indukcí pro libovolné k e N platí a„Q+k < (q + s)kana. Řada XX i (<7 + eT Je konvergentní geometrická řada, proto podle srovnávacího kritéria (Věta 2.1) také J2T=n0+i an konverguje, a proto podle Věty 1.2 také J2T=i an konverguje. Je-li q > 1, pak existuje n0 e N tak, že pro n e N, n > n0 je lim — > 1, tj. posloupnost {an} je pro n > n0 neklesající, a proto nemůže platit lima,, = 0 a Y o-n diverguje podle Věty 1.1. □ Příklad 2.4. Rozhodněte o konvergenci řady: En v-^ 2 n\ — b) V-. a) . n\ í—' n'- n=l n=l Řešení, a) Podle limitního podílového kritéria (Věta 2.4 (ii)) dostáváme an+l n!(n + l)(B+1) (n + í)n ( \\n lim -= lim -= lim -= lim I 1 H— I = e > 1, íj^oo an n^oo (n + Y)\nn n^oo nn rc^ooy n) proto řada ^ diverguje. Postupujeme stejně jako v předcházejícím příkladě: > a:=n->(n"n)/n!:Sum(a(n), n=l..infinity); Enn n=l > Limit(a(n+1)/a(n), n=infinity):%=value(%); (n + í){n+l)nl lim -= e n^oo (n + 1)! nn 36 Číselné řady s nezápornými členy podilk := proc (a) local q; q := evalf(limit(subs(n = n+l,a)/a, n=infinity)); if q < 1 then print(Sum(a,n =1 .. infinity)); print(konverguje) elif 1 < q then print(Sum(a,n =1 .. infinity)); print(diverguje) else print ( * tímto kriteriem nelze rozhodnout'1) fi end: podilk(a(n)); En" n=l diverguje b) Platí an+l nn2n+\n + \)\ í n V 2 lim -= lim--—--= 2 lim I - I = - < 1, rí^oo an n^oo (n + i)(n+1> ■ 2n ■ n\ n^oo\n + 1/ e a proto daná řada konverguje podle Vety 2.4. Pro porovnání limitního podílového a limitního odmocninového kritéria použijeme následující tvrzení: Lemma 2.1. Nechť {an} je posloupnost kladných čísel. Pak platí lim inf —— < lim inf ýa^ < lim sup ZJ~a~^ < lim sup ——. an an Zejména, je-li limí5s±L = a e R*, je také lim ľ/ô^ = a. Důkaz. Dokážeme nerovnost lim sup ľTä^ < lim sup —; analogicky by se provedl důkaz vztahu lim inf — < lim inf ľíä^. Označme lim sup — = a. Je-li a = oo, je tvrzení triviální; nechť tedy a e R. Buď b e R, b > a libovolné; existuje n0 e N tak, že pro n e N, n > n0 je — < b. Napíšeme-li tuto nerovnost pro n0, n0 + 1,..., n — 1 (n > n0) a všechny tyto nerovnosti vynásobíme, obdržíme an < bn~n° ano, a proto n—HQ ďan < b n ľ/ä no- Kriteria konvergence 37 Ze spojitosti exponenciální funkce bx plyne lim b » = b; dále platí lim = 1. n—riQ Celkem limb~^~ ýä~^ = b. To znamená, že je-li s > 0 libovolné, existuje nľ e N, ni > n0 tak, že pro n > nľ je b-^ j/ä^ < b + s, tj. ^/a^ 0 bylo libovolné, platí i lim sup ^fa~^ < b; protože b > a bylo libovolné, plyne odtud lim sup ýaZ < a. □ Z uvedeného lemmatu plyne, že je-li lim — = 1, je také lim ýaZ = 1. Proto můžeme-li o konvergenci nebo divergenci nějaké řady s nezápornými členy rozhodnout podílovým kritériem, pak můžeme rozhodnout i odmocninovým kritériem - říkáme, že odmocninové kritérium je silnější než podílové kritérium. Následující kritérium uvádíme bez důkazu; ten lze nalézt např. v [8, 15, 18]. Věta 2.5 (Limitní Raabeovo kritérium). Nechť'£ an je řada s kladnými členy a nechť existuje lim ni 1 - J = q, kde q e R*. rc^oo y On J Je-li q > 1, pak řada £ an konverguje; je-li q < 1, pak řada £ an diverguje. Poznámka 2.4. Někdy se Raabeovo kritérium uvádí ve tvaru lim nl —---!)=£/. >j^oo \an+i ) Lze ukázat, že Raabeovo kritérium je silnější než podílové kritérium - jestliže o konvergenci řady lze rozhodnout podílovým kritériem, pak lze rozhodnout i Raabeovým. Takto lze postupovat dále a odvozovat silnější kritéria. Naznačme, jak zjemňování kritérií probíhá. Obecnějším kritériem je Kummerovo kritérium. Nechť {c\, c2, ■ ■ ■, cn,...} je posloupnost reálných čísel taková, že řada J2T=i j~ Je divergentní. Nechť _ cin _ a nechť existuje lim^ = K. Jestliže je K > 0, řada J2T=i a" konverguje, jestliže K < 0, řada YlT=i a" diverguje. Ukažme, jak lze z tohoto obecnějšího kritéria odvodit podílové a Raabeovo kritérium. 38 Číselné řady s nezápornými členy a) Položíme-li c„ = 1, pak Kn = -1. Je-li K = lim(^- -1) < 0, ti. lim ^ > an+l an+l an > 1, pak řada diverguje. Je-li K = lim(—--1) > 0, tj. lim — < 1, pak řada konverguje. b) Nechť cn = n. Platí Kn = n-**- - (n + 1) = n(-^- - 1) - 1. Je-li \imKn = an+\ an+\ = limn(^iLj- — 1) — 1 > 0, tj. limn(^iLj- — 1) > 1, pak řada konverguje. Je-li lim^T,, = limřz(^iLj- — 1) < 1, řada diverguje. Existuje celá řada dalších kritérií pro ověření konvergence číselných řad s nezápornými členy, podrobnosti lze nalézt např. v [5]. Žádné z nich však není univerzální v tom smyslu, že bychom podle něj mohli rozhodnout o konvergenci (divergenci) libovolné řady s nezápornými členy. Takovým kritériem je pouze Cauchyovo-Bolzanovo kritérium (Lemma 1.1). Příklad 2.5. Nechť a e R, a > 0. Rozhodněte o konvergenci nebo divergenci řady E n=l (a + l)(a + 2) • • • (a + n) Řešení. Poznamenejme, že podílovým kritériem nelze o konvergenci rozhodnout, neboť lim — = 1. Raabeovo kritérium dává ( an+i \ ^ n lim /; I I--I = lim -= a. n^oo y an ) n^ooa + n + 1 Je-li tedy a > 1, řada konverguje, je-li a < 1, řada diverguje. Pro a = 1 obdržíme řadu Y J^i)\ = z*ľ (^+1)' te(ty ^ac^u harmonickou (bez prvního členu), která diverguje. Důležitým kritériem je kritérium jiného typu než dosavadní, které nám také ukazuje souvislost mezi nekonečnými řadami a nevlastními integrály: Věta 2.6 (Integrální kritérium). Nechť f je funkce definovaná na intervalu [1, oo), která je na tomto intervalu nezáporná a nerostoucí. Nechť f'(n) = an pro n e N. Pak řada Y &n konverguje pravé tehdy, když konverguje nevlastní integrál f™ f(x)dx. Důkaz. Především poznamenejme, že funkce / je integrovatelná na každém intervalu [1, b], kde b e R, b > 1, neboť je monotónní. Označíme-li dále F (t) = = f* f (x) dx,je F zřejmě neklesající na [1, oo). Protože f je nerostoucí na každém intervalu [k, k + 1], kde k e N, platí na tomto intervalu a^+i < f (x) < a^, tedy i pk+1 pk+1 pk+1 ak+i= / ak+idx < / f(x)dx < / akdx = ak. Kriteria konvergence 39 Sečtením těchto nerovností pro k = \,2,... ,n — 1 obdržíme /n fix) dx < a\ + a2 + • • • + a„_i, neboli — a\ < Fin) < sn-\. Nechť nyní řada X an konverguje. Pak existuje h e R tak, že sn < h pro všechna n e N, a proto také F in) < h pro všechna n e N. Protože F je neklesající, plyne odtud Fit) < h pro í e [1, oo). Podle věty o limitě monotónních funkcí existuje vlastní lim Fit), tj. konverguje nevlastní integrál f.°° fix) áx. Nechť naopak f™ fix)dx konverguje. Pak je funkce F shora ohraničená na [1, oo), takže existuje gel tak, že Fit) < q pro t e [1, oo). Je tedy i Fin) < q a odtud sn < a\ + q pro všechna n e N. Posloupnost {sn} je shora ohraničená a neklesající, proto má vlastní limitu, tj. řada Y an konverguje. □ Příklad 2.6. Rozhodněte, zda konverguje řada: b) E~i i pro a > 0. Řešení, a) Užijeme integrálního kritéria. Nejprve ověříme, zdaje funkce fix) = = —^ na intervalu [2, oo) nerostoucí. Platí fix) = — (^{^2 < 0, a proto je /(jc) na intervalu [2, oo) klesající. Zbývá vyšetřit, zda konverguje, resp. diverguje nevlastní integrál /2°° dř. Přímým výpočtem dostaneme p x j /.lnjc j lim / -dř = lim / — dy = lim (ln(lnx) — ln(ln2)) = oo, x^ooJ2 tlnt x^oo Jln2 y x^oo a proto daná řada diverguje. Maple dává následující výsledky: > a:=n->l/(n*ln (n)) :Sum(a(n), n=2..infinity); oo ^ n In (n) Interval, kde je funkce kladná: > solve(a(x)>=0,x); RealRange(Open(l), oo) Interval, kde je funkce klesající: > simplify(diff(a(x),x)); 40 Číselné řady s nezápornými členy ln(x) +1 x2 ln(x)2 > solve(%<=0); RealRange( Int(a(x),x=2..infinity):%=value(%); f°° 1 / -dx = oo J2 x lnO) a proto daná řada diverguje. Výsledek ještě ověříme pomocí procedury c sum: > csum(a(n),n); falše Na tomto příkladě ilustrujme integrální kritérium. Ke grafickému znázornění použijeme následující příkazy: > plot([a(n),a(floor(n+1))], n=2..12, > color=[black,red]); > plot([a(n),a(floor(n))], n=2..12, > color=[black,green]); 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 Obr. 2.1: Dolní odhad integrálu pomocí Obr. 2.2: Horní odhad integrálu po-součtu řady mocí součtu řady Na Obrázku 2.1 je uvedena funkce y = a schodovitá funkce y = a (n + 1) pro x e [n,n + l). Tento obrázek představuje dolní odhad integrálu pomocí součtu řady />oo a3 + • • • + an < I f(x)dx. Kriteria konvergence 41 Na Obrázku 2.2 je uvedena funkce y = —^ a schodovitá funkce y = a (n) pro x e [n, n + 1), což představuje horní odhad integrálu í f(x) dx < a2 + ■ ■ ■ + cin-i- Protože f(x) dx diverguje, z horního odhadu plyne divergence řady E an (viz Obr. 2.2). Naopak, protože řada E an Je divergentní, z dolního odhadu plyne divergence f(x) dx (viz Obr. 2.1). b) Užijeme integrálního kritéria. Položme f(x) = \ pro x e [1, oo); což je pro a > 0 klesající funkce. Vyšetřujme konvergenci, resp. divergenci nevlastního integrálu této funkce na intervalu [1, oo). Platí C°° dx ľ 1 , 1 / — = lim / — dx =- pro a > 1, Ji xa t^oo jx xa a — 1 ľ°° dx ľ dx I — = lim / —= lim (ku) = oo, Jl X t^ooj1 x t^oo r°° dx i 1 \ lim —— — 1 = oo pro a e (0, 1). a \x^oo xa 1 Proto daná řada konverguje pro a > 1 a diverguje pro a e (0, 1]. Cvičení 2.1. Pomocí vhodného kritéria rozhodněte o konvergenci řad: oo oo a) E («+l)(«+4) ^ 2^ in(«+l) n=l n=l oo oo b) E , ,t ^ g) E -T7T- (a > 0, a e R) y «(«+l)(«+2) &/ nhŕn v ' y ŕí=l rí=2 oo oo ŕj=i rj=i oo oo ŕí=l ŕí=l v n> oo oo e) E — (a > 0, a e R) j) V \tt"~^ • y « v ' y J/ 2-4---(2«—2) 2« —1 n=í n=2 42 Číselné řady s nezápornými členy oo K^ 2^ (2ŕl)! ŕí=l oo íí=i oo m) Earctg"^ íí=i "> £a(í)" oo / x n °) E (-7- ) (a > 0, a e R) y V arctg n ] K ' y ŕí=l PJ 2- (^1)» n=l v q) Eiv= ŕí=2 lníí ŕí=l Pomocí Maplu rozhodněte o konvergenci nebo divergenci řady z Cvičení 2.1b). > a:=n->l/(n*(n+1)*(n+2)) : > Sum(a(n),n=l..infinity); oo T--- ^ n (n + 1) (n + 2) Podílovým kritériem nelze o konvergenci rozhodnout: > podilk(a(n)); tímto kriteriem nelze rozhodnout Raabeovo kritérium dává > Limit(n*(1-(a(n+1)/a(n))),n=infinity): > %=value(%); n lim n (1--) = 3 n^oo n + 3 a řada tedy konverguje. Celý postup teď opět zautomatizujeme pomocí procedury limraabk. > limraabk := proc (a) local q; > q := evalf(limit(n*(1-subs(n = n+1,a)/a), > n = infinity)); > if 1 < q then print(Sum(a,n =1 .. infinity)); > print(konverguje) > elif q < 1 then > print(Sum(a,n =1 .. infinity)); > print(diverguje) > else print ( 'tímto kriteriem nelze rozhodnout'1) > fi end: > limraabk(a(n)); Y-!- ^ n (n + 1) (n + 2) Kriteria konvergence 43 konverguje 2.2. Najděte příklad řady s kladnými členy, pro niž lim sup — > 1, ale která konverguje. 2.3. Existuje konvergentní řada Y an s nezápornými členy, pro niž lim sup ^/a^ > > 1? 2.4. Nalezněte příklad řady Y an s kladnými členy, o jejíž konvergenci nebo divergenci a) lze rozhodnout odmocninovým kritériem a nelze rozhodnout podílovým kritériem, b) lze rozhodnout Raabeovým kritériem a nelze rozhodnout odmocninovým kritériem, c) lze rozhodnout Raabeovým kritériem a nelze rozhodnout podílovým kritériem, d) lze rozhodnout odmocninovým kritériem a nelze rozhodnout Raabeovým kritériem. Zákon pro pedagogy: Nikdo vás neposlouchá, dokud se nespletete. Kapitola 3 Rady absolutně a neabsolutně konvergentní Předmětem této kapitoly budou číselné řady ^an, kde an e R. Nejprve si všimneme speciálního případu, kterými jsou řady se střídavými znaménky, tzv alternující řady. Dále zavedeme důležitý pojem pro řady s libovolnými členy, kterým je absolutní, resp. neabsolutní konvergence. Také se vrátíme k otázce z Kapitoly 1, zda pro nekonečné řady platí analogie komutativního zákona, tj. zda lze přerovnávat členy číselné řady, aniž se poruší její součet. Ukážeme, že pro přerovnávání řad je rozhodující právě skutečnost, zda jsou tyto řady absolutně konvergentní. 3.1. Alternující řady Definice 3.1. Nekonečná řada YlT=i an se nazývá alternující, právě když platí sgn an+i = — sgn an pro všechna «eN. Vyloučíme-li případ řady, jejíž všechny členy jsou nulové, lze každou alternující řadu psát ve tvaru YlT=i(~l)"-1^ nebo tvaru YlT=i(~^Tan, kde an > 0 pro všechna «eN. Pro alternující řady platí následující Leibnizovo kritérium konvergence. 44 Alternující řady 45 Věta 3.1 (Leibnizovo kritérium). Nechť an je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Pak alternující řada l)"_1«n konverguje právě tehdy, když platí lim an = 0. ŕí^OO Důkaz. Nutnost uvedené podmínky plyne ihned z Věty 1.1, neboť vztah lim an = 0 je ekvivalentní se vztahem lim[(— l)n~1an] = 0. Dokážeme její dostatečnost. Nechť jsou předpoklady věty splněny a uvažme posloupnost {sn} částečných součtů řady yj(-l)B_1aB. Pro libovolné n e N je sin = (ai ~ a2) + (a3 - a4) + • • • + (a2n-i - a2n). Protože je zde každý sčítanec nezáporný, platí s2 < S4 < ■ ■ ■ < s2n, tj. vybraná posloupnost {s2n} je neklesající. Analogicky je Sin+i = a\ — (a2 — a3) — (a4 — a$) — ■ ■ ■ — (a2n — a2n+i), a protože opět čísla v závorkách jsou nezáporná, je si > s3 > ■ ■ ■ > s2n+i, takže {sin+i} je nerostoucí. Obě posloupnosti {s2n}, {s2n+i} jsou tedy monotónní a obě jsou ohraničené, neboť pro libovolné n e N platí a\ — a2 = s2 < s2n < s2n + a2n+\ = s2n+i < S\= a\. Podle věty o monotónních posloupnostech jsou tedy obě konvergentní a přitom mají stejnou limitu, neboť lim s2n+\ — lim s2n = lim(s2n+i —s2n) = lim a2n+i = 0. Je-li lims2n = lim^+i = s, pak zřejmě i \imsn = s, takže \)n~lan je konvergentní a má součet s. □ Příklad 3.1. Rozhodněte o konvergenci řady: a) E~i(-D,,-1£ ix y^°° ( 1 \n-í 3n+l w Z^n=iy l> „-inn • Řešení. Všechny uvedené řady jsou alternující; ověříme, zda jsou splněny podmínky Leibnizova kritéria (Věta 3.1). a) Tato alternující řada se nazývá Leibnizova řada. Posloupnost {^} je klesající a platí, že lim an = lim - = 0. Proto podle Leibnizova kritéria Leibnizova řada konverguje. Později ukážeme, že její součet je ln 2 (viz Příklad 6.4). b) Platí lima,, = |, a proto je daná řada divergentní (nesplňuje nutnou podmínku konvergence, tj. lima,, ý0). 46 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní c) Nejprve ověřme, zdaje posloupnost { ^ } klesající. Uvažujme funkci 1 x — ln x (x — Inx)2 \ x 1\ 1--< 0 pro x > 1, tj. tato funkce je klesající na intervalu (1, oo), odkud plyne, že také posloupnost {—\—} ie klesaiící. Dále ie limín — Inn) = limln — = oo, a proto lim —\— = 0. in—mni j j j \ / n ■> r n—Inn Podle Leibnizova kritéria daná řada konverguje. Ukažme si nyní řešení tohoto příkladu s využitím Maplu. Řadu nejdříve zadefinujeme > a:=n->l/(n-ln(n)): > Sum((-1)"n*a(n), n=l..infinity); n=l (-1)" n — ln(n) Ověříme, že je posloupnost { ^ } je klesající. > solve(diff(a(x),x)<=0); RealRange(l, oo) > plot(a(x), x=1..50); 10 20 30 40 x 50 Obr. 3.1: Funkce f(x) = x_l^x) pro x > 1 Absolutní konvergence číselných řad 47 Tedy funkce y = — je na intervalu intervalu [l, oo) klesající (což je dobře jc in jc i_ vidět i z Obrázku 3.1), a odtud plyne, že také posloupnost { ^ } je klesající. Dále > Limit(a(n), n=infinity):%=value(%); 1 lim -= 0 ŕí^oo n — ln(n) a proto podle Leibnizova kritéria daná řada konverguje. 3.2. Absolutní konvergence číselných řad Věta 3.2. Konverguje-li řada £ |a„| , konverguje i řada £a„ . Důkaz. Nechť £|a„| konverguje a buď e e R, s > 0 libovolné. Pak podle Cauchyova-Bolzanova kritéria konvergence (Lemma 1.1) existuje n0eN takové, že pro n e N, n > n0 a libovolné m e N platí: \an+i \ + \an+2 \ + • • • + \an+m\ < s. Potom též platí, že \an+1 + an+2 + • • • + a„+m| < |a„+i| + \an+2\ + • • • + |a„+m| < < s pro n e N, n > n0,m e N, tj. podle Cauchy-Bolzanova kritéria řada £a„ konverguje. □ Opačná implikace neplatí, jak ukazuje příklad Leibnizovy řady £ (— l)(íl_1) -: tato řada je konvergentní, avšak řada £ \an \ = £ - je divergentní. Proto má smysl zavést u řad s libovolnými členy silnější vlastnost než je konvergence: Definice 3.2. Řekneme, že řada £ an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada £ \an\ . Jestliže řada £a„ konverguje a £ \an \ diverguje, říkáme, že řada £ an konverguje neabsolutne. Příklad 3.2. Leibnizova řada £(— l)n+1- je neabsolutne konvergentní, naopak řada £(— l)"+1-r je absolutně konvergentní, neboť řada £-r konverguje (viz Příklad 2.1). Lemma 3.1. Nechť'J^an = s je absolutně konvergentní řada. Pak platí \s\ < < J2 \an\. 48 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní Důkaz. Označme {sn} posloupnost n-tých částečných součtů řady ^an a {tn} posloupnost n-tých částečných součtů řady YJ \an \. Protože \sn | < \tn \ pro všechna n e N, platí liml^l = \s\ < limtn = YJ|a„|. (Tvrzení také okamžitě plyne z Poznámky 1.2, uvědomíme-li si, že an < \an\). □ Řada YJ \an | je řada s nezápornými členy, a proto můžeme pro určování absolutní konvergence řad použít všechna kritéria z Kapitoly 2. Věta 3.3 (Srovnávací kritérium). Nechť YJ bn je konvergentní řada s nezápornými cleny a^an je řada s libovolnými členy. Jestliže pro všechna n e N platí \an\ < bn, pak řada YJa„ konverguje absolutně. Důkaz. Plyne z Věty 2.1. □ Věta 3.4 (Odmocninové kritérium). Jestliže pro všechna n e N platí Zj\an\ < < q < 1, pak řada YJ an konverguje absolutně. Platí-li pro nekonečně mnoho n e N nerovnost ^J\an \ > 1, pak tato řada diverguje. Existuje-li lim Zj\an\ = q e R*, pak v případě q < 1 řada an konverguje absolutně a v případě q > 1 řada diverguje. Důkaz. První a třetí tvrzení plyne z odmocninového kritéria pro řadu YJ \an\ (Věta 2.3). Je-li ?J\an\ > 1 pro nekonečně mnoho n e N, je i \an\ > > 1 pro nekonečně mnoho n e N, takže neplatí lim an = 0 a YJ an diverguje podle Věty 1.1. □ Věta 3.5 (Podílové kritérium). Buď^2 an řada s nenulovými členy. Jestliže pro všechna n e N platí \ — | < q < 1, pak řada YJ an konverguje absolutně. Platí-li pro všechna n e N nerovnost > 1, řada diverguje. Existuje-li lim a„ = q, pak v případě q < 1 řada YJ an konverguje absolutně a v případě q > 1 tato řada diverguje. Důkaz. První a třetí tvrzení plyne z podílového kritéria pro řadu YJ | an \ (Věta 2.4). Je-li — > 1, tj. \an+i \ > \an \ pro všechna n e N, je posloupnost {\an\} neklesá- (Xn jící, takže neplatí lim an = 0 a YJ an diverguje podle Věty 1.1. □ Příklad 3.3. Zjistěte, zda jsou následující řady absolutně konvergentní: a) E(-ir+1 1 (2n+iy U) ^ í} ln"(«+l) _ ln2 ln2 3 ln3 4 Absolutní konvergence číselných řad 49 (n+\ \n c) E(-l)B+1Hr d) E(-D rí-i (2+71x2+72)... Řešení Ve všech případech budeme ověřovat konvergenci řady E laŕíl • a) Pro všechna n e N platí (2^1)3 < ^3. Řada E ^ Je konvergentní, proto je podle Věty 3.3 daná řada absolutně konvergentní. b) Platí: lim ý\än~\= Hm J——^ ŕí^oo ŕí^oo y in (n lim lim + 1) n^oo J/\n"(n + 1) ln(n + 1) Podle Věty 3.4 je daná řada absolutně konvergentní, c) Platí: /ín+l\n ín+l\n lim tfaj = lim J = lim = \ < h Podle Věty 3.4 je daná řada absolutně konvergentní. Pro řešení příkladu využijeme dvě z procedur uvedených v předcházející kapitole. > a:=n->(-1)~(n+1)*((n+l)/n)~(n~2)/3~n: > Sum(a(n), n=l..infinity); , n + 1 . 2\ 00 (-)(» ) ŕí=i odmock(abs(a(n))); 00 E n=l , řZ + 1 , 2\ (_1)(»+1) (_)(» ) n csum (a (n) , n) ; 3n konverguje true Obdobně můžeme postupovat i při řešení ostatních úloh. 50 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní d) V tomto případě se ukazuje výhodné použít Raabeovo kritérium pro řadu \a„\ • Platí Jn~\ (2 + Ví) • • • (2 + V/77T) 1 hm n ( -—--p=--1 n^oo \ (2 + VI) ... (2 + y/ň) VO + 1)! / 2 + VňTT \ 2n = lim n I --=--I I = lim —= = oo, y Vřz + i y "^0° Vřz + i proto je vyšetřovaná řada absolutně konvergentní. Příklad 3.4. Určete, pro která x e R je řada 00 n 2 3 — = - + — + — + ... n 1 2 3 íí=i absolutně konvergentní, pro která neabsolutně a pro která diverguje. Řešení. Pro x ^ O je lim ŕí^OO a?