M6150 Funkcionálna analýza I
Lineárne priestory
Peter Šepitka
leto 2017
Obsah
1 Základné pojmy a vlastnosti
2 Normované lineárne priestory
3 Unitárne priestory
4 Hilbertove priestory
Základy Norma Súčin Hilbert
Obsah
1 Základné pojmy a vlastnosti
2 Normované lineárne priestory
3 Unitárne priestory
4 Hilbertove priestory
Základy Norma Súčin Hilbert
Lineárna závislosť a algebraická báza
V nasledujúcom výklade budeme pracovať s lineárnymi (alebo tiež vektorovými)
priestormi nad telesom reálnych čísiel R. Prvky daného lineárneho priestoru
budeme často nazývať vektormi a reálne čísla skalármi.
Definícia 1 (Lineárna závislosť vektorov)
Nech X je lineárny priestor a x1, . . . , xm ∈ X, m ∈ N, sú nejaké jeho prvky.
Hovoríme, že vektory x1, . . . , xm sú lineárne závislé, ak existujú nenulová m-tica
skalárov (λ1, . . . , λm) ∈ Rm
s vlastnosťou
λ1 x1 + · · · + λm xm = 0.
V opačom prípade sa vektory x1, . . . , xm nazývajú lineárne nezávislé. Všeobecne,
množina A ⊆ X sa označuje ako lineárne nezávislá, ak každý konečný systém
vektorov z A je lineárne nezávislý.
Definícia 2 (Algebraická báza lineárneho priestoru)
Nech X je lineárny priestor. Množina A ⊆ X sa nazýva algebraická alebo tiež
Hamelova báza priestoru X, ak A je lineárne nezávislá a jej lineárny obal splýva
s X, t.j., platí Lin A := {konečné lineárne kombinácie prvkov z A} = X.
Základy Norma Súčin Hilbert
Poznámka 1
V každom lineárnom priestore existuje algebraická báza. Obzvlášť, ak A je nejaká
Hamelova báza lineárneho priestoru X, potom každý vektor x ∈ X sa
dá jediným spôsobom vyjadriť v tvare konečnej lineárnej kombinácie niektorých
prvkov množiny A. Každé dve Hamelove bázy priestoru X majú rovnakú mohutnosť,
ktorá sa nazýva (algebraická) dimenzia (rozmer) priestoru X a označuje
sa dim X. Platí, že dva lineárne priestory sú (algebraicky) izomorfné, ak majú
rovnakú (algebraickú) dimenziu. Špeciálne, každý konečnorozmerný priestor s
dim X = n ∈ N je izomorfný s lineárnym priestorom Rn
.
Definícia 3 (Faktorový priestor a kodimenzia lineárneho podpriestoru)
Nech X je lineárny priestor a A ⊆ X jeho lineárny podpriestor. Definujme,
že dva prvky x, y ∈ X sú v relácii, ak x − y ∈ A. Je zrejmé, že sa jedná o
reláciu ekvivalencie na množine X, pričom skutočnosť, že prvky x, y ∈ X sú v
danej relácii, budeme zapisovať výrazom x ≡ y (mod A). Príslušnú množinu tried
rozkladu budeme označovať X/A a nazývať faktorový priestor priestoru X podľa
modulu A. Nie je ťažké overiť, že množina X/A vytvára lineárny priestor nad R.
Jeho algebraická dimenzia sa štandardne označuje ako kodimenzia podpriestoru A
v priestore X. Obzvlášť, ak dim X = n a dim A = m, potom zrejme kodimenzia
podpriestoru A je rovná n − m.
Základy Norma Súčin Hilbert
Veta 1
Nech X je lineárny priestor a A ⊆ X jeho lineárny podpriestor konečnej kodimenzie
m ∈ N. Potom existujú prvky x1, . . . , xm ∈ X s vlastnosťou, že každý
vektor x ∈ X sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare
x = λ1 x1 + · · · + λm xm + y, (1)
kde λ1, . . . , λm sú skaláry a vektor y ∈ A.
Dôkaz Vety 1.
Nech {A1, . . . , Am} ⊆ X/A je algebraická báza faktorového priestoru X/A.
Zvoľme nejaké reprezentanty tried Ai, i ∈ {1, . . . , m}, t.j.,
nech xi ∈ X sú také, že Ai = [xi], pre každé i ∈ {1, . . . , m}. (2)
Nech x ∈ X je ľubovoľný prvok a [x] ∈ X/A je trieda rozkadu X/A, ktorá ho
obsahuje. Potom zrejme existuje jediná m-tica skalárov (λ1, . . . , λm) taká, že
[x] = λ1 A1 + · · · + λm Am
(2)
= λ1 [x1] + · · · + λm [xm] = [λ1 x1 + · · · + λm xm].
To znamená, že vektory x a λ1 x1 + · · · + λm xm patria do rovnakej triedy
rozkladu X/A. Podľa Definície 3 preto existuje (jediný) vektor y ∈ A tak, že
platí rovnosť v (1). Dôkaz je hotový.
Základy Norma Súčin Hilbert
Obsah
1 Základné pojmy a vlastnosti
2 Normované lineárne priestory
3 Unitárne priestory
4 Hilbertove priestory
Základy Norma Súčin Hilbert
Norma na lineárnom priestore
Definícia 4 (Normovaný lineárny priestor)
Nech X je lineárny priestor nad R a · : X → [0, ∞) zobrazenie, ktoré pre
každú dvojicu prvkov x, y ∈ X a každý skalár λ ∈ R spĺňa podmienky
N1 x = 0 práve vtedy, keď x = 0,
N2 λ x = |λ| x ,
N3 x + y ≤ x + y .
Zobrazenie · sa nazýva norma na priestore X a dvojicu (X, · ) označujeme
ako normovaný lineárny priestor nad R.
Poznámka 2
Ľahko sa overí, že pre každý normovaný priestor X s normou · je zobrazenie
ρ(x, y) := x − y , x, y ∈ X, (3)
metrikou na množine X, a tak dvojica (X, ρ) je metrický priestor. Toto pozorovanie
preto umožňuje preniesť a aplikovať na normovaný lineárny priestor X
všetky pojmy a výsledky z teórie metrických priestorov.
Základy Norma Súčin Hilbert
Poznámka 3 (Ohraničenosť podmnožín normovaného lineárneho priestoru)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · . Podmnožinu A ⊆ X
budeme považovať za ohraničenú v normovanom priestore X, ak existuje taká
nezáporná reálna konštanta K, že x ≤ K pre každé x ∈ A. Je nutné zdôrazniť,
že takto chápaný pojem ohraničenosti korešponduje s pojmom ohraničenosti
zavedeným v kontexte metrických priestorov. Konkrétne, množina A ⊆ X je
ohraničená v normovanom priestore X práve vtedy, keď je ohraničená v metrickom
priestore (X, ρ) s metrikou ρ predstavenou v Poznámke 2. Skutočne, ak
existuje K ≥ 0 také, že x ≤ K pre každý vektor x ∈ A, potom
ρ(x, y) = x − y ≤ x + y ≤ 2K pre každé x, y ∈ A,
a tak priemer d(A) ≤ 2K. Naopak, ak množina A má (v metrickom priestore
(X, ρ)) konečný priemer d(A) a zvolíme nejaký prvok x0 ∈ A, potom
x = x − x0 + x0 ≤ x − x0 + x0 = ρ(x, x0) + x0 ≤ d(A) + x0
pre každý vektor x ∈ A. Množina A je teda ohraničená i v normovanom priestore
X, kde napríklad môžeme položiť K := d(A) + x0 .
Definícia 5 (Banachov priestor)
Normovaný lineárny priestor X nad R, ktorý je úplný vzhľadom na metriku v (3)
indukovanú danou normou na X, sa označuje ako (reálny) Banachov priestor.
Základy Norma Súčin Hilbert
Príklad 1
Pre dané n ∈ N položme X := Rn
a nech p ∈ [1, ∞). Potom zobrazenia
x p :=
n
k=1
|xk|p
1/p
, x ∞ := max
1≤k≤n
|xk|, (4)
kde x := (x1, . . . , xn) ∈ Rn
, sú normy na lineárnom priestore X, ktoré v kontexte
Poznámky 2 indukujú metriky ρp a ρ∞. Naviac, v súlade s Definíciou 5 z teórie
metrických priestorov vyplýva, že každý z normovaných priestorov (X, · p),
(X, · ∞) je n-rozmerným Banachovým priestorom.
Príklad 2
Pre pevne zvolené p ∈ [1, ∞) je priestor postupností lp
predstavený v teórii
metrických priestorov zároveň normovaným lineárnym priestorom s normou
x :=
∞
k=1
|xk|p
1/p
, x := {xk} ∈ lp
. (5)
Podobne i priestory l∞
, c a c0 sú normované lineárne priestory s normou
Základy Norma Súčin Hilbert
Príklad 2
x := sup
k∈N
|xk|, x := {xk} ohraničená postupnosť. (6)
Každý z priestorov lp
, l∞
, c a c0 je nekonečnorozmerný Banachov priestor.
Príklad 3
Nech a, b, a < b, sú dané reálne čísla. Množina B[a, b] všetkých reálnych funkcií
ohraničených na [a, b] zrejme tvorí lineárny priestor nad R. Obzvlášť, zobrazenie
f B := sup
x∈[a,b]
|f(x)|, f ∈ B[a, b], (7)
je normou na priestore B[a, b], ako možno ľahko overiť. Špeciálne, množina
C[a, b] všetkých funkcií spojitých na [a, b] predstavuje (algebraický) lineárny podpriestor
priestoru B[a, b]. Naviac, každé zo zobrazení
f C := max
x∈[a,b]
|f(x)|, f I :=
b
a
|f(x)| dx, f ∈ C[a, b], (8)
je normou na priestore C[a, b]. Z prednášok o metrických priestorov vyplýva,
že normovaný priestor (C[a, b], · C ) je nekonečnorozmerný Banachov priestor,
kým (C[a, b], · I ) nie je Banachov priestor. Dá sa ďalej ukázať, že i samotný
priestor (B[a, b], · B) je Banachov, t.j., je úplný vzhľadom na metriku ρB.
Základy Norma Súčin Hilbert
Definícia 6 (Podpriestor normovaného lineárneho priestoru)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a A ⊆ X je podmnožina.
Budeme hovoriť, že A je podpriestor normovaného priestoru X, ak A je algebraický
lineárny podpriestor v X, ktorý je uzavretý v X vzhľadom na metriku
indukovanú normou · v Poznámke 2.
