První cvičení – matice lineárního zobrazení, matice přechodu
Úloha 1. Je dáno zobrazení π a lineární zobrazení ϕ, ψ, τ:
• π : V3 → V2
π((x1, x2, x3)) = (2x1 + x2, x2 − x3);
• ϕ : V3 → V3
ϕ((1, 0, 0)) = (2, −1, 3)
ϕ((0, 1, 0)) = (−1, 2, 0)
ϕ((0, 0, 1)) = (0, 2, −1);
• ψ : V3 → V3
ψ((2, 2, −1)) = (2, −1, 3)
ψ((1, 0, 1)) = (−1, 2, 0)
ψ((4, 2, 0)) = (0, 3, 3);
• τ : V2 → V3
τ((2, 1)) = (0, 0, 0)
τ((3, 2)) = (1, 3, −1).
Ukažte, že je π lineární zobrazení vektorových prostorů. Určete všem zobrazením matici
(vůči standardním bázím), jádro, obraz a hodnost.
Úloha 2. Nalezněte matici přechodu od báze U k bázi V ve V3, je-li:
(a) U = (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1) ;
V = (2, −1, 3); (−1, 2, 0); (0, 2, −1)
(b) U = (2, −1, 3); (−1, 2, 0); (0, 2, −1) ;
V = (7, 2, 10); (−5, 1, 0); (−1, 2, 0)
Úloha 3. Ve V3 je dána báze B = (−2, 1, 1); (3, −1, 2); (3, 2, −1) a ve V2 je dána báze
C = (1, 3); (1, 4) . Vyjádřete matici zobrazení π (z první úlohy) vzhledem k bázím B a C.
Řešení
1. • Aπ =
2 1 0
0 1 −1
; Ker π = L((1, −2, −2)); Im π = V2; h(π) = 2
• Aϕ =


2 −1 0
−1 2 2
3 0 −1

; Ker ϕ = (0, 0, 0); Im ϕ = V3; h(ϕ) = 3
• Aψ =


−1 2 0
2 −5
2
0
0 3
2
0

; Ker ψ = L((0, 0, 1)); Im ψ = L((−1, 2, 0); (4, −5, 3));
h(ψ) = 2
• Aτ =


−1 2
−3 6
1 −2

; Ker τ = L((2, 1)); Im τ = L((1, 3, −1)); h(τ) = 1
2. (a) A =


2 −1 0
−1 2 2
3 0 −1


(b) A =


4 −1 0
1 3 1
2 −3 0


3. Aπ =
−12 23 29
9 −18 −21