\ = lim ŕí^OO n + l xn = lim -|x| = \x\. n^oo n + l Podle Věty 3.5 řada absolutně konverguje pro \x\ < 1, pro \x\ > 1 řada diverguje. Pro x = 1 dostáváme harmonickou řadu Y -, která je divergentní, a pro x = — 1 Leibnizovu řadu Y (—1)("+1)^, která je neabsolutně konvergentní. Na závěr tohoto odstavce uveďme dvě kritéria k určení konvergence řady s libovolnými členy. Jejich důkaz lze nalézt např. v [8, 18]. Věta 3.6 (Ábelovo a Dirichletovo kritérium). Nechť {bn} je monotónní posloupnost a platí jedna z následujících podmínek: 1. (Dirichlet) Posloupnost částečných součtů řady ^an je ohraničená a lim bn = 0; 2. (Abel) Rada Y an konverguje a posloupnost {bn} je ohraničená. Pak řada Y anbn konverguje. Příklad 3.5. Dokažte, že řada oo a) Y konverguje pro libovolné xel; n=l U b) 2^ —-je konvergentní. n=l Absolutní konvergence číselných řad 51 Řešení, a) Případ kdy x = ku, k e Z je triviální, neboť se jedná o nulovou řadu. Nechť tedy x ý kiz. Položme bn = - a an = únnx. Ukážeme, že jsou splněny podmínky Dirichletova kritéria (Věta 3.6). Zřejmě je posloupnost {bn} monotónní a lim bn = 0. Zbývá dokázat, že posloupnost částečných součtů řady E an je ohraničená. Označme sn = sin x + sin 2x + • • • + sin nx, rn = cos x + cos 2x + • • • + cos nx, q = cos x + i sinx. Z Moivreovy věty plyne qn = (cos x + i sinx)" = cosnx + i únnx, odkud qn — q~n = cosnx + i únnx — (cos(—nx) + i sin(—nx)) = 2i únnx. Užitím těchto vzorců dostaneme rn + isn = cos x + i sin x + cos 2x + z sin 2x + • • • + cos nx + i sin nx = 2 „ a" - 1 q^(q^-q~^) n±i 2i sin |x 9 - 1 qž(q2 - q-i) 2i sin 5* / n + 1 n + 1 \ sin -x = ( cos-x + i sin-x I -:— V 2 2 / sin 2 a; Nyní porovnáme reálnou a imaginární část 77 + 1 ■ n cos ^x sin f x r„ = cos x + cos 2x + • • • + cos nx =-j-, sin 2* 77 + 1 ■ 77 sin ^x sin f x = sin x + sin 2x + • • • + sin nx =-:- . sin 2* Odtud plyne \sn\ < j—l—y a proto je posloupnost {sn} částečných součtů řady Esinnx ohraničená. Tím jsme dokázali, že řada ^ S!L2£ je konvergentní pro všechna x e R. b) Použijeme Ábelovo kritérium (Věta 3.6) při volbě bn = j/ň, an = miL. Podle předchozího příkladu Yan konverguje. Protože lim^/ň = 1, je {bn} ohraničená; ukážeme ještě, že pro n > 3 je klesající. Vskutku, tfň > n+^/n + 1 právě když nn+1 > in + l)n, což je ekvivalentní n > (1 + -)" a tato nerovnost platí pro n > 3, neboť {(l + ^)"}je rostoucí posloupnost s limitou e < 3. 52 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní 3.3. Přerovnávání řad Již v první kapitole jsme ukázali, že s nekonečnými součty nemůžeme zacházet stejně jako se součty konečnými. V tomto odstavci se budeme zabývat analogií komutativního zákona - přerovnáváním nekonečných řad. Zaveďme následující definici: Definice 3.3. Nechť Y an je řada, {kn} permutace množiny N (tj. {kn} je prostá posloupnost přirozených čísel, v níž se každé přirozené číslo vyskytuje). Pak říkáme, že Y aK vznikla přerovnáním řady Y an ■ Věta 3.7. Nechť řada Y &n konverguje absolutně. Pak konverguje absolutně také každá řada Y ^k„ vzniklá přerovnáním řady Han a platí Y aK =5Z an ■ Důkaz. Buď s > 0 libovolné. Protože řada Y an Je absolutně konvergentní, existuje n0 e N takové, že pro n > n0 a libovolné m e N platí \an+i \ + • • • + + \an+m\ < s. Dále protože {kn}^ je permutace množiny N, existuje p e N tak, že {1,2,..., n0} c {/q, k2,..., kp}. Buď nyní n > p a m e N libovolné. Označíme-li t = max{kn+l,......, kn+m}, platí \akn+1 ! + ••• + \akn+m \ < \ano+l \ + + • • • + \at | < e. Podle Cauchy-Bolzanova kritéria řada Y \aK I konverguje, tj. řada Y ttkn konverguje absolutně. Zbývá dokázat, že obě řady mají stejný součet. Označme sn částečné součty řady Y an ,tn částečné součty řady Y ak„ ■ Pro n > max{n0, kp} platí \sn - tn | = \ai + • • • + ano + ano+l + • • • + an - (akl + • • • + akJ \ < — I^río+ll l^-no+ll + " " " + \ano+q | < 8, kde n0+q = max{n, ki,..., kn}. Je tedy lim (sn — tn) = 0, tj. lim sn = lim tn. □ Právě jsme dokázali, že pro absolutně konvergentní řady platí komutativní zákon. Vyvstává otázka, jak se chovají při přerovnávání neabsolutně konvergentní řady. Zaveďme následující označení: pro a e R položme a+ = max{a, 0}, a~ = max{—a, 0}. Potom je zřejmě a+ > 0, a~ > 0, a = a+ — a~, \a\ = a+ + a~. Proto je-li Y an nekonečná řada, můžeme uvažovat dvě nekonečné řady s ne- oo oo zápornými členy Y an a z*ľ aň ■ Tyto řady mají následující vlastnost: n=l n=l Přerovnávání řad 53 Lemma 3.2. Nechť řada E an konverguje neabsolutně. Pak obě řady Ylan a E a-n divergují k +00. Důkaz. Protože Ylan a Ea«~ Jsou ra(ty s nezápornými členy, každá z nich buď konverguje nebo diverguje k +00. Kdyby obě konvergovaly, pak by podle Věty 1.3 konvergovala i řada J2(an + aň) = E \an\, tj. J2an by konvergovala absolutně. Kdyby např. J2an divergovala k +00, J2aň konvergovala, pak by podle Cvičení 1.8 řada J2(an ~ a«~) = J2an divergovala k +00. Tedy obě řady Ean^ Eaň divergují. □ Nyní můžeme dokázat větu o neabsolutně konvergentních řadách, která říká, jak „labilní" jsou tyto řady vzhledem k přerovnávání. Věta 3.8 (Riemannova). Nechťřada E konverguje neabsolutně a nechť s e R je libovolně. Pak existuje takové přerovnání ak„ řady J2ak„ = s, existuje takové přerovnání E ap„ řady Yan>žeY ap„ určitě diverguje a takové přerovnání Y aqn> že Yaqn osciluje. Důkaz. Dříve než provedeme přesný důkaz, naznačme velmi zjednodušeně, jakým způsobem bude důkaz veden. Myšlenkou důkazu tvrzení, že YlaK = s> Je přerovnat danou řadu následujícím způsobem: nejdříve ponecháme kladné členy, dokud „nepřekročíme" předepsaný součet. Poté začneme odčítat záporné členy až bude částečný součet řady menší než součet předepsaný a stejným způsobem pokračujeme dál. Nakonec dokážeme, že takto přeskládaná řada opravdu konverguje k předem určenému číslu. (i) Ukažme, že lze řadu přerovnat tak, že přerovnaná řada konverguje a má součet s. Předpokládejme pro určitost, že s > 0. Nechť n 1 e Njenejmenšítakové, že a+i + • • • + a+ni > s; vzhledem k divergenci Ylan takové ny existuje. Nechť my e N je nejmenší takové, že a+i + • • • + a+ni — (a~i + ■ ■ ■ +a~mi) < s; existence takového my plyne z divergence řady Yaň- Nechť dále n2 e N, n2 > n y je nejmenší takové, že a+y + • • • + a+ni — (a~y + • • • + a~mi) + a+ni+y + • • • + a+n2 > > s. Takové n2 opět existuje ze stejných důvodů jako ny. V této konstrukci lze pokračovat indukcí; jejím výsledkem je jistá řada, která vznikla přerovnáním řady Dokažme, že součet takto přerovnané řady je s. Z konstrukce je patrné, že částečný součet sni+mi+...+nk přerovnané řady se od požadovaného součtu s liší maximálně o a+nk, částečný součet sni+mi+...+nk+mk se liší od s maximálně o a~mk a částečný součet sn, kde ny + my + • • • + < n < ny + my + • • • + + m^, resp. ny + my + • • • + n k + m k < n < ny + my + • • • + n k + m k + n^+y se liší od s nanejvýš o max{ank, amk} resp. o max{amk, ank+l}- Protože Yan konverguje, je lima,, = 0, tedy i Y\ma+n = lima~„ = 0; odtud limsn = s. 54 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní (ii) Ukažme, že lze řadu přerovnat tak, že přerovnaná řada diverguje k oo. Nechť n\ € N je nejmenší takové, že a+i + • • • + a+ni > 1; n2 > n\ nejmenší takové, že a+i + - • -+a+ni —a~i+a+ni+i + - ■ ■+a+n2 > 2, n3 > n2 nejmenší takové, ze a+1 + • • • + a+ni — a i + a+ni+i + • • • + a+n2 — a 2 + a+n2+\ + • • • + a+n3 > 3 atd. Vzniklá přerovnaná řada určitě diverguje k oo. (iii) Obdobně určíme nejmenší ni e N tak, že a+i + • • • + a+ni > 1, nejmenší mi € N tak, že a+\ + ■ ■ ■ + a+ni — (a~i + ■ ■ ■ + a~mi) < 0, nejmenší n2 > n\ tak, že a+i + • • • + a+ni — (a~i + • • • + a~mi) + a+ni+i + • • • + a+n2 > 1 atd. Vzniklá přerovnaná řada osciluje. □ Příklad 3.6. Přerovnejte Leibnizovu řadu £(— l)(íl+1)i tak, aby součet přerov- n=l n nané řady byl: a) 1,8 b) 0,7 c) -0,6. Řešení Podle příkladu 3.2 je Leibnizova řada neabsolutně konvergentní, tedy splňuje podmínky věty 3.8 a existují její přerovnání taková, že konverguje k zadaným cislum. oo V příkladu 6.4 jsme ukázali, že £(-l)(rl+1)^ = ln2 = 0,693. n=l n > a:=n->(-1)"(n+1)/n: Sum(a(n), n=l..infinity): > %=value(%); E {-^— = ln(2) z—' n n=l > evalf(lhs(%)); 0.6931471806 V zadání máme tedy tři různé typové příklady. Při řešení tohoto příkladu budeme postupovat podle důkazu Riemannovy věty. Maplu využijeme k znázorňování přeskládaných řad a posloupností jejich částečných součtů. Využijeme nových procedur rieman a pre ski. Procedura rieman (ps, n, fce,prom) přeskládá zadanou neabsolutně konvergentní řadu tak, aby konvergovala k předepsanému součtu a zobrazí její částečné součty. Procedura má čtyři argumenty: p s součet, k němuž má konvergovat přeskládaná řada, n počet zobrazených částečných součtů přeskládané řady, f c e předpis pro n-tý člen řady aprom proměnná použitá ve výrazu f ce. Přerovnávání řad 55 > cast_s := proč (ps, f) > local s; global old_s, nk, nz; > s := old_s; if s <= ps > then s := s+f(nk); nk := nk+2 else > s := s + f (nz) ; > nz := nz+2 > fi; > old_s:= s; > RETURN(s) > end; > rieman := proc (ps, n, fee, prom) > local f, s, 1; global old_s, nk, nz; > f := unapply(fee,prom); > if 0 < f(1) then nk := 1; nz := 2 > else nk := 2; nz := 1 fi; > s := 0; old_s := 0; > 1 := [seq([i, cast_s(ps,f,nk,nz)],i =1 .. n)]; > RETURN(display ({pointplot(1,symbol = CIRCLE, > symbolsize=4), > plot(ps,x = 0 ..n,labels = [A\ ' ' ] )}) ) > end; Procedura pre ski (ps, n, fee, prom) má stejné parametry jako procedura rieman a slouží ke znázornění prvních n členů přeskládané řady. > clen := proc (ps, f) local s, h; > global old_s, nk, nz; s := old_s; > if s <= ps > then h := f(nk); s := s+h; nk := nk+2 > else h := f(nz); s := s+h; nz := nz+2 > fi; > old_s := s; RETURN(h) > end; > preskl := proc (ps, n, fee, prom) > local f, s, 1; global old_s, nk, nz; > f := unapply(fee,prom); > if 0 < f(1) then nk := 1; nz := 2 > else nk := 2; nz := 1 fi; > s := 0; old_s := 0; > 1 := [seq([i, clen(ps,f,nk,nz)],i = 1 .. n)]; > RETURN(pointplot(1, symbol = CIRCLE, > symbolsize=4)) > end; Nyní aplikujeme tyto procedury na jednotlivé případy. V případě a) je předepsaný součet dostatečně větší než součet ln 2, proto v přeskládané řadě převažují kladné členy, viz Obr. 3.2. 56 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní > preskl(1.8,150,a(n),n); 1 0.8^ 0.6 0.4^ 0.2 ž 0 -0.2 -0.4 20 40 . 60 • 80' 100' 120' 140' Obr. 3.2: Prvních 150 členů přeskládané řady konvergující k 1,8 1.6- 1.4- 1.2 1-: 0 20 40 60 80 100 120 140 Obr. 3.3: Posloupnost částečných součtů konvergující k 1,8 Je vidět, že nejdříve sčítáme jen kladné členy, čímž posloupnost částečných součtů roste dokud nepřekročí předepsaný součet, tj. sn > 1,8. Poté následuje člen záporný, který způsobí, že sn+i < 1,8. Opět následují členy kladné, až sn > 1,8, poté člen záporný atd. (viz Obr. 3.3). > rieman(1.8,150,a(n),n); Obrázky 3.4 a 3.5 ukazují případ b), kdy předepsaný součet je velmi blízko hodnotě ln2. Pořadí členů řady (Obr. 3.4) se proto mění až u členů s vyššími indexy a přeskládání není z grafu téměř patrné. U částečných součtů (Obr. 3.5) to má za následek, že oscilují okolo předepsaného součtu bez větších skoků. > preskl(0.7,150,a(n),n); > rieman(0.7, 150, a(n),n); Poslední případ (znázorněný na obrázcích 3.6 a 3.7), kdy předepsaný součet je záporný a dostatečně menší než ln2, je v podstatě „inverzní" k případu a). > preskl(-0.6,150,a(n),n); > rieman(-0.6,150,a(n),n); Přerovnávání řad 57 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 20'4060 80 100 120 140 Obr. 3.4: Prvních 150 členů přeskládané řady konvergující k 0,7 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0 20 40 60 80 100 120 140 Obr. 3.5: Posloupnost částečných součtů konvergující k 0,7 Cvičení 3.1. Rozhodněte o konvergenci alternujících řad: V Z- 3n-l n=l oo n=Y OO b) y (-1)n-> u/ „+100 n=l oc e) E(-l)""1—i— n=l oo c) y {~l)n-n ' 2-, 5n-2 n=l f) V ( } L> ln(n+l) 3.2. Vyšetřete, které řady konvergují absolutně, které konvergují neabsolutně a které divergují: oo a) E(-n=2 i \b ln» ' n oc d) E(-l) B=l oo b) £(-(7 = 1 i \n n3 *■) 2™ oo e) B=l oc c) E(-n=l -1)"—i- oc f) E(-D „=i 58 Řady absolutně a neabsolutně konvergentní ■h 0.8 : 0.6: 0.4: 0.2: "20 40 60 80 100 120 140 0.2 0 -0.2 : -0.4: -0.6 20 40 60 80 100 120 140 Obr. 3.6: Prvních 150 členů Obr. 3.7: Posloupnost částečných přeskládané řady součtů konvergující k —0,6 konvergující k — 0,6 oo oo g) E(-ir+1i^b) h) E(-ir+1i n=l n=l 3.3. Určete, pro která reálná čísla x následující řady absolutně konvergují, pro která neabsolutně a pro která divergují: oo oo oo oo a) Ee-"x b) J2ln"x c) £ %gx" d) £ g n=l n=l n=l n=l ABSOLUTNĚ £í In n NEABSOLUTNĚ „=2 lnn Cítíte-li se skvěle, buďte bez obav. To přejde. Kapitola 4 Součin řad a numerická sumace řad V této kapitole ukážeme, za jakých předpokladů a jakým způsobem lze násobit dvě nekonečné řady. Dále ukážeme některé odhady zbytku při numerické sumaci číselné řady, což později budeme používat při přibližném výpočtu funkčních hodnot. 4.1. Součin řad Součin dvou konečných součtů Y17=\ ai' 2ZLi bk reálných čísel lze podle distributivního zákona vypočítat tak, že utvoříme všechny součiny aibk (1 < i < m, 1 < < k < n) a tyto součiny sečteme: m n m n ■ J2bk = J2 J2aibk = i=l k=l i=l k=l = a\b\ + aib2 + • • • + a\bn + a2bi + • • • + a2bn + • • • + amb\ + • • • + ambn. Chceme-li analogicky postupovat! v případě dvou (konvergentních) řad YJa^, YJ&rc, je třeba utvořit všechny součiny aibk (i,k € N) a tyto součiny sečíst. Systém {a,-^; i, k € N} je však spočetnou množinou reálných čísel opatřených 59 60 Součin řad a numerická sumace řad dvěma indexy, kterou můžeme napsat ve tvaru „nekonečné matice" a\b\ a\b2 a\b3 ... a\bn a2b\ a2b2 a2b3 ... a2bn a3bx a3b2 a3b3 ... a3bn ... : : : •.. : (4-1) ^ra^l ^m^2 dm&3 • • • ^m^n • • • Prvky takovéto množiny lze sčítat (ve smyslu předchozí teorie), pokud je nějakým způsobem srovnáme do obyčejné posloupnosti, tj. utvoříme posloupnost {c„}, jež je permutací množiny {a-ibk\ i, k e N}. Každou řadu Ycn> která vznikne tímto způsobem, nazýváme součinem řad Yan^Y^n- Obecně tedy existuje nekonečně mnoho různých součinů řad ^a„, ^/3„ při čemž jeden z druhého vznikne přeřazením. V Kapitole 3 jsme viděli, že v obecném případě se u konvergentních řad hodnota součtu při přeřazení nezachovává. Proto různé součiny dvou konvergentních řad mohou mít různé hodnoty; dokonce uvidíme, že součin dvou konvergentních řad může být divergentní. Jednoduchá situace je však v případě, kdy obě řady Y an, Y b n konvergují absolutně: Věta 4.1. Nechť řady CXfl - Cly = b konvergují absolutně. Je-li {cn} li- bovolná posloupnost, jež je permutací množiny {aibk; i, k e N}, pak řada Ycn konverguje absolutně a platí Y cn = a ■ b. Důkaz. Nechť kJ = S,J2 k«l = ť takže \a\ \ + \a2 \ + • • • + k,-1 < s pro každé i e N a \bi \ + \b2\ + • • • + \bk\ < t pro každé k e N. Zvolme libovolně n e N a nechť cx = ahbkx, c2 = ahbkl,..., c„ = ainbkn. Je-li i0 = max{i"i, i2,in), k0 = max{/q, k2,..., k„), pak zřejmě ki I + \c2\ + • • • + \cn I = \ah I \bkx I + \ah \ \bkl ! + ••• + \ain \ \bkn \ < < (|ai| + \a2\ + ■■■ + \aio\) ■ (ki| + \b2\ + ■■■ + \bko\) kde {kn} je libovolná permutace množiny N. Speciálně platí cn = a\b\ + ia.\b2 + a2b2 + a2bi) + (aib3 + a2b3 + a3b3 + a3b2+ + a3bi) + ■■■ + {axbn + a2bn + ■■■+ anbn + a„b„-í + ■■■ + a„b{) + ■■■ . Součin řad 61 Označíme-li sn částečné součty řady na pravé straně této rovnosti, tn částečné součty řady ^«„aw)„ částečné součty řady £ bn, platí Si = a\b\ = tiWi s2 = a\b\ + a\b2 + a2b2 + a2b\ = (ai + a2)(bi + b2) = t2w2 s3 = a\b\ + a\b2 + a2b2 + a2b\ + a\b3 + a2b3 + a3b3 + a3b2 + a3b\ = (al+a2 + a3)(bl+b2 + b3) = t3w3 $n ~ tn ■ Odtud plyne sn -> a ■ b, tj. £ cn = a ■ b. □ Předpoklad absolutní konvergence obou řad £ an, £ bn je však značně silný a dá se očekávat, že při speciální volbě permutace (cn) množiny {a,-^; i, k e N} lze dokázat konvergenci součinu £ cn za slabších podmínek. Zaveďme dva typy součinů konvergentních řad: Dirichletovým součinem řad £ an, £ rozumíme řadu £ c„, kde c„ = axbn + a2bn + ■■■+ anbn + aBfcB_i + • • • + anbx\ tato řada odpovídá postupu ve schématu (4.1) „po čtvercích": a\b\ a\b2 axb3 a\b4 a2b\ < — a2b2 a2b3 a2b4 a3bi < - a3b2 < - a3b3 a3b4 a4b\ < — a4b2 < - a4b3 < - a4b4 Cauchyovým součinem řad £ a„, £ rozumíme řadu £ cn, kde cB = aifeB + a2bn-i + ■■■ + an-ib2 + anbx\ 62 Součin řad a numerická sumace řad tato řada odpovídá postupu ve schématu (4.1) „po diagonálách": a\b\ / aib2 / aib3 / a\b4 a2bi / a2b2 / a2b3 / a2b4 a3bx / a3b2 / a3b3 / a3b4 a4bi a4b2 a4b3 a4b4 Věta 4.2. Nechť £ an = a, £ bn = b jsou konvergentní řady a nechť £ cn je jejich Dirichletúv součin. Pak £ cn je konvergentní a platí £ c„ = a ■ b. Důkaz. Označíme-li tn částečné součty řady £ an, wn částečné součty řady £ bn a sn částečné součty jejich Dirichletova součinu £ cn, potom - jak jsme odvodili v důkaze věty 4.1 - platí sn = tn ■ wn pro každé n e N. Avšak tn -> a, wn -> b a tedy sn -> a ■ b, tj. £ cn = a ■ b. □ Pro Cauchyův součin takové tvrzení neplatí: Příklad 4.1. Nechť £a„ = = £(—1)"^- Podle Leibnizova kritéria řady £ an, £ bn konvergují. Ukážeme, že jejich Cauchyův součin £ cn diverguje. Vskutku, „4.1 í 1 1 1 1 1 1 1 1 \ cn = (-iy+1._. — + _. —== + • • • + —= • — + ^Vľ V2 \Jn - 1 s/n - 1 V" \/L takže 1 1 1 + —=-=. + ■ ■ ■ + ■s/l ■ +Jn~ ■s/2 ■ n částečné součty řady a sn částečné součty jejich Cauchyova součinu Ycn- Je tedy = a\b\ + {a\b2 + a2b\) + (ai&3 + a2b2 + a^bi) + ... • • • + (aibn + a2bn-i + ■■■ + anb{) = = a\{b\ + b2 + • • • + bn) + a2(bi + b2 + ■ ■ ■ + bn-{) + • • • + anb\ = = a\Wn + a2wn-i + • • • + anW\. Označme wn — b = vn; pak je wn = b + vn a protože wn b, platí vn -> 0. Odtud s„ =al(b + v„) + a2(b + v„-{) + ■ ■ ■ + an(b + Ví) = = (ai + a2 + ■ ■ ■ + an) ■ b + a\Vn + a2vn-i + • • • + anvi = tn ■ b + un, kde un = a\Vn + a2vn-i + • • • + anV\. Protože tn -> a, platí tn ■ b -> a ■ b, takže ukážeme-li, že platí lim un = 0, bude tím dokázáno lim sn = a ■ b, tj. Y cn = a ■ b. Protože Elaíil konverguje, je posloupnost jejích částečných součtů shora ohraničená, tj. existuje h e R, h > 0 tak, že platí \a\ \ + \a2\ + ■ ■ ■ + \an\ < h pro všechna n e N. Protože limurc = 0, je posloupnost {vn} ohraničená, tj. existuje k e R, k > 0 tak, že platí \vn\ < k pro všechna n e N. Buď s e R, s > 0 libovolné. Protože limu,, =0, k čísluj > 0 existuje nľ e N tak, že pro n > nľ platí \vn\ < ^.Protože E \an \ konverguje, k číslu > 0 existuje podle Cauchy-Bolzanova kritéria n2 e e N tak, že pro n > n2 a pro všechna m e N platí |a„+11 + \an+2 ! + ••• + \an+m I < ^ • Položme n0 = max{n!, n2). Pak pro všechna n e N, n > 2n0 platí \un\ = \a\Vn + a2vn-\ + ••• + anovn-no+i + ano+ivn-no + --- + anV\\ < < |«i| • \vn\ + \a2\ ■ \vn-i\ + ■■■ + \ano\ ■ |uB_B0+i| + + l<2ŕí0+ll ' luŕí-ŕí0l + ' ' ' + \an \ ■ \ V\\ < S < (|ail + \a2\ + ■ ■ ■ + \ano\) ■ — + (|a„0+i| + • • • + \an\) ■ k < In < h ■ — + — ■ k = s. 2h 2k Je tedy vskutku lim iť„ = 0a^c„ = a- fe. □ 64 Součin řad a numerická sumace řad 4.2. Numerická sumace Nechť YlT=i an Je konvergentní řada. Její součet s lze psát ve tvaru s — sn + Rn, kde sn = a\ + ■ ■ ■ + an je n-tý částečný součet řady a Rn = an+i + an+2 + ■ ■ ■ se nazývá zbytek po n-tém členu. To znamená, že číslo Rn udává velikost chyby, jíž se dopustíme, jestliže přesnou hodnotu součtu dané konvergentní řady aproximujeme částečným součtem. Přitom platí lim Rn = lim(s — sn) = s — s = 0.