Príklad 4
V Príklade 3 sme poznamenali, že množina C[a, b] je algebraický lineárny podpriestor
priestoru B[a, b]. Vďaka úplnosti metrického priestoru (C[a, b], ρC) je
množina C[a, b] uzavretá v metrickom priestore (B[a, b], ρB), a tak C[a, b] je i
podpriestor normovaného priestoru (B[a, b], · B) v zmysle Definície 6.
Príklad 5
Je potrebné zdôrazniť, že algebraický lineárny podpriestor všeobecného normovaného
priestoru X nemusí byť uzavretý v X. Napríklad pre X := l1
je
množina A := {x ∈ l1
, x má len konečne veľa nenulových členov} evidentným
vlastným algebraickým lineárnym podpriestorom v X, ktorý však nie je uzavretý
v X, nakoľko A = l1
. Obzvlášť, A nie je podpriestor normovaného priestoru X.
Základy Norma Súčin Hilbert
Lema 1 (Rieszova)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a A ⊆ X jeho vlastný
(uzavretý) podpriestor. Potom pre každé η ∈ [0, 1) existuje vektor xη ∈ X s
xη = 1 taký, že ρ(xη, A) ≥ η, kde ρ metrika na X indukovaná normou · .
Dôkaz Lemy 1.
Uvažovaný podpriestor A je rôzny jednak od nulového priestoru, a jednak od
celého priestoru X. Množina X \ A je preto neprázdna. Zvoľme ľubovoľné
z ∈ X \ A. Z uzavretosti množiny A v X vyplýva, že vzdialenosť bodu z od A
je kladná, t.j., d := ρ(z, A) > 0. Obzvlášť, platí
d = inf{ρ(z, y), y ∈ A}, a tak ρ(z, y) ≥ d pre každé y ∈ A. (9)
Zafixujem teraz nejaké η ∈ (0, 1). Keďže d
η
> d, podľa (9) z vlastností infima
existuje ˜y ∈ A také, že 0 < d ≤ ρ(z, ˜y) <
d
η
. (10)
Položme xη := z−˜y
z−˜y
. Potom zrejme xη = 1 a pre každé y ∈ A platí
ρ(xη, y) = xη − y =
z − ˜y
z − ˜y
− y =
z − ˜y − z − ˜y y
z − ˜y
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaze Lemy 1.
=
z −
∈A
(˜y + z − ˜y y)
z − ˜y
(9),(10)
>
d
d
η
= η,
z čoho následne vyplýva, že ρ(xη, A) ≥ η. Napokon prípad η = 0 je triviálny,
nakoľko metrika ρ je nezáporná. Dôkaz je teda kompletný.
Poznámka 4
Poznamenajme, že pre každý vektor x ∈ X s normou x = 1 platí nerovnosť
ρ(x, A) ≤ 1. Vyplýva to z odhadu
ρ(x, A) = inf{ρ(x, y), y ∈ A} ≤ ρ(x, 0) = x = 1 pre každé x ∈ S(0, 1),
kde symbol S(0, 1) označuje jednotkovú sféru v normovanom priestore X, t.j.,
S(0, 1) = {x ∈ X, x = 1}. (11)
Ďalej je nutné zdôrazniť, že v Rieszovej leme 1 vo všeobecnosti (t.j., v prípade
všeobecného normovaného lineárneho priestoru X a jeho všeobecného podpriestoru
A) nemožno uvažovať hodnotu η = 1. Túto skutočnosť ilustrujeme v
nasledujúcom príklade.
Základy Norma Súčin Hilbert
Príklad 6
Uvažujme normovaný lineárny priestor (X, · ) tvaru
X := {f ∈ C[0, 1], f(0) = 0} , f := max
x∈[0,1]
|f(x)| (12)
(jedná sa teda o podpriestor normovaného priestoru (C[0, 1], ρC) predstaveného
v Príklade 4). Uvažujme jeho podmnožinu
A := f ∈ X,
1
0
f(x) dx = 0 .
Nie je ťažké ukázať, že A je vlastný podpriestor X v zmysle Definície 6, t.j., A
je lineárny priestor, ktorý je uzavretý v X vzhľadom na metriku ρ indukovanú
normou v (12). Nech funkcia g ∈ X je ľubovoľný prvok uzavretej jednotkovej
gule B[0, 1] v X, t.j., g ≤ 1. Dokážeme, že ρ(g, A) < 1. Označme
cg :=
1
0
g(x) dx. (13)
Pre konštantu cg ľahko odvodíme odhad
|cg| =
1
0
g(x) dx ≤
1
0
|g(x)| dx
(12)
≤
1
0
g dx ≤
1
0
1 dx = 1,
Základy Norma Súčin Hilbert
Príklad 6
pričom vďaka podmienke g(0) = 0 platí ostrá nerovnosť |cg| < 1. Definujme
f(x) :=



g(x) −
2cg
1+|cg|
· x
1−|cg|
, x ∈ [0, 1 − |cg|],
g(x) −
2cg
1+|cg|
, x ∈ [1 − |cg|, 1].
(14)
Funkcia f v (14) je prvkom množiny A, ako sa možno ľahko presvedčiť výpočtom
integrálu
1
0
f(x) dx a pomocou (13). Naviac, pre každé x ∈ [0, 1] platí
|g(x) − f(x)|
(14)
=



2|cg|
1+|cg|
· x
1−|cg|
, x ∈ [0, 1 − |cg|],
2|cg|
1+|cg|
, x ∈ [1 − |cg|, 1].



≤
2|cg|
1 + |cg|
< 1,
a tak ρ(g, f) = maxx∈[0,1] |g(x) − f(x)| < 1. To však potom znamená, že
ρ(g, A) = inf{ρ(g, h), h ∈ A} ≤ ρ(g, f) < 1.
Výsledok Rieszovej lemy 1 preto v tomto prípade nemožno rozšíriť i pre hodnotu
η = 1, napriek tomu, že sú splnené všetky jej predpoklady.
Základy Norma Súčin Hilbert
Veta 2
Nech (X, · ) je normovaný lineárny priestor. Potom · je spojité zobrazenie
priestoru X do euklidovského priestoru E.
Dôkaz Vety 2.
Pri dôkaze využijeme ekvivalentné vyjadrenie trojuholníkovej nerovnosti N3 v
Definícii 4. Konkrétne, každá norma · spĺňa nerovnosť
x − y ≤ x − y pre každé x, y ∈ X. (15)
Skutočne, pre ľubovoľné vektory x, y ∈ X platí
x = (x − y) + y ≤ x − y + y ⇒ x − y ≤ x − y ,
y = (y − x) + x ≤ y − x + y ⇒ y − x ≤ x − y ,
z čoho ihneď vyplýva nerovnosť (15). Nech teraz x ∈ X je ľubovoľný vektor a
{xk}∞
k=1 ⊆ X nejaká postupnosť, ktorá má v danej norme limitu x, t.j., platí
limk→∞ xk − x = 0. Z (15) potom dostávame, že limk→∞ xk = x , čo
dokazuje spojitosť zobrazenia · v bode x. A keďže prvok x ∈ X bol vybraný
ľubovoľne, platí tento výsledok na celom priestore X. Dôkaz je hotový.
Základy Norma Súčin Hilbert
Definícia 7 (Ekvivalencia noriem)
Nech X je lineárny priestor a · 1, · 2 jeho dve normy. Povieme, že normy
· 1, · 2 sú ekvivalentné, ak pre každú postupnosť {xk}∞
k=1 prvkov v X a
každý bod x ∈ X platí relácia
lim
k→∞
xk = x v norme · 1 ⇐⇒ lim
k→∞
xk = x v norme · 2. (16)
Veta 3
Nech X je lineárny priestor a · 1, · 2 jeho dve normy. Potom tieto normy sú
ekvivalentné práve vtedy, keď existujú kladné reálne čísla m a M s vlastnosťou
m x 1 ≤ x 2 ≤ M x 1 pre každý vektor x ∈ X. (17)
Dôkaz Vety 3.
Označme ρ1, ρ2 metriky indukované normami · 1, · 2 podľa Poznámky 2.
Predpokladajme, že normy · 1, · 2 sú ekvivalentné a nech {xk}∞
k=1 ⊆ X
je postupnosť spĺňajúca limk→∞ xk = 0 v norme · 1. V súlade s (16) potom
limk→∞ xk = 0 i v norme · 2, čo znamená, že identické zobrazenie z metrického
priestoru (X, ρ1) do metrického priestoru (X, ρ2) je spojité v bode x = 0. Teda
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 3 (pokračovanie).
pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre každé x ∈ X s x 1 < δ je x 2 < ε. (18)
Položme v (18) ε = 1. To znamená, že existuje δ > 0 s vlastnosťou, že pre
každé x ∈ X spĺňajúce x 1 < δ platí x 2 < 1. Nech x je ľubovoľný nenulový
vektor a označme ˜x := δ
2 x 1
x. Zrejme ˜x ∈ X a pre normu ˜x 1 máme
˜x 1 =
δ
2 x 1
x
1
=
|δ|
2 x 1
x 1 =
δ
2
< δ.
V zhode s vyššie uvedeným potom ˜x 2 < 1, čo následne dáva
1 > ˜x 2 =
δ
2 x 1
x
2
=
|δ|
2 x 1
x 2 =
δ
2
x 2
x 1
, a tak x 2 <
2
δ
x 1.
Tým sme dokázali druhú nerovnosť v (17) s voľbou M := 2
δ
> 0. Analogicky sa
dokáže i platnosť prvej nerovnosti v (17) (v predchádzajúcich úvahách zameníme
úlohu noriem · 1, · 2). Naopak, ak normy · 1, · 2 spĺňajú (17) pre nejaké
m, M > 0, potom pre každú postupnosť {xk}∞
k=1 ⊆ X a bod x ∈ X máme
m xk − x 1 ≤ xk − x 2 ≤ M xk − x 1 pre každý index k ∈ N.
Tieto nerovnosti ihneď implikujú ekvivalenciu noriem · 1, · 2 v súlade s
Definíciou 7. Dôkaz je preto kompletný.
Základy Norma Súčin Hilbert
Poznámka 5
Poznamenajme, že normy · 1, · 2 na X spĺňajúce reláciu (17) sú skutočne
v ekvivalentnom vzťahu, nakoľko nie je ťažké overiť, že platí
1
M
x 2 ≤ x 1 ≤
1
m
x 2 pre každý vektor x ∈ X. (19)
Príklad 7
Pre dané n ∈ N nech X := Rn
. Potom normy · 1 a · 2 na X predstavené
v Príklade 1 pre p = 1 a p = 2 sú podľa Vety 3 ekvivalentné. Skutočne, ak
x 1
(4)
=
n
k=1
|xk|, x 2
(4)
=
n
k=1
|xk|2, x = (x1, . . . , xn) ∈ X, (20)
potom platia nerovnosti
1
√
n
x 1 ≤ x 2 ≤ x 1 pre každý vektor x ∈ X. (21)
Prvá nerovnosť v (21) je dôsledkom klasickej nerovnosti medzi aritmetickým a
kvadratickým priemerom reálnych čísiel |x1|, . . . , |xn|, kým druhá nerovnosť v
(21) vyplýva triviálne z vyjadrení daných noriem v (20).
