M6150 Funkcionálna analýza I
Metrické priestory
Peter Šepitka
leto 2017
Obsah
1 Pojem metriky a metrického priestoru
2 Množiny v metrickom priestore
3 Konvergencia v metrickom priestore
4 Zobrazenia metrických priestorov
5 Úplné metrické priestory
6 Kompaktné metrické priestory
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Obsah
1 Pojem metriky a metrického priestoru
2 Množiny v metrickom priestore
3 Konvergencia v metrickom priestore
4 Zobrazenia metrických priestorov
5 Úplné metrické priestory
6 Kompaktné metrické priestory
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Metrika a príklady metrických priestorov
Definícia 1 (Metrický priestor)
Nech M je neprázdna množina a ρ : M × M → [0, ∞) zobrazenie, ktoré pre
každú trojicu prvkov x, y, z ∈ M spĺňa podmienky
M1 ρ(x, y) = 0 práve vtedy, keď x = y (axióma totožnosti),
M2 ρ(x, y) = ρ(y, x) (axióma symetrie),
M3 ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) (trojuholníková nerovnosť).
Zobrazenie ρ sa nazýva metrika na množine M a dvojicu (M, ρ) označujeme ako
metrický priestor. Pre dané x, y ∈ M sa číslo ρ(x, y) nazýva vzdialenosť prvkov
x, y v metrickom priestore (M, ρ).
Príklad 1 (Diskrétny metrický priestor)
Na každej množine M = ∅ je možné zaviesť tzv. diskrétnu metriku ρD predpisom
ρD(x, y) :=
0, x = y,
1, x = y.
(1)
Dvojica (M, ρD) sa potom označuje ako diskrétny (triviálny) metrický priestor.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 2
Pre dané n ∈ N nech M := Rn
a nech p ∈ [1, ∞) je pevné reálne číslo. Funkcia
ρp(x, y) :=
n
k=1
|xk − yk|p
1
p
, x := (x1, . . . , xn), y := (y1, . . . , yn) ∈ Rn
, (2)
je potom metrikou na množine M a dvojica (M, ρp) metrický priestor. Obzvlášť,
pre p = 1 sa metrika ρ1 v (2) označuje ako súčtová, t.j.,
ρ1(x, y) =
n
k=1
|xk − yk|, x := (x1, . . . , xn), y := (y1, . . . , yn) ∈ Rn
. (3)
V prípade p = 2 dostávame tzv. euklidovskú metriku ρ2, t.j.,
ρ2(x, y) :=
n
k=1
|xk − yk|2, x := (x1, . . . , xn), y := (y1, . . . , yn) ∈ Rn
, (4)
Metrický priestor (M, ρ2) nazývame euklidovský priestor a označujeme ho En
.
Ďalšou dôležitou metrikou na množine M je tzv. maximálna metrika ρ∞ definovaná
predpisom
ρ∞(x, y) = max
1≤k≤n
|xk − yk|, x := (x1, . . . , xn), y := (y1, . . . , yn) ∈ Rn
. (5)
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 2
Poznamenajme, že v prípade n = 1 všetky metriky ρp(x, y), p ∈ [1, ∞), a ρ∞
splývajú, pričom pre každé x, y ∈ R platí
ρp(x, y) = ρ∞(x, y) = |x − y|, (6)
ako sa možno pomocou (2) a (5) ľahko presvedčiť. Pre n = 2 sa o súčtovej
metrike ρ1 v (3) niekedy hovorí aj ako o taxikárskej metrike. Na množine M = R2
sa zavádza i tzv. hviezdicová metrika ρ⋆
daná
ρ⋆
(x, y) :=



x2
1 + x2
2 + y2
1 + y2
2, ak body x = [x1, x2], y = [y1, y2]
ležia na rôznych polpriamkach
vychádzajúcich z bodu [0, 0]
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2, v opačnom prípade.
Príklad 3
Pre dané reálne číslo p ∈ [1, ∞) uvažujme nasledujúcu množinu
M := x = {xk}∞
k=1 ⊂ R,
∞
k=1
|xk|p
< ∞ , (7)
t.j., množinu reálnych postupností {xk}, pre ktoré je rad |xk|p
konvergentný.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 3
Zobrazenie ρp
: M × M → [0, ∞) definované predpisom
ρp
(x, y) :=
∞
k=1
|xk − yk|p
1
p
, x = {xk}, y = {yk} ∈ M, (8)
je potom metrikou na množine M. Metrický priestor (M, ρp
) sa štandardne
označuje symbolom lp
. Popri M v (7) majú významné postavenie i množiny
N := {x = {xk}∞
k=1 ⊂ R, {xk} je ohraničená} , (9)
˜N := {x = {xk}∞
k=1 ⊂ R, {xk} konverguje} , (10)
˜N0 := x = {xk}∞
k=1 ⊂ R, lim
k→∞
xk = 0 , (11)
na ktorých je možné zaviesť metriku ρ tvaru
ρ(x, y) = sup
k∈N
|xk − yk|, x = {xk}, y = {yk}. (12)
Pre odpovedajúce metrické priestory (N, ρ), ( ˜N, ρ) a ( ˜N0, ρ) sa v literatúre
postupne používa označenie l∞
, c a c0.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 4
Nech I je nedegenerovaný reálny interval. Symbolom B(I) budeme označovať
množinu všetkých reálnych (komplexných) funkcií, ktoré sú ohraničené na I
(používa sa tiež označenie B(I, R), resp. B(I, C)). Zobrazenie ρB definované
ρB(f, g) := sup
x∈I
|f(x) − g(x)|, f, g ∈ B(I), (13)
je metrika na množine B(I), ako sa možno ľahko presvedčiť. V prípade uzavretého
intervalu I, t.j., I = [a, b] pre nejaké a, b ∈ R, a < b, označme výrazom
C[a, b] množinu všetkých reálnych (komplexných) funkcií, ktoré sú spojité na
[a, b]. Na tejto množine je možné uvažovať dve metriky ρC a ρI s predpismi
ρC (f, g) := max
x∈[a,b]
|f(x) − g(x)|, (14)
ρI (f, g) :=
b
a
|f(x) − g(x)| dx, (15)
pre každé f, g ∈ C[a, b]. Metrika ρC sa štandardne označuje pojmom metrika
rovnomernej konvergencie, kým pre metriku ρI sa používa prívlastok integrálna.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 5
Nech S je ľubovoľná konečná neprázdna množina. Nech M := P(S), kde P(S)
je množina všetkých podmnožín množiny S (potenčná množina množiny S).
Zobrazenie ρ : M × M → N0 definované predpisom
ρ(A, B) := |A ∆ B|, A, B ∈ M, (16)
potom predstavuje metriku na množine M. Pripomeňme, že symbol ∆ označuje
symetrický rozdiel množín, t.j.,
A ∆ B := (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A), (17)
kým | · | predstavuje mohutnosť danej množiny, v našom prípade počet prvkov.
Overiť prvé dve axiómy v Definícii 1 nie je ťažké. Skutočnosť, že ρ(A, B) = 0 pre
nejaké A, B ∈ M, podľa (16) znamená, že množina A ∆ B je prázdna. Pomocou
rovnosti v (17) dostávame, že obidve množiny A \ B a B \ A sú prázdne, čo
implikuje relácie A ⊆ B a B ⊆ A. Nutne teda platí A = B. Symetrickosť
funkcie ρ je evidentná. Platnosť axiómy M3 v Definícii 1 vyplýva z inklúzie
A ∆ B ⊆ (A ∆ C) ∪ (C ∆ B), A, B, C ∈ M, (18)
ktorú možno pomerne ľahko dokázať napríklad pomocou vhodného nákresu.
Využitím (18) a faktu, že množina S je konečná, potom dostávame
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 5
ρ(A, B)
(16)
= |A ∆ B|
(18)
≤ |(A ∆ C) ∪ (C ∆ B)| ≤ |(A ∆ C)| + |(C ∆ B)|
(16)
= ρ(A, C) + ρ(C, B) pre každé A, B, C ∈ M,
čo je požadovaná trojuholníková nerovnosť. Poznamenajme, že namiesto metriky
ρ zavedenej v (16) sa častejšie používa tzv. Jaccardova metrika δ daná
δ(A, B) :=
|A ∆ B|
|A ∪ B|
, A, B ∈ M. (19)
Metrika δ v (19) má okrem iných aplikácií uplatnenie v štatistike a botanike.
Poznámka 1
Ak axiómu M1 v Definícii 1 metrického priestoru nahradíme slabšou podmienkou
ak x = y, potom ρ(x, y) = 0,
potom zobrazenie ρ sa nazýva pseudometrika a dvojica (M, ρ) pseudometrický
priestor. Jedná sa zrejme o slabšiu štruktúru než je metrický priestor. Obzvlášť,
v tomto prípade môže ρ(x, y) = 0 i pre rôzne prvky x, y ∈ M. Príkladom
pseudometrického priestoru je množina C[a, b] z Príkladu 4 so pseudometrikou
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Poznámka 1
ρ(f, g) = |f(a) − g(a)|, f, g ∈ C[a, b]. (20)
Naopak, ak trojuholníkovú nerovnosť v M3 zameníme za silnejšiu požiadavku
ρ(x, y) ≤ max{ρ(x, z), ρ(z, y)}, (21)
dostávame tzv. ultrametriku, resp. supermetriku ρ a ultrametrický, resp, supermetrický
priestor (M, ρ). Je zrejmé, že posledná nerovnosť priamo implikuje
axiómu M3 v Definícii 1, a preto ultrametrický priestor je špeciálnym prípadom
metrického priestoru. Každý diskrétny metrický priestor z Príkladu 1 je ultrametrickým
priestorom, nakoľko diskrétna metrika ρD definovaná v (1) je v skutočnosti
ultrametrika, ako sa možno ľahko presvedčiť.
Definícia 2 (Vnorenie metrických priestorov)
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú dva metrické priestory spĺňajúce
N ⊆ M a σ(x, y) = ρ(x, y) pre každé x, y ∈ N. (22)
Potom povieme, že metrický priestor (N, σ) je vnorený do metrického priestoru
(M, ρ) a metrika ρ indukuje metriku σ. Metrický priestor (N, σ) s vlastnosťami
v (22) sa označuje ako podpriestor metrického priestoru (M, ρ).
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 6
V súlade s Príkladom 4 je metrický priestor (C[a, b], ρC) vnorený do metrického
priestoru (B[a, b], ρB). Vyplýva to z dvoch Weierstrassových viet o reálnych
funkciách spojitých na uzavretom intervale [a, b]. Konkrétne, na základe prvej
Weierstrassovej vety máme inklúziu C[a, b] ⊆ B[a, b], kým druhá Weierstrassova
veta spolu s (13) a (14) zaručuje rovnosť
ρB(f, g)
(13)
= sup
x∈I
|f(x) − g(x)| = max
x∈I
|f(x) − g(x)|
(14)
= ρC(f, g)
pre každé f, g ∈ C[a, b]. Podľa Definície 2 teda platí výrok v úvode príkladu.
Príklad 7
Metrika ρ2 v euklidovskom priestore E3
predstavenom v Príklade 2 indukuje na
jednotkovej guľovej ploche M := S2
([0, 0, 0], 1) ⊆ R3
metriku σ, t.j., podľa (4)
σ(x, y) = ρ2(x, y)
(4)
= (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2
pre každé dva body x = [x1, x2, x3] a y = [y1, y2, y3] množiny M. Metrický
priestor (M, σ) je teda vnorený do euklidovského priestoru E3
. Poznamenajme, že
indukovaná metrika σ prakticky odpovedá prekopaniu najkratšieho tunela medzi
bodmi na guľovej ploche M.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Definícia 3 (Vzdialenosť a priemer množín)
Nech (M, ρ) je metrický priestor a A, B ⊆ M sú neprázdne množiny. Definujme
ρ(A, B) := inf{ρ(x, y), x ∈ A, y ∈ B}, (23)
d(A) := sup{ρ(x, y), x, y ∈ A}. (24)
Číslo ρ(A, B) sa nazýva vzdialenosť množín A a B v metrickom priestore (M, ρ),
kým objekt d(A) označujeme ako priemer množiny A v (M, ρ). Obzvlášť, ak
d(A) < ∞, hovoríme, že množina A je ohraničená v metrickom priestore (M, ρ).