\ tomto odstavci odvodíme některé odhady pro velikost zbytku \Rn\. Aplikace těchto odhadů při přibližném vyjadřování funkčních hodnot a integrálů budou ukázány v Kapitole 7. Lemma 4.1. Necht'Y^ an je řada, E bn je konvergentní řada s nezápornými členy a nechť platí \an\ 0 a protože Rn = (-1)" • a, platí \Rn\ = a < an+l. □ Pokud daná řada není alternující, můžeme pro určování chyby použít následující dvě tvrzení. Věta 4.5. Nechť an je číselná řada, pro kterou platí < q < 1 pro všechna n e N. Numerická sumace 65 Pak pro zbytek Rn této řady platí q l-q Důkaz. Uvedený předpoklad zaručuje absolutní konvergenci řady £a„ podle Vety 3.5. Protože pro všechna n e N platí \an+i\ < \an\ ■ q, je i \an+2\ < \an+i \ ■ ■ q — kŕíl • q2, |«ří+31 < \an+2\ - q — \an\ ■ q3 a obecně indukcí \an+k\ < \an\ ■ qk. Proto podle Poznámky 1.2 a Lemmatu 3.1 platí \Rn\ = k=l < E \an+k\ < E \a„\ ■ qk = k=l = \an\ ■ q ■ ^2,qk = \an\ • - k=0 k=l q -q □ Věta 4.6. Nechty an je konvergentní řada s nezápornými členy. Nechťan = f(n), kde f je nezáporná a nerostoucí funkce na intervalu [1, oo). Pak pro zbytek Rn řady £ an platí Rn < f(x)dx. Důkaz. Z konvergence řady £a„ plyne konvergence nevlastního integrálu f™ f(x) dx (podle Věty 2.6) a tedy i nevlastního integrálu f(x) dx pro libovolné n e N. V důkazu Věty 2.6 jsme dále odvodili nerovnost an+i < f^+l f(x) dx platnou pro všechna n e N. Dosadíme-li do níza n postupně n+1, n+2,..., n+k—l a sečteme takto vzniklé nerovnosti, obdržíme an+i +an+2+■ ■ ■ +an+k < /" f(x)dx, kde k e N je libovolné. Protože funkce / je nezáporná na intervalu [n, oo), platí fn+k /(*) dx < /B°° f(x)dx. Je tedy an+1 + an+2 + ■■■ + an+k < f(x) dx pro všechna kNa odtud již plyne Ylh=i an+k = Rn S f(x)dx. □ Příklad 4.2. a) Nalezněte odhad zbytku řady E-, kde p eR, p > 1. nP b) Kolik členů řady E 1 n(n + \){n + 2) je třeba sečíst, aby částečný součet aproximoval přesnou hodnotu součtu s chybou menší než 0,001? 66 Součin řad a numerická sumace řad c) Kolik členů řady T- je třeba sečíst, abychom její součet aproximovali s chybou menší než 0,01? d) Najděte odhad zbytku pro Leibnizovu řadu y"(-ir_1- =ln2 Řešení, a) Daná řada konverguje; podle Věty 4.6 platí ,0° dx 1 Rn< í J n Xp 1 — p \_X -P-1 (p - \)nP~l Například pro řadu £ ^ rnáme pro její zbytek odhad Rn < ^, tj. její konvergence je „pomalá". b) Protože „(„+1)(„+2) < ^> plyne z Lemmatu 4.1 a z předchozího příkladu odhad zbytku Rn < Nerovnost ^ < 0,001, tj. n2 > 500, je splněna pro n > 23. Stačí tedy sečíst 23 členy řady. c) Protože an+l 2n+1 n\ an (n + l)\ 2n n + l podílové kritérium (v limitním tvaru) ukazuje, že řada konverguje. Dále je — ^ -pro n > 3. Tedy pro n > 3 platí podle Věty 4.5 2 _ T I-5 n\ Nerovnost < 0,01, tj.nl > 100 • 2n je, jak se snadno přesvědčíme, splněna pro n > 8. Stačí tedy sečíst 8 členů řady. d) Podle Věty 4.4 je |Rn \ < Abychom tedy určili číslo ln 2 např. s chybou menší než 0,01, je třeba sečíst alespoň 100 členů řady £(— \)n~1-. To ukazuje, že tato řada je nevýhodná pro počítání logaritmů, její konvergence je příliš „pomalá". Jiný způsob výpočtu logaritmů ukážeme v Příkladu 7.4. Numerická sumace 67 Cvičení 4.1. Určete Cauchyův součin řad 00 „n ^ n! ^ n\ n=0 n=0 4.2. Nechť a e R, a > 1. Určete Cauchyův součin řady YT=i ~^ se sebou samou. Pomocí získaného výsledku určete součet řady YT=i p' ■ 4.3. Kolik členů následujících řad je třeba sečíst, abychom jejich součet aproximovali s chybou menší než 0,01: 4.4. Kolik členů řady je třeba sečíst, aby zbytek byl menší než 0,0001: 00 - 00 - 00 - b) V-=- c) V — . nin + \){n + 2){n + 3) ^ n ln2 n ^5" n=l n=2 n=l Člověk s jedněmi hodinkami ví přesně, kolik je hodin. Člověk s dvojími si není nikdy jistý. Kapitola 5 Posloupnosti a řady funkcí Důležitou roli v matematice hrají nekonečné řady, jejichž členy jsou funkce fn(x). V tomto případě mluvíme o řadě funkcí YJ fn(x) a jejím součtem je nějaká funkce fix). K bouřlivému rozvoji řad funkcí došlo v druhé polovině 17. století a zejména pak v 18. století, kdy byly funkce vyjadřovány ve tvaru nekonečných řad. Středem pozornosti matematiků byly následující otázky pro počítání s nekonečnými řadami funkcí: Jsou-li funkce fn(x) spojité na intervalu I, je také funkce f(x) = YJ fn(x) spojitá na I ? Kdy lze integrovat nekonečnou řadu funkcí člen po členu, tj. zaměnit pořadí integrace a sumace? Kdy lze derivovat nekonečnou řadu funkcí člen po členu, tj. zaměnit pořadí derivace a sumace? Odpovědi na tyto otázky budou obsahem této kapitoly. V následujících dvou kapitolách pak budeme podrobně studovat dva nej důležitější případy řad funkcí, kterými jsou > mocninné řady, kdy funkce fnix) jsou mocninné funkce, tj. fn(x) = anxn; tyto řady jsou vhodné pro aproximaci (přibližné vyjádření) funkce v okolí bodu x = 0; > Fourierovy řady, kdy funkce /„(x) jsou tvaru /„(x) = an sin nx + bn cos nx; tyto řady jsou vhodné pro aproximaci periodických funkcí. Ukážeme, že klíčovou úlohu v těchto problémech hraje velmi důležitá vlastnost řad funkcí, kterou je stejnoměrná konvergence. 68 Pojmy posloupnost a řada funkcí 69 5.1. Pojmy posloupnost a řada funkcí Nejprve zaveďme pojem bodové konvergence pro posloupnost funkcí. Definice 5.1. Nechť {fn(x)}^=1 je posloupnost funkcí na intervalu / a x0 e e I je libovolné. Je-li číselná posloupnost {fnixo)}^ konvergentní, říkáme, že posloupnost {fn{x)}™=i je konvergentní v bodě x0. Řekneme, že posloupnost funkcí bodově konverguje k funkci fix) na intervalu I, jestliže konverguje v každém bodě x e I, tj. ke každému x e I a každému s > 0 existuje n0 e N tak, že pro všechna n e N, n > n0, platí \f„(x) — f(x)\ < s. Píšeme lim fnix) = f (x) pro x e I nebo /„—>•/ na /. Všimněme si, že číslo n0 e N závisí jak na volbě čísla s, tak na volbě bodu x e I, takže při témže s a různých x e I může být příslušné n0 různé. Príklad 5.1. Znázorněte prvních n členů posloupnosti funkcí a určete její limitu: á) fn(x) = xn, x e [0,1] b) fn(x) = arctgnx, xel. Řešení Platí lim x" = 0 x e [0,1), 1 x = l, lim arctgnx = f x > 0, 0 x = 0, í x < 0. Všimněme si, že limitní funkce obou posloupností jsou nespojité funkce, třebaže funkce xn i arctg nx jsou spojité na R. Obrázek 5.1 byl vygenerován pomocí následující posloupnosti příkazů. > display(seq(plot(x"n,x=0..1,y=0..1,style=line, > color=black),n=l. . 15)); > display(seq(plot(aretan((n)*x),x=-10..10, > style=line,] color=black),n=l..5)); Nekonečné řady funkcí definujeme analogicky jako číselné řady a bodovou konvergenci řad funkcí definujeme pomocí bodové konvergence posloupnosti n-tých částečných součtů. 70 Posloupnosti a řady funkcí y o x Obr. 5.1: Posloupnosti funkcí {x11} a {arctgnx} Definice 5.2. Nechť {fn(x)}^=1 je posloupnost funkcí definovaných na intervalu /. Symbol nazýváme nekonečnou řadou funkcí. Posloupnost {sn(x)}^=1, kde sn(x) = fi(x) + + • • • + fn(x), nazýváme posloupností částečných součtů řady YT=i fn(x). Jestliže posloupnost částečných součtů {sn (x)}^=1 konverguje pro všechna x € I, řekneme, že řada (5.1) bodově konverguje na intervalu / a funkci s (x) = lim sn ix) nazýváme součtem řady E fn (x) ■ Bodová konvergence posloupnosti funkcí, resp. řady funkcí, závisí na intervalu, na kterém konvergenci vyšetřujeme. Největší množinu (vzhledem k množinové inkluzi), na níž posloupnost funkcí bodově konverguje, nazýváme oborem konvergence posloupnosti funkcí {fn(x)}. Stejně definujeme obor konvergence řady funkcí E f n (x). Příklad 5.2. Určete obor konvergence řady: oo nebo fiix) + f2(x) + ■■■ + fn{x) + • • • (5.1) n=l a) b) n=l oo Řešení. Postupujeme tak, že proměnnou x považujeme za parametr a pro toto x vyšetřujeme absolutní konvergenci, příp. konvergenci, číselné řady. Stejnoměrná konvergence 71 a) Podle podílového kritéria pro číselné řady platí n{n + 1) lim = lim ŕí^OO Cln ŕí^OO X n+l (n + l)(n + 2) x" lim - ŕí^oo n + 2 Proto řada konverguje pro \x\ < 1. Jestliže |x| = 1, nelze podílovým kritériem o konvergenci rozhodnout, proto je třeba vyšetřit body x = ±1 zvlášť. Je-li x = 1, dostáváme řadu V ,1a tato řada ie konvergentní (viz Pří- ' *—i n(n+l) J & v klad 1.2). Je-li x = — 1, dostáváme řadu YJ (— 1)" , která konverguje absolutně. Pro \x\ > 1 není splněna nutná podmínka konvergence. Oborem konvergence dané řady je interval [—1, 1], přičemž konvergence je absolutní. b) V tomto případě se jedná pro všechna x e použijeme odmocninové kritérium a dostaneme o řadu s kladnými členy; lim ŕí^OO lim e ŕí^OO 0 < 1 pro x > 0. Pro x = 0 dostáváme řadu YJ 1, která diverguje, a pro x < 0 řadu YJ e"2|x|, která je také divergentní. Oborem konvergence dané řady je interval (0, oo). 5.2. Stejnoměrná konvergence Jednou ze základních otázek v teorii posloupností a řad funkcí je, nakolik se vlastnosti členů posloupnosti přenášejí na limitní funkci, resp. součet řady. U některých vlastností nevyvstávají větší obtíže.Například limita posloupnosti (součet řady) nezáporných funkcí je zřejmě také nezáporná funkce; z vlastností posloupností reálných čísel rovněž plyne, že limita posloupnosti (součet řady) neklesajících funkcí je rovněž neklesající funkce. Oproti tomu, jak ukazuje Příklad 5.1, se na limitní funkci obecně nepřenáší velmi důležitá vlastnost, kterou je spojitost. Tím je motivována následující definice „silnějšího typu" konvergence, kterou je stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí: Definice 5.3. Řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}^=1 konverguje stejnoměrně k funkci f(x) na intervalu /, jestliže ke každému s > 0 existuje n0 e N tak, že pro všechna n e N, n > n0, a všechna x e I platí \fn(x) — f(x)\ < s. Píšeme /„ =4 / na /. 72 Posloupnosti a řady funkcí Poznámka 5.1. Se stejnoměrnou konvergencí spojitých funkcí na intervalu [a, b] jsme se setkali již v teorii metrických prostorů, kde jsme vyšetřovali metrický prostor (C[a,b],pc) (viz [3], str. 8,22). Připomeňme, že C[a,b] je množina reálných spojitých funkcí na intervalu [a, b] a pc je metrika tzv. stejnoměrné konvergence PÁf, g) = max \f(x) - g(x)\. xe[a,b] Ukažme, že tato definice je ekvivalentní s Definicí 5.3. V metrickém prostoru Pc (C[a, b], pc) posloupnost funkcí {fn}^Li konverguje k funkci /, tj. fn(x) -> f(x), jestliže lim pc(fn, /) = 0 <í=^ lim maxxe[aM \fn(x) - f(x) \ = 0 <í=^ •<=>• Ve > 0 3n0 e N Vn > n0 platí maxI£[a|,] |/ra0O — f(x)\ < s •<=>• -«=>• Ve > 0 3n0 e N Vn > n0 a Vx e [a, b] platí |/„(;e) - f(x)\ < s, což je Definice 5.3. Obecně lze v terminologii metrických prostorů definovat stejnoměrnou konvergenci jako konvergenci v prostoru ohraničených funkcí na intervalu / se suprémovou metrikou (viz [3, strana 15]). Geometrický význam stejnoměrné konvergence /„ =^ / spočívá v tom, že od určitého indexu n0 všechny další členy posloupnosti „leží v epsilonovém okolí" limitní funkce /, tj. mezi grafy funkcí / — s a / + s. Srovnejme definici bodové a stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí. > Bodová konvergence (/„ —>• /): (V* e /)(Ve e R, s > 0)(3n0 e N)(Vn gN,/i> n0)(\fn(x) - f(x)\ < s). > Stejnoměrná konvergence (/„ =4 /): (Ve e R, s > 0)(3n0 e N)(V* e /)(Vn gN,/i> n0)(l/B W - f(x)\ < s). Vidíme, že se oba pojmy od sebe liší pouze v „pořadí kvantifikátorů" - zatímco v definici stejnoměrné konvergence závisí číslo n0 e N pouze na volbě čísla s > 0, v definici bodové konvergence je n0 závislé i na bodě x e I. Proto ze stejnoměrné konvergence posloupnosti {/„} k funkci f na. I plyne bodová konvergence k / na /. Opak obecně neplatí, jak ukazuje následující příklad. Příklad 5.3. Rozhodněte, zda posloupnost funkcí 2nx 1 + nLxL stejnoměrně konverguje na intervalu [0, 1]. Kritéria stejnoměrné konvergence 73 Řešení. Pro každé x e [0, 1] platí 2nx lim /„(*) = lim--— = 0. ŕí^oo ŕí^oo 1 + n x Limitní funkcí posloupnosti je tedy f(x) = 0. Zjistěme, zda se jedná o stejnoměrnou konvergenci. Buď si přímo všimneme, že fn{\) = 1 nebo postupujeme jako při hledání absolutního extrému funkce y = j^f^i na [0, 1]: určíme první derivace a zjistíme, v kterých bodech je rovna nule. Platí / 2nx V 2n(\-n2x2) ' 1 =0 l+n2x2J (l + n2x2)2 pro x = - a. x = —-, přičemž hodnota — - neleží ve vyšetřovaném intervalu. Pro x = - dostaneme uvedenou hodnotu /*„(-) = 1. Je-li nyní 0 < e < 1, pak pro každé n e N a x = - e [0,1) platí, že \fn(x)-f(x)\ 2nx 0 1 + n2x2 Proto není daná posloupnost stejnoměrně konvergentní na intervalu [0, 1]. Stejnoměrnou konvergenci řady funkcí definujeme již snadno pomocí posloupnosti jejích n-tých částečných součtů. Definice 5.4. Řekneme, že řada funkcí £ /„ (x) konverguje stejnoměrně na intervalu I ke svému součtu s(x), jestliže posloupnost {sn(x)} jejích částečných součtů stejnoměrně konverguje na / k funkci s(x). 5.3. Kritéria stejnoměrné konvergence V tomto odstavci uvedeme kritéria pro vyšetřování stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí a zejména řady funkcí. Následující dvě tvrzení mají spíše teoretický význam a užívají se zejména v důkazech dalších kritérií a vět. Lemma 5.1 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium stejnoměrné konvergence). Posloupnost funkcí {fn(x)} konverguje stejnoměrně na intervalu I právě tehdy, když ke každému e e R, e > 0 existuje n0 e N takové, že pro všechna m, n e e N, m > n0, n > n0 a pro všechna x e I platí \fm(x) — fn(x)\ < s. 74 Posloupnosti a řady funkcí Důkaz. Nechť /„ =4 / na / a buď e > O libovolné. K číslu | > 0 existuje n0 e N tak, že pro n > n0 a x e I platí |/„(;e) — < |. Tedy pro m > n0, n > n0 ax e I platí |/m(*) - /„(*)! = \ fm(x) - f(x) - [/„(*) - /(*)]| < |/m(*) - -f(x)\ + \fn(x)-f(x)\ <§ + | = £. Nechť je splněna podmínka věty. Volíme-li libovolně, ale pevně, bod x0 e I, vidíme, že číselná posloupnost {fn(xo)} je cauchyovská a tedy konvergentní. Je tedy {fn(x)} bodově konvergentní na /. Označme lim fn(x) = f(x); nyní doká- žeme, že /„ =4 / na /. Buď tedy egI, s > 0 libovolné. K číslu | > 0 existuje n0 e N tak, že pro m > n0, n > n0 a všechna x e I platí \f„(x) — fm(x)\ < |. Limitním přechodem pro m ^ oo odtud plyne — < | < e. Tedy opravdu /„ =4 / na /. □ Lemma 5.2 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium pro řady funkcí). Rada funkcí Y fn{x) jena intervalu I stejnoměrně konvergentní právě tehdy, když ke každému e > 0 existuje n0 e N takové, že pro všechna n e N, n > n0, libovolné m e N a a každé x e I platí \fn+l(x) + fn+lix) + ■■■+ fn+m(x)\ < S . Důkaz. Podle definice řada E f n (x) stejnoměrně konverguje na / k s (x) právě tehdy, když posloupnost částečných součtů sn(x) řady E fnix) stejnoměrně konverguje ks(x). Podle předchozího lemmatu je tato podmínka splněna právě tehdy, když ke každému s e R, s > 0 existuje n0 e N takové, že pro všechna n e N, n > n0, libovolné m e N a pro všechna x e I platí \Sn+m(x) — Sn(x) \ = \fn+i(x) + fn+l(x) + • • • + fn+m(x)\ < S. D Věta 5.1 (Weierstrassovo kritérium). Nechť {fn(x)} je posloupnost funkcí na I. Nechť existuje posloupnost nezáporných čísel {an} taková, že řada Yan konverguje a platí \fn(x)\ < an pro všechna x e I a n e N. Pak řada E fnix) konverguje stejnoměrně na intervalu I. Důkaz. Nechť j sou splněny podmínky věty. Zvolme s > 0 libovolné. Podle Lemmatu 1.1 existuje n0 e N tak, že pro n > n0 a libovolné m e N platí an+\ + an+2 + + • • • + an+m < e. Pak pro n > n0, libovolné m e N a každé x e I platí \fn+l(x) + ■■■ + fn+m(x)\ < \ fn+l 0)1 + • • • + \fn+m(x)\ < Cln+l + • • • + an+m < S. Tvrzení nyní plyne z Lemmatu 5.2. □ Kritéria stejnoměrné konvergence 75 Příklad 5.4. Rozhodněte, zdaje řada E stejnoměrně konvergentní na n=l Řešení. Pro všechna xel, n e N platí | únnx\ < 1, a proto sin nx n2 ~ n2 Číselná řada E \ Je konvergentní (viz Příklad 2.1), proto podle Věty 5.1 řada zZ konverguje stejnoměrně na R. Weierstrassovo kritérium je dobře prakticky použitelné, dává však pouze postačující podmínku stejnoměrné konvergence. K formulaci dalších kritérií, jejichž důkaz lze nalézt např. v [8, 18], zaveďme následující pojmy: O posloupnosti funkcí {fn(x)} řekneme, že je na intervalu / neklesající, resp. nerostoucí, jestliže je číselná posloupnost {fn(xo)} neklesající, resp. nerostoucí pro všechna x0 e I. Posloupnost funkcí, která je buď neklesající, nebo nerostoucí na /, se nazývá monotónní na /. O posloupnosti funkcí {fn(x)} řekneme, že je na intervalu / stejnoměrně ohraničená, jestliže existuje k e R, k > 0 tak, že pro všechna n e N a všechna x € I platí \fn(x)\ < k. Věta 5.2 (Dirichletovo a Ábelovo kritérium). Nechť {f„(x)}, {g„(x)} jsou posloupnosti funkcí na I, {gn(x)} je monotónní na I. Nechť je splněna některá z následujících podmínek: 1. (Dirichlet) Rada E fn(x) má stejnoměrně ohraničenou posloupnost částečných součtů a gn (x) =4 0 na I; 2. (Abel) Rada E fn(x) stejnoměrně konverguje na I a posloupnost {gn(x)} je stejnoměrně ohraničená na I. Potom řada E fn(x)gn(x) stejnoměrně konverguje na I. Z Dirichletova kritéria plyne následující kritérium: Důsledek 5.1. Nechťposloupnost částečných součtů řady E fn (x) je stejnoměrně ohraničená na intervalu I a nechť {an} je monotónní číselná posloupnost taková, ze \iman = 0. Pak řada E anfn{x) konverguje stejnoměrně na I. Příklad 5.5. Dokažte, že řada E konverguje stejnoměrně na intervalu [8, 2tí - 8], kde 8 e R, 0 < 8 < ti (viz Obr. 5.2, 5.3). 76 Posloupnosti a řady funkcí Řešení V Příkladu 3.5-a) jsme dokázali, že daná řada konverguje na R. Vyšetřeme nyní stejnoměrnou konvergenci. Položme fn(x) = únnx, an = - pro «sN. Podle Příkladu 3.5 je 77 + 1 ■ n sin -^x sin f x sn (x) = sin x + sin 2x + • • • + sin nx =-:-, sin -x takže 1 |5„(x) | < -j pro x € [8, 2jr — 5]. sin | Posloupnost {a„} je zřejmě nerostoucí a lima,, = 0, a proto podle Důsledku 5.1 konverguje řada YJ stejnoměrně na intervalu [8, 2% — 8]. Z obrázku 5.3 je vidět, že v bodech x = kn, kde k € N, se funkce bude „trhat" a součet řady není v těchto bodech spojitou funkcí. Poznamenejme, že uvedená řada se nazývá Fourierovou řadou a její součet je YlT=i = — x) pro x € (0, 2%) (viz cvičení 8.12). Obr. 5.2: n-tý částečný součet řady J2T=i ^ pro n = 1, 4, 35, x e [0, 2jt] Obrázky 5.2 a 5.3 byly vygenerovány pomocí procedury CSsoucetR: > CSoucetR := proc (fee, p, i, rp, ri) > RETURN(display(seq(plot(unapply(sum(fee,i > = 1 . . o) , p) (p) , p = rp, labels = \ , > discont=true), o = ri))) > end: > with(plots) Kritéria stejnoměrné konvergence 11 Obr. 5.3: n-íý částečný součet řady ^ oo sin fa ■k=l k pro n = 45 > sl:=CSoucetR(sin(n*x)/n,x,n,0..2*Pi,1): > s2:=CSoucetR(sin(n*x)/n,x,n,0..2*Pi,4): > s3:=CSoucetR(sin(n*x)/n,x,n,0..2*Pi,35): > display(sl,s2,s3); > CSoucetR(sin(n*x)/n,x,n,-3*Pi . .3*Pi,45); K vytváření animovaných obrázků můžeme použít proceduru AnimR: > AnimR := proc (fee, p, i, rp, poc) > RETURN(animate(unapply(sum(fee,i=l .. o),p)(p), > p = rp,o = 1 .. poc, frames = poc)) > end; Řadu pěkných příkladů na stejnoměrnou konvergenci číselných řad je možno najít na adrese http://adela.karlin.mff.cuni.cz/kam/~pyrih/animace/k0061/kapitola.htm. Nejjednodušším kritériem pro stejnoměrnou konvergenci posloupnosti je patrně následující upravený „přepis definice": Věta 5.3. Nechť {fn(x)} je posloupnost funkcí na I a an = sup{|/B(*) - f(x)\; x e I}. Platí fn =4 / na I, právě když je posloupnost {an} nulová, tj. \iman = 0. Příklad 5.6. Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci následujících posloupností: a) fn(x) = xn, X€[0,1) b) f n (x) = arctg nx, x e R. 78 Posloupnosti a řady funkcí Řešení a) Pro každé x e [0, 1) platí lim xn = 0. Limitní funkcí posloupnosti {xn} je tedy fix) = 0. Avšak an = sup{|x"|; x e [0, 1)} = 1, a proto podle Věty 5.3 není posloupnost {xn} stejnoměrně konvergentní na [0,1). b) Podle Příkladu 5.1 b) platí 71 lim arctgnx = — sgnx, x e R. ŕí^OO 2 Avšak pro n e N libovolné platí a„ = sup{| arctgnx — — sgn(x)|; x e 1) = -, a proto podle Věty 5.3 není daná posloupnost stejnoměrně konvergentní na R. Jiné zdůvodnění, že tato posloupnost není stejnoměrně konvergentní, ukážeme v následujícím odstavci pomocí spojitosti. 5.4. Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad funkcí Stejnoměrná konvergence je v teorii funkčních řad a posloupností velmi důležitá. Na Příkladu 5.1 jsme ukázali, že bodová konvergence není dostatečnou podmínkou k tomu, aby se některé důležité vlastnosti, jako je spojitost funkce, přenášely na limitní funkci. V tomto odstavci ukážeme několik nej důležitějších vlastností stejnoměrně konvergentních posloupností a řad. Nejprve se budeme zabývat otázkou spojitosti, integrace a derivace pro posloupnosti funkcí a poté stejným problémem pro řadu funkcí. Věta 5.4. Necht posloupnost funkcí {fn (x)} stejnoměrně konverguje na intervalu I k funkci f. Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité na I, je i f(x) spojitá na I. Důkaz. Nechť xo e /. Buď e e R, s > 0 libovolné. K číslu f > 0 existuje n0 e N tak, že pro n e N, n > n0 a pro všechna x e I platí | /„ (x) — / (x) | < |; speciálně tedy platí \f„Q(x) — f(x)\ < | pro všechna x e I. Funkce f„Q je spojitá na /, tedy i v bodě x0; proto k číslu | existuje okolí 6>(x0) bodu x0 tak, že \fno(x) — — fnQ(xo)\ < f pro všechna x e (9(x0) H /. Odtud plyne pro x e 6Kx0) n / vztah \f(x) - f(x0)\ = l/CO - fno(x) + fno(x) - fno(x0) + fno(x0) - /(x0)| < < l/O) - fn0(x)\ + \fn0(x) ~ fn0(Xo)\ + |/„„(*<)) ~ /(*o)l < f + f + f = S, COŽ dokazuje spojitost funkce / v bodě x0. Bod x0 byl však libovolný, a proto je / spojitá na/. □ Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad funkcí 79 Příklad 5.7. Uvažujme posloupnosti funkcí z Příkladu 5.1: á) fn(x) = xn, x e [0,1] b) fn{x) = arctgnx, xel. Funkce x"jsou spojité, avšak jejich limita není spojitá na [0, 1]. Proto posloupnost {xn} nemůže být na tomto intervalu stejnoměrně konvergentní. Podobně plyne, že posloupnost {arctg nx) není stejnoměrně konvergentní na R. Věta 5.4 říká, že stejnoměrná konvergence je dostatečnou podmínkou pro to, aby limita posloupnosti spojitých funkcí byla spojitá. Následující věta ukáže, že v případě monotónní posloupnosti je předpoklad stejnoměrné konvergence nutný. Důkaz lze nalézt v [8, 15]. Veta 5.5 (Diniho). Bud'{fn(x)} monotónní posloupnost spojitých funkcí na intervalu [a, b] a nechť fn -> f na I. Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak fn^fna [a, b]. Veta 5.6. Nechť posloupnost funkcí {fn(x)} stejnoměrně konverguje na intervalu [a, b] k funkci f. Jsou-li všechny funkce fn(x) integrovatelně na [a, b], je i f(x) integrovatelná na [a,b] a platí j f (x) dx = lim f fn(x) dx, tj. / ( lim fn(x))dx = lim / fn(x)dx. Důkaz. Buď s > 0 libovolné. K číslu A(^_a) > 0 existuje n0 e N tak, že pro všechna n e N, n > n0 a všechna x e [a, b] platí \fn(x) — f(x)\ < A{£_a)■ Vyberme takové n > n0 pevně; tedy pro všechna x e [a, b] platí fn{x) — A{£_a) < < f (x) < f„ (x) + A{£_a) ■ Odtud mj. plyne, že / je ohraničená na [a, b], neboť /„ je ohraničená. Protože /„ je integrovatelná na [a, b], k číslu | > 0 existuje dělení D = {x0, x\,..., x k) intervalu [a, b] takové, že S(D, /„) — s (D, /„) < |, kde S(D, fn), s(D, fn) je dolní a horní součet /„ při dělení D (viz např. [14]). Označíme-li mf = inf{/(x); x e [xŕ_i, xŕ]}, Mf = sup{/(x); x e [xŕ_i, xŕ]}, nf = = mf{fn(x); x e [xŕ_i, xŕ]}, N = sup{/„(x); x e [xŕ_i, xŕ]}, plyne z předchozích nerovností n[ — A(^_a) < mi < Mi < Ni + A(^_a) pro všechna i = 1,..., k a tedy i Mi — mi < Ni — ni + 1(^_a) ■ Vynásobíme-li tuto nerovnost kladným číslem (xi — — Xi-i) a. sečteme-li všechny takto vzniklé nerovnosti pro i = 1,..., k, obdržíme S(D, f) - s(D, f) < S(D, fn) - s(D, fn) + ^ • J2(xí - = i=l S(D,fn)-s(D,fn) + l <§ + § = £. 80 Posloupnosti a řady funkcí Je tedy / integrovatelná na [a,b]. Buď nyní opět s > 0 libovolné. K číslu 1(^_a) > 0 existuje n0 e N tak, že pro všechna n e N, n > n0 a všechna x e [a, b] platí (/„(x) — f(x)\ < 1{£_a) ■ Tedy pro všechna n e N, n > n0 platí ŕ nb fn(x)dx - / /(x)dx / Ja b e e \fn(x) - f(x)\ dx < —--(b -a) = - < s, 2(b — a) 2 ti- Ľm Ja d* = fa D Lemma 5.3. Buď I interval, x0 e I a {fn(x)} posloupnost funkcí, která stejnoměrně konverguje na I \ {x0} k funkci fix)1. Nechť pro každé n e N existuje lim fnix) = an. Pak existuje \iman a platí lim an = lim fix), tj. x^xq x^xq lim ( lim /„(*) ) = lim ( lim /„(*) ). n^oo\x^xo i x^xq \ n^oo i Důkaz. Buď e > 0 libovolné. Podle Cauchyova-Bolzanova kritéria k číslu | > 0 existuje n0 e N tak, že pro m > n0, n > n0 a všechna x e I \ {x0} platí |/m(x) — - fn(x)\ < f. Tedy i lim \fm(x) - fn(x)\ = \am - an\ < § < s pro m > n0, X^Xq n > n0, takže číselná posloupnost {an} je cauchyovská, a proto také konvergentní. Označme lim an — a a ukažme, že lim fix) = a. x^xq Buď opět s > 0 libovolné. K číslu | > 0 existuje nľ e N tak, že pro n > nľ a všechna x e I \ {x0} platí \f„ix) — fix)\ < |. Protože lima,, = a, existuje n2 e N tak, že pro n > n2 platí | | < f. Položme n3 = maximi, n2} a zvolme libovolně, ale pevně n > n3. Protože lim f„ix) = an, k číslu f existuje okolí 6>(x0) tak, že pro ie0 (xo) H /, x ý xq platí | /„ (x) — an \ < §. Tedy pro x e O (xo) H /, x ^ Xo platí | (x) — a \ < \f(x)-fn(x)\ + \fn(x)-an\ + \an-a\ <§ + § + § = £, což dokazuje vztah lim fix) = a. □ Veta 5.7. Buď{fnix)} posloupnost funkcí, které mají na otevřeném intervalu I derivaci. Necht'{fnix)} konverguje na I a {f„ix)} konverguje stejnoměrně na I. Pak funkce fix) = lim fnix) má na I derivaci a platí fix) = lim f'nix), tj. (lim /„(*))' = lim /„'(*). 1 stejnoměrnou konvergencí na množině / \ {xq} rozumíme stejnoměrnou konvergenci na intervalech určených touto množinou Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad funkcí 81 Důkaz. Buď xo e I libovolný, ale pevný bod. Chceme dokázat, že f'(xo) = lim /„'(*o),tj. v /(*) - f(x0) fn{x) - f„(x0) lim -= lim lim -. x^xq X — Xq n^oo x^xq X — Xq Ukážeme, že posloupnost |^~ľ~^ J stejnoměrně konverguje na / \ {xo}. Buď fn(x)-f„(x0) I X—Xq s > 0 libovolné; protože {f„(x)} konverguje stejnoměrně na /, k číslu e > 0 existuje na e N tak, že pro m > n0, n > n0 a všechna x e I platí \f'm(x) — — f'n(x)\ < e. Volme pro okamžik m > n0, n > n0 pevně a x e I, x ý xo- Podle Lagrangeovy věty existuje číslo c mezi x0 a x tak, že platí (fm(x) — f „(x)) — - (fm(xo) ~ fn(xo)) = (/^ (c) - /„'(c)) (x - x0). Odtud plyne f m (x) — fm(Xo) f n (x) ~ fn(Xo) X — Xo 1 X — Xq X — Xq iifmix) ~ f „(X)) ~ (fm(Xo) - fn(x0))) K(c)-m\ Xq, libovolné. Podle Věty 5.9 je S(x) integrovatelná na [x0, X\\ a platí = e (fn(Xl) ~ fn(Xo)) = e fn(Xl) ~ e fn(x0) = ~ s(x0). Jelikož je S(x) spojitá, má funkce fx S(t) dt = s(x) — s(x0) podle věty o integrálu jako funkci horní meze (viz [13]) derivaci na / a platí S(x) = s'(x), tj. e /«(■*) = = s'(x). Cvičení 5.1. Určete limitu f(x) následujících posloupností {fn(x)} a rozhodněte, zda se jedná o stejnoměrnou konvergenci na intervalu /: oo s'(x) = lim s'n(x) = lim (//(*) + • • • + /„'(*)) = V /„'(*). n=l □ Ľ s(x) dx = r e m dx = e i: i:(x) dx a) fnix) =xn - X I = [0, 1] c) /„(*) = e —nx I = R. b) /„(*) = / = [l,oo) 5.2. Určete obor konvergence následujících řad e fnix)'- 84 Posloupnosti a řady funkcí a) fn(x) = (lnx)n b) fn(x)=xntg± C) f n (X) - n+l (3x2+4x+2)n 5.3. Pomocí Weierstrassova kritéria dokažte stejnoměrnou konvergenci následujících řad a) Mx) = %, / = [-l,l] b) Mx) = £,s€R, / = [-!,!] d) fn(x) e) /»W / = [0, oo) c) /»W = ^,/ = [-U] (jc+«)(jc+«+1) f) /«(*) = / = [0,oo). 5.4. Dokažte stejnoměrnou konvergenci následujících řad YJ fn(x): a) /»W C) fn(x) b) /„(*) = ln( 1+^^ ), |*| < a, a € d) /„W = sin x sin «jc _ (-D" ■y/n(n+x)' , / = [0,oo) / = [0, oo). 5.5. Určete součet řady funkcí YlT=o r" cos nx = s(x), kde 0 < r < 1, a ověřte, že funkce s(x) je spojitá na R (viz Příklad 5.8). Návod: Sečtěte řadu YJ^0(r" cos nx + z'r" únnx) = YlT=o(re'x)n • 5.6. Je dána řada YlT=i ne~nx • Rozhodněte, zda je tato řada stejnoměrně konvergentní na [8, oo), 8 > 0, a určete /»ln3 00 / V rce-"x dx . -'In2 „ , n=l Není nic praktičtějšího než dobrá teorie. Kapitola 6 Mocninné řady V předcházející kapitole jsme vyšetřovali řady funkcí ^/„(x), jejíž členy jsou funkce fn(x) definované na intervalu /. Jestliže za funkce fn(x) zvolíme mocninné funkce fn(x) = an(x — x0)n, pak takto vzniklou řadu budeme nazývat mocninnou řadou. V této kapitole uvidíme, že obor konvergence mocninné řady je jednobodová množina nebo interval. Ukážeme, že mocninné řady jsou stejnoměrně konvergentní na každém kompaktním podintervalu tohoto intervalu. Jak plyne z předcházející kapitoly, tato vlastnost umožňuje integrovat a derivovat mocninné řady člen po členu. V oddíle 6.3 ukážeme, jak lze funkce vyjádřit pomocí mocninných řad. 6.1. Obor konvergence Definice 6.1. Buď {a„}^0 posloupnost reálných čísel, x0 libovolné reálné číslo. Mocninnou řadou se středem v bodě x0 a koeficienty an rozumíme řadu funkcí tvaru oo a0 + ai(x — x0) + a2(x — XoÝ + ■ ■ ■ + an(x — x0)n + • • • = ^^an(x — x0)n. n=0 Poznámka 6.1. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že středem mocninné řady je číslo x0 = 0. Jinak pomocí substituce x — x0 = y lze převést řadu o středu v bodě x0 na mocninnou řadu o středu v počátku. 85 86 Mocninné řady Věta 6.1. NechťY anx" je mocninná řada a nechť a = lim sup ^J\an\ . Je-li a = O, pak řada absolutně konverguje pro všechna x e R - říkáme, že řada vždy konverguje. Je-li a = oo, pak řada diverguje pro všechna x ^ 0 - říkáme, že řada vždy diverguje. Je-li 0 < a < oo, pak řada absolutně konverguje pro \x\ < - a diverguje pro 1*1 > - 1 1 a Je-li 0 < a < oo, pak se číslo r = ^ nazývá poloměr konvergence a interval (—r, r) se nazývá konvergenční interval. Chování řady v krajních bodech konver-genčního intervalu je třeba vyšetřit zvlášť, protože závisí na tvaru mocninné řady. Oborem konvergence mocninné řady, která vždy nediverguje, je proto konvergenční interval s případnými jeho krajními body, pokud v nich řada konverguje. Jestliže řada YanXn vždy konverguje, tj. a = 0, definujeme její poloměr konvergence jako r = oo a její konvergenční interval jako (—oo, oo). Jestliže řada YanXn vždy diverguje, tj. a = oo, definujeme její poloměr konvergence jako r = 0. Důkaz Věty 6.1. Nejprve poznamenejme, že každá mocninná řada YanXn konverguje ve svém středu, tj. v bodě x = 0. Pro lepší srozumitelnost provedeme důkaz za silnějšího předpokladu, kdy existuje lim ^J\an\. Obecný případ lze dokázat obdobně; podrobný důkaz viz např. [8]. Nechť x ý 0 je libovolné pevné číslo. Položme cn = anxn a vyšetřujme absolutní konvergenci číselné řady cn. Podle odmocninového kritéria tato řada absolutně konverguje, jestliže platí lim ^\cn \ = lim ^\anxn \ = lim ^\an\\x\n = \x\ lim ^\an \ = \x\a < 1. Rozlišme tři případy: (i) Je-li a = 0, pak lim ^/\cn\ = 0 a řada zZcn = zZanXn konverguje absolutně v každém bodě xel (ii) Je-li a = oo, je lim ý\cn\ = oo pro všechna x ý 0, tj. řada diverguje pro všechna x ý 0. (iii) Nechť 0 < a < oo. Pak lim ý\cn \ = \x\a < 1 O \x\ < — = r, a odkud plyne, že řada cn = E anXn konverguje absolutně pro \x\ < r a diverguje pro \x\ > r. □ Obor konvergence 87 Poznámka 6.2. Existuje-li lim ^/\a„ \ = a, pak má mocninná řada a„xn poloměr konvergence r lun %J\an\ (přitom klademe r = oo, je-li a = 0, a r = 0, je-li a = oo). Podle Poznámky 2.1 platí, že existuje-li lim | — |, pak existuje také lim ^/|a„| a obě jsou si rovny. Proto pokud existuje tato limita, lze poloměr konvergence určit jako r = lim - n^oo an+i Příklad 6.1. Určete poloměr a obor konvergence následujících mocninných řad: n=l oo » E- z—' n (-í)n(x + 2)n z—' n1 n=l « E 1 n + ^/ň X ' °> E ŕí=i oo f) ^2* X 2n n=l y n=l Řešení a) Platí an = -, a proto poloměr konvergence je rí=i r = lim ŕí^OO a*} n + l = lim -= 1, ŕí^OO fl tj. pro x e (—1,1) řada absolutně konverguje. Je-li x = — 1, dosazením do dané řady dostaneme Leibnizovu řadu e(— l)"-1-, která je konvergentní (viz Příklad 3.1). Je-li x = 1, pak dostaneme harmonickou řadu -, která je divergentní (Příklad 1.4). Obor konvergence je interval [—1, 1). Řešme nyní tento příklad s využitím Maplu, nejdříve opět metodou „krok za krokem". > a:=n->l/n: rada:=Sum(a(n)*x"n, n=l..infinity); °° xn rada := > — n=l Pro poloměr konvergence dostáváme: > Limit(abs(a(n)/a(n+l)), n=infinity):%=value(%); n + 1 lim ŕí^OO n = 1 Vyšetříme nyní krajní body intervalu (—1, 1). Dosazením krajních bodů do dané řady dostáváme číselné řady - o jejich konvergenci, resp. divergenci 88 Mocninné řady rozhodneme pomocí procedury c s um. Procedura vrací hodnotu true (řada konverguje) nebo falše (řada divirguje). > read ,csum4.txt'1: > kl:=subs(x=-l, rada);csum(op(1,kl), n); n=l true > k2:=subs(x=l, rada);csum(op(1,k2), n) ; oo k2:=Y-^ n n=l falše Tedy oborem konvergence je interval [—1, 1). Nyní se pokusíme výpočet poloměru konvergence zautomatizovat pomocí nových procedur. Uvádíme nejdříve procedury pomocné (používají se v případě, že střed mocninné řady není v bodě 0), vlastní výpočet pak provádí procedura Poloměr (rada). Parametr rada zadáváme ve tvaru anxn, případně ve tvaru an(x — xo)n. > NalezniStred := proč (rada) > local počet, i, poradi, stred; > počet := nops(rada); > for i to počet do if subs(x = 0,op(i,rada)) <> > subs(x = 1,op(i,rada)) then > poradi := i fi > od; > stred:= -op(1,subs(x = 0,op(poradi,rada))); > stred > end: Obor konvergence 89 > PrevedNaStred := proč (rada) > local stred, i, počet, poradi,mocnina, výsledek; > počet := nops(rada); for i to počet do if > subs(x = 0,op(i,rada)) <> subs(x = 1,op(i,rada)) > then poradi := i > f i od; > stred := NalezniStred(rada); > mocnina := op(2, op(poradi,rada)); > if type (rada, * ~ 11) > then výsledek := x"op(2,rada) > else > výsledek := rada/op(poradi,rada)*x"mocnina fi; > výsledek > end: > Polomer := proc (a) > local r, nrada, i, pocet, poradi, > mocnina, y, f, g; > nrada := PrevedNaStred(a); pocet := nops(nrada); > for i to pocet do if > subs (x = 0, op (i, nrada) ) osubs (x = 1, op (i, nrada) ) > then poradi := i fi od; > mocnina := op(poradi,nrada); > if type (nrada, ,"'1) then r := 1 else > nrada :=nrada/mocnina; > f:= solve ({y = op (2 , mocnina)}, {n}) ; > g := subs(y = n, op(2,op (f) ) ) ; > nrada := subs(n = g,nrada); > r := limit(abs(nrada/subs(n = n+l,nrada)), > n = infinity) > fi; > end: Řešení příkladu 6.1. a) s využitím těchto procedur vypadá takto > Polomer(op(1, rada) ) ; 1 tj. poloměr konvergence je r = 1. K určování poloměru konvergence je možno použít i proceduru PSconv z balíku math [19]. > with(math):#pouze, pokud je balík instalován > PSconv(rada); 1 90 Mocninné řady b) Pro poloměr konvergence platí a™ r = lim 2"(n + l)2 1 n2 + 2n + l 1 lim----— = - lim n22n +i 2 íí^oo V krajních bodech intervalu x = ±^ dostáváme řady ~ (-ir 1^— a rí=i ^n2 n=l které konvergují. Proto je oborem konvergence interval [—|, |]. K řešení dále využíváme obě výše uvedené procedury. > rada:=Sum(2"n*x"n/(n"2), n=l..infinity); rada := n=l 2"xl Polomer(op(1,rada)); kl:=subs(x=-l/2,rada);csum(op(1,kl),n); -1 oo 2n (— )" ^ n2 n=l true k2:=subs(x=l/2,rada);csum(op(1,k2),n); 2n (-)" 2 n=l true Znamená, to, že v krajních bodech x = ±| řada konverguje, tj. oborem konvergence je interval [— \, |]. c) Pro tuto řadu je an = —r, a proto r = lim n(n + 1)! = lim-= Y\mn = oo. n\(n + 1) Obor konvergence je interval (—oo, oo) - řada vždy konverguje. Obor konvergence 91 rada:=Sum(n*x"n/(n!), x=l..infinity); 00 n ^-^ n x rada := > - n\ x=l Použijeme-li proceduru P Sconv autora A. F. Walze dostáváme chybný výsledek: > PSconv(rada); 1 Námi uvedená procedura Polomer dává > Polomer(op(1,rada)); 00 což je správný výsledek. d) Střed této řady je bod x0 = — 2 a poloměr konvergence r = lim CXv\ n + 1 + Jn + 1 lim -—-= 1. ŕí^oo n + Jn Konvergenční interval je proto x e (—3, —1). V bodě x = — 3 je řada y^ (-l)"(-3 + 2)B _ y, 1 n=l n + Jn ^ n + Jn v n=l v divergentní, např. použijeme-li srovnávacího kritéria s řadou Y Jn~- ^ bodě x = = — 1 je řada 2^ konvergentní podle Leibnizova kritéria (Věta 3.1). Proto je oborem konvergence interval (—3, —1]. Opět otestujeme obě procedury. V tomto případě procedura PSconv dává správný výsledek, naopak naše procedura vyžaduje asistenci: > a:=n->l/(n+sqrt(n)): > rada:=Sum((-1)~n*a(n)*(x+2)~n, n=l..infinity); ~ (_!)«(*+2)« rada := > -—- n + J n n=l v > PSconv(rada); 1 > NalezniStred(op(1,rada)); -2 > Polomer(op(1,rada)); 92 Mocninné řady lim ŕí^OO (-1)" (n + 1 + -s/n + 1) (n +V«)(-1)(B+1) Zde Maple není schopen spočítat uvedenou limitu. Po úpravě (odstranění absolutní hodnoty) již dostáváme správný výsledek. > limit(a(n)/a(n+1), n=infinity); 1 > kl:=simplify(subs(x=-3,rada));csum(op(1,kl),n); (-1) (2 b) n + Jn n=l v falše k2:=subs(x=-l,rada);csum(op(1,k2) , n); n + Jn n=l v true e) Pro poloměr konvergence platí 1 1 r = lim \f\a~n~\ lim lim 1 1 ;/a + í)B2 V krajním bodě x = - není splněna nutná podmínka konvergence (Věta 1.1), neboť užitím 1'Hospitalova pravidla lze ukázat, že (l + i)"2 /(i + I)«\B 1 lim--n— = lim--n— = — . e" V e / Vě Proto také v bodě x = — ^ není splněna nutná podmínka konvergence a oborem konvergence je interval {—\, \)- f) Zde je 2k pro n = 2fc, 0 pro n = 2k — 1. Pak pro n = 2k je ^/|a„| = ^2^ = V2 a pro n = 2fc — 1 je J\an\ = 0, tj. ■s/2 pro n = 2k, 0 pro n = 2k — 1. Vlastnosti a součet mocninné řady 93 Proto lim sup ^/\a, ■n ■s/Ť, a poloměr konvergence je r = 4=. V krajních bodech x = není splněna nutná podmínka konvergence, neboť lim2"(-^)2" = 1. Oborem konvergence je tedy interval (—\=, 4=). 