Základy Norma Súčin Hilbert
Príklad 8
Nech X je lineárny priestor tvaru
X := f ∈ C1
[0, π], f(0) = 0 = f(π) , (22)
t.j., priestor všetkých reálnych funkcií so spojitou deriváciou na intervale [0, π] a
nulovými hodnotami v krajných bodoch. Uvažujme na X dvojicu noriem
f 1 := max
x∈[0,π]
|f(x)|, f 2 := max
x∈[0,π]
|f(x)| + max
x∈[0,π]
|f′
(x)|, f ∈ X. (23)
Jedná sa o neekvivalentné normy. Totiž, pre postupnosť funkcií {fk}∞
k=1 ⊆ X s
predpismi fk(x) := sin k2
x
k
, k ∈ N, platí
fk 1
(23)
= max
x∈[0,π]
sin k2x
k
=
1
k
,
fk 2
(23)
= max
x∈[0,π]
sin k2x
k
+ max
x∈[0,π]
|k cos k2
x| =
1
k
+ k
pre každé k ∈ N. V prvej norme teda postupnosť {fk} konverguje k funkcii
identicky nulovej na [0, π], kým vzhľadom na druhú normu je táto postupnosť s
ohľadom na Poznámku 3 neohraničená, a teda nemá limitu v priestore X.
Základy Norma Súčin Hilbert
Príklad 8
Uvažujme teraz na priestore X nasledujúcu dvojicu noriem
f 1 :=
π
0
|f′
(x)|2
dx
1/2
,
f 2 :=
π
0
|f′
(x)|2
dx
1/2
+
π
0
|f(x)|2
dx
1/2
,



f ∈ X. (24)
Nie je ťažké overiť, že sa skutočne jedná o normy na priestore X v zmysle
Definície 4. V tomto prípade sú normy · 1, · 2 ekvivalentné. Z (24) triviálne
vyplýva, že f 1 ≤ f 2 pre každú funkciu f ∈ X. Na druhej strane, pomocou
teórie lineárnych diferenciálnych rovníc druhého rádu sa dá dokázať nerovnosť
π
0
|f′
(x)|2
− |f(x)|2
dx ≥ 0 pre každé f ∈ X (25)
(konkrétne sa jedná o dôsledok tzv. diskonjugovanosti rovnice y′′
+ y = 0 na
intervale (0, π)). Využitím výsledku (25) a formúl v (24) potom ihneď dostávame
nerovnosť f 2 ≤ 2 f 1 pre každú funkciu f ∈ X, ako sa možno ľahko
presvedčiť. Celkovo teda máme odhady
f 1 ≤ f 2 ≤ 2 f 1 pre všetky f ∈ X,
ktoré podľa Vety 3 zaručujú ekvivalenciu noriem · 1, · 2 v (24).
Základy Norma Súčin Hilbert
Definícia 8 (Izometria normovaných lineárnych priestorov)
Nech X a Y sú dva normované lineárne priestory s normami · X a · Y . Hovoríme,
že priestory (X, · X ) a (Y, · Y ) sú izometrické (lineárne izometrické,
izometricky izomorfné), ak existuje bijektívne lineárne zobrazenie F : X → Y
zachovávajúce normy, t.j., platí F(x) Y = x X pre každý vektor x ∈ X.
Definícia 9 (Homeomorfizmus normovaných lineárnych priestorov)
Nech X a Y sú dva normované lineárne priestory s normami · X a · Y .
Hovoríme, že priestory (X, · X ) a (Y, · Y ) sú homeomorfé (lineárne homeomorfné),
ak existuje bijektívne lineárne zobrazenie F : X → Y a kladné reálne
konštanty m, M s vlastnosťou m x X ≤ F(x) Y ≤ M x X pre každé x ∈ X.
Poznámka 6
Existencia lineárneho homeomorfizmu medzi dvomi normovanými lineárnymi
priestormi zaručuje, že dané priestory sú tak z algebraického hľadiska ako aj
z hľadiska funkcionálnej analýzy „identické”. Obzvlášť to umožňuje medzi týmito
priestormi prenášať pojem otvorenosti, uzavretosti, úplnosti a kompaktnosti.
Poznamenajme, že izometria normovaných priestorov je zrejme špeciálnym prípadom
lineárneho homeomorfizmu s m = 1 = M, ako vidno z Definícií 8 a 9.
Základy Norma Súčin Hilbert
Nekonečné rady v Banachových priestoroch
Definícia 10 (Konvergencia nekonečného radu)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a {xk}∞
k=1 ⊆ X je postupnosť.
Definujme
yn :=
n
k=1
xk, n ∈ N. (26)
Hovoríme, že nekonečný rad ∞
k=1 xk konverguje, resp. je konvergentný, v
priestore X, ak postupnosť {yn}∞
n=1 má v X limitu vzhľadom na · , t.j.,
limn→∞ yn = x pre isté x ∈ X. V tomto prípade kladieme ∞
k=1 xk = x.
Veta 4
Nech (X, · ) je Banachov priestor a {xk}∞
k=1 ⊆ X postupnosť s vlastnosťou
číselný rad
∞
k=1
xk konverguje v R. (27)
Potom nekonečný rad ∞
k=1 xk konverguje v X.
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 4.
V súlade s Definíciami 5 a 10 stačí ukázať, že postupnosť {yn}∞
n=1 v (26) je
cauchyovská v X. Zvoľme ε > 0. Predpoklad (27) na základe Cauchyho–
Bolzanovho kritéria konvergencie číselného radu potom zaručuje existenciu indexu
nε ∈ N s vlastnosťou, že
pre každé dva indexy m, n ≥ nε, n > m, platí xm+1 + · · · + xn < ε. (28)
Využitím trojuholníkovej nerovnosti následne dostávame
yn − ym
(27)
= xm+1 + · · · + xn ≤ xm+1 + · · · + xn =
(28)
< ε
pre každé m, n ≥ nε, n > m, čo dokazuje cauchyovskosť, a teda i konvergenciu
postupnosti {yn}∞
n=1 v X. Dôkaz je hotový.
Poznámka 7
Tvrdenie Vety 4 je zovšeobecnením klasického výsledku o absolútnej konvergencii
číselných radov v R, resp. v C. Konkrétne, ukazuje, že v ľubovoľnom Banachovom
priestore je každý absolútne konvergentný nekonečný rad, t.j., spĺňajúci
podmienku (27), zároveň i konvergentný (v zmysle Definície 10).
Základy Norma Súčin Hilbert
Normované priestory konečnej dimenzie
Poznámka 8
Klasickým výsledkom funkcionálnej analýzy je pozorovanie, že každý reálny normovaný
lineárny priestor X konečnej dimenzie n ∈ N je lineárne izometrický s
priestorom Rn
, na ktorom je zavedená vhodná norma. Konkrétne, nech · je
norma na X a {x1, . . . , xn} ⊆ X nejaká (algebraická) báza lineárneho priestoru
X. Potom zobrazenie F : X → Rn
dané
F (x) := (λ1, . . . , λn) ∈ Rn
, x = λ1 x1 + · · · + λn xn ∈ X, (29)
je zrejme izomorfizmus lineárnych priestorov X a Rn
. Naviac, zobrazenie · ∗ :
Rn
→ [0, ∞) definované pre každú n-ticu (λ1, . . . , λn) ∈ Rn
predpisom
(λ1, . . . , λn) ∗ := x , x = λ1 x1 + · · · + λn xn ∈ X, (30)
je norma na priestore Rn
, ako možno ľahko overiť podľa Definície 4. A keďže
podľa (29) a (30) platí F(x) ∗ = x pre každé x ∈ X, normované priestory
(X, · ) a (Rn
, · ∗) sú v súlade s Definíciou 8 izometrické. Vo svetle
Poznámky 6 sa teda pri skúmaní normovaných priestorov s dimenziou n stačí
sústrediť na priestor Rn
. Všetky získané výsledky tak budú platné pre každý
konečnorozmerný normovaný priestor nad telesom R.
Základy Norma Súčin Hilbert
Veta 5
Pre dané n ∈ N sú každé dve normy na priestore Rn
ekvivalentné.
Dôkaz Vety 5.
Uvažujme tzv. kanonickú bázu {e1, . . . , en} priestoru Rn
, t.j.,
ek := (0, . . . , 1, . . . , 0), kde 1 je na k-tej pozícii pre každé k ∈ {1, . . . , n}. (31)
Potom každý vektor x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
sa dá zrejme vyjadriť v tvare
x = x1 e1 + · · · + xn en. (32)
Nech · je ľubovoľná, ale pevne zvolená norma na priestore Rn
. Dokážeme,
že je ekvivalentná so súčtovou normou
x 1 =
n
k=1
|xk| (33)
predstavenou v Príklade 1 pre p = 1. Položme M := max1≤k≤n ek . Potom
x
(32)
=
n
k=1
xk ek ≤
n
k=1
|xk| ek ≤ M
n
k=1
|xk|
(33)
= M x 1, x ∈ Rn
. (34)
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 5 (pokračovanie).
Z Príkladu 7 ďalej vieme, že daná súčtová norma je ekvivalentná s euklidovskou
normou, a tak normované priestory (Rn
, · 1) a En
sú podľa Vety 3 a Definície 9
lineárne homeomorfné prostredníctvom identického zobrazenia F. Každá podmnožina
v Rn
, ktorá je ohraničená a uzavretá vzhľadom na súčtovú normu,
je teda v tejto norme i kompaktná. Obzvlášť, jednotková sféra S(0, 1) v Rn
vzhľadom na normu · 1, zavedená v (11), je kompaktná v tejto norme, nakoľko
je vzhľadom na ňu očividne ohraničená a uzavretá v Rn
. Uvažujme funkciu
f : Rn
→ R s predpisom f(x) := x pre každý vektor x ∈ Rn
. V súlade s
Vetou 2 a s ohľadom na nerovnosť (34) je f spojité zobrazenie na Rn
vzhľadom
na normu · 1. Podľa Weierstrassovej vety je potom f ohraničená na S(0, 1),
pričom svoje odpovedajúce globálne extrémy na S(0, 1) i nadobúda. Konkrétne,
ak m := minx∈S(0,1) f(x), potom existuje vektor y ∈ S(0, 1) taký, že m =
f(y) = y . Zrejme m ≥ 0. Ak by m = 0, potom nutne vektor y = 0, a tak
i y 1 = 0, čo však odporuje relácii y ∈ S(0, 1). Preto konštanta m je kladná.