Príklad 8
Určme vzdialenosť bodu A = 1
2
, 0 od množiny B ⊆ R2
danej
B := (x, y) ∈ R2
, y ≥ |x|3 (25)
v euklidovskom priestore E2
. Keďže metrika ρ2 v (4) reprezentuje klasickú geometrickú
vzdialenosť bodov v rovine, v súlade s (23) v Definícii 3 a grafickým
znázornením množiny B v (25) a bodu A stačí zistiť vzdialenosť bodu A od
krivky y = |x|3. Hľadáme teda infimum funkcie f : R → R s predpisom
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 8
f(x) := x −
1
2
2
+ |x|3 − 0
2
= x −
1
2
2
+ |x|3, x ∈ R. (26)
Funkcia f v (26) má deriváciu f′
na celom R, pričom platí
f′
(x) =



2x+3x2
−1
2 (x− 1
2 )2
+|x|3
, x ≥ 0,
2x−3x2
−1
2 (x− 1
2 )2
+|x|3
, x < 0,
(27)
ako sa možno ľahko presvedčiť. A keďže lim|x|→∞ f(x) = ∞, z diferenciálneho
počtu reálnych funkcií jednej reálnej premennej vieme, že hľadané infimum
funkcie f na R je dokonca minimum a nadobúda sa v jednom zo stacionárnych
bodov funkcie f. V súlade s (27) má rovnica f′
(x) = 0 práve jeden koreň x = 1
3
.
Absolútne minimum funkcie f, a teda i hľadaná vzdialenosť bodu A od množiny
B, potom je ρ2(A, B) = f 1
3
= 7
108
.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 9
Nájdime priemer množiny A := {fn(x) = xn
, x ∈ [0, 1], n ∈ N} ⊆ C[0, 1]
vzhľadom na metriku rovnomernej konvergencie ρC. Ukážeme, že d(A) = 1.
Podľa vhodného obrázka ľahko zistíme, že pre ľubovoľné dve funkcie fn, fm ∈ A
je |fn(x) − fm(x)| ≤ 1 pre každé x ∈ [0, 1]. Podľa (14) potom ρC(fn, fm) ≤ 1,
čo následne v súlade s (24) implikuje nerovnosť d(A) ≤ 1. Pre n ≥ 2 teraz
stanovíme vzdialenosť funkcií f1 a fn v metrickom priestore (C[0, 1], ρC), t.j.,
ρC(f1, fn)
(14)
= max
x∈[0,1]
|f1(x) − fn(x)| = max
x∈[0,1]
|x − xn
|. (28)
Nakoľko x − xn
≥ 0 pre každé x ∈ [0, 1], hľadáme globálne maximum výrazu
x−xn
na intervale [0, 1]. Štandardnými metódami matematickej analýzy zistíme,
že toto maximum sa nadobúda pre x = 1
n
1
n−1
a tak podľa (28) dostávame
ρC (f1, fn) =
1
n
1
n−1
−
1
n
n
n−1
pre každé n ∈ N \ {1}. (29)
Podľa (24) v Definícii 3 je však hľadaný priemer d(A) ≥ ρC(f1, fn) pre každé
n ≥ 2. Limitovaním tejto nerovnosti pre n → ∞ napokon dostávame
d(A) ≥ lim
n→∞
ρC (f1, fn) = lim
n→∞
1
n
1
n−1
−
1
n
n
n−1
= 1, a tak d(A) = 1.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 10
Stanovme priemer reálnej osi R v metrickom priestore (R, ρ) s metrikou ρ tvaru
ρ(x, y) :=
|x − y|
1 + |x − y|
, x, y ∈ R. (30)
Najprv overíme, že zobrazenie ρ definované v (30) je skutočne metrikou na
množine R. Platnosť axióm M1 a M2 v Definícii 1 je zrejmá, stačí sa preto
zamerať na dokázanie trojuholníkovej nerovnosti pre zobrazenie ρ. Funkcia
ϕ(t) :=
t
1 + t
= 1 −
1
1 + t
, t ∈ [0, ∞), (31)
je očividne rastúca na intervale [0, ∞). A keďže pre každé a, b ∈ R platí klasická
trojuholníková nerovnosť |a + b| ≤ |a| + |b|, postupne dostávame
|a + b|
1 + |a + b|
ϕ(|a+b|)
≤
|a| + |b|
1 + |a| + |b|
ϕ(|a|+|b|)
=
|a|
1 + |a| + |b|
+
|b|
1 + |a| + |b|
≤
|a|
1 + |a|
+
|b|
1 + |b|
. (32)
V druhom kroku v (32) sme využili fakt, že funkcia ϕ je rastúca na [0, ∞). Nech
x, y, z ∈ R sú ľubovoľné a položme a := x − z a b := z − y. Pomocou formuly
(30) a nerovnosti v (32) potom odvodíme trojuholníkovú nerovnosť, konkrétne
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 10
ρ(x, y)
(30)
=
|x − y|
1 + |x − y|
=
|(x − z) + (z − y)|
1 + |(x − z) + (z − y)|
(32)
≤
|x − z|
1 + |x − z|
+
|z − y|
1 + |z − y|
(30)
= ρ(x, z) + ρ(z, y),
a tak platí i axióma M3 v Definícii 1. Napokon, zistíme hľadaný priemer d(R).
Z rovností v (30) a (31) vyplýva, že funkcie ρ a ϕ spĺňajú
ρ(x, y) = ϕ(|x − y|) pre x, y ∈ R, ϕ(t) < 1 na [0, ∞), lim
t→∞
ϕ(t) = 1.
Z tohto možno v súlade s (24) usúdiť, že platí d(R) = 1.
Definícia 4 (Izometrické zobrazenie metrických priestorov)
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú metrické priestory. Zobrazenie f : N → M spĺňajúce
σ(x, y) = ρ(f(x), f(y)) pre každé x, y ∈ N (33)
sa nazýva izometrické zobrazenie. V prípade, ak f je surjektívne zobrazenie,
označujeme ho pojmom izometria a o metrických priestoroch (N, σ) a (M, ρ)
potom hovoríme, že sú izometrické.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Poznámka 2
Priamo z Definície 4 vyplýva, že každé izometrické zobrazenie f medzi metrickými
priestormi (N, σ) a (M, ρ) je nutne injektívne. Ak f je naviac i surjektívne,
existuje k nemu inverzné zobrazenie f−1
: M → N, ktoré je tiež izometrické.
Poznamenajme tiež, že skutočnosť, že izometrické zobrazenie f je vždy injektívne,
umožňuje zovšeobecniť pojem vnorenia metrických priestorov zavedený v
Definícii 2. Konkrétne, hovoríme, že metrický priestor (N, σ) v Definícii 4 je
(izometricky) vnorený do metrického priestoru (M, ρ). Je zrejmé, že v tomto
ponímaní je v Definícii 2 metrický priestor (N, σ) vnorený do priestoru (M, ρ)
prostredníctvom identického zobrazenia f(x) = x pre každé x ∈ N.
Príklad 11
Euklidovský priestor E := E1
je možné izometricky vnoriť do každého z metrických
priestorov (R2
, ρ1), E2
a (R2
, ρ∞). Funkcia f : R → R2
definovaná
f(x) := (x, 0), x ∈ R,
je totiž izometrické zobrazenie vzhľadom na všetky tri metriky ρ1, ρ2 a ρ∞ na
R2
zavedené v (3)–(5), ako sa možno ľahko presvedčiť.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 12
Nech M := C[−1, 1] a definujme zobrazenie F : M → M predpisom
F (f)(x) := f(−x) pre každé f ∈ M a x ∈ [−1, 1]. (34)
Potom F je izometria každého z metrických priestorov (M, ρC ) a (M, ρI ) do
seba, kde metriky ρC a ρI sú definované v (14) a (15). Skutočne, pre každé dve
funkcie f, g ∈ M postupne platí
ρC(F (f), F (g))
(14)
= max
x∈[−1,1]
|F (f)(x) − F (g)(x)|
(34)
= max
x∈[−1,1]
|f(−x) − g(−x)|
= |t = −x| = max
t∈[−1,1]
|f(t) − g(t)|
(14)
= ρC (f, g),
ρI (F (f), F (g))
(15)
=
1
−1
|F (f)(x) − F (g)(x)| dx
(34)
=
1
−1
|f(−x) − g(−x)| dx
= |t = −x| =
1
−1
|f(t) − g(t)| dt
(15)
= ρI (f, g).
V súlade s Definíciou 4 je preto F izometrické zobrazenie vzhľadom na obidve
metriky ρC a ρI . Z (34) je naviac zrejmé, že F je surjekcia na M s inverziou
F−1
= F. Jedná sa teda o izometriu.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Obsah
1 Pojem metriky a metrického priestoru
2 Množiny v metrickom priestore
3 Konvergencia v metrickom priestore
4 Zobrazenia metrických priestorov
5 Úplné metrické priestory
6 Kompaktné metrické priestory
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Otvorené a uzavreté gule
Definícia 5 (Otvorená a uzavretá guľa)
Nech (M, ρ) je metrický priestor a nech x0 ∈ M a r ∈ R+
sú dané. Otvorenou,
resp. uzavretou guľou so stredom v bode x0 a polomerom r rozumieme množinu
B(x0, r) := {x ∈ M, ρ(x, x0) < r}, resp. B[x0, r] := {x ∈ M, ρ(x, x0) ≤ r}. (35)
Pre B(x0, r) sa používa aj označenie Or(x0) a pomenovanie r-okolie bodu x0.
Príklad 13
V diskrétnom metrickom priestore (M, ρ) sú otvorené ako aj uzavreté gule buď
jednoprvkové množiny alebo celé M. Konkrétne, pre každé x0 ∈ M platí
B(x0, r) =
{x0}, r ≤ 1,
M, r > 1,
B[x0, r] =
{x0}, r < 1,
M, r ≥ 1,
(36)
ako sa možno ľahko presvedčiť pomocou Definície 5. Na druhej strane, v ultrametrickom
priestore (M, ρ) je každý bod otvorenej ako aj uzavretej gule jej
stredom. Je to dôsledok zosilnenej trojuholníkovej nerovnosti (21). V tomto prípade
teda každé dve otvorené (uzavreté) gule sú buď disjunktné alebo splývajú.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Klasifikácia bodov metrického priestoru
Definícia 6
Nech (M, ρ) je metrický priestor, N ⊆ M podmnožina a x0 ∈ M bod.
(i) Bod x0 sa nazýva bodom uzáveru množiny N, ak pre každé ε > 0 platí
Oε(x0) ∩ N = ∅. Množina všetkých bodov uzáveru množiny N sa nazýva
uzáver množiny N a označuje sa N.
(ii) Bod x0 sa nazýva hraničným bodom množiny N, ak pre každé ε > 0 platí
Oε(x0) ∩ N = ∅ i Oε(x0) ∩ (M \ N) = ∅. Množina všetkých hraničných
bodov množiny N sa nazýva hranica množiny N a označuje sa h(N).
(iii) Bod x0 sa nazýva hromadným bodom množiny N, ak pre každé ε > 0
Oε(x0) obsahuje nekonečna veľa bodov z N. Množina všetkých hromadných
bodov množiny N sa nazýva derivácia množiny N a označuje sa N′
.
(iv) Bod x0 sa nazýva vnútorným bodom množiny N, ak existuje ε > 0 tak, že
Oε(x0) ⊆ N. Množina všetkých vnútorných bodov množiny N sa nazýva
vnútro množiny N a označuje sa No
.
(v) Bod x0 sa nazýva izolovaným bodom množiny N, ak existuje ε > 0 tak, že
Oε(x0) ∩ N = {x0}. Množina všetkých izolovaných bodov množiny N sa
nazýva adherencia množiny N.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Veta 1
Nech (M, ρ) je metrický priestor a A, B ⊆ M podmnožiny.
(i) ∅ = ∅, ∅o
= ∅, M = M, Mo
= M.
(ii) A ⊆ A, A = A, Ao
⊆ A, (Ao
)o
= Ao
.
(iii) Ak A ⊆ B, potom A ⊆ B a Ao
⊆ Bo
.
(iv) A ∪ B = A ∪ B, (A ∩ B)o
= Ao
∩ Bo
.
(v) h(A) = A ∩ M \ A, h(A) = A \ Ao
.
Poznámka 3
Nech (M, ρ) je metrický priestor a N ⊆ M podmnožina. Priamo z Definície 6(i)
a rovnosti (23) vyplýva, že uzáver N možno ekvivalentne charakterizovať v tvare
N = {x ∈ M, ρ(x, N) = 0}. (37)
Poznamenajme ďalej, že podľa Definície 6 každý hraničný bod množiny N ako
aj každý hromadný bod množiny N je zároveň bodom uzáveru množiny N.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Otvorené a uzavreté množiny I
Definícia 7 (Otvorená a uzavretá množina)
Nech (M, ρ) je metrický priestor a N ⊆ M podmnožina. Množina N sa nazýva
otvorená (v metrickom priestore (M, ρ)), ak N = No
, t.j., každý bod množiny N
je jej vnútorným bodom. Množina N sa nazýva uzavretá (v metrickom priestore
(M, ρ)), ak N = N, t.j., každý bod uzáveru množiny N patrí do N.