6.2. Vlastnosti a součet mocninné řady Jak víme z Kapitoly 5, klíčovou roli u funkcionálních řad hraje stejnoměrná konvergence. Následující věta říká, na jakém intervalu je mocninná řada stejnoměrně konvergentní. Věta 6.2. Nechť r > 0 je poloměr konvergence mocninné řady Yan*n- Pak tato řada stejnoměrně konverguje na každém uzavřeném podintervalu [—p,p] intervalu (—r, r). Důkaz. Nechť x € [—p, p], kde 0 < p < r. Pak \dnX I = l^n 11-^ I — \@n\P 5 přičemž číselná řada \an\pn konverguje podle Věty 6.1. Z Weierstrassova kritéria (Věta 5.1) plyne, že řada VJ anxn konverguje stejnoměrně na [—p, p]. □ Tato věta má následující tři důsledky o součtu, integraci a derivaci mocninných řad. Důsledek 6.1. Nechť mocninná řada YanXn má poloměr konvergence r > 0. Pak součet této řady je spojitá funkce na intervalu (—r, r). Důkaz. Buď x0 € (—r, r) libovolný, ale pevný bod. Pak existuje p (0 < p < r) tak, x0 € [—p, p]. Z Vět 5.8, 6.2 a ze skutečnosti, že všechny funkce anxn jsou spojité na R, plyne, že součet mocninné řady je spojitá funkce na [—p, p]. Zejména je tato funkce spojitá v bodě x0, a protože x0 je libovolný bod z (—r, r), je tato funkce spojitá na intervalu (—r, r). □ Důsledek 6.2. Nechť mocninná řada YanXn má poloměr konvergence r > 0. Pak pro všechna x € (—r, r) y^/aří' (6.1) 94 Mocninné řady přičemž mocninná řada na pravé straně má stejný poloměr konvergence r. Důkaz. Vztah 6.1 plyne z Věty 6.2 a 5.10. Dokažme, že mocninná řada na pravé straně vztahu 6.1 má stejný poloměr konvergence. Důkaz provedeme za silnějšího předpokladu, kdy existuje lim ?J\an\. Obecný případ lze nalézt v [8, 15]. Použijeme-li Větu 6.1 pro řadu na pravé straně rovnosti (6.1), dostaneme nJ \an\ lim n+y\a~n~\ 1 lim , -=--== = -, V n + 1 Hm "X/JiTí r neboť lim n+^/\an \ = lim \an\ «+r = lim(^|a„|)^+r = \ a užitím ľ Hospitalova pravidla je lim "X/n + 1 = 1. □ Z Důsledku 6.2 okamžitě plyne tvrzení o integraci mocninné řady v konstantních mezích: Důsledek 6.3. Nechť mocninná řada YanXn niá poloměr konvergence r > 0. Pak pro libovolný interval [a,b] C (—r, r) platí Ja ^n=0 J n=0Ja n=0 n=0 Příklad 6.2. Určete součet mocninné řady YT=o x" a Pomoci integrace této řady oo určete součet číselné řady e ^ • n=l U Řešení Danou mocninnou řadu lze sečíst jako geometrickou řadu s kvocientem x, kde \x\ < 1. Dostaneme oo ! Ex" = 1 + x + x2 + ■ ■ ■ + xn + • • • =-, \x\ < 1. 1 -x Poznamenejme, že YT=o x" = YľŽĹi x"~l a / x"~l = Odtud plyne, že í 2xn-ldx 1 a podle Důsledku 6.3 je součet číselné řady n=l Ul n=l J° J° V«=l / 0 1 2 1 1 -dx = — ln - = ln 2. 1 -x 2 Vlastnosti a součet mocninné řady 95 Důsledek 6.4. Nechť mocninná řada Yjanxn má poloměr konvergence r > 0. Pak pro všechna x e (—r, r) platí , OO n. / oo oo \Tanxn\ = J2(anxn)' = J2nanx"~l> (6-3) ^ ŕí=l ŕí=l ŕí=l přičemž mocninná řada na pravé straně má opět poloměr konvergence r. Důkaz. Tvrzení o existenci derivace s' (x) a rovnost ve vztahu (6.3) vyplynou ihned z Vety 6.2 a Věty 5.9, jakmile dokážeme tvrzení o rovnosti poloměrů konvergence řad v (6.3). Ukažme, že mocninná řada na pravé straně vztahu (6.3) má stejný poloměr konvergence. Důkaz opět provedeme za silnějšího předpokladu, kdy existuje lim ?J\an\. Použijeme-li Větu 6.1 pro řadu na pravé straně rovnosti (6.3), dostaneme 1 lim "^Jn\an \ = lim "^[ň lim "yjaj = - , r n n-1 neboť lim " ^/jaj = lim \&n I "_1 = lim( \f\čh\ ) = \ a lim "\fň = 1 • D Příklad 6.3. Určete poloměr konvergence a součet mocninné řady TJ n*n • Pomocí n=l oo získaného výsledku sečtěte číselnou řadu VJ §r ■ n=l Řešení. Poznamenejme, že součet číselné řady VJ ^ jsme určili v Příkladu 1.2 c), a to přímo z definice součtu řady. Ukažme nyní jiný postup sčítání číselných řad -pomocí mocninných řad. Uvažuime mocninnou řadu Ynxn. Její poloměr konvergence je r = = lim ^-j- = 1. Součet řady určíme z rovnosti (xn)' = nxn~l a z věty = lim o derivaci řady (Důsledek 6.4). Dostáváme oo oo oo / 00 \ 1 / \ 1 J2nx"=x J2nx"~l = x Z!(*B)'=*( J2x") =x(^^) n=í n=í n=í ^ n=í ^ ^ X^ pro všechna x e (—1,1). Odtud dosazením za x = \ dostaneme x (1-x)2 2 oo i T- = ^- = 2. tí2n (1-2-)2 96 Mocninné řady Známe-li součet mocninné řady, můžeme určovat součty číselných řad pro všechna x ležící uvnitř konvergenčního intervalu. Chceme-li určit součet číselné řady v krajním bodě konvergenčního intervalu, je třeba použít následující Ábelovu větu: Veta 6.3 (Ábelova). Nechť mocninná řada YanXn má poloměr konvergence r, kde 0 < r < oo a nechť je v bodě x = r tato řada konvergentní. Pak součet s(x) této řady je funkce zleva spojitá v bodě r, tj. platí lim s(x) = £ anr". Důkaz. Stačí ukázat, že za uvedených předpokladů je konvergence řady £ anxn stejnoměrná na intervalu [0, r]. Pro x e [0, r]jeanxn = anrn (-)"', protože ^a^r" je konvergentní číselná řada, konverguje stejnoměrně na [0, r]. Dále posloupnost Je na [0^ rl nerostoucí a stejnoměrně ohraničená posloupnost funkcí. Tvrzení nyní plyne z Ábelova kritéria (Věta 5.2). □ Příklad 6.4. Vyjádřete funkci ln(l + x) mocninnou řadou a odtud určete součet n-l 1 Leibnizovy řady £(—1) n=l Řešení. Pro x e (—1,1) platí 1 1 — x +x2 — x3 + 1 + X Odtud podle Důsledku 6.2 obdržíme pro x e (—1,1) Cx dt ľx ln(l+x)=/ -=/ (1 -t + t2 - ř3 + • • •) dř = io 1 + í Jo 2 3 4 00 n -V -V t > i A = x--+---+ ••• = > (-1)""1— . 2 3 4 ^ n n=l Pro x = 1 dostaneme Leibnizovu řadu £(—l)"-1-, což je konvergentní řada, a proto podle Ábelovy věty (Věta 6.3) je její součet E----= lim ln(l + x) = ln 2. n x^i- n=l Poznamenejme, že pro x = — 1 řada diverguje, a proto získaný rozvoj funkce ln(l + x) do mocninné řady platí na intervalu (—1, 1]. Příklad 6.5. Určete poloměr konvergence a součet následujících řad: Vlastnosti a součet mocninné řady 97 a)Efe b) J2n(n + 2)xn n=l n=l Řešení, a) Pro poloměr konvergence platí r = lim sup ^fa^ = lim 4"a3/t~~j = 1- 4«-3 Derivací řady člen po členu dostaneme T-— =Yx4n~4 = —— ^ 4n - 3 / ^ 1-x4 v rí=l / n=l pro x e (—1, 1). Odtud integrací a rozkladem na parciální zlomky plyne 00 v4rí-3 - x^-j ^ rx l 1 /-^ d/ 1 r d/ 1 r d/ ^4n-3~ Jo \-r ř"4j0 T^7 + 4J0 T77 + 2 J0 rí=i odkud dostáváme + ř2' X l l + X l EA 1 1 ~r A 1 -= - ln-+ -arctex, x e (—1, 1). 4rc - 3 4 1 - x 2 6 ŕí=i b) Nejdříve upravíme n-tý člen řady tak, abychom jej vyjádřili pomocí derivace: (xn+2)' = in + 2)x"+1, pak in + 2)x" = - (x^2)'. x Dalším derivováním dostáváme nin + 2)xn~l = Q (x"+2)^ , pak n(n + 2)x" = x Q (x"+2)^ . Nyní dosadíme do řady 00 00 , w / / 00 £><,. +2)*" = EMi^)') =MI E*" ŕí=l ŕí=l ^ \ \ n=l +2 1 / x3 V\ _ /3x - 2x2 Xl x \~l^x~) ) ~X V(l-x)2 Po úpravě je součet řady E_ j x n(n+2)x =x-- pro Ixl < 1. 98 Mocninné řady Odtud např. pro x = | dostaneme součet číselné řady n(n + 2) 3-f 8 27 n=i y 3(i-ir 9 8 = 3. Poznámka 6.3. Mají-li dvě mocninné řady Y anxn a Ybnx" stejný poloměr konvergence a týž součet na konvergenčním intervalu, pak platí an = bn pro všechna n e N. Důkaz lze nalézt např. v [8, 18]. 6.3. Taylorova a Maclaurinova řada Na rozdíl od předcházejícího odstavce, kdy byla dána mocninná řada a určovali jsme její součet, budeme řešit opačnou úlohu: danou funkci budeme rozvíjet do mocninné řady, tzv. Taylorovy řady. Rozvoje funkcí do mocninných řad mají velké aplikace, kterým je věnována následující Kapitola 7. Připomeňme Taylorovu větu z diferenciálního počtu, kdy je funkce vyjádřena ve tvaru polynomu a zbytku: Nechť / je funkce, která má derivace až do řádu n +1 v uzavřeném intervalu /, jehož krajní body jsou čísla x a x0. Pak platí r/ \ r/ \ f'ixo) , . f{n){*o) , ,n „ , x fix) = f(x0) + ——{x - X0) + • • • + -;-(x - X0) + Rn(x), 1! n\ kde Rn (x) je Taylorův zbytek, pro který platí Rn(x) = (X~X°^1 fin+l)(ů), kde ů e I,ŮJx,x0. (6.4) in + 1)! Je proto přirozené zavést následující definici: Definice 6.2. Nechť funkce / má v bodě x0 derivace všech řádů. Mocninnou řadu > -;-O -*o) Á—' n\ n=0 nazýváme Taylorovou řadou funkce / v bodě x0. °° /(n)(0)^ Je-li xq = 0, mluvíme o Maclaurinově řadě, která je tedy tvaru ^ -—r^-x" . n=0 Obecně nemusí platit, že součet Taylorovy řady funkce;/ je roven této funkci. Následující dvě věty udávají podmínky, kdy tato rovnost platí. Taylorova a Maclaurinova řada 99 Věta 6.4. Nechť funkce f má v nějakém bodě xq derivace všech řádů. Pak platí fíx) = TL-^-íx-xoT (6.5) Á—' n\ na intervalu I obsahujícím bod x0 právě tehdy, když pro posloupnost {Rn(x)} Taylorových zbytků platí lim Rn (x) = O pro všechna x e I. Důkaz. Rovnost (6.5) platí na / právě tehdy, když Yimsn(x) = f(x) pro x e I. Avšak s n (x) = Tn(x) = f (x) — Rn(x), takže lims^C*) = f (x) právě tehdy, když limRn(x) = 0 na I. D Poznámka 6.4. Dá se ukázat, že lze-li funkci / na nějakém intervalu /, jehož vnitřním bodem je x0, rozvést do mocninné řady o středu x0, pak je takový rozvoj pouze jediný a je současně Taylorovým rozvojem funkce /. Důkaz tohoto tvrzení lze nalézt v [8]. Věta 6.5. Nechť funkce f má na otevřeném intervalu I derivace všech řádů a nechť posloupnost {/(íl)} je stejnoměrně ohraničená na I. Pak Taylorova řada funkce f v libovolném bodě x0 e I konverguje na I k f, tj. platí (6.5). Důkaz. Podle předpokladu existuje k e R, k > 0 tak, že \f{n\x)\ < k pro všechna n e N a všechna x e I. Podle (6.4) je Rn(x) = —,—^-(x — x0)n+ , odkud IRn(x)I < \x — Xo\n+l. Protože řada VJ jj^y. \x — Xo\n+l konverguje pro každé x e I, jak se snadno přesvědčíme např. podílovým kritériem, platí podle Věty 1.1 k lim-\x — Xo\n+l = 0, proto limi^Cx) = 0, x e I. (n + \)\ Tvrzení nyní plyne z Věty 6.4. □ 100 Mocninné řady Příklad 6.6 (Maclaurinovy řady elementárních funkcí). 2 n 00 n A A x ^ A (1) e" = 1 + — + — + ••• + — + •••=> — 1! 2! n! ^ n\ 3 r2íl+1 °° X2n+l (2) sinx = x--+ • • • + (-1)"-+ • • • = V (-1)"- 3! (2n +1)! ^ (2n +1)! v2 v2n 00 ..2// (3) cosx = 1--+ • • • + (-1)"-+ • • • = > (-1)"- 2! (2n)\ ^ (2n)\ v2 vn 00 A (4) ind+x) = x -1- + • • • + (-ír1- +... = ^(-ir+1- 2 n Á—' n ŕí=l kde a e R a číslo ía\ a(a — l)(a — 2)... (a — n + 1) yz / n\ je binomický koeficient. Rozvoje (1), (2) a (3) platí pro x e R, (4) pro x e (-1,1] a (5) pro x e (-1,1). Obr. 6.1: Funkce ln(l + x) a n-tý částečný součet Maclaurinovy řady této funkce pro « = 1,2,3 Taylorova a Maclaurinova řada 101 Řešení. Rozvoj (4) byl již odvozen v Příkladu 6.4 a je znázorněn na Obr. 6.1. Ukažme nyní na rozvoji funkce ln(l + x) některé možnosti, které nám Maple poskytuje pro podporu tématu Taylorova řada. > f:=x->ln(1+x); / := x -> ln(l + x) Určíme Taylorův polynom 3. stupně se středem v bodě 0. Spočtěme potřebné derivace funkce /: > derivacel:= (D) (f); 1 derivacel := x -> - 1+x > derivace2:=(D@@2) (f); 1 derivace2 := x -> (1+x)2 derivace3:=(D@@3) (f); derivace3 := x -> 2 1 (1+x)3 Podle věty 6.4 platí: > TayloruvPolynom[3]:=f(0)+derivacel(0)*x+ > derivace2(0)*x~2/2+derivace3(0)*x~3/6; 1 2 1 , TayloruvPolynom3 := x — - x + - x Tento postup lze zobecnit pro libovolnou funkci (splňující předpoklady definice). > TaylorPol:= > (f,x0,n)->sum((D@@i)(f)(xO)/i!*(x-xO)~i,i=0..n); ^ (D(i))(/)(;c0) (x -x0)< TaylorPol := (/, xO, n) ^--- > TayloruvPolynom:=TaylorPol(f,0,3); 1 2 1 , TayloruvPolynom := x — - x + - x Ke kontrole výpočtu můžeme použít předdefinovanou proceduru taylor. Proceduru voláme příkazem taylor(f,eqn,n), kde eqn je rovnice tvaru x = c, 102 Mocninné řady c je střed Taylorova polynomu. Zápis x = c lze zkrátit pouhým c. Pro takto zadané n platí, že je-li T(x) Taylorův polynom stupně n — l a. R(x) = \f(x) — T(x)\, pak lim < oo. x^O x > taylor(f(x),x=0,4); x — - x2 + - x3 + 0(x4) 2 3 Výsledkem je datová struktura typu series. Převod na datový typ polynom provedeme příkazem: > TayloruvPolynom:=convert(%,polynom); 1 2 1 , TayloruvPolynom := x — -x + -x Nyní vytvoříme procedury pro animaci Taylorových polynomů: > with(plots): Význam parametrů procedury TRada je shodný s funkcí TaylorPol. Procedura TP 1 ot s vytvoří n-člennou posloupnost, kde ř-tý člen je graf Taylorova polynomu z-tého stupně. > TPlots := proč(f,xO,n,int_x,int_y,degree) > local p,text,tplot,j,bar: > option remember: > p: = [] : > bar:=l/n: > for j from 1 to n do > tplot:=plot(TRada(f,xO,j),x=int_x, y=int_y, > thickness=2,color=COLOR(RGB,0+j*bar,0,l-j*bar)); > if degree then > text:=textplot([op(1,int_x)+op(2,int_x)/10, > op(2,int_y),cat('Stupen \ j)],align=BELOW); > p:=p,[display(tplot,text)] else > p:=p,tplot; > fi; > od: > end: Příkazem Tplots (f, xO, n, int_x, int_y, degree) ; proceduru pro vykreslení voláme. xO je střed Taylorova polynomu, n jeho stupeň, int_x Taylorova a Maclaurinova řada 103 a int_y rozsahy zobrazovaných hodnot na osách x a y a konečně degree je proměnná, jež nabývá logických hodnot true nebo falše. Pokud je její hodnota true, vypisuje se v grafu i stupeň Taylorova polynomu. > TaylorAnimat := proč(f,xO,n,int_x,int_y) > local p,fplot,tplots: > p:=TPlots(f,xO,n,int_x,int_y,true): > fplot:=display(plot(f(x),x=int_x,y=int_y, > color=aquamarine,thickness=3)): > tplots:=display(fplot,p): > display(tplots,fplot); > end: > TaylorAnimat2 := proč(f,xO,n,int_x,int_y) > local d,j,fplot,tplots: > option remember: > d: = [] : > for j from 1 to n do > d:=d,[display(TPlots(f,xO,j,int_x,int_y,falše))] > od: > fplot:=plot(f(x), x=int_x, y=int_y, > color=aquamarine, thickness=3): > tplots:=display(fplot,d): > display(fplot,tplots); > end: Význam parametrů u procedur TaylorAnimat a TaylorAnimat2 je shodný s procedurou Tplots. Procedury se liší ve způsobu zobrazování animace, procedura TaylorAnimat zobrazuje spolu s původní funkcí vždy pouze jeden z Taylořových polynomů, procedura TaylorAnimat2 do grafu Taylořovy polynomy postupně přidává. Animace si je možno prohlédnout na CD-ROMu v souboru pdf/nradanm6.pdf. Ve všech ostatních případech byl tvar Maclaurinovy řady nalezen v diferenciálním počtu, viz např. [13]. Zbývá ověřit, že součet Maclaurinovy řady dané funkce / je právě tato funkce /. (1) Je-li f(x) = ex, pak f{n\x) = ex pro všechna n e N, takže je-li r e R, r > 0, je \f{n\x)\ < er na [—r, r]. Podle Věty 6.5 konverguje řada (1) k ex na [—r, r]. Protože r e R, r > 0 bylo libovolné, platí tvrzení. 104 Mocninné řady (2) Protože sin^-1 x = sin(x + pro f(x) = sinx platí \f(-n\x)\ < 1 pro všechna n e N a všechna x e R. Z Vety 6.5 pak plyne tvrzení. (3) Důkaz tvrzení pro funkci cos x je analogické jako pro sin x. (4) Pro funkci f(x) = (1 + x)a vyjádříme Taylorův zbytek v Cauchyově tvaru (viz [13]): ^(x) = ±-5:—V+1(l - 0)", kde 0 < 0 < 1. Pak platí Rn(x) a (a — 1) • • • (a — n) (í + @x)a-n-Lxn+L(í - @r a(a -!)■■■ (a - n) n+í í 1 - © \" x 1 + ©x (1 + @x) a — l Je-li x = 0, je tvrzení věty zřejmé. Je-li x € (— 1, 1), x ý 0, pak řada e q(q~1)'''(q~")x"+1 absolutně konverguje, jak se snadno přesvědčíme podílovým i-0 < 1, kritériem. Z Vety 1.1 dostávame lim "^~i;p"~^x"+i = 0. Dále platí 0 ^ 1+@x tedy;i 0 < (j^)" < 1 pro každé n e N. Konečněje(l-|x|)fl-1 < (l+Qx)0-1 < (l + lxl)0-1. Odtud tedy lim i?„ (x) =0 na intervalu (—1, 1) a tvrzení plyne z Věty 6.4. Obr. 6.2: Funkce (1+x)3 ajejíMaclaurinovypolynomy 1, l+3x, l+3x+3x2 Taylorova a Maclaurinova řada 105 Poznámka 6.5. Řada e Ox" se nazývá binomická řada. Dva její speciální případy jsou dobře známé ze střední školy: a) Nechť a = n, kde n e N. Pro £ < n je binomický koeficient (^) známé kombinační číslo, pro £ > n + 1 je (^) = 0. Platí proto (1+xr=1+C;)x+("2y+...+(;;)x», což je binomická věta. b) Nechť a = -1. Platí = (-0(-2M-i-fc+0 = (_i)\ a proto (1 + x)~l = í — x + x2 — ■ ■ ■ , což je geometrická řada. Příklad 6.7. Rozviňte následující funkce do Maclaurinovy řady a určete jejich obor konvergence: a> /w = 7ib c) /« = ln(H) b) f(x) = arctgx d) f(x) = e~*2. Řešení, a) Položíme-li — x2 = t, dostaneme funkci , 1 n = = (1 + t)~^. Jeií rozvoj do binomické řady je (,+ř,-i = , + (-í)ř + (-í)řl + (-í)ř3 + ... (;)•....= = 1 + ZÍř + (~2)'(-|)ř2 '(-I) -(-f)- ••(-2TI)B = 1! 2! n\ 1 3 , 15 , , N „3-5---(2n- 1) „ = 1 - -ř + — z*2 - — z*3 + • • • + (-1)"----tn + ■■■ 2 222! 233! 2nn\ na intervalu (—1, 1). Dosazením za t = —x2 dostaneme požadovanou Maclauri-novu řadu 1 1 2 3 4 3-5---(2n-l) 2n = 1 + -x + ——x + • • • +-x + ■ ■ ■ , \x \ < 1. JT^x2 2 222! 2"n! b) Derivace dané funkce je (arctgx)' = , což je součet geometrické řady s kvocientem —x2, tj. platí 1— x2 + x4 — ■■■ pro |;e| < 1. 1 + x2 106 Mocninné řady Podle věty o integraci řady dostaneme pro x e (—1, 1) ľx x3 x5 °° x2n+1 arctgx = / (l-t2 + t4----)dt = x--+-----= V(-lf- Jo 3 5 ^ 2n + l n=0 Vyšetřeme krajní body konvergenčnflio intervalu x = ±1. Protože řady E(-DB (2n+i) a XX-(2«+i) konvergují a funkce arctg x je spojitá na R, plyne z Ábelovy věty (Věta 6.3), že uvedený Maclaurinův rozvoj funkce arctg x platí pro x e [-1,1]. c) Platí ln = ln(l + x) - ln(l - x). Podle Příkladu 6.6 je 00 n ln(l+x) = V(-ir-1 —, x e (-1,1], z—' n n=l ln(l - x) = £(-l)-i<-JíL = - £ - , ^[-1,1). n=l n=l Proto /l+x\ / x2 x3 \ / x2 x3 \ '( —) (' - - ) ( 1 T T ) 3 5 00 2«-l = 2x + 2—+2— + ---=2> -, x < 1. 3 5 ^ 2n - 1 n=l d) Použijeme Maclaurinův rozvoj funkce eř = l + Yf + 2T + '" + ^i + '" Pro íeM. Dosazením za t = —x2 dostáváme (viz Obr. 6.3) x4 .. x2n A .. .v2" e^2 = 1 - x2 + — + ••• + (-1)"—- + ■■■ = Y(-l)n- 2! (2n)\ ^ (2n)\ x e Příklad 6.8. Rozložte v Taylorovu řadu následující funkce: a) f(x) = - vboděx0 = -2 b)/(x) = sin^ vboděx0 = 2. Taylorova a Maclaurinova řada 107 y 0.5 Obr. 6.3: Funkce e x a n-íý částečný součet Maclaurinovy řady této funkce pro n = 0, 1, 2 Řešení, a) Platí fix) = —!-, ru) = -„■■■, fn\x) = i-ir n n+l Dosazením do Taylorovy řady dostaneme fix) = -\(l + \(x+2) + -Aix + 2)2 + • • • + 1(* + 2)n + ■ ■ ■ ) na intervalu (—4, 0). b) Postupujeme obdobně jako v předcházejícím případě: pro derivace platí /'(*) = 1t Xlt - —cos—, 4 4 fix) - /lt\2 Xlt - — — sin — \4/ 4 fix) - /jr\3 xjr = — ( — ) COS - \4/ 4 a po dosazení do Taylorovy řady 'TtVl 2 , 7t^4(X -2)4 /<*>=•" 4 a*-2)+U/ 4! + 2« ix-2) i2n)\ 2n + na intervalu (—00, 00). 108 Mocninné řady Příklad 6.9. Určete Maclaurinovu řadu funkce tg x. Řešení. Řešme nejprve obecnou úlohu: Nechť h(x) = a předpokládejme, že známe Maclaurinovy rozvoje funkcí f(x), g(x) ve tvaru oo oo f(x) = ^2anxn, g(x) = ^2bnxn n=0 n=0 a nechť b0 ýO. Rozvoj funkce h(x) hledáme ve tvaru mocninné řady s neurčitými oo koeficienty, tj. h (x) = £ cnxn. Ze vztahu h(x) = pak plyne g (x) ■ h (x) = f (x) n=0 a tedy oo oo oo ^ ] bnx ^ ] cnx = ^ ' anx . n=0 n=0 n=0 Takto obdržíme rovnost mocninných řad a z Poznámky 6.3 plyne, že tyto řady musí mít stejné koeficienty. Označme oo tg X = CnXn = Cq + C\X + C2X2 + • • • + c„x" + • • • n=0 a dosaďme do vztahu cos x ■ tg x = sin x Maclaurinovy řady těchto funkcí. Dostaneme -y-2 "V ^ "V ^ "V ^ "V ^ / .V .V .V \ 9 ^ -V .V .V 1--+---+ ••• • (co + CiX + c2x + c3x +■■■) = x--+---+ ••• V 2! 4! 6! y v u i 2 3! 5! 7! Po roznásobení levé strany obdržíme rovnost dvou mocninných řad, které musí mít stejné koeficienty. Porovnejme koeficienty u odpovídajících si mocnin: x° : c0 = 0 x x2 x3 x4 x5 Cl = l -jiCo + c2 = 0 =>• c2 = 0 -lr +r = -1 =± r =1-1 = 1 2! 1 3 3! ~^ 3 2! 3! 3 4!C° ~~ 2!C2 + c4 = 0 =^ c4 = 0 4!Cl ~~ 2!C3 + C5=5!=^C5=5!_ 4! + 2!3=l5' oo Po dosazení koeficientů do výrazu tgx = £ c„x" dostáváme hledaný rozvoj n=0 1 3 2 5 tg x = x + -x + —x + • • • pro x € M. 6 3 15 ť Taylorova a Maclaurinova řada 109 Příklad 6.10. Určete součet následujících mocninných řad: oo , oo n=0 n=0 Řešení a) S využitím věty o záměně derivace a sumace mocninné řady (Důsledek 6.4) můžeme danou řadu napsat ve tvaru ž^-ž^)'-(f?)'