Zápočtové príklady - lineárne funkcionály
1. Overte, že nasledujúce zobrazenia sú spojité lineárne funkcionály na daných normovaných priestoroch
a nájdite ich normy. Konštanty p ∈ [1, ∞), n ∈ N sú dané a v priestore C[0, 1] uvažujeme
maximálnu normu, kým v priestore Rn
uvažujeme odpovedajúcu p-normu.
a)
f(u) =
∞∑
k=1
(−1)k
k2
u
(
1
k
)
, u ∈ C[0, 1];
b)
f(x) =
∞∑
k=1
(
1 −
1
k
)
xk, x = {xk}∞
k=1 ∈ l1
;
c)
f(x) =
n∑
k=1
akxk, x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
.
2. Nech X je daný normovaný priestor a X′
je jeho duálny priestor. Dokážte, že platí
∥x∥X = max {|f(x)|, f ∈ X′
, ∥f∥X′ ≤ 1} .
3. Nájdite v priestoroch l∞
a C[0, 1] (s maximálnou normou) postupnosti, ktoré sú slabo konvergentné,
ale nie sú konvergentné silno, t.j., v norme.
4. Nech X je daný normovaný priestor a X′
je jeho duálny priestor. Dokážte, že ak postupnosť
{xk}∞
k=1 ⊆ X konverguje slabo k vektoru x ∈ X a postupnosť {fk}∞
k=1 ⊆ X′
konverguje v norme
k funkcionálu f ∈ X′
, potom číselná postupnosť {fk(xk)}∞
k=1 konverguje s limitou f(x).
5. Ukážte, že postupnosť funkcionálov {fk}∞
k=1 z Príkladu 29 v prednáške Lineárne funkcionály nie
je cauchyovská v norme duálneho priestoru. Ako pomocný krok odvoďte nerovnosť
∥fm − fn∥ ≥ 1 −
2
n
∥ym∥C, m, n ∈ N, n > m.
6. Nech {e[n]
}∞
n=1 je postupnosť daná e[n]
:= {δkn}∞
k=1 pre n ∈ N (δij je Kroneckerov symbol). Zistite,
či táto postupnosť je slabo konvergentná v l2
. Ak áno, nájdite jej slabú limitu v l2
.
7. Nech je daná číselná postupnosť {an}∞
n=1 a postupnosť funkcionálov {fn}∞
n=1 ⊆ (l∞
)′
na priestore
l∞
s predpismi fn(x) := anxn, x = {xn}∞
n=1 ∈ l∞
, pre každé n ∈ N. Overte, že sa skutočne jedná
o postupnosť spojitých lineárnych funkcionálov na l∞
a stanovte ich normy. Ďalej dokážte, že
postupnosť {fn}∞
n=1 konverguje ∗-slabo v duálnom priestore (l∞
)′
práve vtedy, keď postupnosť
{an}∞
n=1 ∈ c0, t.j., limn→∞ an = 0. V tomto prípade nájdite príslušnú ∗-slabú limitu postupnosti
{fn}∞
n=1 v (l∞
)′
. Je táto konvergencia aj silná?
1