Príklad 14
Zrejme pre každé x0 ∈ M a r > 0 je otvorená guľa B(x0, r) otvorenou množinou
v (M, ρ). Skutočne, nech x ∈ B(x0, r) a položme ε := r − ρ(x0, x). Podľa (35)
je číslo ε > 0. Uvažujme okolie Oε(x) bodu x. Potom pre y ∈ Oε(x) platí
ρ(x0, y) ≤ ρ(x0, x) + ρ(x, y) < ρ(x0, x) + ε = r,
a tak y ∈ B(x0, r). Teda Oε(x) ⊆ B(x0, r), a preto podľa Definície 6(iv) je x
vnútorným bodom množiny B(x0, r). A nakoľko bod x ∈ B(x0, r) bol vybraný
ľubovoľne, v súlade s Definíciou 7 to znamená, že B(x0, r) je otvorená množina
v (M, ρ). Podobne, uzavretá guľa B[x0, r] je uzavretou množinou v (M, ρ).
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Otvorené a uzavreté množiny II
Príklad 14
Nech x je ľubovoľný bod uzáveru množiny B[x0, r]. Podľa Definície 6(i) pre
každé ε > 0 je Oε(x) ∩ B[x0, r] = ∅. Preto existuje y ∈ Oε(x) ∩ B[x0, r] a platí
ρ(x0, x) ≤ ρ(x0, y) + ρ(y, x) < r + ε.
Keďže posledná nerovnosť platí pre každé ε > 0, nutne ρ(x0, x) ≤ r, a tak x ∈
B[x0, r] v súlade (35). Podľa Definície 7 je teda B[x0, r] uzavretou množinou
v (M, ρ). Poznamenajme, že ďalej platí inklúzia B(x0, r) ⊆ B[x0, r], avšak
vo všeobecnosti neplatí rovnosť B(x0, r) = B[x0, r]. Napríklad ak (M, ρ) je
diskrétny metrický priestor obsahujúci aspoň dva prvky a r = 1, potom podľa
(36) platí B(x0, r) = {x0} a B[x0, r] = M. Následne máme B(x0, r) = {x0} a
B[x0, r] = M, a tak B(x0, r) B[x0, r].
Poznámka 4
Vo všeobecnom metrickom priestore (M, ρ) je každá jeho konečná podmnožina
N uzavretá v (M, ρ). Naviac, každé x ∈ N je izolovaným bodom množiny N.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Veta 2
Nech (M, ρ) je metrický priestor a N ⊆ M podmnožina. Potom množina N
je otvorená v (M, ρ) práve vtedy, keď M \ N je uzavretá v (M, ρ). Podobne,
množina N je uzavretá v (M, ρ) práve vtedy, keď M \ N je otvorená v (M, ρ).
Veta 3
Nech (M, ρ) je metrický priestor. Prienik konečného počtu otvorených množín
v (M, ρ) a zjednotenie ľubovoľného počtu otvorených množín v (M, ρ) je opäť
množina otvorená. Zjednotenie konečného počtu uzavretých množín v (M, ρ) a
prienik ľubovoľného počtu uzavretých množín v (M, ρ) je opäť množina uzavretá.
Poznámka 5
Poznamenajme, že prienik nekonečného počtu otvorených množín nemusí byť
množina otvorená a zjednotenie nekonečného počtu uzavretých množín nemusí
byť množina uzavretá. Uvažujem dva nekonečné systémy podmnožín v R
An := −
1
n
,
1
n
, Bn := −
n
n + 1
,
n
n + 1
, n ∈ N.
Množiny An sú zrejme otvorené v E, ale ∩n∈NAn = {0} nie je otvorená v E.
Podobne, Bn sú uzavreté v E, ale ∪n∈NBn = (−1, 1) nie je uzavretá v E.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Definícia 8 (Hustá množina)
Nech (M, ρ) je metrický priestor a A, B ⊆ M podmnožiny. Hovoríme, že
množina B je hustá v metrickom podpriestore (A, ρ), ak platí A ⊆ B.
Definícia 9 (Riedka množina)
Nech (M, ρ) je metrický priestor a N ⊆ M podmnožina. Množina N sa označuje
ako riedka v metrickom priestore (M, ρ), ak neexistuje žiadna otvorená guľa v
M, v ktorej by bola množina N hustá.
Definícia 10 (Separabilný metrický priestor)
Metrický priestor (M, ρ) sa nazýva separabilný, ak existuje najviac spočítateľná
(t.j., konečná alebo spočítateľná) podmnožina N ⊆ M, ktorá je hustá v (M, ρ).
Poznámka 6
Skutočnosť, že množina B je hustá v (A, ρ), je ekvivalentná s reláciou
pre každé x ∈ A a pre každé ε > 0 existuje y ∈ B tak, že ρ(x, y) < ε.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Poznámka 7
Nie je ťažké ukázať, že nejaká podmnožina N ⊆ M je riedka v metrickom
priestore (M, ρ) práve vtedy, keď každá otvorená guľa B ⊆ M obsahuje otvorenú
guľu C ⊆ B tak, že N ∩ C = ∅.
Príklad 15 (Separabilita priestoru spojitých funkcií)
Pre ľubovoľné a, b ∈ R, a < b, je metrický priestor (C[a, b], ρC) predstavený
v Príklade 4 separabilný. Tento významný výsledok vyplýva z Weierstrassovej
vety o aproximácii spojitých funkcií, podľa ktorej je množina P všetkých polynómov
s reálnymi koeficientami hustá v metrickom priestore (C[a, b], ρC). Podľa
Definície 8 teda platí C[a, b] = P. Z vlastností množiny reálnych čísiel R ďalej
vieme, že množina všetkých racionálnych čísiel Q je hustá v metrickom priestore
E. To znamená, že množina Q všetkých polynómov s racionálnymi koeficientami
je hustá v P, t.j., platí P ⊆ Q opäť podľa Definície 8. Okrem toho, keďže
zrejme Q ⊆ P, v súlade s Vetou 1(ii),(iii) máme P = Q. Následne C[a, b] = Q,
čo ukazuje, že množina Q je hustá v metrickom priestore (C[a, b], ρC ). A keďže
množina Q je spočítateľná (vďaka spočítateľnosti množiny Q), je (C[a, b], ρC) v
zhode s Definíciou 10 separabilný metrický priestor.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 16 (Separabilita diskrétneho priestoru)
Diskrétny metrický priestor je separabilný práve vtedy, keď má najviac spočítateľne
veľa prvkov. Je to dôsledok skutočnosti, že v každom diskrétnom metrickom
priestore sú všetky jeho podmnožiny uzavreté (a teda súčasne i otvorené).
Príklad 17 (Separabilita lp
-priestorov)
Pre každú reálnu hodnotu p ≥ 1 je metrický priestor lp
zavedený v Príklade 3
separabilný, pričom jeho príslušná spočítateľná hustá podmnožina je napríklad
N = {{xk}∞
k=1 ⊆ Q, xk = 0 iba pre konečne veľa indexov k ∈ N} . (38)
Podstatnú úlohu pri tom zohráva skutočnosť, že množina racionálnych čísiel Q
je spočítateľná a hustá v metrickom priestore E.
Príklad 18
V Príklade 3 sme predstavili metrické priestory l∞
, c a c0. Platí potom, že c a
c0 sú uzavreté metrické podpriestory v priestore l∞
.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 19
Metrický priestor l∞
definovaný v Príklade 3 nie je separabilný. Nech
N := x[n]
= {x
[n]
k }∞
k=1 ⊆ l∞
, n ∈ N (39)
je nejaká spočítateľná podmnožina v l∞
. Definujme postupnosť y = {yk}∞
k=1
yk :=



0, x
[k]
k > 1,
1 + x
[k]
k , x
[k]
k ≤ 1.
(40)
Zrejme postupnosť y je ohraničená, a tak y ∈ l∞
v súlade s Príkladom 3. Podľa
(23) v Definícii 3 pre vzdialenosť y od N v l∞
platí
ρ(y, N)
(23),(39)
= inf ρ y, x[n]
, n ∈ N . (41)
Pre každé n ∈ N však máme
ρ y, x[n] (12)
= sup
k∈N
yk − x
[n]
k ≥ yn − x
[n]
n
(40)
≥ 1. (42)
Preto v zhode s (41) dostávame ρ(y, N) ≥ 1. Podľa Poznámky 6 teda žiadna
spočítateľná podmnožina N nemôže byť hustá v l∞
, a tak v súlade s Definíciou
10 metrický priestor l∞
nie je separabilný.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Obsah
1 Pojem metriky a metrického priestoru
2 Množiny v metrickom priestore
3 Konvergencia v metrickom priestore
4 Zobrazenia metrických priestorov
5 Úplné metrické priestory
6 Kompaktné metrické priestory
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Konvergentné a cauchyovské postupnosti
Definícia 11 (Konvergentná postupnosť)
Nech (M, ρ) je metrický priestor a {xk}∞
k=1 ⊆ M postupnosť. Hovoríme, že
postupnosť {xk} konverguje v metrickom priestore (M, ρ) k bodu x ∈ M, ak
pre každé ε > 0 existuje kε ∈ N tak, že pre každé k ≥ kε platí xk ∈ Oε(x). (43)
Inými slovami, platí relácia limk→∞ ρ(xk, x) = 0. Bod x ∈ M sa nazýva limita
postupnosti {xk}, pričom píšeme limk→∞ xk = x, resp. xk → x pre k → ∞.
Definícia 12 (Cauchyovská postupnosť)
Nech (M, ρ) je metrický priestor a {xk}∞
k=1 ⊆ M postupnosť. Hovoríme, že
postupnosť {xk} je cauchyovská (tiež fundamentálna) v (M, ρ) ak
pre každé ε > 0 existuje kε ∈ N tak, že pre každé m, n ≥ kε platí ρ(xm, xn) < ε. (44)
Inými slovami, platí relácia ρ(xm, xn) → 0 pre min{m, n} → ∞.
Poznámka 8
Z Definícií 3 a 12 vyplýva, že každá cauchyovská postupnosť je ohraničená v M.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Veta 4
Nech (M, ρ) je metrický priestor. Potom platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Každá postupnosť konvergentná v M má práve jednu limitu.
(ii) Každá postupnosť konvergentná v M je cauchyovská v M.
(iii) Ak postupnosť {xk} ⊆ M konverguje k bodu x ∈ M, potom každá podpostupnosť
vybraná z tejto postupnosti konverguje k x.
(iv) Ak postupnosť {xk} ⊆ M je cauchyovská a obsahuje konvergentnú podpostupnosť
s limitou x ∈ M, potom celá postupnosť je konvergentná s
limitou x.
Veta 5
Nech (M, ρ) je metrický priestor a N ⊆ M podmnožina. Bod x ∈ M je bod
uzáveru množiny N práve vtedy, keď existuje konvergentná postupnosť {xk} ⊆
N, ktorá má za limitu bod x.
Príklad 20 (Konvergencia v diskrétnom metrickom priestore)
V diskrétnom metrickom priestore je postupnosť konvergentná, resp. cauchyovská
práve vtedy, keď je skorostacionárna, t.j., od istého indexu konštantná.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 21
V ultrametrickom priestore (M, ρ) je postupnosť {xk} ⊆ M cauchyovská práve
vtedy, keď platí limk→∞ ρ(xk, xk+1) = 0. Kým implikácia „⇒” vyplýva priamo
z Definície 12, opačná implikácia „⇐” je dôsledkom zosilnenej trojuholníkovej
nerovnosti v (21). Skutočne, pre každú dvojicu indexov m < n platí
0 ≤ ρ(xm, xn) ≤ max{ρ(xm, xn−1), ρ(xn−1, xn)},
0 ≤ ρ(xm, xn−1) ≤ max{ρ(xm, xn−2), ρ(xn−2, xn−1)},
...
0 ≤ ρ(xm, xm+3) ≤ max{ρ(xm, xm+2), ρ(xm+2, xm+3)},
0 ≤ ρ(xm, xm+2) ≤ max{ρ(xm, xm+1), ρ(xm+1, xm+2)},
z čoho ihneď vyplýva relácia ρ(m, n) → 0 pre min{m, n} → ∞, a tak postupnosť
{xk} je podľa Definície 12 cauchyovská. Poznamenajme, že v priestoroch, ktoré
nie sú ultrametrické, tento výsledok nemusí platiť. Napríklad v euklidovskom
priestore E pre postupnosť {xk} definovanú
xk := 1 +
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
k
, k ∈ N,
síce platí limk→∞ |xk − xk+1| = 0, ale nejedná sa o cauchyovskú postupnosť,
pretože lim |xm − xn| = 0 pre min{m, n} → ∞.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Definícia 13 (Ekvivalentné metriky)
Nech (M, ρ) a (M, σ) sú metrické priestory. Metriky ρ a σ sa nazývajú ekvivalentné,
ak pre každú postupnosť {xk} ⊆ M a bod x ∈ M platí
lim
k→∞
xk = x vzhľadom na ρ ⇐⇒ lim
k→∞
xk = x vzhľadom na σ. (45)
Príklad 22
Rozhodnime o ekvivalencii metrík ρC a ρI na množine C[a, b], pozri Príklad 4.