-(^a' n=0 n=0 xn=0 7 x n=0 7 Platí proto = ex n\ í—' n\ n=0 n=0 ^ {2n + l)x2n T2 . T2 , V---— = (xex )' = ex (1 + 2x2) pro x e z—' n! rí=i b) Podle Maclaurinova rozvoje funkce ex je 00 Yn °° 1 /v\" ŕí=0 rí=0 v / oo Nyní určíme součet řady e f^r- ^ tomu upravíme n-tý člen řady takto: n=0 nxn ( xn \ irx" ( ( xn \'Y = X\-- ,-- = X \ X\ 2nn\ \2nn\J 2nn\ \ \2nn\ Proto t—'tM-^-Mt-Vi' ^ 2nn\ ^ V \2nn\) ) \ \L^2nn\}} 2 N X X = x I x (e2 | | = e2 | - + — I. Protože obě řady e ^i*"' e 2^! konvergují, je součet řady n=0 n=0 00 2 1 / 2 \ En +l „ * /* * ,\ -x = e2 - + — + l pro x e 2nn\ V 2 4 / «=0 v 7 110 Mocninné řady Historická poznámka. Nejjednodušším příkladem mocninné řady je geometrická řada 1 + x + x2 + x3 ■ ■ - 1 -x Historicky první mocninnou řadu, která není geometrická, objevili indičtí matematici již v 15. století, a to řadu 3 5 7 X X X arcts x = x--+---+ ... 6 3 5 7 s jejím důležitým speciálním případem 71 1 1 - = 1- - + -- ... . 4 3 5 Bohužel, tento objev nebyl dlouho znám, a tím neovlivnil rozvoj teorie mocninných řad. Teorie mocninných řad byla započata v době, kdy N. Mercator publikoval (1668)řadu 2 3 4 X X X ln(l +x) = x--+---+ ••• . 2 3 4 Racionální funkce, např. 1/(1 + x2), lze rozvést pomocí geometrické řady; rozhodující objev učinil I. Newton (1665), když objevil obecnou binomickou řadu. Poté Newton odvodil řadu 13 5 arcsinx = x + -x3 H--x5 H--x1 + ■ ■ ■ , 6 40 112 odkud pomocí inverze odvodil mocninnou řadu pro sinx. Podrobnosti z historie nekonečných řad lze nalézt např. v [4, 18]. Cvičení 6.1. Určete poloměr a obor konvergence následujících řad: oo oo a) e?^" c) e(-ir+1? n=l n=l oo oo Taylorova a Maclaurinova řada 111 \ ^ Frú 2n :\ (»!) c^ Z. (2řl)!A ^ Z. (2„)! íí=1 íí=1 oo f) £ 4^rj j) £a"V pro 0 < a < 1 ;j=i „=1 oo g) Z.w ^ k) V pro a > 1 oo íí=1 a™ n=l oo «=1 6.2. Určete součet mocninných řad a poloměr konvergence: a) J2n(n + Í)xn f) £ oo , , 2íí+1 íí=1 n=0 U; Z^ V „(„+1) B) Z^ 4„_i íj=i íj=i íí=l íí=l oo oo c2íl íí=0 íí=1 d) J2(-iy(2n + l)x2n í)Et oo 2víí-1 e) Ef^i j) E^x íj=i íj=i 6.3. Určete součet číselných řad pomocí součtu mocninné řady: oo oo a) Eér c) £(-l)B(2n + l)(±) íí=1 n=l oo . oo b) £n2Q) d)£^ íí=l íí=l 6.4. Rozviňte následující funkce v Maclaurinovu řadu: a) e~x d) sinx2 b) cosx e) arcsinx c) cosx2 112 Mocninné řady g) 1) ^ h) Vl + ^ rn) ex sin x i) ln(l + ex) n) -incosx j) ecosx 6.5. Rozložte v Taylorovu řadu následující funkce: a) ■sfx^ v bodě x0 = 1 c) ex v bodě x0 = —2 b) - v bodě x0 = 3 d) ln x v bodě x0 = 1 Jestliže fakta neodpovídají teorii, je nutno je zavrhnout. Kapitola 7 Užití mocninných řad V této kapitole ukážeme některá použití mocninných řad. Kromě přibližných výpočtů funkčních hodnot elementárních funkcí se mocninné řady používají při výpočtu limit a integrálů a při řešení diferenciálních rovnic. 7.1. Přibližný výpočet funkčních hodnot Při určování funkčních hodnot je většinou požadována velikost chyby, s jakou má být tato hodnota přibližně určena; pro její odhad použijeme Větu 4.4 a 4.5. Poznamenejme, že v příkladech, ve kterých přibližnou hodnotu funkce f(x) budeme určovat pomocí prvních n členů příslušného rozvoje dané funkce, budeme mít na mysli prvních n nenulových členů tohoto rozvoje. Příklad 7.1. Pomocí prvních n členů určete přibližnou hodnotu výrazů: a) V^ (n=5) b) (1, l)1-2 (n=3) c) ^245 (n=2). Řešení a) Použijeme Maclaurinovu řadu funkce ex (viz Příklad 6.6), kam dosadíme zax = |an = 5, a obdržíme ^ = e3 = l + - + —(-) + —(-) + —(-) =1,65. 2 2!\2J 3!\2/ 4!\2J b) Použijeme Maclaurinovu řadu mocninné funkce (1 + x)a (viz Příklad 6.6), kam dosadíme x = 0, 1, a = 1, 2, n = 3, a dostaneme 1,2-0,2 , (1, I)1-2 = 1 + 1, 2 • 0, 1 +-(0, l)2 = 1, 12. 113 114 Užití mocninných řad c) Protože Maclaurinova řada mocninné funkce (1 + x)a konverguje pouze na intervalu (—1, 1), je třeba nejprve danou odmocninu upravit: ^245 = ^243 + 2 = ^35 +2 = 135 ( 1 + — = 3 ( 1 + 35 / V 243 7 Nyní můžeme použít rozvoj mocninné funkce a po dosazení za a — ^, x — a n = 2 dostáváme ^245 = 3(1 + —V = 3| 1 + -- — ) = 3,005. V 243/ V 5 243/ Poznámka 7.1. Výpočet odmocnin pomocí prvních dvou členů binomické řady není nic jiného než výpočet pomocí diferenciálu funkce (1 +x)a a byl již používán ve staroindické matematice. Příklad 7.2. Určete přibližnou funkční hodnotu: a) sin 18° s chybou menší než 10~4 b) arcsin0,45 s chybou menší než 10~3. Řešení a) Použijeme Maclaurinovu řadu funkce sin x (viz Příklad 6.6) a po dosa- 1 / 7t \3 1 / 7t \5 zení x = ^ dostaneme Ti Ti 1 / Ti \J 1 / Ti y sin—=---— +— — +•••, (7.1) 10 10 3! VlO/ 5! VlO/ což je alternující číselná řada. Podle Věty 4.4 je |i?„| < an+í. Proto vezmeme-li v rozvoji (7.1) první dva nenulové členy, bude chyba menší než třetí (nenulový) člen rozvoje, tj. 1 / Ti \5 7T5 , 5! VlO/ 120 • 105 m < ší(ts) Hledaná hodnota je Ti 1 / Ti \3 sin 18° =---( —) = 0,309. 10 3! V10/ b) Odvoďme nejprve Maclaurinovu řadu funkce arcsin x. Její derivace je funkce (arcsinx)' = (1 — x2)~ž, jejíž rozvoj jsme určili v Příkladu 6.7-a). Proto , . v 1 1 2 3 4 3 • 5 • • • (2n - 1) 2n (arcsin x) = , = 1 + -x + -r—x + • • • +-x + ■■■ yíl^ 2 222! 2"n\ Približný výpočet funkčních hodnot 115 pro \x\ < 1. Odtud integrací dostaneme 1,3, ^ (2n - 1)!! x2n+l arcsin x = x +-x + —-x +••• + = x + > -•-, 2 - 3 222!5 ^ 2n-n\ 2n + \ n=l pro \x\ < 1, kde {2n — 1)!! = (2n — l)(2n — 3) • • • 3 • 1. Lze ověřit podle Raabeova kritéria (Věta 2.5), že v krajních bodech x = ±1 řada na pravé straně této rovnosti konverguje. Protože funkce arcsinx je spojitá na [—1, 1], platí podle Ábelovy věty (Věta 6.3) uvedený rozvoj i pro x = ±1. Proto platí ~ (2n-í)U x2n+l arcsinx = x + > -•- pro x e 1 — 1, II. ^ 2n-n\ 2n + \ n=l Pro odhad zbytku této řady použijeme Větu 4.5, podle které platí q \Rn \ < \a„\-, kde q < 1. 1-q Určeme nejprve obecně qx v závislosti na hodnotě x. Platí an+1 (2n + l)!! x2n+3 2n ■ n\ 2n +1 2n+1 ■ (n + 1)! 2n + 3 (2n - 1)!! x2n+1 In + l)2 2(n + l)(2n + 3) 2 (2n +1)2 2 x - < x pro všechna n e N. |/ř„l < \a„\———— < 10 3. Proto pro x = 0,45 dostáváme q = (0,45)2 = 0,2025 a odhad chyby je 0,2025 1 - 0,2025 Snadno se ověří, že tato nerovnost je splněna pro n = 2, tj. 1 ,3 , arcsin 0,45 = 0,45 + -(0,45)3 + — (0,45)5 = 0,466. 6 40 Příklad 7.3. Určete přibližnou hodnotu čísla % pomocí tří nenulových členů rozvoje funkce: a) arctg x b) arcsin x. Řešení a) V Příkladu 6.7-b) jsme odvodili Maclaurinův rozvoj funkce arctg x: 3 5 7 X X X arctg x = x--+---+ ••• pro x e [—1, 1]. 6 3 5 7 ť 116 Užití mocninných řad Jedna možnost výpočtu čísla % je dosadit vnitřní bod konvergenčnflio intervalu, v němž jeho hodnotu známe iz_ Vš_Vš i/VšV v^V ~ě ~arctg T~ ~ ~T ~ š V~y + š v~3~) + "' ' odkud jt = 6^ _ I + I ^ = 3,156. Dosadíme-li pravý krajní bod x = 1, dostaneme jt 111 arctg 1 = — = 1---1-----h • • • , 6 4 3 5 7 odkud plyne jr = 4^1-i + |^= 3,46. Jiná možnost výpočtu je využít součtového vzorce pro arctg x (viz řešení Příkladu 1.2-d)), podle kterého je 1 1 71 arctg - + arctg - = arctg 1 = —. &2 &3 4 Z rozvoje arctg x určíme přibližnou hodnotu 1 1 1/1\3 1/1\5 1 1 1/1\3 1/1\5 arctg2 = 2-3uj +íw' arctg3 = 3-šUJ +Ay' odkud dostaneme jr = 4^arctg \ + arctg = 1,858 + 1,287 = 3,145. b) Postupujeme obdobně: dosadíme známé hodnoty do Maclaurinova rozvoje funkce arcsinx odvozeného v Příkladu 7.2-b), např. x = 1 nebo x = | a dostaneme . / 1 3 \ . a = 2arcsinl =2 1 + - + — = 2,483, V 6 40/ 1 (\ 1/1\3 3 /1\5\ jr = 6 arcsin - = 6 - + - - +—(-) =3,139. 2 V2 6V2/ 40V2/ ) Porovnáním s hodnotou na kalkulátoru % = 3,1415927 ... vidíme, že výpočet pomocí obou cyklometrických funkcí arctg x, arcsin x je zhruba stejně přesný. Nej-větší přesnosti v obou případech budeme dosahovat tehdy, jestliže bude hodnota argumentu blízko nuly. Pokud je hodnota argumentu na okraji konvergenčnflio intervalu [—1, 1], je určená hodnota % velice nepřesná. Určování funkčních hodnot logaritmů 117 7.2. Určování funkčních hodnot logaritmů K výpočtu logaritmů je někdy výhodné použít rozvoj funkce ln j^, který jsme odvodili v Příkladu 6.7-c) í+x ( x3 x5 x2n+l \ ln-=2 [x + — + — + ••• +-+ •••), 1*1 < 1. (7.2) 1 — x V 3 5 2n + í J Srovnáme-li tento rozvoj s rozvojem funkce ln(l + *), liší se oba rozvoje nejen rychlostí konvergence, ale i oborem hodnot vnitřních složek obou logaritmických funkcí. Označme í+x gi(x) = í+x, g2(x) = --, *e(-l,l). 1 — * Oborem hodnot funkce gi(x) je interval (0,2), zatímco oborem hodnot druhé funkce interval (0, oo). Např. In3,ln5 nelze vypočítat pomocí rozvoje funkce ln(l +*). Rozdíl v rychlosti konvergence, tj. v počtu členů rozvoje při dané chybě, bude dobře vidět v následujících příkladech. Příklad 7.4. Kolik členů rozvoje následujících funkcí je třeba vzít, abychom určili číslo ln2 s chybou menší než 10~5: í+x a) ln(l + *) b) ln 1 -* Řešení a) Podle Příkladu 6.4 je 1 1 1 ln2 = 1 - - +---+ ••• 2 3 4 a podle Věty 4.4 je chyba \Rn\ < Máme-li proto určit číslo ln2 s chybou menší než 10~5, musí být \Rn \ < ^ < 10~5, tj. je třeba sečíst 100 000 členů této řady. b) Nejprve určíme hodnotu *, pro kterou je = 2. Přímým výpočtem dostaneme * = | a po dosazení do (7.2) dostaneme h2=2G+5Gy+Ki)5+-)- Pro odhad chyby Rn v řadě na pravé straně rovnosti použijeme Větu 4.5, podle níž q \Rn\ < \an\- < 10 , kde í-q o x\6 72 = lim ( - x^o\ 6 —x + 72 5 6' b) Použijeme Maclaurinuv rozvoj ln(l + x) a dostaneme lim x^oo x - x In 1 + lim x^oo X X — X 1 1 + x 2x2 3x3 4x4 + • /l 1 1 = lim---+ —- + x^oo\2 3x 4x2 1 2' c) Použijeme Maclaurinovy rozvoje funkcí tg x, sin x (viz Příklad 6.9 a 6.6) a dostaneme lim x^O 2(tgx — sin x) — x~ lim x^O 2[(x + l X 3 2 s) 272 7 3,x3 + 5,x5 7,x7 + • )] X" XJ 1 /l , lim — -x +-x' + woi5 V 4 7! s . 542,7 1 4' d) Nejprve určíme Maclaurinuv rozvoj funkce ex sin x. Protože Maclaurinovy řady obou funkcí ex, sin x jsou absolutně konvergentní pro všechna x e R, platí podle Věty 4.1 í, 1 2 V 1 3 e sin x = 1+X + — x +••• x--x + 2! / V 3! 1 3 1 — X--. 2! 3! 2^3 ^ 3 x + x + —x--x + • 120 Užití mocninných řad Odtud dostaneme ex únx — x(l +x) (x + x2 + \x3 - -^x5 + ■■■)- x(í + x) lim--- = lim---^—- x^O x x íl 1 2 \ 1 = lim---x + • • • = -. x^o\3 30 7 3 7.4. Přibližný výpočet integrálů Dosud umíme integrovat funkce, jejichž primitivní funkce jsou tzv. elementární funkce neboli konečného tvaru, tj. lze je vyjádřit pomocí základních elementárních funkcí (např. racionální, exponenciální, goniometrické nebo cyklometrické), pomocí algebraických operací a skládaní v konečném počtu. V tomto odstavci ukážeme, jak lze integrovat některé funkce, jejichž primitivní funkce nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí; takové funkce se nazývají vyšší transcendentní funkce a lze je vyjádřit právě mocninnými řadami. 2 Uveďme příklad: chceme určit primitivní funkci k funkci a e~x . Obě funkce S££ prox^O, f{x) = e , g (x) 1 pro x = 0, jsou spojité na R, tudíž k nim existují funkce primitivní. Avšak tyto primitivní funkce nelze nalézt žádnou známou integrační metodou, neboťjde o vyšší transcendentní funkce. Uvedené funkce f, gize vyjádřit mocninnou řadou a její integrací pak určit jejich primitivní funkce ve tvaru mocninných řad. Příklad 7.6. a) Pomocí prvních tří nenulových členů přibližně vypočtěte Jq e~xl dx a odhadněte chybu. i b) S chybou menší než 10~4 přibližně vypočtěte fc 0 l+x4 ■ c) Pomocí prvních čtyř členů přibližně vyjádřete fQ2 2í£íl£ ^ a odhadněte chybu. 4-f d) Vyjádřete mocninnou řadou funkci f* -1 dt. v 2 Řešení a) Maclaurinův rozvoj funkce e~x jsme určili v Příkladu 6.7-d) ? x4 x6 nx2n e~x = l-x2 +---+ • • • + (-1)"— + • • • , xel. 2! 3! n\ Približný výpočet integrálů 121 Odtud integrací, přičemž řadu na pravé straně integrujeme člen po členu, dostaneme í 3 5 _t2 , X X e dt = x x 2n+l + - + ... + (-1)" 3 5-2! (2n + l) ■ n\ + • kde xel Určitý integrál lze pak vyjádřit řadou 1 e %1 dx = 1 - - + 1 3 5-2! 7-3! + ••• + (-!)" 1 (2n + 1) • n\ + což je alternující číselná řada s klesajícími členy. Pro ni platí, že velikost chyby při součtu prvních tří členů je menší než absolutní hodnota čtvrtého členu (viz Věta 4.4), tj. Ii?3 1 1 — < 0,024. 7-3! 42 Přibližná hodnota integrálu e %2 dx = 1 — | + = 0,77 je určena s chybou menší než 0,03. b) Integrovanou funkci vyjádříme mocninnou řadou 1 = 1 -x4+xs + ••• + (-!)" -x4n + -- - , |*| < 1, 1 +x4 odkud integrací plyne 2 dx 1 +x4 X (l-x4 + x8-x12 + ---) dx x5 x9 X13 x4n+1 — +---+ ... + (_!)«- 5 9 13 4n + l + 1 1 /1\5 1 /1\9 13 2 5 \2/ + 9 \ 2 / 13 \2/ + Jedná se o alternující číselnou řadu a podle zadání má být chyba menší než 10~4. Pro n = 3 platí |i?3| < (^) = 9,39 • 10~6 < 10~4, proto stačí sečíst první tři členy. Hledaná hodnota je í * dx ^ 1 1 /1\5 1/lV 1 +x4 ~ 2 5 \2/ + 9 \2/ 0,4940. 122 Užití mocninných řad c) Nejprve poznamenejme, že integrovaná funkce 2í£íl£ je spojitá na (0, |) a ohraničená na [0, |], neboť lim+ 2EÍI£ = \ proto je určovaný integrál vlastní Rie- mannův integrál. Užitím rozvoje funkce are tg x, který jsme odvodili v Příkladu 6.7, je arctgx x2 x4 „ x2n -— = 1--+ — + •••+ (-1)"-+ ---,|x|• an =----—««-3 pro n = 3,4, • • • . n(n — 1) Proto a2 = a5 = ■ ■ ■ = 0 a a0, fli volíme libovolně. Dostaneme tyto případy: Je-li a0 € IR libovolné, pak a3 = — |a0 , a6 = — ^a3 = y^ao atd. Je-li a\ € IR libovolné, pak a4 = — y^i , «7 = — j^a* = n^2ai at(*-Dohromady obecné řešení lze vyjádřit ve tvaru í k o k c \ í k a k \ y = a0 1--x +-x + • • • + ai x--x +-x + • • • . J V 6 180 / V 12 12 •42 / Příklad 7.8. Určete řešení rovnic při počátečních podmínkách: a) y = l + x-y2, y(0) = l; b) xyM+Ay'" - xy - 1 = 0, y(l) = -1, /(l) = 1, /'(l) = -2, /"(l) = 6. Řešení Nejprve poznamenejme, že podle věty o existenci a jednoznačnosti Cau-chyovy počáteční úlohy platí, že hledaná řešení obou úloh existují a jsou jednoznačně určena. Řešení diferenciálních rovnic pomocí mocninných řad 125 a) Partikulární řešení hledáme ve tvaru Maclaurinovy řady, kde hodnoty y(íl) (0) určíme takto: Dosadíme-li počáteční podmínku do rovnice, dostaneme y'(0) = 0. Postupně pro derivace vyšších řádů platí y" = l-2yy', y" (0) = 1, /" = -2y'y'-2yy", y'" (0) = -2, v(4) = -6y'y"-2yy'", /4)(0) = 4. Partikulární řešení splňující předepsanou počáteční podmínku je 1 2 1 3 1 4 y = 1 + -x--x + -x + • • • . J 2 3 6 b) Řešení nyní hledáme ve tvaru Taylorovy řady se středem v bodě x = 1 y = y(i) + - i) + - !) + -^j— (x -!)+••• • Při dosazování do Taylorovy řady je třeba určit y(4)(l) a případně vyšší derivace. Pro určení y(4)(l) vyjádříme y(4) a dosadíme počáteční podmínky, tj. y>» = -*y'"+*y+\ ,«»(,) = -24. x Hledané partikulární řešení je tvaru y = — 1 + (x — 1) — (x — l)2 + (x — l)3 + • • • . Cvičení 7.1. Určete přibližnou hodnotu výrazu s chybou menší než je uvedeno: a) cosl° [1(T6] c) sin 10° [1(T6] e) arctg ^ [1(T5] b) sinl° [1(T8] d) cos 10° [1(T5] 7.2. Určete přibližnou hodnotu výrazu pomocí prvních n členů: 126 Užití mocninných řad 7.3. Určete přibližnou hodnotu % s chybou menší než: a) 10~5 ze vztahu f = arcsin \ 6 2 b) 10"10 ze vztahu ^ = 4 arctg \ - arctg ^ 7.4. Určete přibližnou hodnotu výrazu pomocí prvních n členů: Ye ty =4] e) \ ^n = g] j) ^40 [n = 3] f) (1,2)0'8 [n = 4] k) ^ĎTŠ [n = 3] g) (1,5)2 [n = 3] ti) a/129 [n = 2] i) j/lQ [n = 2] d tg 5° [n = 2] tgl° [« = 2] c) cotg 36° [n = 3] d) cotg 20° [n = 3] 'e [n = 3] e [n = 9] [n = 10] 1) $250 m) ^128 [n = 2} [n = 3] 7.5. Určete přibližnou hodnotu výrazu pomocí prvních n členů: ln 2 [n = 3] e) log 5 [n = 10] i) ln i [n = 3] ln3 [n = 6] f) log 11 [n = 10] j) ln | [n = 5] ln5 [n = 9] lnll [n=10] g) log5 2 [n = 3] h) log23 [n = 3] k) log J [n = 10] 7.6. Určete následující limity: lim x^0 lim x^0 fl+xs-i/l-x !\—x— Vl+x2 e) lim JI-x2ln(l + i) f) lim tgx—x cos x x^0 lim x^0 lim x^0 g) lim x^0 cosx—e 2 h) lim 7 (7 - cotg x) x^0 x yx ' Řešení diferenciálních rovnic pomocí mocninných řad 127 j) lirn^fW 1) im,- ±) x^O -1 x^u 7.7. Vyjádřete mocninnou řadou: Vľo^ŕtt e) f0*& c) f* Vl + ř3 dř f) /0xsinř2dř 7.8. Určete přibližnou hodnotu výrazu pomocí prvních n členů nebo se zadanou přesností: a) fo^dx [n = 6] d) f*'s \ ■ arctg f dx [na setiny] b) £ ^ dx [n = 5] e) /0°'5 -/áj= [na tisíciny] c) fiexdx [n = 4] f) cos x2 dx [na tisíciny] 7.9. Určete partikulární řešení diferenciálních rovnic: a) y-y2-x(x + l) = 0,y(0) = l b) y' + xy2 - 2cosx = 0, y(0) = 1 c) y/-e^=0,y(0) = 2, /(0) = 1 d) y"-yco&x-x=0,y(G) = l, /(O) = 0 7.10. Vyjádřete řadou obecné řešení diferenciálních rovnic: a) y" + xy' + _y = 0 b) /' + ax2_y = 0, kde ael 128 Užití mocninných řad Hezké chvíle utečou jako nic. Ošklivé trvají věčnost. Kapitola 8 Fourierovy řady Předmětem této kapitoly je vybudování teorie pro aproximaci periodických funkcí. Nejjednodušším netriviálním příkladem periodických funkcí jsou trigonometrické funkce cosnx, únnx in e N). Nabízí se proto myšlenka obecnou 2jt--periodickou funkci aproximovat buď lineární kombinací konečného počtu těchto funkcí n Tn(x) = a0 + ^^(a;t coskx + bk únkx), a0, a^, bk e R, (8.1) k=l nebo nekonečnou řadou oo ao + ^^(an cosnx+bn únnx). (8.2) n=l Funkce tvaru (8.1) se nazývá trigonometrický polynom (název polynom je odůvodněn tím, že užitím elementárních vztahů z trigonometrie lze Tn (x) vyjádřit jako polynom v proměnných cosx, sinx), řada tvaru (8.2) se nazývá trigonometrickou řadou. Ukazuje se, že při úvahách o aproximaci trigonometrickými řadami je podstatnou vlastností ortogonalita systému funkcí {cosnx, sin nx; n e N U {0}}. Kromě systému {cosnx, únnx} existují další systémy funkcí {cpn(x)}, které splňují obdobné vlastnosti, např. ortogonální polynomy a Besselovy funkce. Všechny tyto systémy mají velké aplikace při řešení parciálních diferenciálních rovnic, podrobnosti lze nalézt např. v [12, 17]. Tato kapitola je rozdělena na tři odstavce: v prvním vybudujeme obecnou teorii Fourierových řad vzhledem k libovolnému ortogonálnímu systému funkcí {cpn (x)}. V druhém odstavci budeme obecné výsledky o Fourierových řadách aplikovat na 129 130 Fourierovy řady trigonometrické funkce {cosnx, únnx] a v třetím odstavci uvedeme podmínky pro konvergenci těchto Fourierových řad. 8.1. Fourierovy řady vzhledem k systému [*)= í /(*)*(*) d* J a nazýváme skalárním součinem funkcí /, g. Funkce /, g se nazývají ortogonální (na intervalu [a, b]), právě když (/, g) = 0. Snadno ověříme tyto vlastnosti skalárního součinu: (1) (/, g) = (g, f) (2) (f + g,h) = (fh) + (g,h) (3) (cf g) = c(f, g) pro cel (4) (/, /) > 0. Z (2) a (3) plyne indukcí obecněji: (ci/i + • • • + c„f„, g) = Ci (/i, g) + • • • + c„(f„, g) Definice 8.2. Buď / integrovatelná funkce na intervalu [a, b]. Normou funkce f rozumíme číslo ||/|| = s/(f /). Funkce / se nazývá normovaná, právě když 11/11 = 1- Je tedy ||/||2 = / f2(x) dx. Všimněme si ještě, že je-li / funkce s vlastností ll/H > 0, pak funkce -rrjrr ■ f je normovaná. Fourierovy řady vzhledem k systému { ' dk(fk(x) ) dx V/t=l n n nb -2^2dk(f,(pk) + ^2dl / (p2k(x)dx k=i k=i Ja n n - 2^2ckdk\\(pk\\2 + ^2dl\\(pk\\2 k=l k=l n + E WVktidl - 2ckdk) k=l n + ^\Wk\\2[{ck - dk)2 - cil k=l Poslední výraz však zřejmě nabývá nejmenší hodnoty právě tehdy, když dk = ck pro k = 1,..., n, tj. když dk jsou Fourierovy koeficienty funkce /. □ Poznámka 8.2. Z předchozího důkazu plyne, volíme-li dk = ck pro k = 1,..., n, tzv. Besselova identita f ~ J] ck(pk k=l k=l Protože ||/ — J2k=i CktfkW2 > 0, plyne odtud n I>2|| 0 pro n -> oo. (8.7) k=í Pak platí: Důsledek 8.2. Buď {(pn} ortogonální posloupnost funkcí na intervalu [a,b], f integrovatelná funkce na [a,b]. Fourierova řada funkce f vzhledem k posloupnosti {(pn} konverguje podle středu k f právě tehdy, když pro funkci f platí Parsevalova rovnost, tj. oo J2CnW(Pn\\2=\\f\\2. (8.8) n=l Důkaz. Jelikož k=í n f-j2ck Parsevalova rovnost má tvar n=l a podle (8.6) platí rí=i lim c„ = 0. ŕí^OO 8.2. Fourierovy řady vzhledem k systému {cos nx, sin nx) V tomto odstavci se budeme zabývat výlučně Fourierovými řadami vzhledem k systému {1, cosx, sinx, cos2x, sin2a;, ..., cosnx, sinnx, ...