Nech teraz x ∈ Rn
\ {(0, . . . , 0)} je ľubovoľné. Potom vektor ˜x := x
x 1
je
prvkom jednotkovej sféry S(0, 1), a následne platí
m ≤ f(˜x) =
x
x 1
=
x
x 1
, a teda m x 1 ≤ x . (35)
Kombináciou výsledkov v (34) a (35) vo svetle Vety 2 napokon dostávame ekvivalenciu
noriem · a · 1. A keďže norma · bola zvolená ľubovoľne,
môžeme uzavrieť, že každé dve normy na Rn
sú vzájomne ekvivalentné.
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôsledok 1
Pre dané n ∈ N uvažujme normovaný lineárny priestor Rn
s normou · a nech
{x1, . . . , xn} ⊆ Rn
je nejaká jeho (algebraická) báza. Potom v priestore Rn
konvergencia v norme · splýva so súradnicovou konvergenciou vzhľadom na
bázu {x1, . . . , xn}. Presnejšie, ak {x[k]
}∞
k=1 ⊆ Rn
je postupnosť a x ∈ Rn
a
x[k]
= λ
[k]
1 x1 + · · · + λ
[k]
n xn, λ
[k]
1 , . . . , λ
[k]
n ∈ Rn
pre každé k ∈ N, (36)
x = λ1 x1 + · · · + λn xn, (λ1, . . . , λn) ∈ Rn
, (37)
potom limk→∞ x[k]
= x v norme · práve vtedy, keď limk→∞ λ
[k]
i = λi pre
každé i ∈ {1, . . . , n}.
Dôkaz Dôsledku 1.
Ľahko sa ukáže, že pre každú zvolenú bázu {x1, . . . , xn} priestoru Rn
je funkcia
x ∗ :=
n
i=1
|λi|, x = λ1 x1 + · · · + λn xn ∈ Rn
, (38)
normou na Rn
. Obzvlášť, je očividné, že konvergencia v tejto norme je ekvivalentná
so súradnicovou konvergenciou vzhľadom na bázu {x1, . . . , xn}. A keďže
podľa Vety 5 sú normy · a · ∗ ekvivalentné, platí výsledok v dôsledku.
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôsledok 2
Pre dané n ∈ N je každý normovaný lineárny priestor (Rn
, · ) úplný, t.j.,
Banachov priestor. Okrem toho každá podmnožina v Rn
, ktorá je ohraničená a
uzavretá vzhľadom na normu · , je v tejto norme i kompaktná.
Veta 6
Každý reálny normovaný lineárny priestor konečnej dimenzie je Banachov priestor
a konvergencia v ľubovoľnej norme je ekvivalentná so súradnicovou konvergenciou
vzhľadom na akúkoľvek (algebraickú) bázu priestoru.
Veta 7
Nech X je reálny normovaný lineárny priestor s normou · . Nasledujúce tvrdenia
sú ekvivalentné.
(i) Priestor X má konečnú dimenziu.
(ii) Každá množina A ⊆ X, ktorá je ohraničená a uzavretá vzhľadom na normu
· , je v tejto norme i kompaktná.
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 7.
Smer (i) ⇒ (ii) vyplýva z Poznámky 8 a Dôsledku 2. Nech platí výrok (ii),
t.j., každá ohraničená a uzavretá podmnožina v X je kompaktná. Obzvlášť,
jednotková sféra S(0, 1) v (11) je teda množina kompaktná v priestore X. Predpokladajme
sporom, že priestor X nemá konečnú dimenziu. Zvoľme ľubovoľný
vektor x1 ∈ S(0, 1). Potom množina A1 := Lin {x1} je zrejme vlastný algebraický
podpriestor lineárneho priestoru X s dimenziou 1. V súlade s Vetou 6 je
A1 úplný normovaný priestor. Množina A1 je preto uzavretá v X vzhľadom na
normu · , čo následne podľa Definície 6 znamená, že A1 je vlastný podpriestor
normovaného priestoru X. Z Rieszovej lemy 1 pre η := 1
2
potom vyplýva, že
existuje vektor x2 ∈ S(0, 1) taký, že
ρ(x2, A1) ≥
1
2
, a tak i x2 − x1 ≥
1
2
.
Vektory x1 a x2 sú zrejme lineárne nezávislé. Položme A2 := Lin {x1, x2}.
Využijúc analogické argumenty ako vyššie platí, že A2 je vlastný podpriestor
normovaného priestoru X s dimenziou 2. Podľa Rieszovej lemy 1 pre η := 1
2
teda existuje prvok x3 ∈ S(0, 1) s vlastnosťou
ρ(x3, A2) ≥
1
2
, a tak i x3 − x1 ≥
1
2
a x3 − x2 ≥
1
2
.
Podobne, množina A3 := Lin {x1, x2, x3} je vlastný podpriestor normovaného
priestoru X s dimenziou 3, pričom existuje vektor x4 ∈ S(0, 1) spĺňajúci
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 7 (pokračovanie).
ρ(x4, A3) ≥
1
2
, a tak i x4 − x1 ≥
1
2
, x4 − x2 ≥
1
2
, a x4 − x3 ≥
1
2
.
Nakoľko priestor X je podľa predpokladu nekonečnorozmerný, môžeme v tomto
procese pokračovať ďalej. Získame tak postupnosť {xk}∞
k=1 ⊆ S(0, 1) s vlastnosťou
xk − xl ≥ 1
2
pre každé dva rôzne indexy k, l ∈ N. Daná postupnosť
teda nemá žiadny hromadný bod, čo je však v rozpore s kompaktnosťou množiny
S(0, 1). Preto priestor X musí mať konečnú dimenziu, t.j., platí tvrdenie (i).
Poznámka 9
Všimnime si, že v predloženom dôkaze sme vlastne ukázali ekvivalenciu
priestor X má konečnú dimenziu práve vtedy, keď jednotková sféra je kompaktná.
Ďalej poznamenajme, že ďalšie významné kritérium týkajúce sa dimenzie normovaného
priestoru je nasledujúce. Nech (X, · ) je normovaný lineárny priestor.
Potom X má konečnú dimenziu práve vtedy, keď každá norma · ∗ na X je ekvivalentná
s · . Implikácia „⇒” je vo svetle Poznámky 8 obsahom Vety 5. Dôkaz
opačnej implikácie je založený na pozorovaní, že v každom nekonečnerozmernom
normovanom priestore X vieme k danej zvolenej norme · vždy zostrojiť novú
normu · ∗ na X, ktorá nie je ekvivalentná s · .
Základy Norma Súčin Hilbert
Obsah
1 Základné pojmy a vlastnosti
2 Normované lineárne priestory
3 Unitárne priestory
4 Hilbertove priestory
Základy Norma Súčin Hilbert
Pojem skalárneho súčinu na lineárnom priestore
Definícia 11 (Unitárny priestor)
Nech X je lineárny priestor na R a ·, · : X×X → R zobrazenie, ktoré pre každú
trojicu prvkov x, y, z ∈ X a každú dvojicu skalárov α, β ∈ R spĺňa podmienky
P1 x, x ≥ 0 a x, x = 0 práve vtedy, keď x = 0,
P2 x, y = y, x ,
P3 α x + β y, z = α x, z + β y, z .
Zobrazenie ·, · sa nazýva skalárny súčin na X a dvojicu (X, ·, · ) označujeme
ako lineárny priestor so skalárnym súčinom, resp. unitárny priestor nad R.
Poznámka 10
V prípade lineárneho priestoru X nad telesom komplexných čísiel C je skalárny
súčin ·, · na X zobrazenie s hodnotami v C, pričom číslo x, x je pre každý vektor
x ∈ X reálne. Komplexný skalárny súčin je definovaný pomocou rovnakých
axióm ako v Definícii 11, až na P2, ktorá je nahradená podmienkou
P2* x, y = y, x pre každé x, y ∈ X.
Základy Norma Súčin Hilbert
Poznámka 11
Poznamenajme, že z axióm P2 a P3 reálneho skalárneho súčinu v Definícii 11
vyplýva jeho linearita i vzhľadom na druhú zložku, t.j., platí
x, α y + β z = α x, y + β x, z pre každé x, y, z ∈ X a α, β ∈ R, (39)
ako možno ľahko overiť. Naviac, z (39) s α = β = 0 vyplýva x, 0 = 0. Naproti
tomu, komplexný skalárny súčin je antilineárny v druhej zložke, konkrétne
x, α y + β z = α x, y + β x, z pre každé x, y, z ∈ X a α, β ∈ C. (40)
Zdôraznime, že počas celej prednášky sa budeme zaoberať výhradne iba reálnym
skalárnym súčinom.
Príklad 9
Pre dané n ∈ N nech X := Rn
. Potom zobrazenie
x, y :=
n
k=1
xk yk, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn
, (41)
je (reálny) skalárny súčin na lineárnom priestore X, ako sa môžeme ľahko
presvedčiť. Dvojica (X, ·, · ) je teda n-rozmerný (reálny) unitárny priestor.
Základy Norma Súčin Hilbert
Príklad 10
Klasickým príkladom (reálneho) unitárneho priestoru s nekonečnou dimenziou je
priestor l2
, na ktorom je skalárny súčin definovaný predpisom
x, y :=
∞
k=1
xk yk, x = {xk}∞
k=1, y = {yk}∞
k=1 ∈ l2
. (42)
Poznamenajme, že konvergencia nekonečného radu v (42) je zaručená na základe
Hölderovej (resp. Cauchyho) nerovnosti
n
k=1
|xk yk| ≤
n
k=1
|xk|2
1/2 n
k=1
|yk|2
1/2
, (43)
platiacej pre každé n ∈ N. Limitovaním nerovnosti (43) pre n → ∞ a využitím
konvergencie nekonečných radov |xk|2
a |yk|2
dostávame absolútnu konvergenciu,
a následne i konvergenciu radu v (42) pre každú dvojicu x, y ∈ l2
.
Veta 8 (Cauchyho–Schwarzova–Buňakovského nerovnosť)
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · . Potom platí nerovnosť
| x, y | ≤ x, x y, y pre každú dvojicu vektorov x, y ∈ X. (44)
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 8.
Nech x, y sú ľubovoľné vektory v X. Zrejme pre každé t ∈ R je vektor tx + y
prvkom priestoru X a podľa axiómy P1 v Definícii 11 platí
tx + y, tx + y ≥ 0 (45)
Roznásobením súčinu v (45) v súlade s P2 a P3 v Definícii 11 a (39) dostávame
0 ≤ tx + y, tx + y = t2
x, x + 2t x, y + y, y . (46)
Podľa (46) teda reálna kvadratická funkcia f(t) := t2
x, x + 2t x, y + y, y
nadobúda na R iba nezáporné hodnoty. To znamená, že jej diskriminant
D = 4 x, y 2
− 4 x, x y, y ≤ 0, (47)
z čoho ihneď vyplýva Cauchyho–Schwarzova–Buňakovského nerovnosť (44).