Uvedené metriky nie sú ekvivalentné. Označme c := (a + b)/2 a pre dostatočne
veľké indexy n ∈ N uvažujme postupnosť funkcií {fn} ⊆ C[a, b] s predpismi
fn(x) :=



0, x ∈ a, c − 1
n
∪ c + 1
n
, b ,
n x − c + 1
n
, x ∈ c − 1
n
, c ,
n c − x + 1
n
, x ∈ c, c + 1
n
.
(46)
V integrálnej metrike ρI táto postupnosť konverguje k funkcii f(x) ≡ 0 na [a, b].
V metrike rovnomernej konvergencie ρC však postupnosť v (46) nemá limitu v
C[a, b], keďže bodová limita g(x) := limn→∞ fn(x) je funkcia nespojitá na [a, b].
Okrem toho platí limn→∞ ρC(fn, f) = limn→∞ 1 = 1, a tak podľa Definícií 11
a 13 dané metriky nie sú ekvivalentné na množine C[a, b].
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Obsah
1 Pojem metriky a metrického priestoru
2 Množiny v metrickom priestore
3 Konvergencia v metrickom priestore
4 Zobrazenia metrických priestorov
5 Úplné metrické priestory
6 Kompaktné metrické priestory
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Spojité zobrazenie
Definícia 14 (Spojité zobrazenie)
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú metrické priestory a f : M → N. Zobrazenie f sa
nazýva spojité v bode x0 ∈ M, ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že
pre každé x ∈ M také, že ρ(x, x0) < δ, platí σ(f(x), f(x0)) < ε. (47)
Zobrazenie f je spojité na M, ak je spojité v každom bode množiny M.
Veta 6
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú metrické priestory a f : M → N zobrazenie. Potom
f je spojité v bode x0 ∈ M práve vtedy, keď pre každú postupnosť {xk} ⊆ M
s limk→∞ xk = x0 v metrike ρ platí limk→∞ f(xk) = f(x0) v metrike σ.
Príklad 23
Uvažujme metrické priestory (M, ρ) := E a (N, σ) := (R, ρD), kde ρD je diskrétna
metrika zavedená v (1). Potom zobrazenie f : M → N je spojité na M
práve vtedy, keď je konštantné na M. Na druhej strane, priamo z Definície 14
vyplýva, že každé zobrazenie g : N → M je spojité na N.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Veta 7
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú metrické priestory a f : M → N zobrazenie. Nasledujúce
výroky su ekvivalentné.
(i) Zobrazenie f je spojité na M.
(ii) Pre každú podmnožinu A ⊆ M platí f A ⊆ f(A).
(iii) Pre každú otvorenú podmnožinu B ⊆ N je jej úplný vzor
f−1
(B) := {x ∈ M, f(x) ∈ B} (48)
otvorenou podmnožinou v metrickom priestore (M, ρ).
(iv) Pre každú uzavretú podmnožinu B ⊆ N je množina f−1
(B) uzavretou
podmnožinou v metrickom priestore (M, ρ).
Definícia 15 (Rovnomerne spojité zobrazenie)
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú metrické priestory a f : M → N. Povieme, že zobrazenie
f je rovnomerne spojité na M, ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak,
že ak pre x, y ∈ M platí ρ(x, y) < δ, potom σ(f(x), f(y)) < ε. (49)
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Lipschitzovské zobrazenie a kontrakcia
Definícia 16 (Lipschitzovské zobrazenie)
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú metrické priestory a f : M → N. Zobrazenie f sa označuje
ako lipschitzovské, ak existuje nezáporná reálna konštanta L s vlastnosťou
σ(f(x), f(y)) ≤ Lρ(x, y) pre každé x, y ∈ M. (50)
Číslo L sa nazýva Lipschitzova konštanta zobrazenia f. V prípade, ak L ∈ [0, 1),
sa zobrazenie f označuje ako kontraktívne, resp. kontrakcia.
Veta 8
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú metrické priestory a f : M → N je lipschitzovské
zobrazenie. Potom f je zobrazenie rovnomerne spojité na M.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 24
Funkcia F : C[a, b] → R definovaná predpisom
F (f) :=
b
a
f(x) dx, f ∈ C[a, b], (51)
je lipschitzovské zobrazenie medzi metrickými priestormi (C[a, b], ρC ) a E s Lipschitzovou
konštantou L = b − a. Skutočne, pre každé f, g ∈ C[a, b] platí
ρ2(F (f), F (g))
(6)
= |F (f) − F (g)|
(51)
=
b
a
f(x) dx −
b
a
g(x) dx
=
b
a
[f(x) − g(x)] dx ≤
b
a
|f(x) − g(x)| dx
(14)
≤
b
a
ρC (f, g) dx = ρC (f, g)
b
a
dx = (b − a) ρC (f, g). (52)
Poznamenajme, že hodnota Lipschitzovej konštanty L = b−a je optimálna v tom
zmysle, že sa nedá nahradiť menšou hodnotou tak, aby nerovnosť (52) zostala v
platnosti pre každú dvojicu funkcií f, g ∈ C[a, b]. Napríklad pre funkcie f(x) ≡ 2
a g(x) ≡ 1 sa nerovnosť v (52) realizuje ako rovnosť, nakoľko F(f) = 2(b − a),
F(g) = b − a, ρC(f, g) = 1 a ρ2(F(f), F(g)) = b − a.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 25
Nech F je zobrazenie metrického priestoru (C[0, 1], ρC) do seba s predpisom
F (f)(x) :=
x
0
tf(t) dt, f ∈ C[0, 1], x ∈ [0, 1]. (53)
Rozhodnime, či F je kontraktívne zobrazenie. Pre každé f, g ∈ C[0, 1] máme
ρC (F (f), F (g))
(14)
= max
x∈[0,1]
|F (f)(x) − F (g)(x)|
(53)
= max
x∈[0,1]
x
0
[tf(t) − tg(t)] dt
≤ max
x∈[0,1]
x
0
|tf(t) − tg(t)| dt =
1
0
t|f(t) − g(t)| dt
(14)
≤
1
0
tρC (f, g) dt = ρC (f, g)
1
0
t dt =
1
2
· ρC (f, g).
Podľa Definície 16 je teda zobrazenie F lipschitzovské s Lipschitzovou konštantou
L = 1/2, čo následne ukazuje, že sa naozaj jedná o kontrakciu.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 26
Nech a < b sú dané reálne čísla. Dokážeme, že funkcia f : [a, b] → R so
spojitou deriváciou na intervale [a, b] je kontraktívne zobrazenie z metrického
priestoru ([a, b], ρ2) do E práve vtedy, keď platí |f′
(x)| < 1 pre každé x ∈ [a, b].
Nech f je kontrakcia s Lipschitzovou konštantou L ∈ [0, 1) a predpokladajme
sporom, že max
x∈[a,b]
|f′
(x)| ≥ 1. Teda existuje c ∈ [a, b] také, že |f′
(c)| > L, t.j.,
|f′
(c)| = lim
x→c
f(x) − f(c)
x − c
> L, a tak |f(x) − f(c)| > L|x − c|
pre všetky x ∈ [a, b] dostatočne blízko k bodu c. To však, vzhľadom na Definíciu
16, odporuje predpokladu kontraktívnosti zobrazenia f na celom [a, b] s konštantou
L. Preto musí platiť maxx∈[a,b] |f′
(x)| < 1, a tak |f′
(x)| < 1 na [a, b].
Naopak, nech funkcia f spĺňa nerovnosť |f′
(x)| < 1 pre všetky x ∈ [a, b]. Predpoklad
spojitosti derivácie f′
zaručuje existenciu čísla L ∈ [0, 1) s vlastnosťou
|f′
(x)| ≤ L pre každé x ∈ [a, b]. Ukážeme, že funkcia f je kontrakcia na [a, b] s
konštantou L. Pre ľubovoľné x, y ∈ [a, b] podľa Lagrangeovej vety platí
|f(x) − f(y)| = |f′
(c) (x − y)| = |f′
(c)| |x − y| pre isté c medzi x a y.
To následne znamená, že |f(x) − f(y)| = |f′
(c)| |x − y| ≤ L|x − y|, a teda f je
kontraktívne zobrazenie s Lipschitzovou konštantou L.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Homeomorfné zobrazenie metrických priestorov
Definícia 17 (Homeomorfné zobrazenie)
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú metrické priestory a f : M → N bijekcia. Zobrazenie
f sa nazýva homeomorfné, resp. homeomorfizmus, ak obidve zobrazenia f a
f−1
sú spojité. V tomto prípade hovoríme, že metrické priestory (M, ρ) a (N, σ)
sú (vzájomne) homeomorfné.
Veta 9
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú metrické priestory a nech f : M → N je homeomorfné
zobrazenie. Potom platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Množina A ⊆ M je otvorená v M práve vtedy, keď f(A) je otvorená v N.
(ii) Množina A ⊆ M je uzavretá v M práve vtedy, keď f(A) je uzavretá v N.
Príklad 27
Funkcia f : R → (−1, 1) definovaná predpisom f(x) := x
1+|x|
, x ∈ R, je
homeomorfizmus metrických priestorov E a ((−1, 1), ρ2).
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Obsah
1 Pojem metriky a metrického priestoru
2 Množiny v metrickom priestore
3 Konvergencia v metrickom priestore
4 Zobrazenia metrických priestorov
5 Úplné metrické priestory
6 Kompaktné metrické priestory
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Úplnosť metrického priestoru
Definícia 18 (Úplný metrický priestor)
Metrický priestor (M, ρ) sa označuje ako úplný, ak v ňom každá jeho cauchyovská
postupnosť má limitu, t.j., je konvergentná.
Príklad 28 (Úplnosť diskrétneho metrického priestoru)
Každý diskrétny metrický priestor je úplný, keďže podľa Príkladu 20 každá jeho
cauchyovská postupnosť je skorostacionárna, a teda nutne i konvergentná.
Príklad 29
Pre každé n ∈ N je euklidovský priestor En
úplným metrickým priestorom.
Obzvlášť, úplnosť priestoru E je dôsledkom tzv. Cantorovho–Dedekindovho princípu
do seba vložených intervalov. Vo všeobecnosti, pre ľubovoľné p ∈ [1, ∞) je
každý z metrických priestorov (Rn
, ρp) s metrikou ρp definovanou v (2) úplný.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 30 (Úplnosť lp
-priestorov)
Pre každé p ∈ [1, ∞) je priestor lp
predstavený v Príklade 3 úplným metrickým
priestorom. Dokážeme toto tvrdenie. Nech p ≥ 1 je dané a nech {x[n]
}∞
n=1 ⊆ lp
,
kde x[n]
= {x
[n]
k }∞
k=1, je nejaká postupnosť cauchyovská v priestore lp
. Teda
ρp
x[m]
, x[n] (8)
=
∞
k=1
x
[m]
k − x
[n]
k
p
1/p
→ 0 pre min{m, n} → ∞, (54)
podľa Definície 12. Obzvlášť, z relácie (54) vyplýva, že pre každý pevný index
k ∈ N je postupnosť {x
[n]
k }∞
n=1 ⊆ R cauchyovská v euklidovskom priestore E,
a teda i konvergentná vďaka úplnosti priestoru E v Príklade 29. Nech x =
{xk}∞
k=1 ⊆ R označuje príslušnú postupnosť limít, t.j.,
xk := lim
n→∞
x
[n]
k , k ∈ N. (55)
Ukážeme, že postupnosť {x[n]
} konverguje k x v metrike ρp
a že x ∈ lp
. Zvoľme
ε > 0. Z toho, že {x[n]
} je cauchyovská v lp
, máme v súlade s (44) zaručenú
existenciu nε ∈ N s vlastnosťou ρp
(x[m]
, x[n]
) < ε
2
pre každé m, n ≥ nε, a tak
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 30 (Úplnosť lp
-priestorov)
k
i=1
x
[m]
i − x
[n]
i
p
1/p
(8)
≤ ρp
x[m]
, x[n]
<
ε
2
pre každé k ∈ N. (56)
Limitným prechodom v (56) pre m → ∞ so zreteľom na (55) dostaneme
k
i=1
xi − x
[n]
i
p
1/p
≤
ε
2
pre každé k ∈ N, (57)
z čoho následným limitovaním pre k → ∞ získame
ρp
x, x[n] (8)
=
∞
i=1
xi − x
[n]
i
p
1/p
≤
ε
2
< ε pre každé n ≥ nε. (58)
Nerovnosť (58) podľa Definície 11 znamená, že postupnosť {x[n]
} konverguje k
x v metrike ρp
. Obzvlášť, {x[n]
} je ohraničená v lp
, t.j., existuje L > 0 tak, že
k
i=1
x
[n]
i
p
≤ L pre každé k, n ∈ N. (59)
Limitovaním tejo nerovnosti najprv pre n → ∞, a následne pre k → ∞, a
využitím (55) napokon odvodíme |xi|p
≤ L, a tak x ∈ lp
, podľa Príkladu 3.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 31 (Úplnosť priestoru spojitých funkcií)
Nech a < b sú dané reálne čísla. Metrický priestor (C[a, b], ρC) zavedený v
Príklade 4 je úplný. Nech {fn}∞
n=1 ⊆ C[a, b] je nejaká postupnosť cauchyovská
vzhľadom na metriku ρC a nech ε > 0 je dané. V súlade s (14) a Definíciou 12
potom existuje index kε ∈ N s vlastnosťou
ρC (fm, fn)
(14)
= max
x∈[a,b]
|fm(x) − fn(x)| <
ε
3
pre každé m, n ≥ kε. (60)
Obzvlášť, relácia (60) je ekvivalentná s nerovnosťou
|fm(x) − fn(x)| <
ε
3
pre každé m, n ≥ kε a každé x ∈ [a, b]. (61)
Z (61) ihneď vyplýva, že pre každé x ∈ [a, b] je číselná postupnosť {fn(x)}
cauchyovská v E, a teda aj konvergentná. Skúmaná postupnosť {fn} teda
bodovo konverguje na intervale [a, b] k istej funkcii f(x), t.j.,
f(x) := lim
n→∞
fn(x) pre každé x ∈ [a, b]. (62)
Táto konvergencia je však dokonca rovnomerná, nakoľko limitovaním nerovnosti
v (61) pre m → ∞ a využitím (62) dostaneme
|f(x) − fn(x)| <
ε
3
pre každé n ≥ kε a každé x ∈ [a, b]. (63)
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 31 (Úplnosť priestoru spojitých funkcií)
To znamená, že postupnosť {fn} konverguje k funkcii f v metrickom priestore
(B[a, b], ρB) definovanom v Príklade 4. Stačí nám teda dokázať už len spojitosť
funkcie f na intervale [a, b]. Nech x∗ ∈ [a, b] je ľubovoľný, ale pevný bod a nech
{xk} ⊆ [a, b] je nejaká postupnosť bodov konvergujúca (v E) k x∗. Funkcie fn,
n ∈ N, sú spojité, preto pre každé dané n ∈ N existuje index lε,n ∈ N tak, že
|fn(xk) − fn(x∗)| <
ε
3
pre každé k ≥ lε,n. (64)
Pre nejaké zvolené n ≥ kε položme N := max{kε, lε,n}. Aplikáciou trojuholníkovej
nerovnosti a odhadov v (63) a (64) pre každé k ≥ N dostaneme
|f(xk) − f(x∗)| = |f(xk) − fn(xk) + fn(xk) − fn(x∗) + fn(x∗) − f(x∗)|
≤ |f(xk) − fn(xk)| + |fn(xk) − fn(x∗)| + |fn(x∗) − f(x∗)|
(63),(64)
<
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε,
čo ihneď ukazuje, že funkcia f je spojitá v bode x∗, a tak i f ∈ C[a, b].