}. (8.9) Protože jsou tyto funkce 2 % -periodické, půjde v tomto případě o aproximaci 2jt--periodických funkcí. Lemma 8.1. Buď f periodická funkce s periodou 2it, jež je integrovatelná na intervalu [0, 2it]. Pak pro libovolné a e R platí Důkaz. Platí />a+2jt />2tt / f(x)dx= / f(x)dx J a JO />a+2jt />2tt />a+2jt / /(x)dx = / f(x)dx+ / /(x)dx. 136 Fourierovy řady Substitucí x = t + 2% ve druhém integrálu vyjde />fl+2jt />2tt na Z f(x)dx = Z /(x)dx + Z f(t + 2%)dt J a J a JO í*2u na í*2u = Z f(x)dx+ Z f(t)dt= Z /(ř)dř. Ja JO Jo □ Lemma 8.2 (Ortogonalita trigonometrického systému). Posloupnost (8.9) je ortogonální na libovolném intervalu [c, c + 2jt] Jé//ry 2jt. Důkaz. Podle předcházejícího lemmatu stačí ukázat ortogonalitu na intervalu [—7t, jt]. Pro libovolné n e N je cosnxdx = 0, (l,únnx)= I sinnxdx = 0; -n J—n pro libovolné m, n e N je (sin mx, cos nx) = / sin mx cos nx dx [ Nin i //; + n)x + sin(m — n)x] dx = 0 -ľ J —Ti 1 r 2 U 2 a pro libovolná m, n e N, m ý n je f ancosnx, kde an = — I f(x) cosnx dx in e N U {0}). 2 tí 71 J° Je-li f lichá, má její Fourierova řada tvar bn únnx, kde bn = — I f (x) únnx dx (n e N). Důkaz. Poznamenejme, že obecně platí: Je-li g integrovatelná funkce na intervalu [—h, h], která je sudá, resp. lichá, pak (toto tvrzení snadno dokážeme, vyjádříme-li integrál přes interval [—h, h] na součet dvou integrálů přes intervaly [—h, 0] a [0, h] a zavedeme-li v prvním z nich substituci x = —t). Tvrzení věty nyní plyne z toho, že je-li / sudá, je f(x) cosnx sudá, f(x) sin nx Nechť / je integrovatelná funkce na intervalu [0, %]. Položíme-li pro x € € [—7t,0) fix) = fi—x), zkonstruujeme sudé rozšíření funkce f na interval [— %, 7t]; Fourierově řadě sudého rozšíření funkce / říkáme rozvoj funkce / v kosinovou řadu na intervalu [0, %]. Podobně, je-li / integrovatelná na (0, jt] a položíme-li /(0) = 0, fix) = = —fi—x) pro x € [—7t,0), sestrojíme liché rozšíření funkce f na interval [— %, n]. Fourierova řada lichého rozšíření funkce / se nazývá rozvoj funkce / v sinovou řadu na intervalu [0, %]. Poznámka 8.4. Nechť / je integrovatelná funkce na intervalu [—n, n] aa„ in e € N U {0}), bn in € N) jsou její Fourierovy koeficienty. Podle Důsledku 8.1 řada lichá a je-li / lichá, je fix) cos nx lichá, fix) sin nx sudá. □ n=l konverguje a platí oo n=l Zejména platí, že lima,, = 0, \imbn = 0. Konvergence Fourierovy řady 139 Poznámka 8.5. Fourierovu řadu (8.10) lze vyjádřit v oboru C užitím vztahů (viz např. [8]) cos x =-, sin x =- 2 li takto: a0 1 2 2 n=l n=l ^ n=—oo kde Fourierovy koeficienty c„ jsou tvaru Cn = ^-Í f(x)e~inxdx, n = 0,±l,±2,--- . 2tt J.jt Vskutku, c0 = y = ^ /(x) dx a pro n e N platí 1 , i/i r , i z"1 , \ c„ = -ian — bni) = -I — / /(x) cos nx dx — z — / /(x) sinnx dx I = 2 2\v7tJ_Jt jr J_H / 1 ľn \ ľn = — / f(x)(cosřzx — i sinnx)dx = — / f(x)e inx dx a podobně c_„ = \(an + bni) = ^ f*n f(x)einx dx. 8.3. Konvergence Fourierovy řady V tomto odstavci uvedeme postačující podmínky pro bodovou a stejnoměrnou konvergenci Fourierovy řady (8.10). Všimněme si úvodem, že pokud Fourierova řada funkce / konverguje na intervalu [—7t, 7t], pak konverguje na intervalu (—oo, oo) a její součet je periodická funkce s periodou 2jt. Proto lze rozumné výsledky o aproximacích Fourierovými řadami očekávat pouze pro periodické funkce s periodou 2jt a na takové se v dalším zásadně omezíme. Poznamenejme, že pro takovou funkci stačí, aby byla definována na intervalu (— %, jr] (nebo [—%, %)); pak je totiž jednoznačně určeno její 2%-periodické rozšíření na interval (—oo, oo). 140 Fourierovy řady Zavedeme následující označení: Symbolem f(xo+) budeme rozumět číslo lim f(x), pokud tato jednostranná limita existuje. Analogicky je f(xo—) = = lim fix). Nazvěme funkci / po částech spojitou na intervalu [a,b], právě když má na tomto intervalu pouze končený počet bodů nespojitosti, přičemž tyto body jsou body nespojitosti prvního druhu (tj. v těchto bodech existují obě jednostranné limity a jsou vlastní). Nazvěme funkci / po částech monotónní na intervalu [a,b], právě když existuje dělení tohoto intervalu (s konečným počtem bodů) tak, že uvnitř každého dělícího intervalu je daná funkce monotónní. Věta 8.4 (Dirichletova). Nechť funkce f je po částech spojitá a po částech monotónní na intervalu [—it, it]. Pak její Fourierova řada konverguje na [—it, it] a její součet je roven: (1) f(x0) v každém bodě x0 e (— ix, jt), v němž je f spojitá, (2) \[f(xQ—) + f(xo+)] v každém bodě xq e (— ix, jt), v němž je f nespojitá, (3) \[f(— 7t+) + f (n—)] v krajních bodech intervalu [—ix, ix]. Důkaz. Důkaz spočívá na řadě důležitých lemmat; jeho provedení překračuje rámec těchto skript. Přesný důkaz lze nalézt např. v [15]. Naznačme pouze některé klíčové kroky důkazu: > Označme symbolem Sn(f) n-tý částečný součet Fourierovy řady funkce /. Funkci / lze na intervalu [x0 — s, x0 + s] vyjádřit jako f = g — h, kde g, h jsou neklesající na tomto intervalu. Z vlastnosti skalárního součinu plyne Sn(f) = Sn(g) - Sn(h); můžeme proto předpokládat přímo, že / je neklesající na [x0 — s, x0 + s]. > Buď / integrovatelná funkce na intervalu [—%,%], xa e [—%,%], n e N. Pak platí 1 n sin(2n + l)ř Sn(f)(xo) = ~ / U(xo + 2t) + f(x0 - 20] •-- dt. ti J0 sinŕ Označme ún(2n + \)t Dn(t) = ^~.-- sin t pro n e N; tato funkce bývá někdy nazývána n-tým Dirichletovým jádrem. Konvergence Fourierovy řady 141 > Tzv. princip lokalizace: Buď / integrovatelná funkce na intervalu [— it, it], xq € [-jí, ni 8 € R, 0 < 8 < f. Pak platí lim Sn(f)(Xo) 7t Jo [/(*o + 20 + f(x0 - 2t)]Dn(t) dt = 0. Princip lokalizace ukazuje, že o tom, zda Fourierova řada funkce / konverguje v bodě xo e [—jt, jt] a k jakému součtu, rozhodují pouze vlastnosti funkce / v (libovolně malém) okolí bodu xq. > Buď h e R, h > 0 a nechť / je monotónní funkce na intervalu [0, h]. Pak platí f únnt ií lim / /(O—— d/ = -/(0f). Jo ' ^ > Píšeme D„ (ř) ve tvaru sin(2n + l)ř sin(2n + \)t ( 1 D„(0 = ——-— = —--- + sin(2n + \)t ■ sin t sin ř t a dokážeme, že 1 1 lim í [/(x0 + 20 + f(x0- 20] • I —--- ) • ún(2n + \)t dt = 0. Jo \únt t > Dokážeme platnost vztahu lim 1 fs f(x0+) + f(x0-) - [f(x0 + 20 + fixo - 2t)]Dn(t) dt=JK° \ JK ° ;, Jo 2 odkud již lim5ŕl(/)(x0) = ^[/(x0+) + /(x0-)]. □ Poznámka 8.6. Nechť funkce / je po částech spojitá na intervalu [— jr, jr]. Funkci /* nazveme 2jt-periodickým rozšířením funkce /, jestliže f (x), x e (—7t, 7t), f (x - 2kn), x e ((2k - l)jr, [2k + l)jr), k e Z, i [/(-3T+) + /(jr-)], x = (2k + l)7t, € Z. Jestliže Fourierova řada funkce / konverguje na intervalu [—jr, jr] k funkci určené v Dirichletově větě (Věta 8.4), pak konverguje na (—oo, oo) k 2 jr-periodickému rozšíření této funkce. Zejména, je-li funkce / spojitá na intervalu [—jr, jr], Fourierova řada konverguje na (—oo, oo) k 2 jr-periodickému rozšíření/* funkce /. 142 Fourierovy řady Poznámka 8.7. Ukažme, jak lze odvozených výsledků využít k nalezení Fourie-rových řad periodických funkcí s periodou p ^ 2tí. Označme kvůli jednoduchosti p = 2h a předpokládejme, že / je integrovatelná funkce na intervalu [—/z, h]. Pak funkce g--—coszzx. o. „2 Položíme-li zde x = ti, obdržíme 2 TC -r-^ 1 „ , -r-^ 1 Ti1 tí = — +4 > —, odkud > — = —. zz2 -'-^ zz2 6 ŕí=l rí=l Konvergence Fourierovy řady 143 Položíme-li x = 0, obdržíme o = —+4V--- odkud y^(-ir_i• —= —. 3 ^ n2 ^ n2 12 n=l n=l Poznamenejme ještě, že nalezená Fourierova řada konverguje na (—oo, oo) a její součet je funkce, jež je 2 % -periodickým rozšířením funkce /; její graf je na Obr. 8.2. Řešme příklad 8.1 nejprve metodou „krok za krokem". Spočítáme koeficienty oq, an a bn, kde n e N. > a[0]:=1/Pi*int(x~2, x=-Pi..Pi); 2 2 an := — % 3 > assume(n, integer); > a[n]:=1/Pi*int(xA2*cos(n*x), x=-Pi..Pi); (_!)«-:= 4 - Protože funkce je sudá, bude koeficient bn roven nule. Tuto skutečnost ověříme výpočtem. > b[n]:=1/Pi*int(x~2*sin(n*x), x=-Pi..Pi); K~ := 0 Fourierova řada funkce f(x) = x2 má tedy tvar: > x~2=a[0]/2+sum(a[n]*cos(n*x)+b[n]*sin(n*x), > n=l..infinity); J» = lB'+(f;(4("iri^("'J)); \«~=i Nyní znázorněme Fourierovy polynomy grafem. Nejdříve vytvoříme funkci f our, která pro zadané m vytvoří funkci proměnné x z prvních m členů Fourierovy řady. > four:=m->a[0]/2 + sum(a[n]*cos(n*x)+b[n]*sin(n*x) , > n=l..m): Například Fourierův polynom F3(x) má tvar: > F[3] (x)=four (3); 144 Fourierovy řady Načteme knihovnu plot s obsahující funkce pro kreslení grafů. > with(plots) : Do proměnné graf 1 uložíme graf funkce x2. > graf1:=plot(x"2, x=-Pi..Pi, color=aquamarine, > thickness=3): Do proměnné graf 2 graf polynomu F3(x). > graf2:=plot(four(3), x=-Pi..Pi,color=red): Grafy zobrazíme společně pomocí příkazu display (Obr. 8.1). > display(graf2, grafl); X Obr. 8.1: Funkce e (— iz, 7t) a její Fourierův polynom pro n = 3 Nyní vytvořme animaci znázorňující aproximaci funkce x2 Fourierovou řadou. Pro animaci použijeme prvních 10 členů Fourierovy řady. > clenu:=10: Do proměnné anim uložme animaci polynomu Fm(x) při rostoucí hodnotě m. > anim:=animate(four(m), x=-3*Pi..3*Pi, > m=0..clenu, frames=clenu+l, color=red, > numpoints=150): Pro společné zobrazení spolu s grafem funkce x2 opět použijeme příkaz di spi ay. > display(anim, grafl); Jak je vidět, řada konverguje k periodickému rozšíření funkce x2. Nyní se pokusíme tento postup zautomatizovat pomocí vhodných procedur: Konvergence Fourierovy řady 145 > restart: > with(plots): Funkce Period(f,a,b) vytvoří periodické rozšíření funkce / zadané na intervalu (a, b). > Period:=proc(f, a::realcons, b::realcons) > local f2, modL, L; > L: =abs (b-a) : > modL := x->x-floor((x-a)/L)*L: > f2:=x->f(modL(x)): > eval(f2): > end: Funkce ClenyFourierRady (f, a, b, m) vytvoří seznam prvních m členů Fourierovy řady funkce / na intervalu {a, b). > ClenyFourierRady:=proc(f, a::realcons, > b::realcons, m::integer) > local aO, L, N, i, rozvoj, porn; > rozvoj:=[]: Zjistíme délku intervalu. > L:=abs(b-a): Spočítáme koeficient a0, koeficienty an a bn budeme počítat až pro konkrétní hodnoty n. > aO:=eval(1/L*int(f(x), x=a..b)): Počítáme postupně všechny členy a přidáváme je do seznamu. > for i from 0 to (m-1) do > if i=0 then rozvoj:=a0: > else > pom:=2/L*int(f(x)*cos(2*Pi/L*i*x), > x=a..b)*cos(2*Pi/L*i*x)+ 2/L*int(f(x) > *sin(2*Pi/L*i*x),x=a..b)*sin(2*Pi/L*i*x): > rozvoj:=rozvoj,porn: > f i : > od: > eval([rozvoj]): > end: Funkce VytvorPol (sezclenu,m) vytvoří pomocí seznamu členů Fourierovy řady sezclenu Fourierův polynom Fm(x). 146 Fourierovy řady > VytvorPol:=proc(sezclenu::list, m::integer) > local i, f, rada; Sečteme prvních m + 1 členů rozvoje a ze součtu vytvoříme funkci proměnné x. > rada:=sum(sezclenu[i+1], i=0..m): > f:=unapply(rada, x): > f: > end: Animaci znázorňující konvergenci Fourierovy řady vytvoří funkce AnimGrafFourierFce(f,rada,int1,int2,limit,pocclen, inc) . 1. parametr - funkce. 2. parametr - seznam členů Fourierovy řady (získaný výstupem procedury ClenyFourierRady). 3. parametr - horizontální rozsah grafu. 4. parametr - vertikální rozsah grafu. 5. parametr - celkový počet Fourierových polynomů použitých k animaci. 6. parametr - udává, kterým polynomem se začne. 7. parametr - udává rozdíl indexů dvou po sobě následujících polynomů. Na- příklad, budeme-li chtít pouze polynomy Fi(x), F3(x) a F5(x), bude roven dvěma. 8. parametr - souřadnice referenčního bodu pro výpis indexu Fourierova poly- nomu. Údaj je vypisován napravo od zadaného referenčního bodu. Parametr je volitelný. > AnimGrafFourierFce:=proc() local fce, rada, intl, int2, pocclen, inc, limit, i, gl, g2, g3, f, anim, barva2, bod; > fce:=args[1 ] : > rada:=args[2]: > intl:=args[3]: > int2:=args[4]: > limit:=args[5]: > pocclen:=args[6]: > inc:=args[7]: Konvergence Fourierovy řady 147 > if (nargs>7) then bod:=args[8]: fi: > anim:=[]: Zkontrolujeme, zda má seznam členů dostatečný počet položek. > if ((nops(rada))<(pocclen+(limit-1)*inc)) then > ERROR(cat CSeznam clenu obsahuje pouze \ > nops(rada), * položek, je požadováno alespoň \ > ((limit-1)*inc+l), ' položek.'), NULL); > f i : Do gl uložíme graf původní funkce nakreslený zelenomodře. > gl:=plot(fce, intl, int2, color=aquamarine, > discont=true, thickness=3, numpoints=100); V cyklu budeme vytvářet grafy funkcí odpovídající Fourierovým polynomům. > for i from 0 to (limit-1) do > f:=VytvorPol(rada, pocclen+i*inc): Vytvoříme barevný přechod pro lepší rozlišení jednotlivých polynomů. > barva2:=COLOR(RGB, i/limit, 0, 0.9-i/limit): > g2:=plot(f, intl, int2, color=barva2, > thickness=l, numpoints=200): Pokud jsme zadali více než sedm argumentů, budeme vypisovat i údaj o hodnotě indexu m polynomu Fm(x). > if (nargs>7) then > g3:=textplot([bod[1], bod[2], > convert(,m,=pocclen+i*inc, string)], > color=barva2, align=RIGHT) : > anim:=anim, display(g3, g2, gl): V opačném případě vykreslíme pouze proložené grafy polynomiálních funkcí. > else > anim:=anim, display(g2, gl): > f i : > od: > end: Řešme nyní příklad 8.1 s pomocí těchto nových procedur. Spočítáme prvních dvacet členů Fourierovy řady funkce x2 na intervalu (—jr, jr). > rada:=ClenyFourierRady(x->x~2, -Pi, Pi, 20): Vytvoříme periodické rozšířeni funkce x2. > fce:=Period(x->x~2, -Pi, Pi): Do proměnné graf 1 uložíme graf periodického rozšíření (Obr. 8.2). 148 Fourierovy řady > graf1:=plot(fce, -3*Pi..3*Pi, -1.5..11, > color=aquamarine, thickness=3, discont=true): > display(graf1); -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Obr. 8.2: Period, rozšíření funkce x2 Obr. 8.3: Fourierův pol. pro n = 0 Nyní spočítáme polynom F0(x) a vykreslíme jeho graf společně s periodickým rozšířením (Obr. 8.3). > pol:=VytvorPol(rada, 0): > pol(x); > graf2:=plot(pol, -3*Pi..3*Pi, -1.5..11, > color=red, numpoints=200): > display(graf2, grafl); Totéž pro Fourierův polynom F2(x) (Obr. 8.4). > pol:=VytvorPol(rada, 2): > pol(x); 1 , -% — 4cos(x) + cos(2x) > graf2:=plot(pol, -3*Pi..3*Pi, -1.5..11, > color=red, numpoints=200): > display(graf2, grafl); Pomocí funkce AnimGraf Four ierFce znázorníme první čtyři Fourierovy polynomy do jednoho obrázku (8.5). Konvergence Fourierovy řady 149 10 10 Obr. 8.4: Fourierův polynom pro n = 2 Obr. 8.5: Fourierovy polynomy pro > anim:=AnimGrafFourierFce(fce, rada, > -3*Pi..3*Pi, -1.5. .11, 4, 0, 1): > display(anim, insequence=false); Použijeme-li v příkazu display volbu insequence=true, místo prokládaného grafu vytvoříme animaci. > anim:=AnimGrafFourierFce(fce, rada, > -3*Pi..3*Pi, -1.5. .11, 10, 0, 1, [-7, 10]): > display(anim, insequence=true); Příklad 8.2. Najděte Fourierovu řadu funkce f(x) = ex na intervalu [0, 2jt]. Dále metodou per partes nalezneme primitivní funkci k funkci ex cos nx ve tvaru n = 0, 1, 2, 3 Řešení, Platí !)• ex (cos nx + n sin nx) n2 + l a primitivní funkci k funkci ex sin nx ve tvaru ex (sin nx — n cos nx) n2 + l 150 Fourierovy řady je tedy an — n ex (cos nx + n sin nx) n2 + l 2tt 1 e 2n K = ex (sin nx — n cos nx n2 + l 2n jr n2 + 1 (e27t - 1) n n n2 + l Protože / je monotónní a spojitá na [0, 2n], je součet její Fourierovy řady na (0, 2n) roven přímo /. V krajních bodech tohoto intervalu je součet roven (e27t + + l)/2, viz Obr. 8.6. Pro x € (0, 2jt) tedy platí: ,2n 1 1 f^/ 1 2 + U2 + 1 ŕí=i v cos n2 + 1 sinnx a pro x = 0, x = 2jt je součet řady na pravé straně roven (e27t + l)/2. Odtud obdržíme oo ^ n2 + 1 rí=i 2n jr(e27t + 1) - (e-2(e2jt - 1) 1) Obr. 8.6: Periodické rozšíření funkce ex, x e (0, 2jt) Příklad 8.3. Funkci f(x) = x rozviňte na intervalu [0, jt] do kosinové řady. Řešení. Sudé periodické rozšíření této funkce je znázorněno na Obr. 8.7. Přitom platí a0 2 r n Jo x dx = — x ~2 Konvergence Fourierovy řady 151 Příklad 8.4. Najděte Fourierův rozvoj funkce f(x) = x na intervalu [—1, 1]. Řešení. Periodické rozšíření této funkce je uvedeno na Obr. 8.8. A Obr. 8.8: Periodické rozšíření funkce x,x € (—1, 1) V tomto případě je h = 1; dále je / lichá, a proto an = 0 pro fieNU(0}a bn = 2 / xúnmzxdx = Tedy ; / x únn: Jo 2 . 2 f1 --\x cos řzjcxjg h--/ cosnjrxdx = 2 2 i 2 „_, --cosnjTH—-—-[sinřzjrx]0 = —(— 1) nu n27i2 nu 2 ^ (-1)""1 x = — / -únrnzx pro x e (—1,1). % ^-^ n n=l 152 Fourierovy řady Na závěr se budeme zabývat otázkou, kdy Fourierova řada dané funkce / konverguje stejnoměrně na [— jt, jt]. V této souvislosti je vhodné si všimnout, že pokud / je nespojité v alespoň jednom bodě x0 e [—ti, iz], pak její Fourierova řada nemůže konvergovat stejnoměrně, neboť součet stejnoměrně konvergentní trigonometrické řady je podle Věty 5.8 spojitá funkce na [— iz, iz]. Stejnoměrnou konvergenci lze proto očekávat pouze u Fourierových řad spojitých funkcí. Důkaz následujícího tvrzení neuvádíme, lze jej nalézt např. v [8]. Věta 8.5. Nechťln-periodická funkce f(x) je spojitá na intervalu [—ix, it] a její derivace f'(x) je na temže intervalu po částech spojitá. Pak její Fourierova řada konverguje k funkci fix) stejnoměrně na intervalu (—co, co). Poznámka 8.8. Lze dokázat (viz např. [8]) větu o jednoznačnosti pro součet trigonometrické řady (tzv. Heineho-Cantorova věta): Jestliže trigonometrická řada mají stejný součet pro všechna x e 1 \ M, kde M je nejvýše spočetná množina, pak platí an = a*, (n = 0, 1, 2,...), bn = b*n, (n = 1, 2,...). Cvičení 8.1. Nalezněte Fourierovu řadu funkce f(x) = sgn(x) na intervalu [—ti, jr] n=l a trigonometrická řada n=l sgn(x) = 1, x e [—Ti, 0), 0, x = 0, 1, x e (0,7t]. Konvergence Fourierovy řady 153 Postup je stejný jako v příkladě 8.1. Nejprve ukážeme řešení metodou „krok za krokem". > assume(n, integer); Všimněme si, že funkce sgn(x) je lichá, proto budou členy a0 a an rovny nule. Ověříme výpočtem: > a[0]:=1/Pi*(int(signum(x), x=-Pi..Pi)); a0 := 0 > a[n]:=1/Pi*(int(signum(x)*cos(n*x), > x=-Pi. .Pi)); a„_ := 0 > b[n]:=1/Pi*(int(signum(x)*sin(n*x), > x=-Pi. .Pi)); (-1)"~ - 1 bn. :=-2 —- a n~ Je vidět, že pro n sudé je bn = 0; proto další úpravy provádíme pro n liché, tj. n = 2k-í. > assume(k, integer); > b[n]:=simplify(subs(n=2*k-l,b[n])); bn~ := 4 1 n(2k~ - 1) Fourierova řada funkce sgn(x): > Asgn(x) ^Sumíbtn]*sin((2*k-l)*x), > k=l..infinity); sgn(x) = Y(4SÍn((2k~-1)X)) 8 ^ x(2k~-\) k~=l v ' Fourierovy polynomy opět znázorníme grafem (Obr. 8.9) a animací. > four:=m->sum(b[n]*sin((2*k-l)*x), k=l..m): Pro k = 2 in = 3) dostáváme: > F[2] (x)=four (2); sin(x) 4 sin(3x) ií 3 iz > with(plots): > graf1:=plot(signum(x), x=-Pi..Pi, > color=aquamarine, discont=true, thickness=3): 154 Fourierovy řady > graf2:=plot(four(2), x=-Pi..Pi, > color=red): > display(graf2, grafl); 1-0.5- / v_y \ 3 -2 -1 I \ ~°r \ A 1 2 3 X \ / \ / Obr. 8.9: Funkce sgn(x), x e (— jt, jt) ajejí Fourierův polynom pro n = 3 > anim:=animate(four(m), x=-6..6, m=1..10, > frames=10, numpoints=2 50, color=red): > display(anim, grafl); Nyní ukážeme řešení s využitím Mapleovských procedur. Do proměnných a a b uložíme krajní body intervalu. > a:=-Pi:b:=Pi: Definujeme funkci. > fcel:=x->signum(x): Spočítáme prvních dvacet členů Fourierovy řady. > rada:=ClenyFourierRady(fcel, a, b, 20): Vytvoříme periodické rozšíření funkce sgn(x). > fce:=Period(fcel, a, b): Graf periodického rozšíření uložíme do proměnné grafl. > graf1:=plot(fce, -8..8, -1.5..1.5, > color=aquamarine, thickness=3, discont=true): Spočítáme hodnotu polynomu Fi (x) a vykreslíme jeho graf spolu s periodickým rozšířením funkce sgn(x) (Obr. 8.10). > pol:=VytvorPol(rada, 1): Konvergence Fourierovy řady 155 > pol(x); sin (x) 4—— > graf2:=plot(pol, -8..8, -1.5. .1.5, > color=red, numpoints=200): > display(graf1, graf2); 1.5-i 1.5-i -1.5J -1.5J Obr. 8.10: Fourierův pol. pro n = 1 Obr. 8.11: Fourierův pol. pro n = 5 Podobně Fourierův polynom F5(x) je tvaru (Obr. 8.11): > pol:=VytvorPol(rada, 5): > pol(x); sin(x) 4 sin(3x) 4 sin(5x) 4-+--+-- Tt 3 Tt 5 71 > graf2:=plot(pol, -8..8, -1.5. .1.5, > color=red, numpoints=200): > display(graf2, grafl); Podobně jako v předcházejícím příkladě použijeme pro vytvoření prokládaného grafu funkci AnimGrafFourierFce (Obr. 8.12) a animace. > anim:=AnimGrafFourierFce(fce, rada, -8..8, > -1.5. .1.5, 3, 2, 2): > display(anim, insequence=false); > anim:=AnimGrafFourierFce(fce, rada, -8..8, > -1.5. .1.5, 10, 1, 2, [-7.8, 1.3]): > display(anim, insequence=true); 156 Fourierovy řady -1.5- Obr. 8.12: Fourierovy polynomy pro n = 1, 3, 5 8.2. Rozložte ve Fourierovu řadu funkci 0, x e [—n, 0], /(*) = 8.3. Mějme zadánu funkci /(*) = sinx, x e [0, %]. cosx, x e [0, -|], — cosx, x e (-|, jr]. Rozložte tuto funkci v kosinovou Fourierovu řadu. 8.4. Určete rozvoj periodické funkce s periodou 2jt, která je v základním intervalu periodicity definována: f(x) 0, x e (—7t, 0], x, x e (0, jt]. 