Poznámka 12
Využitím nerovnosti (44) je možné pomerne ľahko ukázať, že pre každý unitárny
priestor X so skalárnym súčinom ·, · je zobrazenie
x := x, x , x ∈ X, (48)
normou na lineárnom priestore X. Kým platnosť prvých dvoch axióm v Definícii 4
Základy Norma Súčin Hilbert
Poznámka 12
je pre · v (48) zrejmá, trojuholníková nerovnosť N3 vyplýva z výpočtu
x + y 2 (48)
= x + y, x + y = x, x + 2 x, y + y, y
(48)
= x 2
+ 2 x, y + y 2
(44),(48)
≤ x 2
+ 2 x · y + y 2
= ( x + y )2
pre každé x, y ∈ X.
Každý unitárny priestor X je teda zároveň i normovaný lineárny priestor s normou
· v (48), ktorá je indukovaná príslušným skalárnym súčinom ·, · . Poznamenajme,
že v tomto prípade sa daný skalárny súčin dá reprezentovať v tvare
x, y =
1
4
x + y 2
− x − y 2
, x, y ∈ X, (49)
ako sa môžeme ľahko presvedčiť aplikáciou formuly (48). Obzvlášť, indukovaná
norma · spĺňa pre každé x, y ∈ X tzv. rovnobežníkové pravidlo
x + y 2
+ x − y 2
= 2 x 2
+ y 2
. (50)
Definícia 12 (Hilbertov priestor)
Unitárny priestor X nad R, ktorý je úplný vzhľadom na normu v (48) indukovanú
daným skalárnym súčinom na X, sa nazýva (reálny) Hilbertov priestor.
Základy Norma Súčin Hilbert
Príklad 11
Je ľahko vidieť, že skalárny súčin ·, · na Rn
zavedený v Príklade 9, indukuje
v súlade s Poznámou 12 euklidovskú normu na Rn
predstavenú v Príklade 1
(pre p = 2). Obvzlášť, euklidovský priestor En
je úplný, a tak (Rn
, ·, · ) je
podľa Definície 12 n-rozmerný Hilbertov priestor. Na druhej strane, priestor l2
v
Príklade 10 je Hilbertov priestor s nekonečnou dimenziou. Odpovedajúci skalárny
súčin v (42) v tomto prípade vytvára p-normu zavedenú v Príklade 2 pre p = 2.
Poznámka 13
Pomocou normy · na lineárnom priestore X zavedenej v Poznámke 12 je
možné Cauchyho–Schwarzovu–Buňakovského nerovnosť (44) zapísať v tvare
| x, y | ≤ x · y pre každé x, y ∈ X. (51)
Veta 9
Nech (X, ·, · ) je unitárny priestor. Potom ·, · je spojité zobrazenie priestoru
X × X do euklidovského priestoru E.
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 9.
Nech {xk}, {yk} ⊆ X sú dve postupnosti konvergentné v X vzhľadom na normu
· v (48), t.j., existujú x, y ∈ X tak, že xk − x → 0 a yk − y → 0
pre k → ∞. Pomocou axióm skalárneho súčinu v Definícii 11 a Cauchyho–
Schwarzovej–Buňakovského nerovnosti (51) odvodíme
xk, yk − x, y = xk, yk − x, yk + x, yk − x, y
= xk − x, yk + x, yk − y ≤ xk − x, yk + x, yk − y
(51)
≤ xk − x yk + x yk − y → 0 pre k → ∞,
pretože postupnosť { yk } je ohraničená. Preto limk→∞ xk, yk = x, y .
Veta 10 (Jordanova–von Neumannova)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · . Potom je táto norma
vytvorená nejakým skalárnym súčinom ·, · v zmysle (48) práve vtedy, keď platí
rovnobežníkové pravidlo (50). V tomto prípade daný skalárny súčin spĺňa (49).
Základy Norma Súčin Hilbert
Definícia 13 (Izometria unitárnych priestorov)
Nech X a Y sú dva unitárne priestory so skalárnymi súčinmi ·, · X a ·, · Y . Hovoríme,
že priestory (X, ·, · X ) a (Y, ·, · Y ) sú izometrické (lineárne izometrické,
izometricky izomorfné), ak existuje bijektívne lineárne zobrazenie F : X → Y
zachovávajúce skalárne súčiny, t.j., platí F(x), F(y) Y = x, y X pre každé
dva vektory x, y ∈ X.
Poznámka 14
Na základe výsledkov predchádzajúcej sekcie o normovaných priestoroch konečnej
dimenzie a z Poznámky 11 ľahko odvodíme, že každý konečnorozmerný Hilbertov
priestor s dimenziou n, n ∈ N, je izometricky izomorfný s euklidovským
priestorom En
, v ktorom je skalárny súčin definovaný podľa (41). Neskôr v
prednáške ukážeme, že podobná klasifikácia funguje i v prípade separabilných
Hilbertových priestorov s nekonečnou dimenziou. Konkrétne, dokážeme, že
každý nekonečnorozmerný separabilný Hilbertov priestor je izometricky izomorfný
s priestorom l2
diskutovaným v Príkladoch 10 a 11.
Základy Norma Súčin Hilbert
Ortogonalita a ortonormalita
Definícia 14 (Ortogonálne a ortonormálne systémy vektorov)
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · . Hovoríme, že vektory
x, y ∈ X sú ortogonálne, ak x, y = 0. Neprázdny systém nenulových vektorov
S ⊆ X sa označuje ako ortogonálny, ak platí x, y = 0 pre každé dva rôzne
prvky x, y ∈ S. Ak naviac x = x, x = 1 pre každé x ∈ S, systém S sa
nazýva ortonormálny.
Veta 11
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · a S ⊆ X je ľubovoľný
ortogonálny systém. Potom S je lineárne nezávislý vo vektorovom priestore X.
Dôkaz Vety 11.
Nech {x1, . . . , xm} ⊆ S, m ∈ N, je nejaká konečná podmnožina vektorov a
λ1, . . . , λm ∈ R m-tica skalárov spĺňajúca
λ1 x1 + · · · + λm xm = 0. (52)
Využitím základných vlastností skalárneho súčinu potom dostávame
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 11 (pokračovanie).
0 = xi, 0
(52)
= xi, λ1 x1 + · · · + λm xm = λ1 xi, x1 + · · · + λm xi, xm
= λi xi, xi pre každé i ∈ {1, . . . , m}, (53)
keďže v súlade s Definíciou 14 platí xi, xj = 0 pre každé dva rôzne indexy
i, j ∈ {1, . . . , m}. Nakoľko xi, xi = 0 pre každé i ∈ {1, . . . , m}, z (53)
máme rovnosť λi = 0 pre každý index i ∈ {1, . . . , m}. Podľa Definície 1 sú
teda vektory x1, . . . , xm lineárne nezávislé v X. A keďže konečná podmnožina
{x1, . . . , xm} ⊆ S je ľubovoľná, i celý systém S je lineárne nezávislý v X.
Veta 12 (Ortonormalizácia lineárne nezávislej množiny)
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · a A ⊆ X je nanajvyš
spočítateľná podmnožina lineárne nezávislá v X. Potom existuje ortonormálny
systém S ⊆ X taký, že platí Lin A = Lin S.
Dôkaz Vety 12.
Tvrdenie sa dokáže pomocou štandardného Gramovho–Schmidtovho ortogonalizačného/ortonormalizačného
procesu, a preto ho vynechávame.
Základy Norma Súčin Hilbert
Veta 13
Nech X je separabilný unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · . Potom každý
ortogonálny systém S ⊆ X je nanajvyš spočítateľný.
Dôkaz Vety 13.
Nech · je norma na X indukovaná príslušným skalárnym súčinom ·, · podľa
Poznámky 12 a nech S ⊆ X je nejaký ortogonálny systém. Bez ujmy na všeobecnosti
predpokladajme, že systém S je ortonormálny, t.j., v zhode s Definíciou 14
platí x = 1 pre každé x ∈ S. Potom pre vzdialenosť každých dvoch rôznych
prvkov x, y ∈ S máme
ρ(x, y) = x − y
(48)
= x − y, x − y = x, x − 2 x, y + y, y =
√
2. (54)
Nech ďalej N ⊆ X je spočítateľná podmnožina hustá v metrickom priestore
(X, ρ) a označme A := {B(x,
√
2
2
), x ∈ S}. Zrejme otvorené gule B(x,
√
2
2
),
x ∈ S, sú v súlade s (54) vzájomne disjunktné, pričom každá z nich obsahuje
aspoň jeden prvok množiny N. To znamená, že systém A je nutne nanajvyš
spočítateľný, a tak i ortogonálny systém S je nanajvyš spočítateľný.
Základy Norma Súčin Hilbert
Definícia 15 (Úplné a uzavreté systémy vektorov)
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · a A ⊆ X systém.
(i) Systém A nazývame úplným, ak jediný prvok x ∈ X, ktorý spĺňa y, x = 0
pre každé y ∈ A, je x = 0.
(ii) Systém A sa označuje ako uzavretý, ak platí Lin A = X, t.j., uzáver
množiny všetkých konečných lineárnych kombinácií prvkov systému A je
rovný celému priestoru X.
Definícia 16 (Ortogonálna/ortonormálna báza unitárneho priestoru)
Nech X je unitárny priestor. Každý uzavretý ortogonálny/ortonormálny systém
S ⊆ X sa nazýva ortogonálna/ortonormálna báza priestoru X.
Veta 14
Nech X je separabilný unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · . Potom v
priestore X existuje aspoň jedna ortonormálna báza.
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 14.
Nech {xk}∞
k=1 ⊆ X je podmnožina hustá v priestore X. Z tejto postupnosti
vylúčime všetky jej členy xl, l ∈ N, ktoré sa dajú vyjadriť ako lineárna kombinácia
prvkov xi s indexami i < l. Získame tak nanajvyš spočítateľnú množinu A ⊆
X, ktorá je lineárne nezávislá X a zároveň Lin A = X. Následne, v súlade s
Vetou 12, jej ortonormalizáciou dostaneme nanajvyš spočítateľný ortonormálny
systém S ⊆ X, ktorý spĺňa Lin S = X. Podľa Definícií 15 a 16 je tak množina
S ortonormálnou bázou priestoru X a dôkaz je hotový.