Príklad 32
Rozhodnime, či i priestor (C[a, b], ρI ) je úplným metrickým priestorom.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Veta 10
Nech (M, ρ) je úplný metrický priestor a N ⊆ M uzavretá neprázdna množina.
Potom (N, ρ) je úplný metrický priestor.
Definícia 19 (Úplný obal metrického priestoru)
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú metrické priestory. Hovoríme, že metrický priestor
(N, σ) je úplný obal metrického priestoru (M, ρ), ak
(i) (N, σ) je úplný metrický priestor,
(ii) M ⊆ N a ρ ≡ σ|M×M ,
(iii) množina M je hustá v (N, σ).
Veta 11
Pre každý metrický priestor (M, ρ) existuje jeho úplný obal, ktorý je určený
jednoznačne v nasledujúcom zmysle. Ak (N1, σ1) a (N2, σ2) sú dva úplné obaly
metrického priestoru (M, ρ), potom existuje izometria Φ : N1 → N2 taká, že
jej zúženie Φ|M je identické zobrazenie na M.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Veta 12
Nech (M, ρ) je úplný metrický priestor a N ⊆ M neprázdna množina. Potom
(N, ρ) je úplný obal metrického priestoru (N, ρ).
Príklad 33
Pre každé n ∈ N je euklidovský priestor En
úplný obal metrického priestoru
(Qn
, ρ2) a rovnako i metrického priestoru (Rn
\ {[0, . . . , 0]}, ρ2). Obzvlášť, pre
a, b ∈ R, a < b, je podľa Vety 10 metrický priestor ([a, b]n
, ρ2), ako uzavretý podpriestor
v En
, úplný a je zúplnením každého z metrických priestorov ([a, b)n
, ρ2),
((a, b]n
, ρ2) a ((a, b)n
, ρ2), v zhode s Vetou 12.
Veta 13
Nech (M, ρ) je metrický priestor. Potom (M, ρ) je úplný metrický priestor práve
vtedy, keď každá postupnosť {Bk}∞
k=1 jeho do seba vložených uzavretých gulí,
ktorých polomery konvergujú do nuly, má neprázdny prienik. Naviac, v tomto prípade
je daný prienik pre každú uvedenú postupnosť {Bk}∞
k=1 vždy jednoprvkový.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 13.
Nech (M, ρ) je úplný metrický priestor a nech
M ⊇ B1[x1, r1] ⊇ B2[x2, r2] ⊇ B3[x3, r3] ⊇ · · · ⊇ Bk[xk, rk] ⊇ · · · , (65)
kde limk→∞ rk = 0, je nejaká postupnosť do seba vložených uzavretých gulí v
M s polomermi konvergujúcimi do nuly. Odpovedajúca postupnosť stredov {xk}
je v súlade s Definíciou 12 cauchyovská, keďže platí ρ(xm, xn) ≤ rm pre každú
dvojicu indexov m, n spĺňajúcu n ≥ m. Vďaka úplnosti priestoru (M, ρ) potom
{xk} konverguje v M, t.j., existuje x ∈ M také, že limk→∞ xk = x. Platí
x ∈
k∈N
Bk[xk, rk]. (66)
Skutočne, podľa (65) pre každé dané n ∈ N množina Bn[xn, rn] obsahuje všetky
body postupnosti {xk} od indexu k = n vrátane. A keďže Bn[xn, rn] je uzavretá
v M a x = limk→∞ xk, z Poznámky 3 vyplýva, že nutne x ∈ Bn[xn, rn]. Podľa
(66) je teda prienik postupnosti {Bk} neprázdny.
Naopak, predpokladajme, že každá postupnosť do seba vložených uzavretých gulí
v M s polomermi konvergujúcimi do nuly má neprázdny prienik. Nech {xk} ⊆ M
je nejaká postupnosť cauchyovská v metrickom priestore (M, ρ). Dokážeme, že
{xk} je i konvergentná a jej limita patrí do M. V súlade s Definíciou 12 zo
skutočnosti, že {xk} je cauchyovská, vyplýva existencia indexu n1 s vlastnosťou
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 13 (pokračovanie).
ρ(xm, xn) ≤
1
2
pre každé m, n ≥ n1. (67)
Obzvlášť, nerovnosť v (67) (s m := n1) implikuje reláciu
xn ∈ B xn1 ,
1
2
pre každé n ≥ n1. (68)
Ďalej existuje n2 > n1 s vlastnosťou
ρ(xm, xn) ≤
1
22
pre každé m, n ≥ n2, (69)
čo následne (s m := n2) ukazuje, že
xn ∈ B xn2 ,
1
22
pre každé n ≥ n2. (70)
Nech teraz x ∈ B xn2 , 1
2
. Pomocou trojuholníkovej nerovnosti potom máme
ρ(x, xn1 ) ≤ ρ(x, xn2 ) + ρ(xn2 , xn1 )
(68)
≤
1
2
+
1
2
= 1, a tak x ∈ B [xn1 , 1]
⇓
B xn2 ,
1
2
⊆ B [xn1 , 1] . (71)
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 13 (pokračovanie).
Týmto spôsobom môžeme induktívne zostrojiť postupnosť indexov {nk}∞
k=1 a
vybranú podpostupnosť {xnk }∞
k=1. Konkrétne, ak
indexy n1 < n2 < n3 < · · · < nk a body xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xnk
sú zostrojené ako vyššie, potom existuje index nk+1 > nk s vlastnosťou
ρ(xm, xn) ≤
1
2k+1
pre každé m, n ≥ nk+1, (72)
čo (s m := nk+1) ukazuje, že pre každé n ≥ nk+1 platí
xn ∈ B xnk+1 ,
1
2k+1
, a následne B xnk+1 ,
1
2k
⊆ B xnk ,
1
2k−1
. (73)
Získali sme teda postupnosť do seba vložených uzavretých gulí B xnk , 1
2k−1 ,
k ∈ N, ktorých polomery očividne konvergujú do nuly. Táto postupnosť má
podľa predpokladov neprázdny prienik, t.j., existuje bod x ∈ M tak, že x ∈
B xnk , 1
2k−1 pre každé k ∈ N. To však znamená, že limk→∞ xnk = x. Napokon,
z Vety 4(iv) vyplýva, že i celá postupnosť {xk} je konvergentná s limitou
x. To ukazuje úplnosť metrického priestoru (M, ρ). Dôkaz je hotový.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Poznámka 9
Poznamenajme, že kritérium úplnosti metrického priestoru (M, ρ) prezentované
vo Vete 13 sa dá zovšeobecniť nasledujúcim spôsobom. Metrický priestor (M, ρ)
je úplný práve vtedy, keď ľubovoľná postupnosť {Ak}∞
k=1 jeho do seba vložených
uzavretých podmnožín, ktorých priemery d(Ak), k ∈ N, konvergujú do nuly, má
neprázdny prienik.
Veta 14 (Bairova)
Žiadny neprázdny úplný metrický priestor (M, ρ) sa nedá vyjadriť ako spočítateľné
zjednotenie množín riedkych v (M, ρ). Inými slovami, neprázdny úplný
metrický priestor je množina druhej kategórie.
Dôkaz Vety 14.
Vetu dokážeme sporom, t.j., predpokladajme, že existuje neprázdny úplný metrický
priestor (M, ρ), pre ktorý platí
M =
k∈N
Ak, Ak ⊆ M je riedka v (M, ρ) pre každé k ∈ N. (74)
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 14 (pokračovanie).
Zvoľme nejaký bod x0 ∈ M. Keďže množina A1 je riedka v (M, ρ), podľa
Poznámky 7 pre uzavretú guľu B[x0, 2] existuje r1 ∈ (0, 1) a bod x1 ∈ M tak,
že uzavretá guľa B[x1, r1] ⊆ B[x0, 2] a B[x1, r1] ∩ A1 = ∅. Podobne, množina
A2 je riedka v (M, ρ), preto pre uzavretú guľu B[x1, r1] existuje r2 ∈ 0, 1
2
a
bod x2 ∈ M tak, že uzavretá guľa B[x2, r2] ⊆ B[x1, r1] a B[x2, r2] ∩ A2 = ∅.
Pokračujúc v tomto procese, zostrojíme postupnosť {B[xk, rk]} uzavretých gúľ,
ktoré pre každý index k ∈ N spĺňajú vlastnosti
B[xk+1, rk+1] ⊆ B[xk, rk], B[xk, rk] ∩ Ak = ∅, 0 < rk <
1
k
. (75)
Jedná sa teda o postupnosť do seba vložených uzavretých gúľ, ktorých polomery
konvergujú do nuly. Vďaka úplnosti priestoru (M, ρ) je potom podľa Vety 13
prienik k∈N B[xk, rk] neprázdny, t.j., existuje x ∈ k∈N B[xk, rk]. Očividne,
bod x ∈ M. Avšak podľa (75) bod x nie je prvkom žiadnej z množín Ak, k ∈ N.
Obzvlášť, s prihliadnutím na (74) teda platí x /∈ k∈N Ak = M, čo však je
zrejmý spor. Takže množinu M nie je možné vyjadriť v tvare (74).
Poznámka 10
Špeciálnym dôsledkom Vety 14 je pozorovanie, že neprázdny úplný metrický
priestor neobsahujúci izolované body nie je spočítateľný.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Banachov princíp pevného bodu
Definícia 20 (Pevný bod zobrazenia)
Nech M je ľubovoľná neprázdna množina a F : M → M zobrazenie. Bod
x ∈ M sa nazýva pevný bod zobrazenia F, ak platí F(x) = x.
Veta 15 (Banachova o pevnom bode)
Nech (M, ρ) je (neprázdny) úplný metrický priestor. Potom každé kontraktívne
zobrazenie F : M → M má práve jeden pevný bod v M.
Poznámka 11
Z dôkazu Vety 15 vyplýva, že daný jediný pevný bod x0 ∈ M zobrazenia F je
limitou postupnosti {Fk
(x)}∞
k=1 pre ľubovoľné pevne zvolené x ∈ M.
Dôsledok 1
Nech (M, ρ) je (neprázdny) úplný metrický priestor a F : M → M zobrazenie s
vlastnosťou, že nejaká jeho iterácia Fn
, n ∈ N, je kontrakcia. Potom zobrazenie
F má práve jeden pevný bod v M.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Dôsledku 1.