8.5. Rozviňte ve Fourierovu řadu na intervalu [— it, jt] funkci |(jr + x), x e (—7t, 0], fix) = Utz — x), x e [0,7t). Konvergence Fourierovy řady 157 8.6. Rozviňte ve Fourierovu řadu funkci f(x) = sgn(cos x). 8.7. Rozviňte ve Fourierovu řadu funkci f(x) = arcsin(sinx). 8.8. Rozložte funkci f (x) = x(tí — x) v sinovou Fourierovu řadu na intervalu (0,7t). Najděte součet řady 1 1 1 (-l)""1 1--r + —--- + ...+-- +____ 33 53 73 (2n - l)3 8.9. Funkci f(x) = %2 — x2 rozložte ve Fourierovu řadu na intervalu (—7t, jt). Najděte součty řad f-' k2 ' j-^k2' k=l k=l 8.10. Určete Fourierův rozvoj periodické funkce f(x) = x se základním intervalem periodicity (0, 2jt). Určete součet řady 1 1 1 1-- +---+ .... 3 5 7 8.11. Rozložte ve Fourierovu řadu funkci f(x) = \x\ na intervalu (—1,1). 8.12. Nakreslete liché periodické rozšíření funkce | (% — x),x € [0, jr] a srovnejte s Obr. 5.2, 5.3. Z Fourierovy řady této funkce 1 x-^ sinnx -(n — x) = > 2 ^ n n=l integrací dokažte vztah oo 2 2 COSřZX 71 7zx x n2 ~ 6 2 4 n=l pro každé x e [0, 2jt]. 8.13. Pomocí Parsevalovy rovnosti dokažte, že pro sudou funkci f(x) na intervalu 2 (— ti, ti) platí vztah y + J2T=i an = n lo f2(x^ ^x a odtud pro f(x) = x2 odvoďte vzorec r4 ^ n4 ~ 90 ' n=l 158 Fourierovy řady 8.14. Udejte příklad trigonometrické řady, jež není Fourierovou řadou žádné funkce. Návod: Uvažte Poznámku 8.4. 8.15. Udejte příklad trigonometrické řady, jež bodově konverguje na [—jt, jt], ale není Fourierovou řadou žádné integrovatelné funkce. Návod: Podle Dirichletova kritéria řada Y konverguje pro každé x e e [—7t, jt]. Kdyby tato řada byla Fourierovou řadou funkce /, pak podle Poznámky 8.4 J2Zi i^i J-n f2^ dx> což Je sPor- 8.16. Dokažte: Jestliže na intervalu [—jr, jr] trigonometrická řada stejnoměrně konverguje, pak je Fourierovou řadou svého součtu. Další příklady rozvojů funkcí do Fourierových řad zpracované pomocí Maplu najdete na CD-ROMu v souboru pdf /nradanm8 . pdf. Člověk občas narazí na pravdu, ale většinou se otřepe a jde zase dál. Kapitola 9 Videoukázky Tato kapitola obsahuje pomocné texty pro sledování videonahrávek. Doporučujeme v jednom okně sledovat videonahrávku, a v druhém mít otevřené tyto texty. 9.1. Klipl: přednáška - nekonečné číselné řady Video spusťte otevřením tohoto odkazu (předpokladem je instalace webového prohlížeče a software pro přehrávání videa ve formátu MPEG 1 a jeho asociace s koncovkou .mpg). oo a\ + a2 + • • • + an + • • • = > an, (an e R) Součet řady: Určíme jako limitu posloupnosti n-tých částečných součtů Sn = Cl\ + M-2 + • • • + Cln. 1. 3 limsn = í e f ... konverguje. Platí: an = s => lima,, = 0 (nutná podmínka konvergence řady) 2. 3 limsn = ±oo ... ^an diverguje 3. $ limsn ... an diverguje 159 160 Videoukázky Kritéria konvergence Na konvergenci či divergenci řady nemá vliv chování konečně mnoha členů, nemusíme tedy striktně psát YT=i am budeme psát zkráceně an. Podle typu nekonečné řady rozlišujeme kritéria 1. řada s nezápornými členy an, an > 0 • Srovnávací kritérium - jestliže pro dostatečně velká n je an < bn, pak platí bn konverguje =>■ an konverguje JJ On diverguje =>• JJ bn diverguje • Podílové a odmocninové kritérium lim — = q nebo lim ýčfa = q < 1 konverguje > 1 diverguje = 1 nelze nic říci • Limitní srovnávací kritérium lim ^ = L L < °°' ^ bn konV' ^ ^ a" konverSuJe ŕ» L > 0, JJ div. =>• JJ a„ diverguje 00 • Integrální kritérium JJa„ konv. O f f(x)dx konverguje, kde / je 1 klesající a platí f in) = an. oo 2. Alternující řady l)""1"1^, a„ > 0 i Leibnizovo kritérium: řada konverguje, jestliže je posloupnost an klesající a lima,, = 0. 3. Řady s libovolnými členy an, fl„gí • absolutní konvergence (JJ \an \ konverguje) an absolutně konverguje =>■ an konverguje • neabsolutní konvergence pro řady typu anbn - Dirichletovo kritérium: JJa„&„ konverguje, jestliže lima,, = 0, \b\ + • • • + bn | < c (řada má omezené částečné součty) - Ábelovo kritérium: Yanbn konverguje, jestliže \bn\ < c a JJa„ konverguje. Klipl: přednáška - nekonečné číselné řady 161 Operace s nekonečnými řadami 1. Algebraické operace (a) součet Ean + ^bn = ^(an+bn) za předpokladu konvergence obou řad (b) součin - situace je mnohem komplikovanější, existuje nekonečně mnoho způsobů, jak definovat součin řad - viz Kapitola 4. 2. Základní zákony pro součet nekonečných řad oo oo (a) Distributivní zákon an) = kan za předp. konvergence an i i (b) Asociativní zákon (a\ + a2) + (a-s + a*) + • • • = a\ + (a2 + a?) ... za předp. konvergence an (c) Komutativní zákon a\ + a2 + a3 + • • • = a3 + a\ + a2 + ... platí pouze za předp. absolutní konvergence a„ 162 Videoukázky 9.2. Klip2: cvičení - řešené příklady na konvergenci řad Video spusťte otevřením tohoto odkazu (předpokladem je instalace webového prohlížeče a software pro přehrávání videa ve formátu MPEG 1 a jeho asociace s koncovkou .mpg). Zjistěte konvergenci řad: ^ (2+ i)" Jedná se o řadu s nezápornými členy, použijeme odmocninové kritérium: lim 2+i 2' n Výsledek: řada konverguje. z—' n la n Opět se jedná o řadu s nezápornými členy, nyní ale použijeme integrální kritérium oo oo J xlnx J t 2 2 Použili jsme substituci lnx = t. Jelikož integrál diverguje, i daná řada diverguje. n 3- E arccos n + 1 Jedná se opět o řadu s nezápornými členy, nevíme, co čekat - porovnáme tuto řadu s harmonickou řadou V -. Limitní srovnávací kritérium: £—' n arccos 0 uhosd arccos lim -= - = P' lim -= n n 1 n+l—n y 1 (n+l ) lim n \2 (n+l)1 ŕJ^OO --L n1 2 2 n n = lim —==-= lim —p=-= oo > 0 ří^oo 2n£_.(n + \)2 n^°° ^/2n + 1 • \n + 1| Řada \ diverguje =>■ daná řada diverguje. Klip2: cvičení - řešené příklady na konvergenci řad 163 Esinn 6n Nyní máme řadu s libovolnými členy, zkusíme absolutní konvergenci: sinn 6n 1 6n Řada i konverguje (např. odmocninové kritérium: limyjj- = | < 1) podle srovnávacího kritéria daná řada konverguje absolutně. 5. £(-db sin2 n n Jedná se o řadu alternující, ale nelze použít Leibnizovo kritérium, protože | J není klesající. Musíme tedy použít nějaký jiný způsob - upravíme dle vzorce pro poloviční úhel výraz sin2 n = 1~™S 2n a rozdělíme původní řadu na dvě řady: (a) — 1)" ^ - konverguje podle Leibnizova kritéria. (b) lyssiún. - řada s libovolnými členy. Upravíme: (—1)" cos2n = cosřzjt cos2n = -(cosn(jr + 2) + cos(jr — 2)). Řada cos nx má omezené částečné součty pro x ý 2k%, lim - = 0 =>■ podle Dirichletova kritéria konvergují řady Ecosn(jr + 2) cosn(it — 2) a proto konverguje i řada 1)" n cos 2n 2n Jelikož obě tyto řady konvergují, konverguje i řada původní. 164 Videoukázky 9.3. Klip3: přednáška - nekonečné řady funkcí Video spusťte otevřením tohoto odkazu (předpokladem je instalace webového prohlížeče a software pro přehrávání videa ve formátu MPEG 1 a jeho asociace s koncovkou .mpg). oo /„(*), x € I n=l Stejnoměrná konvergence • Posloupnost {sn(x)}, x € I konverguje k funkci s(x): Vxe/ lim s„(x) =s(x), n^oo (X) - S(X)\ < 8 • Posloupnost {sn(x)}, x € I stejnoměrně konverguje k s(x): (X) - S(X)\ < 8 • Řada E fn(x) stejnoměrně konverguje na intervalu /, jestliže stejnoměrně konverguje posloupnost n-tých částečných součtů. Weierstrassovo kritérium: fn(x) stejnoměrně konverguje, jestliže 1/nOOI ■ s je spojitá na /. Př. {e~nx}, I = [0, oo) s(x) = lim e~nx Proto posloupnost není stejnoměrně konvergentní. 1 x = 0 0 x > 0 Klip3: přednáška - nekonečné řady funkcí 165 • Derivace řady. Platí (£/».(*))' = £/„'(*) na/ za předpokladu, že Y fn(x) konverguje na / a Y fn(x) konverguje stejnoměrně na /. • Integrace řady. Platí b b f n (X) dx za předpokladu, že jsou funkce integrace schopné na [a, b] a jestliže je Y fn na [a, b] stejnoměrně spojitá. Mocninné řady oo n=l Existuje číslo 0 < r < oo s vlastností (—00, —r) U (r, 00) diverguje (-r, r) konverguje O krajních bodech intervalu (—r, r) nelze obecně nic říci, je třeba je vyšetřit zvlášť. Číslo r se nazývá poloměr konvergence. Každá mocninná řada je stejnoměrně konvergentní na každém uzavřeném podintervalu [—p,p] intervalu (—r, r), kde p < r. Použití: rozvoj funkcí do mocninných řad. Příklad 9.1. Rozviňte do mocninné řady funkci are tg x. Řešení Nejprve danou funkci zderivujeme a tuto derivaci snadno rozvineme do mocninné řady: (arctgx)' =-- = 1 — x2 + x4 — ■ ■ ■ platí pro \x\ < 1. 1 + x2 Nyní pravou stranu zintegrujeme člen po členu a dostáváme požadovaný výsledek 3 5 x x arctgx = x--+--• • • pro \x\ < 1 . 6 3 5 ť Výsledky cvičení Kapitola 1 1.1. a) 1 b) }| c) | d) \ e) f f) 3 g) 5 h) jf 1.2. a) b) | 1.3. a)-c) divergují 1.4. a) x = 10 b) x = ^ + ku nebo x = ^+£71:. 1.5. Součet obvodů 8(2 + \/2), součet obsahů 8. 1.6. Úloha vede k určení součtu nekonečné geometrické řady: 48 + 24 + 12 + 6 + • • • , jejíž součet je s = 96 1.7. Obsah Sierpiňského koberce je P = 1 — = 0. Kapitola 2 2.1. a) konverguje b) konverguje c) konverguje d) diverguje e) konverguje pro 0 < a < 1, diverguje pro a > 1 f) diverguje g) konverguje pro a > 1, diverguje pro a e (0,1] h) konverguje i) konverguje j) konverguje k) konverguje 1) diverguje m) konverguje n) diverguje o) diverguje pro ci > f, konverguje pro 0 < a < \ p) diverguje q) diverguje. 2.2. a2n-i = = ^ľ=T, a2n = 35T- 2.3. Neexistuje [Návod: je-li lim sup ^fa~^ > 1, pak existuje {n/t}, nk —^ oo tak, že lim ntfä~n~k > 1. Označíme-li = ank, je řada divergentní. Protože an > 0, je divergentní i řada £ an. 2.4. viz [5]. Kapitola 3 3.1. a) konverguje b) konverguje c) diverguje d) diverguje e) konverguje f) konverguje. 3.2. a) konverguje neabsolutně b) konverguje absolutně c) konverguje neabsolutně d) diverguje e) konverguje absolutně f) konverguje absolutně g) konverguje absolutně h) konverguje neabsolutně. 3.3. a) Pro x > 0 řada konverguje absolutně, pro x < 0 řada diverguje, b) Pro x e (-, e) řada konverguje absolutně, pro ostatní x řada diverguje, c) Pro \x\ < 2 řada 166 Výsledky cvičení 167 konverguje absolutně, pro |x| > 2 a x = 2 diverguje, pro x = —2 konverguje neabsolutně. d) Pro x > 0 řada konverguje absolutně, pro x < 0 řada diverguje. Kapitola 4 4-1. YZo ^nf = eX+y 4-2- Cauchyův součin je YZi = odkud plyne ř = (FI)1 43- a) n = 5 [Využijte Větu 4.5] b) n = 7 [Využijte Větu 4.6] c) n = 5 [Využijte Větu 4.4] 4.4. a) 3 (n + 1) (n + 2) (n + 3) > 104 b) ln n > 104 Kapitola 5 5.1. a) ne (neboťlim /„(x) = 0 a /„(-^) = fj) b) ano (podle definice) 5.2. a) x e e (i, e) b) x e (-2, 2) c) x e (-oo, -1) U (-|, oo). 5.3. Majorantní řady: a) ^2 b) £ c) ^ d) ^ e)^jj. f) £ 5.4. a) - Weierstrassovo krité- rium (-57=) b)-Weierstrassovo kritérium (—^—) c) - Dirichletovo kritérium (| Yl , sinx sinifcjcl < 2, {-t±-}] < 4- -> 0). 5.5. , l~rcosx 2 5.6. \. Kapitola 6 6.1. a) r = 1, (-1,1) b) r = (-^ ľ^) c) r = 1, (-1,1] d) r = = 3, [-3,3) e) r = oo f) r = 1, (-1, 1) g) r = 1, (-1, 1) h) r = 1, [-1, 1] i) r = 4, (-4, 4) j) r = oo k) r = oo 6.2. a) jfy, \x\ < 1 b) (x + 1)ln(l + x) — x, x e (—1, 1] c) arctgx, |x| < 1 d) , |x| < 1 e) 2-ln^, 1*1 < 1 f)arctgx, |x| < 1 g)Jln£^, |x| < 1 h)2x arctgx-ln(l + +x2), |x| - 2 -1- 4 V^°° ( i\n-lcos2nx o 4 f (Y\ _ Jt _ 2 y^oo cos(2rc-l)x v^oo ,_ J^X> ~ n + n 2^n=l^ ^ 4n2-l 0^*- / w ~ 4 n 2^n=l (2B-1)2 + 2-^=1^ -1)*-^ 8.5. /(x) = Eľ=i 8-6- /(*) = í E^C-l)"25^- = í E„^(-l)BSi^. 8.8./(x) = fE~i^ř#'S S-*-*2- _ v2 _ 2rt^ ^ y^oo (_ 1 cosfcx Jt2 Jt2 CIA v — -n-_9 V^°° si"fa e O 11 X - 3 +^Z^jfc=l^ 1/ k2 ' 12' 6 - 71 ZZ^/t=l ' 4 Irl-I-iiY"00 1 rn- P»-l)jt* \X\- 2 jt2 ^£=1 (2b-1)2 COS / Použitá literatura [1] Berman G.N.: Sborník zadačpo kursu matematičeskogo analýza, Nauka, Moskva, 1971. [2] Dčmidovič B. P.: Sborník zadač i upražněnij po matematičeskomu analýzu, Nauka, Moskva, 1964. [3] Došlá Z. - Došlý O.: Metrické prostory, teorie a příklady, Masarykova univerzita, Brno, 1996. [4] Edwards, C. H.: The Historical Development of the Calculus, Springer--Verlag, 1979. [5] Fichtengolc G. M. : Kurs differencials go i integralnogo isčislenija II, III, Nauka, Moskva, 1966. [6] Heck A.: Introduction to Maple, Springer-Verlag, New York, 1993. [7] Israel R.: Maple Advisor Database, http://www.math.ubc.ca/~israel/advisor/, 1998. [8] Jarník V.: Diferenciální počet II, Academia, Praha, 1974. [9] Jarník V: Diferenciální rovnice, Academia, Praha, 1956. [10] Kroutil P.: Absolutní konvergence číselných řad a řady funkcí, diplomová práce MU Brno, 1998. [11] Kuběna P.: Nekonečné řady s programem Maple, diplomová práce MU Brno, 2001. [12] Kufner A. - Kadlec J.: Fourierovy řady, Academia, Praha, 1969. [13] Novák V.: Diferenciální počet v R, skriptum Masarykovy Univerzity, Brno, 1996. 169 170 Použitá literatura [14] Novák V.: Integrální počet v R, skriptum Masarykovy Univerzity, Brno, 1996. [15] Novák V.: Nekonečné řady, skriptum UJEP, Brno, 1981. [16] Rovenski V.: Geometry of Curves and Surfaces with Maple, Birkhäuser, Boston, 2000. [17] Tichonov A. N. - Samarskij A. A.: Rovnice matematické fyziky, Nakladatelství ČSAV, Praha, 1955 (překlad z ruštiny). [18] Veselý J.: Matematická analýza pro učitele, Matfyzpres Praha, 1997. [19] Walz A. F.: The math package, http://sunsite.informatik.rwth-aachen. de/maple/mplmath.htm, 2001. [20] Westermann T.: Mathematishe Begriffe visualisiert mit Maple V, Springer, Heidelberg, 2000. [21] Wright F.: Computing with Maple, CRC Press, Boca Raton, 2002. Rejstřík Abel, 50 Achilles, 10 ďAlembert, 34 Archimedes, 10 Bernoulli, 21 Bessel, 123, 133 Besselova identita, 133 nerovnost, 133 binomická řada, 105 věta, 105 Bolzano, 38 Cantor, 152 Cauchy, 38 derivace mocninné řady, 95 posloupnosti funkcí, 80 řady funkcí, 83 diferenciální rovnice, 123 Dini, 79 Dirichlet, 50 Dirichletovo jádro, 140 divergence číselné řady, 11 vybraných řad, 53 Fourier, 76 Fourierovy koeficienty, 132, 137 funkce cyklometrická, 116 elementární, 120 konečného tvaru, 120 mocninné, 68 po částech monotónní, 140 po částech spojitá, 140 vyšší transcendentní, 120 Grandi, 20 Heine, 152 1'Hospital, 118 integrace mocninné řady, 93, 94 posloupnosti funkcí, 79 řady funkcí, 82 klip cvičení - řešené příklady na konvergenci řad, 162 přednáška - nekonečné číselné řady, 159 přednáška - nekonečné řady funkcí, 164 kombinační číslo, 105 konvergence absolutní, 23, 47 171 172 Rejstřík bodová, 69, 70, 72 číselné řady, 11 Fourierovy řady, 139, 152 neabsolutní (relativní), 47 nutná podmínka, 18, 45 podle středu, 134 stejnoměrná, 68, 71-73, 152 konvergenční interval, 86 kritérium Ábelovo, 50, 51, 75 Cauchyovo-Bolzanovo, 20 Dirichletovo, 50, 51, 75 integrální, 38 Kummerovo, 37 Leibnizovo, 45-47, 62, 64 limitní podílové, 66 limitní Raabeovo, 37, 50 limitní srovnávací, 29 odmocninové, 48 odmocninové (Cauchyovo), 32 podílové, 48 podílové (d'Alembertovo), 34, 37 srovnávací, 28, 33, 48 kritérium stejnoměrné konvergence Cauchyovo-Bolzanovo pro posloupnost funkcí, 73 Cauchyovo-Bolzanovo pro řady funkcí, 74 Dirichletovo a Ábelovo, 75 Weierstrassovo, 74 Kummer, 37 kvadratickou odchylka, 132 Leibniz, 21 Maclaurin, 96 Maclaurinův rozvoj arcsinx, 114 arctgx, 105 tg*, 108 elementárních funkcí, 100 logaritmické funkce, 96, 105 Mercator, 110 Moivre, 51 norma funkce, 130 normovaná funkce, 130 obor konvergence mocninné řady, 86 posloupnosti funkcí, 70 řady funkcí, 70 odhad zbytku alternující řady, 64, 66 číselné řady, 64 řady, 64, 65 Oresme, 19, 24 ortogonalita systému funkcí, 129 trigonometrického systému, 136 ortogonální funkce, 130 Parsevalova rovnost, 134 periodická funkce, 139 poloměr konvergence, 86 posloupnost funkcí, 69 bodově konvergentní, 69, 72 neklesající, 75 nerostoucí, 75 ortogonální, 131 ortonormální, 131 stejnoměrně konvergentní, 71, 72 stejnoměrně ohraničená, 75 princip lokalizace, 141 přerovnání řady, 52, 53 přibližný výpočet Rejstřík čísla jt, 115 integrálů, 120 logaritmů, 117 odmocnin, 113 příkazy Maplu AnimGraf FourierFce, 146, 148, 155 AnimR, 77 ClenyFourierRady, 145, 146 convert, 13 CSsoucetR, 76 csum, 32, 40, 88 display, 149 four, 143 geom, 26 kvocgeom, 26 limraabk, 42 limsrovk, 31 Period, 145 Polomer, 88, 91 poslcass, 14 preskl, 54, 55 PSconv, 89, 91 rieman, 54, 55 sierpkob, 25 sum, 14, 25 sumplots, 14 taylor, 101 TaylorAnimat, 103 TaylorAnimat2, 103 TaylorPol,102 Tplots, 102 TRada, 102 Raabe, 37 Riemann, 122 rozšíření funkce liché, 138 periodické, 139 173 sudé, 138 řada absolutně konvergentní, 47 alternující, 44, 64 binomická, 105 číselná, 11 divergentní, 11 Fourierova, 76, 132, 137 funkcí, 68, 70 geometrická, 11, 105, 110 Grandiho, 20 harmonická, 18 konvergentní, 11 kosinová, 138 Leibnizova, 45, 66 Maclaurinova, 98 mocninná, 85, 110 stejnoměrná konvergence, 93 neabsolutně konvergentní, 47 oscilující, 11 sinová, 138 Taylorova, 98 trigonometrická, 129 určitě divergentní, 11 vzniklá přerovnáním, 52, 53 řada funkcí bodově konvergentní, 70 stejnoměrně konvergentní, 73 Sierpiňského koberec, 24 Sierpiňski, 24 skalární součin funkcí, 130 součet číselné řady, 11 dvou řad, 21 mocninné řady, 93 řady funkcí, 68, 70 Taylorovy řady, 99 174 Rejstřík součin řad, 60 absolutně konvergentních, 60 Cauchyův, 61-63, 67 Dirichletův, 61, 62 spojitost limitní funkce, 78 součtu řady funkcí, 82 Swineshead, 10 Taylorův polynom, 98, 101, 102 zbytek, 98 trigonometrický polynom, 129 věta Ábelova, 96 Diniho, 79 Dirichletova, 140 Heineho-Cantorova, 152 Mertensova, 62 Moivreova, 51 Riemannova, 53 Taylorova, 98 videonahrávky, 8 klipl, 159 klip2, 162 klip3, 164 Weierstrass, 74 zákon asociativní, 22, 23 distributivní, 21, 59 komutativní, 44, 52 o sdružení, 23 pro pedagogy, 43 Zenon z Eleje, 10