Príklad 12
Príkladom funkcionálneho unitárneho priestoru je množina C[−π, π] reálnych
funkcií spojitých na intervale [−π, π], na ktorej je definovaný skalárny súčin tvaru
f, g :=
π
−π
f(x) g(x) dx, f, g ∈ C[−π, π]. (55)
Ľahko vidíme, že odpovedajúca norma indukovaná týmto skalárnym súčinom
je integrálna norma · I zavedená v (8). Obzvlášť, v súlade s Príkladom 3
(C[−π, π], ·, · ) nie je Hilbertov priestor. Jedná sa však o separabilný unitárny
priestor a jednou z jeho ortonormálnych báz je tzv. trigonometrický systém
1
√
2π
,
cos nx
√
π
,
sin nx
√
π
, n ∈ N. (56)
Základy Norma Súčin Hilbert
Fourierove koeficienty a Fourierov rad
Definícia 17 (Fourierove koeficienty a Fourierov rad)
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · a S = {uk}∞
k=1 ⊆ X je
spočítateľný ortonormálny systém. Pre dané x ∈ X sa reálne čísla definované
ck := x, uk , k ∈ N, (57)
nazývajú Fourierove koeficienty prvku x vzhľadom na systém S. Nekonečný rad
∞
k=1 ck uk sa označuje ako Fourierov rad prvku x vzhľadom na systém S.
Poznámka 15
Pre daný spočítateľný ortonormálny systém S = {uk}∞
k=1 ⊆ X a dané x ∈ X
uvažujme postupnosť {sn}∞
n=1 ⊆ X čiastočných súčtov príslušného Fourierovho
radu prvku x vzhľadom na S (tzv. Fourierove polynómy prvku x), t.j.,
sn :=
n
k=1
ck uk, n ∈ N, (58)
kde ck, k ∈ N, sú Fourierove koeficienty prvku x v (57). Budeme skúmať, kedy
limn→∞ sn = x v norme · indukovanej daným skalárnym súčinom v (48).
Základy Norma Súčin Hilbert
Lema 2
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · , S = {uk}∞
k=1 ⊆ X
ortonormálny systém, x ∈ X daný vektor, {ck}∞
k=1 odpovedajúca postupnosť
jeho Fourierových koeficientov v (57) a n ∈ N pevný index. Potom pre každú
n-ticu skalárov λ1, . . . , λn ∈ R platí nerovnosť
x − sn ≤ x −
n
k=1
λk uk , (59)
kde sn je n-tý Fourierov polynóm prvku x definovaný v (58). Obzvlášť, rovnosť
v (59) nastane práve vtedy keď λk = ck pre každé k ∈ {1, . . . , n}.
Dôkaz Lemy 2.
Položme I := x − n
k=1 λk uk . Využitím Definície 17 a základných vlastností
skalárneho súčinu v Definícii 11 a Poznámke 11 postupne máme
I2
= x −
n
k=1
λk uk
2
(48)
= x −
n
k=1
λk uk, x −
n
l=1
λl ul
= x, x −
n
l=1
λl x, ul
cl
−
n
k=1
λk uk, x
ck
+
n
k,l=1
λk λl uk, ul
δkl
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Lemy 2 (pokračovanie).
(48)
= x 2
−
n
l=1
λl cl −
n
k=1
λk ck +
n
m=1
λ2
m
k=l=m
= x 2
+
n
k=1
λ2
k − 2λk ck + c2
k
|λk−ck|2
−
n
k=1
|ck|2
= x 2
−
n
k=1
|ck|2
+
n
k=1
|λk − ck|2
.
Z tejto analýzy vyplýva, že hodnota I, ako funkcia premenných λ1, . . . , λn, je
minimálna práve pre voľbu λk = ck pre každé k ∈ {1, . . . , n}. Teda dostávame
I ≥ I(c1, . . . , cn) = x −
n
k=1
ck uk
(58)
= x − sn ,
čo dokazuje platnosť nerovnosti (59). Dôkaz je hotový.
Základy Norma Súčin Hilbert
Poznámka 16
Výsledok Lemy 2 ukazuje, že spomedzi všetkých lineárnych kombinácií vektorov
{u1, . . . , un} ⊆ S aproximuje prvok x v norme · najlepšie práve čiastočný
súčet sn Fourierovho radu vektora x vzhľadom na systém S. Konkrétne, z dôkazu
Lemy 2 pre každú n-ticu skalárov λ1, . . . , λn ∈ R vyplýva formula
x −
n
k=1
λk uk
2
chyba aproximácie
= x 2
−
n
k=1
|ck|2
+
n
k=1
|λk − ck|2
. (60)
Dôsledok 3 (Besselova nerovnosť)
S označením a predpokladmi Lemy 2 platí pre každé x ∈ X a n ∈ N identita
x 2
=
n
k=1
|ck|2
+ x − sn
2
. (61)
Obzvlášť, platí tzv. Besselova nerovnosť
n
k=1
|ck|2
≤ x 2
pre každé n ∈ N, resp.
∞
k=1
|ck|2
≤ x 2
. (62)
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Dôsledku 3.
Formula (61) ihneď vyplýva z rovnosti (60) pre λk := ck, k ∈ {0, . . . , n}. Keďže
x − sn
2
≥ 0 pre každé n ∈ N, z (61) máme n
k=1 |ck|2
≤ x 2
, n ∈ N, čo
následne pre n → ∞ implikuje Besselovu nerovnosť (62).
Poznámka 17
Významným dôsledkom Besselovej nerovnosti (62) je skutočnosť, že pre každý
daný ortonormálny systém S = {uk}∞
k=1 ⊆ X je nekonečný rad ∞
k=1 |ck|2
pre
každý vektor x ∈ X konvergentný, t.j., postupnosť {ck}∞
k=1 Fourierových koeficientov
vektora x ∈ X vzhľadom na systém S je prvkom Hilbertovho priestoru
l2
z Príkladov 10 a 11. Obzvlášť, platí potom podmienka limk→∞ ck = 0.
Dôsledok 4 (Parsevalova rovnosť)
S označením a predpokladmi Lemy 2 platí pre x ∈ X tzv. Parsevalova rovnosť
∞
k=1
|ck|2
= x 2
(63)
práve vtedy, Fourierov rad ∞
k=0 ck uk = x v norme · , t.j., limn→∞ sn = x.
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Dôsledku 4.
Uvedená ekvivalencia bezprostredne vyplýva z formuly (61) pre n → ∞.
Veta 15
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · a S = {uk}∞
k=1 ⊆ X
ortonormálny systém. Potom S je uzavretý vzhľadom na X v zmysle Definície
15(ii) práve vtedy, keď každý prvok x ∈ X spĺňa Parsevalovu rovnosť (63)
vzhľadom na systém S.
Dôkaz Vety 15.
Predpokladajme, že systém S je uzavretý vzhľadom na X a nech x ∈ X je
ľubovoľný vektor. V súlade s Definíciou 15(ii) potom pre každé ε > 0
existuje index nε ∈ N a skaláry λ1, . . . , λnε ∈ R tak, že x −
nε
k=1
λk uk ≤ ε.
Nech {ck}∞
k=1 je postupnosť Fourierových koeficientov prvku x vzhľadom na
systém S. Zvoľme nejaké ε > 0. Využitím formuly (60) postupne dostávame
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 15 (pokračovanie).
x 2 (60)
= x −
nε
k=1
λk uk
2
+
nε
k=1
|ck|2
−
nε
k=1
|λk − ck|2
≤ ε2
+
∞
k=1
|ck|2
, (64)
keďže podľa Poznámky 17 nekonečný rad ∞
k=1 |ck|2
konverguje. Nerovnosť
(64) zrejme platí pre každé ε > 0, a tak nutne x 2
≤ ∞
k=1 |ck|2
. Na druhej
strane, z Dôsledku 3 vieme, že vektor x spĺňa Besselovu nerovnosť (62), t.j.,
∞
k=1 |ck|2
≤ x 2
. Prvok x teda spĺňa Parsevalovu rovnosť (63) vzhľadom na
systém S. Naopak, nech každý vektor x ∈ X vyhovuje Parsevalovej rovnosti
vzhľadom na systém S, t.j., platí ∞
k=1 |ck|2
= x 2
, kde {ck}∞
k=1 je odpovedajúca
postupnosť Fourierových koeficientov prvku x vzhľadom na S. Potom podľa
Dôsledku 4 pre každé x ∈ X máme x = limn→∞ sn, kde sn, n ∈ N, je n-tý
Fourierov polynóm v (58). Obzvlášť, to znamená, že Lin S = X, a tak v zhode
s Definíciou 15(ii) je systém S uzavretý vzhľadom na priestor X.
Poznámka 18
Z Vety 14 vieme, že každý separabilný unitárny priestor X má ortonormálnu bázu,
t.j., uzavretý ortonormálny systém. Podľa Vety 15 teda v takomto priestore
X existuje ortonormálny systém, vzhľadom na ktorý každé x ∈ X spĺňa (63).
Základy Norma Súčin Hilbert
Rieszova–Fischerova veta
Poznámka 19
Nech X je unitárny priestore so skalárnym súčinom ·, · a S = {uk}∞
k=1 ⊆ X
je ortonormálny systém. V predchádzajúcej sekcii sme ukázali, že pre každý
prvok x ∈ X postupnosť {ck}∞
k=1 jeho Fourierových koeficientov v (57) patrí
do priestoru l2
(Poznámka 17). Okrem toho sme v Dôsledku 4 podali nutnú a
postačujúcu podmienku na to, aby pre daný vektor x ∈ X príslušný Fourierov rad
∞
k=1 ck uk konvergoval k x v norme priestoru X. Konkrétne, platí ekvivalencia
lim
n→∞
x −
n
k=1
ck uk = 0 ⇐⇒ rad
∞
k=1
|ck|2
konverguje so súčtom x 2
.
Tieto poznatky teraz rozšírime. Dokážeme, že pre daný ortonormálny systém S
jediné rady typu ∞
k=1 λk uk, ktoré konvergujú v X, sú Fourierove rady. Ďalej
ukážeme, že v prípade Hilbertovho priestoru, t.j., úplného unitárneho priestoru,
každá postupnosť {λk}∞
k=1 z priestoru l2
je postupnosť Fourierových koeficientov
nejakého prvku x ∈ X vzhľadom na S;
každý Fourierov rad ∞
k=1 ck uk konverguje v priestore X.
Tieto výsledky sú obsiahnuté vo Vete 17 v nasledujúcom výklade.
Základy Norma Súčin Hilbert
Lema 3
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · a S = {uk}∞
k=1 ⊆ X
je ortonormálny systém. Nech {λk}∞
k=1 je postupnosť reálnych čísiel s vlastnosťou,
že rad ∞
k=1 λk uk je konvergentný v priestore X so súčtom x. Potom
∞
k=1 λk uk je Fourierov rad prvku x vzhľadom na systém S, t.j., čísla λk, k ∈ N,
sú Fourierove koeficienty vektora x definované v (57).