Nech F a n sú ako v zadaní tvrdenia. Označme T := Fn
. V súlade s Banachovou
vetou 15 má potom kontraktívne zobrazenie T : M → M práve jeden pevný
bod x0 ∈ M, t.j., platí T (x0) = x0. Dokážeme, že x0 je i pevným bodom
zobrazenia F. Položme x := F(x0). Postupne dostávame
x = F (x0) = F (T(x0)) = F (F n
(x0)) = F n+1
(x0)
= F n
(F (x0)) = T (F (x0)) = T(x), (76)
takže x je tiež pevný bod zobrazenia T . Preto nutne x = x0, a tak F(x0) = x0,
t.j., zobrazenie F má aspoň jeden pevný bod x0 ∈ M. Je však zároveň i jediným
pevným bodom tohto zobrazenia v M, pretože každý pevný bod zobrazenia F je
zároveň i pevným bodom zobrazenia T = Fn
, ktoré má v M jediný pevný bod
x0. Dôkaz je preto kompletný.
Príklad 34
Uvažujme metrický priestor ([1, ∞), ρ2) a funkciu f : [1, ∞) → [1, ∞) danú
f(x) := x +
1
x
, x ∈ [1, ∞).
Hoci sa jedná o úplný metrický priestor a ρ2(f(x), f(y)) < ρ2(x, y) pre každé
rôzne x, y ∈ [1, ∞), zobrazenie f očividne nemá žiadny pevný bod v [1, ∞).
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Obsah
1 Pojem metriky a metrického priestoru
2 Množiny v metrickom priestore
3 Konvergencia v metrickom priestore
4 Zobrazenia metrických priestorov
5 Úplné metrické priestory
6 Kompaktné metrické priestory
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Pojem kompaktnosti
Definícia 21 (Centrovaný systém množín)
Nech (M, ρ) je metrický priestor a I nejaká neprázdna indexová množina. Systém
podmnožín {Ak}k∈I v M sa označuje ako centrovaný, ak pre každú konečnú
neprázdnu podmnožinu J ⊆ I platí k∈J Ak = ∅.
Definícia 22 (Otvorené pokrytie množiny)
Nech (M, ρ) je metrický priestor, I neprázdna indexová množina a N ⊆ M
množina. Systém podmnožín {Ak}k∈I v M sa nazýva pokrytie množiny N, ak
platí N ⊆ k∈I Ak. V prípade, ak každá z množín Ak, k ∈ I, je otvorená v
metrickom priestore (M, ρ), hovoríme o otvorenom pokrytí {Ak}k∈I množiny N.
Ak množina J ⊆ I je taká, že systém množín {Ak}k∈J je tiež pokrytím množiny
N, potom systém {Ak}k∈J označujeme ako podpokrytie pokrytia {Ak}k∈I .
Definícia 23 (Kompaktný metrický priestor)
Metrický priestor (M, ρ) nazývame kompaktným, ak z každého otvoreného pokrytia
množiny M je možné vybrať konečné podpokrytie.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Lema 1
Nech (M, ρ) je metrický priestor a I ľubovoľná neprázdna indexová množina.
Nech {Ak}k∈I je systém uzavretých podmnožín množiny M a položme Bk :=
M \ Ak pre každé k ∈ I. Potom systém {Bk}k∈I je otvorené pokrytie množiny
M práve vtedy, keď k∈I Ak = ∅.
Dôkaz Lemy 1.
Tvrdenie vyplýva jednak z faktu, že každá z množín Bk, k ∈ I, je otvorená v M,
a jednak z množinových de Morganových pravidiel, konkrétne
k∈I
Bk = M \


k∈I
Ak

 ,
k∈I
Ak = M \


k∈I
Bk

 . (77)
Ak {Bk}k∈I je otvorené pokrytie množiny M, potom podľa Definície 22 platí
M = k∈I Bk, a tak z druhej identity v (77) máme k∈I Ak = ∅. Naopak,
ak k∈I Ak = ∅, potom prvá rovnosť v (77) implikuje M = k∈I Bk, a tak
{Bk}k∈I je otvorené pokrytie množiny M v súlade s Definíciou 22.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Veta 16
Metrický priestor (M, ρ) je kompaktný práve vtedy, keď každý centrovaný systém
uzavretých podmnožín množiny M má neprázdny prienik.
Dôkaz Vety 16.
Nech (M, ρ) je kompaktný metrický priestor a uvažujme nejaký centrovaný systém
{Ak}k∈I uzavretých podmnožín množiny M. Položme Bk := M \ Ak. V
súlade s Definíciou 21 pre každú konečnú podmnožinu J ⊆ I je k∈J Ak = ∅, čo
podľa (77) znamená, že k∈J Bk M, t.j., systém {Bk}k∈J nie je otvoreným
pokrytím množiny M. Predpoklad kompaktnosti (M, ρ) a Definícia 23 však
následne zaručia, že ani {Bk}k∈I nemôže byť otvorené pokrytie množiny M.
Preto podľa Lemy 1 platí k∈I Ak = ∅. Naopak, predpokladajme, že každý centrovaný
systém uzavretých podmnožín množiny M má neprázdny prienik. Nech
{Bk}k∈I je nejaké otvorené pokrytie množiny M a položme Ak := M \ Bk,
k ∈ I. Každá z množín Ak je zrejme uzavretá a v súlade s Lemou 1 platí
k∈I Ak = ∅. Preto {Ak}k∈I nemôže byť centrovaný systém podmnožín v
M. Podľa Definície 21 teda existuje konečná množina indexov J ⊆ I taká, že
k∈J Ak = ∅. V zhode s Lemou 1 potom ale {Bk}k∈J je otvorené pokrytie
množiny M, a teda konečné podpokrytie pokrytia {Bk}k∈I , v reči Definície 22.
Podľa Definície 23 je tak metrický priestor (M, ρ) kompaktný.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Veta 17
Nech (M, ρ) je kompaktný metrický priestor. Potom každá nekonečná podmnožina
N ⊆ M má aspoň jeden hromadný bod v M.
Dôkaz Vety 17.
Predpokladajme sporom, že existuje nekonečná podmnožina N ⊆ M, ktorá nemá
žiadny hromadný bod. Zrejme je možné vybrať jej spočítateľnú podmnožinu
{x1, x2, x3, . . . , xn, . . . } ⊆ N,
ktorá tiež nemá žiadny hromadný bod. Uvažujme systém nekonečných množín
Ak := {xk, xk+1, xk+2, . . . , xn, . . . }, k ∈ N. (78)
V súlade s Definíciou 21 potom {Ak}k∈N predstavuje centrovaný systém uzavretých
podmnožín množiny M. Skutočne, pre každú konečnú množinu indexov
J = {k1, . . . , kn}, n ∈ N, platí
k∈J
Ak = {xl, xl+1, xl+2, . . . , xn, . . . } = ∅, kde l := max{k1, . . . , kn}.
Na druhej strane očividne k∈N Ak = ∅, a preto podľa Vety 16 metrický priestor
(M, ρ) nemôže byť kompaktný, čo však je spor s predpokladmi vety.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Veta 18
Nech (M, ρ) je kompaktný metrický priestor. Potom každá uzavretá podmnožina
N ⊆ M je kompaktná.
Dôkaz Vety 18.
Nech priestor (M, ρ) je kompaktný a N ⊆ M je uzavretá podmnožina. Vďaka
uzavretosti N v (M, ρ) platí, že každá podmnožina A ⊆ N, ktorá je uzavretá v
metrickom podpriestore (N, ρ), je zároveň uzavretá aj v (M, ρ). Nech {Ak}k∈I
je nejaký centrovaný systém uzavretých podmnožín množiny N. Potom {Ak}k∈I
je zrejme i centrovaný systém uzavretých podmnožín množiny M, a tak v súlade
s Vetou 16 platí k∈I Ak = ∅ vďaka kompaktnosti (M, ρ). Z toho, opäť podľa
Vety 16, vyplýva zároveň i kompatnosť priestoru (N, ρ).
Veta 19
Nech (M, ρ) je metrický priestor a (N, ρ) jeho kompaktný metrický podpriestor.
Potom množina N je uzavretá a ohraničená v M.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 19.
Nech N je kompaktná podmnožina v priestore (M, ρ). Ukážeme najprv uzavretoť
množiny N v M, t.j., dokážeme, že každý bod uzáveru množiny N je jej prvkom.
Nech y ∈ M \ N. Potom zrejme pre každé x ∈ N okolie O1
r (x) bodu x a
okolie O2
r (y) bodu y, kde r := 1
3
ρ(x, y), spĺňajú O1
r(x) ∩ O2
r (y) = ∅. Obzvlášť,
systém množín {Ax}x∈N , kde Ax := O1
r (x) ⊆ M, predstavuje otvorené pokrytie
množiny N a systém množín {Bx}x∈N , kde Bx := O2
r (y) ⊆ M, tvorí systém
okolí bodu y. Vďaka kompaktnosti množiny N je možné podľa Definície 23
vybrať z pokrytia {Ax}x∈N konečné podpokrytie Ax1 , Ax2 , . . . , Axn , takže platí
inklúzia N ⊆ n
i=1 Axi . Na druhej strane, množina B := n
i=1 Bxi je zrejme
okolie bodu y spĺňajúce
B ∩ N ⊆ B ∩
n
i=1
Axi =
n
i=1
(B ∩ Axi ) =
n
i=1
∅ = ∅, a tak nutne B ∩ N = ∅.
Podľa Definície 6(i) teda bod y nie je bodom uzáveru množiny N, a preto N
je, v súlade s Definíciou 7, uzavretá v metrickom priestore (M, ρ). Ohraničenosť
množiny N dokážeme sporom, t.j., predpokladajme, že N je neohraničená v
(M, ρ), t.j., v zhode s Definíciou 3 platí d(N) = ∞. Z definície priemeru množiny
v (24) vyplýva, že množina N musí byť nutne nekonečná, pričom je možné vybrať
jej nekonečnú podmnožinu {xk, k ∈ N} ⊆ N s vlastnosťou ρ(xi, xj) ≥ 1 pre
každé rôzne i, j ∈ N. Očividne, nekonečná množina {xk, k ∈ N} nemá v kom-
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 19 (pokračovanie).
-paktnom metrickom priestore (N, ρ) hromadný bod, čo však odporuje výsledku
Vety 17. Preto je N ohraničená v (M, ρ). Dôkaz je kompletný.
Príklad 35 (Kompaktnosť diskrétneho metrického priestoru)
Diskrétny metrický priestor je kompaktný práve vtedy, keď má konečne veľa
prvkov.
Príklad 36 (Kompaktnosť podmnožín euklidovského priestoru)
Pre ľubovoľné n ∈ N je podmnožina euklidovského priestoru En
kompaktná
práve vtedy, keď je uzavretá a ohraničená.
Poznámka 12
Je nutné zdôrazniť, že tvrdenie Vety 19 nie je možné vo všeobecnosti obrátiť (ako
v Príklade 36), t.j., uzavretá a ohraničená podmnožina metrického priestoru nemusí
byť nutne kompaktná. Uvažujme napríklad priestor l2
zavedený v Príklade 3
a jeho podmnožinu N tvorenú postupnosťami
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Poznámka 12
x[n]
:= (0, 0, . . . , 0, 1
n
, 0, . . . , ), n ∈ N. (79)
Keďže podľa (8) s p := 2 platí ρ2
(x[i]
, x[j]
) =
√
2 pre každú rôznu dvojicu
i, j ∈ N, nekonečná množina N je zrejme uzavretá a ohraničená v l2
. V súlade
s Vetou 17 však nemôže byť kompaktná, pretože nemá žiadny hromadný bod.
Veta 20
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú metrické priestory a f : M → N spojité zobrazenie.
Nech priestor (M, ρ) je kompaktný. Potom platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Obraz f(M) je množina kompaktná v (N, σ).
(ii) Zobrazenie f je rovnomerne spojité.
Dôkaz Vety 20.
Nech {Bk}k∈I je nejaké otvorené pokrytie množiny f(M) v priestore (N, σ).
Podľa Vety 7(iii) je potom každá z množín f−1
(Bk), k ∈ I, otvorenou podmnožinou
množiny M a platí M = k∈I f−1
(Bk). Systém {f−1
(Bk)}k∈I je teda
otvorené pokrytie množiny M. Vďaka kompaktnosti priestoru (M, ρ) potom v
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 20 (pokračovanie).
súlade s Definíciou 23 existuje konečná množina indexov J ⊆ I s vlastnosťou
M = k∈J f−1
(Bk). Následne, f(M) ⊆ k∈J Bk, a tak existuje konečné
podpokrytie {Bk}k∈J pokrytia {Bk}k∈I . Množina f(M) je preto kompaktná v
(N, σ), opäť podľa Definície 23. Tvrdenie (ii) dokážeme sporom. Predpokladajme,
že zobrazenie f nie je rovnomerne spojité, t.j., podľa Definície 15 existuje
ε > 0 tak, že pre každé n ∈ N existujú body xn, x∗
n ∈ M s vlastnosťou
ρ(xn, x∗
n) <
1
n
a σ(f(xn), f(x∗
n)) ≥ ε. (80)
V súlade s Vetami 17 a 19 má postupnosť {xn}∞
n=1 vďaka kompaktnosti množiny
M konvergentnú vybranú podpostupnosť {xnk }∞
k=1 s limitou x ∈ M. Využitím
trojuholníkovej nerovnosti a prvej nerovnosti v (80) vybraná podpostupnosť
{x∗
nk
}∞
k=1 postupnosti {x∗
n}∞
k=1 spĺňa
lim
k→∞
ρ(x∗
nk
, x) ≤ lim
k→∞
ρ(x∗
nk
, xnk ) + ρ(xnk , x)
(80)
≤ lim
k→∞
1
nk
+ ρ(xnk , x) = 0,
čo podľa Definície 11 znamená, že i postupnosť {x∗
nk
}∞
k=1 je konvergentná s
limitou x. Následne, podľa Vety 6 zo spojitosti zobrazenia f dostávame
ε
(80)
≤ lim
k→∞
σ(f(xnk ), f(x∗
nk
)) ≤ lim
k→∞
σ(f(xnk ), f(x)) + σ(f(x), f(x∗
nk
)) = 0,
čo odporuje predpokladu o čísle ε. Preto zobrazenie f je rovnomerne spojité.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôsledok 2 (Weierstrassova veta)
Nech (M, ρ) je kompaktný metrický priestor a f spojitá funkcia zobrazujúca M
do euklidovského priestoru E. Potom zobrazenie f je ohraničené a nadobúda
svoje maximum i minimum na M.
Dôkaz Dôsledku 2.
Tvrdenie priamo vyplýva z Viet 19 a 20(i), podľa ktorých je obraz f(M) množina
kompaktná v E, a teda ohraničená a uzavretá v E.
Definícia 24 (Spočítateľne kompaktný metrický priestor)
Metrický priestor (M, ρ) nazývame spočítateľne kompaktným, ak každá jeho
nekonečná podmnožina má aspoň jeden hromadný bod v M.
Poznámka 13
Priamo z Vety 17 a Definície 24 vyplýva, že každý kompaktný metrický priestor
je zároveň i spočítateľne kompaktný. Neskôr (vo Vete 24) dokážeme i obrátené
tvrdenie. Pojmy kompaktnosť a spočítateľná kompaktnosť teda splývajú.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Veta 21
Nech (M, ρ) je metrický priestor. Nasledujúce tvrdenie sú ekvivalentné.
(i) Priestor (M, ρ) je spočítateľne kompaktný.
(ii) Každé spočítateľné otvorené pokrytie množiny M obsahuje konečné pod-
pokrytie.
(iii) Každý spočítateľný centrovaný systém uzavretých podmnožín množiny M
má neprázdny prienik.
Dôkaz Vety 21.
Poznamenajme, že ekvivalentnosť podmienok (ii) a (iii) sa dokáže úplne analogicky
ako v prípade kompaktnosti pri Vete 16. Zameriame sa preto iba na
dôkaz ekvivalencie podmienok (i) a (iii). Nech (M, ρ) je spočítateľne kompaktný
metrický priestor a nech {Ak}∞
k=1 je nejaký centrovaný systém uzavretých
podmnožín v M. Ukážeme, že ∞
k=1 Ak = ∅. Položme
Bk :=
k
i=1
Ai pre každé k ∈ N. (81)
Zrejme každá z množín Bk, k ∈ N, je neprázdna a uzavretá v M, pričom platí
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 21 (pokračovanie).
B1 ⊇ B2 ⊇ B3 ⊇ · · · ⊇ Bk ⊇ · · · ,
∞
k=1
Bk =
∞
k=1
Ak. (82)
Z (82) vyplýva, že môže nastať práve jedna z nasledujúcich dvoch možností.
Existuje k0 ∈ N s vlastnosťou Bk0 = Bk0+i pre každé i ∈ N. Potom
∞
k=1
Ak
(82)
=
∞
k=1
Bk = Bk0
= ∅.
Medzi množinami Bk, k ∈ N, existuje nekonečne veľa vzájomne rôznych
množín. Bez ujmy na všeobecnosti zrejme stačí uvažovať situáciu, kedy
všetky množiny Bk, k ∈ N, sú vzájomne rôzne. Pre každé k ∈ N teda existuje
bod xk ∈ Bk \ Bk+1. Keďže metrický priestor (M, ρ) je spočítateľne
kompaktný, podľa Definície 24 má postupnosť {xk} aspoň jeden hromadný
bod y ∈ M. A nakoľko očividne platí
{xk, xk+1, xk+2, . . . } ⊆ Bk pre každé k ∈ N,
bod y je hromadným bodom, a vďaka uzavretosti i prvkom, pre každú z
množín Bk, k ∈ N. Obzvlášť, potom máme
y ∈
∞
k=1
Bk
(82)
=
∞
k=1
Ak, a tak
∞
k=1
Ak = ∅.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 21 (pokračovanie).
Platnosť opačnej implikácie (iii) ⇒ (i) vyplýva z dôkazu Vety 17, kde sme vlastne
dokázali, že ak množina M obsahuje nekonečnú podmnožinu bez hromadných
bodov v M, potom existuje spočítateľný centrovaný systém uzavretých podmnožín
množiny M, ktorý má prázdny prienik. Ak teda platí tvrdenie (iii),
potom nutne každá nekonečná podmnožina v M má aspoň jeden hromadný bod
v M, čo podľa Definície 24 znamená, že metrický priestor (M, ρ) je spočítateľne
kompaktný, t.j., platí tvrdenie (i). Dôkaz je hotový.
Definícia 25 (Sieť množiny)
Nech (M, ρ) je metrický priestor, N ⊆ M podmnožina a ε kladné reálne číslo.
Množina A ⊆ M sa nazýva sieť množiny N s polomerom ε, resp. ε-sieť množiny
N, ak pre každý bod x ∈ N existuje bod y ∈ A tak, že ρ(x, y) ≤ ε.
Definícia 26 (Totálne ohraničený metrický priestor)
Hovoríme, že metrický priestor (M, ρ) je totálne ohraničený, ak pre každé ε > 0
existuje konečná ε-sieť množiny M.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Poznámka 14
Z Definícií 3 a 26 ihneď vyplýva, že každý totálne ohraničený metrický priestor je
zároveň i ohraničený (stačí uvážiť konečnosť ε-siete pre nejaké ε > 0 a trojuholníkovú
nerovnosť). Opačná skutočnosť vo všeobecnosti neplatí. Kým v každom
euklidovskom priestore En
, n ∈ N, pojmy totálna ohraničenosť a ohraničenosť
splývajú, diskrétny metrický priestor je totálne ohraničený práve vtedy, keď má
konečne veľa prvkov. Na druhej strane, každý, teda aj nekonečný, diskrétny
metrický priestor je zrejme v súlade s Definíciou 3 ohraničený.
Veta 22
Každý totálne ohraničený metrický priestor je separabilný.
Dôkaz Vety 22.
Nech (M, ρ) je totálne ohraničený metrický priestor. V súlade s Definíciou 26 pre
každé n ∈ N existuje konečná 1
n
-sieť An množiny M. Potom je zrejme množina
n∈N An nanajvyš spočítateľná a podľa Poznámky 6 hustá v metrickom priestore
(M, ρ). V zhode s Definíciou 10 je teda priestor (M, ρ) separabilný.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Poznámka 15
Poznamenajme, že tvrdenie Vety 22 sa nedá obrátiť. Vhodne to ilustruje podpriestor
(N, ρ2
) metrického priestoru l2
skúmaný v Poznámke 12. V Príklade 17
sme ukázali separabilitu priestoru l2
, takže i podpriestor (N, ρ2
) je separabilný.
Avšak nie je totálne ohraničený v l2
, nakoľko pre množinu N neexistuje konečná
ε-sieť s hodnotou ε <
√
2
2
, ako vyplýva z diskusie v Poznámke 12.
Veta 23
Každý spočítateľne kompaktný metrický priestor je totálne ohraničený.
Dôkaz Vety 23.
Predpokladajme, nech metrický priestor (M, ρ) je spočítateľne kompaktný, ale
nie je totálne ohraničený. Podľa Definície 26 teda pre isté ε > 0 neexistuje
žiadna konečná ε-sieť množiny M. Zvoľme ľubovoľne x1 ∈ M. Potom existuje
bod x2 ∈ M tak, že ρ(x1, x2) > ε. V opačnom prípade by totiž jednoprvková
množina {x1} bola konečná ε-sieť množiny M. Podobne, existuje bod x3 ∈ M
s vlastnosťou ρ(x1, x3) > ε a ρ(x2, x3) > ε (inak by zas množina {x1, x2} bola
konečnou ε-sieťou množiny M). Týmto spôsobom získame postupnosť {xk}∞
k=1
v M, ktorá spĺňa ρ(xi, xj) > ε pre každé i, j ∈ N, i = j. Obzvlášť, táto postup-
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 23 (pokračovanie).
-nosť nemá žiadny hromadný bod v M. Podľa Definície 24 však tento fakt
odporuje spočítateľnej kompaktnosti priestoru (M, ρ).
Definícia 27 (Báza metrického priestoru)
Nech (M, ρ) je metrický priestor. Systém {Aα}α∈I otvorených podmnožín
množiny M sa nazýva báza priestoru (M, ρ), ak sa každá otvorená podmnožina
množiny M dá vyjadriť ako zjednotenie niektorých množín systému {Aα}α∈I .
Lema 2
Metrický priestor je separabilný práve vtedy, keď má spočítateľnú bázu.
Dôkaz Lemy 2.
Nech (M, ρ) je separabilný metrický priestor a nech N := {x1, x2, . . . , xn, . . . }
je v súlade s Definíciou 10 jeho nanajvyš spočítateľná podmnožina, ktorá je v
ňom hustá. Potom nie je ťažké si uvedomiť, že systém otvorených množín
B xn,
1
m
, n, m ∈ N
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Lemy 2 (pokračovanie).
predstavuje podľa Definície 27 spočítateľnú bázu priestoru (M, ρ). Naopak,
ak {Ak}∞
k=1 je spočítateľná báza metrického priestoru (M, ρ), potom každá
spočítateľná podmnožina tvaru N := {xk, xk ∈ Ak, k ∈ N} je hustá v (M, ρ).
Dokážeme to sporom. Predpokladajme, že pre nejaký výber bodov xk ∈ Ak,
k ∈ N, uvedená podmnožina N nie je hustá v (M, ρ). Podľa Definície 8 to
znamená, že množina M \N je neprázdna a otvorená. A keďže systém {Ak}∞
k=1
tvorí bázu metrického priestoru (M, ρ), podľa Definície 27 existuje index k0 ∈ N
tak, že množina Ak0 = ∅ a Ak0 ⊆ M \ N. Z tohto následne vyplýva, že bod
xk0 ∈ M \ N, čo však je v rozpore s definíciou množiny N. Platí teda M = N,
a tak v súlade s Definíciou 10 je metrický priestor (M, ρ) separabilný.
Veta 24
Každý spočítateľne kompaktný metrický priestor je zároveň i kompaktný.
Dôkaz Vety 24.
Nech (M, ρ) je spočítateľne kompaktný metrický priestor a nech {Oα}α∈I je
nejaké jeho otvorené pokrytie. Ukážeme, že existuje konečné podpokrytie tohto
pokrytia. Kombináciou Viet 22 a 23 dostávame separabilitu priestoru (M, ρ).
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 24 (pokračovanie).
Následne, podľa Lemy 2 v tomto priestore existuje spočítateľná báza {Ak}∞
k=1.
Zvoľme ľubovoľný bod x ∈ M. Skutočnosť, že systém {Oα}α∈I je pokrytie
priestoru (M, ρ), zaručuje, že existuje index α(x) ∈ I taký, že x ∈ Oα(x).
Zároveň z toho, že {Ak}∞
k=1 je bázou priestoru (M, ρ), vyplýva podľa Definície
27 existencia indexu k(x) ∈ N s vlastnosťou x ∈ Ak(x) ⊆ Oα(x). Systém
S := {Ak(x)}x∈M takto vybraných podmnožín je zrejme nanajvyš spočítateľný
a pokrýva celú množinu M. Okrem toho pre každú množinu Ak(x) ∈ S vieme
vybrať jednu množinu Oα zo skúmaného otvoreného pokrytia {Oα}α∈I , ktorá
ju, t.j., Ak(x), obsahuje. Takto teda vieme zostrojiť nanajvyš spočítateľné podpokrytie
{Oα}α∈J pokrytia {Oα}α∈I . Ak množina indexov J ⊆ I je konečná,
dôkaz je hotový, pretože sme vybrali konečné podpokrytie pokrytia {Oα}α∈I , a
tak metrický priestor (M, ρ) je kompaktný v zhode s Definíciou 23. V prípade,
ak množina J je spočítateľne nekonečná, je možné podľa Vety 21(ii) vybrať z
pokrytia {Oα}α∈J opäť konečné podpokrytie, čo znovu zaručuje kompaktnosť
metrického priestoru (M, ρ). Dôkaz je teraz kompletný.