Dôkaz Lemy 3.
V zhode s predpokladmi platí x = limn→∞
n
k=1 λk uk. Využijúc spojitosť
skalárneho súčinu ·, · podľa Vety 9, pre každý daný index m ∈ N potom máme
x, um = lim
n→∞
n
k=1
λk uk , um = lim
n→∞
n
k=1
λk uk , um
= lim
n→∞
n
k=1
λk uk, um
δkm
= lim
n→∞
λm = λm,
čo so zreteľom na (57) dokazuje tvrdenie.
Základy Norma Súčin Hilbert
Veta 16 (Rieszova–Fischerova)
Nech X je Hilbertov priestor so skalárnym súčinom ·, · a S = {uk}∞
k=1 ⊆ X je
ortonormálny systém. Nech {λk}∞
k=1 je ľubovoľná postupnosť z priestoru l2
, t.j.,
rad ∞
k=1 |λk|2
konverguje. Potom rad ∞
k=1 λk uk je konvergentný v priestore
X, t.j., existuje vektor x ∈ X taký, že ∞
k=1 λk uk = x v norme X. Naviac,
čísla λk, k ∈ N, sú Fourierove koeficienty prvku x vzhľadom na systém S.
Dôkaz Vety 16.
Nech {λk}∞
k=1 je dané ako v predpokladoch vety a uvažujme postupnosť {xn}∞
n=1
prvkov priestoru X definovanú xn := n
k=1 λk uk, n ∈ N. Ukážeme, že postupnosť
{xn} je cauchyovská v norme · priestoru X. Pre n > m máme
xn − xm
2
=
n
k=1
λk uk −
m
k=1
λk uk
2
=
n
k=m+1
λk uk
2
(48)
=


n
k=m+1
λk uk

 ,


n
l=m+1
λl ul


=
n
k,l=m+1
λk λl uk, ul
δkl
=
n
k=m+1
|λk|2
. (65)
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 16 (pokračovanie).
V zhode s predpokladmi nekonečný rad ∞
k=1 |λk|2
konverguje, a preto podľa
Cauchyho–Bolzanovho kritéria platí
pre každé ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pre každé n > m ≥ n0 platí
n
k=m+1
|λk|2
< ε2
So zreteľom na identitu (65) je však tento výrok ekvivalentný s reláciou
pre každé ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pre každé n > m ≥ n0 platí xn − xm < ε.
Teda skutočne postupnosť {xn} je cauchyovská v norme · . A keďže priestor
X je v súlade s Definíciou 12 úplný, postupnosť {xn} je následne i konvergentná
v priestore X, t.j., existuje x ∈ X tak, že limn→∞ xn = x. Inak povedané, rad
∞
k=1 λk uk = x v norme priestoru X. Skutočnosť, že sa jedná o Fourierov rad
prvku x vzhľadom na systém S, vyplýva z Lemy 3. Dôkaz je kompletný.
Poznámka 20
Poznamenajme, že podľa Dôsledku 4 limitný vektor x spĺňa Parsevalovu rovnosť
(63), t.j., platí ∞
k=1 |λk|2
= x 2
.
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôsledok 5
Nech X je Hilbertov priestor so skalárnym súčinom ·, · a S = {uk}∞
k=1 ⊆ X je
ortonormálny systém. Nech {λk}∞
k=1 je nejaká postupnosť reálnych čísiel. Potom
rad ∞
k=1 λk uk konverguje v priestore X práve vtedy, keď čísla λk, k ∈ N, sú
Fourierove koeficienty vhodného prvku x ∈ X vzhľadom na systém S.
Dôkaz Dôsledku 5.
Smer “⇒” je obsahom Lemy 3. Platnosť implikácie “⇐” je dôsledkom Rieszovej–
Fischerovej vety 16. Konkrétne, ak λk, k ∈ N, sú Fourierove koeficienty prvku
x ∈ X, potom podľa Poznámky 17 je číselný rad ∞
k=1 |λk|2
konvergentný, a
teda postupnosť {λk}∞
k=1 ∈ l2
. To následne podľa Rieszovej–Fischerovej vety 16
dokazuje konvergenciu radu ∞
k=1 λk uk v norme priestoru X.
Poznámka 21
Je nutné zdôrazniť, že v prípade všeobecného spočítateľného ortonormálneho
systému S v Hilbertovom priestore X nie je vektor x ∈ X v Dôsledku 5 pre danú
postupnosť {λk}∞
k=1 určený jednoznačne. Na druhej strane, v súlade s Lemou 3
práve jeden z takýchto vektorov je súčtom radu ∞
k=1 λk uk v priestore X.
Základy Norma Súčin Hilbert
Veta 17 (Zhrnutie a doplnenie)
Nech X je Hilbertov priestor so skalárnym súčinom ·, · a S = {uk}∞
k=1 ⊆ X
je ortonormálny systém. Nech {λk}∞
k=1 je nejaká postupnosť reálnych čísiel.
Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Postupnosť {λk}∞
k=1 je prvkom priestoru l2
.
(ii) Rad ∞
k=1 λk uk konverguje v priestore X.
(iii) Existuje vektor x ∈ X s vlastnosťou, že čísla λk, k ∈ N, sú jeho Fourierove
koeficienty vzhľadom na systém S.
Naviac v prípade, ak systém S je úplný vzhľadom na X, je vektor x z časti (iii)
určený jednoznačne a platí ∞
k=1 λk uk = x v norme priestoru X.
Dôkaz Vety 17.
Implikácia “(i) ⇒ (ii)” vyplýva z Rieszovej–Fischerovej vety 16, ekvivalencia tvrdení
(ii) a (iii) je obsahom Dôsledku 5, a napokon platnosť implikácie “(iii) ⇒
(i)” je komentovaná v Poznámke 17. Stačí teda dokázať jednoznačnosť vektora
x z časti (iii) v prípade úplného systému ortonormálneho S. Nech y ∈ X je ďalší
prvok, ktorý má za svoje Fourierove koeficienty čísla λk, k ∈ N, t.j., podľa (57)
x, uk = λk = y, uk pre každé k ∈ N.
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 17 (pokračovanie).
Potom x − y, uk = 0 pre každé k ∈ N a vďaka úplnosti systému S = {uk}∞
k=1
podľa Definície 15(i) dostávame rovnosť x = y. Napokon, v súlade s Poznámkou
21 daný jediný vektor x nutne spĺňa ∞
k=1 λk uk = x.
Definícia 18 (Ortogonálny doplnok uzavretého podpriestoru)
Nech X je unitárny priestor so skalárnym súčinom ·, · a A ⊆ X (uzavretý)
podpriestor. Množinu A⊥
definovanú
A⊥
:= {x ∈ X, x, y = 0 pre každé y ∈ A} (66)
nazývame ortogonálny doplnok podpriestoru A v unitárnom priestore X.
Poznámka 22
Zrejme pre každý podpriestor A ⊆ X je ortogonálny doplnok A⊥
z Definície
18 (uzavretým) podpriestorom v X a platí A ⊆ A⊥ ⊥
. Je nutné zdôrazniť,
že v prípade všeobecného unitárneho priestoru nemusí posledná inklúzia nutne
prechádzať na rovnosť. Ak však X je Hilbertov priestor, potom vždy A = A⊥ ⊥
,
ako dokážeme v Dôsledku 6. Dodajme, že pre každý unitárny priestor X platia
rovnosti X⊥
= {0} a {0}⊥
= X.
Základy Norma Súčin Hilbert
Veta 18
Nech X je Hilbertov priestor so skalárnym súčinom ·, · . Potom ľubovoľný
ortonormálny systém S ⊆ X je uzavretý v X práve vtedy, keď je úplný v X.
Dôkaz Vety 18.
Nech ortonormálny systém S je uzavretý vzhľadom na X a nech vektor x ∈
X spĺňa u, x = 0 pre každé u ∈ S. V súlade s Definíciou 15(ii) existuje
postupnosť {xn}∞
n=1 ⊆ Lin S taká, že limn→∞ xn = x v norme · . Potom ale
nutne platí xn, x = 0 pre každé n ∈ N, a následne
x 2 (48)
= x, x = lim
n→∞
xn, x
Veta 9
= lim
n→∞
xn, x = lim
n→∞
0 = 0,
t.j., vektor x = 0. Podľa Definície 15(i) je teda systém S úplný. Naopak, nech
systém S je úplný vzhľadom na X a zvoľme ľubovoľný vektor x ∈ Lin S
⊥
.
Nakoľko S ⊆ Lin S, podľa Definície 18 platí x, u = 0 pre každé u ∈ S.
Vďaka úplnosti systému S je potom x = 0, v súlade s Definíciou 15(i). Takže
podpriestor Lin S
⊥
= {0}, a následne podľa Poznámky 22 máme
Lin S = Lin S
⊥ ⊥
= {0}⊥
= X.
V zhode s Definíciou 15(ii) je teda systém S uzavretý a dôkaz je hotový.
Základy Norma Súčin Hilbert
Poznámka 23
Tvrdenie Vety 18 je s ohľadom na Definíciu 16 ekvivalentné s výrokom, že v
Hilbertovom priestore X je nejaký ortonormálny systém S úplný práve vtedy,
keď je ortonormálnou bázou priestoru X. Obzvlášť, nie je ťažké si premyslieť, že
ak S je nanajvyš spočítateľný, je priestor X v tomto prípade nutne separabilný.
Na druhej strane, každý separabilný Hilbertov priestor má nanajvyš spočítateľnú
ortonormálnu bázu (kombinácia Viet 13 a 14). Vo svetle výsledkov Vety 17
potom dostávame nasledujúce pozorovanie. Nech X je separabilný Hilbertov
priestor so skalárnym súčinom ·, · a S = {uk}∞
k=1 ⊆ X je nejaká jeho ortonormálna
báza. Potom každý vektor x ∈ X možno jednoznačne vyjadriť v tvare
x =
∞
k=1
ck uk, kde ck = x, uk pre každé k ∈ N. (67)
Naviac, postupnosť {ck}∞
k=1 je prvkom priestoru l2
a platí x 2
= ∞
k=1 |ck|2
.
Poznámka 24
Doplňme, že všetky prezentované výsledky týkajúce sa Fourierových radov platia
pre ľubovoľné, t.j., i pre nespočítateľné ortonormálne systémy S.