Veta 25 (Nutná a postačujúca podmienka kompaktnosti metrického priestoru)
Metrický priestor (M, ρ) je kompaktný práve vtedy, keď je totálne ohraničený a
zároveň úplný.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 25.
Ak (M, ρ) je kompaktný metrický priestor, potom je v súlade s Poznámkou 13 i
spočítateľne kompaktný, a následne i totálne ohraničený, podľa Vety 23. Okrem
toho každá postupnosť cauchyovská v (M, ρ) musí v zhode s Vetou 17 mať aspoň
jeden hromadný bod v M, t.j., obsahovať aspoň jednu podpostupnosť konvergentnú
v M. To však podľa Vety 4(iv) znamená, že celá skúmaná cauchyovská
postupnosť má v M limitu, a tak v súlade s Definíciou 18 je metrický
priestor (M, ρ) úplný. Naopak, predpokladajme, nech priestor (M, ρ) je totálne
ohraničený a úplný. Dokážeme, že je spočítateľne kompaktný, t.j., v zhode
s Definíciou 24 každá jeho nekonečná podmnožina má v M aspoň jeden hromadný
bod. Vo svetle Vety 24 nám tento výsledok potom zaručí i kompaktnosť
priestoru (M, ρ). Bez ujmy na všeobecnosti sa zrejme stačí obmedziť iba na
spočítateľné nekonečné podmnožiny v M, t.j., postupnosti v M. Nech teda
{xk}∞
k=1 ⊆ M je nejaká postupnosť. Ukážeme, že {xk}∞
k=1 má aspoň jeden
hromadný bod v M. V súlade s Definíciou 26 nech N1 = {c1
1, . . . , c1
n1
} je
konečná sieť množiny M s polomerom ε = 1. Obzvlášť, podľa Definície 25 platí
M = ∪n1
i=1B[c1
i , 1]. Nakoľko množina N1 ⊆ M je konečná, musí aspoň jedna z
daných uzavretých gulí obsahovať nekonečne veľa členov postupnosti {xk}, t.j.,
nejakú jej podpostupnosť {x1
k}. Označme stred tejto gule a1. Metrický priestor
(B[a1, 1], ρ), ako podpriestor v (M, ρ), je zrejme tiež totálne ohraničený. Nech
teda N2 = {c2
1, . . . , c2
n2
} je konečná sieť množiny B[a1, 1] s polomerom ε = 1
2
.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 25 (pokračovanie).
Potom zrejme B[a1, 1] ⊆ ∪n2
i=1B[c2
i , 1
2
]. A keďže i množina N2 je konečná,
minimálne jedna z gulí tohto pokrytia musí opäť obsahovať nekonečne veľa členov
postupnosti {x1
k}, t.j., nejakú jej podpostupnosť {x2
k}. Označme stred tejto gule
a2. Využitím trojuholníkovej nerovnosti pre vzdialenosť bodov a1 a a2 platí
ρ(a1, a2) ≤ ρ(a1, y) + ρ(y, a2) ≤ 1 +
1
2
=
3
2
< 2,
kde y je ľubovoľný z členov postupnosti {x2
k}. Uzavretá guľa B[a2, 1
2
] však
opäť vytvára totálne ohraničený metrický priestor, a tak existuje jej konečná sieť
N3 = {c3
1, . . . , c3
n3
} s polomerom 1
4
. Keďže B[a2, 1
2
] ⊆ ∪n3
i=1B[c3
i , 1
4
], nutne
aspoň jedna z uzavretých gulí tohto pokrytia musí obsahovať nekonečne veľa
členov postupnosti {x2
k}, t.j., nejakú jej podpostupnosť {x3
k}. Označiac stred
tejto gule a3, dostávame pre vzdialenosť ρ(a2, a3) odhad
ρ(a2, a3) ≤ ρ(a2, y) + ρ(y, a3) ≤
1
2
+
1
4
=
3
4
< 1,
kde y je ľubovoľný člen postupnosti {x3
k}. V tomto procese pokračujeme ďalej
a získame postupnosť uzavretých gulí
B[a1, 1], B a2,
1
2
, B a3,
1
4
, . . . , B ai,
1
2i−1
, . . . . (83)
Každá z gulí B[ai, 1
2i−1 ], i ∈ N, pritom zrejme obsahuje nekonečne veľa členov
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Dôkaz Vety 25 (pokračovanie).
postupnosti {xk} a odpovedajúca postupnosť stredov {ai} spĺňa
ρ(ai, ai+1) ≤
1
2i−1
+
1
2i
=
3
2i
<
4
2i
=
1
2i−2
, i ∈ N. (84)
Uvažujme teraz postupnosť podmnožín {Ai}∞
i=1 v M daných Ai := B[ai, 1
2i−3 ]
pre i ∈ N. Zrejme B ai, 1
2i−1 ⊆ B ai, 1
2i−3 = Ai pre všetky indexy i ∈ N, a
tak každá z množín Ai obsahuje nekonečne veľa členov postupnosti {xk}. Okrem
toho platí Ai+1 ⊆ Ai pre každé i ∈ N. Skutočne, pre x ∈ Ai+1 je ρ(ai+1, x) ≤
1
2i−2 , z čoho následne pomocou trojuholníkovej nerovnosti dostávame
ρ(ai, x) ≤ ρ(ai, ai+1) + ρ(ai+1, x)
(84)
<
1
2i−2
+
1
2i−2
=
2
2i−2
=
1
2i−3
,
t.j., x ∈ Ai. Systém {Ai}∞
i=1 teda predstavuje postupnosť do seba vložených
uzavretých gulí v M, ktorých polomery konvergujú do nuly. A keďže metrický
priestor (M, ρ) je podľa predpokladov úplný, v súlade s Vetou 13 je prienik
∩∞
i=1Ai neprázdny, t.j., existuje jediné x ∈ ∩∞
i=1Ai. To znamená, že každé okolie
bodu x obsahuje nejakú množinu Ai, a tak i nekonečne veľa členov postupnosti
{xk}. Bod x je teda hromadný bod postupnosti {xk} a dôkaz je hotový.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Pojem prekompaktnosti
Definícia 28 (Prekompaktná množina)
Nech (M, ρ) je metrický priestor. Neprázdna množina N ⊆ M sa nazýva prekompaktná
(alebo tiež relatívne kompaktná) v metrickom priestore (M, ρ), ak jej
uzáver N v (M, ρ) je kompaktný metrický priestor.
Veta 26
Nech (M, ρ) je úplný metrický priestor. Potom neprázdna podmnožina N ⊆ M
je prekompaktná v (M, ρ) práve vtedy, keď je totálne ohraničená.
Dôkaz Vety 26.
V prvom rade poznamenajme, že podľa Poznámky 3 a Definície 26 je množina
N ⊆ M totálne ohraničená práve vtedy, keď množina N je totálne ohraničená.
Kombináciou Viet 1(ii) a 10 a Definície 7 dostávame, že (N, ρ) je úplným metrickým
priestorom pre každú neprázdnú množinu N ⊆ M. Tvrdenie dokazovanej
vety je potom priamym dôsledkom Vety 25 a Definície 28.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Príklad 37 (Prekompaktné množiny v priestore lp
)
Pre dané p ≥ 1 uvažujme metrický priestor lp
z Príkladu 3. Potom neprázdna
podmnožina N ⊆ lp
je prekompaktná v lp
práve vtedy, keď množina N je
ohraničená v lp
a pre každé ε > 0 existuje index n ∈ N tak, že
∞
k=n+1
|xk|p
< ε pre každé x = {xk}∞
k=1 ∈ N. (85)
Príklad 38
Uvažujme metrický priestory l∞
a c0 z Príkladu 3. Potom c0 nie je kompaktný
podpriestor v l∞
. Skutočne, nech {xn
}∞
n=0 je systém reálnych postupností tvaru
xn
k :=
n, k = n + 1,
0, k = n + 1,
pre každé n ∈ N0. (86)
Zrejme xn
∈ c0 pre každý index n ∈ N0. Súčasne podľa (12) a (86) máme
ρ(xn
, x0
)
(12)
= sup
k∈N
|xn
k − x0
k|
(86)
= n, n ∈ N0. (87)
Podpriestor c0 preto nie je ohraničený v l∞
, nakoľko v súlade s (87) jeho priemer
d(c0) = ∞. Preto podľa Vety 19 c0 nemôže byť ani (pre)kompaktný v l∞
.
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Arzelàova–Ascoliho veta
Definícia 29 (Rovnomerná ohraničenosť a rovnaká spojitosť)
Pre dané a, b ∈ R, a < b, uvažujme (neprázdnu) množinu N funkcií f : [a, b] →
R. Povieme, že funkcie z množiny N sú rovnomerne ohraničené na intervale
[a, b], ak existuje kladné reálne číslo L s vlastnosťou
|f(x)| ≤ L pre každé x ∈ [a, b] a každé f ∈ N. (88)
Podobne, hovoríme, že funkcie z N sú rovnako spojité na intervale [a, b], ak pre
každé ε > 0 existuje δ > 0 také, že
ak pre x, x∗
∈ [a, b] je |x − x∗
| < δ, potom |f(x)− f(x∗
)| < ε pre každé f ∈ N. (89)
Poznámka 16
Z relácie (88) je zrejmé, že ak N je množina funkcií rovnomerne ohraničených
na intervale [a, b], potom nutne N ⊆ B[a, b], t.j., každá z funkcií f ∈ N je
ohraničená na [a, b]. Obzvlášť, množina N je v súlade s Definíciou 3 ohraničená
v metrickom priestore (B[a, b], ρB) zavedenom v Príklade 4. Podobne, ak N je
množina funkcií rovnako spojitých na intervale [a, b], potom podľa Definície 15
a relácie v (89) je každá funkcia f ∈ N rovnomerne spojitá na [a, b].
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Veta 27 (Arzelàova–Ascoliho)
Nech a, b ∈ R, a < b, sú dané a nech N je množina reálnych funkcií spojitých na
intervale [a, b]. Potom N je prekompaktná v metrickom priestore (C[a, b], ρC )
zavedenom v Príklade 4 práve vtedy, keď funkcie z množiny N sú rovnomerne
ohraničené a rovnako spojité na [a, b].
Dôsledok 3 (Kompaktné množiny v priestore spojitých funkcií)
Neprázdna množina N ⊆ C[a, b] je kompaktná v metrickom priestore (C[a, b], ρC )
práve vtedy, keď N je uzavretá v (C[a, b], ρC) a funkcie z množiny N sú
rovnomerne ohraničené a rovnako spojité na [a, b].
Dôsledok 4
Nech {fn}∞
n=1 je postupnosť reálnych funkcií spojitých na kompaktnom intervale
[a, b], a < b. Ak funkcie fn, n ∈ N, sú rovnomerne ohraničené a rovnako spojité
na [a, b], potom existuje vybraná podpostupnosť {fnk }∞
k=1, ktorá konverguje
rovnomerne na [a, b].
Metrika Množiny Konvergencia Zobrazenia Úplnosť Kompaktnosť
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú dva kompaktné metrické priestory. Symbolom F(M, N)
označme množinu všetkých zobrazení f : M → N. Kompaktnosť priestoru
(N, σ) podľa Vety 19 zaručuje, že pre každé f ∈ F(M, N) je množina f(M) ⊆
N ohraničená v (N, σ). To následne umožňuje korektne definovať zobrazenie
τ : F(M, N) × F(M, N) → [0, ∞) s predpisom
τ(f, g) := sup
x∈M
σ(f(x), g(x)), f, g ∈ F(M, N). (90)
Nie je ťažké overiť, že zobrazenie τ v (90) je metrikou na množine F(M, N).
Obzvlášť, ak C(M, N) označuje množinu všetkých spojitých zobrazení f : M →
N, potom (C(M, N), τ) je uzavretý metrický podpriestor v (F(M, N), τ). Nech
D ⊆ F(M, N) je neprázdna množina. Zobrazenia f ∈ D sa nazývajú rovnako
spojité, ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 také, že
ak pre x, x∗
∈ M je ρ(x, x∗
) < δ, potom σ(f(x), f(x∗
)) < ε pre každé f ∈ D. (91)
Veta 28 (Zovšeobecnenie Arzelàovej–Ascoliho vety)
Nech (M, ρ) a (N, σ) sú kompaktné metrické priestory. Množina D ⊆ C(M, N)
je prekompaktná v metrickom priestore (C(M, N), τ) práve vtedy, keď zobrazenia
f ∈ D sú rovnako spojité.