Základy Norma Súčin Hilbert
Obsah
1 Základné pojmy a vlastnosti
2 Normované lineárne priestory
3 Unitárne priestory
4 Hilbertove priestory
Základy Norma Súčin Hilbert
Separabilný Hilbertov priestor
Veta 19 (O izomorfizme)
Každé dva separabilné Hilbertove priestory s nekonečnou dimenziou sú izometricky
izomorfné. Naviac, každý nekonečnorozmerný separabilný Hilbertov priestor
je izometricky izomorfný s priestorom l2
.
Dôkaz Vety 19.
Je zrejmé, že stačí dokázať druhú časť tvrdenia. Nech H je ľubovoľný
nekonečnorozmerný separabilný Hilbertov priestor so skalárnym súčinom ·, ·
a S = {uk}∞
k=1 je v zhode s Poznámkou 23 nejaká jeho ortonormálna báza.
Využitím Vety 17 môžeme ľahko overiť, že priradenie Ψ definované
pre každé x ∈ H je Ψ(x) = {ck}∞
k=1, kde ck = x, uk pre každé k ∈ N, (68)
je bijektívne zobrazenie medzi prvkami priestorov H a l2
. Okrem toho, pre každú
dvojicu vektorov x, y ∈ H a každý skalár λ ∈ R platí
Ψ(x + y)
(68)
= { x + y, uk }∞
k=1 = { x, uk + y, uk }∞
k=1
(68)
= Ψ(x) + Ψ(y),
Ψ(λ x)
(68)
= { λ x, uk }∞
k=1 = {λ x, uk }∞
k=1
(68)
= λ Ψ(x),
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 19 (pokračovanie).
a tak zobrazenie Ψ je lineárne. Napokon ukážeme, že Ψ zachováva skalárny
súčin. Nech x, y ∈ H sú ľubovoľné vektory a {ck}∞
k=1, {dk}∞
k=1 ∈ l2
príslušné
postupnosti ich Fourierových koeficientov v (57) vzhľadom na systém S. V
súlade s (67) a (68) potom platí
x =
∞
k=1
ck uk = lim
n→∞
n
k=1
ck uk, y =
∞
k=1
dk uk = lim
n→∞
n
k=1
dk uk. (69)
Využitím vlastností skalárneho súčinu v Definícii 11 a Vete 9 postupne máme
x, y
(69)
= lim
n→∞
n
k=1
ck uk , y = lim
n→∞
n
k=1
ck uk , y
= lim
n→∞
n
k=1
ck uk, y
(69)
= lim
n→∞
n
k=1
ck dk =
∞
k=1
ck dk
(42)
= {ck}∞
k=1, {dk}∞
k=1 l2
(68)
= Ψ(x), Ψ(y) l2 ,
kde ·, · l2 je skalárny súčin v priestore l2
zavedený v Príklade 10. Zobrazenie Ψ
je teda v zhode s Definíciou 13 izometrický izomorfizmus priestorov H a l2
.
Základy Norma Súčin Hilbert
Lema 4
Nech (M, ρ) je separabilný metrický priestor a N ⊆ M podmnožina. Potom
(N, ρ) je tiež separabilný metrický priestor.
Poznámka 25
Z Poznámky 14, Vety 19 a Lemy 4 vyplýva, že každý (uzavretý) podpriestor N
ľubovoľného separabilného Hilbertovho priestoru H je buď Hilbertov priestor
konečnej dimenzie (izometricky izomorfný s euklidovským priestorom En
pre
vhodné n ∈ N) alebo nekonečnorozmerný separabilný Hilbertov priestor (izometricky
izomorfný s priestorom l2
). Naviac, v podpriestore N je možné vždy vybrať
ortonormálny systém S = {uk}m
k=1, kde m ∈ N ∪ {∞}, tak, aby Lin S = N.
Príklad 13
Poznamenajme, že okrem unitárneho priestoru l2
je ďalšou realizáciou separabilného
Hilbertovho priestoru s nekonečnou dimenziou úplný obal unitárneho
priestoru (C[−π, π], ·, · ) prezentovaného v Príklade 12.
Základy Norma Súčin Hilbert
Veta o projekcii do uzavretého podpriestoru
Veta 20 (O projekcii do uzavretého podpriestoru)
Nech H je Hilbertov priestor so skalárnym súčinom ·, · a A ⊆ H (uzavretý)
podpriestor. Potom každé x ∈ H sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare x = y + z,
kde y ∈ A a z ∈ A⊥
. Vektor y sa nazýva projekcia prvku x do podpriestoru A.
Dôkaz Vety 20.
Dokážeme najprv existenciu daného rozkladu pre každý prvok x ∈ H. Ak x ∈ A,
potom stačí vziať y = x a z = 0. Predpokladajme preto, že vektor x ∈ H
nie je prvkom uzavretého podpriestoru A, t.j., vzdialenosť d := ρ(x, A) > 0.
Pripomeňme, že metrika ρ na H je indukovaná normou · danou skalárnym
súčinom ·, · podľa (3) a (48). Obzvlášť, platí
0 < d ≤ x − u pre každé u ∈ A. (70)
Naviac, existuje postupnosť {yk}∞
k=1 ⊆ A s vlastnosťou
lim
k→∞
x − yk = lim
k→∞
ρ(x, yk) = d. (71)
Ukážeme, že postupnosť {yk}∞
k=1 je cauchyovská. Využitím rovnobežníkového
pravidla (50) pre každé dva indexy m, n ∈ N postupne máme
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 20 (pokračovanie).
yn − ym
2
= (x − ym) − (x − yn) 2
(50)
= 2 x − ym
2
+ 2 x − yn
2
− 2x − yn − ym
2
= 2 x − ym
2
+ 2 x − yn
2
− 4 x −
1
2
(yn + ym)
2
(72)
Nakoľko vektor u := 1
2
(yn + ym) je zrejme prvkom podpriestoru A, podľa (70)
platí d ≤ x − u , a tak pomocou (72) dostávame nerovnosť
yn − ym
2
≤ 2 x − ym
2
+ 2 x − yn
2
− 4d2
(73)
A keďže z (71) vieme, že limm→∞ x − ym = d = limn→∞ x − yn , získaná
nerovnosť (73) implikuje reláciu
yn − ym → 0 pre min{m, n} → ∞. (74)
Teda postupnosť {yk}∞
k=1 je skutočne cauchyovská a vďaka úplnosti priestoru H i
konvergentná v H. Označme y := limk→∞ yk. Keďže podpriestor A je uzavretý,
vektor y ∈ A. Naviac, využijúc spojitosť normy · v súlade s Vetou 2, z relácie
(71) vyplýva rovnosť x − y = d. Položme z := x − y. Ukážeme, že vektor z
je prvkom ortogonálneho doplnku A⊥
, t.j., v zhode s (66) spĺňa z, u = 0 pre
každé u ∈ A. Zvoľme nejaký vektor u ∈ A. Potom pre každý skalár t ∈ R je
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôkaz Vety 20 (pokračovanie).
z + tu = x − y + tu = x − (y − tu)
∈A
, a tak podľa (70) platí z + tu ≥ d.
Následne, využitím formuly (48) a základných vlastností skalárneho súčinu máme
d2
≤ z + tu 2 (48)
= z + tu, z + tu = z, z + 2t z, u + t2
u, u
(48)
= z 2
d2
+t2
u 2
+ 2t z, u , a tak t2
u 2
+ 2t z, u ≥ 0 pre každé t ∈ R.
Nie je ťažké si premyslieť, že posledná nerovnosť môže byť splnená pre každé
t ∈ R jedine vtedy, keď z, u = 0. Preto z ∈ A⊥
, a tak platí rozklad x = y +z.
Zostáva dokázať jednoznačnosť tohto rozkladu. Ak ˜y ∈ A a ˜z ∈ A⊥
je iná
dvojica vekorov spĺňajúca x = ˜y + ˜z, potom platí y + z = ˜y + ˜z, a následne
y − ˜y = ˜z − z. Avšak vektor y − ˜y ∈ A a vektor ˜z − z ∈ A⊥
, takže podľa
Definície 18 máme
y − ˜y 2 (48)
= y − ˜y, y − ˜y = ˜z − z, y − ˜y = 0,
a tak ˜y = y, a následne i ˜z = z. Dôkaz je teraz kompletný.
Základy Norma Súčin Hilbert
Poznámka 26
Je potrebné zdôrazniť, že Veta 20 o projekcii do uzavretého podpriestoru platí
pre ľubovoľný Hilbertov priestor H, špeciálne teda i pre neseparabilné priestory.
Poznamenajme, že výsledok Vety 20 možno ekvivalentne vyjadriť v tvare
H = A ⊕ A⊥
, (75)
kde symbol ⊕ reprezentuje tzv. direktný (priamy) súčet podpriestorov A a A⊥
.
Dôsledok 6
Nech H je Hilbertov priestor so skalárnym súčinom ·, · a A ⊆ H (uzavretý)
podpriestor. Potom platí rovnosť A = A⊥ ⊥
.
Dôkaz Dôsledku 6.
V súlade s Poznámkou 22 zrejme stačí dokázať inklúziu A⊥ ⊥
⊆ A. Nech
x ∈ A⊥ ⊥
je ľubovoľný vektor. Z Vety 20 vieme, že existujú vektory y ∈ A a
z ∈ A⊥
s vlastnosťou x = y+z. Obzvlášť, podľa (66) máme x, z = 0 = y, z ,
a tak z 2
= z, z = 0, čo znamená, že vektor z = 0. Preto x = y ∈ A.
Základy Norma Súčin Hilbert
Dôsledok 7
Nech H je separabilný Hilbertov priestor a S ⊆ H je ľubovoľný ortonormálny
systém. Potom je možné systém S rozšíriť na ortonormálnu bázu priestoru H.
Dôkaz Dôsledku 7.
Z Vety 13 vyplýva, že systém S je nanajvyš spočítateľný, t.j., S = {uk}m
k=1,
kde m ∈ N ∪ {∞}. Označme A := Lin S. Potom zrejme A ⊆ H je (uzavretý)
podpriestor Hilbertovho priestoru H a podľa (75) platí rovnosť H = A ⊕ A⊥
.
Ďalej, vďaka Poznámke 25 vieme, že v (uzavretom) podpriestore A⊥
existuje
nanajvyš spočítateľný ortonormálny systém T = {vk}n
k=1, kde n ∈ N ∪ {∞} s
vlastnosťou Lin T = A⊥
. Nie je ťažké si premyslieť, že v súlade s Definíciou 15(i)
potom S ∪ T predstavuje úplný ortonormálny systém v H. Napokon, podľa
Vety 18 je systém S ∪ T uzavretý vzhľadom na H, a tak v zhode s Definíciou 16
tvorí ortonormálnu bázu priestoru H. Dôkaz je hotový.
Poznámka 27
Poznamenajme, že Dôsledok 7 platí i pre neseparabilný Hilbertov priestor.